2018年高考数学二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲教案

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2018年高考数学二轮复习专题八系列4选讲第2讲不等式选讲专题突破讲义文

第2讲不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2017届辽宁省葫芦岛协作体模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋2|－|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3<0，不合题意． ∴当－2<x <1时，由2x ＋1>1，得0<x <1，当x ≥1时，f (x )＝3>1恒成立，得x ≥1. 故不等式f (x )>1的解集为(0，＋∞)． (2)由(1)可知，f (x )的最大值为3，故f (x )＋4的最大值为7.若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，只需7≥|1－2m |，即－7≤2m －1≤7，求得m 的取值范围为[－3,4]．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017届河北省石家庄二中三模)已知不等式|x －a |＋|2x －3|>a 22.(1)已知a ＝2，求不等式的解集；(2)已知不等式的解集为R ，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，可得|x －2|＋|2x －3|>2，当x ≥2时，由3x －5>2，得x >73，当x <32时，由－3x ＋5>2，得x <1，当32≤x <2时，由x －1>2，得x ∈∅，综上所述，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >73或x <1. (2)∵f (x )＝|x －a |＋|2x －3|的最小值为f (a )或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∵f (a )＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32， ∴f (x )min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32，令⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －32>a22，则32－a >a 22或32－a <－a22，可得－3<a <1或a ∈∅，综上所述，a 的取值范围是(－3,1)．热点二不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ；(2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件． (1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1.(2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1 ≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数． (1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值． (1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2) ＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)| ＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)| ≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]| ＝|(a －b )4＋1|≥1. 即f (x )min ＝1.热点三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．例 3 (2017届贵州省贵阳市高三适应性考试)已知函数f (x )＝m －|x －1|(m >0)，且f (x ＋1)≥0的解集为[－3，3]． (1)求m 的值；(2)若正实数a ，b ，c 满足1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥3.(1)解因为f (x ＋1)＝m －|x |，所以f (x ＋1)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m ，得解集为[－m ，m ](m >0)，又由f (x ＋1)≥0的解集为[－3,3]，故m ＝3. (2)证明由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝3，又因为a ，b ，c 是正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝13(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥13⎝⎛⎭⎪⎫ a ·1a＋ 2b ·12b＋3c ·13c 2＝3.当且仅当a ＝1，b ＝12，c ＝13时等号成立，所以a ＋2b ＋3c ≥3.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明． (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练 3 (2017届江西省重点中学盟校联考)若关于x 的不等式|ax －2|<6的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－43<x <83.(1)求a 的值；(2)若b ＝1，求－at ＋12＋3bt 的最大值．解 (1)依题意知－43和83是方程|ax －2|＝6的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43a －2＝6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪83a －2＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－6，a ＝3或a ＝－32，∴a ＝3.(2)－3t ＋12＋3t ＝3(4－t ＋t ) ≤3(1＋1)(4－t ＋t )＝26，当且仅当4－t ＝t ，即t ＝2时等号成立．所以－at ＋12＋3bt 的最大值为2 6.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值． (1)解因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)证明因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2017届湖南省郴州市质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，g (x )＝a －|x －2|. (1)若关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，求实数a 的取值范围；(2)若关于x 的不等式f (x )<g (x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，72，求a ＋b 的值．解 (1)当x ＝2时，g (x )＝a －|x －2|取得最大值a ， ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －3| ≥4，当且仅当－1≤x ≤3，f (x )取得最小值4，又∵关于x 的不等式f (x )<g (x )有解，∴a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． (2)当x ＝72时，f (x )＝5，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝－72＋a ＋2＝5，解得a ＝132， ∴当x <2时，g (x )＝x ＋92，令g (x )＝x ＋92＝4，得x ＝－12∈(－1,3)，∴b ＝－12，则a ＋b ＝6.2．(2017届辽宁省锦州市质检)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若对x ∈[0,4]不等式f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝2时，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3，∴不等式f (x )≤3的解集M ＝[a －3，a ＋3]，根据题意知[0,4]⊆M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥4，∴1≤a ≤3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g (x )的最小值为5，因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]．3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学二模)已知x ，y ∈R .(1)若x ，y 满足|x －3y |＜12，|x ＋2y |＜16，求证：|x |＜310； (2)求证：x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.证明 (1)∵|5x |＝|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|≤|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|<2×12＋3×16＝32， ∴|x |<310. (2)∵x 4＋16y 4－(2x 3y ＋8xy 3)＝x 3(x －2y )－8y 3(x －2y )＝(x －2y )(x 3－8y 3)＝(x －2y )2(x 2＋2xy ＋4y 2)＝(x －2y )2[(x 2＋2xy ＋y 2)＋3y 2]≥0，∴x 4＋16y 4≥2x 3y ＋8xy 3.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. 证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2a ·a ＋n 2b ·b ＋p2c ·c 2＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1.B 组能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .(1)解令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc＝3abc ＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc .7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≥0，根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0两点的距离之和．接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≤4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9， ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94. 8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0. 综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. ∵当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第2讲不等式选讲学案文

第2讲不等式选讲[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2018·乌鲁木齐模拟)设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1即为 |2x －3|＋5x ≥5x ＋1， ∴||2x －3≥1，解得x ≥2或x ≤1.∴不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥2}． (2)由f (x )≤0，得||2x －a ＋5x ≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，3x ＋a ≤0，又a >0，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a3，由题意得－a3＝－1，解得a ＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若函数g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1.由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{}x |－1≤x ≤1.(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32，g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019≥||2x －2 018－a －2x ＋2 019＝|a －1|，则|a －1|≤32，解得－12≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例2 (2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋3|. (1)解不等式f (x )<2x ＋10；(2)若不等式f (x )≤m |x ＋2|有解，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －4，x ≤－32，x ＋2，－32<x <－1，3x ＋4，x ≥－1，由f (x )<2x ＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32，－3x －4<2x ＋10或⎩⎪⎨⎪⎧－32<x <－1，x ＋2<2x ＋10或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，3x ＋4<2x ＋10，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，6.(2)①若x ＝－2，显然无解；②若x ≠－2，则m ≥|x ＋1|＋|2x ＋3||x ＋2|，令g (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋3||x ＋2|≥|(2x ＋3)－(x ＋1)||x ＋2|＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当－32≤x ≤－1时等号成立， ∴m ≥1.即m 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．跟踪演练2 (2018·上饶模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值范围．解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝|3x －1|＋|3x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4，解得x ≤0或x ≥43，∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1，得3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立，即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，又k >－1，故－1<k ≤94，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94. 热点三不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例3 (2018·山东省名校联盟模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32(x ∈R )，求证：|a ＋1|－|2a －1||a |≤g (x )对∀a ∈R ，且a ≠0恒成立．(1)解依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪||a ＋1－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫2－1a ≤0时取等号，所以－3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ≤3，即－3≤||a ＋1||－2a －1|a |≤3.又因为当x ∈R 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝3，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤0时，等号成立．故g (x )min ＝3.所以||a ＋1||－2a －1|a |≤g (x )对∀a ∈R ，且a ≠0恒成立．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练3 (2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集． (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |. (1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6. 当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1， ∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立， ∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明()ab ＋12－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)．由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴||ab ＋1>|a ＋b |.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，(当且仅当a ＝b 时，等号成立) 因此a ＋b ≤2.押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，解得x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2x －4)(2x ＋a )≤0时等号成立) 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2018·全国Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a ＋b 的最小值．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 2．(2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，当且仅当x ＋a 与2－x 同号时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．(2018·潍坊模拟)已知f (x )＝|x ＋1|＋||x －m . (1)若f (x )≥2，求m 的取值范围；(2)已知m >1，若∃x ∈(－1,1)，使f (x )≥x 2＋mx ＋3成立，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋1|＋||x －m ≥||m ＋1， ∴由f (x )≥2，得||m ＋1≥2， ∴m ＋1≥2或m ＋1≤－2，∴m 的取值范围是{m |m ≥1或m ≤－3}． (2)∵m >1，∴当x ∈(－1,1)时，f (x )＝m ＋1，∴不等式f (x )≥x 2＋mx ＋3，即m ＋1≥x 2＋mx ＋3，∴m (1－x )≥x 2＋2，即m ≥x 2＋21－x.令g (x )＝x 2＋21－x ＝(1－x )2－2(1－x )＋31－x＝(1－x )＋31－x－2. ∵0<1－x <2， ∴(1－x )＋31－x≥23(当且仅当x ＝1－3时取“＝”)． ∴g (x )min ＝23－2， ∴m ≥23－2.即m 的取值范围是[23－2，＋∞)．4．(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|. (1)解不等式f (x )＋x >0；(2)若关于x 的不等式f (x )≤2a 2－5a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)不等式f (x )＋x >0可化为|x －1|＋x >|x ＋2|，当x <－2时，－(x －1)＋x >－(x ＋2)，解得x >－3，即－3<x <－2；当－2≤x <1时，－(x －1)＋x >x ＋2，解得x <－1，即－2≤x <－1；当x ≥1时，x －1＋x >x ＋2，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <－1或x >3}． (2)由不等式f (x )≤2a 2－5a ，可得|x －1|－|x ＋2|≤2a 2－5a .∵|x －1|－|x ＋2|≤||x －1－x －2＝3， ∴2a 2－5a ≥3，即2a 2－5a －3≥0，解得a ≤－12或a ≥3.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[3，＋∞)． 5．(2018·辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知函数f (x )＝||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)．(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ≥4.(1)解当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－x －2－x －12>3或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤－12，x ＋2－x －12>3或⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x ＋2＋x ＋12>3，解得x <－114或x >14.所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－114或x >14.(2)证明 f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＝2⎝⎛⎭⎪⎫|m |＋1|m |≥4(当且仅当m ＝±1且a ＝1时等号成立)．B 组能力提高6．(2018·榆林模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a . (1)求不等式f (x )>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )>a ，得|3x －1|>|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1，即5x 2>10x ，解得x <0或x >2.所以不等式f (x )>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (3)<0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a <0，2＋a ≥0，故a 的取值范围为[)－2，－1.7．(2018·百校联盟TOP20联考)已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|. (1)解不等式f (x )>2|x |；(2)若f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，求证：ac ＋2bc ≤78.(1)解由f (x )>2|x |，得x 2＋|x －2|>2|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2＋x －2>2x或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，x 2＋2－x >2x或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2－x >－2x ，解得x >2或0<x <1或x ≤0，即x >2或x <1.所以不等式f (x )>2|x |的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)． (2)证明当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －2≥22＋2－2＝4；当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74，所以f (x )的最小值为74.因为f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74，又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ，所以ac ＋2bc ≤78.(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)8．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12；(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12.①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解；②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0；③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集， ∴b ≤f (x )max ，∵a ∈[0,1]，∴f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ， ∴f (x )max ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集， ∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.∴当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1，∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

高考数学二轮复习专题七选考内容第二讲不等式选讲课件理【精编】.ppt

(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．
[演练冲关] (2019 届高三·沈阳模拟)已知函数 f(x)＝|x－a|＋3x，其中 a∈R .
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集； (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤－1}，求 a 的值．解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋3x，由 f(x)≥3x＋|2x＋1|，得|x－1|－|2x＋1|≥0，当 x>1 时，x－1－(2x＋1)≥0，得 x≤－2，无解；当－12≤x≤1 时，1－x－(2x＋1)≥0，得－12≤x≤0；当 x<－12时，1－x＋(2x＋1)≥0，得－2≤x<－12. ∴不等式的解集为{x|－2≤x≤0}．
考点三
含绝对值不等式的恒成立问题
[典例感悟]
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知 f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集；
[解] 当 a＝1 时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即 f(x)＝－ 2x，2，－x≤1<－x<11，， 2，x≥1.
手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，
将主元与参数互换，常可得到简捷的解法
在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合，揭示问数形
题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的结合法
优势，可直接解决问题
[演练冲关]
已知函数 f(x)＝|2x＋1|－|2x－3|，g(x)＝|x＋1|＋|x－a|.
[方法技巧] 绝对值不等式的 5 种常用解法 (1)基本性质法：对 a∈R ＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<

2018年高考理科数学二轮复习讲学案：考前专题八系列4选讲第2讲不等式选讲

第2讲不等式选讲本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1(2017届四川省成都市三诊)已知f(x)＝|x－a|，a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋|2x－5|≥6的解集；(2)若函数g(x)＝f(x)－|x－3|的值域为A，且[－1,2]⊆A，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式即为|x－1|＋|2x－5|≥6.当x≤1时，不等式可化为－(x－1)－(2x－5)≥6，∴x≤0；时，不等式可化为(x－1)－(2x－5)≥6，当1<x<52∴x∈∅；当x≥5时，不等式可化为(x－1)＋(2x－5)≥6，2∴x≥4.综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．(2)∵||x －a |－|x －3||≤ |x －a －(x －3)|＝|a －3|，∴f (x )－|x －3|＝|x －a |－|x －3|∈[－|a －3|，|a －3|] .∴函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]．∵[－1,2]⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5. ∴a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，54. 热点二不等式的证明1．含有绝对值的不等式的性质||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例2 (2017届福建省福州质检)(1)求函数f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|的最大值M ； (2)若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ，求证：2(a ＋b ＋c )＋1≥0，并说明取等条件．(1)解 f (x )＝|3x ＋2|－|1－2x ||x ＋3|≤|3x ＋2＋1－2x ||x ＋3|＝1，当且仅当x ≤－23或x ≥12时等号成立，所以M ＝1. (2)证明 2(a ＋b ＋c )＋1≥2(a ＋b ＋a 2＋b 2)＋1≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b ＋(a ＋b )22＋1 ＝(a ＋b ＋1)2≥0，当且仅当a ＝b ＝－12，c ＝12时取等号，所以存在实数a ＝b ＝－12，c ＝12满足条件．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练2 (2017届河北省衡水中学押题卷)已知a ，b 为任意实数．(1)求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)；(2)求函数f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|的最小值．(1)证明 a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4.因为(a －b )4≥0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4≥4ab (a 2＋b 2)．(2)解 f (x )＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋2|x －(2a 3b ＋2ab 3－1)|＝|2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)|＋|2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)|≥|[2x －2(2a 3b ＋2ab 3－1)]－[2x －a 4＋(1－6a 2b 2－b 4)]|＝|(a －b )4＋1|≥1.即f (x )min ＝1.热点三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．例3 (2017届长沙市雅礼中学模拟)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求证：2≤at ＋12＋bt ≤4.(1)解由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)证明由柯西不等式，有(－3t ＋12＋t )2＝(3·－t ＋4＋1·t )2≤[(3)2＋12][(－t ＋4)2＋(t )2]＝16，所以－3t ＋12＋t ≤4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立．又(－3t ＋12＋t )2＝－3t ＋12＋t ＋2－3t ＋12·t ≥12－2t ≥4(0≤t ≤4)，所以－3t ＋12＋t ≥2，当且仅当t ＝4时等号成立，综上，2≤at ＋12＋bt ≤4.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．跟踪演练3 已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．解 (1)由f (x )≤0，得|x ＋2|≤m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2，又f (x )≤0的解集为[－3，－1]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1.(2)由(1) 知a ＋b ＋c ＝1，由柯西不等式，得 (3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)·(12＋12＋12)，所以(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2≤3[3(a ＋b ＋c )＋3]＝18，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32，当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立，所以3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|.由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4.当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，即x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)．2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意，分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．(1)解因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y 4＝1. 由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝⎛⎭⎫y x ＋x y≥12＋12 y x ·x y＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝⎛⎭⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2017届山西省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋4|，g (x )＝x 2＋4x ＋3.(1)求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)如果f (x )≥|1－5a |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )≥g (x )，即|x －2|＋|x ＋4|≥x 2＋4x ＋3，①当x <－4时，原不等式等价于－(x －2)－(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋6x ＋5≤0，解得－5≤x ≤－1，∴－5≤x <－4；②当－4≤x ≤2时，原不等式等价于－(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋4x －3≤0，解得－2－7≤x ≤－2＋7，∴－4≤x ≤－2＋7；③当x >2时，原不等式等价于(x －2)＋(x ＋4)≥x 2＋4x ＋3，即x 2＋2x ＋1≤0，解得x ＝－1，得x ∈∅.综上可知，不等式f (x )≥g (x )的解集是{x |－5≤x ≤－2＋7}．(2)∵|x －2|＋|x ＋4|≥|x －2－x －4|＝6，且f (x )≥|1－5a |恒成立，∴6≥|1－5a |，即－6≤1－5a ≤6，∴－1≤a ≤75，∴a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，75. 2. (2017届陕西省渭南市二模)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m >0，f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(1)求m 的值；(2)若∃x ∈R ，f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋3|－m ，∴f (x －3)＝|x |－m ≥0.∵m >0，∴x ≥m 或x ≤－m .又∵f (x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴m ＝2.(2)f (x )≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式 |x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32t ＋3，g (x )＝|x ＋3|－|2x －1|＝⎩⎨⎧ x －4，x ≤－3，3x ＋2，－3<x <12，－x ＋4，x ≥12，故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝72，则有72≥－t 2＋32t ＋3，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≤12或t ≥1. 即实数t 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[1，＋∞)． 3．(2017届安徽省蚌埠市教学质检)已知x ，y ∈R ，m ＋n ＝7，f (x )＝|x －1|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≥(m ＋n )x ；(2)设max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，求F ＝max{|x 2－4y ＋m |，|y 2－2x ＋n |}的最小值．解 (1)f (x )≥(m ＋n )x ⇔|x －1|－|x ＋1|≥7x ，当x ≤－1时，2≥7x ，恒成立，当－1<x <1时，－2x ≥7x ，即－1<x ≤0；当x ≥1时，－2≥7x ，即x ∈∅，综上可知，不等式的解集为{x |x ≤0}．(2)∵F ≥|x 2－4y ＋m |，F ≥|y 2－2x ＋n |，∴2F ≥|x 2－4y ＋m |＋|y 2－2x ＋n |≥|(x －1)2＋(y －2)2＋m ＋n －5|＝|(x －1)2＋(y －2)2＋2|≥2，∴F ≥1，F min ＝1.4．(2017届河南省洛阳市统考)设不等式0<|x ＋2|－|1－x |<2的解集为M ，a ，b ∈M .(1)证明：⎪⎪⎪⎪a ＋12b <34；(2)比较|4ab －1|与2|b －a |的大小，并说明理由．(1)证明记f (x )＝|x ＋2|－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－2，2x ＋1，－2<x <1，3，x ≥1.由0<2x ＋1<2，解得－12<x <12，则M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |<12，|b |<12， ∴⎪⎪⎪⎪a ＋12b ≤|a |＋12|b |<12＋12×12＝34. (2)解由(1)得a 2<14，b 2<14. ∵|4ab －1|2－4|b －a |2＝(16a 2b 2－8ab ＋1)－4(b 2－2ab ＋a 2)＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，∴|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.5．(2017届云南省昆明市适应性检测)已知a ，b ，c ，m ，n ，p 都是实数，且a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1.(1)证明：|am ＋bn ＋cp |≤1；(2)若abc ≠0，证明：m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. 证明 (1)因为|am ＋bn ＋cp |≤|am |＋|bn |＋|cp |，a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以|am |＋|bn |＋|cp |≤a 2＋m 22＋b 2＋n 22＋c 2＋p 22＝a 2＋b 2＋c 2＋m 2＋n 2＋p 22＝1，即|am ＋bn ＋cp |≤1.(2)因为a 2＋b 2＋c 2＝1，m 2＋n 2＋p 2＝1，所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2 ＝⎝⎛⎭⎫m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2(a 2＋b 2＋c 2) ≥⎝⎛⎭⎫m 2a·a ＋n 2b ·b ＋p 2c ·c 2 ＝(m 2＋n 2＋p 2)2＝1.所以m 4a 2＋n 4b 2＋p 4c 2≥1. B 组能力提高6．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)求不等式2f (x )－x ≥2的解集；(2)对∀x ∈R ，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，求证：|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc . (1)解令g (x )＝2f (x )－x ＝2|x －1|－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －2，x ≥1，－3x ＋2，x <1，当x ≥1时，由x －2≥2，得x ≥4，当x <1时，由－3x ＋2≥2，得x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．(2)证明 |x －1|－|x ＋5|≤|x －1－(x ＋5)|＝6，又∵a ，b ，c >0，∴1a 3＋1b 3＋1c 3＋3abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋3abc ＝3abc＋3abc ≥23abc ·3abc ＝6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号，∴|x －1|－|x ＋5|≤1a 3＋1b 3＋1c3＋3abc .7．(2017届四川省成都市二诊)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值．解 (1)f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0，根据绝对值的几何意义，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32表示点(x,0)到A ⎝⎛⎭⎫－32，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0两点的距离之和．接下来找出到A ，B 距离之和为4的点．将点A 向左移动12个单位长度到点A 1(－2,0)，这时有|A 1A |＋|A 1B |＝4；同理，将点B 向右移动12个单位长度到点B 1(2,0)，这时有|B 1A |＋|B 1B |＝4.∴当x ∈[－2,2]时，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r ，由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9，∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94. 上述不等式当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43，即p ＝14，q ＝38，r ＝34时取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.8．(2017·湖北省黄冈中学三模)设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12， ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a | ≤|x ＋a －x ＋1－a | ＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，当且仅当x ≥1－a 时取等号，∴f (x )max ＝a ＋1－a ，对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a ) ＝1＋2 －⎝⎛⎭⎫a －122＋14.∵当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时单调递增，a ∈⎣⎡⎦⎤12，1时单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

[精品]2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲教案理

第二讲不等式选讲含绝对值不等式的解法及应用授课提示：对应学生用书第79页[悟通——方法结论]1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．(2017·高考全国卷Ⅰ)（10分）已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [规范解答] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；(2分)当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.(4分)所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤－1＋172. (5分)(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.(8分)又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．(10分)1．零点分段求解绝对值不等式的模型 (1)求零点；(2)划区间，去绝对值号； (3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值． 2．绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式；(2)转化最值：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a ；(3)得结论．[练通——即学即用]1．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1；(2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3.①当x ≤13时，原不等式可化为－3x ＋1＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，原不等式可化为3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，原不等式可化为3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}．(2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ，依题意知不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在[13，12]上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故所求实数a 的取值范围是[－12，43]．2．(2018·浦东五校联考)已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )＞2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．解析：(1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5＋2x (x ＜－1)，3(－1≤x ≤1)，5－2x (x ＞1)，由f (x )＞2得不等式的解集为{x |－32＜x ＜32}．(2)因为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以该函数在x ＝－1处取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2x (x ＜－1)，m －2(－1≤x ≤1)，m －2x (x ＞1)在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.含绝对值不等式的恒成立问题授课提示：对应学生用书第80页[悟通——方法结论]绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |或f (x )＝|x －a |－|x －b |的最值．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54 ≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.2．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值．解析：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4. 当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，∴2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，∴－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x ≤2. 综上，原不等式的解集为{x |－32＜x ＜52}，即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，∴k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .不等式的证明授课提示：对应学生用书第80页[悟通——方法结论] 证明不等式的5个基本方法(1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2) a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2018·南宁、柳州联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4.解析：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0＜x ＜1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ⇒x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤－23}．(2)证明：法一：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a＋a ≥2b ， ∴两式相加得(a 2b ＋b )＋(b 2a ＋a )≥2a ＋2b ，∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．法二：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4，由柯西不等式得(a 2b ＋b 2a )(b ＋a )≥(a ＋b )2，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a 2b b ＝b 2aa，即a ＝b ＝2时等号成立．不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法． (2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法． (3)能转化为比较大小的可以用比较法． (4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法．授课提示：对应学生用书第160页1．已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1.解析：(1)∵f (x )＜|x |＋1，∴|2x －1|＜|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解．故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56＜1. 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数ƒ(x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝ƒ(x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，ƒ(x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解析：(1)ƒ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝ƒ(x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝ƒ(x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，ƒ(x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.3．(2018·福州四校联考)(1)求不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集；(2)设a ，b 均为正数，h ＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a ，a 2＋b 2ab ，2b ，证明：h ≥2. 解析：(1)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则不等式的解集为(－12，12)．(2)证明：h ≥2a ，h ≥a 2＋b 2ab ，h ≥2b，h 3≥4(a 2＋b 2)ab ≥4×2abab＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，∴h ≥2.4．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x . (1)当a ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x ＞0，即|3x －1|＞x ， ∴3x －1＜－x 或3x －1＞x ，解得x ＞12或x ＜14，故f (x )＞0的解集为{x |x ＜14或x ＞12}．(2)当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1a，2(1－a )x ＋1，x ＜1a，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a－1＞0，2(1－a )≤0，得1≤a ＜2；当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点；当a ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1a，2(1－a )x ＋1，x ＞1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a－1＜0，2(1－a )≤0，此时无解．综上可知，当1≤a ＜2时，函数f (x )的图象与x 轴无交点．。

2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲教案理

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第二讲不等式选讲含绝对值不等式的解法及应用授课提示：对应学生用书第79页[悟通——方法结论]1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．(2017·高考全国卷Ⅰ)（10分）已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [规范解答] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；(2分)当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.(4分)所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤－1＋172. (5分)(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.(8分)又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．(10分)1．零点分段求解绝对值不等式的模型 (1)求零点；(2)划区间，去绝对值号； (3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值． 2．绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式；(2)转化最值：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a ；(3)得结论．[练通——即学即用]1．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1；(2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3.①当x ≤13时，原不等式可化为－3x ＋1＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，原不等式可化为3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，原不等式可化为3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}．(2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ，依题意知不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在[13，12]上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故所求实数a 的取值范围是[－12，43]．2．(2018·浦东五校联考)已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )＞2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．解析：(1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5＋2x (x ＜－1)，3(－1≤x ≤1)，5－2x (x ＞1)，由f (x )＞2得不等式的解集为{x |－32＜x ＜32}．(2)因为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以该函数在x ＝－1处取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2x (x ＜－1)，m －2(－1≤x ≤1)，m －2x (x ＞1)在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.含绝对值不等式的恒成立问题授课提示：对应学生用书第80页[悟通——方法结论]绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |或f (x )＝|x －a |－|x －b |的最值．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54 ≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 2．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值．解析：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4. 当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，∴2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，∴－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x ≤2. 综上，原不等式的解集为{x |－32＜x ＜52}，即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，∴k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .不等式的证明授课提示：对应学生用书第80页[悟通——方法结论] 证明不等式的5个基本方法(1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2) a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2018·南宁、柳州联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4.解析：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0＜x ＜1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ⇒x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤－23}．(2)证明：法一：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a＋a ≥2b ， ∴两式相加得(a 2b ＋b )＋(b 2a ＋a )≥2a ＋2b ，∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．法二：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4，由柯西不等式得(a 2b ＋b 2a )(b ＋a )≥(a ＋b )2，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a 2b b ＝b 2aa，即a ＝b ＝2时等号成立．不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．(3)能转化为比较大小的可以用比较法． (4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法．授课提示：对应学生用书第160页1．已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1.解析：(1)∵f (x )＜|x |＋1，∴|2x －1|＜|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解．故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56＜1.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数ƒ(x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝ƒ(x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，ƒ(x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解析：(1)ƒ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝ƒ(x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝ƒ(x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，ƒ(x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.3．(2018·福州四校联考)(1)求不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集；(2)设a ，b 均为正数，h ＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a ，a 2＋b 2ab ，2b ，证明：h ≥2. 解析：(1)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则不等式的解集为(－12，12)．(2)证明：h ≥2a ，h ≥a 2＋b 2ab ，h ≥2b，h 3≥4(a 2＋b 2)ab ≥4×2abab＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，∴h ≥2.4．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x . (1)当a ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x ＞0，即|3x －1|＞x ， ∴3x －1＜－x 或3x －1＞x ，解得x ＞12或x ＜14，故f (x )＞0的解集为{x |x ＜14或x ＞12}．(2)当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1a，2(1－a )x ＋1，x ＜1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a－1＞0，2(1－a )≤0，得1≤a ＜2；当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点；当a ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1a，2(1－a )x ＋1，x ＞1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a－1＜0，2(1－a )≤0，此时无解．综上可知，当1≤a ＜2时，函数f (x )的图象与x 轴无交点．。

专题21 不等式选讲(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)

预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查.一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).知识点二不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立.定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a |－|b ||≤|a －b |.(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立.(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1·a 2·…·a n ，并且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立.(4)一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，并且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.2.证明不等式的常用方法 (1)比较法一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负.(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法.(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法.②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.考点一解绝对值不等式例1．【2017课标1，理】已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 【变式探究】不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．考点二不等式的证明例2．【2017课标II ，理23】已知330,0,2a b a b >>+=。

高考数学二轮复习专题七系列4选讲第2讲不等式选讲学案理

第2讲不等式选讲[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2018·湖南省长郡中学模拟)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，由f (x )≥4－|x －4|，无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，当x ≤0或x ≥a 时，显然不成立．当0<x <a 时，由|4x －2a |≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若函数g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1.由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{}x |－1≤x ≤1.(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32，g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019≥||2x －2 018－a －2x ＋2 019＝|a －1|，则|a －1|≤32，解得－12≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例2 设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a |(a >0)． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，由f (x )>8，得|2x ＋1|＋|x －2|>8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －1>8或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <2，x ＋3>8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ＋1>8，得x >3或x ∈∅或x <－73，所以x >3或x <－73，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－73∪(3，＋∞)． (2)因为∃x ∈R ，使得f (x )≤32成立，所以f (x )min ≤32.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1－a ，x ≥a ，x ＋a ＋1，－12<x <a ，－3x －1＋a ，x ≤－12，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12＋a ，所以12＋a ≤32，所以a ≤1.又a >0，所以实数a 的取值范围是(]0，1. 思维升华绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．跟踪演练2 (2018·东北三省三校模拟)已知函数f (x )＝||2x ＋b ＋||2x －b . (1)若b ＝1，解不等式f (x )>4；(2)若不等式f (a )>||b ＋1对任意的实数a 恒成立，求b 的取值范围．解 (1)当b ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|>4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，4x >4⇒x >1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－4x >4⇒x <－1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，2>4⇒x ∈∅，所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)f (a )＝|2a ＋b |＋|2a －b |＝|2a ＋b |＋|b －2a |≥|(2a ＋b )＋(b －2a )|＝|2b |，当且仅当(2a ＋b )(b －2a )≥0时，f (a )min ＝|2b |，所以|2b |>|b ＋1|，所以(2b )2>(b ＋1)2，即(3b ＋1)(b －1)>0，所以b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(1，＋∞)．热点三不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例3 (2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋||x －3. (1)解不等式f (x )≤x ＋1；(2)设函数f (x )的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0，b >0，a ＋b ＝c ，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.(1)解 f (x )≤x ＋1，即|x －1|＋||x －3≤x ＋1. ①当x <1时，不等式可化为4－2x ≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵x <1，∴x ∈∅；②当1≤x ≤3时，不等式可化为2≤x ＋1，解得x ≥1. 又∵1≤x ≤3，∴1≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为2x －4≤x ＋1，解得x ≤5. 又∵x >3，∴3<x ≤5.综上所得，1≤x ≤3或3<x ≤5，即1≤x ≤5. ∴原不等式的解集为[]1，5. (2)证明由绝对值不等式的性质，得|x －1|＋||x －3≥||(1－x )＋()x －3＝2，当且仅当(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3时，等号成立， ∴c ＝2，即a ＋b ＝2.令a ＋1＝m ，b ＋1＝n ，则m >1，n >1，a ＝m －1，b ＝n －1，m ＋n ＝4， a 2a ＋1＋b 2b ＋1＝()m －12m＋(n －1)2n＝m ＋n ＋1m ＋1n－4＝4mn ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立，∴原不等式得证．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练3 (2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集．(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |. (1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6. 当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1，∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立， ∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明()ab ＋12－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)．由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴||ab ＋1>|a ＋b |.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，(当且仅当a ＝b 时，等号成立) 因此a ＋b ≤2. 押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，解得x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2x －4)(2x ＋a )≤0时等号成立) 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2018·全国Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a ＋b 的最小值．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5. 2．(2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4. 而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，当且仅当x ＋a 与2－x 同号时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )≤9；(2)若方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )≤9，即|2x －4|＋|x ＋1|≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，3x －3≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，5－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1，－3x ＋3≤9，解得2<x ≤4或－1≤x ≤2或－2≤x <－1.∴不等式的解集为[－2,4]．(2)当x ∈[0,2]时，f (x )＝5－x .由题意知，f (x )＝－x 2＋a ，即a ＝x 2－x ＋5，x ∈[0,2]，故方程f (x )＝－x 2＋a 在区间[0,2]上有解，即函数y ＝a 和函数y ＝x 2－x ＋5的图象在区间[0,2]上有交点， ∵当x ∈[0,2]时，y ＝x 2－x ＋5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7， ∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 4．(2018·百校联盟TOP20联考)已知f (x )＝|2x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )≤4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，由f (x )≤4，得2|x －1|－|x －2|≤4，当x ≤1时，由2(1－x )－(2－x )≤4，得－4≤x ≤1；当1<x <2时，由2(x －1)－(2－x )≤4，得1<x <2；当x ≥2时，由2(x －1)－(x －2)≤4，得2≤x ≤4.综上所述，f (x )≤4的解集为[－4,4]．(2)由不等式f (x )≥3a 2－3|2－x |，得|2x ＋a |－|x －2|＋3|x －2|≥3a 2，即为|2x ＋a |＋|4－2x |≥3a 2，即关于x 的不等式|2x ＋a |＋|2x －4|≥3a 2恒成立，而|2x ＋a |＋|2x －4|≥|(2x ＋a )－(2x －4)|＝|a ＋4|，当且仅当(2x ＋a )(2x －4)≤0时等号成立，所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2，解得－1≤a ≤43或a ∈∅. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43. 5．(2018·上饶模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|.(1)求不等式f (x )≤8－|x －3|的解集；(2)若正数m ，n 满足m ＋3n ＝mn ，求证：f (m )＋f (－3n )≥24.(1)解此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－2x －1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤3，2x ＋1＋(3－x )≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x >3，2x ＋1＋x －3≤8，即不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，103. (2)证明 ∵m >0，n >0，m ＋3n ＝mn ，∴m ＋3n ＝13(m ·3n )≤13×(m ＋3n )24，即m ＋3n ≥12，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ，m ＋3n ＝mn ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝2时取等号，∴f (m )＋f (－3n )＝|2m ＋1|＋|－6n ＋1|≥|2m ＋6n |，当且仅当(2m ＋1)(－6n ＋1)≤0，即n ≥16时取等号，又|2m ＋6n |≥24，当且仅当m ＝6，n ＝2时，取等号，∴f (m )＋f (－3n )≥24.B 组能力提高6．(2018·榆林模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a .(1)求不等式f (x )>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )>a ，得|3x －1|>|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1，即5x 2>10x ，解得x <0或x >2.所以不等式f (x )>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)<0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a <0，2＋a ≥0，故a 的取值范围为[)－2，－1.7．(2018·百校联盟TOP20联考)已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|.(1)解不等式f (x )>2|x |；(2)若f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2(a >0，b >0，c >0)对任意x ∈R 恒成立，求证：ab ·c <7232. (1)解由f (x )>2|x |，得x 2＋|x －2|>2|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x 2＋x －2>2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，x 2＋2－x >2x或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2－x >－2x ，解得x >2或0<x <1或x ≤0，即x >2或x <1.所以不等式f (x )>2|x |的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)证明当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －2≥22＋2－2＝4；当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74，所以f (x )的最小值为74. 因为f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74. 又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ≥42abc 2，且等号不能同时成立，所以42abc 2<74，即ab ·c <7232. 8．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于 |x ＋1|－|x |≥12. ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵a ∈[0,1]，∴f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，∴f (x )max ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. ∴当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1，∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

高考数学二轮复习专题七系列4选讲第2讲不等式选讲学案文2018121

第2讲不等式选讲[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a . (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a .(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1 (2018·乌鲁木齐模拟)设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1即为 |2x －3|＋5x ≥5x ＋1， ∴||2x －3≥1，解得x ≥2或x ≤1.∴不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥2}． (2)由f (x )≤0，得||2x －a ＋5x ≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，3x ＋a ≤0，又a >0，∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a3，由题意得－a3＝－1，解得a ＝3.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若函数g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1.由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f (x )≤3的解集为{}x |－1≤x ≤1.(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32，g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019≥||2x －2 018－a －2x ＋2 019＝|a －1|，则|a －1|≤32，解得－12≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52.热点二绝对值不等式恒成立(存在)问题定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．例2 (2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋3|. (1)解不等式f (x )<2x ＋10；(2)若不等式f (x )≤m |x ＋2|有解，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －4，x ≤－32，x ＋2，－32<x <－1，3x ＋4，x ≥－1，由f (x )<2x ＋10，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32，－3x －4<2x ＋10或⎩⎪⎨⎪⎧－32<x <－1，x ＋2<2x ＋10或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，3x ＋4<2x ＋10，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，6.(2)①若x ＝－2，显然无解；②若x ≠－2，则m ≥|x ＋1|＋|2x ＋3||x ＋2|，令g (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋3||x ＋2|≥|(2x ＋3)－(x ＋1)||x ＋2|＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当－32≤x ≤－1时等号成立， ∴m ≥1.即m 的取值范围是[1，＋∞)．思维升华绝对值不等式的成立问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．跟踪演练2 (2018·上饶模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值范围．解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝|3x －1|＋|3x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4，解得x ≤0或x ≥43，∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1，得3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立，即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，又k >－1，故－1<k ≤94，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94. 热点三不等式的证明 1．含有绝对值的不等式的性质 ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．例3 (2018·山东省名校联盟模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32(x ∈R )，求证：|a ＋1|－|2a －1||a |≤g (x )对∀a ∈R ，且a ≠0恒成立．(1)解依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪||a ＋1－|2a －1||a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a ＋2－1a ＝3，当且仅当⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫2－1a ≤0时取等号，所以－3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1a ≤3，即－3≤||a ＋1||－2a －1|a |≤3.又因为当x ∈R 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＝3，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≤0时，等号成立．故g (x )min ＝3.所以||a ＋1||－2a －1|a |≤g (x )对∀a ∈R ，且a ≠0恒成立．思维升华 (1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．跟踪演练3 (2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|，M 为不等式f (x )<6的解集． (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，求证：|ab ＋1|>|a ＋b |. (1)解 f (x )＝|3x ＋1|＋|3x －1|<6. 当x <－13时，f (x )＝－3x －1－3x ＋1＝－6x ，由－6x <6，解得x >－1， ∴－1<x <－13；当－13≤x ≤13时，f (x )＝3x ＋1－3x ＋1＝2，又2<6恒成立， ∴－13≤x ≤13；当x >13时，f (x )＝3x ＋1＋3x －1＝6x ，由6x <6，解得x <1，∴13<x <1.综上，f (x )<6的解集M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明()ab ＋12－(a ＋b )2＝a 2b 2＋2ab ＋1－(a 2＋b 2＋2ab )＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)．由a ，b ∈M ，得|a |<1，|b |<1， ∴a 2－1<0，b 2－1<0， ∴(a 2－1)(b 2－1)>0， ∴||ab ＋1>|a ＋b |.真题体验1．(2017·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]上的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2017·全国Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2，证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，(当且仅当a ＝b 时，等号成立) 因此a ＋b ≤2.押题预测1．已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R . (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥4；(2)若∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，求a 的取值范围．押题依据不等式选讲问题中，联系绝对值，关联参数、体现不等式恒成立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒成立问题是高考的热点，备受命题者青睐．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|. 由f (x )≥4，得|x －2|＋|2x ＋1|≥4. 当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥4，解得x ≥53，所以x ≥2；当－12<x <2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥4，解得x ≥1，所以1≤x <2；当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥4，解得x ≤－1，所以x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}． (2)应用绝对值不等式，可得f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2x －4)(2x ＋a )≤0时等号成立) 因为∃x 0，使f (x 0)＋|x 0－2|<3成立，所以(f (x )＋|x －2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)． 2．已知x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：x 2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件．押题依据不等式选讲涉及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显著特点．本题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，具有一定的训练价值．解 (1)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以x 4＋y4＝1.由基本不等式，得 1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12y x ·xy＝1，当且仅当x ＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1. 因为f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0. 所以实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)因为x ，y ∈R ＋，x ＋y ＝4，所以y ＝4－x (0<x <4)，于是x 2＋2y 2＝x 2＋2(4－x )2＝3x 2－16x ＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323，当x ＝83，y ＝43时等号成立．A 组专题通关1．(2018·全国Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b 恒成立，求a ＋b 的最小值．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)上恒成立，因此a ＋b 的最小值为5.2．(2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x ≤－1，2，－1<x ≤2，－2x ＋6，x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，当且仅当x ＋a 与2－x 同号时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·潍坊模拟)已知f (x )＝|x ＋1|＋||x －m .(1)若f (x )≥2，求m 的取值范围；(2)已知m >1，若∃x ∈(－1,1)，使f (x )≥x 2＋mx ＋3成立，求m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝|x ＋1|＋||x －m ≥||m ＋1，∴由f (x )≥2，得||m ＋1≥2，∴m ＋1≥2或m ＋1≤－2，∴m 的取值范围是{m |m ≥1或m ≤－3}．(2)∵m >1，∴当x ∈(－1,1)时，f (x )＝m ＋1，∴不等式f (x )≥x 2＋mx ＋3，即m ＋1≥x 2＋mx ＋3， ∴m (1－x )≥x 2＋2，即m ≥x 2＋21－x . 令g (x )＝x 2＋21－x ＝(1－x )2－2(1－x )＋31－x＝(1－x )＋31－x－2. ∵0<1－x <2，∴(1－x )＋31－x ≥23(当且仅当x ＝1－3时取“＝”)． ∴g (x )min ＝23－2，∴m ≥23－2.即m 的取值范围是[23－2，＋∞)．4．(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝|x －1|－|x ＋2|.(1)解不等式f (x )＋x >0；(2)若关于x 的不等式f (x )≤2a 2－5a 的解集为R ，求实数a 的取值范围．解 (1)不等式f (x )＋x >0可化为|x －1|＋x >|x ＋2|，当x <－2时，－(x －1)＋x >－(x ＋2)，解得x >－3，即－3<x <－2；当－2≤x <1时，－(x －1)＋x >x ＋2，解得x <－1，即－2≤x <－1；当x ≥1时，x －1＋x >x ＋2，解得x >3，即x >3.综上所述，不等式f (x )＋x >0的解集为{x |－3<x <－1或x >3}．(2)由不等式f (x )≤2a 2－5a ，可得|x －1|－|x ＋2|≤2a 2－5a .∵|x －1|－|x ＋2|≤||x －1－x －2＝3，∴2a 2－5a ≥3，即2a 2－5a －3≥0，解得a ≤－12或a ≥3. ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[3，＋∞)． 5．(2018·辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知函数f (x )＝||x ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a (a >0)． (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>3的解集；(2)证明：f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ≥4. (1)解当a ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－2，－x －2－x －12>3 或⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤－12，x ＋2－x －12>3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >－12，x ＋2＋x ＋12>3，解得x <－114或x >14. 所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－114或x >14. (2)证明 f (m )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1m ＋1a ≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋1m ＝2⎝⎛⎭⎪⎫|m |＋1|m |≥4 (当且仅当m ＝±1且a ＝1时等号成立)．B 组能力提高6．(2018·榆林模拟)已知函数f (x )＝|3x －1|－|2x ＋1|＋a .(1)求不等式f (x )>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围．解 (1)由f (x )>a ，得|3x －1|>|2x ＋1|，不等式两边同时平方，得9x 2－6x ＋1>4x 2＋4x ＋1，即5x 2>10x ，解得x <0或x >2.所以不等式f (x )>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g (x )＝|3x －1|－|2x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g (x )的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)<0，f (4)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a <0，2＋a ≥0，故a 的取值范围为[)－2，－1.7．(2018·百校联盟TOP20联考)已知函数f (x )＝x 2＋|x －2|.(1)解不等式f (x )>2|x |；(2)若f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，求证：ac ＋2bc ≤78. (1)解由f (x )>2|x |，得x 2＋|x －2|>2|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x 2＋x －2>2x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，x 2＋2－x >2x或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋2－x >－2x ，解得x >2或0<x <1或x ≤0，即x >2或x <1.所以不等式f (x )>2|x |的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)证明当x ≥2时，f (x )＝x 2＋x －2≥22＋2－2＝4；当x <2时，f (x )＝x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74，所以f (x )的最小值为74. 因为f (x )≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意x ∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74，又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ，所以ac ＋2bc ≤78.(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立) 8．设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥12. ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥12，无解； ②当－1<x <0时，不等式化为x ＋1＋x ≥12，解得－14≤x <0； ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥12，解得x ≥0.综上所述，不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞. (2)∵不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤f (x )max ，∵a ∈[0,1]，∴f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，∴f (x )max ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集不为空集，∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a (1－a )＝1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.∴当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1，∴b 的取值范围为(－∞，1]．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2019届高考数学二轮复习第一部分专题七系列4选讲第二讲不等式选讲教案选修4

第二讲不等式选讲(选修4－5)[考情分析]不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ① 当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得－1＜x ≤－12；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得12≤x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23＜x ＜2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．含绝对值不等式的解法[方法结论]1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法：(1)若c ＞0，则|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的取值求解即可；(2)若c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法： (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[题组突破]1．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围．解析：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0 ＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)，即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．2．(2017·广州模拟)设函数f (x )＝|kx －1|(k ∈R )．(1)若不等式f (x )≤2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤1，求k 的值； (2)若f (1)＋f (2)＜5，求k 的取值范围．解析：(1)由|kx －1|≤2，得－2≤kx －1≤2， ∴－1≤kx ≤3，∴－13≤k3x ≤1.由已知，得k3＝1，∴k ＝3.(2)由已知，得|k －1|＋|2k －1|＜5.当k ≤12时，－(k －1)－(2k －1)＜5，得k ＞－1，此时－1＜k ≤12；当12＜k ≤1时，－(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜5，此时12＜k ≤1；当k ＞1时，(k －1)＋(2k －1)＜5，得k ＜73，此时1＜k ＜73.综上，k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，73. [误区警示]利用零点分段讨论法，解绝对值不等式时易遗漏区间的端点值．不等式的证明[方法结论]证明不等式的5个基本方法 (1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[题组突破]1．已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1. (1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8； (2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)∵1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， ∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥2a ·2b ·2c ＝8abc ， ∵abc ＝1，∴(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8. (2)∵ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ，ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，上面三式相加得，2ab ＋2bc ＋2ca ≥2a ＋2b ＋2c ，即ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c . 又1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ac ，∴a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.2．(2017·武汉调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解析：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}． (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14.令g (x )＝－(x －12)2＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.3．设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 4．已知a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a . 证明：要证 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2.只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． [类题通法]不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；(3)如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．含绝对值不等式的恒成立问题[方法结论]绝对值不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．[典例] (2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.因为|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，所以g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是(－∞，5]． [类题通法]1．绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |或f (x )＝|x －a |－|x －b |的最值．2．不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .[演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围．解析：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m当m ＝1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1－3＜x ＜1，或x ≤－3，得x ≤－32，∴不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤－32}．(2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ， ∵f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， ∴4m ＜3，又m ＞0，∴0＜m ＜34.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.。

2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第二讲不等式选讲教案理

第二讲不等式选讲含绝对值不等式的解法及应用授课提示：对应学生用书第79页[悟通——方法结论]1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．(2017·高考全国卷Ⅰ)（10分）已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [规范解答] (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；(2分)当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.(4分)所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤－1＋172. (5分)(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时f (x )≥2.(8分)又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．(10分)1．零点分段求解绝对值不等式的模型 (1)求零点；(2)划区间，去绝对值号； (3)分别解去掉绝对值号的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值． 2．绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式；(2)转化最值：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a ；(3)得结论．[练通——即学即用]1．(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1；(2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3.①当x ≤13时，原不等式可化为－3x ＋1＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，原不等式可化为3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，原不等式可化为3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}．(2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ，依题意知不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在[13，12]上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故所求实数a 的取值范围是[－12，43]．2．(2018·浦东五校联考)已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )＞2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．解析：(1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5＋2x (x ＜－1)，3(－1≤x ≤1)，5－2x (x ＞1)，由f (x )＞2得不等式的解集为{x |－32＜x ＜32}．(2)因为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以该函数在x ＝－1处取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2x (x ＜－1)，m －2(－1≤x ≤1)，m －2x (x ＞1)在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.含绝对值不等式的恒成立问题授课提示：对应学生用书第80页[悟通——方法结论]绝对值不等式中蕴含最佳思想，即可利用|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |去求形如f (x )＝|x －a |＋|x －b |或f (x )＝|x －a |－|x －b |的最值．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54 ≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 2．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值．解析：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4. 当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，∴2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，∴－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x ≤2. 综上，原不等式的解集为{x |－32＜x ＜52}，即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，∴k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a ；f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ；f (x )＞a 有解⇔f (x )max ＞a ；f (x )＜a 有解⇔f (x )min ＜a ；f (x )＞a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )＜a 无解⇔f (x )min ≥a .不等式的证明授课提示：对应学生用书第80页[悟通——方法结论] 证明不等式的5个基本方法(1)比较法：作差或作商比较．(2)综合法：根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法：执果索因的证明方法． (4)反证法：反设结论，导出矛盾．(5)放缩法：通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2) a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2018·南宁、柳州联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a≥4.解析：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0＜x ＜1时，1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解；当x ≤0时，1－x ≥3＋2x ⇒x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤－23}．(2)证明：法一：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a＋a ≥2b ， ∴两式相加得(a 2b ＋b )＋(b 2a ＋a )≥2a ＋2b ，∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．法二：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4，由柯西不等式得(a 2b ＋b 2a )(b ＋a )≥(a ＋b )2，∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a 2b b ＝b 2aa，即a ＝b ＝2时等号成立．不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法．(1)一般地，对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明，“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法．(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出，则考虑用反证法．(3)能转化为比较大小的可以用比较法． (4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法．授课提示：对应学生用书第160页1．已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )＜|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )＜1.解析：(1)∵f (x )＜|x |＋1，∴|2x －1|＜|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜12，1－2x ＜x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＜－x ＋1，得12≤x ＜2或0＜x ＜12或无解．故不等式f (x )＜|x |＋1的解集为{x |0＜x ＜2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56＜1.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数ƒ(x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝ƒ(x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，ƒ(x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解析：(1)ƒ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝ƒ(x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝ƒ(x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，ƒ(x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.3．(2018·福州四校联考)(1)求不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集；(2)设a ，b 均为正数，h ＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a ，a 2＋b 2ab ，2b ，证明：h ≥2. 解析：(1)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0，解得－12＜x ＜12，则不等式的解集为(－12，12)．(2)证明：h ≥2a ，h ≥a 2＋b 2ab ，h ≥2b，h 3≥4(a 2＋b 2)ab ≥4×2abab＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，∴h ≥2.4．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x . (1)当a ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x ＞0，即|3x －1|＞x ， ∴3x －1＜－x 或3x －1＞x ，解得x ＞12或x ＜14，故f (x )＞0的解集为{x |x ＜14或x ＞12}．(2)当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1a，2(1－a )x ＋1，x ＜1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2a－1＞0，2(1－a )≤0，得1≤a ＜2；当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点；当a ＜0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1a，2(1－a )x ＋1，x ＞1a ，要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a－1＜0，2(1－a )≤0，此时无解．综上可知，当1≤a ＜2时，函数f (x )的图象与x 轴无交点．。

全国通用版2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第2讲不等式选讲学案文word格式

第 2 讲不等式选讲[ 考情考向分析]本部分主要察看绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合会合的运算、函数的图象和性质、恒建立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要察看基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)| f ( x)|> a( a>0) ? f ( x)> a 或 f ( x)<－ a.(2)| f ( x)|< a( a>0) ?－ a<f ( x)< a.(3)对形如 | x－a| ＋ | x－b| ≤c，| x－a| ＋ | x－b| ≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例 1 (2018 ·乌鲁木齐模拟) 设函数f ( x) ＝ |2 x－a| ＋ 5x，其中a>0.(1)当 a＝3时，求不等式 f ( x)≥5x＋1的解集；(2)若不等式 f ( x)≤0的解集为{ x| x≤－1}，求 a 的值．解(1) 当a＝ 3 时，不等式 f ( x)≥5x＋1即为|2 x － 3| ＋ 5x ≥ 5x ＋ 1，∴ | 2x － 3| ≥ 1，解得 x ≥ 2 或 x ≤ 1.∴不等式的解集为 { x | x ≤1 或 x ≥ 2} ．(2) 由 f ( x ) ≤ 0，得 | 2x － a | ＋5x ≤ 0，aa ，x ≥ ，x<解得2或27x －a ≤03x ＋a ≤0，又 a >0，∴不等式的解集为x x ≤－a，3a 由题意得－＝－ 1，3解得 a ＝ 3.思想升华(1) 用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2) 用图象法、数形结合法能够求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既平时易懂，又简短直观，是一种较好的方法．追踪操练 1 (2018 ·河北省衡水金卷模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x ＋ 1| ＋| x － 1|.(1) 解不等式 f ( x ) ≤ 3；(2) 若函数 g ( x ) ＝ | 2x － 2 018 － a| ＋ | 2x － 2 019| ，若对于随意的1 ∈ R ，都存在 2x x ∈R ，使得 f ( x 1) ＝ g ( x 2) 建立，求实数 a 的取值范围．1－ 3x ，x ≤－ 2，解(1) 依题意，得f ( x ) ＝1x ＋ 2，－ 2<x<1，3x ，x ≥1.11由 f ( x ) ≤ 3，得x ≤－ 2，或－ 2<x<1 ，－3x ≤3x ＋2≤3解得－ 1≤ x ≤ 1.即不等式 f ( x ) ≤ 3 的解集为 { x| －1≤x ≤1} .13(2) 由 (1) 知， f ( x ) min ＝ f － 2 ＝ 2，g ( x ) ＝| 2x － 2 018 － a | ＋ | 2x －2 019 |≥ | 2x － 2 018 － a － 2x ＋ 2 019 | ＝ | a － 1| ，3则 | a －1| ≤ 2，解得－ 1≤ a ≤5，2 2即实数 a 的取值范围为 1 5 －，2.2 热点二绝对值不等式恒建立 (存在)问题x ≥1，或3x ≤3，定理 1：若是 a ， b 是实数，则 | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b | ，当且仅当 ab ≥ 0 时，等号建立．定理 2：若是 a ，b ，c 是实数，那么 | a － c | ≤| a － b | ＋| b － c | ，当且仅当 ( a － b )( b － c ) ≥ 0时，等号建立．例 2 (2018 ·江西省景德镇市第一中学模拟) 已知函数 f ( x ) ＝| x ＋ 1| ＋|2 x ＋ 3|.(1) 解不等式 f ( x )<2 x ＋ 10；(2) 若不等式 f ( x ) ≤ m | x ＋ 2| 有解，求 m 的取值范围．3－ 3x － 4，x ≤－ 2，解(1) f ( x ) ＝3x ＋ 2，－ 2<x<－ 1，3x ＋ 4，x ≥－ 1，由 f ( x )<2 x ＋ 10，33得 x ≤－ 2，或－ 2<x<－ 1，－3x － 4<2x ＋ 10x ＋ 2<2x ＋ 10x≥－ 1，或3x＋ 4<2x ＋10，14得 x∈ －5，6 .(2)①若 x＝－2，显然无解；|x ＋1| ＋ |2x ＋3|，②若 x≠－2，则 m≥|x ＋ 2||x ＋ 1| ＋ |2x＋ 3|令 g( x)＝≥错误 ! ＝1错误 ! ，|x ＋ 2|∴m≥1.即 m的取值范围是[1，＋∞)．思想升华绝对值不等式的建立问题的求解策略(1) 分别参数：依照不等式将参数分别化为≥(x ) 或a≤(x) 的形式．a f f(2) 转变最值： f ( x)> a 恒建立? f ( x)min>a； f ( x)< a 恒建立? f ( x)max<a； f ( x)> a 有解? f( x) max>a；f ( x)< a有解 ? f ( x) min <a；f ( x)> a无解 ? f ( x) max≤a；f ( x)< a无解 ? f ( x) min≥a.(3) 求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．(4)得结论．追踪操练2(2018 ·上饶模拟 ) 已知函数f ( x) ＝ |3 x－ 1| ＋ |3 x＋k| ，g( x) ＝x＋4.(1)当 k＝－3时，求不等式 f ( x)≥4的解集；k 1(2)设 k>－1，且当 x∈ －3，3时，都有 f ( x)≤ g( x)，求 k 的取值范围．解 (1) 当k＝－ 3 时，f ( x) ＝ |3 x－ 1| ＋ |3 x－ 3|1－6x＋ 4， x<3，＝1，3≤x≤1，26x－ 4， x>1，故不等式 f ( x)≥4可化为1或 x<1x>1，或3≤x≤1，3，6x－4≥42≥4－6x＋4≥4，4解得 x≤0或 x≥3，4∴所求不等式的解集 x x≤0或x≥3.k1(2) 当x∈ －3，3，由 k>－1，得3x－1<0,3 x＋ k≥0，∴ f ( x)＝1＋ k，不等式 f ( x)≤ g( x)可形1＋k≤ x＋4，故k ≤＋ 3∈ －k，1恒建立，即k≤－k＋ 3，x x333 9解得 k≤4，9又 k>－1，故－1<k≤4，9∴ k 的取范是－1，4.点三不等式的明1．含有的不等式的性||a|－| b||≤| a± b|≤| a|＋| b|.2．算—几何平均不等式定理 1：a，b∈ R，a2＋b2≥ 2ab，当且当a＝ b ，等号建立．a＋ b定理 2：若是a，b正数，那么2≥ ab，当且当a＝b，等号建立．a＋ b＋ c 3abc，当且当a＝b＝c，等号建立．定理 3：若是a，b，c正数，那么≥3定理 4 ： ( 一般形式的算—几何平均不等式) 若是a，a，⋯，a n 个正数，12na1＋ a2＋⋯＋ an n12n≥ a1a2⋯an，当且当 a ＝ a ＝⋯＝ a ，等号建立．n例 3 (2018 ·山省名校盟模) 已知函数f ( x) ＝|2 x－ 1| ＋ | x＋ 1|.(1)解不等式 f ( x)≤3；33|a ＋ 1| － |2a － 1|(2)若 g( x)＝x＋2＋x－2 ( x∈ R) ，求：|a|≤ g( x) ? a∈R，且 a≠0恒建立．－ 3x ，x ≤－ 1，1(1) 解依题意，得 f ( x ) ＝2－ x ，－ 1<x<2，13x ，x ≥ 2，于是由 f ( x ) ≤ 3，x ≤－ 1， 1 1－ 1<x< ，x ≥ ，得或2或2－3x ≤32－x ≤3 3x ≤3，解得－ 1≤ x ≤ 1，即不等式 f ( x ) ≤ 3 的解集为 { x | － 1≤ x ≤ 1} ．| a ＋ 1| － |2a － 1|(2) 证明因为|a|11＝1＋ a － 2－a ，1 1＋ a－12－ a1 1 ≤ 1＋ a＋2－ a＝ 3，11当且仅当 1＋ a 2－ a ≤ 0 时取等号，1 1因此－ 3≤1＋－2－≤ 3，a a | a ＋ 1| － | 2a － 1|≤ 3.即－ 3≤|a|又因为当 x ∈R 时，333 3x ＋ 2 ＋ x － 2 ≥ x ＋ 2 － x － 2 ＝ 3，当且仅当 x ＋3x －32 2 ≤ 0 时，等号建立．故 g ( x ) min ＝3.| a ＋ 1| －| 2a － 1|因此|a|≤g ( x ) 对 ? a ∈ R ，且a ≠ 0 恒建立．思想升华 (1) 作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤： ①作差；②分解因式；③与 0 比较；④结论．重点是代数式的变形能力．(2) 在不等式的证明中，适合“放”“缩”是常用的推证技巧．追踪操练 3 (2018 ·石家庄模拟 ) 已知函数 f ( x)＝|3 x＋1|＋|3 x－1|，M为不等式 f ( x)<6的解集．(1)求会合 M；(2)若 a， b∈ M，求证：| ab＋1|>| a＋ b|.(1) 解 f ( x)＝|3 x＋1|＋|3 x－1|<6.1当 x<－时， f ( x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x，3由－ 6x<6，解得x>－ 1，1∴－ 1<x<－；311当－3≤ x≤3时， f ( x)＝3x＋1－3x＋1＝2，又 2<6 恒建立，1 1∴－3≤ x≤3；1当 x>3时， f ( x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，1由 6x<6，解得x<1，∴3<x<1.综上， f ( x)<6的解集 M＝{ x|－1<x<1}．(2) 证明( ab＋1) 2－(a＋b)2＝a2b2＋2ab＋1－(a2＋b2＋2ab)＝ a2b2－ a2－b2＋1＝( a2－1)( b2－1)．由 a， b∈ M，得| a|<1，| b|<1，∴a2－1<0， b2－1<0，∴( a2－1)( b2－ 1)>0 ，∴| ab＋1| >|a＋b|.真题体验1． (2017 ·全国Ⅰ ) 已知函数 f ( x)＝－ x2＋ ax＋4， g( x)＝| x＋1|＋| x－1|.(1) 当a＝ 1 时，求不等式 f ( x)≥g( x)的解集；(2)若不等式 f ( x)≥ g( x)的解集包含[－1,1]，求实数 a 的取值范围．解(1) 当a＝ 1 时，不等式 f ( x)≥g( x)等价于x2－ x＋| x＋1|＋| x－1|－4≤0.①当 x<－1时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解；当－ 1≤x≤ 1 时，①式化为x2－x－ 2≤ 0，进而－ 1≤x≤ 1；当 x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，－1＋ 17进而 1<x≤.2因此 f ( x)≥ g( x)的解集为x －1≤x≤－1＋ 17.2(2) 当x ∈[ －1,1]时， () ＝2，g x因此 f ( x)≥ g( x)的解集包含[－1,1]等价于当 x∈[－1,1]时， f ( x)≥2.又 f ( x)在[－1,1]上的最小值必为 f (－1)与 f (1)之一，因此 f (－1)≥2且 f (1)≥2，得－1≤ a≤1.因此 a 的取值范围为[－1,1]．2． (2017 ·全国Ⅱ ) 已知a>0，b>0，a3＋b3＝ 2，证明：(1)(a＋ b)( a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明(1)( a＋b)( a5＋b5) ＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝( a3＋b3) 2－ 2a3b3＋ab( a4＋b4)＝4＋ab( a4＋b4－ 2a2b2)＝4＋ab( a2－b2) 2≥ 4.(2)因为 ( a＋b) 3＝a3＋ 3a2b＋ 3ab2＋b3＝2＋ 3ab( a＋b) ≤ 2＋错误 ! ( a＋b)＝2＋错误 ! ，因此 ( a＋b) 3≤ 8， ( 当且仅当a＝ b 时，等号建立)因此 a＋ b≤2.押题展望1．已知函数 f ( x ) ＝ | x －2| ＋ |2 x ＋ a | ， a ∈R.(1) 当 a ＝ 1 时，解不等式 f ( x ) ≥4；(2) 若? x 0，使 f ( x 0) ＋ | x 0－ 2|<3 建立，求 a 的取值范围．押题依照不等式选讲问题中，联系绝对值，关系参数、表现不等式恒建立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒建立问题是高考的热点，备受命题者喜欢．解 (1) 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ＝ | x － 2| ＋ |2 x ＋ 1|.由 f ( x ) ≥ 4，得 | x － 2| ＋|2 x ＋ 1| ≥ 4.当 x ≥ 2 时，不等式等价于x－ 2＋2 ＋ 1≥4，x5 解得x ≥ 3，因此x ≥ 2；1当－ 2<x <2 时，不等式等价于2－x ＋ 2x ＋ 1≥ 4，解得x ≥ 1，因此 1≤ x <2；1当 x ≤－时，不等式等价于 2－ x －2x － 1≥4， 2 解得 x ≤－ 1，因此 x ≤－ 1.因此原不等式的解集为{ x | x ≤－ 1 或 x ≥ 1} ．(2) 应用绝对值不等式，可得f ( x ) ＋ | x － 2| ＝ 2| x － 2| ＋ |2 x ＋ a | ＝ |2 x － 4| ＋ |2 x ＋ a | ≥|2 x ＋ a － (2 x － 4)| ＝ | a＋ 4|.( 当且仅当 (2 x － 4)(2 x ＋ a ) ≤ 0 时等号建立 )因为 ? x 0，使 f ( x 0) ＋ | x 0－ 2|<3 建立，因此 ( f ( x ) ＋ | x － 2|) min <3，因此 | a ＋ 4|<3 ，解得－ 7<a <－ 1，故实数 a 的取值范围为 ( － 7，－ 1) ．2．已知 x ， y ∈R ，x ＋ y ＝ 4.＋1 1 a －1| 恒建立，求实数a 的取值范围；(1) 要使不等式＋ ≥| ＋2| －|xy(2) 求证： x 2＋ 2y 2≥32，并指出等号建立的条件．3押题依照不等式选讲波及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显然特点．此题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，拥有必然的训练价值．解 (1) 因为 x ， y ∈ R ＋， x ＋y ＝ 4，x y 因此＋＝1.4 4由基本不等式，得1 1 1 1 x y x ＋ y ＝ x ＋ y 4＋ 41 1 y x＝2＋4 x ＋ y1 1 y x≥ 2＋2x · y ＝ 1，当且仅当 x ＝ y ＝ 2 时取等号．1 1要使不等式 x ＋y ≥ | a ＋ 2| － | a － 1| 恒建立，只要不等式 | a ＋2| － | a －1| ≤ 1 成立刻可．结构函数 f ( a ) ＝ | a ＋ 2| － | a － 1| ，则等价于解不等式f ( a ) ≤ 1.－3，a ≤－ 2，因为 f ( a ) ＝ 2a ＋ 1，－ 2<a<1，3，a ≥1，因此解不等式 f ( a ) ≤ 1，得 a ≤ 0.因此实数 a 的取值范围为 ( －∞， 0] ．(2) 因为 x ， y ∈R ＋，x ＋ y ＝ 4，因此 y ＝ 4－ x (0< x <4) ，于是 x 2＋ 2y 2＝ x 2＋ 2(4 － x ) 228 2 32 32 ＝ 3x －16x ＋ 32＝ 3 x － 3＋3≥3，8 4当 x ＝ 3， y ＝3时等号建立．A 组专题通关1． (2018 ·全国Ⅲ ) 设函数f ( x) ＝ |2 x＋ 1| ＋| x－ 1|.(1)画出 y＝ f ( x)的图象；(2)当 x∈[0，＋∞)时， f ( x)≤ ax＋ b 恒建立，求 a＋ b 的最小值．－ 3x， x<－ 1，2解(1) f ( x) ＝1x＋ 2，－ 2≤x<1，3x，x≥1.y＝ f ( x)的图象以以下图．(2) 由 (1)知， y＝ f ( x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当a≥3且b≥2时， f ( x)≤ ax＋ b 在[0，＋∞) 上恒建立，因此a＋ b 的最小值为 5.2． (2018 ·全国Ⅱ) 设函数 f ( x)＝5－|x＋ a|－| x－2|.(1)当 a＝1时，求不等式 f ( x)≥0的解集；(2)若 f ( x)≤1，求 a 的取值范围．2x＋ 4，x≤－ 1，解 (1) 当a＝ 1 时，f ( x) ＝ 2，－ 1<x≤2，－2x＋6， x>2.可得 f ( x)≥0的解集为{ x|－2≤ x≤3}．(2) f ( x) ≤ 1 等价于 | x＋a| ＋ | x－2| ≥ 4.而 | x＋a| ＋ | x－2| ≥ | a＋2| ，当且仅当x＋a与 2－x同号时等号建立．故f ( x)≤1等价于| a＋2|≥4.由 | a＋2| ≥ 4 可得a≤－ 6 或a≥2.因此 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3． (2018 ·潍坊模拟 ) 已知f ( x) ＝ | x＋ 1| ＋| x－ m| .(1)若 f ( x)≥2，求 m的取值范围；(2)已知 m>1，若? x∈(－1,1)，使 f ( x)≥ x2＋ mx＋3建立，求 m的取值范围．解 (1) ∵f ( x) ＝ | x＋ 1| ＋| x－ m|≥| m＋1|，∴由 f ( x)≥2，得|m＋1|≥2，∴ m＋1≥2或 m＋1≤－2，∴ m的取值范围是{ m| m≥1或 m≤－3}．(2)∵ m>1，∴当 x∈(－1,1)时， f ( x)＝ m＋1，∴不等式 f ( x)≥ x2＋ mx＋3，即 m＋1≥ x2＋ mx＋3，x2＋ 2∴m(1－ x)≥ x2＋2，即 m≥1－x.x2＋ 2令 g( x)＝1－x＝错误!3＝(1 －x) ＋1－x－ 2.∵0<1－x<2，3∴(1 －x) ＋1－x≥ 2 3( 当且仅当x＝ 1－ 3时取“＝” ) ．∴g( x)min＝2 3－2，∴m≥2 3－2.即 m的取值范围是[23－ 2，＋∞ ) ．4． (2018 ·湛江模拟 ) 已知函数 f ( x)＝| x－1|－| x＋2|.(1)解不等式 f ( x)＋ x>0；(2)若对于 x 的不等式 f ( x)≤2a2－5a 的解集为R，求实数 a 的取值范围．解 (1) 不等式 f ( x ) ＋ x >0 可化为 | x － 1| ＋ x >| x ＋ 2| ，当 x <－ 2 时，－ ( x － 1) ＋x >－ ( x ＋ 2) ，解得 x >－ 3，即－ 3<x <－ 2；当－ 2≤ x <1 时，－ ( x － 1) ＋ x >x ＋2，解得 x <－ 1，即－ 2≤ x <－ 1；当 x ≥ 1 时， x －1＋ x >x ＋2，解得 x >3，即 x >3.综上所述，不等式f ( x ) ＋ x >0 的解集为 { x | － 3<x <－1 或 x >3} ．(2) 由不等式 f ( x ) ≤ 2a 2－5a ，可得 | x － 1| － | x ＋ 2| ≤ 2a 2－ 5a .∵ | x －1| － | x ＋2| ≤ | x －1－ x － 2| ＝ 3，∴ 2a 2－5a ≥ 3，即 2a 2－ 5a －3≥ 0，1解得 a ≤－ 2或 a ≥ 3.∴实数 a 的取值范围是 1－∞，－ 2 ∪[3 ，＋∞ ) ．5． (2018 ·辽宁省部分重点中学协作体模拟) 已知函数 f ( x ) ＝| x ＋ a 1| ＋ x ＋ a ( a >0) ．(1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x )>3 的解集；(2) 证明：f( ) ＋f － 1 ≥ 4.mm1(1) 解当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ | x ＋ 2| ＋ x ＋ 2 ，x<－ 2，原不等式等价于1－ x － 2－ x － 2>311－2≤x ≤－ 2，x> －2，或1或1x ＋ 2－ x －2>3x ＋ 2＋x ＋ 2>3，111解得 x <－ 4 或 x >4.11 1因此不等式的解集为 xx< －或 x>4 .4f ( m)＋ f －1| m＋a| ＋m＋1111(2) 证明m＝a＋－＋ a＋－＋a m m1111＝ |m＋a| ＋－m＋ a＋ m＋a＋－m＋a≥ 2m＋1|m| ＋1≥ 4 m＝ 2|m|( 当且仅当m＝± 1且 a＝1时等号建立 ) ．B 组能力提高6． (2018 ·榆林模拟 ) 已知函数 f ( x)＝|3 x－1|－|2 x＋1|＋ a.(1)求不等式 f ( x)> a 的解集；(2) 若恰巧存在 4 个不同样的整数n，使得 f ( n)<0，求 a 的取值范围．解 (1) 由f ( x)> a，得 |3 x－ 1|>|2 x＋ 1| ，不等式两边同时平方，得9x2－ 6x＋1>4x2＋ 4x＋ 1，即 5x2>10x，解得x<0 或x>2.因此不等式 f ( x)> a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2) 设g( x) ＝ |3 x－ 1| － |2 x＋ 1|12－ x，x≤－，21 1＝－ 5x，－2<x<3，1x－ 2，x≥3，作出函数 g( x)的图象，以以下图，因为 g(0)＝ g(2)＝0， g(3)< g(4)＝2<g(－1)＝3，又恰巧存在 4 个不同样的整数n，使得 f ( n)<0，因此错误! 即错误!故 a 的取值范围为[－2，－1).7． (2018 ·百校缔盟TOP20联考 ) 已知函数f ( x)＝ x2＋| x－2|.(1) 解不等式 f ( x )>2| x | ；7(2) 若 f ( x ) ≥ a 2＋2b 2＋ 3c 2 对随意 x ∈ R 恒建立，求证： ac ＋2bc ≤ 8.(1) 解由 f ( x )>2| x | ，得 x 2＋ | x －2|>2| x | ，x ≥2，0<x<2，即或x2＋ x － 2>2xx2＋ 2－ x>2xx ≤0，或x2＋ 2－ x>－2x ，解得 x >2 或 0<x <1 或 x ≤0，即 x >2 或 x <1.因此不等式 f ( x )>2| x | 的解集为 ( －∞， 1) ∪(2 ，＋∞ ) ．(2) 证明当 x ≥ 2 时， f ( x ) ＝ x 2＋ x － 2≥ 22＋ 2－ 2＝ 4；21 2 77，当 x <2 时， f ( x ) ＝ x － x ＋2＝ x －2＋ ≥4 47 因此 f ( x ) 的最小值为.4因为 f ( x ) ≥ a 2＋2b 2＋ 3c 2 对随意 x ∈ R 恒建立，2227因此 a ＋ 2b ＋ 3c ≤ ，又 a 2＋2b 2＋ 3c 2＝ a 2＋c 2＋2( b 2＋ c 2) ≥ 2ac ＋ 4bc ，7因此 ac ＋ 2bc ≤8.( 当且仅当 a ＝ b ＝c 时，等号建立 )8．设函数 f ( x ) ＝ | x ＋ a| － | x － 1－a|.1 (1) 当 a ＝ 1 时，解不等式 f ( x ) ≥ ；2(2) 若对随意 a ∈ [0,1] ，不等式 f ( x ) ≥ b 的解集不为空集，求实数 b 的取值范围．11解 (1) 当 a ＝ 1 时，不等式 f ( x ) ≥2等价于 | x ＋ 1| －| x | ≥ 2.1①当 x ≤－ 1 时，不等式化为－x － 1＋ x ≥2，无解；1②当－ 1<x <0 时，不等式化为x ＋ 1＋ x ≥ 2，1解得－ 4≤ x <0；1③当 x ≥ 0 时，不等式化为x ＋ 1－ x ≥ 2，解得 x ≥ 0.综上所述，不等式1的解集为1 f ( x ) ≥ －，＋∞.24(2) ∵不等式 f ( x ) ≥ b 的解集不为空集， ∴ b ≤ f ( x ) max ，∵ a ∈ [0,1]，∴ f ( x ) ＝ | x ＋a| －|x －1－ a| ≤ | x ＋a － x ＋ 1－ a|＝ |a ＋1－ a|＝ a ＋ 1－ a ，∴ f ( x ) max ＝ a ＋ 1－ a.对随意 a ∈ [0,1] ，不等式 f ( x ) ≥b 的解集不为空集，∴ b ≤ [ a ＋ 1－ a] min ，令 g ( a ) ＝ a ＋ 1－ a ，∴ g 2( a ) ＝ 1＋ 2 a · 1－ a ＝ 1＋2错误 ! ＝ 1＋ 2错误 ! .11 ， 1∴当 a ∈ 0，时， g ( a ) 单一递加，当 a ∈ 2 时， g ( a ) 单一递减，当且仅当a ＝ 0 或 a2 ＝ 1 时， g ( a ) min ＝ 1，∴ b 的取值范围为 ( －∞， 1] ．。

全国通用版2019高考数学二轮复习专题七系列4选讲第2讲不等式选讲学案理word格式

第 2 讲不等式选讲[ 考情考向分析]本部分主要察看绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合会合的运算、函数的图象和性质、恒建立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要察看基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．热点一含绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法(1)|f ( x)|>a( a>0) ?f ( x)> a 或 f ( x)<－ a.(2)|f ( x)|<a( a>0) ?－ a<f ( x)< a.(3)对形如 | x－a| ＋ | x－b| ≤c，| x－a| ＋ | x－b| ≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例 1 (2018 ·湖南省长郡中学模拟) 已知函数 f ( x)＝| x－ a|，其中 a>1.(1)当 a＝2时，求不等式 f ( x)≥4－| x－4|的解集；(2)已知对于 x 的不等式| f (2 x＋ a)－2f ( x)|≤2的解集为{ x|1≤ x≤2}，求 a 的值．－ 2x＋6，x≤2，解(1) 当a＝ 2 时，f ( x) ＋ | x－ 4| ＝ | x－ 2| ＋ | x－ 4| ＝2， 2<x<4，2x－ 6，x≥4，当 x≤2时，由 f ( x)≥4－| x－4|，得－ 2x＋ 6≥ 4，解得x≤1；当 2<x<4 时，由f ( x) ≥ 4－ | x－ 4| ，无解；当 x≥4时，由 f ( x)≥4－| x－4|，得 2x－ 6≥ 4，解得x≥ 5.故不等式的解集为{ x| x≤1 或x≥ 5} ．(2) 令h( x) ＝f (2 x＋a) －2f ( x) ，－ 2a，x≤0，则 h( x)＝4x－2a，0<x<a，2a，x≥a，由 | h( x)| ≤ 2，当 x≤0或 x≥ a 时，显然不建立．当 0<x<a时，由 |4 x－ 2a| ≤ 2，a－ 1a＋ 1解得≤ x≤.22又知 | h( x)| ≤ 2 的解集为 { x|1 ≤x≤ 2} ，a－ 12＝ 1，因此于是 a＝3.a＋ 1＝2，2思想升华(1) 用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法能够求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既平时易懂，又简短直观，是一种较好的方法．追踪操练 1 (2018 ·河北省衡水金卷模拟) 已知函数 f ( x)＝|2 x＋1|＋| x－1|.(1)解不等式 f ( x)≤3；(2) 若函数g( x) ＝| 2x－ 2 018 － a|＋| 2x－ 2 019 |，若对于随意的x1∈R，都存在 x2∈R，使得 f ( x1)＝ g( x2)建立，求实数 a 的取值范围．1－ 3x，x≤－2，解(1) 依题意，得f ( x) ＝1x＋ 2，－<x<1，23x，x≥1.11x≤－，－ <x<1 ，由 f ( x)≤3，得2或2－3x≤3x＋2≤3解得－ 1≤x≤ 1.即不等式 f ( x)≤3的解集为 {x| －1≤x≤1} .(2) 由 (1) 知，f ( x) min＝f13－2＝2，g( x)＝|2x－ 2 018|＋ |2x－2 019|－ a≥| 2x－2 018－a－2x＋2 019 | ＝|a－1|，3则 | a－1| ≤2，x≥1，或3x≤3，1 5解得－2≤ a≤2，1 5即实数 a 的取值范围为－2，2.热点二绝对值不等式恒建立( 存在 ) 问题定理 1：若是a，b是实数，则 | a＋b| ≤ | a| ＋ | b| ，当且仅当ab≥0时，等号建立．定理 2：若是a，b，c是实数，那么 | a－c| ≤| a－b| ＋| b－c| ，当且仅当 ( a－b)( b－c) ≥ 0 时，等号建立．例 2 设函数f ( x) ＝ |2 x＋ 1| ＋ | x－a|( a>0) ．(1)当 a＝2时，求不等式 f ( x)>8的解集；3(2)若? x∈ R，使得f ( x) ≤2建立，求实数a的取值范围．解 (1) 当a＝ 2 时，由f ( x)>8 ，得|2 x＋ 1| ＋ | x－ 2|>8 ，x≥2，11－2<x<2 ，或 x≤－2，即或3x－ 1>8x＋ 3>8－3x＋ 1>8，7得 x >3 或 x ∈ ?或 x <－ 3，7因此 x >3 或 x <－ 3，7∪(3 ，＋∞ ) ．因此原不等式的解集为－∞，－ 33(2) 因为 ? x ∈R ，使得 f ( x ) ≤ 建立，23因此 f ( x ) min ≤ 2.3x ＋ 1－ a ，x ≥a ，1 因为 f ( x ) ＝x ＋ a ＋ 1，－ <x<a ，21－ 3x － 1＋ a ，x ≤－ 2，1因此 f ( x ) 在－∞，－ 2 上单一递减，1在－2，＋∞ 上单一递加，1 1因此 f ( x ) min ＝ f－2 ＝ 2＋ a ，1 3因此＋ a ≤ ，因此 a ≤ 1.2 2又 a >0，因此实数 a 的取值范围是 ( 0，1] . 思想升华绝对值不等式的建立问题的求解策略(1) 分别参数：依照不等式将参数分别化为 a ≥ f ( x ) 或 a ≤ f ( x ) 的形式．(2) 转变最值： f ( )> a 恒建立 ? f ( x ) min > ； f ( x )< a 恒建立 ? f ( x ) max < ； ( x )>a 有解 ?x a a ff ( x ) max >a ； f ( x )< a 有解 ? f ( x ) min <a ； f ( x )> a 无解 ? f ( x ) max ≤a ； f ( x )< a 无解 ? f ( x ) min ≥ a .(3) 求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．(4) 得结论．追踪操练 2 (2018 ·东北三省三校模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | 2x ＋ b| ＋ | 2x － b| .(1) 若 b ＝ 1，解不等式 f ( x )>4 ；(2) 若不等式 f ( a )> | b ＋ 1| 对随意的实数 a 恒建立，求 b 的取值范围．解 (1) 当 b ＝ 1 时， f ( x ) ＝ |2 x ＋ 1| ＋ |2 x －1|>4 ，11即x≥2，x≤－2，? x>1 或4x>4－ 4x>411?－2<x<2，x<－1或? x∈ ?，2>4因此不等式的解集( －∞，－ 1)∪(1 ，＋∞ ) ．(2)f ( a)＝|2 a＋b|＋|2 a－ b|＝|2 a＋ b|＋| b－2a|≥|(2 a＋ b)＋( b－2a)|＝|2 b|，当且当 (2 a＋b)( b－ 2a) ≥ 0 ，f ( a) min＝ |2 b| ，因此 |2 b|>| b＋ 1| ，因此 (2 b) 2>( b＋1) 2，即 (3 b＋ 1)( b－ 1)>0 ，因此 b 的取范－∞，－1∪(1 ，＋∞ ) ．3点三不等式的明1．含有的不等式的性||a|－| b||≤| a± b|≤| a|＋| b|.2．算—几何平均不等式定理 1：a，b∈ R，a2＋b2≥ 2ab，当且当a＝b，等号建立．定理 2：若是a，b正数，那么a＋ bab，当且当a＝b，等号建立．2≥a＋ b＋ c 3定理 3：若是a，b，c正数，那么3≥ abc，当且当a＝b＝c，等号建立．定理 4 ： ( 一般形式的算—几何平均不等式) 若是a，a，⋯，a n 个正数，12na1＋a2＋⋯＋an≥na1a2⋯an，当且当a1＝ a2＝⋯＝ a n，等号建立．n例 3(2018 ·合肥模 ) 已知函数f ( x) ＝ | x－ 1| ＋|x－3|.(1) 解不等式 f ( x)≤ x＋1；a2b2 (2)函数 f ( x)的最小 c，数 a，b 足 a>0，b>0，a＋ b＝c，求：a＋1＋b＋1≥1.(1) 解 f ( x)≤ x＋1，即| x－1|＋|x－3|≤ x＋1.①当x<1，不等式可化4－ 2x≤x＋ 1，解得x≥1.又∵ x<1，∴ x∈?；②当1≤x≤ 3 ，不等式可化2≤x＋ 1，解得x≥1.又∵ 1≤x≤ 3，∴ 1≤x≤ 3；③当 x>3时，不等式可化为2x－ 4≤x＋ 1，解得x≤5.又∵ x>3，∴3<x≤5.综上所得， 1≤x≤ 3 或 3<x≤ 5，即 1≤x≤5.∴原不等式的解集为[ 1，5] .(2)证明由绝对值不等式的性质，得 | x－1| ＋| x－ 3|≥错误 ! ＝ 2，当且仅当 ( x－ 1)( x－ 3) ≤0，即 1≤x≤ 3 时，等号建立，∴ c＝2，即 a＋b＝2.令 a＋1＝ m， b＋1＝ n，则 m>1， n>1， a＝ m－1， b＝n－1， m＋n＝4，a2＋b2＝(m－ 1＋错误 ! ＝＋＋错误 ! ＋错误 ! －4＝错误 ! ≥错误 ! ＝1，) 2a＋ 1b＋ 1m m n当且仅当 m＝ n＝2时，等号建立，∴原不等式得证．思想升华(1)作差法是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0 比较；④结论．重点是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适合“放”“缩”是常用的推证技巧．追踪操练 3 (2018 ·石家庄模拟 ) 已知函数 f ( x)＝|3 x＋1|＋|3 x－1|，M为不等式 f ( x)<6的解集．(1)求会合 M；(2)若 a， b∈ M，求证：| ab＋1|>| a＋ b|.(1)解 f ( x)＝|3 x＋1|＋|3 x－1|<6.1当 x<－3时， f ( x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x，1由－ 6x<6，解得x>－ 1，∴－ 1<x<－；311当－3≤ x≤3时， f ( x)＝3x＋1－3x＋1＝2，又 2<6 恒建立，1 1∴－≤ x≤；331当 x>3时， f ( x)＝3x＋1＋3x－1＝6x，1由 6x<6，解得x<1，∴3<x<1.综上， f ( x)<6的解集 M＝{ x|－1<x<1}．222222(2) 证明( ab＋1) －(a＋b)＝a b＋2ab＋1－(a＋b＋2ab)由 a， b∈ M，得| a|<1，| b|<1，∴ a2－1<0， b2－1<0，∴ ( a2－1)( b2－ 1)>0 ，∴ | ab＋1| >|a＋b|.真题体验1． (2017 ·全国Ⅰ ) 已知函数 f ( x)＝－ x2＋ ax＋4， g( x)＝| x＋1|＋| x－1|.(1)当 a＝1时，求不等式 f ( x)≥g( x)的解集；(2)若不等式 f ( x)≥ g( x)的解集包含[－1,1]，求实数 a 的取值范围．解(1) 当a＝ 1 时，不等式 f ( x)≥g( x)等价于x2－ x＋| x＋1|＋| x－1|－4≤0.①当 x<－1时，①式化为 x2－3x－4≤0，无解；当－ 1≤x≤ 1 时，①式化为x2－x－ 2≤ 0，进而－ 1≤x≤ 1；当 x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，－1＋ 17进而 1<x≤.2因此 f ( x)≥ g( x)的解集为x－1≤x≤－ 1＋172.(2) 当x∈ [ － 1,1] 时，g( x) ＝ 2，因此 f ( x)≥ g( x)的解集包含[－1,1]等价于当 x∈[－1,1]时， f ( x)≥2.又 f ( x)在[－1,1]上的最小值必为 f (－1)与 f (1)之一，因此 f (－1)≥2且 f (1)≥2，得－1≤ a≤1.因此 a 的取值范围为[－1,1]．2． (2017 ·全国Ⅱ ) 已知a>0，b>0，a3＋b3＝ 2，证明：(1)(a＋ b)( a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明(1)( a＋b)( a5＋b5) ＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝( a3＋b3) 2－ 2a3b3＋ab( a4＋b4)＝4＋ab( a4＋b4－ 2a2b2)＝4＋ab( a2－b2) 2≥ 4.(2)因为 ( a＋b) 3＝a3＋ 3a2b＋ 3ab2＋b3＝2＋ 3ab( a＋b)≤2＋错误 ! ( a＋b)＝2＋错误 !，因此 ( a＋b) 3≤ 8， ( 当且仅当a＝ b 时，等号建立)因此 a＋ b≤2.押题展望1．已知函数 f ( x)＝| x－2|＋|2 x＋ a|， a∈R.(1)当 a＝1时，解不等式 f ( x)≥4；(2)若? x0，使f ( x0) ＋ | x0－ 2|<3 建立，求a的取值范围．押题依照不等式选讲问题中，联系绝对值，关系参数、表现不等式恒建立是考题的“亮点”所在，存在问题、恒建立问题是高考的热点，备受命题者喜欢．解 (1) 当a＝ 1 时，f ( x) ＝ | x－ 2| ＋ |2 x＋ 1|.由 f ( x)≥4，得| x－2|＋|2 x＋1|≥4.当 x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥4，5解得 x≥3，因此 x≥2；1当－<x<2 时，不等式等价于2－x＋ 2x＋ 1≥ 4，2解得 x≥1，因此1≤ x<2；1当 x≤－时，不等式等价于2－ x－2x－1≥4，2解得 x≤－1，因此 x≤－1.因此原不等式的解集为{ x| x≤－ 1 或x≥ 1} ．(2)应用绝对值不等式，可得f ( x)＋| x－2|＝2| x －2|＋|2 x＋ a|＝|2 x －4|＋|2 x ＋ a|≥|2 x ＋ a－(2 x －4)|＝| a ＋4|.( 当且仅当 (2 x － 4)(2 x ＋ a ) ≤ 0 时等号建立 )因为 ? x 0，使 f ( x 0) ＋ | x 0－ 2|<3 建立，因此 ( f ( x ) ＋ | x － 2|) min <3，因此 | a ＋ 4|<3 ，解得－ 7<a <－ 1，故实数 a 的取值范围为 ( － 7，－ 1) ．2．已知 x ， y ∈R ＋，x ＋ y ＝ 4.(1)1 1 ＋2| －|a －1| 恒建立，求实数a 的取值范围；要使不等式＋ ≥ |xya2 232(2) 求证： x ＋ 2y ≥ 3 ，并指出等号建立的条件．押题依照不等式选讲波及绝对值不等式的解法，包含参数是命题的显然特点．此题将二元函数最值、解绝对值不等式、不等式证明综合为一体，意在检测考生理解题意、分析问题、解决问题的能力，拥有必然的训练价值．解 (1) 因为 x ， y ∈ R ＋， x ＋y ＝ 4，xy因此＋＝1.由基本不等式，得1 1 1 1 x y＋ y ＋ 4 x ＋ y ＝x 4 1 1 y x＝＋4 ＋y2 x1 1y x ≥ ＋2x· ＝1，2y当且仅当 x ＝ y ＝ 2 时取等号．1 1要使不等式 x ＋y ≥ | a ＋ 2| － | a － 1| 恒建立，只要不等式 | a ＋2| － | a －1| ≤ 1 成立刻可．结构函数 f ( a ) ＝ | a ＋ 2| － | a － 1| ，则等价于解不等式f ( a ) ≤ 1.－3，a ≤－ 2，因为 f ( a ) ＝ 2a ＋ 1，－ 2<a<1，3，a ≥1，因此解不等式 f ( a ) ≤ 1，得 a ≤ 0.因此实数 a 的取值范围为 ( －∞， 0] ．(2)因为 x， y∈R＋，x＋ y＝4，因此 y＝4－ x(0< x<4)，于是 x2＋2y2＝ x2＋2(4－ x)2＝3x2－16x＋ 32＝ 3 x－82＋32≥32，33 38 4当 x＝3， y＝3时等号建立．A 组专题通关1． (2018 ·全国Ⅲ ) 设函数f ( x) ＝ |2 x＋ 1| ＋| x－ 1|.(1)画出 y＝ f ( x)的图象；(2)当 x∈[0，＋∞)时， f ( x)≤ ax＋ b 恒建立，求 a＋ b 的最小值．1－ 3x， x<－2，解(1) f ( x) ＝1x＋ 2，－2≤x<1，3x，x≥1.y＝ f ( x)的图象以以下图．(2) 由 (1)知， y＝ f ( x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅当a≥3且b≥2时， f ( x)≤ ax＋ b 在[0，＋∞) 上恒建立，因此a＋ b 的最小值为 5.2． (2018 ·全国Ⅱ ) 设函数 f ( x ) ＝ 5－ | x ＋ a | － | x － 2|.(1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x ) ≥0 的解集；(2) 若 f ( x ) ≤ 1，求 a 的取值范围．2x ＋ 4，x ≤－ 1，解 (1) 当 a ＝ 1 时， f ( x ) ＝ 2，－ 1<x ≤2，－ 2x ＋6， x>2.可得 f ( x ) ≥ 0 的解集为 { x | － 2≤ x ≤ 3} ．(2) f ( x ) ≤ 1 等价于 | x ＋ a | ＋ | x －2| ≥ 4.而 | x ＋a | ＋ | x －2| ≥ | a ＋2| ，当且仅当 x ＋a 与 2－x 同号时等号建立．故f ( x ) ≤ 1 等价于 | a ＋ 2| ≥ 4.由 | a ＋2| ≥ 4 可得 a ≤－ 6 或 a ≥2.因此 a 的取值范围是 ( －∞，－ 6] ∪ [2 ，＋∞ ) ．3． (2018 ·江西省景德镇市第一中学模拟) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 4| ＋ | x ＋1| ， x ∈R.(1) 解不等式 f ( x ) ≤ 9；(2) 若方程 f ( x ) ＝－ x 2＋ a 在区间 [0,2] 上有解，求实数 a 的取值范围．解 (1) f ( x ) ≤ 9，即 |2 x － 4| ＋ | x ＋ 1| ≤ 9，x>2，－1≤x ≤2，x<－ 1，即或或3x －3≤95－x ≤9－ 3x ＋3≤9，解得 2<x ≤ 4 或－ 1≤ x ≤2 或－ 2≤x <－ 1.∴不等式的解集为 [ － 2,4] ．(2) 当 x ∈ [0,2] 时， f ( x ) ＝ 5－ x .由题意知， f ( x ) ＝－ x 2＋ a ，即 a ＝ x 2－ x ＋ 5 ， x ∈ [0,2] ，故方程 f ( x ) ＝－ x 2＋ a 在区间 [0,2] 上有解，即函数 y ＝ a 和函数 y ＝x 2－ x ＋ 5 的图象在区间 [0,2] 上有交点，219∵当 x ∈ [0,2] 时， y ＝ x － x ＋ 5∈ ， 7，419∴ a ∈ 4 ， 7 .4． (2018 ·百校缔盟 TOP20联考 ) 已知 f ( x ) ＝ |2 x ＋a | － | x －2|.(1) 当 a ＝－ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤4 的解集；(2) 若对于 x 的不等式 f ( x ) ≥ 3a 2－ 3|2 － x | 恒建立，求 a 的取值范围．解 (1) 当 a ＝－ 2 时，由 f ( x ) ≤4，得 2| x－ 1| － | x－ 2| ≤ 4，当 x≤1时，由2(1－ x)－(2－ x)≤4，得－4≤ x≤1；当 1<x<2 时，由 2( x－ 1) － (2 －x) ≤4，得 1<x<2；当 x≥2时，由2( x－1)－( x－2)≤4，得2≤ x≤4.综上所述， f ( x)≤4的解集为[－4,4]．(2)由不等式 f ( x)≥3a2－3|2－ x|，得 |2 x＋a| － | x－ 2| ＋ 3| x－ 2| ≥ 3a2，即为 |2 x＋a| ＋ |4 － 2x| ≥3a2，即对于 x 的不等式|2 x＋ a|＋|2 x－4|≥3a2恒建立，而 |2 x＋a| ＋ |2 x－ 4| ≥ |(2 x＋a) － (2 x－ 4)| ＝ | a＋ 4| ，当且仅当 (2 x＋a)(2 x－ 4) ≤ 0 时等号建立，2因此 | a＋ 4| ≥ 3a，解得 a＋4≥3a2或 a＋4≤－3a2，4解得－ 1≤a≤3或a∈ ?.4因此 a 的取值范围是－1，3.5． (2018 ·上饶模拟 ) 已知函数 f ( x)＝|2 x＋1|.(1)求不等式 f ( x)≤8－| x－3|的解集；(2)若正数 m， n 知足 m＋3n＝ mn，求证： f ( m)＋ f (－3n)≥24.(1)解此不等式等价于错误 !或错误!或错误!10即不等式的解集为－2，3.(2)证明∵ m>0， n>0， m＋3n＝ mn，11∴m＋3n＝3( m·3n)≤3×错误!，即 m＋3n≥12，m＝3n，当且仅当m＋3n＝ mn，m＝ 6，即时取等号，n＝2∴f ( m)＋ f (－3n)＝|2 m＋1|＋|－6n＋1|≥|2 m＋ 6n| ，1当且仅当 (2 m＋ 1)( － 6n＋1) ≤ 0，即n≥6时取等号，又 |2 m＋ 6n| ≥ 24，当且仅当m＝ 6，n＝ 2 时，取等号，∴ f ( m)＋ f (－3n)≥24.B 组能力提高6． (2018 ·榆林模拟 ) 已知函数 f ( x)＝|3 x－1|－|2 x＋1|＋ a.(1)求不等式 f ( x)> a 的解集；(2)若恰巧存在 4 个不同样的整数n，使得f ( n)<0 ，求a的取值范围．解 (1) 由f ( x)> a，得 |3 x－ 1|>|2 x＋ 1| ，不等式两边同时平方，得9x2－ 6x＋1>4x2＋ 4x＋ 1，即 5x2>10x，解得x<0 或x>2.因此不等式f ( )>a的解集为 ( －∞， 0) ∪ (2 ，＋∞ ) ．x(2) 设g( x) ＝ |3 x－ 1| － |2 x＋ 1|12－ x，x≤－2，1 1＝－ 5x，－2<x<3，1x－ 2，x≥3，作出函数 g( x)的图象，以以下图，因为 g(0)＝ g(2)＝0， g(3)<g(4)＝2<g(－1)＝3，又恰巧存在 4 个不同样的整数n，使得 f ( n)<0，因此错误! 即错误!故 a 的取值范围为[－2，－1).7． (2018 ·百校缔盟 TOP20联考 ) 已知函数f ( x) ＝x2＋ | x－ 2|.(1)解不等式 f ( x)>2|x|；22272 (2)若 f ( x)≥ a ＋2 b ＋3c ( a>0， b>0，c>0)对随意 x∈R恒建立，求证：ab· c<32.(1) 解由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|，x≥2，0<x<2，即或x2＋ x－ 2>2x x2＋ 2－ x>2xx≤0，或x2＋ 2－ x>－2x，解得 x>2或0<x<1或 x≤0，即 x>2或 x<1.因此不等式 f ( x)>2| x|的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2) 证明当x≥ 2时，f(x)＝x2＋x－2≥ 22＋2－2＝4；21277当 x<2时， f ( x)＝ x － x＋2＝x－2＋4≥4，7因此 f ( x)的最小值为4.因为 f ( x)≥ a2＋2b2＋3c2对随意 x∈R恒建立，因此2227 a ＋2b ＋3c ≤4.又 a2＋2b2＋3c2＝ a2＋c2＋2( b2＋ c2)≥ 2ac＋ 4bc≥ 4 2abc2，且等号不能够同时建立，因此 47ab·72 2abc2< ，即<.4c328．设函数 f ( x)＝| x＋a| － | x－1－a|.(1)当 a＝1时，解不等式 f ( x)≥1；2(2) 若对随意a∈[0,1]，不等式f(x)≥ b的解集不为空集，求实数b 的取值范围．1解 (1) 当a＝ 1 时，不等式f ( x) ≥2等价于1| x＋ 1| － | x| ≥ .21①当 x≤－1时，不等式化为－x－1＋ x≥2，无解；1②当－ 1<x<0 时，不等式化为x＋1＋ x≥，21解得－4≤ x<0；1③当 x ≥ 0 时，不等式化为x ＋ 1－ x ≥ 2，解得 x ≥ 0.综上所述，不等式f ( x ) ≥ 1 的解集为－ 1 ，＋∞ .24(2) ∵不等式 f ( x ) ≥ b 的解集不为空集， ∴ b ≤ f ( x ) max ，∵ a ∈ [0,1] ，∴ f ( x ) ＝ | x ＋a| －| x － 1－ a|≤ | x ＋ a － x ＋ 1－a|＝ | a ＋ 1－ a| ＝ a ＋ 1－ a ，∴ f ( x ) max ＝ a ＋ 1－ a.对随意 a ∈ [0,1] ，不等式 f ( x ) ≥b 的解集不为空集，∴ b ≤ [ a ＋ 1－ a] min ，令 g ( a ) ＝ a ＋ 1－ a ，∴ g 2( a ) ＝ 1＋ 2 a · 1－ a ＝ 1＋2错误 ! ＝ 1＋ 2错误 ! .11 ， 1∴当 a ∈ 0，时， g ( a ) 单一递加，当 a ∈ 2 时， g ( a ) 单一递减，当且仅当a ＝ 0 或 a2 ＝ 1 时， g ( a ) min ＝ 1，∴ b 的取值范围为 ( －∞， 1] ．。

2020届高考数学大二轮复习层级二专题七系列4选考第2讲不等式选讲教学案(选修4_5)

第2讲选修4－5 不等式选讲[考情考向·高考导航]高考主要考查绝对值不等式的解法,求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围,不等式的证明等,结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点．[真题体验]1．(2019·全国Ⅱ卷)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时,求不等式f (x )＜0的解集； (2)若x ∈(－∞,1)时,f (x )＜0,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时,f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x ＜1时,f (x )＝－2(x －1)2＜0；当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )＜0的解集为(－∞,1)． (2)因为f (a )＝0,所以a ≥1.当a ≥1,x ∈(－∞,1)时,f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)＜0. 所以,a 的取值范围是[1,＋∞)．2．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4,g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1],求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.① 当x ＜－1时,①式化为x 2－3x －4≤0,无解；当－1≤x ≤1时,①式化为x 2－x －2≤0,从而－1≤x ≤1；当x ＞1时,①式化为x 2＋x －4≤0,从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1,1]时,g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1],等价于当x ∈[－1,1]时,f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一,所以f (－1)≥2且f (1)≥2,得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围是[－1,1]．[主干整合]1．绝对值不等式的性质定理1：如果a ,b 是实数,则|a ＋b |≤|a |＋|b |,当且仅当ab ≥0时,等号成立．定理2：如果a ,b ,c 是实数,那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |,当且仅当(a －b )(b －c )≥0,等号成立．2．|ax ＋b |≤c ,|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b |≥c ,|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解． (2)利用零点分段法求解．(3)构造函数,利用函数的图象求解． 4．基本不等式定理1：设a ,b ∈R ,则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时,等号成立．定理2：如果a ,b 为正数,则a ＋b2≥ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．定理3：如果a ,b ,c 为正数,则a ＋b ＋c3≥3abc ,当且仅当a ＝b ＝c 时,等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均数不等式)如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数(n ∈N *,n ＞1),则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ,当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时,等号成立．热点一绝对值不等式的解法[例1] 已知f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3. (1)求不等式f (x )≤2的解集．(2)若直线y ＝kx －2与函数f (x )的图象有公共点,求k 的取值范围．[审题指导] (1)看到f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3,联想到分x ≤1、1＜x ＜4、x ≥4三种情况去绝对值号．(2)看到y ＝kx －2联想到此直线恒过定点(0,－2)． [解析] (1)由f (x )≤2, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－2x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜4，0≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2x －8≤2，解得0≤x ≤5,故不等式f (x )≤2的解集为[0,5]．(2)f (x )＝|x －4|＋|x －1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤1，0，1＜x ＜4，2x －8，x ≥4，作出函数f (x )的图象,如图所示,直线y ＝kx －2过定点C (0,－2), 当此直线经过点B (4,0)时,k ＝12；当此直线与直线AD 平行时,k ＝－2,故由图可知,k ∈(－∞,－2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法．(2019·聊城三模)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解析：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时,－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (3)≤3. (2)由(1)可知,当x ≤2时,f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时,f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；当x ≥5时,f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上,不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．热点二不等式的证明逻辑推理素养逻辑推理——不等式证明中心的核心素养通过不等式的证明掌握逻辑推理的基本形式,表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系,对式子进行等价变形,进而通过证明不等式,体验逻辑推理的核心素养.[例2] (2019·全国Ⅰ卷)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[审题指导] (1)利用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 构造三个不等式相加,再结合abc ＝1进行证明．(2)利用平均值不等式进行证明．[解析] (1)证明：因为a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2ab ,c 2＋a 2≥2ac ,又abc ＝1,故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时,等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)证明：因为a ,b ,c 为正数且abc ＝1,故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时,等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.(2019·苏州二模)已知f (x )＝|2x －1|＋x ＋12的最小值为m .(1)求m 的值；(2)已知a ,b ,c 是正实数,且a ＋b ＋c ＝m ,求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥ab ＋bc ＋ca －3abc . 解析：(1)当x ≥12时,f (x )＝3x －12在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12＋∞上单调递增,且f (x )≥32－12＝1；当x ＜12时,f (x )＝32－x 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减,且f (x )＞32－12＝1.综上可得x ＝12时,f (x )取得最小值1,即m ＝1.(2)证明：a ,b ,c 是正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 由a 3＋b 3－a 2b －b 2a ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a ) ＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0, 则有a 3＋b 3－a 2b －b 2a ≥0,即a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ＝ab (a ＋b )＝ab (1－c )＝ab －abc , 所以a 3＋b 3≥ab －abc ,同理可得b 3＋c 3≥bc －abc ；c 3＋a 3≥ca －abc ,上面三式相加得,2(a 3＋b 3＋c 3)≥ab ＋bc ＋ca －3abc ,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取得等号．不等式证明的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等．如果已知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法．在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．热点三绝对值不等式恒成立(存在)问题[例3] (2019·日照三模)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|,a ∈R ,g (x )＝x 2－2x －4＋4x －12.(1)若f (2a 2－1)＞4|a －1|,求实数a 的取值范围；(2)若存在实数x ,y ,使f (x )＋g (y )≤0,求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵f (2a 2－1)＞4|a －1|, ∴|2a 2－2a |＋|a 2－1|＞4|a －1|, ∴|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)＞0, ∴|2a |＋|a ＋1|＞4且a ≠1.①若a ≤－1,则－2a －a －1＞4,∴a ＜－53；②若－1＜a ＜0,则－2a ＋a ＋1＞4,∴a ＜－3,此时无解； ③若a ≥0且a ≠1,则2a ＋a ＋1＞4,∴a ＞1. 综上所述,a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(1,＋∞)． (2)∵g (x )＝(x －1)2＋4x －12－5≥2 x －12·4x －12－5＝－1,显然可取等号,∴g (x )min ＝－1.于是,若存在实数x ,y ,使f (x )＋g (y )≤0,只需f (x )min ≤1.又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2, ∴(a －1)2≤1,∴－1≤a －1≤1,∴0≤a ≤2,即a ∈[0,2]．1．求含绝对值号函数的最值的两种方法 (1)利用|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求解． (2)将函数化为分段函数,数形结合求解． 2．恒成立(存在)问题的等价转化f (x )≥M f (x )≤M 任意x 恒成立⇔ f (x )min ≥M f (x )max ≤M 存在x 成立⇔ f (x )max ≥Mf (x )min ≤M(2018·全国Ⅰ卷)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时,求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时,f (x )＝|x ＋1|－|x －1|, 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为{x |x ＞12}．(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立．若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0,|ax －1|＜1的解集为0＜x ＜2a ,所以2a≥1,故0＜a ≤2.综上,a 的取值范围为(0,2]．限时45分钟满分50分解答题(本大题共5小题,每小题10分,共50分) 1．(2018·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b ,求a ＋b 的最小值．解：(1)当x ≤－12时,f (x )＝－2x －1－x ＋1＝－3x ,当－12<x <1时,f (x )＝2x ＋1－x ＋1＝x ＋2.当x ≥1时,f (x )＝2x ＋1＋x －1＝3x , 由此可画出函数f (x )的图象．(2)由图象可得,b ≥2,a ≥3, 所以a ＋b 的最小值为5.2．(2020·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋a |,其中a ∈R . (1)当a ＝1时,求不等式f (x )≥6的解集；(2)若存在x 0∈R ,使得f (x 0)＜2 020a ,求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时,f (x )＝|x －2|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2.所以f (x )≥6⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－2x ＋1≥6或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜2，3≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1≥6，解得x ≤－52或x ≥72,因此不等式f (x )≥6的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－52或x ≥72.(2)f (x )＝|x －2|＋|x ＋a |≥|(x －2)－(x ＋a )|＝|a ＋2|,故f (x )min ＝|a ＋2|.由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋2|＜2 020a ，a ＞0，解得a ＞22 019,所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22 019，＋∞.3．(2020·唐山摸底考试)已知f (x )＝|x ＋1|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )＞0的解集；(2)若x ∈R 时,不等式f (x )≤a ＋x 恒成立,求a 的取值范围．解析：(1)由题意得|x ＋1|＞|2x －1|, 所以|x ＋1|2＞|2x －1|2,整理可得x 2－2x ＜0,解得0＜x ＜2, 故原不等式的解集为{x |0＜x ＜2}． (2)由已知可得,a ≥f (x )－x 恒成立,设g (x )＝f (x )－x ,则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＜－1，2x ，－1≤x ≤12，－2x ＋2，x ＞12.由g (x )的单调性可知,x ＝12时,g (x )取得最大值1,所以a 的取值范围是[1,＋∞)．4．(2019·全国Ⅲ卷)设x ,y ,z ∈R ,且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立,证明：a ≤－3或a ≥－1.解析：两个问都是考查柯西不等式,属于柯西不等式的常见题型．(1)[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2](12＋12＋12)≥[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x ＋y ＋z ＋1)2＝4故(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43等号成立当且仅当x －1＝y ＋1＝z ＋1而又因x ＋y＋z ＝1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53y ＝－13z ＝－13时等号成立所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)因为(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13,所以[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件,当x －2＝y －1＝z －a ,即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ＋23y ＝1－a ＋23z ＝a －a ＋23时有[(x－2)2＋(y －1)2＋(z －a )2](12＋12＋12)＝(x －2＋y －1＋z －a )2＝(a ＋2)2成立．所以(a ＋2)2≥1成立,所以有a ≤－3或a ≥－1.5．(2020·辽宁重点协作校模拟)已知函数f (x )＝|x ＋b 2|－|－x ＋1|,g (x )＝|x ＋a 2＋c 2|＋|x －2b 2|,其中a ,b ,c 均为正实数,且ab ＋bc ＋ac ＝1.(1)当b ＝1时,求不等式f (x )≥1的解集； (2)当x ∈R 时,求证f (x )≤g (x )．解析：(1)由题意,当b ＝1时,f (x )＝|x ＋b 2|－|－x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1，当x ≤－1时,f (x )＝－2＜1,不等式f (x )≥1无解,不等式f (x )≥1的解集为∅；当－1＜x ＜1时,f (x )＝2x ,由不等式f (x )≥1, 解得x ≥12,所以12≤x ＜1；当x ≥1时,f (x )＝2≥1恒成立,所以不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (2)证明：当x ∈R 时,f (x )＝|x ＋b 2|－|－x ＋1| ≤|x ＋b 2＋(－x ＋1)|＝|b 2＋1|＝b 2＋1；g (x )＝|x ＋a 2＋c 2|＋|x －2b 2|≥|x ＋a 2＋c 2－(x －2b 2)| ＝|a 2＋c 2＋2b 2|＝a 2＋c 2＋2b 2. 而a 2＋c 2＋2b 2－(b 2＋1)＝a 2＋c 2＋b 2－1 ＝12(a 2＋c 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2)－1 ≥ab ＋bc ＋ac －1＝0,当且仅当a＝b＝c＝33时,等号成立,即a2＋c2＋2b2≥b2＋1,即f(x)≤g(x)．。

广东高考数学二轮复习第二部分专题七选考4系列第2讲不等式选讲课件文

－2x＋6，x＞2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1 等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 又|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当 x＝2 时等号成立．
故 f(x)≤1 等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4 可得 a≤－6 或 a≥2. 所以 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
或x（≥x5＋，1）＋（x－5）≤10，解得－3≤x≤－1 或－1＜x＜5 或 5≤x≤7，所以不等式 f(x)≤10 的解集为{x|－3≤x≤7}． (2)证明：因为 f(x)＝|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)| ＝6. 所以 m＝6，即 a＋b＋c＝6. 因为 a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，c2＋b2≥2cb. 所以 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋ac＋bc)，
解：(1)因为 f(x)＝|x＋1|＋|x－m|≥|m＋1|，又 f(x)≥2 恒成立，所以只需要|m＋1|≥2，所以 m＋1≥2 或 m＋1≤－2，解得 m≥1 或 m≤－3. 所以 m 的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)因为 m＞1，所以当 x∈(－1，1)时，f(x)＝m＋1，所以不等式 f(x)≥x2＋mx＋3，即 m≥x2＋mx＋2，
所以2a≥1，故 0＜a≤2. 综上，a 的取值范围为(0，2]．
从近几年高考命题看，本讲主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质及简单不等式的证明．命题的热点是绝对值及其应用．考查学生的基本运算与推理论证能力，考查分类讨论、等价转化与数形结合思想．试题分值 10 分，难度中等．
热点 1 绝对值不等式的解法 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c. (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解． (2)利用零点分段法求解． (3)构造函数，利用函数的图象求解．

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