高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用函数的凸性
第六章微分中值定理及其应用(精)
第六章 微分中值定理及其应用教学基本要求1.熟练掌握微分中值定理的条件和结论，通过举缺少条件的反例来加深理解;2.熟练掌握三个定理之间的关系以及几何上的一致性;3.熟练掌握L`Hospital 法则并应用极限计算．4.熟练掌握用导数来研究函数单调性、极值、最大值和最小值的方法,尤其是函数的单调性、凸性等几何性状;5.熟练掌握Taylor 公式，并理解Taylor 公式作为Lagrange 定理的推广在多项式逼近中将起的作用;6.掌握中值定理和Taylor 公式的应用,提高应用能力。
7.会利用导数等分析手段准确描绘函数图象．§ 1 拉格朗日定理和函数的单调性教学目的：熟练掌握罗尔中值定理，拉格朗日中值定理及其应用，掌握导数极限定理及意义，应用，掌握函数单调的条件及应用．使学生掌握拉格朗日中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础 教学内容拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意义。
掌握它的证明方法，了解它在微分中值定理中的地位。
教学重点：函数为常函数的充要条件; 导数极限定理; 函数单调的条件．一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。
极值概念：回忆极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数f 在点0x 的某 邻域内有定义，且在点0x 可导，若点0x 为f 的极值点，则必有 0)(0='x f1．罗尔中值定理：若函数f 满足如下 条件：（i ）f 在闭区间[a ，b]上连续； （ii ）f 在开区间（a ，b ）内可导； （iii ）)()(b f a f =，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得f '（ξ）=0（分析）由条件（i ）知f 在[a ，b]上有最大值和最小值，再由条件（ii ）及（iii ），应用费马定理便可得到结论。
第六章 微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用【教学目的】1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
【教学重点】中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性【教学难点】用辅助函数解决问题的方法【教学时数】14学时§1 中值定理【教学目的】掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
【教学要求】深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
【教学重点】中值定理。
【教学难点】定理的证明。
【教学难点】系统讲解法【教学时数】4学时一、极值概念1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )2. 可微极值点的必要条件:Th ( Fermat ) ( 证 )函数的稳定点, 稳定点的求法.二、微分中值定理1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157.Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且( 证 )Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3. Cauchy中值定理:Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.证：分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾.Cauchy中值定理的几何意义.三、中值定理的简单应用1. 证明中值点的存在性例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得.证在Cauchy中值定理中取.例2 设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明:.2. 证明恒等式原理：例3 证明: 对, 有.和可导且又则.证明.例 4 设函数例5 设对, 有, 其中是正常数. 则函数是常值函数. (证明 ).3. 证明不等式:例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对，有.4. 证明方程根的存在性:证明方程在内有实根.例8 证明方程在内有实根.作业：P124-125 2(1) 5 6(1)(2) 7(1)(2)§2 柯西中值定理和不定式的极限【教学目的】1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
第六章 微分中值定理及其应用
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
《数学分析》第六章微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）§ 1中值定理 （ 3时 ）一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。
基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。
还是从导数的定义出发：00)()(limx x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即00)()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.二 微分中值定理:1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ⇒≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=⇒'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点0x 的某右邻域)(0x + 上连续,在)(0x +内可导.若)0()(lim 00+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0 ,1sin )(2x x xx x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).Th3 (导数极限定理) 设函数)(x f 在点0x 的某邻域 )(0x 内连续, 在)(0x内可导. 若极限)(lim 0x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(00x f x f x x '='→ ( 证 )由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.3. Cauchy 中值定理:Th 4 设函数f 和g 在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, f '和g '在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点,ξ 使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证 分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )()()()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理的条件, ∍∈∃⇒ ),,( b a ξ-'=')()(ξξf F )()()()(a g b g a f b f --.0)(='ξg必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“f '和g '在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ⇒Cauchy 中值定理的几何意义.Ex [1]P 163 1—4；三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(lnξξf ab'⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .2. 证明恒等式: 原理.例3 证明: 对R ∈∀x , 有 2π=+arcctgx arctgx .例 4 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f gf 则 )()(x cf xg =.(证明0) (='fg. ) 例 5 设对R ∈∀ , h x ,有 2|)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).3. 证明不等式: 原理.例6 证明不等式: 0>h 时,h arctgh h h<<+21. 例7 证明不等式: 对n ∀，有nn n 1) 11 ln(11<+<+.4. 证明方程根的存在性:例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++23423在) 1 , 0 (内有实根.四 单调函数 （结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) ⇔在),(b a 内 0)(≥'x f ( 或0≤ ).例10 设13)(3+-=x x x f .试讨论函数)(x f 的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞. ⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(='x f ,得1,1=-=x x⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单Th6设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘) ⇔ⅰ> 对),,(b a x ∈∀ 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见P124例11 证明不等式 .0,1≠+>x x e xEx [1]P 124—125 1—7.§2 不定式的极限 ( 2时 )一.型: Th 1 (L 'Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 .cos cos 1lim2xxtg xx +→π例2 )1l n ()21(l i m2210x x e xx ++-→. 例3 xx ex-+→1l i m 0. ( 作代换x t = 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 xx x x s i n 1s i nlim20→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )二∞∞型: Th 2 (L 'Hospital 法则 ) ( 证略 )例5 ) 0 ( ,ln lim >+∞→ααxxx .例6 3lim x e xx +∞→.注: 关于x x e x ln ,,α当+∞→x 时的阶.例7 xxx x sin lim +∞→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )三. 其他待定型: ∞-∞∞∞⋅∞ , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的. 例8.ln lim 0x x x +→例9)(sec lim 2tgx x x -→π.例10xx x =→0lim .例11xx x ⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0.例12()21cos lim x x x →.例13nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim .例14设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0 ,0,0 ,)()(x x x x g x f 且 .3)0( ,0)0()0(=''='=g g g 求).0(f '解 200)(lim 0)(lim )0()(lim )0(x x g xx x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 23)0(21)0()(lim 212)(lim 0000=''='-'='=→→g x g x g x x g x x .Ex [1]P 132—133 1—5.§3 Taylor 公式 ( 3时 )一. 问题和任务:用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylor ( 1685—1731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式 )(x P n 及Maclaurin 多项式)例1 求函数24)(23+-=x x x f 在点20=x 的Taylor 多项式.三. Taylor 公式和误差估计:称 )()()(x P x f x R n n -=为余项. 称给出)(x R n 的定量或定性描述的式 )()()(x R x P x f n n +=为函数)(x f 的Taylor 公式.1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数f 满足条件:ⅰ> 在闭区间],[b a 上f 有直到n 阶连续导数; ⅱ> 在开区间),(b a 内f 有1+n 阶导数. 则对),,( ),,(b a b a x ∈∃∈∀ξ 使+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(21)1()()!1()(++-++n n a x n f ξ∑=+-=nk kk a x k a f 0)()(!)(1)1()()!1()(++-+n n a x n f ξ. 证 [1]P 138—139.称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()!1())(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a fx R θ ) 1 , 0(∈θ.0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ 10<<θ. 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数f 在点a 的某邻域 )(a 内具有1-n 阶导数, 且)()(a fn 存在, 则+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(2()n a x )(- , )(a x ∈.证 设)()()(x P x f x R n n -=, na x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次,并注意到)()(a fn 存在, 就有=====--→→)()(lim )()(lim )1()1(00x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1())(()()(lim)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)()1()1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()nn a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano型余项为)()(nn x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).四. 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开:1. 直接展开:例2 求 xe xf =)(的Maclaurin 公式.解 ) 10 ( ,)!1(!!2!1112<<++++++=+θθn xn xx n e n x x x e . 例3 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.解 )()!12() 1 (!5!3sin 212153x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- , 10 ,)21(sin )!12()(122<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+θπθm x m x x R m m . 例4 求函数)1ln()(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 )!1() 1()0( ,)1()!1() 1()(1)(1)(--=+--=--n f x n x f n n nn n . )() 1(32)1l n (132n nn x nx x x x x +-+-+-=+-. 例5 把函数tgx x f =)(展开成含5x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式.2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=, ) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=.例7 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解 ) (!6!4!21c o s6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2c o s1(21c o s 665422x x x x x x +-+-=+=.例8 先把函数xx f +=11)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式.利用得到的展开式, 把函数x x g 531)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式. 解 ,)1(!)1(1)(++-=n n n x n f !)1()0()(n f n n -=. ); ()1(1)(32nn n x x x x x x f +-++-+-=13)2(511131)2(5131531)(-+=-+=+=x x x x g=⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +().)2(n x - 例9 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，并与x sin 的相应展开式进行比较.解 ), (!!2!112n nxx n x x x e +++++= )(!)1(!2!112n n n xx n x x x e +-+-+-= ; ∴ ) ( )!12(!5!32121253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx . 而 ) ()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+-+-=m m m x m x x x x x . 五. Taylor 公式应用举例:1. 证明e 是无理数: 例10 证明e 是无理数.证 把xe 展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 反设e 是有理数, 即p q p e ( =和q 为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.对qpn e n q n ⋅=>∀!! ,也是整数. 于是,-⋅=+q p n n e !1ξ整数 = 整数―整数 = 整数.但由,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 因而当 3>n 时，1+n e ξ不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值:例11 求e 精确到000001.0的近似值.解 10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 注意到,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 有 )!1(3) 1 (+≤n R n . 为使000001.0)!1(3<+n , 只要取9≥n . 现取9=n , 即得数e 的精确到000001.0的近似值为 718281.2!91!31!2111≈+++++≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限: 原理:例12 求极限 ) 0 ( ,2lim20>-+-→a x a a x x x . 解 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x aa xx+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4． 证明不等式： 原理.例13 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x+>1. Ex[1]P141 1—3.§4 函数的极值与最大（小）值（ 4时 ）一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat 定理(取极值的必要条件).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点0x 连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极小值点;ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则0x 不是极值点.Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点0x 为函数)(x f 的驻点且)(0x f ''存在.则 ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极小值点.证法一 .)(lim )()(lim)(000000x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→当0)(0<''x f 时, 在点0x 的某空心邻域内0)(x x x f -')( ,0x f '⇒<与0x x -异号,…… 证法二 用Taylor 公式展开到二阶, 带P eano 型余项. Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x fn .则ⅰ> n 为奇数时, 0x 不是极值点; ⅱ> n 为偶数时, 0x 是极值点. 且0)(0)(>x fn 对应极小; 0)(0)(<x f n 对应极大.例1 求函数32)52()(x x x f -=的极值.例2 求函数x x x f 432)(2+=的极值. 例3 求函数34)1()(-=x x x f 的极值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 它在0=x 处取极小值,但因 ,2,1,0)0()(==k f k .所以无法用Th 4对它作出判别.二 函数的最大值与最小值:⑴设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点n x x x ,,,21 . 则 )(m a x ],[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ;m i n )(m i n ],[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f .⑵函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值:ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当0x 为极大值点时,0x 亦为最大值点; 当0x 为极小值点时, 0x 亦为最小值点.ⅲ> 若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值.⑶最值应用问题:例5 A 、B 两村距输电线(直线)分别为km 1 和km 5.1（如图）， CD 长.3km . 现两村合用一台 变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BE AE +最小.解 设x 如图，并设输电线总长为(x L.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=x x x EB AE x L015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令===+⋅+-+--+-='x x x x x x x L ,⇒1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+⇒x x解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ). 答： …… 三 利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用 导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P 112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式:原理: 若f ↗, 则对βα<∀, 有不等式)()(βαf f ≤. 例5证明: 对任意实数a 和b , 成立不等式. 1 ||1||||1b b a a b a b a +++≤+++证 取⇒>+='≥+= ,0)1(1)( ).0( ,1)(2x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++.2. 不等式原理: 设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)例6 证明: 21>x 时, 1)1ln(2->+arctgx x .例7 证明: 0>x 时, !3sin 3x x x ->.3. 利用极值证明不等式: 例8 证明: 0≠x 时, x e x+>1. Ex [1]P 146—147 1—9.§5 函数的凸性与拐点（ 2时 ）一． 凸性的定义及判定：1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 见书P146凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)2． 利用一阶导数判断曲线的凸向 Th1 (凸的等价描述) 见书P146例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)3． 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th2 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格上凸; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格下凸. 证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2210x x x +=, 把)(x f 在点 0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有,)(2)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ.其中1ξ和2ξ在1x 与2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有[]20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< , 即)(x f 严格上凸. 若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> , 即)(x f 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2210x x x +=,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有 ))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ, ))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒ ))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸.可类证0)(<''x f 的情况.例2 讨论函数x x f arctan )(=的凸性区间.例3 若函数)(x f 为定义在开区间),(b a 内的可导函数,则),(0b a x ∈为)(x f 的极值点的 充要条件是0x 为)(x f 的稳定点，即.0)(0='x f4． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.Th3 (拐点的必要条件) Th4注:. 例4 讨论曲线x x f arctan )(=的拐点.Jensen 不等式: 设在区间],[b a 上恒有0)(>''x f ( 或) 0<, 则对],[b a 上的任意n 个点 )1(n k x k ≤≤, 有Jensen 不等式:∑=≥n k k x f n 1)(1( 或⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=n k k x n f 11) ,且等号当且仅当n x x x === 21时成立.证 令∑==nk k x n x 101, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-nk kx x10,0)( 即得所证.对具体的函数套用Jensen 不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xy x e e e+≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式na a a n11121+++ n a a a a a a nn n +++≤≤ 2121 . 证 先证不等式na a a a a a nn n +++≤ 2121.取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有∑∑∑∑∏=====⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n nk k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln .由)(x f ↗↗ ⇒ na a a a a a n n n +++≤ 2121 .对+∈R na a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x . 解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a 28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )Ex [1]P 153 1—5.§6 函数图象的描绘（ 2时 ）微分作图的步骤: ⑴确定定义域.⑵确定奇偶性、周期性.⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点. ⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点. ⑹确定渐近线.⑺适当补充一些点,如与坐标轴的交点. ⑻综合以上讨论作图. 例1 描绘函数3231)(+--=x x x x f 的图象. 例2 描绘函数222)(21)(σμσπ--=x ex f (其中0,>σμ为常数)的图象.Ex [1]P 155 (1)—(8).。
1-6章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用6-5
h l i m 0 F ( h ) h l i m 0 f ( x 0 h h ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) 存 在 .
f(x1)h f(x1h)f(xx 22 ) x f1 (x1) 令h0 ,因为 f(x2hh)f(x2).
h l im 0 f(x 1 ) h f(x 1 h ) f (x 1 ) f(x 1 ),
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h l im 0 f(x 2 h h ) f(x 2 ) f (x 2 ) f(x 2 ), 所以
f( x 2 ) f( x 1 ) f( x 3 ) f( x 1 ) f( x 3 ) f( x 2 ).( 4 )
x 2 x 1 y
x 3 x 1
x 3 x 2
f (x3) f (x1)
f (x2)
O x1
x2
x3 x
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例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在
y
是严格凸和严格凹的，这时称 点 M 为 曲 线 y f ( x ) 的 拐 点 . • M
f(x1)f(x x 22 ) x f1 (x1)f(x2), 故f(x)递 增 .
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( i i ) ( i i i ) 对 于 任 意 x 1 , x 2 I , 不 妨 设 x 1 x 2 .
则 f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( ) ( x 2 x 1 ) x 1 x 2 . 因 为 f(x )递 增 ,所 以
(a, b) 中每一点的左、右导数存在.
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用函数的凸性与拐点课件
(ii) (iii ) 对于任意 x1 , x2 I , 不妨设 x1 x2 . 则 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) x1 x2 .
因为 f ( x ) 递增, 所以 f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ).
例 3 设函数 f (x)为 (a, b) 上的可导凸(凹)函数.
那么 f ( x0 ) 0 的充要条件是 x0 为 f ( x ) 的极值点. (本例说明：在凸(凹)函数的条件下，可微函数的
极值点与稳定点是等价的.) 证 充分性是显然的(费马定理). 下面证明必要性. 设 f (x)是凸函数, x0 是 f (x) 的稳定点, 即f ( x0 ) 0. 由定理 6.14 的 (ii), f ( x ) 是递增的. 所以 (i) 当x (a, x0 )时，f ( x ) 0, f ( x ) 是递减的， 故
f ( x ) f ( x0 ), x (a , x0 );
(ii) 当 x ( x0 , b) 时,f ( x ) 0, f ( x ) 是递增的, 故
f ( x ) f ( x0 ), x ( x0 , b).
综上,f ( x ) f ( x0 ), x (a, b). 即 f ( x0 ) 是 f ( x ) 的极小值.
我们在这里再一次强调，
函数 f 是凸函数的几何意 义是:曲线 y = f (x) 的弦位
y
B
于相应曲线段的上方;而它
的切线位于曲线的下方.
O
A
x
我们在定理中列出了凸函数的三个等价性质. 对 于凹函数也有类似的性质, 请大家写出相应的定 理.
定理6.15
数学《微分中值定理及其应用》讲义
第六章微分中值定理及其应用1. 教学框架与内容教学目标①掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．②了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限．③理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．④掌握函数的极值与最大(小)值的概念．⑤掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．⑥掌握函数图象的大致描绘．教学内容①罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；用导数判别函数的单调性.②柯西中值定理；洛必达法则求各种不定式极限．③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．④函数的极值的第一、二充分条件; 求闭区间上连续函数的最值及其应用．⑤函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式; 左、右导数的存在与连续的关系.⑥根据函数的性态表以及函数的单调区间、凸区间，大致描绘直角坐标系下显式函数图象.2. 重点和难点①中值定理证明中辅助函数的构造.②洛必达法则定理的证明.③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明.④函数的极值的第三充分条件.⑤运用詹森不等式证明或构造不等式.⑥参数形式的函数图象.3. 研究性学习选题● 如何运用中值定理对一些习题整理归类，思考中值定理的应用技巧(构造函数).● 利用导数证明不等式总结利用导数证明不等式的方法.● 不定式极限回顾总结求函数极限的方法.● 运用泰勒公式求极限，等价无穷小的代换问题.总结常见函数的泰勒公式,举例说明其在求不定式极限中的应用, 分析等价无穷小的代换问题.● 凸函数性质研究总结凸函数的性质.4. 综合性选题，写小论文★如何构造辅助函数.5. 评价方法◎课后作业，计30分.◎研究性学习布置的五个选题(选最好的两个计分)合计30分.◎小论文计10分.◎小测验计30分§1 中值定理和函数的单调性在这一章，我们主要由导函数f '的性质来推断函数f 本身的性质(主要研究f 的单调性，凸凹性，图像等) 而微分中值定理是我们研究的主要工具(微分中值定理主要包括Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理及Taylor 公式) 我们首先介绍Rolle 中值定理. 一、中值定理 1．Rolle 中值定理定理 (Rolle ) 设函数f 满足下列条件: 1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导; 3) ()()f a f b =,则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.Rolle 中值定理的几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，如果两端点的高度相同，则该曲线至少存在一条水平切线.注1 Rolle 定理的条件仅充分而不必要且缺一不可. (作图说明)例1 证明: 10x x ++=3只有一个实根且在(1,0)-中. 2．Lagrange 中值定理定理 (Lagrange ) 设函数f 满足下列条件：1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导, 则在(,)a b 内至少∃一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义 在满足定理条件的曲线()y f x =至少存在一点(())P f ξξ，, 使得 曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.注 2 中值点(,)a b ξ∈对ξ的不同表示有不同形式的Lagrange 公式a) ()()()()f b f a f b a ζ'-=-, (,)a b ξ∈; b) ()()(())()f b f a f a b a b a θ'-+--＝, 01θ<<; c) ()()()f a h f a f a h h θ'+-=+, 01θ<<.推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '≡，x I ∈, 则f 在I 上恒为常数.推论 2 设f ,g 在区间I 上均可导, 且()()f x g x ''≡, x I ∈则存在常数c , 使得()()f x g x c =+，x I ∈.推论3 设f 在区间I 上可导，且()f x M '≤，则任何12x x I ∈，,1212()()f x f x M x x -≤-从而导函数有界的函数必一致连续 (Lipschitz 连续).推论4 (导数极限定理) 设f 在0x 点某邻域0()U x ＋内连续，在00()U x ＋内可导， 且极限00lim ()(0)x x f x f x +→''=+存在，则f 在0x 右可导，且 000()lim ()(0)x x f x f x f x ++→'''+＝＝对左导数有类似的结论，事实上，我们有下面的定理.定理 设函数f 在0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x ︒可导，若极限0lim ()x x f x →'存在，则0()f x '存在且00()lim ()x x f x f x →''=.注 3 由导数极限定理与导数具有介值性(Darboux 定理)知, 若函数f 在区间I 上可导，则在区间I 上的每一点，要么是()f x '的连续点，要么是'f 的第二间断点，即导函数不可能有第一类间断点.推论5 若f 在[,]a b 上可导，且f '单调，则f '必连续. (导数极限定理适用于求分段函数的导数) 例2 求分段函数()f x 的导数. [说明定理的作用]sin ,()ln(1),x x x f x x x ≤⎧+=⎨>+⎩２0,0,注4 对推论5，当0(0)f x '+不存在时，未必有0()f x '不存在.例3 设sin , () 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩２１0,0,求(00)f '+，(0)f '.3. Cauchy 中值定理定理 (Cauchy ) 设函数f 和g 满足1) 在[,]a b 上连续; 2) 在(,)a b 上可导; 3) ()f x '和()g x '不同时为零; 4) ()()g a g b ≠,则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 几何意义证明 (先给一个错误证明)(如何构造函数?)一般的中值定理 设f ,g [,]a b R →连续且(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈, 使得[()()]()()[()()]f b f a g f g b g a ξξ''-=-.注5 上式不过是Cauchy 定理形式上的变形，但条件更简单，因而更具一般性. 例 4 考察2()f x x =，3()g x x =，[1,1]x ∈-相应的中值形式.二、中值定理的应用1. 证明中值点的存在--------关键构造函数例5 1) 设f 在闭区间[,]a b (0)a >上连续,(,)a b 内可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得()()ln()()bf b f a f aξξ'-=⋅⋅.2) 对函数()f x x =２确定()()()f x h f x h f x h θ'+-=⋅+中的θ, 1()2θ=.例6 设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 上可导, 且()()0f a f b ==，试证明:存在(,)a b ξ∈使()()0f f ξξ' +=. (多种变形)2. 证明恒等式 (原理: 证明其导数为0，再任取一特殊值) 例7 证明: 对任何x R ∈，arctan arccot x x π+=2.例8 设f ,g 可导且()f x ≠0，又()()0()'()f xg x f x g x='，则存在常数c , 使得()()g x c f x =⋅. (若条件改作()()()()0f x g x f x g x ''+=，则结论应为?)例9 设函数f 对任何,x h R ∈，2()()f x h f x Mh +-≤，0M >为常数，则f 为常值函数.3. 证明不等式 (利用中值定理，估计中值或(0,1)θ∈) 例10 证明0h >时，2arctan 1hh h h <<+例11 (Bernoulli 不等式) 对1x >-有 1) (1)1p x px +≥+，若0p ≤或1p ≥; 2) (1)1p x px +≥+，若0p ≤≤1; 等号当且仅当0p =或1p =或0x =成立.4. 证明方程根的存在性 [注意利用连续函数介值性与导数中值定理的区别] 例12 证明: 方程sin cos 0x x x +⋅=在(0,)π内有实根.例13 证明: 方程32432+ax bx cx a b c ++=+在(0,1)内有实根.5. 研究函数的单调定理 设f 在区间I 上可导，则f 在I 上递增(减)⇔()()00f x x '≥≤，x I ∈.定理 设f 在(,)a b 上可导，则f 在(,)a b 内单调严格递增(减)⇔ 1) (,)x a b ∀∈，()()00f x '≥≤2) f 在(,)a b 的任何区间上()0f x '≡推论 6 若f 在区间I 上可导, ()()00f x '><，则f 在I 上严格递增(减)推论 7 若f 在区间I 上可导，则f 在f '的相邻零点之间必严格单调. (说明多项式函数必有有限个单调区间)例14 设()f x x x =-３，求f 的单调区间.例15 证明: 1) 1x x >+e ，()0x ≠;2) ()()22ln 1221x x x x x x -<+<-+. 0x >.例16 利用函数单调性，重证Bernoulli 不等式(利用()f x '')例17 证明: 0x >时，sin x x x >-33!.练习 1) x >１2时，2ln(1)arctan 1x x +>-.2) tan (0)sin 2x x x x x π<<<.习 题1. 用中值定理证明sin sin x y x y -≤-，,x y R ∀∈.2. 若f 在[,]a b 上可导，且'()f x m ≥，则()()()f x f a m x a ≥+- [,]x a b ∀∈3. 证明：函数()f x 在1(0,)π上存在ξ，使得'()0f ξ=，其中11sin 0()0x x f x xx π⎧⋅<≤⎪=⎨⎪=⎩4. 求函数2()3f x x x =-的单调区间.5. 证明: 若函数g f ,在区间],[b a 上可导,且)()(),()(a g a f x g x f ='>', 则在],(b a 内有)()(x g x f >.6. 应用函数的单调性证明下列不等式:1) )3,0(,3tan 3π∈->x x x x ;2)2sin xx x π<< (0,)2x π∈.3) 0,)1(2)1ln(222>+-<+<-x x x x x x x . 7. 设f 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，且存在点(,)c a b ∈使得()0f c >， 证明: 至少存在一点(,)a b ξ∈使得"()0f ξ<.8. 设f 在[,]a b 上n 阶可导，若f 在[,]a b 上有1n +个零点，求证：()n f 在[,]a b 上 至少有一个零点.9. 试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间]1,1[-上能否应用Cauchy 中值定理得到 相应的结论, 为什么?10. 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数, 证明: )()(2)()(lim2a f ha f h a f h a f h ''=--++→. 11. 设函数f 在点a 的某个领域具有二阶导数, 证明: 对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f h a f h a f h a f θθ-''++''=--++. 12. 若f 在[,]a b 上可微，则存在(,)a b ξ∈, 使得22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.13. 设f 在[,]a b 上连续, (,)a b 上可导,且()()0f a f b ==,证明:对任何R λ∈, 存在c R ∈,使得 '()()f c f c λ=.14. 设f 在R 上可导,且x R ∀∈,'()1f x ≠, 证明: 方程()f x x =至多有一个根. 15． 设)(x p 为多项式, a 为0)(=x p 的r 重实根. 证明: a 必定是函数)(x p '的1-r 重实根.16． 设0,>b a .证明方程b ax x ++3=0不存在正根. 17． 证明:x x x x sin tan >,)2,0(π∈x .§2 未定型极限未定型(不定式)00 ∞∞(∞⋅∞∞-∞∞000，，0，1，等) 以导数为工具研究上述未定型极限，该方法称为'L Hospital 法则一、0型未定型极限定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足1) 0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==; 2) 在0x 的某去心邻域0()U x ︒都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A R A ∈=±∞∞，，,则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例1 1) 0sin lim x xx→ 2) 132lim 1x x x x x x →-+--+33２3) lim (arctan )x x x π→+∞-2 4) 21cos lim cos tan x xx xπ→++5) 0lim x +→ 6) 012limln(1)xx e x x →-++１2２()7) 20ln(1sin 4)lim arcsin x x x x →++() 8) 02lim sin x x x e e x x x-→---注1 1) 在定理中，0x x →可改作0x x x x →→±∞→∞+，，等2) 若f g ''，或f g ''''，满足定理条件，可多次应用L 法则 3) 'L Hospital 条件仅是充分的，而不必要，即()lim()x x f x g x →''不存在0()lim ()x x f x g x →⇒不存在.例2 1) cos lim x x x x →∞+ 2) 0sinlim sin x x x x →⋅２１二、∞∞型未定型极限 定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足 1) 0lim ()() (lim ())x x x x g x f x →→=+∞-∞未必为无穷;2) 若0x 的某右去心邻域0()U x ︒内f ，g 都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A A =±∞∞可看作实数或，, 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例3 1) ln lim x xx→+∞ 2) lim x x x e →+∞３----------回顾阶的比较3) 0ln(sin )limln(sin )x ax bx → 4) 2tan lim tan 3x xx π→三、其他未定型极限 1. 0⋅∞型 000∞⋅∞==∞ 例4 1) 0lim ln x x x +→ 2) 01limcot ln 1x xx x→+⋅-.2．∞-∞型 110000∞-∞=-= 例5 1) 011lim()sin x x x →- 2) 11lim()-1ln x x x x→-.3. 00型 0ln 00ln 000ee e ⋅⋅∞===例6 1) 0lim xx x +→ 2) 1ln 0lim sin kxx x ++→.4．1∞型ln1ln101ee e ∞∞∞⋅∞⋅===例7 1) 111lim xx x -→ 2) ()21lim cos x x x →.5: 0∞型ln 0ln 0ee e ∞⋅∞⋅∞∞===.例8 1) ln lim ()xx x →+∞１ 2) ln 0lim(cot )xx x +→１.练习 P 133 5.例9 设()()0x g x f x xx ≠⎧⎪=⎨⎪=⎩00, 已知(0)(0)0g g '==，(0)g ''=3，试求(0)f '.例10 证明2()x f x x e -=3为R 上的有界函数.习 题1. 求下列未定型极限1) 01lim sin x x e x →- 2) 612sin lim cos3x xx π→-3) 0ln(1)lim1cos x x x x →+-- 4) 0tan lim sin x x xx x→--5) 011lim()1x x x e →-- 6) 111lim xx x -→7) sin 0lim(tan )x x x → 8) 22011lim()sin x x x→- 2. 考虑下列极限应用'L Hospital 法则的可能性.1) lim x →+∞ 2) sin lim sin x x xx x →∞-+3. 计算1) 0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-++ 2) 211000lim x x e x -→3) 30tan sin limx x x x →- 4) 201cot lim x x xx →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5) ln lim(ln )xx x x x →+∞ 6) 10(1)lim xx x e x→+-7) 20()lim x x x a x a x →+- 8) 10lim()x xx x e →+9) 1110lim (,,0)xx xnn x a a a a n →⎛⎫++> ⎪⎝⎭4. 教材1337P .5. 证明: 2()ln(1)/f x x x =+在(1,)+∞上有界.§3 Taylor 公式多项式函数是一种简单的函数，因而对任一函数，我们考察是否存在相应的多项式去逼近该函数. 在讨论这个问题之前，我们还是应先讨论一下多项式函数本身的性质.设012()...()n n n P x a a x a x a x a ++++≠２ｎ＝0, 易见0(0)n a P =，1(0)n a P '=，……，()(0)!n nn P a n ＝自然对于一般的函数f , 假设它在0x 处有直到n 阶的导数，由这些导数构成了一个新的多项式，记为：()00000()()()()()()!n n n f x T x f x f x x x x x n '= +- +...+-此时n T 与f 有何类的性质？00()()k k n T x f x =()() k n ≤≤(0)因而我们说()n T x 与f 在某种意义下“很接近” , 称()n T x 为f 在0x 处的Taylor多项式,而()n T x 的系数()0()!k f x k 称为Taylor 系数，记()()()n n R x f x T x =-称为余项. 我们将证明0()n n R x x x =-o(())，这实际就是带Peano 余项的Taylor 展式.一、带Peano 余项的Taylor 公式——误差的定性刻画定理 若函数f 在0x 处存在直至n 阶导数，则有0()()n n f x T x x x =+-o(())即()200000000()()()()()()()()!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n '''=+-+-++-+-...o(())2!.上述公式我们就称为f 在0x 处的Taylor 公式, ()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0n o x x -(())的余项称为带Peano 余项的Taylor 公式.注 1 00x =时，称()2(0)(0)()(0)(0)!n nn f f f x f f x x x x n '''=+++++...o()2!为带Peano 余项的Maclaurin 公式. 例1 验证下列Maclaurin 公式.1) 1!nxn x x e x o x n =+++++２...()2!2) ()11sin 1 (1)(1)!m m m x x x x o x m --=-+++-+-35223!5!2 3) 1cos 1...(1)(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+２４22()2!4! 4) 1ln(1)1...(1)nn n x x x x o x n-+=-+++-+２３()23 5)11n n x x x o x x=+++++-２1...() 6) (1)(1)1(1)1!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++２()...()2!1(1)(23)!!1(2)!!n nn n x x x o x n ---=+++++２11!!...()24!! 二、带Lagrange 型余项的Taylor 公式——误差的定量刻画定理 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在1n +阶导函数，则对任何0[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得()20000000()()()()()()()()!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-...2!(1)10()()(1)!n n f x x n ξ+++-+称为Lagrange 型余项，故上式又称为带有Lagrange 型余项的Taylor 公式，而00x =时，()(1)21(0)(0)()()(0)(0)!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=++++++...2! (0,1)θ∈ 称为(带Lagrange 型余项的) Maclaurin 公式. 例 2 将例1中的公式改为带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式1) 11!1n xxn x x e e x x n n θ+=++++++２...2!()!, 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 2) 1121cos sin 1...(1)(1)(1)!(21)!m m m m x x x x x xm m θ--+=-+++-+--+3523!5!2 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞3) 122cos cos 1...(1)(1)(2)!(22)!mm m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+２４22!4! 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞4) 111ln(1)1...(1)(1)(1)(1)nn n nn x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++２３23 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞5) 1111(1)n nn x x x x x x θ++=+++++--２1... 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 6) (1)(1)1(1)1!n n x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=++++２()...2!11(1)(1)(1)!n n n x x n ααααθ--+-⋅⋅⋅-+++()01θ<<，(,)x ∈-∞+∞三、函数的Taylor 公式(Maclaurin 公式) 1. 直接展开(例1,例2)例3 将tan y x =展到含5x 的具Peano 余项的Maclaurin 公式2. 间接展开 利用已知的展开式施行代数运算或变量代换,求得新的展开式. 例4 1) 分别求2sin x ，22x e -具Peano 余项的Maclaurin 展式;2) 求2cos x 的具Peano 余项的Maclaurin 展式; 3) 求35x+1在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;4) 分别求23x x --21在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式;5) 求2x x -２1+3在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式.四．Taylor 公式的应用举例 1. 利用Taylor 公式求极限例5 1) 2240cos lim x x x e x -→-.2) 02lim x x x a a x-→+-２.3) 21lim[ln(1)]x x x x →∞-+.2. 利用Taylor 公式求高阶导数值例6 设22()x f x e -=，求98(0)f ，99(0)f .3. 计算函数的近似值例7 证明: e 为无理数，并求e 精确到610-的近似值.4. 利用展式证明不等式例8 若函数f 在区间[,]a b 上恒有()0f x ''≥，则对(,)a b 内任何两点12,x x 都有1212()()()2f x f x x xf ++≥2例9 设函数f 在[,]a b 上二阶可导，()()0f a f b ''==，证明: 存在一点(,)a b ξ∈使得 2()()()()f f b f a b a ξ''≥--4.例10 当[0,2]x ∈时，() ()f x f x ''≤≤1，1, 证明: |'()| 2.f x ≤5. 中值点的存在性及其性质例11 设f 在[,]a b 上三阶可导，证明: 存在(,)a b ξ∈, 使得3()()()[()()]()()2f b f a b a f a f b b a f ξ'''''=+-+--１１12例12 证明：若函数f 在点a 处二阶可导，且()f a ''≠0，则对Lagrange 公式()()()f a h f a f a h h θ'+-=+⋅ 01θ<<中的θ，有0lim h θ→=12.练习 证明：若0x >，则存在11()[,]42x θ∈, 使得=;2. 01lim ()4x x θ→=，1lim ()2x x θ→+∞=.习 题一、给出下列函数带Peano 型余项的Maclaurin 公式.1. ()f x =2. arctan x 到含5x 的项3.()tan f x x =到含5x 的项4. 2()sin f x x =5. ln(2)x +6. ln(1)x e x +到3x 的项 二、利用Taylor 公式求下列函数极限1. 30sin (1)lim x x e x x x x →-+2. 201cot lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3. 21lim[ln(1)]x x x x→∞-+4. 20lim sin x x e x x x →+-5. 74lim x x →+∞三、求下列函数在指定点处的带Lagrange 型余项的Taylor 公式 1. ln(1)x +在1x =处 2.2123x x --在2x =处 3.sin x 在4x π=处四、求下列极限1. 12ln(1)1lim(1)x x x --→- 2. 20ln(1)lim x x xe x x→-+ 3. 201sinlimsin x x x x→⋅ 4. sin lim sin x x x x x →+∞-+ 五、设函数f 在[0,]a 上具有二阶导数,且"()f x M ≤,f 在(0,)a 内取最大值,求证 ''(0)()f f a Ma +≤. 六、设f 在[,]a b 上二阶可导, ''()()0f a f b ==. 证明:'2[,]4sup ()()()()x a b f x f b f a b a ∈≥--.§4 函数的极值与最值一、极值判别1.可微极值的必要条件----Fermat 定理定理 (Fermat ) 若f 在0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0()0f x '=. (可导的极值点必为驻点) . 可疑极值点: 驻点，不可导点. 2. 极值点的充分条件定理 (极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续，在其去心邻域0(,)U x δ︒内可导 若 1) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≤0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≥0; 2) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≥0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≤0; [1)，2)说明f '在0x 两侧异号时] 则f 在0x 处取得极值. 若f '在0x 两侧不异号时，则f 在0x 处不能取得极值. 注 在上述定理条件中未假设f 在0x 处可导.⎡⎤⎣⎦分析引入第二充分条件 当f 在0x 不仅可导而且是二阶可导时，我们有 定理 (极值的第二充分条件) 设f 在0x 的某邻域0U x δ(,)内一阶可导，在0x x = 处二阶可导，且00()0,()f x f x '''=≠0, 则 1) 若0()0f x ''<，则f 在0x 处取得极大值; 2) 若0()0f x ''>，则f 在0x 处取得极小值.[()]f x x =2利用去记忆例1 求()(2f x x =-的极值点与极值.例2 求()f x x x=+２432的极值与极值点.第二充分条件中0()0f x '=，0()f x ''≠0，若0()f x ''还等于0怎么办? 则我们可考察更高阶导数，一般地, 我们有定理 (极值的第三充分条件) 设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，而在0x 处存在n 阶导数(n 阶可导) 且0()0k f x =，1,2,...,1k n =-, ()0()0n f x ≠, 则1) 当n 为奇数时，f 在0x 不能取得极值;2) 当n 为偶数时，f 在0x 处取得极值且当()0()0n f x <时，取得极大值; 而()0()0n f x >时, 取得极小值. 例3 求3()(1)f x x x =-4的极值.注 上述三个定理均为极值的充分条件，而非必要.例4 1) ,,()0,0,x x e f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩2１0在0x =处取得极小值，而()(0)0n f = ()n N ∀∈.2) 2,sin ,(),,x x f x xx ⎧≠⋅⎪=⎨=⎪⎩4１000在0x =处取得极小值，考察f 在0x =是否满足第一第二充分条件.二、函数的最值最值与极值的区别与联系，整体与局部，最值点(,)a b ∈，则最值点必为相应的极值点，所以可能的最值点为端点，极值点，进一步设f 在闭区间[,]a b 上连续，且仅有有限个可疑极值点12,(,)n x x x a b ∈,..., 则 {}1[,]max ()max (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=;{}1[,]min ()min (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=.注 1) 由最值性定理，闭区间上的连续函数必有最大最小值.2) 上述结论中可疑点为导数不存在及导数为0的点，而无需判断 它们是否真的是极值点.例5 ()2912f x x x x =-+32在闭区间15[,]42-上的最大值与最小值.函数最值的几种特例 1) 单调函数的最值;2) 如果函数f 在区间[,]a b 上连续，且仅有唯一的极值点. 则若0x 是f 的 极大(小) 值点，则0x 必是()f x 在[,]a b 上的最大(小) 值点. (反证) 3) 如果函数f 在区间[,]a b 上可导，且仅有一个驻点0x ，则结论与2)同. 4) 对某具有实际意义的函数，可常用实际判断确定函数的最大(小)值.例6 设,A B两村距输电线分别为1km，1.5km，CD长为3km，现两村合用一变压器供电，问变压器设在何处使输电线总长AE BE最短.例7 如图所示，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时使盒子的容积最大？例8 [无盖水箱的例子]习 题1. 求下列函数的极值:1) 212)(x x x f +=; 2) )1ln(21arctan )(2x x x f +-= 2. 求函数543551y x x x =-++在[1,2]-上的最值与极值.3. 求函数242(1)()1x x f x x x +=-+的极值.4． 设421sin ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 1) 证明:0=x 是极小值点;2) 说明f 的极小值0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5． 设)(x f 在区间I 上连续,并且在I 上仅有唯一的极限值0x , 证明: 若0x 是f 的 极大(小)值点, 则0x 必是)(x f 在I 上的最大(小)值点.6．有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V 时,要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器高的比例应该怎样?§5 函数的凸性, 拐点, Jensen 不等式一、凸性定义及判定 1. 凸函数定义(由直观引入，强调曲线弯曲方向与上升方向以2y x =，y =) 定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点,x x １2和任意实数(0,1)λ∈，总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-11,则称f 为I 上的凸函数. 反之若总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-11,则称f 为I 上的凹函数. 如果上两式中的不等式均为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 易见f 为I 上的凸函数⇔f -为I 上的凹函数 几何意义(凸函数) 曲线上任两点的连线(线段) 总在区间的上方. (引出割线斜率) 2. 凸函数性质与判定引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对I 上任意三点123x x x <<总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--注 同理可证 f 为I 上的凸函数⇔对区间I 上任意三点123x x x <<有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---割线的极限 → 切线↓ ↓割线斜率递增 → 切线斜率应该为递增定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下列命题等价 1) f 为I 上的凸函数(严格凸函数); 2) f '为I 上的增函数(严格增函数);3) 对I 上的任两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-，12,x x I ∈,(21121()()()()f x f x f x x x '>+-, 12,x x I ∈, 12x x ≠) .注 由定理可见凸函数的几何意义1) 曲线上任两点的割线在曲线的上方(定义) ; 2) 切线的斜率(割线的斜率) 递增; 3) 曲线在其上任一点处切线的上方.推论 1) 设f 为I 上的二阶可导函数，则f 为凸函数⇔()0f x ''≥(x I ∈) ;2) ()0f x ''≥且在I 的任何子区间上f f ''≡⇔0在I 上严格凸; 3) ()0f x ''>则f 在I 上严格凸.注 f ''的符号确定函数f 的凸凹性，f '的符号确定单调性例1 讨论函数()f x =()arctan g x x =的凸凹性。
第六章微分中值定理及应用
第六章 微分中值定理及其应用§1.拉格朗日定理和函数的单调性1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=00101sin )(x x x x x f π， （2）11||)(≤≤-=x x x f 解：（1）因为f 在]1,0[π连续，在可导，且)1()0(πf f =，所以由Rolle 定理，)1,0(πξ∈∃，使得0)(='ξf 。
（2）因为⎩⎨⎧<->='0101)(x x x f ，且)0(f '不存在，故不存在一点ξ，使0)(='ξf2．证明：（1）方程033=+-c x x （这里c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根；证明：设c x x x f +-=3)(3，由于方程033)(2=-='x x f 在)1,0(内没有根，所以（由P.120，例1）方程033=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根。
（2）方程0=++q px x n （n 为正整数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。
证明：设q px x x f n ++=)(，于是0)(1=+='-p nx x f n 。
当n 为偶数时，n -1为奇数，故方程0)(1=+='-p nx x f n 至多有一个实根（因为幂函数p nx n +-1严格递增），从而方程0=++q px x n至多有两个实根； 当n 为奇数时，n -1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程0)(1=+='-p nx x f n 至多有两个实根，从而方程0=++q px x n 当n 为奇数时至多有三个实根。
3．证明：若函数f 和g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上f 和g 只相差一常数，即c x g x f +=)()(（c 为某一常数）证：令)()()(x g x f x F -=，则F 在区间I 上可导，且0)()()(≡'-'='x g x f x F ，由推论1，存在常数c ，使得c x F =)(，即c x g x f +=)()(4．证明：（1）若函数f 在],[b a 上可导，且m x f ≥')(，则)()()(a b m a f b f -+≥（2）若函数f 在],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，则)(|)()(|a b M a f b f -≤- （3）对任意实数21,x x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-证：因为f 在],[b a 上可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是) 1 , 0 [ π),(b a ∈∃ξ，使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ（1）因为m x f ≥')(，所以)())(()()(a b m a b f a f b f -≥-'=-ξ，从而有)()()(a b m a f b f -+≥（2）因为M x f ≤'|)(|，所以)(|||)(||)()(|a b M a b f a f b f -≤-⋅'=-ξ（3）不妨设21x x <，正弦函数x x f sin )(=在],[21x x 上连续，在),(21x x 可导，于是),(b a ∈∃ξ，使得|||||cos ||sin sin |122121x x x x x x -≤-⋅=-ξ5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1）a ab a b ba b -<<-ln ，其中b a <<0 证：设x x f ln )(=，则f 在],[b a 上连续且可导，所以f 在],[b a 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),(b a ∈∃ξ，使得)(1))((ln ln lna b a b f a b a b -=-'=-=ξξ，因为b a <<<ξ0，所以a ab a b ba b -<-<-ξ， 从而a ab a b ba b -<<-ln （2）h h h h <<+arctan 122，其中0>h 证： 设x x f arctan )(=，则f 在],0[h 上满足Lagrange 中值定理的条件，于是),0(h ∈∃ξ，使得21)0)((0arctan arctan arctan ξξ+=-'=-=hh f h h 。
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用拉格朗日定理和函数的单调性课件
注 例3中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当
0 a b 和 a b 0时, 显然不为零, 严格不等
式成立.
罗尔定理与拉格朗日定理
当 a 0 b 时，
存在 1 (0, b), 2 (a , 0), 使得
arctan b arctan a arctan b arctan 0 arctan 0 arctan a
x x0
x x0
罗尔定理与拉格朗日定理
证 分别按左右极限来证明.
(1) 任取 x U ( x0 ), f ( x ) 在 [ x0 , x] 上满足拉格朗日
定理条件， 则存在 ( x0 , x ), 使得
f ( x ) f ( x0 ) f ( ). x x0
多项式, 所以 p( x )在[x1 , x2 ]上满足罗尔定理的条件，
从而存在 (a, b), 使得 p( ) 0, 这与条件矛盾. 又若 p( x ) 有一个 k 次重根 x0 , 则
p( x ) ( x x0 )k p1 ( x ), k 2.
( x ), 因为 p( x ) k ( x x0 )k 1 p1 ( x ) ( x x0 )k p1
3.若 f (x) 在(a, b) 上可微, [a, b] 上连续, 则对于任意
x (a , b], 存在 (a , x ), 使
f ( x ) f (a ) f ( )( x a ),
当 x a 时, 必有 a . 从等式
由于x0 x , 因此当x x0 时，随之有 x0 ,
对上式两边求极限，便得
f ( x ) f ( x0 ) lim lim f ( ) f ( x0 0). x x0 x x0 x x0
第六章 微分中值定理及其应用 - 琼州学院质量工程
∞，）与（，+∞）分别严格单调。
11、讨论函数
（1）在x=0点是否可导？ （2）是否存在x=0的一个邻域，使f在该邻域内单调？ 12、设函数f在[a，b]上二阶可导，。证明存在一点，使得
。
13、设函数f在[0，a]上具有二阶导数，且，f在（0，a）内取得最 大值。试证
。 14、设f在[0，+∞）上可微，且。证明：在[0，+∞）上f（x） ≡0。 15、设f（x）满足，其中g（x）为任一函数。证明：若，则f在 [，]上恒等于0。 16、证明：定圆内接正n边形面积将随n的增加而增加。 17、证明：f为I上凸函数的充要条件是对任何，，函数
1、（1）凹区间，凸区间，拐点； （2）凹区间，凸区间； （3）凹区间，凸区间，拐点； （4）凹区间，凸区间，拐点； （5）凹区间，凸区间，拐点。 2、。
§6函数图象的讨论
（1）
x
-5
-2
1
+
0
— —— 0
+
——
— 0+
+
+
y
增凹 ↗
极大值
减凹 ↘
拐点
减凸 ↘
极小值
增凸 ↗
（2）
x
-3
0
+
0
—
+
0
+
。
6、设为n个正数，且
f（x）=。
证明：（1）；
（2）。
7、求下列极限：
（1）； （2）；
（3）。
8、设h>0，函数f在内具有n+2阶连续导数，且，f在内的泰勒公式
为
。
证明：。
9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx – kx = 0存在正实根。
中值定理及其应用
显然有水平切线，其斜 率 为0， 当 切 线 沿 曲 线 连 o 续滑动时，就必然经过 位 于 水 平 位 置 的 那 一 .点
a
1
2 b
x
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证明: 只就f(x)在x0取极大值的情形给出证明.
由于f(x)在x0取极大值,所以存在>0,当xU(x0, )时,有
第六章 微分中值定理 及 应用
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
§2柯西中值定理和不定式极限 §3 泰勒公式 §4 函数的极值与最大(小)值
§5 函数的凸性与拐点 §6 函数图象的讨论
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引
言
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化 率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局 部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常 常需要把握函数在某区间上的整体变化性态， 那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。
在(1, 2)内, f (x)=1. f (x)在[1, 2]上满足条件
2 1
y
y=x
1 2
(1),(2) .
但不满足条件(3),
0
x
图3-1-4
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注3. 罗尔定理的结论中不是唯一的,可能有一个,几个甚至无 穷多个.
例如
4 21 x sin , x 0 f ( x) = , x x=0 0
( x0 ) = f ( x0 ). f(x) f(x0),又f(x)在x0可导,所以 f ( x0 ) = f
而
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) = lim 0, x x0 x x0
微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性 （第124-125页）1．试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0101sin)(x x xx x f π， （2）11||)(≤≤-=x x x f ．2．证明：（1）方程033=+-c x x （这里c 为常数）在区间]1,0[内不可能有两个不同的实根； （2）方程0=++q px x n（n 为正整数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根．3．证明：若函数f 和g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上f 和g 只相差一常数，即c x g x f +=)()(（c 为某一常数）．4．证明 （1）若函数f 在],[b a 上可导，且m x f ≥')(，则)()()(a b m a f b f -+≥；（2）若函数f 在],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，则)(|)()(|a b M a f b f -≤-；（3）对任意实数21,x x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-． 5．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）aab a b b a b -<<-ln ，其中b a <<0； （2）h h h h <<+arctan 122，其中0>h ． 6．确定下列函数的单调区间：（1）23)(x x x f -=； （2）x x x f ln 2)(2-=；（3）22)(x x x f -=； （4）xx x f 1)(2-=．7．应用函数的单调性证明下列不等式：（1）3tan 3x x x ->，)3,0(π∈x ；（2）x x x<<sin 2π，)2,0(π∈x ；（3）)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-，0>x ． 8．以)(x S 记由))(,(a f a , ))(,(b f b , ))(,(x f x 三点组成的三角形面积, 试对)(x S 应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.9．设f 为],[b a 上二阶可导函数，0)()(==b f a f ，并存在一点∈c ) ,(b a 使得0)(>c f ．证明至少存在一点∈ξ) ,(b a ，使得0)(<''ξf ．10．设函数f 在) ,(b a 内可导，f '单调．证明f '在) ,(b a 内连续．11．设)(x p 为多项式，α为0)(=x p 的r 重实根．证明α必定是0)(='x p 的1-r 重实根． 12．证明：设f 为n 阶可导函数，若方程0)(=x f 有1+n 个相异的实根，则方程0)()(=x f n 至少有一个实根．13．设a ，0>b ．证明方程b ax x ++3不存在正根． 14．证明：x x x x sin tan >，∈x ⎪⎭⎫⎝⎛2 ,0π． 15．证明：若函数f ，g 在区间],[b a 上可导，且)()(x g x f '>'，)()(a g a f =，则在) ,(b a 内有)()(x g x f >．§2 柯西中值定理和不定式极限 （第132-133页）1．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？2．设函数f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-．3．设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数．证明：)()(2)()(lim2a f ha f h a f h a f h ''=--++→． 4．设20πβα<<<．证明存在),(βαθ∈，使得θαββαcot cos cos sin sin =--．5．求下列不定式极限（1）x e x x sin 1lim 0-→； （2）x xx 3cos sin 21lim 6-→π；（3）1cos )1ln(lim0--+→x x x x ； （4）x x xx x sin tan lim 0--→；（5）5sec 6tan lim2+-→x x x π； （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ；（7）xx x sin 0)(tan lim →； （8）xx x-→111lim ；（9）xx x 12)1(lim +→； （10）x x x ln sin lim 0+→；（11）⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220sin 11lim ； （12）210tan lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→． 6．设函数f 在点a 的某个邻域内具有二阶导数．证明：对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f ha f h a f h a f θθ-''++''=--++． 7．求下列不定式极限： （1）2sin1)1cos(ln lim1xx x π--→； （2）x x x ln )arctan 2(lim -+∞→π；（3）xx xsin 0lim +→； （4）xx x 2tan 4)(tan lim π→；（5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++→x x x x x 1)1ln(lim 2)1(0； （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 1cot lim 0； （7）xe x xx -+→10)1(lim ； （8）x x x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π．8．设0)0(=f ，f '在原点的某邻域内连续，且0)0(≠'f ．证明： 1lim )(0=+→x f x x．9．证明定理6.6中0)(lim =+∞→x f x ，0)(lim =+∞→x g x 情形时的洛比达法则．10．证明：23)(x e x x f -=为有界函数．§3 泰勒公式 （第141-142页）1．求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式 （1）xx f +=11)(；（2）x x f arctan )(=到含有5x 的项； （3）x x f tan )(=到含有5x 的项． 2．按例4的方法求下列极限（1）30)1(sin lim xx x x e x x +-→； （2）)]11ln([lim 2x x x x +-∞→； （3）)cot 1(1lim0x xx x -→．3．求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式： （1）54)(23++=x x x f ，在1=x 处； （2）xx f +=11)(，在0=x 处 4．估计下列近似公式的绝对误差：（1）6sin 3x x x -≈，当21≤x ；（2）82112x x x -+≈+，] 1 ,0 [∈x ．5．计算：（1）数e 准确到910-； （2）11lg 准确到910-．§4 函数的极值与最大（小）值 （第146-147页）1．求下列函数的极值（1）432)(x x x f -=； （2）212)(xxx f +=； （3）x x x f 2)(ln )(=； （4）)1ln(21arctan )(2x x x f +-=．2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(24x x xx x f（1）证明：0=x 是极小值点；（2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件．3．证明：若函数f 在点0x 处有0)(0<'+x f （>0）0)(0>'-x f （<0），则0x 为f 的极大（小）值点．4．求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）]2,1[,155345-++-=x x x y ； （2）x x y 2tan tan 2-=，)2,0[π；（3）),0(,ln ∞+=x x y ．5．设)(x f 在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点0x ．证明：若0x 是f 的极大（小）值点，则0x 必是f 在I 上的最大（小）值点．6．把长为l 的线段截为两段，问怎样截法能使这两段线为边所组成的矩形的面积最大？7．有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V 时，要使容器的表面积最小，底的半径与容器高的比例应该怎样？8．设用仪器进行测量时，读得n 次试验数据为1a ，2a ，…，n a ．问以怎样的数值x 表达所要测量的真值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小．9．求一正数a ，使它与其倒数之和最小． 10．求下列函数的极值：（1）)1()(2-=x x x f ；（2）1)1()(242+-+=x x x x x f ；（3）32)1()1()(+-=x x x f ．11．设x bx x a x f ++=2ln )(在11=x ，22=x 处都取得极值．试求a 与b ；问这时)(x f 在1x 与2x 市取得极大值还是极小值？12．；在抛物线px y 2=那一点的法线被抛物线所截之线段为最短．13．要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为akm BC =的B 城（见图6-11），轮船运费的单价是α元/km ，火车运费的单价是β元/km (αβ>) ，试求运河边上一点M ，修建铁路MB ，使总运费最省．§5 函数的凸性与拐点 （第153-154页）1．确定下列函数的凸性区间与拐点：（1）25363223+--=x x x y ； （2）xx y 1+=； （3）xx y 12+=； （4）)1ln(2+=x y ； （5）211x y +=．2．问a 和b 为何值时，点)3 ,1(为曲线23bx ax y +=的拐点？ 3．证明：（1）若f 为凸函数，λ为非负实数，则f λ为凸函数； （2）若f ，g 均为凸函数，则g f +为凸函数；（3）若f 为区间I 上凸函数，g 为)(I f J ⊃上凸增函数，则f g ο为凸函数．4．设f 为区间I 上严格凸函数．证明：若I x ∈0为f 的极小值点，则0x 为f 为I 上唯一的极小值点．5．应用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数a ，b ，有)(212b ab a e e e+≤+； （2）对任何非负实数a ，b ，有b a b a arctan arctan 2arctan 2+≥⎪⎭⎫⎝⎛+． 6．证明：若f ，g 均为区间I 上凸函数，则{})( ),(m ax )(x g x f x F =也是I 上凸函数． 7．证明：（1）f 为区间I 上凸函数的充分必要条件是对I 上任意三点321x x x <<，恒有0 )(1)(1)(1 332211≥=∆x f x x f x x f x ； （2）f 为严格凸函数的充分必要条件是0>∆． 8．应用詹森不等式证明：（1）设0>i a （n i , ,2 ,1Λ=），有na a a a a a a a a n nn n n+++≤≤++ΛΛΛ212121111；（2）设0 ,>i i b a （n i , ,2 ,1Λ=），有qni q i pni p i ni ii b a ba 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===， 其中1>p ，1>q ，111=+qp ．§6 函数图象的讨论 （第155页）按函数作图步骤，作下列函数图象（1）2015623--+=x x x y ； （2）22)1(2x x y +=；（3）x x y arctan 2-=； （4）xxey -=；（5）3553x x y -=； （6）2x e y -=； （7）32)1(x x y -=； （8）232)2(-=x x y ．*§7方程的近似解 （第158页）1．求02323=+-x x 得实根到三位有效数字．2． 求方程1sin 538.0+=x x 的根的近似值，精确到001.0．总练习题 （第158-160 页）1．证明：若)(x f 在有限开区间),(b a 内可导，且)(lim )(lim x f x f bx ax -+→→=，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(='ξf2．证明：若0>x ，则 （1）)(211x x x x θ+=-+，其中21)(41≤≤x θ； （2）41)(lim 0=→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ． 3．设函数f 在],[b a 上连续，在) ,(b a 内可导，且0>⋅b a ．证明存在) ,(b a ∈ξ，使得)()( )()( 1ξξξf f b f a f b a b a '-=-． 4．设f 在],[b a 上三阶可导，证明存在) ,(b a ∈ξ，使得)()(121)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+=．5．对)1ln()(x x f +=应用拉格朗日中值定理，试证：对0>x ，有11)1ln(10<-+<xx ．6．设1a ，2a ，…，n a 为n 各正数，且xx nx xn a a a x f 121)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=Λ． 证明：（1）n n x a a a x f Λ210)(lim =→；（2）{}n x a a a x f , , ,max )(lim 21Λ=+∞→．7．求下列极限： （1）)1ln(/121)1(lim x x x -→--； （2）20)1ln(lim xx xe x x +-→； （3）xx x x sin 1sinlim20→．8．设0>h ，函数f 在) ;(h a U 内具有2+n 阶连续导数，且0)()2(≠+a f n ，f 在) ;(h a U 内的泰勒公式为nn h n a f h a f a f h a f !)()()()()(++'+=+Λ1)1()!1()(++++n n h n h a fθ，10<<θ．证明：21lim 0+=→n h θ．9．设0>k ，试问k 为何值时，方程0arctan =-kx x 存在正实根．10．证明：对任一多项式)(x p ，一定存在1x 与2x ，使)(x p 在) ,(1x -∞与) ,(2∞+x 内分别严格单调．11．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=,0,0,0 ,1sin 2)(2x x xx x x f （1）在0=x 点是否可导？（2）是否在0=x 的一个邻域，使f 在该邻域内单调？12．．设函数f 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明存在一点) ,(b a ∈ξ，使得)()( )(4)( 2a fb f a b f --≥''ξ．13．设函数f 在],0[a 上具有二阶导数，且M x f ≤'' )( ，f 在) ,0(a 内取极最大值．试证Ma a f f ≤'+' )( )0( ．14．设f 在) ,0[∞+上可微，且)()(0x f x f ≤'≤，0)0(=f ．证明：在) ,0[∞+上0)(≡x f ． 15．设)(x f 满足0)()()()(=-'+''x f x g x f x f ，其中)(x g 为任一函数．证明：若0)()(10==x f x f （10x x <），则f 在],[10x x 上恒等于0．16．证明：定圆内接正n 边形面积将随n 的增加而增加．17．证明：f 为I 上凸函数的充要条件是对任何I x x ∈21 ,，函数))1(()(21x x f λλλϕ-+=为]1,0[上的凸函数．18．证明：（1）设f 在) ,(∞+a 上可导，若)(lim x f x +∞→，)(lim x f x '+∞→都存在，则0)(lim ='+∞→x f x ．（2）设f 在) ,(∞+a 上n 阶可导，若)(lim x f x +∞→，)(lim )(x fn x +∞→都存在，则0)(lim )(=+∞→x f k x ，（n k , ,2 ,1Λ=）．19．设f 为) ,(∞+-∞上的二阶可导函数．若f 在) ,(∞+-∞上有界，则存在) ,(∞+-∞∈ξ，使0)(-''ξf ．。
6.5微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用
§6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法.教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的凸性证明某些有关的命题.教学重点: 利用导数研究函数的凸性 教学难点: 利用凸性证明相关命题 教学方法: 系统讲授法＋演示例题 教学过程: 引言上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y 所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I ∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有211121()()()()()f x f x f x x x f x x x -≤-+-,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-.一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一) 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,则称f 为I 上的凹函数.注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数,则f 为区间I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y 在x ＝0的情形. (二) 凸函数的特征引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- (3) ()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.证 ⇒记3231x x x x λ-=-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-3221133131()()x x x xf x f x x x x x --=+-- (4)从而有312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-即 32221232121()()()()()()()()x x f xx x f x xx f x xx f x -+-≤-+- 整理即得(3)式.⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=-由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,x x x I ∀∈,123x x x <<,有31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数．若则在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明 (证明开区间上的凸函数必为连续函数)当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如图所示,再在中任取两点. 应用引理得到．令,则,．显然,上述 L 与中的点无关, 故在上的每个内闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x xx '≥+-证 (i)(ii),并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有相同结论． (iii)(i),并记,则有,由(iii)可得.注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f 在I 上二阶可导,则进一步有：定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<）,x I ∈.f 为严格凸⇔1）()0f x ''≥；2）()f x ''不在I 上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f 为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0f x ''=）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f 凸,则f -凹）. 可导函数f 有如下相互等价的论断：1）f 为I 上凹函数.2）123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--.即割线斜率递减.3）()f x '为I 上递减函数.4）0x I ∀∈,有000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与1）,2）,3）,4）相等价. 5）在I 上()0f x ''≤.对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点定义 2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如y 在x ＝0的情形.定理3（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知：(00,()x f x )的拐点,则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导.定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.解222()(1)xf x x ''=-+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为(,0]-∞上的凸函数,在[0,)+∞上为凹函数.而()f x 在原点连续,故原点为曲线()y f x =的拐点例2 若f 在(,)a b 内可导、凸（凹）函数,则0(,)x a b ∈为f 的极小（大）值点⇔0()0f x '=.即0x 为f 的稳定点.证 ⇒）费马定理.⇐）因f 凸,故(,)x a b ∀∈有000()()()()f x f x f x x x '≥+-.因0()0f x '=,故(,)x a b ∀∈总有0()()f x f x ≥.即0x 为f 的极小值点.例3 设f 在开区间I 上为凸（凹）函数,证明f 在开区间I 内任一点0x 都存在左、右导数.证 只证凸函数f 在0x 存在右导数,其它情形同理可证.令120h h <<,记101x x h =+,202x x h =+,则012x x x <<（取2||h 充分小使02x h I +∈）, 由(3)'式得：01002012()()()()f x h f x f x h f x h h +-+-≤记00()()()f x h f x F h h +-=(0)h >则有21()()F h F h ≤即()F h 为单调递增函数.取4x I ∈且40x x ≤,则040004()()()()f x f x f x h f x x x h -+-≤-,从而()F h 递增有下界,从而0lim ()h F h +→存在,即0()f x +'存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为∞.由第五章§1习题10知（若f 在0x 的左、右导数都存在,则f 在0x 连续）,若f 在为开区间(,)a b 内的凸（凹）函数,则f 为(,)a b 内的连续函数.（但不一定可导,如()||f x x =） 三、 詹森(Jensen)不等式定理 (詹森(Jensen)不等式) 设f 为[,]a b 上的凸函数,[,]i x a b ∈,0i λ>(1,2,,)i n = 且11nii λ==∑,则有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （6）成立.若f 为严格凸函数,(1,2,,)i x i n = 不全相等,则上式严格不等式成立.证 用归纳法：2n =时命题由凸函数定义显然成立.假设n k =时命题成立,即0i λ>(1,2,,)i k = ,11ki i λ==∑，则有11()()kki i i i i i f x f x λλ==≤∑∑. 要证1n k =+时命题成立.设0i λ>(1,2,,,1)i k k =+ ,111k i i λ+==∑1111111111()()[(1)]1k k ki ii i i i k k k k k i i i k x f x f x x f x λλλλλλλ++++++===+=+=-+-∑∑∑（由归纳法可知,当11nii λ==∑,(,)i x a b ∈时1ni ii x λ=∑(,)a b ∈,因为 111kii k λλ==-∑,故 111ki i i k x λλ=+-∑(,)a b ∈ ）11111(1)()()1ki k i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11()k i i i f x λ+==∑⇒结论成立.注 由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．对具体的函数套用Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例4 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xy x e e e +≤+. 例5 设0i x >(1,2,,)i n = ,则1212111nnx x x n nx x x +++≤+++当且仅当所有i x 全相等时等号成立.证 所有i x 全相等时,等号显然成立.只须证i x 不全等时,有严格不等号成立即可.取()ln f x x =-,则f 在(0,)+∞上严格凸,由例4知1121211ln (ln )ln()nn i n i x x x x x x x n n -=+++-<-=-∑即12lnnx x x n +++> 因ln x 严格增,故有12n x x x n +++> 又i x 不全等⇒1i x 不全等,故11111ln (ln )nni ii i xnn x ==-<-=-∑∑所以11ni inx=<∑例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒. 例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα.)作业 P153 3⑶,5,8⑴； P158—159 17,18,19.。
第六章.微分中值定理和应用
第六章 微分中值定理及其应用§1 Lagrange 定理和函数的单调性一 、Roll 中值定理与Lagrange 中值定理定理6.1 (Roll 定理) 若f 满足：（1）f [],C a b ∈ （2）f 在(),a b 可导 （3）()()f a f b =，则()(),,.,0a b s t f ξξ'∃∈=证明：[],,f C a b ∈故f 必在[],a b 有最大值M 和最小值m ，若M=m ，则f 为[],a b 上的常值函数，结论显然；若M ≠m,则M 与m 必有其一在(),a b 内部某点ξ取得，故ξ为必极值点，由Fermat Th 知 ()0f ξ'=.例1 f 在R 上可导，若()0f x '=无实根，则()f x =0至多只有一实根 定理6.2（Lagrange Th ） 若f 满足1）[],f C a b ∈，2）(),f a b 在可导，则()()()(),..f a f b s t f b aξξ-'∃∈=-a,b —— Lagrange 中值公式证明：作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----即可。
Lagrange 中值公式的基本形式()()()()()()()()()()()()(),,,01,01f b f a f b a a b f b f a f a b a b a f a h f a f a h h ξξθθθθ'-=-∈'-=+--<<'+-=+<< 例2 证明对一切h>-1,h ≠0成立不等式()ln 11hh h h<+<+ 证明：考虑函数()()ln 1f x x =+,x 在0与h 之间，显然在0到h 组成的闭区间上连续，开区间上得()()ln 1ln 1ln1.011hh h hθθ+=+-=<<+，当h>0时，11.h h θ+<+11h h h h hθ∴<<++ ①； 当-1<h<0时,1>1+θh>1+h>0 11h h h h h θ∴<<++ ②；由①②知，当h>-1时,且h ≠0时, ()ln 11hh h h<+<+推论1 若f 在区间I 上可导，且()'0.f x ≡ 则f 为I 上的一个常量函数. 证：1,2x x ∀∈I ,设12x x <，则f 在]12,x x ⎡⎣上满足Lagrange 中值定理的条件.)(12,x x ξ∴∃∈, s.t.()()()()2121'0f x f x f x x ξ-=-= ；()()12f x f x ∴= 这说明I 上任意两点处f 的值皆相等，故f 在I 上为常量函数.例 证明：在]1,1⎡-⎣上恒有 arcsin arccos 2x x π+=证明：设()f x =arcsin arccos x x + ]1,1x ⎡∈-⎣,则f(x)在[-1,1]上连续,在[-1,1]可导.且()'0f x ⎛⎫=≡ ⎝， ()f x c ∴≡ ]1,1x ⎡∈-⎣ 而()02f π=, ()arcsin arccos 2f x πθθ∴=+≡推论2 若f ，g 在I 上皆可导，且()()''f x g x =，则在I 上()f x 与()g x 至多只相差一个常数，即 ()()f x g x c =+（c 为常数）推论3 （导数极限定理） 设f 在0x 的某邻域()0U x 内连续,在()00U x 内可导，且()0lim 'x x f x →存在，则f 在0x 可导，且()()00'lim 'x x f x f x →=证明：按左右导数证之.()00x x +∀∈⋃,f 在[]0,x x 上满足Lagrange 定理 条件，)(0,x x ξ∴∃∈,s.t. ()()()00'f x f x f x x ξ--- 又0x x ξ<<，∴当0x x +→时，0x ξ+→， 对上式两边取极限.设()()()()()000000lim lim 'lim ''0x x x x x f x f x f f f x x x ξξξ+++→→→-===+-，同理可设 ()()00''0f x f x -=- ，又()0l i m 'x x f x →存在,记为K ，故 ()()00'0'0f x f x K +=-=()()()()0000'''lim 'x x f x f x K f x K f x +-→∴==∴==例3 求分段函数2sin 0()ln(1)0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩的导数. 解:略定理 区间I 上处处可导的函数f 其导函数在I 上不可能有第一类间断点.二 、 单调函数定理6.3 设f 在I 上可导，则f 在I 上递增（减）的充要条件是()()'00f x ≥≤证明：若f 为增函数，0.x ∀∈I 当0x x ≠时，()()000f x f x x x -≥-，由不等式性知()()()0000lim'0x x f x f x f x x x →-=≥-，反之，若f 在I 上恒有()'0f x ≥，则对12,,x x ∀∈I 且1 2.x x <对f 在]12,x x ⎡⎣上用Lagrange 中值定理，当)(12,x x ξ∈,s.t.()()()()2121'0f x f x f x x ξ-=-≥()()21f x f x ∴≥ f ∴在I 上增。