《数学分析选讲》_第一次作业计算题和证明题解答[1]

三、计算题

1．求极限 9020

70)

15()58()63(lim --++∞→x x x x .

解: 9020709020

7090

20

70583155863lim )15()58()63(lim ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--++∞→+∞→x x x x x x x x

2．求极限 211lim()2

x x x x +→∞+-. 解：211lim()2x x x x +→∞+=-21111lim 2211x x x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211lim 21x x x x →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭2(4)

21[(1)]lim 2[(1)]x x x x x

→∞--+- 2

64e e e

-==.

3． 求极限 1

111lim(1)23n n n

→∞++++

解：由于1

11111(1)23n n n n

≤++++≤

又lim 1n →∞=， 由迫敛性定理 1

111lim(1)123n n n

→∞++++=

4．考察函数),(,lim )(+∞-∞∈+-=--∞→x n n n n x f x

x x

x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 解： 当0x <时，有221()lim lim 11

x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++；同理当0x >时，有()1f x =.

而(0)0f =，所以1,0()sgn 0,01,0x f x x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩

。所以0是f 的跳跃间断点.

四、证明题

设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞

→lim ，且b a <. 证明：存在正整数N ，使得当N n >时，有n n b a <.

证 由b a <，有b b a a <+<2. 因为2

lim b a a a n n +<=∞→，由保号性定理，存在01>N ，使得当1N n >时有2b a a n +<。 又因为2

lim b a b b n n +>=∞→，所以，又存在02>N ，使得当2N n >时有2b a b n +>. 于是取},max {21N N N =，当N n >时，有n n b b a a <+<2