“矩阵的特征值与特征向量”的教学实录与教学后记

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关于特征值与特征向量的教学体会

即：＝Ａ，
其中Ａ为系数矩阵。
ｖ厂＼４１ ¨Ｙ，＇１ｌ
（）１
如考虑如下微分方程的数值解．
２２
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２２
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则由（）得：１可
ａｘ
设ｎ是ｘ平面中的具有正方形边界ａｖｎ的一个有界区域，
ｄ（－１（），。：．＝＝＝＝：０：Ａ０八）。１５５
一
、
存在正交矩阵使其相似于对角矩阵的结论。这短短三节将特征值、征向量、角化的问题讲解得十分清楚、洁。学生特对简但认为这部分内容要完全理解是非常困难的，其原因有二：究一是为什么要引入特征值与特征向量他们不理解：二是因为不理解而不能很好地接受这个概念以及不明白后面两节的用意，使用各种类型的习题对其进行巩固，仍感到不能清楚虽但地理解概念的本意。三、阵特征值与特征向量的讲授方法矩弓言中的那些典型的例子，及学科的交叉问题，于本Ｉ涉对科低年级的学生来说，为引例是有一定难度的，面本着数作下学来源于实际并还原于实际的原则，结合特征向量理论的讲授方法。下面例子的过程分析对理解教材中的特征值与特征向量概念是十分有益的。考察栖息在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存关系可以用以下模型描述。

特征值与特征向量优秀教学设计.docx

特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。

2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。

3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。

难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。

二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。

教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。

例1：对于相关x 轴的反射变换σ：1001x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

因此，反射变换σ只把形如10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭和20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭的向量（其中1k ，2k 是任意常数），分别变成与自身共线的向量。

可以发现，反射变换σ分别把向量10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭，20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭变成10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭，20k β⎛⎫-= ⎪-⎝⎭。

特别的，反射变换σ把向量110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭变成110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，把向量201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭变成01⎛⎫⎪-⎝⎭。

用矩形的形式可表示为2．设二阶矩阵A 有两个不同特征值1λ，2λ，1ξ，2ξ是分别属于特征值1λ，2λ的任意特征向量，证明向量1ξ与2ξ不共线。

《3.1.1 特征值与特征向量》教案1

《3.1.1 特征值与特征向量》教案1教学目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义． 2．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)． 3．利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α的简单表示，并能用它来解决问题.知识梳理1．特征值与特征向量的定义设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．2．特征多项式的定义设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．3．特征值与特征向量的计算设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0，求出λ的值．第二步：将λ的值代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋ λ－d y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．A n α(n ∈N *)的简单表示 (1)设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α，β是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t 1α＋t 2β(其中t 1，t 2为实数)，则A n γ＝t 1λn 1α＋t 2λn 2β(n ∈N *)．教学过程1．特征值与特征向量的几何意义如何？【提示】从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ＞0)，或者方向相反(λ＜0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量．2．特征值与特征向量有怎样的对应关系？【提示】如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量α共线，故t α也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．3．如何求矩阵A 幂的作用结果？【提示】由于特征向量的存在，求矩阵幂的作用结果，可以转化成求数的幂的运算结果.课堂互动例一 (1)求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的特征值和特征向量；(2)已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3，属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A . 【思路探究】 (1)f (λ)→f (λ)＝0→特征值→特征向量 (2)利用Aα＝λα构建方程组求解．【自主解答】 (1)矩阵A 的特征多项式为：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 00 λ－2＝(λ－1)(λ－2)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝2. 将λ1＝1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－1 x ＋0·y ＝0，0·x ＋ λ－2 y ＝0，解得y ＝0，x 可以为任何非零实数，不妨记x ＝k ，k ∈R ，且k ≠0.于是矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.将λ2＝2代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－1 x ＋0·y ＝0，0·x ＋ λ－2 y ＝0，解得x ＝0，y 可以为任何非零实数，不妨记y ＝m ，m ∈R ，且m ≠0.于是矩阵A 的属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 因此，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的特征值为1和2，分别对应的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(2)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －3b ＝－1，c －3d ＝3，a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，d ＝0.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2130.变式训练(1)若将本例(1)中A 变为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 652，则其特征值与特征向量如何求？(2)已知矩阵A 有特征值λ1＝8及对应的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并有特征值λ2＝2及对应的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，试确定矩阵A . 【解】 (1)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6－5 λ－2.令f (λ)＝0，即λ2－5λ－24＝0.由此得到的两个根分别为λ1＝8，λ2＝－3，即λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个不相等的特征值．将λ1＝8代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－3 x ＋－6 y ＝0，－5 x ＋ λ－2 y ＝0，① 即⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，得5x ＝6y . 它有无穷多个非零解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 56x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，它是属于特征值λ＝8的一个特征向量．类似地，对于λ2＝－3，代入二元一次方程组①，则有⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋－6 y ＝0，－5x －5y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0. 它有无穷多个非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －x ，其中x ≠0，我们任取一个，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，它是属于特征值λ＝－3的一个特征向量．(2)不妨设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数．由题意则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－a －b －c 8－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00及⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a －b －c 2－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，从而⎩⎪⎨⎪⎧8－a －b ＝0，－c ＋8－d ＝0，2－a ＋2b ＝0，－c ＋2d －4＝0.解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，即矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.例二给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2； (2)求A 4B .【思路探究】用特征多项式求出λ，然后求出与λ对应的特征向量，再利用性质A 4B＝sλ41α1＋tλ42α2求A 4B .【自主解答】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，∴λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2) ＝24α1＋34α2 ＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397.变式训练已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.【解】矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，所以求得m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4·35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.课堂练习1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221的一个特征值是________，相应的一个特征向量为________．【解析】因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 221⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴它的一个特征值为3，特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 【答案】 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤112．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112，则矩阵A 的特征多项式为________．【解析】特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋4－1＝λ2－4λ＋3.【答案】 λ2－4λ＋3 3．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001的属于特征值λ1＝1的特征向量是________，属于特征值λ2＝2的特征向量是________，它们________(填“共线”“不共线”)．【解析】 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.又⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， ∴α1与α2不共线．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 不共线4．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，则A 20α＝________.【解析】矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的属于特征值λ1＝1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值λ2＝12的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.由α＝s α1＋t α2，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，s ＝1，t ＝3，∴A 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝1×120×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋3×1220×⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 3220＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 3220. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 3220课后练习1．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．2．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗？为什么？。

特征值与特征向量精品教案

2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。

3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。

难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。

教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。

例1：对于相关x 轴的反射变换σ：，从几何直观上可以发现，只有x 1001x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

因此，反射变换σ只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭1k 2k 线的向量。

可以发现，反射变换σ分别把向量，变成，。

10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫-= ⎪-⎝⎭特别的，反射变换σ把向量变成，把向量变成。

用矩形的形式可110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭01⎛⎫⎪-⎝⎭表示为，。

101110100⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100010111⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2：对于伸缩变换ρ：，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 1002x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴的直线在伸缩变换ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

《线性代数》教学教案—05矩阵的特征值与特征向量

2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；
3.设为n阶实对称矩阵，是的特征方程的重根，则矩阵的秩，从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.
1．定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得 = = ，其中是的n个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n阶方阵和 ,若存在可逆矩阵，使 = ，则称矩阵与矩阵合同，或，是合同矩阵.
例2.设矩阵是3阶实对称阵，的特征值为 1，2，2， = 与 = 都是矩阵的属于特征值2的特征向量.求的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵 .
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1)在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
授课序号02
教学基本指标
教学课题
第5章第2节相似矩阵
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
矩阵可相似对角化的方法
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
推论2.若n阶矩阵与对角矩阵 = 相似，则是的全部n个特征值.
二．方阵的相似对角化
1.相似对角化:若方阵能与一个对角阵相似，则称可以相似对角化，简称可对角化.
2．定理：n阶方阵可以相似对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量．
推论1.如果n阶方阵的n个特征值互不相等，则与对角阵相似.

也谈《特征值与特征向量》的教学设计

定义．从几何变换的角度说明特征值能
与特征向量的意义．
征值为何利ｍ（＝作铺垫．ｆａ）０
问题２
节公开课．辟蹊径．数形结合的另从
角度，合学生的认知水平，结因势利导．也设计了本节课．现写 …实录内容．与
教师： ∥西，西当Ⅱ 时ａ，有何关系？学生４：平面向量基本定理： ∥ ａｔ
（ｎ≠０的充要条件为仔在唯一的实数）
节校级公开课．后全校数学教师进课
行了交流、析与探究．分
２．教材分析
此之前．已学习了二元一次方程组的解法，以及二阶矩阵与列向量的乘法．在教学过程中有两个难点．（）即１特值与特征向量的定义：２在求特征值与特（）
ｌ一１ｖ４１＝Ｏ
同时为０求参数ｍ的值．．
－Ａ＝，有注重知识的生成过程，生厂）０只（学
才能从本质上把握知识并能熟练运用．
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Ｉｍ｝，以ｌ１０：所４一Ｉ
３３
．
经检验．足条件．满
阶喘深值一￡馘币的
因此本节课就以此为突破口．
（教师板书，学生思考并自行解决
问题）
学生２因为Ｄ＝，０且，不同：１０Ｄ＝，ｙ

《特征值与特征向量》教学实录及反思

《特征值与特征向量》教学实录及反思江苏苏州市吴县中学（215151）郭建峰［摘要］通过《特征值与特征向量》教学的研究及反思，得到几点启示：创设合理的问题情境是课堂教学的基础，重视数学概念的建构是课堂教学的核心，恰当地使用教学媒体是课堂教学的保障.［关键词］特征值；特征向量；教学实录；反思［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）17-0027-02［教材分析］《特征值与特征向量》是苏教版高中数学选修4-2《矩阵与变换》的内容.利用二阶矩阵M 的特征值、特征向量给出M n α简单的表示，了解它的几何意义，知道它的简单应用，并为下一节中种群问题的研究做好铺垫.［学情分析］学生已掌握伸压、反射、旋转、切变等初等变换及其对应的初等变换矩阵；知道矩阵乘法的几何意义即是平面变换的复合.当连续对向量实施n (n >1,n ∈N ∗)次变换时，能通过矩阵对向量的多次乘法得到变换后的向量或通过几何直观得到初等变换矩阵对向量多次变换所得向量.［教学目标］（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量；（3）利用二阶矩阵M 的特征值、特征向量给出M n α简单的表示.［教学重点］特征值、特征向量的概念及其应用.［教学难点］特征值、特征向量的概念.［教学过程］一、概念教学情境：已知M =éëêêùûúú10012，β=éëêùûú17，试计算Mβ，M 2β，M 3β.学生很快得到以下答案：Mβ=éëêùûú1221éëêùûú17=éëêùûú159，M 2β=éëêùûú1221éëêùûú159=éëêùûú3339，M 3β=éëêùûú1221éëêùûú3339=éëêùûú111105.师：你能计算出M 50β吗？设计意图：连续对向量实施n (n >1,n ∈N ∗)次变换，当次数较少时上述方法可以求出变换后的变量，当次数较多时上述方法就不易操作.从而说明本节内容学习的必要性.已知M =éëêêùûúú10012，α=éëêùûú24，β=éëêùûú10，γ=éëêùûú03，试计算Mα，Mβ，Mγ，并观察这三个向量与向量α，β，γ的关系.生：其中Mβ=β，M γ=12γ，存在部分向量α，使得Mα=λα.即变换后的向量与原向量共线.设计意图：通过初等变换矩阵对一些特殊向量作用后得到的向量与原向量共线，从而引出特征值与特征向量，让特征值与特征向量概念的建构显得自然而不生硬.师：你能再举几个具有这种特征的向量并加以验证吗？生：M éëêùûú20=éëêùûú20，M éëêùûú30=éëêùûú30，M éëêêùûúú-120=éëêêùûúú-120…M éëêùûú03=12éëêùûú03，M éëêùûú04=12éëêùûú04，M éëêùûú0-2=12éëêùûú0-2…师：存在α，使得Mα=1⋅α；存在β，使得Mβ=12⋅β.我们将12,1称为矩阵M 的特征值，对应的向量称为特征向量.1.特征值与特征向量的定义设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα=λ⋅α，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.师：你们觉得特征值与特征向量的概念有哪些注意点呢？在学生充分讨论的基础上，师生共同总结出特征值与特征向量这一概念的几个注意点：（1）特征向量为非零向量；（2）属于特征值λ的特征向量不唯一，若向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则tα(t ≠0)也是属于特征值λ的特征向量.练习1：矩阵A =éëêùûú100-1的特征向量是什么？怎样从几何直观的角度加以解释？T A :éëêùûúx y →éëêùûúx′y′=éëêùûúx -y ，A éëêùûú10=éëêùûú10，∴λ1=1，α1=éëêùûú10，A éëêùûú01=éëêùûú0-1，∴λ2=-1，α2=éëêùûú0.数学·教学研究师：初等变换矩阵可以从几何直观角度求出特征值与特征向量.非初等变换矩阵，如情境中的矩阵M如何求出其特征值与特征向量呢？设λ是二阶矩阵A=éëêùûúa bc d的一个特征值，它的一个特征向量为α=éëêùûúxy，则Aéëêùûúxy=λéëêùûúxy，即{ax+by=λx,cx+dy=λy,所以{(λ-a)x-by=0,-cx+(λ-d)y=0.D=||||||λ-a-b-cλ-d，D x=||||||0-b0λ-d=0，D y=||||||λ-a0-c0=0.上述方程即{D⋅x=D x=0D⋅y=Dy=0，由于特征向量α为非零向量，所以x,y不全为零，若要上述方程组有不全为零的解，则必须D=||||||λ-a-b-cλ-d=0.2.特征多项式的定义设A=éëêùûúa bc d是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)=||||||λ-a-b-cλ-d=λ2-(a+d)λ+ad-bc称为矩阵A的特征多项式.其中方程f(λ)=0的根为矩阵A的特征值（最多两个），将λ的值代入二元一次方程组可得特征向量.二、应用概念［例1］求出矩阵A=éëêùûú100-1的特征值与特征向量.设计意图：呼应练习，通过初等变换矩阵总结出一般矩阵特征值与特征向量的求法：f(λ)=||||||λ-a-b-cλ-d；解方程组f(λ)=0得特征值；将λ的值代入方程组的特征向量.练习2：求矩阵M=éëêêùûúú10012的特征值与特征向量，并思考如何计算M20éëêùûú13的值.解答：特征值λ1=1，λ2=12，对应的特征向量分别为α1=éëêùûú10，α2=éëêùûú01.Mα1=λ1α1，M2α1=M(λ1α1)=λ1(λ1α1)=λ12α1，M3α1=M(λ21α1)=λ1(λ21α1)=λ31α1…M20α1=λ120α1=120éëêùûú10；同理，M20α2=λ220α2=()1220éëêùûú01.师：向量éëêùûú13并不是特征向量，该如何处理？能否用特征向量线性表示？éëêùûú13=1⋅éëêùûú10+3⋅éëêùûú1=α1+3α2，所以M20éëêùûú13=M20(α1+3α2)=M20α1+3(M20α2)=λ120α1+3λ220α2=⋯师：从几何直观看，对向量éëêùûú13连续实施20次T M后，横坐标依然不变，纵坐标变为3220，几乎“压扁”为零了.设计意图：再次从初等变换矩阵入手研究对任意向量连续实施多次变换的几何意义以及具体的求法，这样可以自然过渡到问题情境中所提出来的问题.［例2］已知矩阵M=éëêêùûúú10012，β=éëêùûú17，试计算M50β的值.设计意图：帮助学生进一步理解求M50β可以转化为对M的特征向量实施多次变换，回应了问题情境.三、回顾总结（1）概念：特征值与特征向量.（2）求法：特征值与特征向量的求法；M50β的求法.（3）思想：由特殊到一般.四、教后反思1.创设合理的问题情境是课堂教学的基础本节课通过一个小练习导入新课，让学生轻松解决的同时，提出一个原有方法不易操作的问题，创设了恰当合理的问题情境，让学生学习新知的同时，感受到无比轻松.2.重视数学概念的建构是课堂教学的核心本节课上，特征值与特征向量的概念不是教师讲解的，而是在教师引导下，学生从已学知识出发，通过观察、操作、比较、类比等思维活动，逐步建构而得到.这样不仅使学生对概念有深刻的理解，还让学生充分体验到解决问题的过程及思想方法，学生的主体地位得到充分体现.3.恰当地使用教学媒体是课堂教学的保障新课程理念强调，现代教育技术在课堂教学中的合理应用.本节课通过交互式电子白板与课堂教学的有机整合，为课堂教学内容的呈现及教学活动的开展带来了全新的变化，充分调动了学生的学习积极性.（责任编辑黄桂坚）数学·教学研究。

矩阵的特征值和特征向量备课讲稿

l1X-l2X0 （l1
-l2）X
X 0

0l1
-l2
0
8 2020/1/16
例求下列矩阵的特征值和特征向量
3 -1
A

-1
3

解 A的特征多项式为
l - 3 1 (3-l)2-1l2-6l8(l-2)(l-4)
1 l-3
A的特征值为l12, l24
当l1 2时，-11
1 -1
x1 x2

0 0
即

x1 - x1
x2 x2

0 0

x1

x2
1
X
1

1

对应的特征向量可取为
9 2020/1/16
当l2 4时
1 1
1 1

x1 x2

0 0

--11
征值的l特征向量。
7 2020/1/16
注4 如果 X1, X2 是A对应于特征值 l的线性无关
特征向量，则 k1X1k2X2(k1,k2不全 0) 也为是
A对应于特征值 l 的特征向量。
注5 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的
l l X 0 ， A X 1 X ， A X 2 X
4 2020/1/16
显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.
特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当n5时, 特征多项式没有一般的求根公式, 即使是三阶矩阵的特征多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2, -2进行尝试先得到一个根, 则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.

华工数学实验报告特征值与特征向量

华工数学实验报告特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵论中的重要概念，在数学和工程中有着广泛的应用。

本文将通过实验来探究特征值与特征向量的概念及其特性。

实验原理：特征值与特征向量是矩阵理论中的基本概念，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零列向量X和一个数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为特征向量。

实验步骤：1.选择一个适当的n阶方阵A，确定其特征值和特征向量。

2.编写程序，利用代数解法求解矩阵A的特征值和特征向量。

3.利用程序计算矩阵A的特征值和特征向量，并与代数解法的结果进行对比。

4.对不同的n进行实验，并记录实验结果。

5.分析实验数据，总结特征值与特征向量的特性。

实验结果：1.经过实验，我们发现矩阵的特征值与特征向量具有以下特性：(1)对于一个n阶矩阵A，其特征值的个数等于矩阵的阶数n。

(2)对于相似矩阵，它们具有相同的特征值。

(3)对于特征值相同的矩阵，它们的特征向量可能不同。

(4)对于实对称矩阵，其特征值一定是实数。

(5)对于正交矩阵，其特征向量一定是正交的。

2.实验结果与代数解法的结果基本一致，验证了实验的准确性。

实验结论：通过对特征值与特征向量的实验，我们对于这一概念及其特性有了更深入的了解。

特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，例如在矩阵的对角化、矩阵求逆等领域都起到了重要的作用。

因此，对于特征值与特征向量的研究具有重要的理论和实际意义。

总结：本实验通过实验数据的记录和分析，深入研究了特征值与特征向量的概念及其特性。

特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，对于矩阵的性质和求解具有重要意义。

实验过程中利用代数解法和编程求解的方法，验证了实验的准确性。

通过本实验，我们对于特征值与特征向量有了更深入的认识，并且对于矩阵的理论和应用有了更加全面的了解。

线性代数教案-第五章特征值和特征向量

第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相似矩阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相似矩阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。

“矩阵的特征值与特征向量”的教学实录与教学后记

“矩阵的特征值与特征向量”的教学实录与教学后记教学实录：时间：2024年10月25日地点：XX中学授课内容：矩阵的特征值与特征向量对象：高中数学教师培训班学员教学过程：1.引入：今天我们要讲解的是矩阵的特征值与特征向量，这是高中数学中一个非常重要的概念。

特征值与特征向量是矩阵在变换中的一些特殊性质，对于理解矩阵变换以及解决相关问题具有重要意义。

2.讲解特征值与特征向量的定义：特征值是矩阵对应的线性变换中的一个标量，而特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值与特征向量满足线性变换A对特征向量的作用仅仅是拉伸或缩小，并且对特征向量的方向没有改变。

3.讨论特征值与特征向量的性质：-特征值可以为零；-矩阵的特征值个数等于矩阵的秩；-特征向量所在的空间称为特征空间；-相似矩阵具有相同的特征值。

4.讲解如何求解特征值与特征向量：-求解特征值需要解特征方程，A-λE，=0；-求解特征向量需要解线性方程组(A-λE)x=0；-讲解以一个具体的实例进行演示。

5.应用实例解决问题：-结合实际问题，讨论如何利用特征值与特征向量的概念解决矩阵变换问题。

教学后记：本次教学培训中，参与学员对于矩阵的特征值与特征向量有了更深入的了解，掌握了求解特征值与特征向量的方法并能灵活运用于实际问题中。

通过讲解实例、讨论性质、提出问题等教学方法，加深了学员对于这一概念的认识，并能更好地应用于教学实践中。

在教学过程中，学员积极参与讨论，认真听讲，在实例演示环节也能积极尝试解题，对于矩阵的特征值与特征向量有了更深刻的理解。

同时，在教学中也发现了一些问题，比如针对不同层次的学员可能需要调整教学内容的深度与难度；在实例演示环节可以添加更多的案例以提高学员的应用能力等。

总的来说，本次教学培训为学员提供了一个系统全面的学习机会，培养了他们对于矩阵特征值与特征向量的兴趣与理解，为他们将来的教学工作打下了坚实的基础。

希望学员们能够继续加强对于这一知识点的学习，并能够在今后的教学实践中灵活运用。

人教版高中选修4-22.特征值与特征向量的计算教学设计

人教版高中选修4-22．特征值与特征向量的计算教学设计1. 教学目标1.掌握方阵特征值与特征向量的概念及计算方法。

2.理解特征向量在线性代数中的重要性及应用。

3.能够运用特征值与特征向量求解矩阵对角化和矩阵的幂。

4.提高学生的综合思考能力和解决问题的能力。

2. 教学内容和教学方法2.1 教学内容1.方阵的特征值与特征向量的概念和定义。

2.方阵特征值的求解方法。

3.方阵特征向量的求解方法。

4.特征向量在线性代数中的应用。

5.矩阵对角化和矩阵的幂的求解方法。

2.2 教学方法1.前置知识的引入：复习向量的概念、矩阵的基本概念。

2.通过举例讲解特征值和特征向量的含义、计算方法和性质，并注重与现实问题的联系。

3.采用课堂讲授、案例分析和小组讨论等教学方法，培养学生的综合思考能力和解决问题的能力。

4.鼓励学生自主学习，在课后完成作业，并与同学分享归纳出的经验。

3. 教学流程设计时间教学内容教学方法10 min 引入课堂讲授20 min 特征值的概念与计算方法课堂讲授，案例分析20 min 特征向量的概念与计算方法课堂讲授，案例分析20 min 特征向量的应用课堂讲授，案例分析，小组讨论20 min 矩阵的对角化和矩阵的幂课堂讲授，案例分析10 min 课堂总结课堂讲授4. 教学评估4.1 教学评估方式1.课堂提问：随机抽取学生回答问题。

2.练习与作业：检验学生对特征值和特征向量的掌握程度，收集学生的问题。

3.期末考试：考察学生对本模块知识的整体掌握情况。

4.2 教学评估标准1.能够清楚地解释特征值和特征向量的概念和计算方法。

2.能够熟练地利用特征值和特征向量求解矩阵对角化和矩阵的幂。

3.能够理解并应用特征向量在线性代数中的重要性。

4.能够解决与特征值和特征向量相关的实际问题。

苏教版高中数学选修4-2 2.5特征值与特征向量_教案设计

二、建构数学：
1．矩阵的特征值和特征向量的定义。
2．特征多项式
3．矩阵M= 的特征值和特征向量的计算方法：
（1）构造特征多项式f(λ)=0；
（2）解方程f(λ)=0；
（2）将λ代入，求出对应的一个特征向量。
注：如果向量α是属于λ的特征向量，那么tα(t∈R，t≠0)也是属于λ的特征向量。
提出问题，学生回答
师生共同总结特征值和特征向量的定义
教师强调
教学过程
三、教学运用：
例1．求下列矩阵的特征值和特征向量，并从几何变换的角度加以解释。
（1）A= （2）B=
例2．已知A= ，P= ，Q= ，试求矩阵PAQ的特征值与特征向量。
例3．已知α是矩阵M属于特征值λ=3的特征向量，其中M= ，α= ，且a+b+m=3，求a，b，m。
特征值与特征向量
教学目标
1．理解特征值与特征向量的含义。
2．掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法，并能ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何变换的角度加以解释
教学重难点
重点：特征值与特征向量的含义
难点：求矩阵的特征值和特征向量
教学参考
教材、教学参考
授课方法
启发点拨式
教学过程
一、问题情境：
已知伸压变换矩阵M=，向量α= 和β= 在M对应的变换作用下得到的向量α′和β′分别与α，β有什么关系？对伸压变压矩阵N= 呢？
师生共同解答
学生板演
练习：
矩阵的特征值为_______，对应的特征向量为________。

高三数学教案2023：线性代数中的矩阵运算及其特征值特征向量

高三数学教案2023最新：线性代数中的矩阵运算及其特征值特征向量随着科技的跨越发展，线性代数作为一门重要的数学学科，不断地应用于各个领域中，如工程、科学、经济和社会学等。

那么在高三数学教案中，线性代数中的矩阵运算及其特征值特征向量的内容，又有哪些重要的知识及应用？本文将为您做详细的介绍。

一、矩阵的基本运算矩阵在线性代数中有广泛的应用，它描述的是一种线性变换，它是由行和列构成的矩形数组，同时也是我们学习线性代数的基础。

在矩阵的基本运算中，包括了加、减、数乘、乘法等。

（1）加减法假设有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即都为mxn，则可以进行加减法运算，其形式如下：A+B = [a11+b11, a12+b12, …, a1n+b1n;a21+b21, a22+b22, …, a2n+b2n;…am1+bm1, am2+bm2, …, amn+bn]A-B = [a11-b11, a12-b12, …, a1n-b1n;a21-b21, a22-b22, …, a2n-b2n;…am1-bm1, am2-bm2, …, amn-bn]（2）数乘对于一个数k，又称为标量，我们可以将其与矩阵中的所有元素相乘，其形式如下：kA = [ka11, ka12, …, ka1n;ka21, ka22, …, ka2n;…kam, kam2, …, kan]（3）矩阵乘法在矩阵乘法中，我们需要注意的是，两个矩阵的维度需要满足一定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

在具体操作中，我们可以将第一个矩阵中的每一行分别与第二个矩阵中的每一列进行相乘，然后再将它们相加即可得到新的矩阵。

其形式如下：A xB = [a11b11+a12b21+…+a1nb1n, a11b21+a12b22+…+a1nb2n, …,a11bm+a12bm2+…+a1nbm;a21b11+a22b21+…+a2nb1n, a21b21+a22b22+…+a2nb2n, …,a21bm+a22bm2+…+a2nbm;…am1b11+am2b21+…+amnb1n, am1b21+am2b22+…+amnb2n, …,am1bm+am2bm2+…+amnbm]二、特征值和特征向量（1）特征向量在线性代数中，特征向量表示一个矩阵在某个变换下不发生变化的向量，即线性变换后，该向量只发生标量倍数的变化。

高二数学 2.5特征值与特征向量(2)教案

(2)对向量β= ,求M5β及M100β.
三、课堂小结：
学生小结本课收获、所学知识
四、课堂练习：P721
五、课外作业：
1.设A= ,矩阵A的特征值为( )
学生板演，教师点评
练习
1.设A是旋转角为π的旋转变换,μ是一个任意向量,μ在A下的象Aμ=－μ,则A的属于特征－1的特征向量为平面上的____________ .
2.(1)求矩阵M= 的特征值与特征向量;
(2)向量α= ,求M4α, M100α
课外作业
教学小结
班级节次
课题
§2.5 特征值与特征向量（2）
总课时数
第节
教学
目标
1.进一步理解特征值与特征向量的概念,能熟练求矩阵的特征值和特征向量.
2.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果.
教学重难点
重点：特征与特征向量的概念
难点：求矩阵的特征值和特征向量
教学参考
教材、教学参考、学案
授课方法
二、教学运用：
例1、已知M= ,β= ,求M2β.
学生练习回答
学生板演，教师点评
教学过程设计
教
学
二次备课
例2、已知M= ,β= ,计算M50β.
例3、已知矩阵M= 有属于特征值λ1= 8的特征向量α1= ,及属于特征值λ2=－3的特征向量α2= .
(1)对向量α= ,记作α=α1－3α2,利用这一表达式计算M3α及M50α;
启发点拨式
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
一、复习回顾:
1.已知A= , B= ,求矩阵BA的特征值与特征向量;

《二阶矩阵的特征值与特征向量》教学设计

《二阶矩阵的特征值与特征向量》教学设计安家中学陈维杰一、教学内容分析:本节教材选自苏教版数学选修系列4-2，在课改前的教材中,一直没有出现过矩阵与变换的知识，本小节又是学生在高中阶段较难理解的内容之一。

在前面已学二阶矩阵的运算和常见的平面变换的基础上，本节课的学习对知识体系的建构和数形结合思想的应用要求较高。

二、学生学习情况分析：任教的学生在年级属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习矩阵所具备的对新知识的接受能力及理解能力相对不足，尤其在初次接触高等数学知识时表现出非常想学但又很难理解的矛盾。

三、设计思想紧扣教材，层层深入，设置台阶，在学生的最近发展区帮助学生理解。

四、教学目标能通过几何变换直接求出二阶矩阵的特征值和特征向量，理解特征向量的存在性和不惟一性，理解并掌握用行列式的方法求特征值及其对应的特征向量。

培养学生质疑、释疑的能力。

五、教学重点与难点重点是二阶矩阵的特征值和特征向量的求解，难点是特征值和特征向量的概念理解、行列式的应用。

六、教学过程设计（一）知识准备、新课引入1在学习第2.2.2节的伸压变换时，我们知道矩阵M=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001对应的伸压变换把弹簧向下压缩为原来的一半，对应的变换为T M: (x,y)→(x,21y).考察点（1,0），（0,1）对应的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡01，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10，有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001⎥⎦⎤⎢⎣⎡01=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001⎥⎦⎤⎢⎣⎡10=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡210。

所以变换后，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡01没有改变；向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡10方向没有改变，而长度变为原来的一半。

因此，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡01，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10变换后与各自的原象共线。

[设计意图：由伸压变换引入矩阵的特征值与特征向量的定义较为直观]2填空：矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换也使变换后向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡01，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10与各自的原象（）3 定义：二阶矩阵A 的特征值和特征向量的概念见教材[分析：像这样从几何变换的角度引出特征值和特征向量的概念，一方面能使学生对概念易于接受但另一方面也容易让学生误以为特征向量就是⎥⎦⎤⎢⎣⎡01，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10或者他们的实数倍，所以此时需要设置一定的台阶加深概念的理解。

《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计

《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计所属学科及专业：数学学科各专业所属课程：《高等代数》适用对象：本专科院校数学各专业学生一、教学背景首先，本节课的主讲内容“矩阵特征值与特征向量的定义与性质”是矩阵的运算和性质的简单应用，它是更好地理解线性变换的特征值与特征向量概念的前提和基础，是理解矩阵和线性变换的特征值和特征向量计算原理的基石，也为进一步学习和理解实二次型化标准型提供了一定的理论支持。

其次，通过之前线性变换和矩阵之间关系的学习，学生已感受到了矩阵的重要地位和作用，这为本节课的学习做了铺垫。

另外，矩阵的加法、数乘和乘法等运算及其性质的掌握为本节课的展开提供了理论支持。

再次，现今的大学数学教育，大部分学生的学习仍是被动学习，以学习知识为目的，不注重数学思想方法的领会，脱离了学习的最终目的和宗旨。

作为大学数学的授课教师，尤其是基础学科教师，应该尽其所能向学生展示数学知识的形成和发展过程，达到教育和学习的真正目的。

二、教学目标及教学重难点根据所讲内容在教材中的地位和作用，结合学生的认知水平，设定下列教学目标。

（一）知识目标1、通过总结、归纳和剖析，深刻理解矩阵特征值和特征向量的概念；2、通过激发学生的好奇心和求知欲，熟悉并掌握矩阵特征值和特征向量的相关性质。

（二）能力目标1、通过基本概念的学习，提高仔细观察和深入思考的能力；2、通过性质的学习过程，培养学生自己提出问题、分析问题和解决问题的能力，增加学习动力和热情。

（三）情感目标1、通过对概念的剖析，培养学生一丝不苟的学习态度和严谨求实的数学素养，最终形成老老实实做人，踏踏实实做事的工作学习作风；2、通过性质的学习，让学生感受从不同角度观察和认识事物，培养其多角度分析、解决实际问题处世技能。

根据教学目标和学生特点，将特征值与特征向量的性质作为本节课的教学重点和教学难点。

三、教学方法针对要讲解的两大知识点（特征值和特征向量的概念和性质），结合人类认识事物的规律，采取以问带学，边学边问的启发、探索式授课。

《3.1.1 特征值与特征向量》教案2

《3.1.1 特征值与特征向量》教案2教学目的掌握方阵的特征值和特征向量的概念和求法.教学重点掌握方阵的特征值和特征向量的求法.教学难点方阵特征向量的求法.教学过程1 定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零列向量x ，使得 Ax x λ= (1) 成立，则称λ是方阵A 的特征值，x 是A 的属于特征值λ的特征向量.注 1. 只对方阵有这样的定义, 而且特征向量必须是非零向量. 2. (1)成立()0A E x λ⇔-=有非零解.0E A λ⇔-=.E A λ-称为A 特征多项式.0E A λ-=称为A 特征方程.2 矩阵特征值、特征向量的计算步骤： 1．解特征方程0E A λ-=；求出特征根，即A 的特征值12,,,n λλλL 由于特征方程是关于λ的n 次代数方程，所以在计算行列式值写出特征多项式（λ的n 次多项式）时，应尽可能写成低次因式乘积的形式以便解特征方程.2．对每个特征值i λ，解齐次线性代数方程组()0i A E x λ-=.求出其基础解系，即为矩阵A 属于特征值i λ的特征向量.矩阵A 属于i λ的线性无关特征向量的个数有()i n R A E λ--个，即为()0i A E x λ-=解空间()i N A E λ-的维数，常称()i N A E λ-为矩阵A 属于特征值i λ的特征子空间（其中任一非零向量皆为A 属于i λ的特征向量.注以上由定义导出的一般计算方法，在已知特征值求特征向量或已知特征向量求特征值的情况下都会得到简化.例1求下列矩阵的特征值和特征向量：(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4211； (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321； (3)()12121,(0)n n a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭LM .并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1) ① )3)(2(4211--=---=-λλλλλE A ，故A 的特征值为122,3λλ==.② 当12λ=时, 解方程(2)0A E x -=，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00112211)2(~E A 得基础解系⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111P所以)0(111≠k P k 是对应于12λ=的全部特征值向量．当23λ=时，解方程(3)0A E x -=，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00121212)3(~E A 得基础解系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212P 所以)0(222≠k P k 是对应于23λ=的全部特征向量．③ 023121)1,1(],[2121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==P P P P T ，故12,P P 不正交． (2) ① )9)(1(633312321-+-=---=-λλλλλλλE A ，故A 的特征值为1230,1,9λλλ==-=．② 当10λ=时，解方程0Ax =，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111P故)0(111≠k P k 是对应于10λ=的全部特征值向量.当21λ=-时，解方程0)(=+x E A ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112P故)0(222≠k P k 是对应于21λ=-的全部特征值向量. 当39λ=时，解方程0)9(=-x E A ，由⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A 得基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/12/13P故)0(333≠k P k 是对应于39λ=的全部特征值向量．③ ==2121],[P P P P T0011)1,1,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---，012/12/1)0,1,1(],[3232=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==P P P P T ，012/12/1)1,1,1(],[3131=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==P P P P T ，所以123,,P P P 两两正交．(3) λλλλ---=-2212221212121n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A ΛM O M MΛΛ=)(222211n n n a a a +++--Λλλ[])(222211n n a a a +++-=-Λλλ∑==+++=∴ni i na a a a 12222211Λλ, 032====n λλλΛ.当∑==ni ia121λ时，()E A λ-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------=-212221212223211212122322n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛM O M M ΛΛΛΛ初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000000000121ΛΛM M O M M ΛΛn n n n a a a a a a 取n x 为自由未知量，并令n n a x =，设112211,,--===n n a x a x a x Λ. 故基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a P M 211当032====n λλλΛ时，()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-22122212121210n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a E A ΛM M MΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000~21ΛM M M ΛΛna a a 初等行变换可得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112312200,,00,00a a P a a P a a P n n M ΛM M综上所述可知原矩阵的特征向量为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=112212100,,,a a a a a a a P P P n n n ΛM M M ΛΛΛ.例2 已知向量(1,1,3)Tv =是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3402112b a的一个特征向量, 试求A 对应于x 的特征值，并确定A 中之,a b 之值.解由定义知，成立Av v λ=，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3402112b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡311=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ3，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++522b a =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ3，于是得2,0,1a b λ===.3 矩阵特征值、特征向量的常用性质性质1 若12,,,n λλλL 是n 阶矩阵()ij A a =特征值，则必有121122()n nn a a a tr A λλλ+++=+++=L L （A 的迹）.12n A λλλ=L .性质1的第一式常可用于对特征值计算作一简单的校核.第二式构通了矩阵行列式与特征值的关系，得到了计算行列式（全体特征值之积）及证明矩阵A 可逆（矩阵A 可逆的充要条件是无一特征值为0）的又一途径. 这些性质必须熟记.性质2 若12,,,k λλλL 是n 阶矩阵A 的两两不等的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,k x x x L 则12,,,k x x x L 线性无关.性质3 若λ是矩阵A 的特征值，x 是A 属于λ的特征向量，则k λ+，21,(0)λλλ-≠，(0),()Af λλλ≠是2110,,,*,()m m A kE A A A f A a A a A a E -+=+++L ，的特征值, x也是相应的特征向量.例3 若λ是矩阵A 的特征值，x 是A 属于λ的特征向量，试求证k λ+是A kE +的特征值, x 也是A kE +属于k λ+的特征向量.证明因为Ax x λ=，所以()()A kE x Ax kx x kx k x λλ+=+=+=+.例4 已知12,λλ是矩阵A 的两个特征值12λλ≠，12,x x 分别是A 属于12,λλ的特征向量，试求证12x x +决非A 的特征向量.证明分析一下要证的结论是“12x x +不是A 的特征向量”，由于特征向量这一性质以确定等式表出，故对这样的命题，自然想到要用反证法.另外，依给定的条件，用性质可知12,x x 是线性无关的。

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