定积分的应用-1

合集下载

定积分在经济学中的应用1

定积分的应用
定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。

文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。

积分学是微分学和积分学的总称。

由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。

可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。

微积分是与应用联系着并发展起来的。

定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。

本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题
2 利用定积分由变化率求总量问题
3 用定积分求经济函数的最大值和最小值
4 利用定积分求消费者剩余与生产者剩余
5 利用定积分决定广告策略问题
定积分在数学中占主导地位。

同时，它和经济学也有很大的联系，以上几个方面的应用也只是定积分在经济学中应用的一部分, 定积分还有很多在经济学中的应用之处。

只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。

定积分的应用一-2022年学习资料

求由连续曲线y=fx,y=gx及x=a,x=b-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=['lfx-gxl x.a<b-类似地，-求由连续曲线x=py,x=y及y=c,y=d-A=∫1p-y1dy.-c<d
例1-求曲线y=x2与直线x+y=2所围成的平面图形的面积.-解-1求积分区间-联立方程组-「y=x-求得点：A-2,4,B1,1.-积分区间x∈[-2,1].-微分元素dA=[2-x-x2]dx.-3计算面积-可e-wa2-4分
为简便和醒目起见略去下标，将具有代表性的第个-小区间[x-1,x]表示为[x,x+dx],称之为典型小区间取-5:为区间的左端点x,则有-△A≈fxdx.-通常称fxdx为量A的微分元素或积分元素，记为-dA=f dx.-由量A对区间的可加性取极限过程dx→0（相当于-‖△x→0，将微分元素dA在区间[a,b]上“无限加”起来-即作定积分就得到量A在区间[α，b]上的值：-A=∫°dA=fxdx.-简言之，我们在这里将定积解为微分元素的无限剥加.
求由曲线r=rO及射线r=a,r=Ba<B-所围成的平面图形的面积的计算公式为-A=∫2dA=∫2r0d0 该公式也称为极坐标系种曲边扇形的面积公式
求圆r=3cos0与心形线r=1+cos0所围成的-例7-平面图形的面积.-解-由对称性，求出上半部分的面 A,则A=2A-r =3cos 0-1求积分区间联立方程组-∫r=3cos0-2微分元素-当0≤0≤g时，边为r=1+cos日，dA=号1+cos62d0-0≤7时，曲边为r=3cos0,dA=6cosd8,
例5-求由摆线x=at-sint,y=aI-cost的第一拱-0≤t≤2π与横轴x所围成的平面图形的面积. 解-1求积分区间-x:0→2πa时，t:0→2π.-2求微分元素-2na x-d A=l yldx=a1ostdat-si1-cost2dt-1-2cost+cos'dt-A =3xd.

定积分的应用教案

定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章：定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章：定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章：定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型，如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章：定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章：定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章：定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章：定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一：定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念，它表示的是曲线下的面积。

定积分在高中物理中的应用

定积分在高中物理中的应用
在高中物理中，定积分是一种重要的数学工具，用于计算物理量的总和。它在许多领域中都有应用，包括力学、电动力学、热学和声学。
在力学中，定积分可用于计算力的作用矩，这是力在质点上所产生的转动效应。例如，当一个质点在重力场中运动时，可以使用定积分来计算这个质点的动能。
在电动力学中，定积分可用于计算电动势的总和，从而得出电动力的总和。例如，当一个电荷在电场中运动时，可以使用定积分来计算这个电荷的电动势能。
在声学中，我们也可以使用定积分来计算声压力的分布情况。假设我们有一个声源在空气中传播声波，并且我们已知声压力的分布情况。我们可以使用定积分来计算声压力的总和，即声功率。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算声功率：
P=∫pv
其中P是声功率，p是声压力，v是声速。
我希望这些信息能帮助你理解定积分在高中物理中的应用。
假设我们已知质点的质量为m，加速度为g，则质点的动能E=mgh，其中h是质点的高度。我们可以使用定积分来求出质点的动能E的变化量：
∆E=∫F∆x=∫mg∆h。
这样，我们就可以通过定积分来计算质点在重力场中运动过程中动能的变化量。
在电动力有一个电荷在电场中运动，并且我们已知电场的电势分布情况。我们可以使用定积分来求出这个电荷在运动过程中电动势能的变化量。
在热学中，我们可以使用定积分来计算温度在物体中的分布情况。假设我们有一个物体在热源的作用下受热，并且我们已知物体的温度分布情况。我们可以使用定积分来计算物体的热容量，即物体在单位温度变化下所能吸收的热量。
具体来说，我们可以使用以下公式来计算物体的热容量：
C=∫∆Q/∆T
其中C是物体的热容量，∆Q是物体在单位温度变化下所能吸收的热量，∆T是温度的变化量。

高等数学讲义第10集——定积分及其应用 (1)

A
0
由的任意性知
1
lim ( 1 f (x) p dx) p A
p 0
1
ax
例 5. 计算 arctan
dx
0
ax
[分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限.
[解法 1] 令 t arctan a x ax
3
则
x
a1 1
tan 2 tan 2
t t
a cos 2t
,
故
原式=
0
其中 0 a , a 1
又 f (x) 单调减，则 f ( ) f ( ) ，故原式得证.
[证明 2]
a
1
0 f (x)dx a0 f (x)dx
a
1
= 0
f (x)dx a0
f (x)dx
a
1
(1 a)0 f (x)dx aa f (x)dx
(1 a)af (a) (1 a)af (a)
又
0= f (x)cos xdx cos xdF (x)
0
0
=[F (x)cos x]0
F (x)sin xdx
0
= F(x)sin xdx 0
x
对 (x) F (t)sin tdt 在[0, ] 上使用拉格朗日微分中值定理得 0
0= f (x)sin xdx ( ) (0) F( )sin , 0< < . 0
0 1 x 1 x 0 1 x
0
= e 1e xdx e 1
20
2
1 (x 11)ex
[解法 2]
原式=
0
(1 x)2
dx
=
1 e x dx 01 x

第十章定积分的应用(一)

0
π
= abπ .
a x
1 1 2 = x 、y 例2 与直线 x = 3 、 2 2 1+ x x = 3 所围成的图形的面积。解：由对称性，图形面积是第一象限部分的两倍。 2 1 3 x 1 x2 1 S =2[ ∫ ( )dx + ∫ ( )dx ] 2 2 0 1+ x 1 2 2 1+ x 求曲线 y=
例9 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线x=h 及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。 r 解：过原点 O 及点 P(h，r)的直线方程为 y = x 。 h P ( r , h) r y 所求圆锥体的体积为 y= x h h r 2 r V= ∫ π ( x ) dx 0 h O 2 x h h πr 1 = 2 ∫ x2dx = πhr 2 。 0 3 h
y
Vx = ∫
2π a
0
0
π y dx
2
2 2
y
o
= π ∫ a (1 cos t) a(1 cost) dt
3 π = 2π a (1 cos t)3 dt 0
2π
πa
2πa x
利用对称性
∫
3 2 6 3 5 = 32π a sin u du= 32π a 0 6 2 3
∫
π
3 π 6t =16π a sin dt 0 2
方法2 方法利用椭圆参数方程
则
V = 2∫ π y2 dx = 2π ∫ ab2 sin3t dt
0
a
2 = 2π ab 3 4 = π ab2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3

定积分及其应用 (1)

0 n
2
0 x dx lim 0 i 1
1 2
n
i x i
1 1 1 1 lim 1 2 . n 6 n n 3
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
x cos x sin x cos x( x tan x ) f ( x ) 0, 2 2 x x
f ( x ) 在[ , ] 上单调下降, 4 2
故 x 为最大点， x 为最小点, 4 2
2 2 M f( ) , 4
2 m f( ) , 2
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分
五、定积分性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
并作和 S f ( i )x i ，
n
记 max{x1 , x 2 , , x n }，如果不论对[a , b ]
i 1
怎样的分法，也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I 确定的极限，我们称这个极限为函数 f ( x ) I 在区间[a , b] 上的定积分，记为
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
a f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx

定积分求平面图形的面积

解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线与x 轴所围成的图形面积。 2．求曲线与直线 x=-１,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线与所围成的图形面积。 4.求曲线与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
演讲结速,谢谢观赏
Thank you.
PPT常用编辑图使用方法
1.取消组合
2.填充颜色
3.调图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
商务图标元素
Excellent handout training template
定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线与及x=a,x=b 所围成的图形为如图：
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤： 1.画草图,求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。

定积分-1

0 i 1
n
被积函数
被积表达式
积分变量
积分和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即
a f ( x) dx a f (t) d t a f (u)du
b
b
b

根据定积分的定义曲边梯形的面积为 A a f ( x)dx
思考：证明可积函数一定有界；有界未必可积（举例）
3.定积分的几何意义:
f( x ) 0 , f( x ) d x A 曲边梯形面积 a
b
f( x ) 0 , f( x ) d x A 曲边梯形面积的负值
a
b
y
A1 a
b
A3
A2 A4
A5
b x
f ( x ) d x A A A A A 1 2 3 4 5 a
3 求和 n
i 1
A f ( ) x i i i
Af ( x i) i.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
x i 1 i x i
x n 1 b
x
4 取极限
n
令分法无限变细
x A = lim f (i ) i
0 i 1
.
(2).变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1;
2 近似: 以直代曲 (以常代变)
3 求和 n
i 1
A f ( ) x i i i

1.7 定积分的简单应用(1)

W F ( x)dx
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx kx |0 kL 2 2
练习
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s 间行进的路程.
S (2t 3)dt 22m
3 5
2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下, 沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x)所作的功. 40
3 2
(2)S (e e x )dx 1
0
1
定积分在物理中的应用
一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求汽车在这 1 min 行驶的路程。
3t vt 30 - 1.5t 90 (0 t 10) (10 t 40) (40 t 60)
的图形的面积.
解两曲线的交点
y x 6x (0,0), ( 2,4), ( 3,9). 2 y x
3
y x2
A1
0
2
(x 6 x x )dx
3 2
y x3 6x
A2 ( x x 6 x)dx
2 3 0
3
于是所求面积
0 3
A A1 A2
2
4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 x |0 ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
练习
求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1) S ((2 x 3) x )dx 1 3

定积分的计算与应用 (1)

哈尔滨师范大学学年论文题目定积分的计算与应用学生刘影指导教师皮晓明年级2010级6班专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年12月电话：180045056定积分的计算与应用刘影摘要：定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。

本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。

关键词：牛顿莱布尼兹公式积分定积分恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。

如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。

一、定积分的计算方法1、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限：∑⎰=→∆=nk k kT l bax f dx x f 10)()()(limξ例1 求由抛物线2x y =，]1,0[∈x ，及0=y 所围平面图形的面积。

解根据定积分的几何意义，就是要计算定积分⎰12dx x .显然，这个定积分是存在的。

取分割T 为n 等份，并取k ξnk 1-=，n k ,,2,1 =，则所求面积为： 1220111lim ()nn k k S x dx S n n→∞=-==⋅∑⎰ 2311lim (1)n n k k n →∞==-∑3(1)(21)1lim63n n n n n →∞--==2、用牛顿--莱布尼兹公式计算定积分若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，即)()(x f x F ='，x ∈[a,b],则)(x f 在],[b a 上可积，且 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()( ，这称为牛顿—莱布尼兹公式，它也常写成⎰=baba x F dx x f )()(有了牛顿—莱布尼兹公式后，计算定积分关键就是找)(x f 的一个原函数)(x F 。

定积分的应用教案

定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。

强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。

1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。

通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。

第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。

解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。

2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。

通过具体例子演示换元法的应用。

第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。

利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。

3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。

通过具体例子演示计算曲线围成的面积。

第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。

利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。

4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。

通过具体例子演示计算功的应用。

第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。

利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。

5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。

通过具体例子演示计算总收益的应用。

第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。

利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。

1.定积分的应用(面积)

y = x2
A = ∫0 ( x − x 2 )dx
2 3 x 1 = x2 − = . 3 0 3 3
3 1
1
x
x+dx
求面积的一般步骤：求面积的一般步骤： 1.作图（如果需要求出交点）. 作图（如果需要求出交点）作图微元法 2.用定积分表示面积用定积分表示面积. 用定积分表示面积公式法
2）求出一个元素（如 f ( x )dx 称为量U 的元素）求出一个元素（且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ）；
3)化为定积分 U =
∫
b
a
du
定积分在几何几何上的应用第二节定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1.直角坐标系情形直角坐标系情形
y
y = f ( x)
π
π
3
o π
6
x
3 0
6 0
= − ∫ π sin xdx + ∫ 6 sin xdx
− 3 0
π
= cos x − π + ( − cos x ) 06
3
0
π
3− 3 = 2
说明：注意各积分区间上被积函数的形式．说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：问题：积分变量只能选 x 吗？
例 3
相当于定积分的换元）连续. y = ψ (t )连续（相当于定积分的换元）
x2 y2 的面积. 例 5 求椭圆 2 + 2 = 1的面积 a b x = a cos t 解椭圆的参数方程 y = b sin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．由对称性知总面积等于倍第一象限部分面积．倍第一象限部分面积

-1到1,x方分之一的定积分

-1到1,x方分之一的定积分-1到1，x方分之一的定积分在数学中，定积分是一种重要的概念，用于计算曲线下的面积或曲线长度。

而本文将探讨的是在区间[-1,1]上，函数f(x) = x^2的定积分。

我们需要理解什么是定积分。

定积分可以看作是将一个函数在某个区间上的各点的函数值乘以一个微元长度后相加得到的结果。

在这个例子中，我们要计算的是函数f(x) = x^2在区间[-1,1]上的定积分。

根据计算定积分的方法，我们可以将区间[-1,1]等分为n个小区间，并在每个小区间上取一个代表点，然后计算每个小区间上的函数值f(xi)并乘以小区间的长度Δx。

最后将所有乘积相加，就可以得到定积分的近似值。

假设我们将区间[-1,1]等分为n个小区间，每个小区间的长度为Δx。

那么可以得到每个小区间的代表点为xi = -1 + iΔx，其中i 为小区间的序号，从0到n-1。

因此，每个小区间上的函数值可以表示为f(xi) = f(-1 + iΔx) = (-1 + iΔx)^2。

接下来，我们需要计算每个小区间上的乘积，并将它们相加。

为了简化计算，我们可以使用数值积分的方法，如梯形法则或辛普森法则。

我们来看梯形法则。

根据梯形法则，每个小区间上的乘积可以表示为Δx * (f(xi) + f(xi+1)) / 2。

将所有小区间上的乘积相加，我们可以得到定积分的近似值。

另一种数值积分的方法是辛普森法则。

根据辛普森法则，每个小区间上的乘积可以表示为Δx * (f(xi) + 4f((xi + xi+1) / 2) + f(xi+1)) / 6。

将所有小区间上的乘积相加，我们同样可以得到定积分的近似值。

无论使用梯形法则还是辛普森法则，随着小区间的数量n的增加，定积分的近似值会越来越接近真实值。

因此，我们可以通过增加小区间的数量来提高定积分的精确度。

除了使用数值积分的方法，我们还可以通过解析的方式来计算定积分。

对于函数f(x) = x^2，在区间[-1,1]上的定积分可以通过求解不定积分来得到。