6-1：等差数列、等比数列的概念及求和

合集下载

等差数列与等比数列的基本量运算

等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示．即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-，得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=；当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和．解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；当时，；当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ，所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。

等差数列和等比数列相乘的求和公式

等差数列和等比数列相乘的求和公式等差数列和等比数列是初中数学中的重点内容，学习它们对于提高数学能力具有极大的帮助。

今天我们来讲一下等差数列和等比数列相乘的求和公式。

首先，我们先来说一下等差数列。

所谓等差数列就是一个数列，其中每一项与它的前一项的差相等。

那么，等差数列的和是多少呢？等差数列的和可以用以下公式来表示：S = n(a1 + an)/2其中，S 表示等差数列的和，n 表示等差数列的项数，a1 表示等差数列的首项，an 表示等差数列的末项。

接下来，我们再看一下等比数列。

所谓等比数列就是一个数列，其中每一项与它的前一项的比相等。

那么，等比数列的和是多少呢？等比数列的和可以用以下公式来表示：S = a1(1 - q^n)/(1 - q)其中，S 表示等比数列的和，n 表示等比数列的项数，a1 表示等比数列的首项，q 表示等比数列的公比。

好了，接下来我们看看等差数列和等比数列相乘的求和公式。

当等差数列和等比数列相乘时，我们可以使用以下公式来计算它们的和：S = (a1d - a1q^n+1)/(d - q)其中，S 表示等差数列和等比数列相乘的和，n 表示等比数列的项数，a1 表示等比数列的首项，d 表示等差数列的公差，q 表示等比数列的公比。

通过这个公式，我们可以快速计算等差数列和等比数列相乘的和，这对于我们在学习数学中遇到一些计算上的难题时非常有用。

总结起来，等差数列和等比数列相乘的求和公式用来计算这两个数列相乘后的和。

它是由等差数列和等比数列的公式组合得出的。

对于初学者来说，掌握这个公式能够极大地提高解题的效率。

高考数学总复习 6-1数列的概念课件新人教B版

点评：根据数列的前几项写通项时，所求的通项公式不是唯一的．其中常用方法是观察法．观察 an 与 n 之间的联系，用归纳法写出一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．联想与转换是有效的思维方法，它是由已知认识未知、将未知转化为已知的重要思维方法．
(文)写出下列数列的一个通项公式： (1)1，85，175，294，…，an＝________. (2)－1，32，－13，34，－15，12，…，an＝________.
3 ．已知 {an} 的前 n 项和 Sn 求 an 时，用 an ＝
S1
n＝1，
Sn－Sn－1 n≥2.
求解应注意分类讨论．an＝Sn－Sn－1 是在
n≥2 条件下求出的，应检验 a1 是否适合．如果适合，则合写
在一块，如果不适合，则分段表示．
思想方法技巧
一、求数列的通项公式常见的有以下三种类型 1．已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④ 综合写出项与项数的关系．
●命题趋势主要命题热点： 1．an 与 Sn 的关系 2．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、求和公式． 3．简单的递推数列及归纳、猜想、证明问题．
4．数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何综合问题． 5．数列应用题． 6．探究性问题．
●备考指南 1．数列是一种特殊的函数，要善于利用函数的思想来解决数列问题． 2．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量 a1、d(或 q)，常通过“设而不求，整体代入” 来简化运算．
(5)将数列统一为32，55，170，197，…，分子 3,5,7,9，…，是等差数列，通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，… 联想到数列 1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn ＝n2＋1，

数列求和公式七个方法

数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。

一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。

二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。

三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。

Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。

四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。

递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。

例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。

五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。

斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。

六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。

设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。

七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。

等差数列、等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。

2、等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+-变形推广：mn a a d mn --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4、等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-2An Bn =+（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

等差数列与等比数列的求和

等差数列与等比数列的求和等差数列与等比数列的求和是数学中常见的问题。

它们在数学和应用数学的许多领域中都具有重要的作用。

本文将分别介绍等差数列与等比数列的概念，并详细讲解它们的求和公式和求和方法。

一、等差数列的求和等差数列是指数列中相邻的两项之差是一个常数的数列。

常用的求和符号为∑（sigma），表示将数列中的所有项相加。

等差数列的求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。

举例来说，若等差数列的首项为a1，公差为d，共有n项，则数列的前n项和可以表示为：Sn = (a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + a1 + (n - 1)d)= (n / 2) * (a1 + an)= (n / 2) * (2a1 + (n - 1)d)其中，第一个等号是将等差数列展开后相邻的项相加，第二个等号是根据等差数列的性质进行化简得到的。

二、等比数列的求和等比数列是指数列中相邻的两项之比是一个常数的数列。

常用的求和符号同样为∑（sigma）。

等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示数列的前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。

举例来说，若等比数列的首项为a1，公比为q，共有n项，则数列的前n项和可以表示为：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，分子的1 - q^n是根据等比数列的求和性质进行的化简。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列的求和公式在实际应用中有广泛的用途。

它们在经济学、物理学、统计学等领域中都有应用。

1. 经济学中，等差数列可以用来表示资金的增长或减少等情况。

通过求和公式，可以方便地计算出一段时间内资金的总和。

2. 物理学中，等差数列可以用来表示物体的运动情况。

通过求和公式，可以计算出一段时间内物体的位移或速度。

等比数列的求和公式

等比数列的求和公式等比数列是指一个数列中的每一个项都等于前一项乘以相同的常数。

求和公式是指计算等比数列前n项和的表达式。

在等比数列中，每一项的公式可以表示为：$$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$$其中，$a_n$表示第n项，$a_1$表示第一项，r表示公比。

我们需要知道的是等比数列的前n项和。

假设等比数列的前n项和为S，我们可以通过一种简单的方法推导出等比数列的求和公式。

让我们从一开始推导以便更好地理解这个公式。

设等比数列的首项为$a_1$，公比为r。

那么前n项和可以表示为：$$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$$将等比数列的通项公式代入上式，得到：$$S = a_1 + a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)}$$将等比数列中的首项乘以公比的n-1次方，我们可以观察到以下现象：$$r \cdot S = a_1 \cdot r + a_1 \cdot r^2 + \ldots + a_1 \cdot r^{(n-1)} + a_1 \cdot r^n$$将等式两边相减：$$S - r \cdot S = a_1 - a_1 \cdot r^n$$整理后得到：$$S(1-r) = a_1(1-r^n)$$由此，我们可以解出前n项和的公式：$$S = \frac{{a_1(1-r^n)}}{{1-r}}$$这就是等比数列的求和公式。

通过这个公式，我们可以轻松地计算等比数列的前n项和，无论n 的大小如何。

需要注意的是，在使用等比数列的求和公式时，必须确保公比r不等于1。

当r等于1时，等比数列变为等差数列，此时前n项和的公式为$S_n = n \cdot a_1$。

因此，等差数列的求和公式和等比数列的求和公式是不同的。

总结：等比数列的求和公式为$S = \frac{{a_1(1-r^n)}}{{1-r}}$，其中$a_1$为首项，r为公比，n为项数。

等比数列和等差数列求和公式

等比数列和等差数列求和公式
在数学中，等比数列和等差数列是最基础的数列类型之一。

它们
是数学所研究的一种对象，具有很高的实用价值。

在实际生活中，我
们经常会遇到各种各样的数列问题，比如投资计算、复利计算、人口
增长预测等等，这些问题都涉及到数列的计算。

因此，学习等比数列
和等差数列求和公式是很重要的。

等比数列是指数列中的每一项都是前一项乘以固定的比例因子，
比如1，2，4，8…，其中每一项是前一项的2倍。

等比数列的求和公
式是: Sn = a1 (1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn表示等比数列的前n项和，a1是数列的首项，q是比例因子。

这个公式非常实用，可以方便
地计算出任意项数的等比数列的和。

对于等差数列，其每一项都是前一项加上固定的公差，比如2，5，8，11…，其中每一项是前一项加上3。

等差数列的求和公式是: Sn =
n(a1 + an)/2，其中Sn表示等差数列的前n项和，a1是数列的首项，an是数列的第n项。

这个公式也非常实用，可以方便地计算任意项数
的等差数列的和。

需要注意的是，当等比数列或等差数列的项数比较多时，使用求
和公式计算会很麻烦。

因此，在实际应用中，我们可以使用计算机等
工具进行计算，以节省时间和提高精度。

总之，了解等比数列和等差数列求和公式对于数学的学习和实际
生活都会有很大的帮助。

希望大家能够认真学习这些公式，逐步提高
解决各种数列问题的能力，让数学成为你们生活和工作中的得力工具。

高中数学等比数列知识点总结

高中数学等比数列知识点总结高中数学等比数列知识点总结上学期间，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编帮大家整理的高中数学等比数列知识点总结，欢迎阅读与收藏。

高中数学等比数列知识点总结篇11.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an+1/an=q(n∈N_，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G 是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2=ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an=a1qn-1.3.等比数列{an}的常用性质(1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N_)，则am·an=ap·aq=a.特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=….(2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn-m.4.等比数列的'特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数.(2)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.5.等比数列的前n项和Sn(1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.高中数学等比数列知识点总结篇21.等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

等差等比数列通项及前N项和公式

等差等比数列通项及前N项和公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。

在数列中，等差数列和等比数列是最基本的两种形式。

而通项公式和前N项和公式则是用来表示等差数列和等比数列的重要公式。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念，并给出它们的通项公式和前N 项和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d2.前N项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前N项的和为Sn，则等差数列的前N项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2在等差数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。

根据这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的前N项和。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，这个常数称为公比。

等比数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)2.前N项和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，前N项的和为Sn，则等比数列的前N项和公式为：Sn=(a1*(q^N-1))/(q-1)（当q≠1时）在等比数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。

需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列通项公式中含有0的指数项，这时候通项公式的形式为an = a1，等比数列变成了一个常数数列。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。

在实际生活中，很多事物的变化规律都可以用等差数列或等比数列来描述。

1.等差数列应用举例：（1）一些数学问题中常常出现等差数列的求和问题，比如计算一些等差数列的前N项和，这在数学竞赛中是经常出现的题型。

等比数列的概念与计算

添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
适用范围：适用于等比数列的前n 项和公式的推导
注意事项：在应用错位相减法时活中的应用
储蓄和投资：等比数列可以用于计算复利，评估投资回报。贷款和债务：利用等比数列理解利率如何增长，以及如何制定还款计划。计算机科学：在数据压缩、加密和网络流量分析中，等比数列有重要应用。物理学：在量子力学和统计学中，等比数列用于描述粒子的能级和分布。
适用范围：适用于已知首项、公比或项数的等比数列
计算步骤：a. 确定首项、公比或项数 b. 选择适当的公式进行计算 c. 得出结果
注意事项：a. 计算时要注意各项的正负号 b. 当公比为1时，等比数列变为常数列 c. 当n为奇数时，等比数列的和等于中间项的n倍
公式法
等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1) 等比数列的求和公式：Sn=a1/(1-q) 等比数列的公比计算公式：q=an/a(n-1) 等比数列的项数计算公式：n=log(an/a1)/log(q)
等比数列的表示方法
用符号表示：a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是项数。
举例说明：如果数列3、6、12、24、 48……就是等比数列，因为从第二项起，每一项与它的前一项的比都是2。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
用文字表示：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目录
什么是等比数列
等比数列的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。等比数列的特点：每一项与它的前一项的比值都相等，且这个比值是一个常数。等比数列的表示方法：通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。等比数列的应用：在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如组合数学、概率论、统计学等。

初中数学数列知识点

初中数学数列知识点数列是数学中非常重要的概念，它在初中数学中占据着重要地位。

数列是由一系列按照其中一种规律排列的数字所组成的序列。

初中数学中关于数列的知识点主要包括等差数列、等比数列、通项公式、前n项和等方面的内容。

以下将详细介绍这些知识点。

一、等差数列等差数列是指数列中任意相邻两项的差都相等的一种数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d，其中n代表第n项。

1.等差数列的前n项和公式：等差数列前n项和的公式为Sn = (a₁ + an)*n/2 = (2a₁ + (n-1)d)*n/22.等差数列中通项公式的推导：设等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，则an = a₁ + (n-1)d，代入n = a₁ + (n-1)d得an = a₁ + a₁ + (n-1)d = 2a₁ + (n-1)d。

3.等差数列中求和公式的推导：设等差数列的前n项和为Sn = a₁ + a₂ + ... + an，将每一项与对应项相加得Sn = (a₁ + an) + (a₂ + a(n-1)) + ... = (a₁ + an)*n/2二、等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比值都相等的一种数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)，其中n代表第n项。

1.等比数列的前n项和公式：等比数列前n项和的公式为Sn=a₁*(q^n-1)/(q-1)。

2.等比数列中通项公式的推导：设等比数列的首项为a₁，公比为q，项数为n，则an = a₁ * q^(n-1)。

3.等比数列中求和公式的推导：设等比数列的前n项和为Sn = a₁ + a₂ + ... + an，与前一项相乘得q*Sn = a₁*q + a₂*q + ... + an*q，两式相减得(1-q)*Sn = a₁*(q^n -1)/(q - 1)。

等差数列、等比数列、求通项方法、求和方法总结

等差数列1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．642.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6703.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为（填“递增数列”或“递减数列”）3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a bA += a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2）例：1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （）A ．120B ．105C ．90D ．752.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A ．1 B.2 C.4 D.84、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 5、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+n da ）（2n 2112-+=。

等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法

等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法数列是数学中重要的概念之一，是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

其中，等差数列和等比数列是最常见且最重要的两种数列。

本文将介绍等差数列和等比数列的相关性质和公式，以及数列的求和方法。

一、等差数列等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差都相等的数列。

常见的等差数列通常以"a"开头，公差为"d"。

以"an"表示等差数列的第n项，其通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a为首项，d为公差，n为项数。

等差数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等差中项数列，中项数等于项数减一2.等差数列的前n项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2其中，Sn为前n项和。

二、等比数列等比数列是指数列中的任意两个相邻的项之比都相等的数列。

常见的等比数列通常以"a"开头，公比为"r"。

以"an"表示等比数列的第n项，其通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。

等比数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等比中项数列，中项数等于项数减一2.等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(r^n-1)/(r-1)其中，Sn为前n项和。

数列的求和是指计算数列中一定项数的所有项的和。

常见的数列求和方法有以下几种：1.直接相加法：即将数列中的每一项相加得到和。

适用于项数较少、数值较小的数列。

2.通项法：利用数列的通项公式计算出每一项的值，再将这些值相加得到和。

适用于项数较多的数列。

3.分组求和法：将数列分成若干组，然后计算每组的和，最后将每组的和相加得到总和。

适用于数列中存在规律性的分组。

4.差分法：对等差数列求和，可以通过差分法简化计算。

差分法是指利用等差数列的性质，将数列的求和问题转化为差分的求和问题。

等差等比数列的含义求和公式分别是什么

等差等比数列的含义求和公式分别是什么等差等比数列的概念等差数列是指从其次项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。

这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。

通项公式为：an=a1+(n-1)*d。

首项a1=1，公差d=2。

前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

留意：以上n均属于正整数。

等比数列是指从其次项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。

其中{an}中的每一项均不为0。

注：q=1时，an为常数列。

等比数列的性质1、在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am⋅an=ap ⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2。

2、若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an⋅bn}{an⋅bn}，{anbn}{anbn}仍旧是等比数列。

3、在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，⋯an，an+k，an+2k，an+3k，⋯为等比数列，公比为qkqk。

4、q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2，S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q。

5、等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和的取值，an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。

等差数列的基本性质1，公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

小学数学中的等差数列与等比数列

小学数学中的等差数列与等比数列数学在小学阶段的学习是非常重要的，其中包括了等差数列和等比数列的学习。

等差数列和等比数列是数学中常见的序列形式，对于数学知识的理解和应用有着重要的作用。

本文将介绍小学数学中的等差数列和等比数列的概念、性质以及应用。

一、等差数列等差数列是指一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）的数列。

其中，首项为a，公差为d。

等差数列的通项公式为An=a+(n-1)d。

在小学阶段，对于等差数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解首先，学生需要理解等差数列的概念，即一组数字按照相等的差值逐次增加（或递减）。

可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中差值为3。

2. 判断等差数列学生需要学会判断给定的数列是否为等差数列。

可以通过观察相邻两项的差值是否相等来判断，如果相等则为等差数列。

同时，学生需要注意等差数列的公差是固定的，也就是说差值是保持不变的。

3. 求和公式学生需要了解等差数列的求和公式，即Sn=n/2(a+l)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，l表示末项。

通过掌握求和公式，可以简化对等差数列求和的计算。

二、等比数列等比数列是指一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）的数列。

其中，首项为a，公比为r。

等比数列的通项公式为An=a*r^(n-1)。

在小学阶段，对于等比数列的学习主要包括以下几个方面：1. 概念理解同样，学生需要理解等比数列的概念，即一组数字按照相等的比值逐次增加（或递减）。

可以通过具体的数列例子来帮助学生理解，比如2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中比值为2。

2. 判断等比数列学生需要学会判断给定的数列是否为等比数列。

可以通过观察相邻两项的比值是否相等来判断，如果相等则为等比数列。

同时，学生需要注意等比数列的公比是固定的，也就是说比值是保持不变的。

3. 求和公式学生需要了解等比数列的求和公式，即Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。

探索初二数学教材中的等差数列与等比数列

探索初二数学教材中的等差数列与等比数列在初二数学教材中，等差数列与等比数列是学习的重点内容，它们在数学中具有重要的地位和应用。

本文将探索初二数学教材中的等差数列与等比数列的概念、性质、求和公式以及实际应用，帮助同学们更好地理解和掌握这两个数列。

一、等差数列的概念与性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等。

这个相等的差值被称为等差数列的公差。

等差数列常用字母表示，例如：a，a+d，a+2d，a+3d...其中，a为首项，d为公差。

在初二数学教材中，等差数列的性质包括：1. 通项公式：第n项的通项公式为an = a + (n-1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。

2. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2(a + an)，其中Sn表示前n项的和。

3. 正向差与逆向差相等：等差数列中，从首项开始计算的正向差与从末项开始计算的逆向差是相等的。

二、等差数列的应用等差数列有广泛的应用，尤其在实际生活中。

下面将介绍几个常见的应用场景：1. 阶梯数列：楼梯的台阶数就是一个等差数列，可以利用等差数列的知识计算楼梯的总台阶数或者某一层的台阶数。

2. 公交车站的候车时间：如果一辆公交车每隔固定时间发车一次，那么站在公交车站的人数就是一个等差数列，可以通过等差数列的性质计算出候车的总人数或者某一时刻的人数。

3. 银行存款利息：某银行的活期存款利率为0.5%，每月计算利息一次，那么存款一年后的总利息就是一个等差数列，可以通过等差数列公式计算出每月的利息。

三、等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之比都相等。

这个相等的比值被称为等比数列的公比。

等比数列常用字母表示，例如：a，ar，ar^2，ar^3...其中，a为首项，r为公比。

在初二数学教材中，等比数列的性质包括：1. 通项公式：第n项的通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n 项，a表示首项，r表示公比。

等比数列的和与差

等比数列的和与差数列是数学中一种重要的概念，它在不少领域都有广泛的应用。

其中，等差数列和等比数列是最常见的数列类型之一。

本文将对等差数列和等比数列的和与差进行详细阐述。

一、等差数列的和与差等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

如果数列的首项为a，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d其中，an表示数列的第n项。

等差数列的和可以通过以下两种方法计算。

1.1 等差数列的求和公式等差数列的求和公式可以用来计算数列的前n项和Sn。

具体公式如下：Sn = n/2 * (a + an)其中，Sn表示数列的前n项和，n表示项数。

1.2 等差数列的差值计算公式等差数列的差值可由以下公式计算：d = an - a其中，d表示等差数列的公差。

二、等比数列的和与差等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

如果数列的首项为a，公比为r，则数列的通项公式可以表示为：an = ar^(n-1)其中，an表示数列的第n项。

等比数列的和可以通过以下两种方法计算。

2.1 等比数列的求和公式等比数列的求和公式可以用来计算数列的前n项和Sn。

具体公式如下：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示数列的前n项和，n表示项数。

2.2 等比数列的差值计算公式等比数列的差值可由以下公式计算：r = an / a其中，r表示等比数列的公比。

三、等差数列与等比数列的比较等差数列与等比数列在求和和差值方面存在一些区别。

3.1 求和公式比较对于等差数列的求和公式，可以直接通过项数n、首项a和公差d 来计算前n项和Sn。

而对于等比数列的求和公式，除了需要项数n、首项a和公比r外，还需要进行幂运算。

因此，在计算上等差数列的求和公式相对简洁。

3.2 差值计算公式比较等差数列的公差可以直接通过通项公式中的两项计算得出，而等比数列的公比则需要通过通项公式中的两项相除计算得出。

因此，等差数列在计算差值时相对更为直观。

条件求和的一些方法

条件求和的一些方法条件求和是指根据一定条件将一系列数字相加的计算方法。

在数学中，条件求和是重要的概念，可根据问题的不同，采用不同的方法来求解。

以下将介绍一些常见的条件求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、利用积分求解、利用递推关系式求解等。

1.等差数列求和：等差数列是指具有相同公差的数列。

要求这类数列的和，常用的方法是利用等差数列求和公式。

对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

可以利用等差数列求和公式Sn = n(a1 +an)/2来求和。

2.等比数列求和：等比数列是指具有相同公比的数列。

要求这类数列的和，常用的方法是利用等比数列求和公式。

对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

可以利用等比数列求和公式Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)来求和。

3.利用积分求解：对于一些复杂条件求和问题，可以通过转换为连续函数来利用积分进行求解。

将离散的求和问题转化为连续函数的积分可以简化计算过程。

例如，对于连续函数f(x)求和的问题，可以用积分来表示：求和∑(n=1 to N)f(n)可以表示为积分∫(x=1 to N)f(x)dx。

4.利用递推关系式求解：有时候，条件求和问题可以利用递推关系式来求解。

递推关系式指的是将当前项与前一项之间的关系表示为一个式子。

比如，对于斐波那契数列的求和问题，可以利用递推关系式F(n)=F(n-1)+F(n-2)来求解。

除了上述常见方法之外，还有一些其他特殊条件下的求和方法，如傅里叶级数求和、变动求和等。

这些方法在特定的数学领域或问题中有较广泛的应用。

总之，对于条件求和问题，需要根据具体的问题条件，选择合适的求和方法，合理运用数学知识和技巧进行求解。