平面任意力系
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第四章平面任意力系详解
同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
理论力学第2章平面任意力系
力系的平衡条件
1 平衡是什么？
当一个力系的合力和 力矩均为零时，力系 处于平衡状态。
2 两种平衡条件
3 例子带你理解
静力平衡：合力为零； 动力平衡：合力和力 矩均为零。
想象一根平衡的杆子 上有两个重物，它们 的合力和力矩必须为 零才能保持平衡。
力系的分解与合成1源自分解为矢量我们可以将力系拆分为矢量来计算各个力的作用效果。
3 举个例子！
假设我们有一辆汽车，它受到来自引擎、摩擦力和空气阻力的多个力的作用，这些力构 成了一个平面任意力系。
力系的合力和力矩
1 合力是什么？
合力指的是将力系中所有力的作用效果合成为一个力的过程。
2 力矩有何作用？
力矩描述了力对物体的旋转效应，它是力与力臂之乘积。
3 实际应用！
在建筑工程中，我们需要计算各个力的合力和力矩，以保证结构的稳定性和安全性。
2 应用广泛
平面任意力系的原理和方法在工程、建筑、力学等领域有着广泛的应用。
3 继续探索
通过实际问题的解题和应用，进一步深入理解和掌握平面任意力系的知识。
2
合成为合力
将分解后的矢量合成为一个力，即合力。
3
应用灵活多样
分解与合成的方法在解决实际问题时非常有用，可以简化复杂的力系分析。
力系的简化
简化示意图
通过使用简化的示意图，我们可以更清晰地表 示和分析复杂的力系。
矢量图
利用矢量图的方法，我们可以将复杂的力系简 化为几个简单的力的作用效果。
解题方法与实例
理论力学第2章平面任意 力系
欢迎来到理论力学第2章的精彩世界！在本章中，我们将了解平面任意力系的 定义、合力和力矩、平衡条件、分解与合成、简化、解题方法、实例以及总 结与应用。
平面任意力系
且其作用线互相平行的力系。
∑ ∑
Yi 0 or
Xi 0
∑
M o Fi 0
A、B两点
∑
M A Fi 0
∑
M B Fi 0
的连线不 能与各力 的作用线 平行
例1：图示吊车，起吊物 重W=30kN，横梁单位长 度重q =4.2N/cm，l=5m， x=l /4。求A、B约束力。
R R2 R2 42kN
O
Ox
Oy
arctg ROy 52.4
ROx
2）求力系的主矩 M A 1 25 2 20 sin60 - 3 18 sin30 32.6kN m
3）求合力作用线到A点的距离 d M A 32.6 0.777
RO 42
个固定矢量。与简化中心密切相关，简化中心不同 其主矩一般也不相同，简化中心就是其作用点。
力系的合力：为主矢和主矩的合力，是一个固定矢量。与
原力系互为等效力系，不仅仅取决于主矢和主矩的 大小、方向及转向，还必须指出其作用线。
例1：正三角形ABC边长为a，受力如图，且F1=F2=F3=F。
求力系的主矢、对A点的主矩及力系合力作用线的位置。
解：1）求力系的主矢
ROx F1 F2 cos 60 F3 cos 60 2F ROy F2 sin60 F3 sin60 0
F3
CC
RO
R2 Ox
R2 Oy
4F2 0 2F
2）求对A点的主矩
2F
A
BB
F1
MA C
M A aF2 sin60 0.87aF
平面任意力系
平面任意力系
平面任意力系是探究力学问题中采用的一种数学模型。
该模型被广泛用于研究坐标系内的任意力的作用的原点以及其对物体的影响。
它是一种理论模型，用于理解物体在任意力作用下的受力方向和大小。
平面任意力系以三个坐标轴x, y以及z为基础，以这三个轴上的一组受力大小作为决定物体位置、速度和加速度的参数来描述它。
在静力学中，平面任意力系经常被用来模拟物体受若干外力作用下的质点力学运动。
假设物体受到x轴、y轴和z轴上的n条外力作用，其受力状态可以用平面任意力系来描述。
这些外力在平面任意力系上唯一确定，根据它们的方向以及大小可以计算得到受力物体的转动惯量和转矩。
在运动学中，平面任意力系也被用来描述物体的位置、速度和加速度情况。
根据物体受到的初始加速度以及力学运动的运动方程，可以求得物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
这也可以看作是在一组外力的作用下，物体在平面任意力系中运动的过程，通过求解平面任意力系可以计算出物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
平面任意力系是一个复杂的理论模型，但它可以简单有效地用于模拟坐标系内多外力作用情况下物体受力情况以及物体的运动状态，在力学和运动学方面都显示出其重要的应用价值。
工程力学—平面任意力系
置a＝2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
FAx FT cos 0 (1)
FAy
FAx
Fy 0
A
FT
E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0
Q
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
从(3)式解出
FT
1
sin
l
FR
O
O′
d
4.3 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (FR ) FRd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (FR ) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
解之得：
FAx P cos
m Pb sin
FAy
a
FB
m
P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
补充内容： 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端约束。
A
FA A MA
MA
FAy FAx
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
FAx FT cos 0 (1)
FAy
FAx
Fy 0
A
FT
E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0
Q
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
从(3)式解出
FT
1
sin
l
FR
O
O′
d
4.3 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (FR ) FRd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (FR ) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
解之得：
FAx P cos
m Pb sin
FAy
a
FB
m
P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
补充内容： 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端约束。
A
FA A MA
MA
FAy FAx
材料力学第4章 平面任意力系
MO
M1
M
2
M
n
(2-2)
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它
反映了原力系中各力的作用线相对于点O的分布情
况，称为原力系对点O的主矩。
理论力学
静力学
平面任意力系
15
平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般 可以得到一个力和一个力偶；该力作用于简化中心， 其大小及方向等于力系的主矢，该力偶之矩等于力 系对于简化中心的主矩。
(2)
理论力学
静力学
平面任意力系
37
例题
MA(F) 0
FT AB sin 300 P AD F AE 0
(3)
由(3)解得
FT
2P 3F 4sin 300
(2 4 3 10)kN m 4m 0.5
19
kN
以
FT
之值代入式(1)、
例如，铁轨给轮 子的力等。
理论力学
静力学
平面任意力系
28
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部
各点上。例如，构件的自重等。 面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压
力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构
件的轴线分布。
理论力学
静力学
平面任意力系
29
荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
值为多少？
理论力学
静力学
平面任意力系
y
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
则
′ FR = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
′ FRy ∑Y θ = arctg = arctg ′ FRx ∑X
• 固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固 定端约束。 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限 制物体的转动。
在外载荷的作用下，物体在固嵌部分所受的作 用力为一任意力系。 将此力系向连接处物体横截面的形心A简化，得 到一个力FA和一个力偶MA。 对于平面固定端约束，可用两个正交分力和一个 力偶矩表示。
平面任意力系的平衡方程：
∑ ∑ ∑
n n
n
X
i =1
i
= 0
i =1
Yi = 0 M
O
i =1
(Fi) = 0
所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和 分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和 也等于零。
平衡方程的其它形式：
• 二力矩形式的平衡方程
∑ ∑ ∑
n n
n
M M X
i =1
A
(Fi) = 0 (Fi) = 0 = 0
F
600
y
l l
M
B
D P
3l
F4 F1 F2
F3
O
x
平面平行力系平衡的必要与充分条件是：力系 中所有各力的代数和等于零，以及各力对平面内任 一点之矩的代数和等于零。
n
{∑
i =1 n i =1
∑Y
i
=0
M O ( Fi ) = 0
二力矩形式的平衡方程：
{∑
i =1 n i =1
∑M
n
A
( Fi ) = 0
M B ( Fi ) = 0
则
′ FR = (∑ X ) 2 + (∑ Y ) 2
′ FRy ∑Y θ = arctg = arctg ′ FRx ∑X
• 固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体的约束称为固 定端约束。 固定端约束的特点是既限制物体的移动又限 制物体的转动。
在外载荷的作用下，物体在固嵌部分所受的作 用力为一任意力系。 将此力系向连接处物体横截面的形心A简化，得 到一个力FA和一个力偶MA。 对于平面固定端约束，可用两个正交分力和一个 力偶矩表示。
平面任意力系的平衡方程：
∑ ∑ ∑
n n
n
X
i =1
i
= 0
i =1
Yi = 0 M
O
i =1
(Fi) = 0
所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和 分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和 也等于零。
平衡方程的其它形式：
• 二力矩形式的平衡方程
∑ ∑ ∑
n n
n
M M X
i =1
A
(Fi) = 0 (Fi) = 0 = 0
F
600
y
l l
M
B
D P
3l
平面任意力系
选用基本式﹑二力矩式还是三力矩式，完全决定于计算是否 方便。不论何种形式，独立的平衡方程只有三个。
平面力系
四 . 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系平衡的充分必要 条件是：力系中各力的代数和等于 零，以及各力对任一点的矩的代数 和等于零。
平衡方程 的解析式 （基本式）
n
Fiy 0
i 1
二 力
n
FBx 160 N
解得 FBy 400 N
FA 500 N
平面力系
例2.8 如图所示水平梁 AB，受到一均布载荷和一力偶
的作用。已知均布载荷的集度 q 0.2kN/m ，力偶矩的大
小 M 1kN m ，长度l 5m 。不计梁本身的质量，求支座
A、B 的约束反力。
解 （1）以梁 AB 为研究对象进行受力分析。将均布载荷等效
平面力系
力的平移定理可以用在分析实际机械加工问题。例如用 扳手和丝锥攻螺纹，要求两个手同时在扳手的两端均匀用 力，一推一拉，形成力偶作用。下图为错误操作。
平面力系
二、平面一般力系向一点简化 主矢和主矩
用点设分刚别体为上A1作, A用2 ,一…平,面An一。般在力平系面F内1任，F意2，选一，点F，On，各称力为的简作
n
M A (Fi ) 0
F AC M FB sin 600 AB 0
Hale Waihona Puke i 1FB 0.81kN
解得 FAx 0.40kN
0.5l
0.5l
FAy 0.30kN
机械工程基础
FR 大小
和方向
FR FRx2 FRy2 Fix 2 Fiy 2
cos(FR ,i) Fix FR cos(FR , j) Fiy FR
平面力系
四 . 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系平衡的充分必要 条件是：力系中各力的代数和等于 零，以及各力对任一点的矩的代数 和等于零。
平衡方程 的解析式 （基本式）
n
Fiy 0
i 1
二 力
n
FBx 160 N
解得 FBy 400 N
FA 500 N
平面力系
例2.8 如图所示水平梁 AB，受到一均布载荷和一力偶
的作用。已知均布载荷的集度 q 0.2kN/m ，力偶矩的大
小 M 1kN m ，长度l 5m 。不计梁本身的质量，求支座
A、B 的约束反力。
解 （1）以梁 AB 为研究对象进行受力分析。将均布载荷等效
平面力系
力的平移定理可以用在分析实际机械加工问题。例如用 扳手和丝锥攻螺纹，要求两个手同时在扳手的两端均匀用 力，一推一拉，形成力偶作用。下图为错误操作。
平面力系
二、平面一般力系向一点简化 主矢和主矩
用点设分刚别体为上A1作, A用2 ,一…平,面An一。般在力平系面F内1任，F意2，选一，点F，On，各称力为的简作
n
M A (Fi ) 0
F AC M FB sin 600 AB 0
Hale Waihona Puke i 1FB 0.81kN
解得 FAx 0.40kN
0.5l
0.5l
FAy 0.30kN
机械工程基础
FR 大小
和方向
FR FRx2 FRy2 Fix 2 Fiy 2
cos(FR ,i) Fix FR cos(FR , j) Fiy FR
平面任意力系
y
FR′
MO O
n
F R F i i1
n
M O M O ( F i ) i1 x
平面任意力系的简化
原力系的主矢 力系对于简化中心O的主矩
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个
力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
F R (Fx)i2(Fy)i2
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
● FR 0 MO 0
n
MO MO(Fi ) i1
★ 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意 一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简 化中心的选择无关。
平面简单力系
平面任意力系的简化
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
MO(FR) =FRd = MO = ∑MO(Fi) 合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩 等于力系中各力对同一点矩的代数和。
定理的应用：（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩； （2）求分布力的合力作用线位置。
（3）平面任意力系平衡的情形
● FR 0 MO 0
原力系平衡
平面简单力系
补充一：固定端支座
平面任意力系的简化
平面简单力系
平面任意力系的简化
既不能移动，又不能转动的约束— 固定端（插入端）约束
F Ay
MA
F Ax
A
固定端约束简图
F Ay
≠ FAx
A
固定端约束反力
固定铰支座反力
平面简单力系
固定端支座约束实例
平面任意力系的简化
平面简单力系
平面任意力系的简化
补充二：分布载荷的合力及作用位置
FR′
MO O
n
F R F i i1
n
M O M O ( F i ) i1 x
平面任意力系的简化
原力系的主矢 力系对于简化中心O的主矩
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个
力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
F R (Fx)i2(Fy)i2
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
● FR 0 MO 0
n
MO MO(Fi ) i1
★ 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意 一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简 化中心的选择无关。
平面简单力系
平面任意力系的简化
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
MO(FR) =FRd = MO = ∑MO(Fi) 合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩 等于力系中各力对同一点矩的代数和。
定理的应用：（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩； （2）求分布力的合力作用线位置。
（3）平面任意力系平衡的情形
● FR 0 MO 0
原力系平衡
平面简单力系
补充一：固定端支座
平面任意力系的简化
平面简单力系
平面任意力系的简化
既不能移动，又不能转动的约束— 固定端（插入端）约束
F Ay
MA
F Ax
A
固定端约束简图
F Ay
≠ FAx
A
固定端约束反力
固定铰支座反力
平面简单力系
固定端支座约束实例
平面任意力系的简化
平面简单力系
平面任意力系的简化
补充二：分布载荷的合力及作用位置
平面任意力系
第三章 平面任意力系各力作用线都位于同一平面内，既不全部汇交于一点，又不全部平行的力系称为平面任意力系。
在工程实际中，大部分力学问题都可归属于这类力系进行分析。
有些问题虽不是平面任意力系，但对某些结构对称、受力对称、约束对称的力系，经适当简化，仍可归结为平面任意力系来处理。
因此，研究平面任意力系问题具有非常重要的工程实际意义。
§3.1 力的平移定理由力的可传性定理可知：在刚体内，力沿其作用线任意滑移，不改变力对刚体的作用效果。
但是，如果将力的作用线平行地移动到偏离其作用线的另一位置，其作用效果是否会改变呢？由经验可知，力线平移后将改变其对刚体的作用效果。
如图3.1a 所示，当力F 作用于A 点，其作用线通过轴心O 时，轮子不会转动；而将力的作用线平移，使其作用于点B ，如图3.1b 所示，轮子则会转动。
显然，力作用线平移后，其效应发生了改变。
设有一力F 作用于刚体上的A 点，如图3.2a 所示。
为将该力平移到刚体内任意一点B ，在B 点加上一对平衡力F 1和1F '，使F 1∥F ，且F 1= F′1=F 。
在新力系中，F 和1F '构成一个力偶，其力偶臂为d ，其矩恰好等于原力F 对点B 之矩，即()()d F M M B ⋅=='F FF,1 F 1即为平移到了B 点的力F 。
现作用于刚体上有一个力F 1和一个力偶，如图3.2b 、c 所示，它们对刚体的效应与力F在原位置时对刚体的效应完全相同，图图3.2这个力偶称之为附加力偶。
综上所述，可得如下结论：可以把作用在刚体上A点的力F平移到刚体内任意一点B，要使原力对刚体的作用效果不变，必须同时附加一个力偶，附加力偶之矩等于原力F对新的作用点B之矩。
反之，根据力的平移定理，同平面内的一个力和一个力偶，也可用作用在该平面内另一个力等效替换。
力的平移定理不仅是力系简化的基础，而且可用来解释一些实际问题。
例如，用丝锥攻丝时，必须要用双手握紧丝锥，且用力要等值、反向，不允许用一只手加力或加力不均。
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
理论力学-平面任意力系
平面任意力系可能由 多个力的叠加构成， 具有较高的复杂性。
平面任意力系的特点
多方向性
平面任意力系可以有从不同方向作用的力。
多点作用性
平面任意力系可以有多个作用点。
力的大小不同
平面任意力系中的力可以有不同的大小。
力的叠加
平面任意力系可能由多个力的叠加构成。
平面任意力系的合力和力矩求解方法
1
合力求解方法
Hale Waihona Puke 理论力学-平面任意力系通过本讲，你将深入了解平面任意力系的定义、特点、合力和力矩求解方法、 平衡条件、实际应用，以及解题步骤。准备好开始你的力学之旅吧！
平面任意力系的定义
1 什么是平面任意
力系？
平面任意力系是指位 于同一平面内的多个 力的集合。
2 力的方向和作用点 3 任意力系的复杂性
力可以有不同的方向 和不同的作用点，但 都在同一平面内。
将所有力按照矢量法则相加，求
力矩求解方法
2
得合力的大小和方向。
通过力矩定理，求得平面任意力
系的力矩。
3
力矩的方向
力矩的方向垂直于力的平面。
平面任意力系的平衡条件
力的平衡
合力为零，即所有力合成为零。
力矩的平衡
力矩的合力为零。
平面任意力系的实际应用
1 桥梁结构分析
分析桥梁结构的受力 情况。
2 机械设计
设计和优化机械系统 中的力的分布。
3 建筑结构设计
分析建筑结构的静力 平衡。
案例分析：平面任意力系的解题步骤
1
Step 1
分析力的大小和方向。
2
Step 2
计算合力和合力矩。
3
Step 3
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
平面任意力系
用，已知载荷集度q = 100N/m，力偶矩大小M =
500 N•m。长度AB = 3m，DB=1m。求活动铰支D 和固
定铰支A 旳反力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
M
A
D
B
2m
1m
y
M
NAy
Q
A
NAx
CD
B
x
解：
ND
1、取梁AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中Q=q.AB=100×3=300N；作
用在AB旳中点C 。
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
第三章 平面任意力系
平面任意力系
各个力旳作用线在同一平面内， 但不汇交于一点，也不都平行旳力 系称为平面任意力系
§3–1 力对点之矩
第 §3–2 力旳平移定理 三 章 §3–3 平面任意力系旳简化•主矢与主矩
平 §3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
面 任
§3–5 平面任意力系旳平衡条件和平衡方程
22
B
F3
2m
R Rx2 Ry2 0.794
cosR、x Rx 0.614
R
R , x 526'
cosR、y
R y
0.789
R
R , y 3754'
F1
O
3m
y A
R
O
F4 C 30° x
B
C
x
§3–4 平面任意力系简化成果旳讨论.合力矩定理
② 求主矩：
LO mo F
y
F2
阐明如下：
R
LO
O
=
R R
Lo
OR A
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0 l 0
l
平面简单力系
平面任意力系的简化
★ 两个特例
(a) 均布载荷
P
h l q
(b)三角形分布载荷 P q0
q0 q( x ) x l
x
h l
x
P q( x )dx ql
0
l
q0 1 P q( x )dx xdx q0 l 0 0 l 2
l l
q( x ) xdx l h 2 q( x )dx
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
例题3 如图所示水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一活动铰链支座。 梁的长为4a，梁重G，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用， 在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M =Ga。试求A和B处的支座约束力。 解：1. 以水平横梁AB为研究对象。 2. 受力分析如图所示。 3. 列写平衡方程。
平面简单力系
平面任意力系的简化
固定端支座约束实例
平面简单力系
平面任意力系的简化
补充二：分布载荷的合力及作用位置
集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的
尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。 几种分布载荷： 体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。
例如构件的自重等。
面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。 例如风压力、水压力等。 线分布载荷：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。
M
A
A
(F ) 0
B
FBy l2 M F1l1 F2 (l1 l2 ) sin 60 0
Fy 0, FAy FBy F1 F2 sin 60 0
FAy
l2
y
l1 F1 M
B
F2
60
x FBy
3. 解方程。
A
FAx
FAx 0.75 kN FBy 3.56 kN FAy 0.261 kN
平面任意力系的简化
3.平面任意力系的简化结果分析
● ●
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0
● ●
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
●
FR 0
MO 0
M O M O ( Fi )
i 1
n
★ 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意 一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简 化中心的选择无关。
FR ( Fxi ) ( Fyi )
2 2
Fyi Fxi cos(FR , i ) , cos(FR , j ) FR FR
M O M O ( Fi ) ( x i F yi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
平面简单力系
平面汇交力系
平面力偶系
平面简单力系
y
平面任意力系的简化
FR Fi
i 1 n
FR′
原力系的主矢 力系对于简化中心O的主矩
MO O
M O M O ( Fi )
x
i 1
n
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个 力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
认识平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一
平面内,既不汇交为一点又不相互平行
的力系。 研究方法：
（平面任意力系）
未知力系
力系向一点简化 已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面任意力系
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化 §3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §3-3 物体系的平衡· 静定和超静定问题 §3-4 平面简单桁架的内力计算
平面简单力系
平面任意力系的简化
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形· 合力矩定理
●
FR 0
MO 0
FR 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简
化中心有关。
●
FR 0
FR ′ Mo
MO 0
′ FR FR
FR
O
O′
O
d
O′
O d
O′
′′ FR
FR为原力系的合力
MO d FR
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
例题2 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M =1.2kN· m，
l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。
1. 解： 取梁为研究对象，受力分析如图。 2. 列平衡方程。
ll
F1 F2
M
60
Fx 0, FAx F2 cos 60 0
（2）求分布力的合力作用线位置。
（3）平面任意力系平衡的情形
●
FR 0
MO 0
原力系平衡
平面简单力系
平面任意力系的简化
补充一：固定端支座
平面简单力系
平面任意力系的简化
既不能移动，又不能转动的约束— 固定端（插入端）约束
固定端约束简图
FAy
FAy
MA
A
FAx
A
FAx
固定端约束反力
固定铰支座反力
FB 2a M Pa 0 FAy 2a Pa M 0 FAx a FB 2a M 0
解上述方程，得 FAx P FAy P FB P
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
FR B A x
2、平面任意力系平衡方程的形式 （1）基本形式
Fx 0,
FAx P 0 FAy FB 0 FB 2a P a M 0
A
FAx
y
B
x
FAx P , FAy P , FB P .
其他的方程 形式求解？
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
2a M
解法2：
Fx 0, M A (F ) 0 M B (F ) 0 FAx P 0
平衡条件和平衡方程
解析条件可简写为：
Fy 0 平面任意力系平衡方程的基本式 M o ( F ) 0 Fx 0
●
几点说明： （1）三个方程只能求解三个未知量； （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；
（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。
平面简单力系
平面任意力系的简化
力线平移的讨论（1）： 为什么钉子有时会折弯？
M
F′
F
两圆盘运动形式是否一样？
F F′ (a)
F
(b) M
平面简单力系
平面任意力系的简化
力线平移的讨论（2）：
单手攻丝
平面简单力系
平面任意力系的简化
2.平面任意力系向作用面内一点的简化· 主矢和主矩
F2
F1
F2′
M2
解：1.取伸臂AB为研究对象。
2.受力分析如图。 y
F
c
FAy FAx A D F1 C FB α E G
C F1
α
B
F2 b
A
B x a l
F2
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
3.选如图坐标系，列平衡方程。
y
Fx 0,
FAx FB cos 0
FB
FAy FAx
A D E C
α
B
F 0 M (F ) 0
y o
F2 F1
物体系平衡习题课 结论与讨论
平面简单力系
平面任意力系的简化
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′ F′
F
B d A F′′ B d A
F
M
B
A
F F
M=F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必 须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新 作用点B的矩。
F1′
M1
FR′
O
O
MO O
F3
F3′
M3
F1 =F1 M1=MO(F1) ′
O
简化中心
F2 =F2 M2=MO(F2) ′ F3 =F3 M3=MO(F3) ′ ′ 3 F′ =F′ +F2+F′ = F1+F2+F3 R 1 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
例题1 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重G =2200 N，吊车 D，E连同吊起重物各重F1= F2=4 000 N。有关尺寸为：l = 4.3 m
，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，α=25°。试求铰链A对臂AB
的水平和铅直约束力，以及拉索BF 的拉力。
C
A
a B
M
a
a F C
(F ) 0,
P
E
FA
A a M B a a
解上述方程，得
2 3M P 2 3M P FA , FB 3a 3a 3 3 2 3M FC 3a
FB
FC
C
P
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
F3
3、平面平行力系的平衡方程
y
（1）基本形式
Fx 0
（2）二力矩式
l
平面简单力系
平面任意力系的简化
★ 两个特例
(a) 均布载荷
P
h l q
(b)三角形分布载荷 P q0
q0 q( x ) x l
x
h l
x
P q( x )dx ql
0
l
q0 1 P q( x )dx xdx q0 l 0 0 l 2
l l
q( x ) xdx l h 2 q( x )dx
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
例题3 如图所示水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一活动铰链支座。 梁的长为4a，梁重G，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用， 在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M =Ga。试求A和B处的支座约束力。 解：1. 以水平横梁AB为研究对象。 2. 受力分析如图所示。 3. 列写平衡方程。
平面简单力系
平面任意力系的简化
固定端支座约束实例
平面简单力系
平面任意力系的简化
补充二：分布载荷的合力及作用位置
集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的
尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。 几种分布载荷： 体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。
例如构件的自重等。
面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。 例如风压力、水压力等。 线分布载荷：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。
M
A
A
(F ) 0
B
FBy l2 M F1l1 F2 (l1 l2 ) sin 60 0
Fy 0, FAy FBy F1 F2 sin 60 0
FAy
l2
y
l1 F1 M
B
F2
60
x FBy
3. 解方程。
A
FAx
FAx 0.75 kN FBy 3.56 kN FAy 0.261 kN
平面任意力系的简化
3.平面任意力系的简化结果分析
● ●
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0
● ●
FR 0 FR 0
MO 0 MO 0
（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形
●
FR 0
MO 0
M O M O ( Fi )
i 1
n
★ 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意 一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简 化中心的选择无关。
FR ( Fxi ) ( Fyi )
2 2
Fyi Fxi cos(FR , i ) , cos(FR , j ) FR FR
M O M O ( Fi ) ( x i F yi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
平面简单力系
平面汇交力系
平面力偶系
平面简单力系
y
平面任意力系的简化
FR Fi
i 1 n
FR′
原力系的主矢 力系对于简化中心O的主矩
MO O
M O M O ( Fi )
x
i 1
n
结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个 力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
认识平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一
平面内,既不汇交为一点又不相互平行
的力系。 研究方法：
（平面任意力系）
未知力系
力系向一点简化 已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面任意力系
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化 §3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §3-3 物体系的平衡· 静定和超静定问题 §3-4 平面简单桁架的内力计算
平面简单力系
平面任意力系的简化
（2）平面任意力系简化为一个合力的情形· 合力矩定理
●
FR 0
MO 0
FR 就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简
化中心有关。
●
FR 0
FR ′ Mo
MO 0
′ FR FR
FR
O
O′
O
d
O′
O d
O′
′′ FR
FR为原力系的合力
MO d FR
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
例题2 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M =1.2kN· m，
l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。
1. 解： 取梁为研究对象，受力分析如图。 2. 列平衡方程。
ll
F1 F2
M
60
Fx 0, FAx F2 cos 60 0
（2）求分布力的合力作用线位置。
（3）平面任意力系平衡的情形
●
FR 0
MO 0
原力系平衡
平面简单力系
平面任意力系的简化
补充一：固定端支座
平面简单力系
平面任意力系的简化
既不能移动，又不能转动的约束— 固定端（插入端）约束
固定端约束简图
FAy
FAy
MA
A
FAx
A
FAx
固定端约束反力
固定铰支座反力
FB 2a M Pa 0 FAy 2a Pa M 0 FAx a FB 2a M 0
解上述方程，得 FAx P FAy P FB P
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
FR B A x
2、平面任意力系平衡方程的形式 （1）基本形式
Fx 0,
FAx P 0 FAy FB 0 FB 2a P a M 0
A
FAx
y
B
x
FAx P , FAy P , FB P .
其他的方程 形式求解？
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
2a M
解法2：
Fx 0, M A (F ) 0 M B (F ) 0 FAx P 0
平衡条件和平衡方程
解析条件可简写为：
Fy 0 平面任意力系平衡方程的基本式 M o ( F ) 0 Fx 0
●
几点说明： （1）三个方程只能求解三个未知量； （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；
（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直； （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。
平面简单力系
平面任意力系的简化
力线平移的讨论（1）： 为什么钉子有时会折弯？
M
F′
F
两圆盘运动形式是否一样？
F F′ (a)
F
(b) M
平面简单力系
平面任意力系的简化
力线平移的讨论（2）：
单手攻丝
平面简单力系
平面任意力系的简化
2.平面任意力系向作用面内一点的简化· 主矢和主矩
F2
F1
F2′
M2
解：1.取伸臂AB为研究对象。
2.受力分析如图。 y
F
c
FAy FAx A D F1 C FB α E G
C F1
α
B
F2 b
A
B x a l
F2
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
3.选如图坐标系，列平衡方程。
y
Fx 0,
FAx FB cos 0
FB
FAy FAx
A D E C
α
B
F 0 M (F ) 0
y o
F2 F1
物体系平衡习题课 结论与讨论
平面简单力系
平面任意力系的简化
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′ F′
F
B d A F′′ B d A
F
M
B
A
F F
M=F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必 须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新 作用点B的矩。
F1′
M1
FR′
O
O
MO O
F3
F3′
M3
F1 =F1 M1=MO(F1) ′
O
简化中心
F2 =F2 M2=MO(F2) ′ F3 =F3 M3=MO(F3) ′ ′ 3 F′ =F′ +F2+F′ = F1+F2+F3 R 1 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
例题1 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重G =2200 N，吊车 D，E连同吊起重物各重F1= F2=4 000 N。有关尺寸为：l = 4.3 m
，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，α=25°。试求铰链A对臂AB
的水平和铅直约束力，以及拉索BF 的拉力。
C
A
a B
M
a
a F C
(F ) 0,
P
E
FA
A a M B a a
解上述方程，得
2 3M P 2 3M P FA , FB 3a 3a 3 3 2 3M FC 3a
FB
FC
C
P
平面简单力系
平衡条件和平衡方程
F3
3、平面平行力系的平衡方程
y
（1）基本形式
Fx 0
（2）二力矩式