苏教版2019高中数学选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.1 直接证明
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.1直接证明
[对应学生用书P26]
1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.
证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，
又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.
故2a＋2b≥42成立．
问题1：本题利用什么公式？
提示：基本不等式．
问题2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
2．求证：3＋22<2＋7.
证明：要证明3＋22<2＋7，
由于3＋22>0,2＋7>0，
只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，
展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．
所以3＋22<2＋7成立．
问题1：本题证明从哪里开始？
提示：从结论开始．
问题2：证题思路是什么？
提示：寻求上一步成立的充分条件．
1．直接证明
(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．
(2)直接证明的一般形式
⎭
⎪⎬⎪
⎫本题条件已知定义
已知公理
已知定理⇒…⇒本题结论．
2．综合法和分析法
1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．
2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．
[对应学生用书P27]
[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥1
3.
[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析] ∵a 2＋19≥2a
3，
b 2＋19≥2b 3，
c 2＋19≥2c 3
，
∴⎝
⎛⎭⎫a 2＋19＋⎝⎛⎭⎫b 2＋19＋⎝⎛⎭⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c ＝23(a ＋b ＋c )＝23
.
∴a 2＋b 2＋c 2≥1
3
.
[一点通] 综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．
第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1
c >a ＋b ＋c .
证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1
c
＝bc ＋ca ＋ab . 又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．
∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1
c
>a ＋b ＋c .
2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．
解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设
直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，
因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，
又因为a π，n ⊥π，所以a·n ＝0， 故a·c ＝0，从而a ⊥c .
法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P
作PO ⊥π，垂足为O ，
则O ∈c .
∵PO ⊥π，a π， ∴直线PO ⊥a .
又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ， ∴a ⊥平面P AO .又c 平面P AO ，∴a ⊥c .
(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .
逆命题为真命题．
[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a 8b . [思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法． [精解详析] 要证明(a －b )28a 8b 成立， 只需证(a －b )24a 4b 成立， 即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )2 4b 成立． 只需证a －b 2a 只需证 a ＋