概率论1-5

例2 甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命 中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求 它被甲击中的概率？
二、有限个事件的独立性
定义1
设 A、B、C 为三个事件， 若满足等式
P ( AC ) P ( A ) P ( C ),
P ( AB ) P ( A ) P ( B ),
P ( BC ) P ( B ) P ( C ), P ( ABC ) P ( A ) P ( B ) P ( C ),
互不相容 独立
P ( A) P (B ) P ( A B ) 3 .P ( A B ) P ( A)P (B A) P ( A ) P ( B ) 独立
6.全概率和
4 . P ( A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) 贝叶斯公式
(且不受其他乘客下车与否的影响), 交通车只在有
乘客下车时才停车, 求交通车在第 i 站停车的概率 以及在第 i 站不停车的条件下 第 j 站停车的概率, 并判断 “第i 站停车” “第 j 站停车”两个事件 与 是否独立. 解 记 A k 为“第k 位乘客在第 i 站下车”,
k 1 , 2 , , 25 .
k 1
Байду номын сангаас
( k 1 , 2 , , n ).
等价于 注意到 “事件A第k次才首次发生” “事件A前 k 1 次均不发生， 而第 k 次才发 再由伯努利定理即推得. 生”，
例 7 一条自动生产线上的产品, 次品率为 4%, 求: (1) 从中任取 10 件, 求至少有两件次品的概率; (2) 一次取 1 件, 无放回地抽取,求当取到第二件次 品时, 之前已取到 8 件正品的概率.
P ( AB ) P ( A ) P ( B )
(1)
或称 A, B 相互独立. 则称 A, B 独立， 注： 当 P ( A ) 0 , P ( B ) 0 时，A , B 相互独立 与 A , B 互不相容不能同时成立. 但 与 S 既相
互独立又互不相容(自证).
且 若 定理1 设 A , B 是两事件， A , B 相互独立， P ( B ) 0 , 则 P ( A | B ) P ( A ). 反之亦然. 则下列各对事件也 定理2 设事件 A , B 相互独立， 相互独立：
1 P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A n )
1 P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A n )
1 ( 1 p 1 ) ( 1 p n ).
性质3
设 A 1 , A 2 , , A n 是 n ( n 2 ) 个随机事件，
则称事件A、B、C 相互独立. 对 n 个事件的独立性，可类似写出其定义： 设 A 1 , A 2 , , A n 是 n ( n 1 ) 个事件， 若对任意
k ( 1 k n ) 个事件
A i1 , A i 2 , , A i k ( 1 i 1 i 2 i k n )
从中抽取2件， 又如， 一批产品共 n 件， 设事件
A i {第 i 件是合格品}， i 1 , 2 ,
若抽取是有放回的，则 A 1 与 A 2 独立. 因第二 次抽取的结果不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则 A 1 与 A 2 不独立. 因第 二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.
练习 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人 击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率 为0.6, 若三人都击中,飞机必定被击落, 求飞机被击 落的概率.
练习：一辆飞机场的交通车载有 25 名乘客 途经 9
个站,每位乘客都等可能在这 9 站中任意一站下车
其中
P ( C D E ) 1 P ( C ) P ( D ) P ( E ) 0 . 973 ,
练习设有 n个人向保险公司购买人身意外保险 （保险期为1年），假定投保人在一年内发生意 外的概率为0.01， （1）求保险公司赔付的概率； （2）当 n为多大时，使得以上赔付的概率超过0.5？
例 3 已知甲、乙两袋中 分别装有编号为 1, 2, 3, 4 的四个球. 今从甲、乙两袋中各取出一球, 设
A {从甲袋中取出的是偶数号球}, B {从乙袋中取出的是奇数号球},
C {从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数号球},
试证 A , B , C 两两独立但不相互独立.
例 4 如图是一个串并联 电路系统. A 、B 、C 、D 、 E 、F 、 、H 都是电路中 G
A 与B ,
A 与B,
A 与B .
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记 A {抽到 K }, B {抽到的牌是黑色的}, 问事件
A 、 是否独立? B
关于事件独立性的判断 从例1可见，判断事件的独立， 可利用定义或通 过计算条件概率来判断. 但在实际应用中， 常根据问题的实际意义去判断 两事件是否独立. 例如， 甲、乙两人向同一目标射击，记事件 A {甲命中}， B {乙命中}， 故A B 因“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，、 独立.
P ( A | B ) P ( A ),
其中 P ( B ) 0 其中 P ( A ) 0
(1) (2)
同样，如果
P ( B | A ) P ( B ),
(1)式和(2)式 称事件B 独立于 A. 由乘法公式易见， 均等价于
P ( AB ) P ( A ) P ( B )
(3)
定义 若两事件 A , B 满足
均满足等式
P ( A i1 , A i 2 , A i k ) P ( A i1 ) P ( A i 2 ) P ( A i k ),
(1)
则称事件 A1 , A2 ,, An 相互独立. 注： (1) 式包含等式总数为
C n C n C n ( 1 1 ) C n C n 2 n 1;
事件A恰好发生k次的概率为
b ( k ; n , p ) C n p (1 p )
k k nk
( k 0 ,1 , , n ).
事件A发生的概率为 推论 设在一次试验中， 事件A p ( 0 p 1 ), 则在伯努利试验序列中， 在第k次试验中才首次发生的概率为
p (1 p )
性质2 若 n 个事件 A 1 , A 2 , , A n ( n 2 ) 相互独
立， 则将 A 1 , A 2 , , A n 中任意 m ( 1 m n )
个事件换成它们的对立事件， 所得的 n 个事件 仍相互独立；
若事件间具有相互独立性， 则将使概率的计算变 得简单.
设 A 1 , A 2 , , A n 相互独立，且事件 A 1 ,
2 3 n n 1 0 n
若其中任 设 A 1 , A 2 , , A n 是 n 个事件， 意两个事件之间均相互独立，则称 事件 A1 , A2 , 定义2
An 两两独立.
三、相互独立性的性质 性质1 若事件 A 1 , A 2 , , A n ( n 2 ) 相互独立， 则其中任意 k ( 1 k n ) 个事件也相互独立；
A 2 , , A n 发生的概率分别为 p 1 , p 2 , , p n , 则
的概率为 “ A 1 , A 2 , , A n 至少有一个发生”
P ( A1 A 2 A n )
1 P ( A1 A 2 A n ) 1 P ( A1 A 2 A n )
将伯努利试验在相同的条件下独立地重复进行 称这一串重复的独立试验为 n 重伯努利 n 次， 试验， 或简称为伯努利概型.
注： n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型， 事件 在实际问题中具有广泛的应用. 其特点是： A 在每次试验中发生的概率均为 p , 且不受其它
各次试验中 A 是否发生的影响. 伯努利定理 设在一次试验中， 事件 A 发生的概 率为 p ( 0 p 1 ), 则在n重伯努利试验中，
四、伯努利概型 如果随机试验只有两种可能的结果： 事件 A 发生(记为 A )或事件 A 不发生(记为 A ),
则称这样的试验为伯努利 (Bernoulli) 试验. 设
P ( A ) p , P ( A ) 1 p q , ( 0 p , q 1 , p q 1 ),
可推出 A 1 , A 2 , , A n 则 A 1 , A 2 , , A n 相互独立， 两两独立. 反之不然.
注： 即相互独立性是比两两独立性更强的性质， 因为 n 个事件 A 1 , A 2 , , A n 相互独立，则其中
任何一个或多个事件的发生 都不会对其余事件发
生的概率产生影响.
1.5 事件的独立性 一、两个事件的独立性 例1 一批产品共10件，其中有6件正品，4件次 品，从中抽取两次，每次 一件，采取回置 式抽样。 设B=“第一次抽到正品”， A=“第二次抽到正品”，
事件B 发生， 显然， 并不影响事件A 发生的 概率， 这时我们称事件A独立于 B, 在数学上， 可表述为：
5 .P ( A B ) P ( A B ) P( A B) P( AB)
的元件. 它们下方的数字
C
0 .7 0
F
0 .7 5
A
0 .9 5
B
0 .9 5
D
0 .7 0
H
0 .9 5
G
0 .7 5
E
0 .7 0
是它们各自正常工作的概率, 求电路系统的可靠性. 解 以 W 表示电路系统正常工作, 因各元件独立工 作, 故有
P (W ) P ( A ) P ( B ) P ( C D E ) P ( F G ) P ( H ),