福建省莆田市仙游县2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(学生版)
福建省莆田市莆田第七中学2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题
绝密★启用前福建省莆田市莆田第七中学2019-2020学年高三上学期期中数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．82．函数()13f x x =+- ） A ．[)2,+∞ B ．()3,+∞ C ．[)()2,33,+∞ D ．()()2,33,+∞3．已知0.72()3a =，14log 9b =，125()2c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．若函数()()f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．22,2k k ππππ⎡⎤-+k Z ∈ B ．52,2k k ππππ⎡⎤-+k Z ∈C ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S S -=+（2n ≥，且*n ∈N ）且23S =，则55S a =（ ） A ．6332B ．3116C ．12364D ．1271287．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(,cos )a B =α，(cos ,)A b =-β，若αβ⊥，则ABC △一定是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．1)-B ．(-C ．(1)-D ．(1,-9．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=）（ ） A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺10．已知(cos 2,sin ),(1,2sin 1),,2a b πααααπ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，若25a b ⋅=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．13B ．27C ．17D ．2311．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15]D ．[1,15]12．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞第II 卷（非选择题)○…………订……_班级：___________考号：__○…………订……二、填空题13．在△中，是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ． 14．已知等差数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若24,a a 是方程2650x x -+=的两个根，则6S 的值为_________15．已知正数,x y 满足1,x y +=则4121x y +++的最小值为__________． 16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ； ③1A DM ∆ ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =.三、解答题17．已知集合{|2101}A x m x m =-<<-，{|26}B x x =<<. （1）若4m =，求AB ；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.18．已知函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象的一部分如图所示.………○………线…………○……※※请※※不………○………线…………○……（1）求()f x 的解析式； （2）当5(,)36x ππ∈时，求函数()f x 的值域.19．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．20．已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得n mT 5<成立的m的最小正整数．21．如图1，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3AB =，6CD =，过A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，已知1DE =，3AE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE ∥平面BCF ，得到图2.（1）证明：BE ∥平面ACD ； （2）求三棱锥C AED -的体积.22．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】 【分析】先化简集合A,再求集合A 的子集的个数. 【详解】 因为{0,1}A =，所以其子集个数是224=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的化简和子集的个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．C 【解析】 【分析】求()13f x x =-0，偶次方根大于等于0，然后解不等式组即可. 【详解】因为()13f x x =-30240x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得23x ≤<或3x >，答案选C.【点睛】本题考查定义域问题，注意对不等式组进行求解即可，属于简单题. 3．C 【解析】 【分析】由题意比较所给的数与0,1的大小即可. 【详解】由指数函数的性质可知0.723a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,1∈，1252c ⎛⎫= ⎪⎝⎭1>，由对数函数的性质可知149b log =0<，据此可得b a c<<.本题选择C选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．4．B【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵π2＜A＜π，∴A= 3π4，由正弦定理可得csin sinaC A=，∵a=2，，∴sinC=sinc Aa=12=22，∵a＞c，∴C=π6， 故选：B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5．A 【解析】 【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过αβ- 的最小值是2π推出函数的最小正周期，然后得出ω的值，最后得出函数的单调递增区间。
福建省莆田市仙游县度尾中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学(文)试卷
数学 (文科)试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：每小题各5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1. 已知集合{}1,3,5A =-, {}13B x x x =≤->或，则A B =（ ） A. {}1,5- B. {}1,3,5- C. {}15x x x ≤-≥或 D. {}13x x x ≤-≥或2. 若复数11i z a i-=++的实部与虚部相等，其中a 是实数，则a =（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．23. 已知函数()f x 满足()()3f x f x -=，当03x <≤时，()f x = 则()8f =（ ）A B ．2 D ．3 4. 已知452a =，1525b =，274c =，则( )A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 在等差数列{}n a 中，若2201496a a +=，则20152015S 的值是（ ） A.24 B .48 C.96 D.106 7. 已知平面向量a ，b 满足1a =，2b a -=，且2a b ⋅=，则a 与()b a -的夹角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6πD ．23π8．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，12a =，则4a =（ ） A ．16B ．54-C ． 16-或54D ．16或54-9．若a 、b 表示直线，α表示平面，则以下命题为正确命题的个数是（ ）①若//,a b b α⊂，则//a α； ②若//,//a b αα，则//a b ； ③若//,//a b b α，则//a α； ④若//,a b αα⊂，则//a b ； A ．0B ．1C ．2D ．30. 已知函数()21cos21xxf x x +=⋅-，则函数()y f x =的图象大致是( )A. B. C. D.11. 已知一次函数21y x =+的图象过点(,)P a b （其中0,0a b >>），则2ba的最小值是（ ）A. 1B. 8C. 9D. 16 12. 函数()3sin cos f x a x a x ωω+（0a >，0ωπ<<）的部分图象如下图所示，则ω的值为（ ）A. 1ω=B.2πω=C. 2ω=D.3ω=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：每小题各5分, 共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．13. 曲线2xy e x =+在点(0,1)处的切线方程是 ________________．14.已知,x y 满足约束条件1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，且45316a a -=，则数列{}n a 的公差是________．16. 若向量(1,4)AC =,(,1)BC a =，且AC AB ⊥，则实数a 的值是_____．三、解答题：本大题共6题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34a =，33S =. （Ⅰ）求1a ，2a ;（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和. 判断n S ,n a ,1n S +-是否为等差数列，并说明理由.18. （本小题满分12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）求点C 到平面AC 1D 的距离．19. （本小题满分12分）在钝角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长为,,a b c 已知角C 为最大内角，且32sin a c A =（1）求角C ；（2）若32c =,且△ABC 的面积为，求,a b 的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直，垂足为B ，且点A 是线段BF 的中点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点，P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，直线MP 与直线4=x 交于点Q ，且9=⋅,求点P 的坐标.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈.（Ⅰ）若3是()f x 的一个极值点，求函数()f x 表达式, 并求出()f x 的单调区间；（Ⅱ）若(0,1]x ∈，证明当2a ≤时，()10f x x+≥．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，本小题满分10分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.（I ）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（II ）设直线l 的极坐标方程为sin()23ρθπ+=，射线:6OM θπ=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．选修4-5：不等式选讲已知不等式2321x x a ++-<的解集为M . （I ）若6a =，求集合M ；（II ）若M ≠∅，求实数a 的取值范围.答案一．选择题：（各5分, 共60分） 二. 填空题（各5分, 共20分）13． 310x y -+= ； 13.3 14． 4； 15. 13； . 三、解答题：共70分17. 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则21214(1)3a q a q q ⎧=⎨++=⎩ …………………………………3分 解得2q =-， ……………………………………4分 11a = ……………………………………5分 212a a q ∴==- ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2q =-，11a =则1(1)1(2)11(2)1333n n n n a q S q ---===--- ………………………9分数列n S ,n a ,1n S +-是等差数列，证明如下： ………………………10分 n S 11()(2)2n n n n n S a a q a a +++-=-=-=-⋅-=，n S ∴,n a ,1n S +-成等差数列 ……………………………………12分 18.分19． 1）证明：证：（1）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ； ∴BB 1⊥AD ，又∵AB=AC ， D 是BC 的中点； ∴AD ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ； ∴AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）连接C 1D ，由（1）AD ⊥平面BCC 1B 1，AD ⊥DC 1 ∴，AC 1=，∴．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答题DABDCBADA CBC==，设点C到平面AC1D的距离为d．则•d=•CC1解得d=，∴点C到平面AC1D的距离为．…（12分）19. 20．解：（1）因为，由正弦定理可得．因为sinA≠0，所以．…（3分）因为△ABC为钝角三角形，且角C为最大内角，所以．故．…（5分）（2）因为△ABC的面积为，所以ab=6．…（7分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab，所以（a+b）2=c2+ab=18+6=24，即．…（10分）所以a，b是方程的两解，解得．…（12分）……12分2020．（本小题满分12分）解：（I）∵椭圆的左焦点(,0)F c-，上顶点(0,)A b，直线AF与直线023=-+yx垂直∴直线AF 的斜率1bk c==，即b c = ①……1分又点A 是线段BF 的中点 ∴点B 的坐标为(,2)B c b……2分又点B 在直线023=-+y x 上∴20c b +-= ②∴由①②得：b c ==……3分∴24a =……4分∴椭圆C 的方程为22142x y +=．……5分（II ）设0000(,),(0,0)P x y x y >>由（I ）易得顶点M 、N 的坐标为(2,0),(2,0)M N -∴直线MP 的方程是：00(2)2y y x x =++……6分由00(2)24y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩ 得：006(4,)2y Q x +……7分又点P 在椭圆上，故2200142x y +=∴220022x y =-……8分∴22000000000066820(2,)(2,)2(2)9222y y x x MP NQ x y x x x x -++⋅=+⋅=++==+++∴01x =或2-（舍）……10分∴000)y y =>……11分∴点P的坐标为P ．……12分．21. 分21. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，， ………………1分 ()1af x x'=-． ………………2分由题设知，()30f '=，所以3a =． ………………3分经检验3a =满足已知条件，从而()3ln f x x x =-． ()331x f x x x-'=-= ………………4分当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<．所以()f x 单调递增区间是(03)，，递减区间是(3)+∞，． …………6分 （Ⅱ）设()()11ln g x f x a x x x x=+=-+，(0,1]x ∈ 则()222111a x ax g x x x x -+'=--=- ……………7分⑴当0a ≤时，(0,1]x ∈，1ln 0,0x x x∴≤-≥()0g x ∴≥，即()10f x x+≥ ……………9分 ⑵当02a <≤时，2104a -≥ ()222()1240a a x g x x -+-'∴=-≤ ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴≥=，即()10f x x+≥ ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ……………12分（Ⅱ）解法二：⑴若1x =，则()1f x =- ()1110f x x∴+=-+= ……………7分 ⑵若01x <<，则ln 0x <当2a ≤时，()111ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+ ……………9分 设()12ln g x x x x=-+，(0,1)x ∈()22221(1)10x g x x x x-'∴=--=-< ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴>=，则()10f x x+> ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ………………12分22．选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）∵圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数)∴消去参数α得普通方程为：22(1)1x y +-=……2分又cos ,sin x ρθy ρθ==∴22(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=化简得圆C 的极坐标方程为：2sin ρθ=.……5分（II ）∵射线:6OM θπ=与圆C 的交点为P ∴把6θπ=代入圆的极坐标方程可得：2sin 16P ρπ== ……6分 又射线:6OM θπ=与直线l 的交点为Q ∴把6θπ=代入直线l 极坐标方程可得：sin()263ρππ+= ∴2Q ρ=……8分 ∴线段PQ 的长||||1P Q PQ ρρ=-=.……10分23．选修4-5：不等式选讲 解：（I ）当6a =时，不等式为23216x x ++-<……1分 当32x ≤-时，不等式化为：23126x x --+-<，解得：2x >- ∴322x -<≤-……2分 当3122x <<-时，不等式化为：23126x x ++-<，解得：46< ∴3122x <<- ……3分 当12x ≥时，不等式化为：23216x x ++-<，解得：1x < ∴112x <≤ ……4分综上述：集合{|21}M x x=-<<.……5分（II）∵M≠∅∴不等式2321x x a++-<恒有解……6分令()2321f x x x=++-，则31 ()2()22 f x x x=++-由绝对值几何意义有：()4f x≥……8分∴4a>，即实数a的取值范围是(4,)+∞. (10)。
福建省莆田市仙游县度尾中学2019-2020学年高三上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案
数学 (文科)试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：每小题各5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1. 已知集合{}1,3,5A =-, {}13B x x x =≤->或，则A B =（ ） A. {}1,5- B. {}1,3,5- C. {}15x x x ≤-≥或 D. {}13x x x ≤-≥或2. 若复数11i z a i-=++的实部与虚部相等，其中a 是实数，则a =（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．2 3. 已知函数()f x 满足()()3f x f x -=，当03x <≤时，()1f x x =+ 则()8f =（ ）A 2．3．2 D ．3 4. 已知452a =，1525b =，274c =，则( )A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 在等差数列{}n a 中，若2201496a a +=，则20152015S 的值是（ ） A.24 B .48 C.96 D.106 7. 已知平面向量a ，b 满足1a =，2b a -=，且2a b ⋅=，则a 与()b a -的夹角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π8．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314S =，12a =，则4a =（ ）A ．16B ．54-C ． 16-或54D ．16或54-9．若a 、b 表示直线，α表示平面，则以下命题为正确命题的个数是（ ）①若//,a b b α⊂，则//a α； ②若//,//a b αα，则//a b ； ③若//,//a b b α，则//a α； ④若//,a b αα⊂，则//a b ； A ．0B ．1C ．2D ．30. 已知函数()21cos21xxf x x +=⋅-，则函数()y f x =的图象大致是( )A. B. C. D.11. 已知一次函数21y x =+的图象过点(,)P a b （其中0,0a b >>），则2ba的最小值是（ ）A. 1B. 8C. 9D. 1612. 函数()3sin cos f x a x a x ωω=+（0a >，0ωπ<<）的部分图象如下图所示，则ω的值为（ ）A. 1ω=B.2πω=C. 2ω=D.3ω=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：每小题各5分, 共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．13. 曲线2xy e x =+在点(0,1)处的切线方程是 ________________．14.已知,x y 满足约束条件1,1y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，且45316a a -=，则数列{}n a 的公差是________．16. 若向量(1,4)AC =,(,1)BC a =，且AC AB ⊥，则实数a 的值是_____．三、解答题：本大题共6题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34a =，33S =. （Ⅰ）求1a ，2a ;（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和. 判断n S ,n a ,1n S +-是否为等差数列，并说明理由.18. （本小题满分12分）如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点．（1）求证：AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）求点C 到平面AC 1D 的距离．19. （本小题满分12分）在钝角三角形△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长为,,a b c 已知角C 为最大内角，且32sin a c A =（1）求角C ；（2）若32c =,且△ABC 的面积为，求,a b 的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点为F ，上顶点为A ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直，垂足为B ，且点A 是线段BF 的中点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点，P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，直线MP 与直线4=x 交于点Q ，且9=⋅,求点P 的坐标.21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()f x a x x a R =-∈.（Ⅰ）若3是()f x 的一个极值点，求函数()f x 表达式, 并求出()f x 的单调区间；（Ⅱ）若(0,1]x ∈，证明当2a ≤时，()10f x x+≥．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，本小题满分10分.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.（I ）求圆C 的普通方程及其极坐标方程；（II ）设直线l 的极坐标方程为sin()23ρθπ+=，射线:6OM θπ=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．选修4-5：不等式选讲已知不等式2321x x a ++-<的解集为M . （I ）若6a =，求集合M ；（II ）若M ≠∅，求实数a 的取值范围.答案一．选择题：（各5分, 共60分）二. 填空题（各5分, 共20分）13． 310x y -+= ； 13.3 14． 4； 15. 13； . 三、解答题：共70分17. 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则21214(1)3a q a q q ⎧=⎨++=⎩ …………………………………3分 解得2q =-， ……………………………………4分 11a = ……………………………………5分 212a a q ∴==- ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2q =-，11a =则1(1)1(2)11(2)1333n n n n a q S q ---===--- ………………………9分数列n S ,n a ,1n S +-是等差数列，证明如下： ………………………10分 n S 11()(2)2n n n n n S a a q a a +++-=-=-=-⋅-=，n S ∴,n a ,1n S +-成等差数列 ……………………………………12分 18.分19． 1）证明：证：（1）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥面ABC ； ∴BB 1⊥AD ，又∵AB=AC ， D 是BC 的中点； ∴AD ⊥BC ，BC ∩BB 1=B ； ∴AD ⊥平面BCC 1B 1；（2）连接C 1D ，由（1）AD ⊥平面BCC 1B 1，AD ⊥DC 1 ∴，AC 1=，∴．==，设点C 到平面AC 1D 的距离为d ．则•d=•CC 1答题 D A B D C B A D A C B C解得d=，∴点C 到平面AC 1D 的距离 为．…（12分）19. 20． 解：（1）因为， 由正弦定理可得．因为sinA ≠0， 所以．…（3分）因为△ABC 为钝角三角形，且角C 为最大内角， 所以．故．…（5分）（2）因为△ABC 的面积为，所以ab=6．…（7分）由余弦定理得c 2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab=（a+b ）2﹣ab ， 所以（a+b ）2=c 2+ab=18+6=24， 即．…（10分）所以a ，b 是方程的两解，解得．…（12分）……12分2020．（本小题满分12分）解：（I ）∵椭圆的左焦点(,0)F c -，上顶点(0,)A b ，直线AF 与直线023=-+y x 垂直∴直线AF 的斜率1bk c==，即b c = ①又点A 是线段BF 的中点 ∴点B 的坐标为(,2)B c b……2分又点B 在直线023=-+y x 上∴20c b +-= ②∴由①②得：b c ==……3分 ∴24a =……4分∴椭圆C 的方程为22142x y +=．……5分（II ）设0000(,),(0,0)P x y x y >>由（I ）易得顶点M 、N 的坐标为(2,0),(2,0)M N -∴直线MP 的方程是：00(2)2y y x x =++……6分由00(2)24y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩ 得：006(4,)2y Q x +……7分又点P 在椭圆上，故2200142x y += ∴220022x y =-∴22000000000066820(2,)(2,)2(2)9222y y x x MP NQ x y x x x x -++⋅=+⋅=++==+++∴01x =或2-（舍）……10分∴000)2y y =>……11分∴点P的坐标为P ．……12分．21. 分21. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0)+∞，， ………………1分 ()1af x x'=-． ………………2分 由题设知，()30f '=，所以3a =． ………………3分经检验3a =满足已知条件，从而()3ln f x x x =-． ()331x f x x x-'=-= ………………4分当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<．所以()f x 单调递增区间是(03)，，递减区间是(3)+∞，． …………6分 （Ⅱ）设()()11ln g x f x a x x x x=+=-+，(0,1]x ∈ 则()222111a x ax g x x x x -+'=--=- ……………7分⑴当0a ≤时，(0,1]x ∈，1ln 0,0x x x∴≤-≥()0g x ∴≥，即()10f x x+≥ ……………9分 ⑵当02a <≤时，2104a -≥ ()222()1240a a x g x x -+-'∴=-≤ ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴≥=，即()10f x x+≥ ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ……………12分（Ⅱ）解法二：⑴若1x =，则()1f x =- ()1110f x x∴+=-+= ……………7分 ⑵若01x <<，则ln 0x <当2a ≤时，()111ln 2ln f x a x x x x x x x +=-+≥-+ ……………9分 设()12ln g x x x x=-+，(0,1)x ∈()22221(1)10x g x x x x-'∴=--=-< ………………10分 ()g x ∴在区间(0,1]上单调递减()()10g x g ∴>=，则()10f x x+> ………………11分 综上得, 当(0,1]x ∈且2a ≤时，()10f x x+≥成立． ………………12分22．选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）∵圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩ (α为参数)∴消去参数α得普通方程为：22(1)1x y +-=……2分又cos ,sin x ρθy ρθ==∴22(cos )(sin 1)1ρθρθ+-=化简得圆C 的极坐标方程为：2sin ρθ=.……5分（II ）∵射线:6OM θπ=与圆C 的交点为P ∴把6θπ=代入圆的极坐标方程可得：2sin 16P ρπ== ……6分 又射线:6OM θπ=与直线l 的交点为Q ∴把6θπ=代入直线l 极坐标方程可得：sin()263ρππ+= ∴2Q ρ=……8分 ∴线段PQ 的长||||1P Q PQ ρρ=-=.……10分23．选修4-5：不等式选讲 解：（I ）当6a =时，不等式为23216x x ++-<……1分 当32x ≤-时，不等式化为：23126x x --+-<，解得：2x >- ∴322x -<≤-……2分 当3122x <<-时，不等式化为：23126x x ++-<，解得：46< ∴3122x <<- ……3分 当12x ≥时，不等式化为：23216x x ++-<，解得：1x < ∴112x <≤ ……4分综上述：集合{|21}M x x =-<<.……5分（II ）∵M ≠∅ ∴不等式2321x x a ++-<恒有解 ……6分 令()2321f x x x =++-，则31()2()22f x x x =++- 由绝对值几何意义有：()4f x ≥ ……8分∴4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞. (10)。
最新版2019-2020年福建省重点高中高三上学期期中模拟考试数学(文)试题及答案-精编试题
第一学期期中模拟联考高中 三 年 数学（文科） 科试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）。
1．已知集合{1,2,3,4}A =，{|2,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）A ．{1,4}B ．{1,3}C ．{2,4}D ．{2,3}2．212(1)ii +=-（ ）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i - 3．已知点()()1,2,4,3A B ，向量()2,2AC =--，则向量BC =（ ）A ．()5,3--B ．()5,3C ．()1,1-D ．()1,1-- 4．α的终边过点()1,2P -，则tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．13D ．13-5．函数()2ln f x x x =+的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．若sin 0α>，则（ ）A ．cos20α>B ．tan 20α>C ．cos02α> D ．tan02α>7．{}n a 是首项为1的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，639S S =，则7a =（ ）A ．32B ．64C ．8132 D ．27648．函数)22,0)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=x x f 的部分图像如图所示，则ϕω,的值分别是（ ）A ．23π-， B ．6,2π-C ．6π-4， D ．3,4π9．已知,a b 是两个非零向量，给定命题:p ||||||a b a b +=+;命题:q t R ∃∈，使得 a tb =;则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知等差数列{}n a 为递增数列且满足11010a a +=，则5a 的取值范围是（ ）A ．()5,10B ．()5,+∞C ．(),5-∞D ．()10,+∞11．若()ln 1ln 1,1,ln ,,2xx x e a x b c e -⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 12．数列{}n a 满足()()11,2nn n a a n n ---=≥，n S 是{}n a 的前n 项和，则40S =（ ）A ．880B ．900C ．440D ．450二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.13．设函数2log (1), (>0), (), (0).a x x f x x axb x +⎧=⎨++≤⎩若(3)2f =，(2)0f -=，则b =14．函数sin y x =在x π=处的切线方程为 15．关于xcos ,0,2x x a x π⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是16．已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表．()f x 的导函数()'f x 的图象如图所示．下列关于函数()f x 的命题：()'f x②函数()f x 在[]0,2是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为5； ④当()1,2a ∈时，函数()y f x a =-有4个零点． 其中真命题的是三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a ． ①若4=b ，求A sin 的值；②若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值．18．数列{}n a 的前n 项和21nn S =+，①求{}n a 的通项公式②设22log n n b a +=求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T19．已知,a b 是非零向量，()()()f x ax b bx a =-⋅-． ①若a b ⊥，证明()f x 为奇函数②若()()()03,22f f x f x =+=-，求a b +20．已知函数()()2,0f x x ax a =->，()sin sin 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭命题():n p a f n =是递增数列，命题():q g x 在(),a π上有且仅有2条对称轴 ①求()g x 的周期和单调递增区间 ②若p q ∧为真，求a 的取值范围21．中东呼吸综合征（简称MERS ）是由一种新型冠状病毒（MERS －CoV ）引起的病毒性呼吸道疾病。
2019-2020学年福建省莆田市仙游县高三上学期期中考试语文试题Word版
绝密★启用前福建省莆田市仙游县2019-2020学年高三上学期期中考试语文试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题阅读下面的文字，完成下面小题。
以圆珠笔笔头生产为镜，我们砥砺苦练内功的自主创新品格。
很长一段时间里，圆珠笔笔头生产技术掌握在少数几个国家手中。
中国科研人员攻克技术难关，弯道超车，______，靠的就是自主创新。
从球珠到球座体，从引导沟槽到钢元素配比参数，没有技术，就从国外引进消化吸收；（ ）。
一步一个台阶，中国圆珠笔企业苦练内功、______，实现了国人制造业转型升级的梦想。
以圆珠笔笔头生产为镜，我们涵养精益求精的大国工匠精神。
______，中国制造面临过这样的尴尬：号称是世界工厂、制造大国，老百姓却__________,去国外抢购保温杯、电饭煲、马桶盖等普通日用品。
中国圆珠笔企业凤凰涅槃的过程，为中国制造突围提供了有益借鉴。
如今，中国圆珠笔笔头直径的检验标准精确到了0.01毫米以内；为了突破球珠固着系统关键，我们做了12种概念模型，历经近百次试验验证。
解码中国圆珠笔笔头生产的深层次密码，以优取胜的品质意识，精益求精的工匠精神，是最重要的关键词。
1．依次填入文中横线上的成语，全都恰当的一项是（ ） A ．后发先至 养精蓄锐 毋庸置疑 舍近求远 B ．后发先至 养精蓄锐 毋庸讳言 舍本逐末 C ．后来居上 厚积薄发 毋庸讳言 舍近求远 D ．后来居上 厚积薄发 毋庸置疑 舍本逐末2．下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的项是（ ） A ．外国不愿提供核心技术，就狠下决心奋力攻关。
试卷第2页，总11页B ．狠下决心奋力攻关，如果外国不愿提供核心技术。
C ．狠下决心奋力攻关外国不愿提供的核心技术。
D ．外国提供了核心技术，就狠下决心奋力攻关。
3．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的项是（ ）A ．如今，中国圆珠笔笔头直径的检验标准准确到了约0.01毫米左右；为了突破球珠固着系统，我们做了12种概念模型B ．如今，中国圆珠笔笔头直径的检验标准精确到了约0.01毫米左右；为了突破球珠固着系统关键技术，我们做了12种概念模型C ．如今，中国圆珠笔笔头直径的检验标准精确到了0.01毫米：为了突破球珠固着系统关键技术，我们做了12种概念模型D ．如今，中国圆珠笔笔头直径的检验标准准确到了0.01毫米：为了突破球珠固着系统，我们做了12种概念模型第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、现代文阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
2019-2020年高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高三上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．10．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．11．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．812．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2015-2016学年内蒙古包头九中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：由补集的定义可得∁U M={2，3，5，6}，则（∁U M）∩N={2，3}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．5．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解答】解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】空间位置关系与距离．【分析】逐一分析四个答案中几何体的三视图，比照已知中的三视图，可得答案．【解答】解：A中，的三视图为：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是三视图的画法，能根据已知中的直观图，画出几何体的三视图是解答的关键．7．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】计算题；规律型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．【点评】本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．已知函数，若，则f（﹣a）=（）A．B． C．D．【考点】函数的值． 【专题】计算题．【分析】利用f （x ）=1+，f （x ）+f （﹣x ）=2即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）==1+，∴f （﹣x ）=1﹣，∴f （x ）+f （﹣x ）=2；∵f （a ）=，∴f （﹣a ）=2﹣f （a ）=2﹣=．故选C ．【点评】本题考查函数的值，求得f （x ）+f （﹣x ）=2是关键，属于中档题．10．在△ABC 中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E ，F 为BC 边的三等分点，则•=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0， E ，F 为BC 边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B ．【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．函数y=的图象与函数y=2sin πx （﹣2≤x ≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．已知，，则sinα+cosα=．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】通过已知求出tanα，利用同角三角函数的基本关系式，结合角的范围，求出sinα，cosα的值即可．【解答】解：∵∴解得tanα=，∵，∵sin2α+cos2α=1…①tanα=，…②解①②得sinα=，cosα=﹣∴sinα+cosα==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围，考查计算能力．14．已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解答】解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【考点】直线的截距式方程．【专题】直线与圆．【分析】把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为4π．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，=×R××R2=，∴V P﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故答案为：【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．三.解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的范围，从而可求函数f（x）的值域．【解答】解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …=sin（2x﹣）+．…函数f（x）的最小正周期为T=π．…因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．等比数列{a n}的前n 项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列（1）求{a n}的公比q；（2）若a1﹣a3=3，b n=na n．求数列{b n}的前n 项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）分类讨论利用等差等比是列的定义公式得出当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，求解即可．（II）运用得出数列，等比数列的性质得出b n=na n．a n=n﹣1，再利用错位相减求和即可．【解答】解：（Ⅰ）∵等比数列{a n}的前n 项和为S n，∴当q=1时，S1=a1，S3=3a1，S2=2a1，不是等差数列，当q≠1时，S n=，∵S1，S3，S2成等差数列∴2S3=S1+S2，化简得出：2q2﹣q﹣1=0，解得：，q=1（舍去）（Ⅱ）∵a1﹣a3=3，∴a1﹣a1=3，a1=4∵b n=na n．a n=n﹣1∴b n=na n=4n×（）n﹣1∴T n=4[1+2×（﹣）+3×（﹣）2+…+（n﹣1）（﹣）n﹣2+n（﹣）n﹣1]﹣T n=4[1×（﹣）+2×（﹣）2+3×（﹣）3+…+（n﹣1）（﹣）n﹣1+n（﹣）n]错位相减得出T n=4[1+（﹣）+（﹣）2+（﹣）3+n﹣1]nT n=4[﹣n×（）n]，T n=×（1﹣（﹣）n）n（﹣）nT n=（﹣）n n（﹣）n【点评】本题考查了等比等差数列的性质，错位相减法求解数列的和，考查了学生的计算化简能力，属于中档题．19．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且c=3．（1）求角C；（2）若向量与共线，求a、b的值．【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简可得sin（2C﹣30°）=1，结合C的范围可求C（2）由（1）C，可得A+B，结合向量共线的坐标表示可得sinB﹣2sinA=0，利用两角差的正弦公式化简可求【解答】解：（1）∵，∴∴sin（2C﹣30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵与共线，∴sinB﹣2sinA=0∴sin=2sinA整理可得，即tanA=∴A=30°，B=90°∵c=3．∴a=，b=2【点评】本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式及两角和的正弦公式、锐角三角函数的综合应用20．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（1）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；（2）求点C到平面ABD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，可证AD∥EF，又EF⊆平面EFB AD⊄平面EFB，可证AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，由于可证AD⊥BD，可得，又三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，由=即可解得点C到平面ABD的距离．【解答】（1）取CD的中点F，连结EF，BF，在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF为△ACD的中位线∴AD∥EF，EF⊆平面EFB，AD⊄平面EFB∴AD∥平面EFB．（2）设点C到平面ABD的距离为h，∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD，而AD⊥DC•∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD•∴•∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2，S△ACD=2，∴=∴可解得：h=．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了点、线、面间的距离计算，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…综上，a≥e﹣1…【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC 于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题．（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，【分析】根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解答】解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【专题】计算题．【分析】（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．2016年3月9日。
最新版2019-2020年福建省重点高中高三上学期期中模拟考试数学(文)试题一及答案-精编试题
高三上学期期中模拟测试数学（文）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项写在答题卷的相应位置上．） 1. 已知集合2{|20}A x x x =--<，{|11}B x x =-<<，则( ) A. A ⊂≠B B. B ⊂≠A C.A=B D. A ∩B=∅ 2．若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =( ) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 3．设等比数列{}n a 满足35727a a a =，则46a a =( ) A ．3 B ．5 C ．9 D ．274．已知向量)2,3(),,1(-==b m a ，且b b a⊥+)(，则m =( )A ．－8B ．－6C ．6D ．85. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π 6. 已知函数cos()(0,||)y x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ） A．21,3πωϕ==B ．21,3πωϕ==-C ．22,3πωϕ==D ．22,3πωϕ==-7．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是 ( ) A ．72 B ．4 C ．92D.58．设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y =+的最大值为（ ）A.4B.6C.8D.109．函数()af x x =满足()24f =,那么函数()()log 1a g x x =+的图象大致为（ ）10. 已知命题p ：x ∀∈R ,xx32<；命题q ：x ∃∈R ，231x x -=，则下列命题中为真命题的是( )A ．q p ∧B ．)(p ⌝∧qC ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 且在区间[)0,+∞上单调递增．若实数a 满足2(log )(1)f a f ≤，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．(0,2] 12. 函数)2cos(62cos )(x x x f ++-=π的最小值为（ ）A ．211-B ．5-C ．27D ．7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置上．）13. 计算sin43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的结果等于 ． 14. 图中的三个直角三角形是一个体积为203cm 的几何体的三视图，则h = cm ．15. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积为 ．16. 已知函数()3231(0).f x ax x a =-+<，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数=)(x f +2c o s22xa 2c o s 2s i n 32xx a ,b a +-且,33=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf 165=⎪⎭⎫⎝⎛πf . （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域. 18．（本小题满分12分）设平面向量=a)sin ,(cos αα)20(πα≤≤，)23,21(-=b ，且a 与b 不共线.（1）求证：向量a b +与a b -垂直；（2b +与3a b -的模相等，求角α．19．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是1与n a 的等差中项. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x ，y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 3(0)f x x ax a =--≠. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；§§（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围.选做题（两题任选一题，如果都做，按第22题得分计算）22.(本小题满分10分)选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()22cos ,2sin ,x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．高三文科数学试题参考答案1.B2.A3. C4. D5.A6.D7.C8. D9. C 10. B 11. C 12.B13.1214. 4 15. 2 16. (,2)-∞-17. 解：（1）2()2cossin cos 222x x xf x a a b =+-+(1cos )sin a x x a b =++-+ …………………………2分cos sin a x x b =++ …………………………3分2sin()6a xb π=++ …………………………4分5116f b π⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭…………………………5分 32313f a b a π⎛⎫=⇒+=⇒= ⎪⎝⎭…………………………6分 （2） ()2sin()16f x x π=++20,2663x x ππππ≤≤∴≤+≤……………………………8分 ∴1sin()126x π≤+≤ ……………………10分 ∴2()3f x ≤≤ ∴()f x 的值域是[]23，. ………………………12分 18. 解：（1）22()()a b a b a b +-=- ................................1分又=a)sin ,(cos αα)20(πα≤≤，)23,21(-=b [:]∴2222||cossin 1a a αα==+=，1)23()21(||2222=+-== .........4分 ∴22()()110a b a b a b +-=-=-= .................................5分 ∴()()a b a b +⊥-即向量a b +与a b -垂直； ..........................6分（2b +与3a b -的模相等，∴b b a b b a a b ∙-+=++⇒=+33||||222222........8分又||1|1a b ==,|，0=∙∴即0)6sin(cos 21sin 23=-=-=∙πααα....10分66ππαππα+=⇒=-∴k k ()k Z ∈， ...............11分又πα20<≤，所以676παπα==或 .. ...........12分 19. 解：（1）由已知得1n a =+，∴24(1)n n S a =+ ————————1分当1n =时，2114(1)a a =+ ∴11a = ————————2分当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，又24(1)n n S a =+，两式相减得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，0n a >，∴12n n a a --=．————————5分∴{}n a 为是以1为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =-． ——————7分 （2）12211(21)(21)2121n n a a n n n n +==--+-+ ——————9分1111112(1)()()133521212121n nT n n n n ∴=-+-++-=-=-+++.————12分20. 解：（1）由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，———————3分该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分. ————————6分 （2）设利润为z 万元，则目标函数23z x y =+，————————7分 这是斜率为23-，这是斜率为32-，随z 变化的一族平行直线.3z 为直线在y 轴上的截距，当3z取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3z的值最大，即z 的值最大. ————9分 解方程组⎩⎨⎧=+=+30010320054y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ， ————————10分所以112243202max =⨯+⨯=z . ————————11分答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.————————12分(2)21. 解：（1）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且 11()axf x a x x-'=-=， 1分当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； ————————3分当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞；————————5分 （2）2332()[2()]()22x mg x x m f x x a x x'=+-=++-，2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上不是单调函数，又()0(0)1,,(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩————————7分由题意知：对任意[1,2]a ∈，22()3(2)1510g a a m a a a ma '=++⋅-=+-<恒成立，21515a m a a a -∴<=-，∵[1,2]a ∈，192m ∴<- ————————9分对任意[1,2]a ∈，(3)26360g m a '=++>恒成立62626233a m a --∴>=--，[1,2]a ∈，323m ∴>- ————————11分综上，321932m -<<-. ————————12分22.解:（1）曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，———3分 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入方程2240x y x +-=化简得θρcos 4=．∴ 曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=． ————————5分 （2）直线l 的直角坐标方程为40x y +-=， ————————8分由2240,4,x y x x y ⎧+-=⎨+=⎩得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2),(4,0)，—————9分∴ 弦长22=OA ． ————————10分23. 解：(1)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为x φ∈期中模拟综合试题③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③得原不等式的解集 (][),31,-∞-⋃+∞ ————————5分(2)即12122122ax x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-————————10分。
福建省莆田市莆田第七中学2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2019—2020学年上学期期中考试卷高三数学（文科）一、单选题（每小题5分）1.集合{}2|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,再求集合A 的子集的个数. 【详解】因为{0,1}A =， 所以其子集个数是224=. 故选C.【点睛】本题主要考查集合的化简和子集的个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.函数()13f x x =-的定义域是（ ） A. [)2,+∞ B. ()3,+∞ C. [)()2,33,+∞ D. ()()2,33,+∞【答案】C 【解析】 【分析】求()13f x x =-0，偶次方根大于等于0，然后解不等式组即可.【详解】因为()13f x x =-，所以30240x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得23x ≤<或3x >，答案选C. 【点睛】本题考查定义域问题，注意对不等式组进行求解即可，属于简单题.3.已知0.72()3a =，14log 9b =，125()2c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 分析】由题意比较所给的数与0,1的大小即可. 【详解】由指数函数的性质可知0.723a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,1∈，1252c ⎛⎫= ⎪⎝⎭1>，由对数函数的性质可知149b log =0<，据此可得b a c <<. 本题选择C 选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 4.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c=，则C = A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA（sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0，【∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22，∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 5.若函数()()f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A. 22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C. 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【答案】A【解析】 【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过αβ- 的最小值是2π推出函数的最小正周期，然后得出ω的值，最后得出函数的单调递增区间． 【详解】()()f x x πω=- 5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭()x ω= ()cos x ω+2sin 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再由()2fα=，()0f β=，αβ- 的最小值是2π可知，1ω=． () 2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为22262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈22,233x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦ ()k Z ∈．【点睛】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间． 6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S S -=+（2n ≥，且*n ∈N ）且23S =，则55S a =（ ） A.6332B.3116C.12364D.127128【答案】B 【解析】 【分析】先求出11S =，由题得()1121n n S S -+=+，所以{}1n S +是以112S +=为首项，2为公比的等比数列，得21nn S =-，再求55S a 的值.【详解】由23S =及121n n S S -=+（2n ≥，且*n ∈N ），得2121S S =+， 所以1321S =+，所以11S =. 因为121n n S S -=+， 所以()1121n n S S -+=+，则数列{}1n S +是以112S +=为首项，2为公比的等比数列.所以1122n n S -+=⨯. 则21n n S =-，即()55554554212131162121S a S S --===----. 故选B.【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和通项的求法，考查数列的前n 项和和n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.7.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(,cos )a B =α，(cos ,)A b =-β，若αβ⊥，则ABC △一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由αβ⊥和正弦定理得到sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，化简即得解. 【详解】因αβ⊥，所以cos cos 0a A b B -=，所以cos cos b B a A =， 由正弦定理可知sin cos sin cos B B A A =，所以sin 2sin 2A B =. 又,(0,)A B π∈，且(0,)A B π+∈， 所以22A B =或22A B π+=， 所以A B =或2A B π+=，则ABC △是等腰三角形或直角三角形，故选D.【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化和三角形形状的判定，考查平面向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D. (1,-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=-()()31,33-=--故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.9.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=）（ ） A. 704立方尺 B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.【详解】设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，周长为C . 因为2C r π=，所以2C r π=， 所以2222248114412C C h V r h h ππππ⨯==⨯⨯== 2112=（立方尺）. 故选B 项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.10.已知(cos 2,sin ),(1,2sin 1),,2a b πααααπ⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭，若25a b ⋅=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A.13B.27C.17D.23【答案】C 【解析】 【分析】运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合25a b ⋅=，可以求出3sin 5α=，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据同角三角函数的关系式，可以求出3tan 4α=-，最后利用两角和的正切公式求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】222cos2sin (2sin 1)12sin 2sin sin 1sin 5a b ααααααα⋅=+-=-+-=-=， 所以3sin 5α=. 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-，所以3tan 4α=-，所以tan 11tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了两角和的正切公式，考查了数学运算能力.11.已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（ ） A. [7,26]-B. [1,20]-C. [4,15]D. [1,15]【答案】B 【解析】 【分析】令m x y =-，4n x y =-，得到关于,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y -关于,m n 的式子，利用不等式的性质，结合,m n 的取值范围，最后求出9x y -的取值范围.【详解】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤ 又884015333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键. 12.若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A. (],2-∞- B. (],1-∞-C. [)2,+∞D. [)1,+∞【答案】D 【解析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．考点：利用导数研究函数的单调性. 【此处有视频，请去附件查看】二、填空题（每小题5分，共20分）13.在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ． 【答案】－36 【解析】试题分析：由题意在△ABC 中，D 是BC 的中点，结合向量加减运算可得：,AB DB DA AC DC DA =-=-，则2()()()1006436AB AC DB DA DC DA DB DC DA DB DC DA ⋅=-⋅-=⋅-++=-+=-． 考点：向量的运算14.已知等差数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若24,a a 是方程2650x x -+=的两个根，则6S 的值为_________ 【答案】24 【解析】因为24,a a 是方程2650x x -+=的两个根且{}n a 是递增数列，所以解得241,5a a ==，所以51242d -==-，1121a =-=-，66526(1)242S ⨯⨯=⨯-+=，故填24. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 15.已知正数,x y 满足1,x y +=则4121x y +++的最小值为__________． 【答案】3 【解析】由题可知：113x y +++=，故4111x y +++=()()41111113x y x y ⎛⎫⎡⎤++++⨯ ⎪⎣⎦++⎝⎭=1114413113y x x y ⎛⎫+++⨯++⨯≥⎪++⎝⎭当且仅当x=y 时取得等号 16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是____.①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得DM //平面11B CD ；③1A DM ∆ ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S =. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 逐项分析. 【详解】①如图当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确； ②如图取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OC AC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A MNO ，且11A DB C ，111A MA D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以DM 平面11B CD ，故正确； ③如图作11A M AC ⊥，在11AA C中根据等面积得：13A M ==，根据对称性可知：13A M DM ==，又AD =1A DM是等腰三角形，则112A DMS==，故错误； ④如图设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122A D M a S S ∆===，12211222B CM a S S ∆-===，当12S S =时，解得：13a =，故正确. 故填：①②④.【点睛】本题考查立体几何综合问题，难度较难.对于判断是否存在满足垂直或者平行的位置关系，可通过对特殊位置进行分析得到结论，一般优先考虑中点、三等分点；同时计算线段上动点是否满足一些情况时，可以设动点和线段某一端点组成的线段与整个线段长度的比值为λ，然后统一未知数λ去分析问题.三、解答题（共70分）17.已知集合{|2101}A x m x m =-<<-，{|26}B x x =<<. （1）若4m =，求AB ；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{}|23x x <<；（2）67m ≤≤或9m ≥. 【解析】 【分析】（1）由题意，代入4m =，得到集合,A B ，利用交集的运算，即可得到答案； （2）由题意，集合A B ⊆，分A φ=和A φ≠两种情况讨论，即可得到答案.【详解】（1）由题意，代入m 4=，求得结合{}{}A x 2x 3,B x 2x 6=-<<=<<， 所以{}A B x 2x 3⋂=<<.的（2）因为A B ⊆①当A ,2m 10m 1∅=-≥-即，解得m 9≥，此时满足题意. ②A ,2m 10m 1,m 9∅≠-<-<当即且，则210216m m -≥⎧⎨-≤⎩则有6m 7≤≤，综上：6m 7≤≤或m 9≥.【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及利用集合之间的包含关系求解参数问题，其中解答中熟记集合的交集的运算，以及合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象的一部分如图所示.（1）求()f x 的解析式； （2）当5(,)36x ππ∈时，求函数()f x 的值域.【答案】(1) ()sin()f x x π=-223(2) (⎤⎦2【解析】 【分析】（1）从图像可以看出，此函数的最大和最小值分别为2和-2，则2A =，算出周期可以解出ω的值，最后代入最高点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，依据ϕ的取值范围求出结果. （2）通过x 的取值范围，求出x ωϕ+的取值范围，从图像中解出值域. 【详解】（1）由图可知2A =，359()412312T T ππππ=--=⇒=，又22T πω==可得()2sin(2)f x x ϕ=+，代入最高点5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知 52()1223k k k Z πππϕπϕπ⨯+=+⇒=-+∈，又23ππϕϕ<⇒=-，故()sin()f x x π=-223.（2）由5(,)36x ππ∈可得42333x πππ<-<，故正弦函数(sin(2)2sin(2)2323x x ππ⎛⎤⎤-∈-⇒-∈ ⎥⎦ ⎝⎦. 【点睛】1、从图像求解三角函数解析式时首先可以由最大值剪最小值除以2求出A 的值； 2、求解ω时一般先由图像算出周期后得到；3、求解ϕ时要注意只能够代入最高或最低值所在的点，否则其它点代入得到的值并不唯一. 19.已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）23A π=；（2【解析】 【分析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝.∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－. 又∵0<A <π，∴A ＝.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A . 则(2)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos.∴12＝16－2bc －2bc ·(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·sin A ＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.20.已知数列{}n a 为递增的等差数列，其中35a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设()()1111n n n b a a +=++记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得n mT 5<成立的m 的最小正整数．【答案】（1）21n a n =-；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设出首项1a 和公差d ，依照题意列两个方程，即可求出{}n a 的通项公式； （2）由()()1111n n n b a a +=++，容易想到裂项相消法求{}n b 的前n项和为n T ，然后，恒成立问题最值法求出m 的最小正整数．【详解】（1）在等差数列中，设公差d ≠0，由题意，得，解得．∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）由（1）知，a n ＝2n ﹣1． 则＝，∴T n ＝＝．∵T n +1﹣T n ＝＝＞0，∴{T n }单调递增，而，∴要使成立，则，得m ，又m ∈Z ，则使得成立的m 的最小正整数为2．【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力．21.如图1，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，3AB =，6CD =，过A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为E ，F ，已知1DE =，3AE =，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，使得平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE ∥平面BCF ，得到图2.（1）证明：BE 平面ACD ； （2）求三棱锥C AED -的体积. 【答案】（1）见证明；（2）32C AED V -= 【解析】 【分析】（1）设AF B E O =，取AC 中点M ，连接OM ，证得//OM DE ，且O M D E =，得到四边形DEOM为平行四边形，得出DM OE ，利用线面平行的判定定理，即可证得BE 平面ADC .（2）证得CF P ADE ，得到点C 到平面ADE 的距离等于点F 到平面ADE 的距离，再利用锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）设AFBE O =，取AC 中点M ，连接OM ，∵四边形ABFE 为正方形，∴O 为AF 中点，∵M 为AC 中点，∴12OMCF 且12OM CF =，因为平面ADE ⊥平面ABFE ，平面ADE平面ABFE AE =，DE AE ⊥，DE ⊂平面ADE ，所以DE ⊥平面ABFE ，又∵平面ADE ∥平面BCF ，∴平面BCF ⊥平面ABFE ，同理，CF ⊥平面ABFE ， 又∵1DE =，2FC =，∴11,22DE CF DE CF =， ∴OMDE ，且OM DE =，∴四边形DEOM 为平行四边形，∴DMOE ，∵DM ⊂平面ADC ，BE ⊄平面ADC ，∴BE 平面ADC （2）因为CFDE ，DE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ，所以CF P ADE∴点C 到平面ADE 的距离等于点F 到平面ADE 的距离. ∴三棱锥的体积公式，可得113313322C AED F AED V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用等体积法求解三棱锥的体积，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．22.已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）[32，+∞） 【解析】 【分析】（1）求出a=2的函数f （x ）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f （x ）的导数，由题意可得f′（x ）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a ﹣x 2+（a ﹣2）x≥0，即有x 2﹣（a ﹣2）x ﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a 的范围． 【详解】（1）a=2时，f （x ）=（﹣x 2+2x ）•e x 的导数为 f′（x ）=e x （2﹣x 2），由f′（x ）＞0＜x.由f′（x）＜0，解得x或x．即有函数f（x）的单调减区间为（﹣），，+∞），．（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）•e x的导数为f′（x）=e x[a﹣x2+（a﹣2）x]，由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，解得a≥32．则有a的取值范围为[32，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，属于中档题和易错题．。
福建省莆田市仙游县2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(教师版)
2019—2020学年高三毕业班第三次质量检查数学（文）试题第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A. 1i + B. 1i -C. 1i --D. 1i -+【答案】B 【解析】 【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到选项． 【详解】复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-， ∴复数的共轭复数是1i -，就是复数21iz i=+所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数； 故选：B ．【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合，若(),3A x 是角θ终边上一点，且cos 10θ=-,则x =（ ）A. -B.C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数定义可得0x <=.【详解】因为cos 0θ=<，及(),3A x 是角θ终边上一点 0x ⇒<=解得：1x =- 本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题. 3.已知132a =，4log 5b =，322c =，则a ，b ，c 满足 A. a <b <c B. b <a <c C. c <a <b D. c <b <a【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，化简得2log 3a =，2log b =进而得12b a <<<，又由2>c ，即可得到答案.【详解】由题意，可得21log 32a ===，42log 5log b ==又由2log y x =为单调递增函数，且432>>>，所以222log 3log 1>>>， 所以21a b >>>，又由312222c =>= ，所以b a c <<，故选B.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中合理应用对数函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==12AA =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.23B.56D.6【答案】A 【解析】 【分析】画出图形分析，先根据定义找出异面直线1AB 与1BC 所成的角，然后通过解三角形的方法求解即可． 【详解】画出图形，如图所示．连111,AD B D ，则11//AD BC ，所以11B AD ∠即为1AB 与1BC 所成的角或其补角．在11B AD 中，11AB AD =112B D =，所以由余弦定理得116642cos 263B AD +-∠==⨯，所以异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为23．故选A ．【点睛】用几何法求空间角的步骤为：“找、证、求”，即先根据定义确定出所求角，并给出证明，再通过解三角形的方法求出所求角（或三角函数值）．解题时容易出现的问题是忽视两条异面直线所成角的范围，属于基础题．5.已知p q ，是两个命题，那么“p q ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ） A. 既不充分也不要必要条件 B. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件【答案】C 【解析】 【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“p ∧q 是真命题”是“￢p 是假命题”的充分不必要条件，得解 【详解】因为“p ∧q 是真命题”则命题p ，q 均为真命题，所以￢p 是假命题， 由“￢p 是假命题”，可得p 为真命题，但不能推出“p ∧q 是真命题”， 即“p ∧q 是真命题”是“￢p 是假命题”的充分不必要条件， 故选：C ．【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题．6.已知双曲线()222102y x a a -=>的一条渐近线方程为y =，则双曲线的焦点坐标为（ ）A. ()B. ()C. (0,D. (0,【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式可知双曲线的焦点在y 轴上,结合渐近线方程及b 的值,可得a 的值.由双曲线中a b c 、、的关系即可求得c ,得焦点坐标.【详解】由双曲线()222102y x a a -=>可知双曲线的焦点在y 轴上,所以渐近线方程可表示为ay x b=±由22b =及渐近线方程y ==解得2a =双曲线中a b c 、、满足222+=a b c则22226c =+=解得c 则焦点坐标为(0, 故选:D【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的简单应用,双曲线中a b c 、、的关系,属于基础题. 7.在平行四边形ABCD 中，4,3,3AB AD DAB π==∠=，点,E F 分别在,BC DC 边上，且2,BE EC DF FC ==，则AE BF ⋅=（ ）A. 83- B. 1- C. 2D.103【答案】C 【解析】试题分析：2233AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+,1122BF BC CF BC CD AD AB =+=+=-,所以222112232233AE BF AB AD AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221221434322332=-⨯+⨯+⨯⨯⨯=，故选C.考点：1.向量加减法的几何意义；2.向量数量积定义.【名师点睛】本题主要考查向量的向量加减法的几何意义、向量数量积定义，属中档题；向量的几何运算主要是利用平面向量基本定理，即通过平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用，当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①【答案】A 【解析】 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值为正数， 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足；④2xy x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．9.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠= A. 90︒ B. 60︒ C. 45︒ D. 30︒【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值．【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)2224S b a c =+-，得1sin 2cos 24ab C ab C =⋅,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选：D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．10.我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A. 12π-B. 8π-C. 122π-D. 122π-【答案】A 【解析】 【分析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案. 【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，所以几何体的体积为2122222112122V ππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，故选A.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.11.三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，则球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π【答案】D 【解析】 【分析】由体积公式求出三棱锥S ABC-高，可得O 到平面ABC ，由正弦定理可得三角形ABC 的外接圆的半径，由勾股定理可得球半径，从而可得结果.【详解】如图， 124ABC S AC BC sin ACB ∆=⋅⋅∠=， 三棱锥S ABC -的体积为12，所以11342h ⨯⨯=，解得三棱锥S ABC -的高为 设H 为三角形ABC 的外接圆的圆心， 连接OH ，则OH ⊥平面ABC ， 因为SC 为该球的直径，所以12OH h ==， 连接CH ，由正弦定理可知三角形ABC 的外接圆的直径为22AB CH sin ACB ===∠，1,CH ∴=由勾股定理可得球半径2CO ==∴球O 的表面积为24216ππ⨯=，故选D.【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.12.已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，关于x 的方程()22[()](12)0f x m f x m +--=，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ） A. 11,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B. (0,)+∞C. 1(0,)eD. (10,]e【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数ln xy x=的单调性并求最值，求解方程()()()22120f x m f x m ⎡⎤+--=⎣⎦得到()f x m =或1()2f x =，画出函数()f x 的图象，数形结合即可求解. 【详解】设ln x y x = ，则21ln xy x-'=，由0y '=解得x e =，当(0,)x e ∈时0y '>，函数为增函数，当(,)x e ∈+∞时0y '<，函数为减函数，当x e =时，函数取得极大值也是最大值为1()f e e=.方程()()()22120f x m f x m ⎡⎤+--=⎣⎦化为[()][2()1]0f x m f x -+=解得()f x m =或1()2f x =. 画出函数()f x 的图象如图：根据图象可知e 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，方程由5个解. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，函数零点，函数与方程，数形结合，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分.）13.直线2y kx =+与圆224x y +=相交于M ，N两点，若MN =k =______.【答案】±1 【解析】 【分析】根据圆截直线的弦长,结合垂径定理及点到直线距离公式即可求得k 的值. 【详解】直线2y kx =+可化为20kx y -+= 圆224x y +=,则圆心()0,0,半径2r =根据垂径定理可知圆心到直线距离d ==又根据点到直线距离可得d ==解方程可得1k =± 故答案为: ±1【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.14.已知实数,x y 满足210320220x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则2x y +的最小值是______．【答案】-4 【解析】 【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y 的最小值. 【详解】先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z=2x+y,所以y=-2x+z,当直线经过点A 时，直线的纵截距最小，z 最小，联立320220x y x y -+=⎧⎨++=⎩得A(-2,0),所以z 最小=2×（-2）+0=-4. 故答案为：-4【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15.已知函数()f x 对于任意实数x 都有()()f x f x -=，且当0x ≥时，()sin xf x e x =-，若实数a 满足()()2log 1f a f <，则a 的取值范围是______．【答案】1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先证明函数在[0,+∞ )上单调递增，在,0)（-∞上单调递减，再利用函数的图像和性质解不等式|2log a |＜1得解.【详解】由题得，当x ≥0时，()cos xf x e x '=-，因为x ≥0，所以01,cos 0x xe e e x ≥=∴-≥， 所以函数在[0,+∞ )上单调递增，因为()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以函数在,0)（-∞上单调递减， 因为()()2log 1f a f <，所以|2log a |＜1，所以-1＜2log a ＜1， 所以122a <<. 故答案为：1,22⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 16.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a =，cos cos tan sin sin A CA A C+=+，则sin sin b c B C ++的取值范围是__________．【答案】4) 【解析】 【分析】 由cos cos tan sin sin A C A A C+=+结合三角恒等变换知识可得cos2cos A B =，即2B A =，从而得到64A ππ<<，又sin sin sin b c aB C A+=+，进而可得结果.【详解】由已知得()()sin sin sin cos cos cos A A C A A C +=+，∴22cos sin sin sin cos cos A A A C A C -=-，∴()cos2cos cos A A C B =-+=. ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴2B A =且022A π<<，032A ππ<-<，∴64A ππ<<.∵2a =，∴)sin a A ⎡∈⎣.又sin sin sin b c a B C A+=+，∴()sin sin b cB C+∈+.故答案为：()4【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的理解和灵活运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知等差数列{}n a 中，33a =，22a +，4a ，62a -顺次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()2111nn nn n a b a a ++=-，{}n b 的前n 项和n S ，求2n S .【答案】(1)n a n =；（2）221nn -+ 【解析】 【分析】（1）利用三项成等比数列可得()()242622a a a =+-，利用3a 和d 来表示该等式，可求得d ；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得()1111nn b n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，则2n S 可利用裂项相消的方法来进行求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d22a +，4a ，62a -顺次成等比数列 ()()242622a a a ∴=+- ()()()2333232a d a d a d ∴+=-++-，又33a =()()()23513d d d ∴+=-+，化简得：2210d d -+=，解得：1d =()()33331n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=（2）由（1）得：()()()()211211111111nnn n nn n a n b a a n n n n +++⎛⎫==-=-+ ⎪++⎝⎭-212321111111122334221n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+++-++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n -=-+=++【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前n 项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到()1n-的裂项方法.18.在某次测验中，某班40名考生成绩满分100分统计如图所示.（Ⅰ）估计这40名学生的测验成绩的中位数0x 精确到0.1；（Ⅱ）记80分以上为优秀，80分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关？附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++【答案】(Ⅰ) 71.7 (Ⅱ)见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图，找到矩形面积和为0.5时横坐标的取值即为中位数；(Ⅱ)根据频率分布直方图计算频数可补足列联表，根据公式计算出2χ，对比临界值表求得结果.【详解】(Ⅰ)由频率分布直方图易知：0.01100.015100.02100.45⨯+⨯+⨯= 即分数在[)40,70的频率为：0.45所以()00.03700.50.45x ⨯-=-解得：021571.73x =≈ 40∴名学生的测验成绩的中位数为71.7(Ⅱ)由频率分布直方图，可得列联表如下：()2240164146400.135 3.84130102218297χ⨯⨯-⨯∴==≈<⨯⨯⨯ 故没有95%的把握认为数学测验成绩与性别有关【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计中位数、独立性检验问题，属于常规题型.19.【2018届北京市海淀区】如图，三棱柱111ABC A B C -侧面11ABB A ⊥底面ABC ， ,AC AB ⊥12,AC AB AA === 0160AA B ∠=， ,E F 分别为棱11,A B BC 的中点.（Ⅰ）求证： AC AE ⊥；（Ⅱ）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（Ⅲ）在直线1AA 上是否存在一点P ，使得//CP 平面AEF ？若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）V =（Ⅲ）在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF ，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题目中侧面11ABB A ⊥底面ABC ，2AC AB ，可证得结论；（）⊥由条件知AE ⊥底面111A B C ，111A B C V S AE ∆=⋅=（3）连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P ，证线线平行即//EF CP ，进而得到线面平行。
2019-2020学年度高三数学上学期期中试卷 文(含解析)
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三数学上学期期中试卷文（含解析）______年______月______日____________________部门一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩∁RB=（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（）A．若m⊥α，l⊥m，则l∥αB．若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥mC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β3．设命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数）则“m≥1”是“命题p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+45．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x= B．x= C．x= D．x=6．设函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）A．B．C．D．7．已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．78．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知且，则cosα= ，= ．10．已知函数f（x）=2sinxcosx+2的最小正周期是，单调递减区间是．11．设=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0）），（a＞0，b＞0，O为坐标原点），若A，B，C三点共线，则a与b的关系式为+ 的最小值是．12．在等差数列{an}中，已知a1＞0，前n项和为Sn，且有S3=S11，则= ，当Sn取得最大值时，n= ．13．已知f（x）=，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．14．已知，是平面单位向量，•=，若平面向量满足，则= ．15．定义max，已知实数x，y满足x2+y2≤1，设z=max{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围是．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cosA=，且△ABC的面积为，试求sinC和a的值．17．在等差数列{an}中，a3+a4+a5=42，a8=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=+λ（λ∈R），则是否存在这样的实数λ使得{bn}为等比数列；（3）数列{cn}满足{cn}=，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n．18．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．19．设函数f（x）=x2+ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式；（Ⅱ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围．（Ⅲ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在一个零点，试求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣|ax+1|，a∈R．（Ⅰ）若a=﹣2，且存在互不相同的实数x1，x2，x3，x4满足f （xi）=m（i=1，2，3，4），求实数m的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．20xx-20xx学年浙江省××市××市海亮高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R，集合A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩∁RB=（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合B，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵A={x|x≥0}，B={x|x2﹣6x+8≤0}=x{|2≤x≤4}∴∁RB={x|x＞4或x＜2}，∴A∩（∁RB）={x|0≤x＜2或x＞4}故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，以下命题正确的是（）A．若m⊥α，l⊥m，则l∥αB．若α∥β，l∥α，m⊂β，则l∥mC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m D．若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】根据线面垂直与线线垂直之间的联系，得A项中有可能l⊆α，故不正确；根据面面平行、线面平行与线线平行之间的联系，得B选项不正确；根据平面平行与线面垂直之间的联系，得C选项正确；根据面面垂直的性质，得D选项不正确．【解答】解：对于A，因为m⊥α，l⊥m，则l⊆α或l∥α，故A不正确；对于B，α∥β，l∥α，可得l∥β或l⊆β，再结合m⊂β，得l与m平行、相交或异面都有可能，故B不正确；对于C，α∥β，l⊥α，可得l⊥β，结合m∥β，可得l⊥m，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β=l，若m⊆α且m⊥l，则m⊥β，但条件中少了m⊆α，故D不正确．故答案为：C【点评】本题给出几个空间位置关系的命题，叫我们找到其中的真命题，着重考查了空间的线面、面面和线线平行、垂直位置关系的判断及其内在联系等知识，属于基础题．3．设命题p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数）则“m≥1”是“命题p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据二次函数的性质先判断出命题p为真命题时的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若p：∀x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m为常数），则△=16﹣8m≤0，解得：m≥2，则“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为S几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．5．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（）A．x= B．x= C．x= D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+）]=2sin（2x﹣）的图象，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．设函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则由复合函数的性质，我们可得k=1，0＜a＜1，由此不难判断函数的图象．【解答】解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0则k=1又∵f（x）=ax﹣ka﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上是减函数则0＜a＜1，则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为减函数故选：D．【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键7．已知变量x，y满足，则z=3x+y的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为A（2，1），（1，0），（1，3），验证知在点A（2，1）时取得最大值，当直线z=3x+y过点A（2，1）时，z最大是7，故选D．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1．（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．即g（﹣cosθ）=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知且，则cosα= ﹣， = ﹣7 ．【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正切．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知=cos（﹣α）=sinα，且，则cosα=﹣=﹣．再根据tanα==﹣，可得==﹣7，故答案为：﹣；﹣7．【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，属于基础题．10．已知函数f（x）=2sinxcosx+2的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]，k∈Z．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的周期性和单调减区间．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx+2=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故它的最小正周期为 =π．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故答案为：π，[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．11．设=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0）），（a＞0，b ＞0，O为坐标原点），若A，B，C三点共线，则a与b的关系式为2a+b=1 + 的最小值是8 ．【考点】基本不等式；平行向量与共线向量；三点共线．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理可得：2a+b=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解： =（a﹣1，1），=（﹣b﹣1，2）．∵A，B，C三点共线，∴存在实数k使得，∴，化为2a+b=1．∵a，b＞0，∴+=（2a+b）=4+=8，当且仅当b=2a=时取等号．故答案分别为：2a+b=1，8．【点评】本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．在等差数列{an}中，已知a1＞0，前n项和为Sn，且有S3=S11，则= ，当Sn取得最大值时，n= 7 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a4+a5+…+a11=0，即a7+a8=0．可得数列{an}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，则答案可求．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S3=S11，得a4+a5+…+a11=0，∴a7+a8=0．则2a1+13d=0，即；再由a7+a8=0．可知数列{an}的前7项为正，自第8项起为负，∴当Sn取得最大值时，n=7．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．13．已知f（x）=，若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是[log32，1] ．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．【解答】解：当t∈（0，1]，所以f（t）=3t∈（1，3]，又函数f（x）=，则f（f（t）=log2（3t﹣1），因为f（f（t））∈[0，1]，所以0≤log2（3t﹣1）≤1，即1≤3t﹣1≤2，解得：log32≤t≤1，则实数t的取值范围[log32，1]；当1＜t≤3时，f（t）=log2（t﹣1）∈（﹣∞，1]，由于f（f（t））∈[0，1]，即有0≤≤1，解得1＜t≤2．此时f（t）=log2（t﹣1）≤0，f（f（t））不存在．综上可得t的取值范围为[log32，1]．故答案为：[log32，1]．【点评】本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，考查计算能力，属于中档题和易错题．14．已知，是平面单位向量，•=，若平面向量满足，则= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；构造法；平面向量及应用．【分析】设=λ1+λ2，从而结合题意可得λ1+λ2=2，λ1+λ2=；从而解得．【解答】解：设=λ1+λ2，故•=（λ1+λ2）•=λ1+λ2=2，•=（λ1+λ2）•=λ1+λ2=，解得，λ1=1，λ2=2；故•=（λ1+λ2）•（λ1+λ2）=λ12+λ22+2λ1λ2•=7，故=，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用及数量积的应用．15．定义max，已知实数x，y满足x2+y2≤1，设z=max{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围是[，] ．【考点】不等式比较大小．【专题】作图题；数形结合；数形结合法；不等式．【分析】直线为 AB 将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+y，点（x，y）在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x﹣y，点（x，y）在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：（x+y）﹣（2x﹣y）=﹣x+2y，设方程﹣x+2y=0对应的直线为AB，∴Z=，直线为 AB 将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点（x，y）在半圆ACB上及其内部，如图求得﹣≤z1≤；令z2=2x﹣y，点（x，y）在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得﹣≤z2≤．如图综上可知，z的取值范围为[﹣，]；故答案为：[﹣，]【点评】本题考查不等关系与不等式，简单的线性规划问题的解法，体现了数形结合的数学思想．画出图形，是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．设△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知=．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若cosA=，且△ABC的面积为，试求sinC和a的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理可得=．由正弦定理可得a2+c2﹣b2=ac，由余弦定理可得cosB=，结合范围B∈（0，π）可得B 的值．（Ⅱ）由cosA=，可求sinA=，利用sinC=sin（A+B）可求sinC 的值，利用三角形面积公式可求ab=6，①，又由正弦定理，比例性质可求3a=2b，②联立即可得解a的值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵==．∴由正弦定理可得：，整理可得：a2+c2﹣b2=ac，∴由余弦定理可得：cosB===，∴由B∈（0，π），可得：B=．…..（6分）（Ⅱ）∵cosA=，∴可得：sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．∵△ABC的面积为==，可解得：ab=6，①又∵==，整理可得：3a=2b，②∴由①②解得：a=2．…（14分）【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，比例性质的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．17．在等差数列{an}中，a3+a4+a5=42，a8=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=+λ（λ∈R），则是否存在这样的实数λ使得{bn}为等比数列；（3）数列{cn}满足{cn}=，Tn为数列{cn}的前n项和，求T2n．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）首先，结合{an}是一个等差数列，所以a3+a4+a5=3a4=42，得到a4=14．然后，可以设数列{an}的公差为d，则4d=a8﹣a4=16，得到d=4，从而得到an=a4+（n﹣4）d=4n﹣2；（2）依据bn+12=bn•bn+2，建立等式进行求解即可；（3）利用裂项分组求和法，进行求解其和．【解答】解：（1）因为{an}是一个等差数列，所以a3+a4+a5=3a4=42，∴a4=14．设数列{an}的公差为d，则4d=a8﹣a4=16，故d=4，∴an=a4+（n﹣4）d=4n﹣2，∴数列{an}的通项公式an=4n﹣2．（2）bn=bn=+λ=9n+λ，假设存在这样的λ使得{bn}为等比数列，则bn+12=bn•bn+2，即（9n+1+λ）2=（9n+λ）•（9n+2+λ），整理可得λ=0．即存在λ=0，使得{bn}为等比数列．…（7分）（3）∵{cn}=，∴T2n=1+（2×2﹣3）+22+（2×4﹣3）+24+…+22n﹣2+（2×2n﹣3）=1+22+24+…+22n﹣2+4（1+2+…+n）﹣3n==，∴T2n=．【点评】本题重点考查了等差数列的概念和性质、数列求和、等比数列的概念和求和等知识，属于中档题．18．已知四棱锥P﹣ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=BC=PC=PD=1，∠APD=90°．（1）求证：AC⊥平面PCD；（2）求CD与平面APD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据已知条件，取AD中点E，连接CE，容易得到CE⊥AD，从而便可得到CD=AC=，AD=2，所以AC⊥CD，同样通过已知条件PA=，PC=1，AC=，从而得到AC⊥PC，从而得出AC⊥平面PCD；（2）容易说明PD⊥平面PAC，从而得到平面PAD⊥平面PAC，然后作CN⊥PA，连接DN，从而便得到∠CDN是CD和平面PAD所成的角，要求这个角的正弦值，只需求出CN：在Rt△PAC中，由面积相等即可求出CN，CD前面已求出，从而可得出．【解答】解：（1）证明：AB⊥BC，AB=BC=1；∴；AD=2，PD=1，∠APD=90°；∴AP=，又PC=1；∴AC2+PC2=AP2；∴AC⊥PC；如图，取AD中点E，连接CE；AD∥BC，∴CE⊥AD，CE=1；∴CD=，AD=2；∴AC⊥CD，CD∩PC=C；∴AC⊥平面PCD；（2）PC=PD=1，CD=；∴PD⊥PC；∠APD=90°，∴PD⊥PA，PA∩PC=P；∴PD⊥平面PAC，PD⊂平面PAD；∴平面PAC⊥平面PAD；∴过C作CN⊥PA，并交PA于N，连接DN，则：CN⊥平面PAD，∠CDN便是直线CD与平面APD所成角；在Rt△PAC中，AC=，PC=1，PA=；∴；∴，CD=；∴sin∠CDN=；∴CD与平面APD所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，等腰三角形底边上的中线也是高线，线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，面面垂直的性质定理，直线与平面所成角的概念及找法．19．设函数f（x）=x2+ax+b，（a，b∈R）．（Ⅰ）当b=+1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值g（a）的表达式；（Ⅱ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在两个不同零点，试求实数a的取值范围．（Ⅲ）若b=a+1且函数f（x）在[﹣1，1]上存在一个零点，试求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出二次函数的对称轴方程，讨论对称轴和区间[﹣1，1]的关系，运用函数的单调性即可得到最小值；（Ⅱ）求出f（x）的对称轴方程，由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有两个不等的实根，即有△＞0，f（﹣1）≥0，f（1）≥0，﹣1＜﹣＜1，解不等式即可得到所求范围；（Ⅲ）由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有一个实根，即有△=a2﹣4（a+1）=0，或f（﹣1）f（1）≤0，解不等式可得所求范围，注意检验等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）当b=+1时，f（x）=（x+）2+1，对称轴为x=﹣，当a≤﹣2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递减，则g（a）=f（1）=+a+2；当﹣2＜a≤2时，即有﹣1≤﹣＜1，则g（a）=f（﹣）=1；当a＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]上递增，则g（a）=f（﹣1）=﹣a+2．综上可得，g（a）=；（Ⅱ）函数f（x）=x2+ax+a+1，对称轴为x=﹣，由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有两个不等的实根，即有即有，解得﹣1≤a＜2﹣2；（Ⅲ）函数f（x）=x2+ax+a+1，由题意可得f（x）=0在[﹣1，1]有一个实根，即有△=a2﹣4（a+1）=0，或f（﹣1）f（1）≤0，解得a=2，或a≤﹣1，当a=2，f（x）=0，可得x=﹣（1+）（舍去），或﹣1+∈[﹣1，1]；当a=﹣1时，f（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1（舍去），综上可得a的范围是a＜﹣1或a=2﹣2．【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，同时考查二次方程和函数的零点的关系，注意分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2﹣|ax+1|，a∈R．（Ⅰ）若a=﹣2，且存在互不相同的实数x1，x2，x3，x4满足f （xi）=m（i=1，2，3，4），求实数m的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；二次函数的性质．【专题】数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求出a=﹣2的f（x）解析式，画出f（x）的图象，要使得有四个不相等的实数根满足f（x）=m，即函数y=m与y=f（x）的图象有四个不同的交点，观察图象可得；（Ⅱ）对a讨论，（1）若a=0，（2）若a＞0，（3）若a＜0，运用二次函数的图象，讨论对称轴和区间的关系，根据单调性即可求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=﹣2，则f（x）=x2﹣|﹣2x+1|=，当x时，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；当x时，f（x）min=f（1）=0，f（）=，此时，f（x）的图象如图所示．要使得有四个不相等的实数根满足f（x）=m，即函数y=m与y=f（x）的图象有四个不同的交点，因此m的取值范围为（0，）；（Ⅱ）（1）若a=0，则f（x）=x2﹣1，在[1，2]上单调递增，满足条件；（2）若a＞0，则f（x）=，只需考虑x的情况．此时f（x）的对称轴为x=，因此，只需≤1，即0＜a≤2，（3）若a＜0，则f（x）=，结合函数图象，有以下情况：当﹣≤，即﹣≤a＜0时，此时f（x）在[）内单调递增，因此在[1，2]内也单调递增，满足条件；当﹣＞﹣，即a＜﹣时，f（x）在[，﹣]和[﹣）内均单调递增，如图所示，只需﹣≥2或﹣≤1，解得：﹣2≤a＜﹣；即有a的取值范围为﹣2≤a＜0，由（1）、（2）、（3）得，实数a的取值范围为﹣2≤a≤2．【点评】本题考查分段函数的图象和应用，主要考查二次函数的图象和性质，注意对称轴和区间的关系，运用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键．。
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由.
20. 设椭圆 x 2 a2
y2 b2
1a
b
0 的右顶点为 A，下顶点为 B，过 A、 O、 B（ O为坐标原点）பைடு நூலகம்点的圆的圆
心坐标为 (
3 ,
1)．
22
（ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知点 M在 x 轴正半轴上，过点 B作 BM的垂线与椭圆交于另一点 N，若∠ BMN=60°，求点 M的坐标．
）
A. 既不充分也不要必要条件 C. 充分不必要条件
B. 充分必要条件 D. 必要不充分条件
6. 已知双曲线 y2 a2
x2 2
1 a 0 的一条渐近线方程为
y
2 x ，则双曲线的焦点坐标为（
）
A.
2,0
B.
6,0
C. 0, 2
D. 0, 6
7. 在平行四边形 ABCD中， AB 4, AD 3, DAB
）
A. ①④②③
B. ①④③②
C. ④①②③
D. ③④②①
9. 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b,c ， S 表示 ABC 的面积，若 ccosB bcosC asinA,
S
3 b 2 a 2 c 2 ，则 B
4
A. 90
B. 60
C. 45
D. 30
10. 我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践
,x 1
x
m 0 ，有 5 个不同的实数解，
则 m的取值范围是（
）
1 A. 1,
e
B. (0, )
1 C. (0, )
e
D. (0, 1] e
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分. ） 13. 直线 y kx 2 与圆 x2 y 2 4 相交于 M ， N 两点，若 MN 2 2 ，则 k ______.
（Ⅱ）记 80 分以上为优秀， 80 分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有 认为数学测验成绩与性别有关？
合格
优秀
合计
男生
16
女生
4
合计
40
95%的把握
附：
P x2 k0 k0
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
2
n(ad bc)2
( a b)(c d )( a c)(b d )
D. 12 2
11. 三棱锥 S ABC 的各顶点均在球 O 上， SC 为该球的直径， AC BC 1, ACB 120 ，三棱锥
1 S ABC 的体积为 ，则球的表面积为（ ）
2
A. 4
B. 6
C. 8
D. 16
12. 已知函数 f x
x2 1, x 1
ln x
，关于 x 的方程 2[ f ( x)] 2 (1 2m) f x
）
1i
A. 1 i
B. 1 i
C. 1 i
D. 1 i
2. 已知角 的顶点与原点重合 , 始边与 x 轴正半轴重合，若 A x,3 是角 终边上一点，且 cos 则x （ ）
10
,
10
A. 3 3
B. 3 3
C. 1
3. 已知 a A. a<b<c
1 log 2
2 3，b
log 4 5 ， c
3
2 2 ，则 a，b， c 满足 B. b<a<c
16. 在锐角
ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 a
2 ， tan A
cosA cosC
，则
bc
的 的取值范围是 __________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
sin A sin C
17. 已知等差数列 an 中， a3 3 ， a2 2 ， a4 ， a6 2 顺次成等比数列 .
21. 已知函数 f x 2ln x ax a a R .
（ 1）当 a 1 时，求曲线 y f x 在 x 1 处 切线方程；
C. c<a<b
D. c<b<a
D. -1
4. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD
（）
2 ， AA1 2 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
2 A.
3
5 B.
6
C. 3 3
5. 已知 p，q 是两个命题，那么“ p q 是真命题”是“ p 是假命题”的（
D. 6 6
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）记 bn
n
1 a2n 1 ， bn 的前 n 项和 Sn ，求 S2n . anan 1
18. 在某次测验中，某班 40 名考生的成绩满分 100 分统计如图所示 .
sin B sin C
（Ⅰ）估计这 40 名学生的测验成绩的中位数 x0 精确到 0.1 ；
仙游 2019— 2020 学年高三毕业班第三次质量检查数学（文）
试题
第Ⅰ卷（ 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。 ）
2i
1. 在复平面内与复数 z
所对应的点关于实轴对称的点为 A ，则 A 对应的复数为（
19. 【 2018 届北京市海淀区】如图，三棱柱 ABC A1B1C1侧面 ABB1A1 底面 ABC ， AC AB, AC AB AA1 2, AA1B 600 ， E, F 分别为棱 A1B1, BC 的中点 .
（Ⅰ）求证： AC AE ；
（Ⅱ）求三棱柱 ABC A1B1C1 的体积；
（Ⅲ）在直线 AA1 上是否存在一点 P ，使得 CP / / 平面 AEF ？若存在，求出 AP 的长；若不存在，说明理
，点 E, F 分别在 BC , DC 边上，且
3
BE 2EC , DF FC ，则 AE BF =（ ）
8
A.
3
B. 1
C. 2
10
D.
3
8. 现有四个函数：① y x sin x ；② y x cosx ；③ y x cosx ；④ y x 2x 的图象（部分）如下，
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（
2x y 1 0 14. 已知实数 x, y 满足 x 3 y 2 0 ，则 2x y
x 2y 2 0
最小值是 ______．
15. 已知函数 f x 对于任意实数 x 都有 f
x
f x ，且当 x 0 时， f x
x
e
sin x ，若实数 a 满足
f log2 a f 1 ，则 a 的取值范围是 ______．
基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容
异” ( “幂”是截面积，“势”是几何体的高 ) ，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，
则它们的体积相等 . 已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规 则几何体的体积为 ( )
的
A. 12
B. 8
C. 12 2