波利亚怎样解题1

求解题 如果你希望解一个“求解题”，你必须知道并且十分准确地知道其主 要部分：未知数，已知数与条件。我们的表中有不少关于这些主要部分的问题 与建议。 未知数是什么?已如数是什么?条件是什么? 把条件的各个部分分开。 找出已知数与未知数间的联系。 看着未知数!试想出一个具有相同或相似未知数的熟悉的问题。 仅仅保持条件的一部分，而舍去其余部分；这样对于未知数能确定到什么 程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出 适于确定此未知数的其他已知数?如果需要的话你能不能改变未知数或已知数， 或者二者都改变，使得新未如数和新已知数彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数?你是否利用了整个条件? 在初等数学中，“求解题”更重要，在高等数学中，“求证题”更重 要。
求证题 “求证题”的目的是最终说明某个清晰陈述的推断是成立还是不成立 我们必须回答这问题：这推断是成立还是不成立?并且我们必须通过证明谈推断 成立或不成立来作出最终的回答。
如果一个“求证题”属于通常一类数学问题，则其主要部分是待证或 待推翻定理的前提与结论。
如果你想解决一个“求证题”，你必须知道而且非常准确地知道其主 要部分，即前提与结论。关于这些主要部分，有些有用的问题与建议与我们表 中那些特别适合于“求解题”的问题与建议一一相对应。 前提是什么?结论是什么? 把前提的各个部分分开。 找出前提与结论间的联系。 看着结论!试想出一个具有相同或相似结论的熟悉的定理。 仅仅保持前提的一部分，舍去其余部分；这结论是否仍有效?你能不能从 前提导出某些有用的东西?你能不能想出容易导出此结论的其他前提?如果需要 的话，你能不能改变前提，或改变结论，或者二者都改变，使得新前提和新结 论彼此更接近? 你是否利用了整个前提?
1 3 t 2
1 t0 2
t0
0 t 1
3 log a x 1
3 t 1
1 a 1, x 3 x a a 0 a 1, x a x 1 3 a
1 a 1 xa 3 a 1 0 a 1 a x 3 a
一个令人印象深刻的实际问题是在河上筑坝。了解这个问 题不需要什么特殊的知识。几乎就在史前时期，远在有科学理 论的时期之前，人们就在尼罗河谷以及世界的其他地方建立过 某种坝，当时建筑堤坝的目的是灌溉谷物。
让我们想象建筑一个重要的现代堤坝问题
未知数是什么? 这类问题包含许多未知数：坝的确切位置，它的 几何形状和大小，建筑用料等等。
求证：在一圆中，一弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍。












2

'
''
'
''
''
'
''
'
''

'
''
''

'

'

'
''
2
求解题
“求解题”的目的是找出某
经济要求 能控制洪水 尽量不妨碍别的要求 不妨碍搬运 提供电力 尽量节约 能灌输 工程进度应尽量快。 有重要经济价值的鱼类、美丽的风景等
已知数据是什么? 所需要的数据数量极大。我们需要关于河流及其支流附近地 区的地形地貌数据； 对基础的坚固性，可能有的渗漏等重要的地质数据，以及可 用的建筑材料； 关于年降雨量和洪水高度方面的气象数据； 关于被淹土地的价值、材料和劳力费用等方面的经济数据，如 此等等。
问
题
1、实际问题与纯数学问题的区别与联系？
2、结合波利亚“数学解题”表分析在求解题中的例 题。
谢
谢
波利亚解题研究
第八讲
教师教育学院：李若征
内
容
实际问题
求证题、求解题
进展与成就
实际问题
实际问题在许多方面与纯数学问题不同，这两类问题 既有差别也有类似之处： 数学知识的学习就是为了解决生活中的实际问题，虽 然在解决实际问题时我们要考虑许多除数学以外的其他 问题，但二者求解的中心思想与程序基本上相同。
纯数学问题 题目中直接所给出（经验表明所有的条件都要用到） 概念（数学知识中直接给出）————清晰
实际问题 在实际问题中，未知数、已知数据、条件、概念、所需要的预备知识， 每一项都比纯粹数学问题更复杂，更不清楚。 古埃及坝的设计者不得不依靠其经验的朴素的解释，他们除此之外，别无 其他可以依据的东西。现代工程师不能单单依靠普通常识，特别当他的方案是 一种崭新而大胆的设计时更是如此；他必须计算所设计的堤坝的抗力，定量地 预测其内部的应力和应变。为此，他必须应用弹性理论(这种理论颇适用于混凝 土结构问题)。为了应用此理论，他需用大量数学；而实际工程问题也引出数学 问题。 有一种广为流传的意见，即实际问题比数学问题需要更多的经验。这可能 如此。但很可能，这种差别只存在于所需要知识的性质，而不是我们对问题的 态度。在解决这样那样的问题时，我们必须依赖我们在处理类似问题方面的经 验，我们经常问这个问题：你是否见过相同的问题，只是形式上稍有不同?你知 道一个与此有关的问题吗?
未知数在拉丁文中称为“quaesitum”，或要找的东西，或 需求的东西。 “求解题”可以是理论的或实际的，抽象的或具体的，严肃 的问题或仅仅是谜语。我们可以寻求各种各样的未知数。我 们可以尝试去发现、得到、获取、产生、或者构造所有各种 各样想象得到的对象。在侦探小说里，未知数是个凶手 在下棋问题中，未知数是棋手的下一步棋。在某些初等代数 问题中，未知数是一个数。在一个几何作图问题中，未知数 是一个图形。
“求解题”的主要部分是：未知数、已知数据与条件。
未知数
解关于
x 的不等式
log a (ax 2 ) log a x 2
已知数据、条件
(a 0, a 1)
含有参数 对数形式 含有绝对值
去“
”
去掉“ log ”`
log a x t
1 2t t 2
1 t 2 1 t0 2
进展与成就
解题中的进展与成就包含以下内容 (1)为了解题，我们必须具备本论题方面的知识并且必须对我们现 有的，但原来属于休眠状态的知识进行挑选并收集相关内容。我们对 该问题的理解在问题结束时总比开始时要丰富得多；增加了些什么呢? 从我们的记忆中，我们成功地汲取了什么呢?为了得到解答，我们必 须回忆各式各样的基本事实。如果是个数学问题，则我们为了得到解 答，必须回忆以前解答过的问题，已知的定理和定义
• 例题 一个老太太挎一筐生鸡蛋去卖。第一人 买走半筐另半个生鸡蛋，第二人买走筐中剩下 的一半另半个鸡蛋... ... 照此法则买下去， 第七个人买完之后，筐中没有鸡蛋了。问老太 太的筐中共有多少生鸡蛋。 • 联想（五猴分桃） 五只猴子分一堆桃子，不能均分，商量好第二 天再分。夜晚，第一只猴子起来，吃掉一只， 可以均分，分好拿走属于自己的一份；随后第 二只猴子起来，吃掉一只，可以均分，分好拿 走属于自己的一份；------依此类推，五只猴子 都做了同样的事情，问这堆桃子最少有几个？
“反过来思考” 鸡蛋总数是奇数，买走偶数还剩下奇数。 第七个人 剩1个 第六个人 剩3个（3/2+1/2=2剩一个 ） ..................
a n 1 2a n 1
1,3,7,15,31,63,127
• 在解决一个数学问题时，我们经常从非常清楚的 概念出发，这些概念在我们心中是井然有序的。 在解决一个实际问题时，我们被迫从颇为含糊不 清的概念出发；于是把这些概念搞清楚可能成为 问题的一个重要部分。这样，今天的医学比巴斯 特以前的时代更有能力去检验传染病，那时“传 染”这一概念本身还是颇为模糊的。 你是否已将 问题包含的所有必要的概念都考虑在内?对于各 类问题来说，这都是个很好的问题。但它的应用， 随着所涉及的概念性质而变化很大。
实际问题与纯数学问题的区别 未知数、已知数据与条件要比数学问题更复杂并且定义 得没那么清楚。
实际问题 实际问题 建筑师的专业知识及经验（材料强度的科学理论、专门技术文献中储存的大量工 程经验） 概念的理解（流体压力或固体内部应力应变）————模糊
设想一个古代埃及堤坝的建造者在想些什么。 他当然看见过各式各样的坝(或许较小)：土造的或砖石砌成的防水堤。他 看见过挟带各种泥石的洪水向堤岸压来。他可能协助整治过洪水所产生的侵蚀 与破损。他可能看见过在洪水冲击下决口的堤坝。他肯定听说过关于经受几世 纪考验的堤坝或由于意外决口酿成大祸的故事。在他的脑海中可能已经描绘了一幅河水压 迫堤面和内部应力应变的情景。 然而埃及堤坝建造者并没有关于流体压力或固体内部应力应变方面的精 确定量的科学概念。他所知道的关于流水侵蚀、淤泥流迂、某些材料的弹塑性以及其他尚 未弄清的特性方面的知识，就是这样一种带有经验性的知识。
实际问题中的近似
在建立和解决从实际问题引出的数学问题时， 我们通常只能满足于近似。我们不得不舍去实际问 题中的某些次要的数据和条件。因此在计算中允许 有小的误差是合理的，特别当我们失去精确性但获 得简单性的时候更是如此。
实际问题中的近似 关于引起普遍兴趣的近似问题还可以谈很多。然而，我们不能假定读 者有任何专门化的数学知识，所以我们这里仅限于举出一个直观而富有启发 性的例子。 画地图是个重要的实际问题。 设计一张地图时， 我们常常假定地球是圆的。 但这仅是个近似的假设而并非精确的真理。地球表面完全不是一个数学上所 定义的球面，而且我们清楚地知道，地球在两极变成扁平。然而，假定地球 是个球，我们可以更容易画出它的地图。我们在简单性方面所获甚多而在精 确性方面所失并不太多。事实上，我们设想有个球和地球一模一样，它在赤 道处的直径为25英尺，由于地球两极扁平，所以它两极间的距离小于25英 尺，但仅仅短一英寸。因此球体是一个很好的实际近似。
实际问题
对数据的处理不同
在一个陈述的数学问题中，所有已知数据与有关条件的所有条款都是必不 可少的，从而必须加以考虑。在实际问题中，我们有大量的已知数据与条件； 我们力求尽可能多地加以考虑，但我们却不得不忽略一部分。就拿大坝设计者 为例来说吧，他考虑了公众的利益和重大的经济利益，但他不得不舍去次要的 要求与损害。严格说来，他问题中的已知数据是数不胜数的。例如，他可能愿 意多了解一些地基的地质性质，但他最后毕竟必须停止收集地质数据，虽然不 可避免地仍然有一些不清楚的地方。 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?当我们处理纯数 学问题时，我们不能放过这些问题。但在实际问题中，我们应当改变这些问题 的形式： 你是否利用了可能对求解有显著作用的所有数据?你是否利用了可能对 求解显著影响的全部条件?我们估量一下现成可用的有关资料，如果必要的话， 我们再去收集一些，但最终我们必定要停止收集，我们必会在某处划地为界不 再越雷池一步，我们不能不忽略某些东西；正是：“若要航行无险，除非永不 下海”。常常存在着大量过剩数据，这些过剩数据对解答的最终形式其实并无 明显影响。
（2)然而，为了解题，仅收集上述孤立的事实是不够的，我们还必须 把上述事实组合起来，并使之比较适用于我们手头的问题。这样，在 解一个数学问题时，我们必须将所收集到的材料联成适用的一个整体， 从而构造一种引理。这种加以组合和使之适用的活动可取名为“组 织”。
进展与成就 (3)实际上，动员和组织绝不能真正相互分开。当我们全神贯注地解题时， 我们仅仅回想那些与我们目的多多少少有联系的事情，并且除了我们已经收 集 和动员的资料以外，别无其他内容可加以联系和组织。 动员与组织只不过是同一复杂过程的两个侧面，这种过程还有许多其他侧 面。 (4)工作进展的另一侧面是：概念变换的方式。收集了资料并进行加工以 后，我们关于问题的概念在结束时比在开始时丰富得多了。由于我们想从初 始的概念前进到一个更满足要求的、更适用的概念，我们可以尝试从不同的 观点并从各个不同的侧面观察此问题。如果不“变化问题”，我们几乎不能 有什么进展。 (5)探索式论证。 (6)趋向解答的进展是什么?