福建省泉州市高二下学期期中数学试卷 (理科)
2016-2017学年福建省泉州市高二下学期期中数学试题(理科)(解析版)20
高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设全集U=R，集合A、B满足如图所示的关系，且A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，阴影部分表示的集合为{x|﹣1≤x＜1}，则集合B可以是（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 2．（5分）i是虚数单位，复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．2+i3．（5分）演绎推理“因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误4．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除5．（5分）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定6．（5分）对于“a，b，c”是不全相等的正数，给出下列判断：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中判断正确的个数是（）A．0个B．1个 C．2个 D．3个7．（5分）如图阴影部分的面积是（）A．e+B．e+﹣1 C．e+﹣2 D．e﹣8．（5分）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（）A．B． C. D．9．（5分）用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A． B．﹣C．+D．10．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点12．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）变速直线运动的物体的速度为v（t）=1﹣t2（m/s）（其中t为时间，单位：s），则它在前1s内所走过的路程为m．14．（5分）若函数f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点，则实数m的取值是．15．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．18．（12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25≤x≤40），根据市场调查，销售量q与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；（Ⅱ）若t=5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．19．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．20．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．21．（12分）已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0．选修4-4；坐标系与参数方程22．（10分）平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）设直线l和圆C相交于A，B两点，求弦AB与其所对的劣弧围成的图形的面积．选修4-5；不等式选讲23．设f（x）=|2x﹣1|+|1﹣x|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x+4；（Ⅱ）对任意的x，不等式f（x）≥（m2﹣3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设全集U=R，集合A、B满足如图所示的关系，且A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，阴影部分表示的集合为{x|﹣1≤x＜1}，则集合B可以是（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x≤3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}【分析】求出阴影部分对应的结合，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：阴影部分为集合A∩∁U B，A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，若B={x|1＜x＜3}，则∁U B={x|x≥3或x≤1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x≤1或x=3}，不满足条件．若B={x|1＜x≤3}，则∁U B={x|x＞3或x≤1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x≤1}，不满足条件．若B={x|1≤x＜3}，则∁U B={x|x≥3或x＜1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x＜1或x=3}，不满足条件．若B={x|1≤x≤3}，则∁U B={x|x＞3或x＜1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x＜1}，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据Venn图表示集合关系是解决本题的关键．2．（5分）i是虚数单位，复数的共轭复数是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．2+i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2+i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．3．（5分）演绎推理“因为对数函数y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【分析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，当a＞1时，函数是一个增函数，当0＜a＜1时，对数函数是一个减函数，对数函数y=log a x （a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的．【解答】解：∵当a＞1时，函数y=log a x（a＞0且a≠1）是一个增函数，当0＜a＜1时，此函数是一个减函数∴y=log a x（a＞0且a≠1）是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．故选A．【点评】本题考查演绎推理的基本方法，考查对数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的．4．（5分）用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除，故选B．【点评】本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立．5．（5分）若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定【分析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明．【解答】解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a+7+2＜2a+7+2，只要证：a2+7a＜a2+7a+12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．故选C【点评】分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．6．（5分）对于“a，b，c”是不全相等的正数，给出下列判断：①（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≠0；②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中判断正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】“a，b，c”是不全相等的正数是对“a，b，c”是全相等的正数的否定，从而对三个命题依次判断即可．【解答】解：∵“a，b，c”是不全相等的正数，∴①（a﹣b）2，（b﹣c）2，（c﹣a）2三个数中至少有两个是正值，故（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，故正确；②当a，b，c全不相等，如a=1，b=2，c=3时，故错误；③由a=1，b=2，c=3知，a≠c，b≠c，a≠b可以同时成立，故错误；故仅有①正确；故选B．【点评】本题考查了数学中的否定，注意数学中的否定与俗语中的不同，属于中档题．7．（5分）如图阴影部分的面积是（）A．e+B．e+﹣1 C．e+﹣2 D．e﹣【分析】利用定积分可得阴影部分的面积．【解答】解：利用定积分可得阴影部分的面积S==（e x+e﹣x）=e+﹣2．故选：C．【点评】本题考查利用定积分求阴影部分的面积，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．8．（5分）函数y=﹣2sinx 的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．【解答】解：当x=0时，y=0﹣2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选C【点评】本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．9．（5分）用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）A．B．﹣C．+D．【分析】求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为++…+，当n=k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：+﹣=﹣．故选B．【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．10．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM=，所以AO=AM﹣OM=，所以=3故答案为：3【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f （﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．【点评】本题考查函数的极值，考查函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由“当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较30.3，，的大小即可．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立即：（xf（x））′＜0，∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数．又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数∴xf（x）是定义在R上的偶函数∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞＞0＞=﹣2，2=﹣＞30.3＞1＞＞0．∴（﹣）•f（﹣）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即（）•f（）＞30.3•f（30.3）＞（）•f（）即：c＞a＞b故选C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性以及函数的单调性，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）变速直线运动的物体的速度为v（t）=1﹣t2（m/s）（其中t为时间，单位：s），则它在前1s内所走过的路程为m．【分析】根据题意，由定积分的物理意义，该物体在前1s内所走过的路程为v （t）dt，由定积分计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，由物体的速度为v（t）=1﹣t2m/s，由定积分的物理意义，该物体在前1s内所走过的路程为v（t）dt，则v（t）dt=（1﹣t2）dt=（t﹣）|01=，故答案为：．【点评】本题考查定积分的物理意义以及定积分的计算，关键是理解积分与导数的关系．14．（5分）若函数f（x）=mx2﹣2x+3只有一个零点，则实数m的取值是0或．【分析】由题意得m=0，或，由此解得m的值．【解答】解：由题意得m=0，或，解得m=0或m=．答案：0或．【点评】本题主要考查二次函数的性质，函数的零点的定义，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是．【分析】先求函数的导数，因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，所以在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范围即可．【解答】解：f（x）=﹣x3+ax2﹣x﹣1的导数为f′（x）=﹣3x2+2ax﹣1，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调函数，∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≤0恒成立，即﹣3x2+2ax﹣1≤0恒成立，∴△=4a2﹣12≤0，解得﹣≤a≤∴实数a的取值范围是故答案为【点评】本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．16．（5分）图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是4个③和1个⑤．（提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案）【分析】利用图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，即可得出结论．【解答】解：根据图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体，可得4个③和1个⑤可组成魔方．故答案为：4个③和1个⑤【点评】本题考查简单空间图形的三视图，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请在答题卡各自题目的答题区域内作答．17．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．【分析】（1）直接由已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得线段AB的中点M的坐标，代入圆的方程求得m的值．【解答】解：（1）由题意椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），得a2=b2+c2．c=2，可得a=2，解得b=2，∴椭圆C的方程为：．（2）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，消去y得，3x2+4mx+2m2﹣8=0，△16m2﹣12（2m2﹣8）=96﹣8m2＞0，∴﹣2＜m＜2，∵x0=（x1+x2）=﹣m，∴y0=x0+m=m，∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，∴m2+m2=1，∴m=±．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．18．（12分）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25≤x≤40），根据市场调查，销售量q与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；（Ⅱ）若t=5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．【分析】（I）由条件“日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．（II）先对函数进行求导，求出极值点，讨论极值是否在25≤x≤40范围内，利用单调性求出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）设日销量，∴k=100e30，∴日销量∴．（Ⅱ）当t=5时，由y'≥0得x≤26，由y'≤0得x≥26∴y在[25，26]上单调递增，在[26，40]上单调递减．∴当x=26时，y max=100e4．当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．【点评】解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．19．（12分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+s inαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．【点评】本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．20．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．【解答】解：（I）当k=2时，由于所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0（II）f'（x）=﹣1+kx（x＞﹣1）当k=0时，因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0；所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）；当0＜k＜1时，，得；因此，在区间（﹣1，0）和上，f'（x）＞0；在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和，单调递减区间为（0，）；当k=1时，．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）当k＞1时，由，得；因此，在区间和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0；即函数f（x）的单调递增区间为和（0，+∞），单调递减区间为．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论的数学思想，属于基础题．21．（12分）已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx）（a∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为存在取值区间，求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证对恒成立，首先令g（x）=e2x+1﹣（2x+2），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+sinx+cosx），…（1分）若函数f（x）存在单调减区间，则f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+sinx+cosx）≤0…（2分）即﹣a+sinx+cosx≥0存在取值区间，即存在取值区间…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）当a=0时，f（x）=e1﹣x cosx，f'（x）=﹣e1﹣x（sinx+cosx），…（6分）由有，从而cos（x+1）＞0，要证原不等式成立，只要证对恒成立，…（7分）首先令g（x）=e2x+1﹣（2x+2），由g'（x）=2e2x+1﹣2，可知，当时g（x）单调递增，当时g（x）单调递减，所以，有e2x+1≥2x+2…（9分）构造函数，，因为=，可见，在x∈[﹣1，0]时，h'（x）≤0，即h（x）在[﹣1，0]上是减函数，在时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，所以，在上，h（x）min=h（0）=0，所以g（x）≥0．所以，，等号成立当且仅当x=0时，…（11分）综上：，由于取等条件不同，故，所以原不等式成立．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，是一道综合题．选修4-4；坐标系与参数方程22．（10分）平面直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）设直线l和圆C相交于A，B两点，求弦AB与其所对的劣弧围成的图形的面积．【分析】（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得直线l 的普通方程．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得极坐标方程．圆C 的参数方程为（θ为参数），利用cos 2θ+sin 2θ=1可得直角坐标方程，进而得到圆C 的极坐标方程．（2）联立，解得：A ，B ．再利用扇形与三角形的面积计算公式得出．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为（t 为参数），消去参数t 直线l 的普通方程为﹣2=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0． 化简得直线l 的方程为=1．圆C 的参数方程为（θ为参数），可得直角坐标方程：x 2+y 2=4，可得圆C 的极坐标方程为ρ=2．（2）由，解之得：A （2，0），B （2，）． ∴∠AOB=，∴S 扇形AOB ===． ∴S △AOB =|OA ||OB |sinα=．∴S=S 扇形AOB ﹣S △AOB =﹣．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、曲线的交点、扇形与三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5；不等式选讲23．设f（x）=|2x﹣1|+|1﹣x|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤3x+4；（Ⅱ）对任意的x，不等式f（x）≥（m2﹣3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；（Ⅱ）分x=0与x≠0两种情况研究：当x=0时，显然成立；当x≠0时，两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）当x≤时，原不等式可化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）≤3x+4，解得x≥﹣，故此时﹣≤x≤；当＜x≤1时，原不等式可化为2x﹣1﹣（x﹣1）≤3x+4，解得x≥﹣2，故此时＜x≤1；当x＞1时，原不等式可化为2x﹣1+x﹣1≤3x+4，即﹣2≤4，显然成立，故此时x＞1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≥﹣}．（Ⅱ）当x=0时，原不等式为2≥0，显然恒成立；当x≠0时，原不等式两边同除以|x|，则不等式可化为：|2﹣|+|﹣1|≥m2﹣3m+3恒成立．因为|2﹣|+|﹣1|≥|（2﹣）+（﹣1）|=1．所以要使原式恒成立，只需m2﹣3m+3≤1即可，即m2﹣3m+2≤0．解得1≤m≤2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题的解题思路，一般的不等式恒成立问题要转化为函数的最值问题来解．本题还考查了分类讨论思想的应用．。
2022-2023学年福建省泉州市高二下学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省泉州市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 的公比为12，且5342a a a =，则6a =（）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】利用等比数列下标和性质可得4a ，由等比数列通项公式可求得结果.【详解】253442a a a a == ，42a ∴=，2641112242a a ⎛⎫∴=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故选：C.2．函数()f x 的图象如图所示，设()f x 的导函数为()f x '，则()()0f x f x '⋅>的解集为（）A ．()1,6B ．()1,4C ．()(),16,-∞+∞D ．()()1,46,∞⋃+【答案】D【分析】根据导函数与原函数之间的关系，结合图象即可求解.【详解】由图象可得当4x <时，()0f x ¢>，当4x >时，()0f x '<.结合图象可得：当14x <<时，()()0,0f x f x '>>，即()()0f x f x '⋅>；当6x >时，()()0,0f x f x '<<，即()()0f x f x '⋅>；所以()()0f x f x '⋅>的解集为()()1,46,∞⋃+.故选：D3．今天是星期四，经过20236天后是星期（）A ．二B ．三C ．四D ．五【答案】B【分析】利用二项展开式求一个数除以7的余数，从而求得结果．【详解】因为()()()()()202301220232023020231202222021202302023202320232023671C 71C 71C 71C 71=-=-+-+-++- 因为前展开式中的前2023项都包含有7的倍数，所以20236最后除以7的余数取决于最后一项即1-除以7的余数，为6，所以应该是星期三，故选：B.4．现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，每个岗位安排一个人，每个人只安排在一个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）A ．56种B ．64种C ．72种D ．96种【答案】D【分析】根据A 是否入选进行分类求解即可.【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=⨯⨯=种，共有32472⨯=种方法；若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=⨯⨯⨯=种方法，所以共有722496+=种．故选：D5．椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，以1F 为圆心，1F O 为半径的圆与E交于点P ，且12PF PF ⊥，则E 的离心率为（）A ．512-B ．31-C ．312-D ．51-【答案】B【详解】因为点P 在圆上，所以1PF c =，由勾股定理可得23PF c =，又因为点P 在椭圆上到两焦点距离之和等于2a ，可得22PF a c =-，所以32c a c =-，求解即可得出答案.【分析】因为以1F 为圆心，1F O 为半径的圆与E 交于点P ，所以1PF c =，122F F c =，因为12PF PF ⊥，所以23PF c =，又由定义可得22PF a c =-，所以32c a c =-，所以23131ce a ===-+故选：B ．6．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用X ，Y 分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的数学期望E ξ为（）A ．12881B ．13581C ．14081D ．14881【答案】D【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，ξ的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出ξ的分布列即可求得ξ的期望值.【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为13，去打乒乓球的概率为23，设“这4个人中恰有i 人去打篮球”为事件()0,1,2,3,4i A i =，则4412()33iii i P A C -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=﹐ξ的所有可能取值为0，2，4.由于1A 与3A 互斥﹐0A 与4A 互斥，故28(0)()27P P A ξ===﹐1340(2)()()81P P A P A ξ==+=，0417(4)()().81P P A P A ξ==+=所以ξ的分布列为ξ224P82740811781随机变量ξ的数学期望8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题.7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E 是线段1B C （含端点）上的一动点，则：①1OE BD ⊥；②当E 为线段1B C 的中点时，OE 取最小值；③三棱锥1A BDE -体积的最大值是最小值的2倍；④OE 与1C D 所成角的范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.上述命题中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用线面垂直的性质判断①；判断1B OC △的形状判断②；利用线面平行结合等体积法判断③；作出OE 与1C D 所成的角，求出范围作答.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E 是线段1B C 上的动点，命题①，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ⊥，正方形ABCD 中，AC BD ⊥，1,BD DD ⊂平面1BDD ，1BD DD D = ，因此AC ⊥平面1BDD ，而1BD ⊂平面1BDD ，则1BD AC ⊥，同理11BD AB ⊥，又1AB AC A = ，1,AB AC ⊂平面1AB C ，有1BD ⊥平面1AB C ，OE ⊂平面1AB C ，则1OE BD ⊥，①正确；命题②，在正三角形1AB C V 中，O 是AC 中点，连1B O ，如图，1B O AC ⊥，16222B O CO =>=，E 为1B C 中点，在1Rt B OC 中，OE 与1B C 不垂直，OE 不是最小值，②错误；命题③，正方体1111ABCD A B C D -对角面11A B CD 是矩形，即11//B C A D ，又1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，则1//B C 平面1A BD ，点E 到平面1A BD 的距离为定值，1A BD 面积为定值，而11A BDE E A BD V V --=，则三棱锥1A BDE -体积为定值，③错误；命题④，连接1BC 与1B C 相交于点F ，连接OF ，则F 为1BC 与1B C 中点，而O 为DB 中点，则1//OF DC ，因此OE 与1DC 所成的角等于EOF ∠，在1AB C V 中，1//OF AB ，13FOC B AC π∠=∠=，而1B O AC ⊥，则16B OF π∠=，于是当E 在C 点时，EOF ∠有最大值3π，当E 与F 重合时，EOF ∠有最小值0，所以OE 与1C D 所成角的取值范围为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，④正确，综上所述，正确命题的个数为2.故选：B【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，借助等体积法求解问题．8．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ0p 1P1p-2p 2p 则当p 在区间(0,1)内增大时，（）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小【答案】D【分析】先求出()(),E D ξξ，令()()322,0,1f p p p p p =--+∈，求导确定单调性即可.【详解】2()12222p p p pE p ξ=⨯+⨯=+，()222222()01122222222p p p p p p p pD p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--⋅+--⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42421111(2)4424p p p p p p =--+=--+，令()()422,0,1f p p p p p =--+∈，则()3422f p p p '=--+，易得()f p '单调递减，又()()02,14f f ''==-，故存在()00,1p ∈，使得()00f p '=，则()f p 在()00,p 单增，在()0,1p 单减，即()D ξ先增大后减小.故选：D.二、多选题9．已知ln 44a =，1eb =，ln 33c =（其中e 为自然对数的底数），则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b >B ．b c>C ．c a >D ．c a<【答案】BC【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小作答.【详解】令函数()ln xf x x =，0x >，求导得()21ln 0x f x x-'==，当e x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(e,)+∞上递减，而e 34<<，于是()()()4e 3f f f >>，即1ln 3ln 4e 34>>，所以b c a >>，选项AD 错误，BC 正确.故选：BC10．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+（）A ．数列{}n a 是等差数列B ．11a =C ．数列{}n n S a +不是等差数列D ．20400S =【答案】ABD【分析】根据给定的递推公式，结合12,n n n n a S S -≥=-求出数列{}n a 的通项公式，再逐项判断作答.【详解】数列{}n a 中，N ,0n n a *∀∈>，()241n n S a =+，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，则2211421(21)n n n n n a a a a a --=++-++，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因此12n n a a --=，而()21141a a =+，解得11a =，即数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，A ，B 都正确；12(1)21n a a n n =+-=-，21()2n n n a a S n +==，31n n S a n +=-，于是11)()3(1)1(31)3(n n n n n n S a S a ++-=+--+-=+，数列{}n n S a +是等差数列，C 错误；22020400S ==，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用11n n n S S a ++-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .11．下列说法正确的是（）A ．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数.B ．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法.C ．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法.D ．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法.【答案】BD【分析】根据分步乘法计数原理求出三位数的个数判断A ，根据隔板法和分步乘法计数原理求出分配方法数，判断B ，利用间接法求出满足要求的方法数判断C ，利用分步乘法计数原理求出满足条件的方法数，判断D.【详解】对于A ，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有245100⨯=个不同的三位数，A 错误；对于B ，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有2615C =种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B 正确；对于C ，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为42种，所以借回至少1本的方法数为42115-=种，C 错误；对于D ，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共339⨯=种方法，D 正确；故选：BD.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ，则下列说法正确的是（）A ．259P =B ．12133n n P P +=+C ．点Q 移动4次后恰好位于点1C 的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为10111()232+【答案】ACD【分析】根据题意找出点Q 在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及到另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项正误.【详解】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q 在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，所以222115+=33339P =⨯⨯，故A 正确，12111(1)=3333n n n n P P P P +=+-+，故B 错误，点Q 由点A 移动到点1C 处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点1C ，故C 正确，由于1111111()33232n n n n P P P P ++=+⇒-=-且11211326P P =⇒-=，所以1111111()=()263232n n n n P P --=⨯⇒+，所以1010111=()232P +，故D 正确.故选：ACD.【点睛】有一些复杂的概率模型可通过找寻1n P +与n P 之间的递推关系，从而求出n P .三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，21a =，且21n n n a a a ++=-，则2023S =．【答案】3【分析】根据递推公式求出数列的前几项，从而可得出数列{}n a 的一个周期性，再根据数列的周期性即可得出答案.【详解】由题意3212a a a =-=-，4213a =--=-，()5321a =---=-，()6132a =---=，()7213a =--=，8321a =-=，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6，所以()202312345613373S a a a a a a a =++++++=．故答案为：3.14．3212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中常数项是．（写出数字）【答案】11【分析】利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.【详解】3212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中当2x ，1x -，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，所以常数项为212331C 23811x x ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：11．15．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设A =“试验结果为阳性”，B =“试验者患有此癌症”，据临床统计显示()0.99P A B =，()0.98P A B =．已知某地人群中患有此种癌症的概率为0.001，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为．【答案】11233【分析】根据已知得出()P A B ，()P B 与()P B ，再由条件概率公式与全概率公式计算得出结果.【详解】由题意可得：()()10.02P A B P A B =-=，()0.001P B =，()0.999P B =，()()()()()()()()()()()()()P A B P B P A B P B P AB P B A P A P AB P AB P A B P B P A B P B ∴===++，0.990.00199110.990.0010.020.9992097233⨯===⨯+⨯，故答案为：11233.16．已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若E 上存在点P ，满足1212OP F F =，（O 为坐标原点），且12PF F △的内切圆的半径等于a ，则E 的离心率为．【答案】13+/31+【分析】由1212OP F F =可得12PF PF ⊥，222124PF PF c +=，再结合双曲线的定义可得2122PF PF b ⋅=，化简得22122PF PF b c +=+，因为12PF F △的内切圆的半径为a ，所以()12121212PF F S PF PF F F a =++⋅ ，即()222222b b c c a =++，化简运算即可得E 的离心率.【详解】因为1212OP F F =，所以12PF PF ⊥，222124PF PF c +=，又因为P 在双曲线上，所以12||2PF PF a -=，联立可得2122PF PF b ⋅=，()2221244PFPF c b +=+，所以22122PF PF b c +=+，因为12PF F △的内切圆的半径为a ，所以()12121212PF F S PF PF F F a =++⋅ ，即()121212PF PF PF PF F F a ⋅=++⋅，即()222222b b c c a =++，所以222b ac a b c -=+，两边平方得222b ac a -=，即22220c ac a --=，两边同时除以2a ，得2220e e --=，13e =±，因为1e >，所以13e =+．故答案为：13+.【点睛】思路点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、122PF PF a -=，得到a ，c 的关系．四、解答题17．已知在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且35a ＝，749S ＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2,n an n b a +＝数列{}n b 的前n 项和为,n T 求,n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）2122233n n T n +=+-.【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前n 项和公式将3a 和7S 用1a 和d 表达出来，解出1a 和d 即可求{}n a 通项公式；（2）求出n b 通项公式，利用分组求和，分别计算等差数列和等比数列的和，再求和即可求得n T .【详解】（1）由题意知：71767492S a d ⨯+=＝，3125a a d =+=，解得：11a =，2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-（2）由（1）知21221n n b n -+-＝，132********n n T n -=++++++- 1321222(1321)n n -=+++++++- ()214(121)142n n n -+-=+-2121222(121)2214233n n n n n ++-+-=+=+--.18．已知412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列.（1）求n ；（2）求展开式中系数最大的项.【答案】（1）8n =；（2）系数最大的项为5724347,7T x T x ==.【分析】（1）由题意利用等差数列的定义、二项展开式的通项公式，求得n 的值．（2）二项展开式的通项公式求得展开式中系数最大的项．【详解】解：（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，()1,128n n n -∴()121128n n n ⋅=+-解得8n =(1n =舍去).（2）设第1r +项的系数为1r a +最大，则182r r r a C -+=，则()1122191,128r r r r r a a r a r a r ++++-=≥=≥-.解得23r ≤≤.当2r =时223827a C -==，当3r =时，334827a C -==，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为5724347,7T x T x ==.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，2,3,10AD AB PA PD ====，平面PAD ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，E 是PB 上一点，且//AE 平面POC .(1)求PE PB的值；(2)求直线CE 与平面POC 所成角的正弦值.【答案】(1)12(2)3015【分析】（1）设平面AOE 与直线PC 相交于点F ，根据线面平行的判定定理和性质，证得四边形AEFO 为平行四边形，进而得到PE PB的值；（2）利用面面垂直的性质，证得PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面POC 的一个法向量(3,1,0)m = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：设平面AOE 与直线PC 相交于点F ，连接,EF OF ，因为//AE 平面POC ，AE ⊂平面AEFO ，平面AEFO ⋂平面POC FO =，所以//AE FO ，又因为//AO BC ，BC ⊂平面PBC ，AO ⊄平面PBC ，所以//AO 平面PBC ，又由平面AEFO ⋂平面PBC EF =，所以////AO EF BC ，所以四边形AEFO 为平行四边形，所以12EF AO BC ==，所以,E F 分别为,PB PC 的中点，所以12PE PB =.（2）解：由四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且10PA PD ==，因为O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，因为四棱锥P ABCD -的底面为矩形，且2,3AD AB ==且10PA PD ==，则133(0,0,0),(1,3,0),(0,0,3),(,,)222O C P E -，可得(1,3,0OC =- )，(0,0,3OP = )，333,,222CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面POC 的法向量为(,,)m x y z = ，则3030m OC x y m OP z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，可得3,0x z ==，所以(3,1,0)m = ，设直线CE 与平面POC 所成的角为θ，则330sin 1533102m CE m CE θ⋅===⨯.20．甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X ．(1)求X 的分布列；(2)求甲、乙两人最终平局的概率；(3)记甲、乙一共进行了Y 轮比赛，求Y 的分布列及期望．【答案】(1)分布列见解析(2)0.2569(3)分布列见解析，期望为3.61【分析】（1）X 的所有可能取值为－1，0，1，求出相应的概率列出分布列即可；（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分；②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分；③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分；再分别求出每一种情况的概率相加即可；（3）Y 的所有可能取值为2，3，4，求出对应的概率列出分布列即可.【详解】（1）依题意，X 的所有可能取值为－1，0，1．()()110.50.60.3P X =-=-⨯=，()()()00.50.610.510.40.5P X ==⨯+--=，()()10.510.60.2P X ==⨯-=，所以X 的分布列为X－101P 0.30.50.2（2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为40.50.0625=．②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分，其概率为2420.50.50.20.30.18C ⨯=⨯⨯⨯．③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分，其概率为40.20.30.20.30.0144⨯⨯⨯⨯=．故甲、乙两人最终平局的概率为0.06250.180.01440.2569++=．（3）Y 的所有可能取值为2，3，4．()20.30.30.20.20.13P Y ==⨯+⨯=，()320.30.30.520.20.20.50.13P Y ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，()()()41230.74P Y P Y P Y ==-=-==，所以Y 的分布列为Y234P 0.130.130.74()20.1330.1340.74 3.61E Y =⨯+⨯+⨯=．21．已知抛物线2:2(0),C y px p F =>为其焦点，点()02,M y 在C 上，且4OFM S = （O 为坐标原点）.(1)求抛物线C 的方程；(2)若,A B 是C 上异于点O 的两个动点，当AOB 90∠= 时，过点O 作ON AB ⊥于，问平面内是否存在一个定点Q ，使得NQ 为定值？若存在，请求出定点Q 及该定值：若不存在，请说明理由.【答案】(1)28y x=(2)存在，定值4，定点()4,0【分析】（1）由点在抛物线上及三角形面积列方程求出参数p ，即可得方程；（2）法一：设()()112212,,,,0A x y B x y x x ≠，10y >，利用AOB 90∠= 求得1264y y =-，讨论AB 与x 轴是否垂直，求直线AB 所过的定点；法二：设直线AB 的方程为()()1122,,,,x my n A x y B x y =+，联立抛物线及韦达定理、AOB 90∠= 得1264y y =-；最后结合ON AB ⊥确定N 的轨迹，即可确定定点和定值；【详解】（1）因为点()02,M y 在C 上，则204y p =，而01422OFM p S y =⋅⋅= ，所以016y p =，22564p p∴=，所以4p =，故该抛物线的方程为28y x =.（2）法一：设()()112212,,,,0A x y B x y x x ≠，不妨设10y >，90BOA ∠=，则2212121212088y y x x y y y y +=⋅+=，解得1264y y =-，①当AB 与x 轴不垂直时，12120,y y x x +≠≠，此时直线AB 的方程为：()121112y y y x x y x x -=-+-，整理得1212128y y y x y y y y =+++1264y y =- ，则AB 的方程为：()1288y x y y =-+，则直线AB 恒过定点()8,0M 由ON AB ⊥，即⊥ON NM ，故N 在以OM 为直径的圆上，该圆方程为22(4)16x y -+=，即当Q 为该圆心()4,0时，4NQ =为定值；②当AB x ⊥轴时，128y y =-=，此时128x x ==，而ON AB ⊥，故()8,0N ；当()4,0Q 时，也满足4NQ =，综上，平面内存在一个定点()4,0Q ，使得QN 为定值4法二：设直线AB 的方程为()()1122,,,,x my n A x y B x y =+联立22,8808,x my n y my n y x =+⎧⇒--=⎨=⎩，且264320m n +∆=>，由韦达定理得：12128,8y y m y y n +=⋅=-，由90BO A ∠= ，即2212121212064y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+= ，解得1264y y =-，即128648y y n n ⋅=-=-⇒=，直线AB 恒过定点()8,0M ，由ON AB ⊥，即⊥ON NM ，故N 在以OM 为直径的圆上，该圆方程为22(4)16x y -+=，即定点Q 为该圆心()4,0时，4NQ =为定值；【点睛】关键点点睛：第二问，根据90BO A ∠= 求,A B 纵坐标乘积，并确定直线AB 过的定点坐标，最后利用ON AB ⊥判断N 的轨迹，即可得结论.22．已知函数()3222f x x ax =-+，其中0a >.(1)求()f x 的单调区间；(2)当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为(),0∞-、,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)8,227⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分02a <≤、23a <<两种情况讨论，结合（1）中的结论求出M 、m 的表达式，结合导数法与函数的单调性可求得M m -的取值范围.【详解】（1）解：函数()3222f x x ax =-+的定义域为R ，()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，当0a >时，由()0f x '<可得03a x <<，由()0f x ¢>可得0x <或3a x >，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),0∞-、,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）解：因为0<<3a ，则013a <<，则函数()f x 在区间0,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,13a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，当[]0,1x ∈时，32327a a m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为()02f =，()14f a =-，则()()012f f a -=-，所以，()(){}4,02max 0,12,23a a M f f a -<≤⎧==⎨<<⎩，令()g a M m =-.①若02a <≤，则()334222727a a g a a a ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，()2109a g a '=-<，故函数()g a 在(]0,2上单调递减，此时382,22727a M m a ⎡⎫-=-+∈⎪⎢⎣⎭；②若23a <<，则()33822,1272727a a g a ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，M m -的取值范围是8,227⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、()f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.。
福建省泉州市高二下学期期中数学试卷(理科)
福建省泉州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）满足条件|z﹣i|+|z+i|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是（）A . 一条直线B . 两条直线C . 圆D . 椭圆2. （2分） (2016高二下·珠海期末) 由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12345，第2项是12354…，直到末项（第120项）是54321，则第92项是（）A . 43251B . 43512C . 45312D . 451323. （2分）若展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A . ５B . ６C . ７D . ８4. （2分） (2016高二下·永川期中) 用反证法证明命题：“若（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＜0，则a，b，c中至少有一个小于1”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c中至多有一个大于1B . 假设a，b，c中至多有两个小于1C . 假设a，b，c都大于1D . 假设a，b，c都不小于15. （2分） (2018高二下·河南月考) 用数学归纳法证明“ ”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 设函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则函数f（x）（）A . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内无零点B . 在区间（0，1）内有零点，在区间（1，+∞）内有零点C . 在区间（0，3），（3，+∞）均无零点D . 在区间（0，3），（3，+∞）均有零点7. （2分） (2018高二下·长春月考) 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误8. （2分） (2017高二下·安徽期中) 已知；，则f（n+1）﹣f（n）=（）A .B .C .D .9. （2分）若S1＝， S2＝， S3＝，则S1 ， S2 ， S3的大小关系为（）A . S1＜S2＜S3B . S2＜S1＜S3C . S1＜S3＜S2D . S3＜S1＜S210. （2分） (2016高二下·高密期末) 袋子中放有大小、性质完全相同的4个白球和5个黑球，如果不放回地依次摸出2个球，则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P是对角线AC与BD的交点，若P为四棱锥的顶点，棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个12. （2分） (2016高二下·武汉期中) 甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止，计每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则P（ξ=k）等于（）A . 0.6k﹣1×0.4B . 0.24k﹣1×0.76C . 0.4k﹣1×0.6D . 0.6k﹣1×0.24二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2017高三上·济宁期末) 根据下面一组等式：S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175…可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1=________．14. （1分）(2017·榆林模拟) 已知（1+x）（1﹣2x）6=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a7（x﹣1）7 ，则a3=________．15. （2分）(2018高二下·黄陵期末) 若随机变量X服从二项分布,且 ,则=________ , =________.16. （1分）已知复数z=，则z的共轭复数的模为________三、解答题： (共6题；共55分)17. （5分） (2018高二下·巨鹿期末) 已知复数 , ,且为纯虚数,求复数 .18. （5分） (2015高二下·霍邱期中) 近年来，福建省大力推进海峡西岸经济区建设，福州作为省会城市，在发展过程中，交通状况一直倍受有关部门的关注，据有关统计数据显示上午6点到10点，车辆通过福州市区二环路某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y=．求上午6点到10点，通过该路段用时最多的时刻．19. （10分）设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？20. （15分） (2017高二下·桃江期末) 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；（2）（理）求ξ的分布列和数学期望（文）求P（ξ=1）的值（3）（理）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．21. （10分） (2017高二下·桂林期末) 设数列{an}满足：a1=2，an+1=an2﹣nan+1．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想an的一个通项公式，并用数学归纳法证明．22. （10分） (2017高二下·烟台期中) 已知函数fn（x）= ，数列{an}满足an+1=f'n（an），a1=3．（1）是否存在n，使得fn（x）在x=1处取得极值，若存在，求n的值，若不存在，说明理由；（2）求a2，a3，a4的值，请猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共55分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
福建省泉州现代中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)
福建省泉州现代中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．某班班会准备从含甲，乙的人发言，要求甲、乙人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种）．720B．8．设112213C 3C 3C 3n n n n n n n a ---=+++⋅⋅⋅+，则当2023n =时，a 除以15所得余数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8二、多选题三、填空题16．已知1x x =和2x x =分别是函数f 值点．若12x x <，则a 的取值范围是四、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知(1)求证：平面ACE⊥平面PBC；--的余弦值为(2)若二面角P AC E21．在平面直角坐标系中，已知点2．参考答案：【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键13．10【分析】根据给定条件，利用复数除法、复数模的计算公式求解作答42i(42i)(1i)26i++++∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||2EC a FC a =+=+∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即229m n +所以2eln e a <，解得1e a <<综上所述，a 的取值范围为⎛ ⎝[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e xf x a a x '=⋅-=0的两个根为因为12,x x 分别是函数()2f x =21．(1)221 42x y+=(2)445,17055ABMN⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆弦长公式、对勾函数的单调性进行求解即可.。
福建省泉州市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
福建省泉州市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·宁德期中) 命题：“ ，使”，这个命题的否定是A . ，使B . ，使C . ，使D . ，使2. （2分） (2019高二上·安徽月考) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二下·卢龙期末) 已知变量x，y的值如表所示；如果y与x线性相关且回归直线方程为，则实数 =（）x234y546A .B . ﹣C .D . ﹣4. （2分）(2017·佛山模拟) 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）如图，网格纸上正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=4，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆M与圆N的位置关系是（）A . 内切B . 相交C . 外切D . 外离7. （2分）若的展开式中存在常数项，则n可以为（）A . 8B . 9C . 10D . 118. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 我国古代名著《九章算术》用“辗转相除法”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，其程序框图如图，当输入，时，输出的（）A . 17B . 57C . 27D . 199. （2分） (2015高二上·太和期末) 若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1 ，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是（）A .B .C .D .10. （2分）已知点．若曲线上存在两点，使△ 为正三角形，则称为型曲线．给定下列三条曲线：① ；② ；③ ．其中，型曲线的个数是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 把三盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（）A . 2680种B . 4320种C . 4920种D . 5140种12. （2分） (2017高二下·襄阳期中) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=2，AA1=6．若E，F分别是棱BB1 ， CC1上的点，且BE=B1E，C1F= CC1 ，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2015高三上·邢台期末) 已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，当△ABC的面积是时，则抛物线的方程为________ ．14. （2分） (2016高二上·余姚期末) 设双曲线C：﹣x2=1，则其两焦点的坐标为________；若双曲线C1经过点（，﹣2），且与双曲线C具有相同的渐近线，则双曲线C1的方程为________．15. （1分）(2017·湖南模拟) 若a和b是计算机在区间（0，3）上产生的随机数，那么函数f（x）=lg（ax2+4x+4b）的值域为R的概率为________．16. （1分）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②平面PAD∥BC；③平面PCD∥AB；④平面PAD∥平面PAB．其中正确的有________．（填序号）三、解答题： (共6题；共40分)17. （5分） (2016高二上·天心期中) 已知a＞0，设命题p：函数f（x）=x2﹣2ax+1﹣2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；命题q：g（x）=|x﹣a|﹣ax有最小值．若（￢p）∧q是真命题，求实数a的取值范围．18. （5分） (2016高二上·台州期中) 已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线，被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+6）（﹣5≤t≤﹣2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．19. （10分）(2017·诸城模拟) 如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ= AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．20. （5分） (2017高二下·邢台期末) 中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康，某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取6名同学进步调查，将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．（Ⅰ）请根据样本数据，分别估计甲，乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；（Ⅱ）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率；（Ⅲ）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度熬夜”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望E（X）．21. （10分） (2018高三上·广东月考) 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．22. （5分）点M（x，y）到直线l：x= 的距离和它到定点F（4，0）的距离的比是常数，求点M的轨迹方程．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共40分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
福建省泉州市高二数学下学期期中试卷 理(含解析)
福建省泉州市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷理（含解析）一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．183．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．4．收集一只棉铃虫的产卵数y与温度X的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y与X之间的回归方程，算出对应相关指数R2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）=19.8x﹣463.7 =e0.27x﹣3.84=0.367x2﹣202 =A． =19.8x﹣463.7 B． =e0.27x﹣3.84C． =0.367x2﹣202 D． =5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.16．n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．97．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24012．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954二、填空题复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是（用数字作答）．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好取自由曲线与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）= ．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．19．（12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．20．（12分）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）若a=2，求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）求f （x ）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f （x ）在区间（1，e ）上恰有两个零点，求a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．2．在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通过给x 赋值1得各项系数和，据二项式系数和公式求出B，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：在二项式的展开式中，令x=1得各项系数之和为4n∴A=4n据二项展开式的二项式系数和为2n∴B=2n∴4n+2n=72解得n=3∴=的展开式的通项为=令得r=1故展开式的常数项为T2=3C31=9故选项为B【点评】本题考查求展开式各项系数和的方法是赋值法；考查二项式系数的性质；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．3．我们知道：“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1，2，3，4，5，6}中说一个数，甲说的数记为a，乙说的数记为b，若|a﹣b|≤1，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有36种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果．【解答】解：（I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率列举出所有基本事件为：（1，1），（2，2），（2，3），（4，4），（5，5），（6，6）（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（1，6），（6，1）（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（1，4），（4，1），（2，5），（5，2），（3，6），（6，3），（1，5），（5，1），（2，6），（6，2），（1，6），（6，1），共计36个．记“两人想的数字相同或相差1”为事件B，事件B包含的基本事件为：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6） （1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）， （4，5），（5，4），（5，6），（6，5），共计16个． ∴P==，∴“甲乙心有灵犀”的概率为．故选D ．【点评】本题考查古典概型及其概率公式．考查利用分类计数原理表示事件数，考查理解能力和运算能力，注意列举出的事件数做到不重不漏．4．收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度X 的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y 与X 之间的回归方程，算出对应相关指数R 2如下表： 则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（ ）=19.8x ﹣=e0.27x ﹣=0.367x 2﹣=A ． =19.8x ﹣463.7B ． =e 0.27x ﹣3.84C ．=0.367x 2﹣202 D ．=【考点】BK ：线性回归方程．【分析】两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．【解答】解：两个变量y 与x 的回归模型中，它们的相关指数R 2，越接近于1， 这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.996是相关指数最大的值， ∴拟合效果最好的模型是指数曲线：=e 0.27x ﹣3.84．故选：B．【点评】本题考查相关指数，这里不用求相关指数，而是根据所给的相关指数判断模型的拟合效果，这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）．若P（0＜ξ≤1）=0.4，则P（ξ≥2）=（）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用正态分布的对称性得出答案．【解答】解：∵ξ～N（1，σ2），∴P（ξ≥2）=P（ξ≤0）=P（ξ≤1）﹣P（0＜ξ≤1）=0.5﹣0.4=0.1．故选：D．【点评】本题考查了正态分布的特点，属于基础题．6．（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7．设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|=1）（）A．B．C．D．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】根据随机变量X的概率分布列，求出m的值，再利用和概率公式计算P（|X﹣3|=1）的值．【解答】解：根据随机变量X的概率分布列知，+m++=1，解得m=；又|X﹣3|=1，∴X=2或X=4，则P（|X﹣3|=1）=P（X=2）+P（X=4）=+=．故选：B．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是基础题．8．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体找出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，这是一个古典概型，所以所求概率为=，故选D．【点评】本题的考点是古典概型，利用组合数公式和分步计数原理求出所有基本事件的总数，再通过正方体6个面的中心构成一个正八面体求出相互平行但不重合的对数，代入公式求解．9．反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可【解答】解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B【点评】本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．10．某单位拟安排6位员工在今年5月28日至30日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值28日，乙不值30日，则不同的安排方法共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用间接法分析，首先计算计算6名职工在3天值班的所有情况数目，再排除其中甲在5月28日和乙在5月30日值班的情况数目，再加上甲在5月28日且乙在5月30日值班的数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先安排6人在3天值班，有C62×C42×C22种情况，其中甲在5月28日值班有C51×C42×C22种情况，乙在5月30日值班有C51×C42×C22种情况，甲在5月28日且乙在5月30日值班有C41×C31种情况，则不同的安排方法共有C62×C42×C22﹣2×C51×C42×C22+C41×C31=42种，故选：C．【点评】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中要注意各种排法间的关系，做到不重不漏．11．将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①．在2、6中任选1个安排在个位数字，②由倍分法分析前5个数位的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、要求为偶数，则其个位数字为2或6，有2种情况，②、将其余5个数字全排列，安排在前5个数位，由于其中有2个“3”，则前5个数位有=60种情况，则可以得到2×60=120个不同的偶数；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，注意数字中有两个“3”．12．在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击（各发射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（）A．0.998 B．0.046 C．0.002 D．0.954【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】三架武装直升机各向目标射击一次，可以设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．分两种情况：①恰有两架武装直升机命中目标，分为三种：甲乙射中丙不中或甲丙射中乙不中或乙丙射中甲不中；②三架直升机都命中．分别求出其概率，再用加法原理，相加即可得到目标被摧毁的概率．【解答】解：设A k表示“第k架武装直升机命中目标”．k=1，2，3．这里A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.9，P（A2）=0.9，P（A3）=0.8．①恰有两人命中目标的概率为P（）=P（A1）P（A2）P（）+P（A1）P（）P（A3）+P（）P（A2）P（A3）=0.9×0.9×0.1+0.9×0.1×0.8+0.1×0.9×0.8=0.306②三架直升机都命中的概率为：0.9×0.9×0.8=0.648∴目标被摧毁的概率为：P=0.306+0.648=0.954．故选D．【点评】此题主要考查n次重复独立试验发生k次的概率问题，其中涉及到相互独立事件的概率乘法公式．这两个知识点在高考中都属于重点考点，希望同学们多加理解．二、填空题（2017春•泉港区校级期中）复数（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．【解答】解：∵==为纯虚数，∴，解得a=2．∴z=2+i．则复数z=2+i的模为：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是﹣10 （用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得（2x+1 ）（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：∵（2x+1）（ x ﹣1）5=（2x+1）（•x 5﹣•x 4+•x 3﹣•x 2+•x﹣）故含x 3项的系数是2（﹣ ）+=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好取自由曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P （B|A ）=．【考点】CM ：条件概率与独立事件．【分析】阴影部分由函数y=x 与围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，阴影部分由函数y=x 与围成，其面积为（﹣x ）dx=（）=，A 表示事件“点P 恰好取自曲线与直线x=1及x 轴所围成的曲边梯形内”，面积为+=，则P （B|A ）等于=．故答案为．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．16．有6名选手参加学校唱歌比赛，学生甲猜测：4号或5号选手得第一名；学生乙猜测：3号选手不可能得第一名；学生丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；学生丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，则获得第一名的选手号数是 3 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果．【解答】解：若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，∴丁猜对．综上，获得第一名的选手号数是3．故答案为：3．【点评】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．三、解答题（6大题，共70分．解答时应按要求写出证明过程或演算步骤）17．（10分）（2017春•泉港区校级期中）已知盒子中有4个红球，2个白球，从中一次抓三个球，（1）求没有抓到白球的概率；（2）记抓到球中的红球数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）使用组合数公式计算概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．【解答】解：（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是．（2）X的所有可能取值为1，2，3，， =，，∴X的分布列为：∴E（X）=1×+2×+3×=2．【点评】本题考查了组合数公式，超几何分布，数学期望的计算，属于基础题．18．（12分）（2012•雁塔区校级模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．由底面ABCD是正方形，知OE ∥PA由此能够证明PA∥平面BDE．法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则，设是平面BDE的一个法向量，由向量法能够证明PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．由向量法能够求出二面角B﹣DE﹣C的余弦值．【解答】（1）解法一：连接AC，设AC与BD交于O点，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴O为AC的中点，又E为PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．解法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0）．∴，设是平面BDE的一个法向量，则由，得，∴．∵，∴，又PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（2）由（1）知是平面BDE的一个法向量，又是平面DEC的一个法向量．设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，由题意可知．∴．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是高考的重点题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2017•湖北模拟）某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程中系数计算公式分别为：，，其中为样本均值．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据表格数据计算该单位员工当年年薪的平均值和中位数；（2）ξ取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望；（3）求出线性回归方程，根据回归方程预测．【解答】解：（1）平均值为11万元，中位数为=7万元．（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.，，，所以ξ的分布列为数学期望为．（3）设x i，y i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则，，，得线性回归方程：y=1.4x+2.5．可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，求ξ的分布列和期望，线性回归方程的解法及应用，属于中档题．20．（12分）（2017•黄山二模）2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉，包括黄山市在内的28个中国城市入选．美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客．现在很多人喜欢自助游，某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在黄山旅游节期间，随机抽取了100人，得如下所示的列联表：（1）若在100这人中，按性别分层抽取一个容量为20的样本，女性应抽11人，请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品，记这3人中赞成“自助游”人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根所给数据得到列联表，利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到结论． （2）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列、数学期望． 【解答】解：（1）将2×2列联表中的数据代入计算，得K2的观测值：，∵3.030＜3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系．（2）X的所有可能取值为：0，1，2，3，依题意，X的分布列为：．【点评】本题考查独立性检验知识，考查分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2014•河北区三模）已知函数f（x）=．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；51：函数的零点；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a=2代入可得f′（1）=﹣1，f（1）=，进而可得方程，化为一般式即可；（Ⅱ）可得x=为函数的临界点，分≤1，1＜＜e，，三种情形来讨论，可得最值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需，解之可得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，f（x）=，f′（x）=x﹣，∴f′（1）=﹣1，f（1）=，故f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣1）化为一般式可得2x+2y﹣3=0…..（Ⅱ）求导数可得f′（x）=x﹣=由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0，解得x=，①若≤1，即0＜a≤1，在（1，e）上，f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，因此，f（x）在区间的最小值为f（1）=．②若1＜＜e，即1＜a＜e2，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（，e）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因此f（x）在区间上的最小值为f（）=，③若，即a≥e2在（1，e上，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，因此，f（x）在区间上的最小值为f（e）=．综上，当0＜a≤1时，f min（x）=；当1＜a＜e2时，f min（x）=；当a≥e2时，f min（x）=．…．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当0＜a≤1或a≥e2时，f（x）在（1，e）上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1＜a＜e2时，要使f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，则即，此时，e＜a＜．所以，a的取值范围为（e，）…..（13分）【点评】本题考查利用导数研究函数的切线，涉及函数的零点和闭区间的最值，属中档题．22．（12分）（2017春•泉港区校级期中）已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且与椭圆+=1有相同的离心率．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求||的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知条件得a=2，e=，由此能求出椭圆M的方程．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0），若l的斜率不存在，设l：x=r，得；若l的斜率存在，设l：y=kx+m，由l与C相切，将直线l方程代入椭圆M的方程，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由此能求出||的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆M： +=1（a＞b＞0）的长轴长为4，∴a=2，∵椭圆M与椭圆+=1有相同的离心率，∴e=，解得c=2，∴b2=8﹣4=4，∴椭圆M的方程为．（Ⅱ）不妨设存在圆C：x2+y2=r2，（r＞0）（i）若l的斜率不存在，设l：x=r，则A（r，y0），B（r，﹣y0），由，得，又，两式联立消去y，得，∴．（ii）若l的斜率存在，设l：y=kx+m，∵l与C相切，∴，∴m2=r2（1+k2），①又将直线l方程代入椭圆M的方程，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理，得，，由=0，得，化简，得3m2=8+8k2，②联立①②，得，综上所述，存在圆C：，由，得|AB|2=（1+k2）===（1+），k≠0．∈（，12]．当k=0时，|AB|2=，∴|AB|∈[]．又当k不存在时，|AB|=，∴||的取值范围是[]．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查线段的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．。
福建省泉州一中高二下学期期中考试数学(理)试题.pdf
（满分：150分 考试时间:120分钟 ） 命题：黄俊生 审核：一、选择题（请把选项代号填入Ⅱ卷相应位置上，每题5分。
本题满分0分） 1.等于 A． B． C． D． 2．是虚数单位，集合中的元素之和为（ ） A．1 B．0 C．2 D．3 3. 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A．81 B．64 C．2 D．14 （ ） A． B． C． D． ．用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是( )A.＝ B.<C.＝，且<D.＝或< 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有 ( )A. 16种B. 36种C. 42种D. 60种 ．如图，是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是 A．在区间（-2,1）上是增函数； B．在区间（1,2）上是减函数； C．有一个极大值，两个极小值; D．当时，取极大值，，取极小值. ．，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ） B. C.D. 9．已知，且，则=( ) A．-4 B．4 C． 8 D．-16 ．f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足，若， ，则的大小关系是（ ） A．B．C． D． 第Ⅱ卷 (非选择题) 二、填空题：(本大题共小题，每小题4分，共分，请把答案填入Ⅱ卷相应位置上)。
1．的共轭复数是 . 12．的切线，则切线的斜率为 . 13．的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积 14. 在如下程序框图中，已知：，则输出的是__________. 1. 给出下列四个结论： ① ； ② 已知集合，若，则1 ③ 已知为定义在R上的可导函数,且对于恒成立,则有, ； ④ 若定义在正整数有序对集合上的二元函数满足：（1），（2） （3），则=则其中正确结论的有 （填写你认为正确的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 1．（本题满分1分），试求m取何值时 （1）Z是实数； （2）Z是纯虚数； （3）Z对应的点位于复平面的第一象限 17．（本题满分1分）已知数列{an}满足S n + a n=2n +1．写出a 1a 2，a 3， 并推测a n的表达式用数学归纳法证明所得的结论． 18．（本题满分1分） 已知函数为大于零的常数。
福建省泉州市数学高二理数期中联考试卷
福建省泉州市数学高二理数期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题表示（）A . 甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B . 甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米C . 甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D . 甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米2. （2分） (2018高二下·青铜峡期末) 某项测量结果ξ ，若ξ在内取值概率0.3则ξ在(0,+∞)内取值概率为（）A . 0.2B . 0.4C . 0.8D . 0.93. （2分） (2018·长宁模拟) 设角的始边为轴正半轴，则“ 的终边在第一、二象限”是“ ”的…（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分又非必要条件4. （2分）已知二项式的展开式中第4项为常数项，则中项的系数为（）A . -19B . 19C . 20D . -205. （2分） (2017高一下·乾安期末) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）A . 月接待游客逐月增加B . 年接待游客量逐年减少C . 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D . 各年1月至6月的月接待游客相对于7月至12月，波动性更大，变化比较明显6. （2分）已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是（）A .B .C . 或D .7. （2分）(2018·兰州模拟) 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，若曲线的方程为，则落入阴影部分的点的个数的估计为（）A .B .C .D .8. （2分）四个学习小组分别对不同的变量组（每组为两个变量）进行该组两变量间的线性相关作实验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r与方差m如表所示，其中哪个小组所研究的对象（组内两变量）的线性相关性更强（）A . 第一组B . 第二组C . 第三组D . 第四组9. （2分）曲线C1:，曲线C2：， EF是曲线C1的任意一条直径，P是曲线C2上任一点，则的最小值为（）A . 5B . 6C . 7D . 810. （2分） (2016高二上·绍兴期末) 点P（﹣3，1）在椭圆 =1（a＞b＞0）的左准线上．过点P 且方向为 =（2，﹣5）的光线，经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）在国乒“直通莫斯科”比赛中共有女运动员5人，从这10名运动员中选出6人进行男女混合双打比赛，由于排名世界第一，男队的马龙，女队的丁宁自动入选，组队方案有（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·阳高月考) 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。
-度福建省泉州一中高二数学下学期期中考试(理)试题
泉州一中2008—2009学年度第二学期期中能力测试试题高 二 数 学（理科） Ⅰ卷时间120分钟 满分150分 泉州一中考试命题中心一、选择题(本大题共有10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本大题每小题5分，满分50分.请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1、你认为下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适（ ）A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形 2、若yi x z +-=)2(1与i x z +=32),(R y x ∈互为共轭复数，则1z 在复平面中所对应的点在复平面的第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 3、下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补；如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180=∠+∠B AB ．由平面三角形性质推测空间四面体性质C ．某校高二年共有14个班，1班有56人，2班有57人，3班有54人，由此推测各班都超过50人D ．在数列}{n a 中，11=a ，)2)(1(2111≥+=--n a a a n n n ，由此猜想出}{n a 的通项公式 4、根据微积分基本定理计算=+-⎰dx e x x )23sin 2(0π（ ）A ．ππe -+26B ．ππe -+-21 C ．ππe 325-+ D ．ππe 327-+5、设曲线11-+=x x y 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，则=a （ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2-6、用分析法证明：欲使①B A >，只需②D C <，这里①是②的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、设0)(>n f )(+∈N n 且4)2(=f ，对任意的+∈N n n 21,，都有)()()(2121n f n f n n f ⋅=+恒成立，则猜想)(n f 的一个表达式为（ ）A ．2)(n n f =B ．12)(-=n n fC ．nn f 2)(= D ．nn f 22)(=8．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数2233cy x bx =++的单调递增区间为（ ）A ．]2,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,2[-D ．),21[+∞9、高二某班6名同学站成一排照相，同学甲，乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同排法总数共有（ ）A ．120B ．240C ．360D ．48010．如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x a x ≤≤0()，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数)(x f y =的图象大致是( )．二、填空题(本大题共有5小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本大题满分20分.)11、甲，乙，丙三位同学结伴上学，途中有一位同学做了一件好事。
2023-2024学年福建省泉州高二下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省泉州高二下册期中数学试题一、单选题1．在二项式82x⎫-⎪⎭的展开式中，含x的项的二项式系数为（）A．28B．56C．70D．112【正确答案】A【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中含x的项的二项式系数.【详解】∵二项式82x⎫⎪⎭的展开式中，通项公式为34218C(2)rr rrT x-+=⋅-⋅，令3412r-=，求得2r=，可得含x的项的二项式系数为28C28=，故选：A.2．已知随机变量X的分布列如表，若()5E X=，则=a（）X3aP 13bA．23B．4C．6D．12【正确答案】C【分析】结合分布列的性质，以及期望公式，即可求解.【详解】由分布列的性质可得：113b+=，解得23b=，∵()12 35 33E X a⨯+⨯==，解得6a=.故选：C.3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一排，甲乙相邻，且甲不站中间的方法种数有（）A．24B．36C．42D．48【正确答案】B【分析】首先将甲乙之外的3人全排列，再分甲在排头或甲在排尾和乙在中间两种情况，即可得到答案.【详解】根据题意，分两步分析，①将甲乙之外的3人全排列，共有336A =种排法，排好后有4个空位，②甲乙相邻，将甲乙看成一个整体，甲不站中间，则甲乙在排头或甲乙在排尾，共22224A A ⋅=种排法，乙在中间，共2种排法，所以甲不站中间的方法种数共有()64236⨯+=种.故选：B4．函数e 2xy x =-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】分别讨论0x ≥与0x <两种情况，利用导数与函数的关系研究()f x 的图像，从而得解.【详解】因为()e 2,0e 2e 2,0x xx x x y f x x x x ⎧-≥==-=⎨+<⎩，当0x ≥时，()e 2x f x x =-，则()e 2xf x '=-，令()0f x '<，得0ln 2x ≤<；令()0f x ¢>，得ln 2x >；所以()f x 在[)0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以()()()ln 2min ln 2e 2ln 221ln 20f x f ==-=->，从而排除B ；当0x <时，()e 2xf x x =+，则()e 20x f x '=+>，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，从而排除D ；又()()111e 2120ef --=+⨯-=-<，从而排除C ；由于排除了选项BCD ，而选项A 又满足上述()f x 的性质，故A 正确.故选：A.5．已知函数()sin cos f x ax x x =++在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．(,-∞C ．)+∞D ．[)2,+∞【正确答案】C【分析】求出函数的导数，问题转化为max (sin cos )a x x ≥-，根据三角函数的性质求出a 的取值范围即可.【详解】∵函数()sin cos f x ax x x =++在R 上单调递增，∴()cos sin 0f x a x x '=+-≥，即sin cos a x x ≥-，故max (sin cos )a x x ≥-，而πsin cos 4x x x ⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭则实数a ≥故选：C.6．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.2．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为A ．0.36B ．0.49C ．0.51D ．0.75【正确答案】C【分析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率．【详解】乙至少赢甲—局的概率为10.70.70.51P =-⨯=.故选C本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知事件A ，B 满足1()2P A =，1()3P B =，下列说法错误的是（）A ．若()0PB A =，则A ，B 是互斥事件B ．若()56P A B +=，则A ，B 是互斥事件C ．若()13P A B =，则A ，B 是相互独立事件D ．若()16P AB =，则A ，B 是相互独立事件【正确答案】C【分析】利用互斥事件的定义判断AB ；利用相互独立事件的定义判断CD.【详解】事件A ，B 满足1()2P A =，1()3P B =，对于A ，∵()()()0P AB P B A P A ==，∴()0P AB =，∴A ，B 是互斥事件，故A 正确；对于B ，∵()()511()623P A B P A P B +==+=+，∴A ，B 是互斥事件，故B 正确；对于C ，∵()13P A B =，∴()()13P AB P B =，∴1()()()()3P AB P B P A P B =≠，∴A ，B 不是相互独立事件，故C 错误；对于D ，∵()()111()623P AB P A P B ==⨯=，∴A ，B 是相互独立事件，故D 正确.故选：C.8．已知不等式()ln ln e 0ax x a ⎡⎤-+≤⎣⎦成立，则（）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．e a ≥D ．ea ≤【正确答案】B【分析】利用指对互化以及对数函数的单调性，将问题化为()ln e 0x a f x x a -=-+≤恒成立，再利用导数研究单调性、最值求解.【详解】解：()()ln ln e 00ax x a x ⎡⎤-+≤>⎣⎦，原式可化为()ln ln e a x x a ⎡⎤≤-⎣⎦，即ln e (0)x a a x x -+≤>，即ln e 0(0)x a x a x --+≤>，令()ln e (0)x a f x x a x -=-+>，因为当0x →时，ln x →-∞，e 0x a --<，故此时()f x →-∞；当x →+∞时，e x a -→+∞比ln x →+∞快得多，故此时()f x →-∞；令1()()e x a h x f x x -'==-，且21()e 0x a h x x-'=--<恒成立，故()h x 在()0,∞+上单调递减，且当0x +→时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →-∞，故存在00x >，有001e 0x a x --=，即001e x a x -=，所以00ln x x a -=-，当()00,x x ∈时，()0h x >，()f x 此时单调递增，()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()f x 此时单调递减，故()0max 00001()ln e 2x af x f x x a a x x -⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭，显然0012x x +≥=，当且仅当01x =时取等号，故0012220a x a x ⎛⎫-+≤-≤ ⎪⎝⎭，解得1a ≤，即1a ≤即为所求.故选：B.二、多选题9．已知1是函数32()1f x x bx x =+++的一个极值点，则（）A ．2b =-B ．()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．1是函数()f x 的极大值点D ．()f x 的对称中心为22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】AD【分析】根据()10f '=，可求得b 的值，再逐项分析判断即可.【详解】解：2()321f x x bx +'=+，则()13210f b '=++=，解得2b =-，∴32()21f x x x x =-++，2()341'=-+f x x x ，令()0f x '<，解得113x <<，令()0f x ¢>，解得13x <或1x >，∴函数()f x 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且在1x =处取得极小值，由三次函数的性质可知，其对称中心为22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上，选项AD 正确，选项BC 错误.故选：AD.10．某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.从该工厂的一批产品中随机抽查1件产品（）A ．该产品是次品的概率为3.5%B ．该产品是正品的概率为65%C ．若该产品是次品，则该次品由甲车间生产的可能性最大D ．若该产品是正品，则该正品由甲车间生产的可能性最大【正确答案】ACD【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式计算即可.【详解】解：对于A ，该产品是次品的概率为45%4%35%2%20%5% 3.5%⨯+⨯+⨯=，故A 正确；对于B ，该产品是正品的概率为45%(14%)35%(12%)20%(15%)96.5%⨯-+⨯-+⨯-=，故B 错误；对于C ，若该产品是次品，则该次品由甲车间生产的可能性为45%4%183.5%35⨯=；若该产品是次品，则该次品由乙车间生产的可能性为35%2%73.5%35⨯=；若该产品是次品，则该次品由丙车间生产的可能性为20%5%103.5%35⨯=；可知该次品甲车间生产的可能性最大，故C 正确；对于D ，若该产品是正品，则该正品由甲车间生产的可能性为45%(14%)43296.5%965⨯-=；若该产品是正品，则该正品由乙车间生产的可能性为35%(12%)34396.5%965⨯-=；若该产品是正品，则该正品由丙车间生产的可能性为20%(15%)19096.5%965⨯-=；可知该正品甲车间生产的可能性最大，故D 正确.故选：ACD.11．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，有()()20xf x f x '+>恒成立，则（）A ．()()142f f <B ．()()142f f -<-C ．()()4293f f <D ．()()4293f f -<-【正确答案】AC【分析】令()()2g x x f x =，求出函数的导数，结合函数的单调性判断即可.【详解】令()()2g x x f x =，∵当0x >时，()()20xf x f x '+>，∴当0x >时，[]2()2()()()2()0g x xf x x f x x xf x f x '''=+=+>，∴()()2g x x f x =在()0,∞+上单调递增；又()f x 为定义在R 上的奇函数，2y x =为定义在R 上的偶函数，∴()()2g x x f x =为R 上的奇函数；∴()g x 在R 上单调递增.由()()21g g >，可得()()421f f >，故A 正确；由()()12g g ->-，可得()()142f f ->-，故B 错误；由()()23g g <，可得()()4293f f <，故C 正确；由()()23g g ->-，可得()()4293f f ->-，故D 错误.故选：AC.12．某同学研究得：一个盒子内有5个白球，1个红球，从中任取2球的方法数可以是26C ，也可以是2155C C +，故221655C C C =+.类比可得（）A ．12335556C C C C ++=B ．111C C C m m m n n n ++++=C ．2122C 2C C C m m m m nn n n ++++++=D ．2221111112C C C C C C C C C C m n r m n m r n r m n r+++++++=【正确答案】BC【分析】由组合数及类比推理的知识逐项进行分析即可.【详解】对于A ，122556C C C +=，233656C C C +≠，故A 错误，对于B ，由类比推理，111C C C m m m n n n ++++=，故B 正确，对于C ，211212112C C C C C C C m m m m m m nn n n n n m n ++++++++++++=+=，故C 正确，对于D ，由于,,m n r 不一定相等，所以无法由类比推理推出，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．一渔船出海打渔，出海后，若不下雨，可获得3000元收益；若下雨，将损失1000元.根据预测知某天下雨的概率为0.6，则这天该渔船出海获得收益的期望是______.【正确答案】600【分析】根据已知条件，结合期望公式，即可求解.【详解】解：预测知某天下雨的概率为0.6，则某天不下雨的概率为10.60.4-=，故这天该渔船出海获得收益的期望是30000.4(1000)0.6600⨯+-⨯=.故600.14．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取1名男生的条件下，2名都是男生概率是______.【正确答案】12##0.5【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 表示“抽取1名男生”，事件B 表示“另1名也是男生”，则1315C 3()C 5P A ==，5223C 3()C 10P AB ==，故()()()3110325P AB P B A P A ===.故答案为.1215．已知O 是坐标原点，()1,0P ，Q 在函数()()ln 1f x x =+的图象上，M 为线段PQ 的中点，则OM 斜率的最大值是______.【正确答案】1e【分析】先求出直线OM 的斜率，再利用导数求函数的最值即可.【详解】设(),Q x y ，∵()1,0P ，M 为线段PQ 的中点，∴1,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，ln(1)11OM y x k x x +==++，设ln(1)()1x g x x +=+，则21ln(1)()(1)x g x x '-+=+，当()0,e 1x ∈-时，则()0g x '>，()g x 单调递增，当()1,e x ∈-+∞时，则()0g x '<，()g x 单调递减，∴当e 1x =-时，()g x 取得最大值为1e ，∴OM 斜率的最大值是1e，故答案为.1e16．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数的一些代数性质直观地体现在数阵中.在杨辉三角的100行数字中，存在两个相邻的数字之比为1:2的共有______行.【正确答案】33【分析】由题意设设第n 行相邻的两个数为1C ,C r rn n -，根据组合数公式化简，再由整除取值即可.【详解】由题意，第n 行各数从左到右均满足C ,N,N,rn r n r n ∈∈≤，设第n 行相邻的两个数为1C ,C r r n n -，则1C :C 1:2r rn n -=，则!!()!1(1)!(1)!!2n r n r r n r n -⨯=--+，化简得112r n r =-+，即31r n =+，0n =，1，2， (100)故33r =，6，…，99，共有33项.故33.四、解答题17．已知()12nx +的展开式的所有项的二项式系数和为512.(1)若2012(12)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，求11234(1)n n a a a a a --+-++- ；(2)求()12nx +展开式中系数最大的项.【正确答案】(1)2(2)675376T x=【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得n ，再利用赋值法求得要求式子的值.（2）设第1r +项系数最大，则11991199C .2C .2C .2C .2r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩，求得r 的值，可得()12nx +展开式中系数最大的项.【详解】（1）∵()12nx +的展开式的所有项的二项式系数和为2512n =，∴9n =.∵9290129(12)(12)n x x a a x a x a x +=+=+++⋅⋅⋅+，∴令0x =，可得01a =，∴再令=1x -，可得1234911a a a a a -+-+--=- ，即()1234911a a a a a --+-++=- ，∴123492a a a a a -+-++= .（2）设第1r +项系数最大，则11991199C .2C .2C .2C .2r r r r r r r r ++--⎧≥⎨≥⎩，求得172033r ≤≤，∴6r =，故()12nx +展开式中系数最大的项为666679C 25376T x x =⋅⋅=.18．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了抽样调查，得到该市100位居民的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，…，[]4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)现从这100位居民中月均用水量在[)3,4的人中，随机抽取4人进行电话回访，求至少有2人月均用水量在[)3,3.5的概率；(2)把这100位居民的月均用水量的频率视为该市居民的月均用水量的概率，现从该市随机抽取1位，用X 表示月均用水量不低于2.5吨的人数，求X 的期望和方差.【正确答案】(1)3742(2)数学期望为0.27，方差为0.1971.【分析】（1）由题意首先求得100位居民中月均用水量在[)3,4的人数，然后计算所求的概率即可；（2）首先求得a 的值，然后利用二项分布的期望方差公式计算即可.【详解】（1）由题意，100位居民中月均用水量在[)3,4的人数：()1000.120.080.510⨯+⨯=人；其中[)3,3.5中6人，[3.5,4)中4人，2231464646410C C C C C 37C 42P ++∴==.（2）由题意，(0.080.160.420.500.120.080.04)0.51a a ++++++++⨯=，解得：0.30a =，则用水量不低于2.5吨的人数所占的概率为(0.300.120.080.04)0.50.27p =+++⨯=，据此可得X 服从二项分布：~(1,0.27)X B ，其数学期望为：10.270.27⨯=，方差为10.27(10.27)0.1971⨯⨯-=.19．已知函数()ln 1f x x ax =-+.(1)若()0f x ≤，求a 的取值范围；(2)求证：1111231n ++++>- 2n ≥，N n ∈.【正确答案】(1)[)1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）问题转化为ln 1x a x +≥恒成立，令ln 1()x g x x+=，()0,x ∈+∞，根据函数的单调性求出a 的取值范围即可；（2）根据11ln k k k+<，对k 赋值累加即可.【详解】（1）由题可知：()f x 的定义域是()0,∞+若()0f x ≤，则ln 1x a x +≥恒成立，令ln 1()x g x x +=，()0,x ∈+∞，则只需()max a g x ≥，而2ln ()x g x x-'=，令()0g x '>，解得01x <<，令()0g x '<，解得1x >，故()g x 在()0,1递增，在()1,+∞递减，故()()max 11g x g ==，故只需1a ≥，即若()0f x ≤，则实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）证明：由（1）知，1a =时，ln 1≤-x x 在()0,∞+恒成立，当且仅当1x =时“＝”成立，令1k x k +=，+N k ∈，则1x >，则11ln k k k +<，故234111ln ln ln ln 11231231n n n ++++<++++-- ，故1111ln 231n n ++++>- ，而2n ≥，则12n n +>，∴2(1)2n n n +>，即n >∴ln n >故1111231n ++++>- 20．在京西购物平台购买手机时，可以选择是否加购“碎屏无忧”的保障服务，“碎屏无忧”服务有两种（两种服务只能购买一种）：一为“1年碎屏换屏”，价格100元，在购机后一年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕；一为“2年碎屏换屏”，价格150元，在购机后两年内原屏发生碎屏可免费更换一次屏幕，若未购买“碎屏无忧”服务，则碎屏后需更换屏幕，更换一次屏幕需要300元.已知在购机后的第一年，第二年，第三年原屏发生碎屏的概率分别是0.4，0.2，0.1.每部手机是否发生碎屏相互独立且每年至多碎屏一次.(1)DD 在京西购物平台购买了一部手机，求这部手机在第二年原屏才发生碎屏的概率；(2)CC 拟在京西购物平台购买一部手机，并决定3年后再换部新手机.请问CC 是否应该购买加购“碎屏无忧”的保障服务？说明理由.【正确答案】(1)0.12；(2)CC 在京西购物平台购买一部手机，应加购“碎屏无忧”的保障服务，理由见解析.【分析】（1）利用独立事件的乘法公式可求概率；（2）设购买“1年碎屏换屏”需花费X 元，购买“2年碎屏换屏”需花费Y 元，不买保险需花费Z 元，则可求各随机事件的概率分布及数学期望，从而可判断是否购买保险.【详解】（1）设该手机第二年原屏才碎裂为事件A ，()()10.40.20.12P A =-⨯=，从而该手机第二年原屏才碎裂的概率为0.12；（2）设购买“1年碎屏换屏”需花费X 元，则X 可取值100,400,700，则(400)0.20.90.80.10.26P X ==⨯+⨯=，(700)0.20.10.02P X ==⨯=，故(100)10.260.020.72P X ==--=，故()1000.724000.267000.02190E X =⨯+⨯+⨯=.设购买“2年碎屏换屏”需花费Y 元，则Y 可取值150,450,750，则(450)0.60.80.10.40.20.90.12P Y ==⨯⨯+⨯⨯=，(750)0.40.20.10.008P Y ==⨯⨯=，(150)10.120.0080.872P Y ==--=，故()1500.8724500.127500.008190.8E Y =⨯+⨯+⨯=，设不买保险需花费Z 元，则Z 可取值0,300,600,900，故(300)0.40.80.90.60.20.90.60.80.10.444P Z ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，(900)0.40.20.10.008P Z ==⨯⨯=，(0)0.60.80.90.432P Z ==⨯⨯=故(600)10.0080.4440.4320.116P Z ==---=，故()3000.4446000.1169000.00800.432210E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()()()E X E Y E Z <<，故CC 在京西购物平台购买一部手机，应加购“碎屏无忧”的保障服务.21．本次数学考试的第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.若每道多选题的正确答案是两个选项或者三个选项的概率均为12.现甲乙两位同学独立解题.(1)假设每道题甲全部选对的概率为12，部分选对的概率为14，有选错的概率为14；乙全部选对的概率为13，部分选对的概率为13，有选错的概率为13，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策.【正确答案】(1)281(2)甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩；乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩.【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可.（2）分别求出选择1,2,3个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可.【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：A ：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.B ：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.C ：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.()42114311111C C 2333108P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()3432441111C C 243108P B ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()3431441111C C 243162P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()281P P A P B P C =++=.（2）若为甲出方案.则甲可能的选项个数为：1，2，3.记1A 表示选1个选项的得分，则期望为()12E A =.记2A 表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，()212111232320P A =⨯⨯=+=，()21212332P A =⨯==，()21112365P A =⨯==此时期望为()211130252362E A =⨯+⨯+⨯=.记3A 表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，()3112220365P A ⨯==+=，()31123615P A =⨯==此时期望为()351505666E A =⨯+⨯=.∵35226>>.∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩.若为乙出方案.则乙可能的选项个数为：1，2，3.记1B 表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则()1111215021232323E B ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记2B 表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，此时()212111026152322311E B ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭.记3B 表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时()3211505122E B =⨯+⨯⨯=.∵5115263>>.∴乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩.22．已知函数21()ln 2f x x ax x =-+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且()()123ln 24f x f x -≥-，求a 的取值范围.【正确答案】(1)答案见详解(2),2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）结合函数极值与导数零点关系进行转化后，结合题目特点进行合理的构造，然后结合导数与单调性关系即可求解.【详解】（1）因为函数21()ln 2f x x ax x =-+，则211()x ax f x x a x x -+'=-+=，0x >，令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-，①当0a ≤或0∆≤，即2a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，②当0Δ0a >⎧⎨>⎩时，即2a >时，令()0f x ¢>，得02a x <<或2a x >，∴()f x 在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，综上所述，当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当2a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭和2a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）得，当2a >时，()f x 有两极值点1x ，2x ，由（1）得1x ，2x 为21(0)x g x ax =-+=的两根，所以12x x a +=，121=x x ，不妨设21x x >，因为121=x x ，故1201x x <<<，易知()f x 在()12,x x 单调递减，故()()12f x f x >，所以()()()()22121211122211ln ln 22f x f x f x f x x ax x x ax x -=-=-+-+-()()221122121ln 2x x x a x x x =-+-+，将12x x a +=代入化简可得：()()()222112212222221111ln ln 22x f x f x x x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭，即原不等式等价转化为2222221113ln ln 224x x x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，令()221t x t =>，构造111()ln 2h t t t t⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()22102t h t t -'=>，故()h t 在1t >时单调递增，又因为3(2)ln 24h =-，故要使得3()ln 24h t ≥-，仅需2t ≥，即222x ≥，又因为()22222121212222122a x x x x x x x x =+=++=++，故212a t t=++，由上可知2t ≥，故292a ≥，故a的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭.方法点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。
福建省泉州市高二下学期期中数学试卷 (理科)
福建省泉州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设是虚数单位，则等于（）A . 1B . 4C . 2D .2. （2分）直线y=kx+b与曲线相切于点(2,3)，则b的值为（）A . －3B . 9C . －15D . －73. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（）A .B .C .D .4. （2分）已知a+b=1，则以下成立的是（）A . a2+b2＞1B . a2+b2=1C . a2+b2＜1D . a2b2=15. （2分）不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）B . [﹣1，4]C . [1，2]D . （﹣∞，1]∪[2，+∞）6. （2分） (2018高二下·中山期末) 函数在点处的切线方程是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高三上·太原期中) 关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≥m在R上恒成立，则实数m的取值范围为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，1]C . （3，+∞）D . （﹣∞，3]8. （2分）不等式的解集是（）A .B .C .D .9. （2分）若2x+3y+5z=29，则函数μ=++的最大值为（）A .B . 2C . 2D .10. （2分） (2017高二下·赣州期末) 若函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）A . 3B . 2C . 2或﹣4D . 4或﹣211. （2分）抛物线及其在点和处的两条切线所围成图形的面积为（）A .B .C . 2D .12. （2分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2 ．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1 ， S2 ， S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）A . S4=S1+S2+S3B . S42=S12+S22+S32C . S43=S13+S23+S33D . S44=S14+S24+S34二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·安阳期中) =________．14. （1分） i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k的范围是________.15. （1分） (2015高三上·滨州期末) 设函数f（x）= ，f′（x）为f（x）的导函数，定义f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn+1（x）=fn′（x）（n∈N*），经计算f1（x）= ，f2（x）= ，f3（x）= ，…，根据以上事实，由归纳可得：当n∈N*时，fn（x）=________．16. （1分）(2017·成都模拟) 若复数z= （其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）(2017·平谷模拟) 已知函数．（Ⅰ）如果f（x）在x=0处取得极值，求k的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（III）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．18. （5分）若n是大于1的自然数，求证：.19. （10分）(2018·雅安模拟) 已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.20. （5分） (2016高二下·昌平期中) 计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．21. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 已知数列{an}的前n项和为，且，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，设数列{bn}的前n项和为，证明．22. （10分） (2018高二下·雅安期中) 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
福建省泉州市第七中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷(含解析)
福建省泉州市第七中学2023-2024学年高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）抛物线的焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（5分）随机变量的分布列如表格所示，其中，则等于（）1A．B ．C ．D ．3．（5分）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）将A 、B 、C 、D 、E 排成一列，要求A 、B 、C 在排列中顺序为“A 、B 、C ”或“C 、B 、A ”（可以不相邻），这样的排列数有多少种（ ）A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种5．（5分）曲线：上到直线距离最短的点坐标为（）212y x =1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫⎪⎝⎭10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ2b a c =+b ξ1-Pabc13141223()y f x =()y f x ='C ()10xy x =>1620x y ++=A ．B ．C ．D ．6．（5分）的展开式中的系数为（ ）A ．B ．10C ．D ．307．（5分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为（，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有（）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种8．（5分）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．（6分）（多选）已知函数，则（ ）A ．为奇函数B ．为其定义域上的减函数C ．有唯一的零点D ．的图象与直线相切10．（6分）（多选）设函数（，），则下列说法正确的是（ ）A ．若时，则的展开式中常数项为1B ．当时，则的展开式中二项式系数最大的项为C ．若，且，则1,44⎛⎫⎪⎝⎭14,4⎛⎫ ⎪⎝⎭14,4⎛⎫--⎪⎝⎭1,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭()52x x y -+52x y 10-30-ABCD A i 1i =i A ()ln ,01,0x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+<⎪⎩()y f x kx =-k 11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11,1e ⎛⎤- ⎥⎝⎦11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()11,11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()sin f x x x =-()f x ()f x ()f x ()f x 1y =()(),1xf x y my =+0m >0y >*x ∈N (),f x y 3m =()7,f y 2945y()234012344,f y a a y a y a y a y =++++332a =2m =D ．当，若，则11．（6分）（多选）2023年旅游市场强劲复苏，7，8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游，每个城市至少有一人选择．事件为“甲选择北京”，事件为“乙选择上海”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件与互斥B ．C ．D ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）12．（5分）某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为_________m/min ．13．（5分）某校准备参加2024年高中数学联赛，把10个选手名额分配给高三年级的3个教学班．若每班至少一个名额，则不同的分配方案有_________种．（用数字作答）14．（5分）已知椭圆：，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是_________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数．（1）当时，求函数在的最小值和最大值；（2）讨论函数的单调性．16．（15分）已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，交于点，，．（1）证明：平面；（2）若平面与平面，求直线与平面所成角的正弦值．2m =()234012344,f y a a y a y a y a y =++++481ii a==∑M N M N ()()P N M P M N=()3136P MN =()23P M N =()s m ()min t ()2s t t t =+2min t =C ()222210x y a b a b +=>>C A 1F 2F 121F 2AF C D E 6DE =ADE △()()ln af x x a x=+∈R 2a =()f x []1,e ()f x P ABCD -AC BD O AC =BD PA ⊥PA PC =PO ⊥ABCD PAC PCD PB PCD17．（15分）ChatGPT 是由人工智能研究实验室OpenAI 于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用RLHF （人类反馈强化学习）技术．在测试ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT 的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为50%．（1）在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT 的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列；（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．（i ）求ChatGPT 的回答被采纳的概率；（ii ）若已知ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率．18．（17分）已知双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，离心率，点（1）求双曲线的方程；（2）设是双曲线上任意一点，且在第一象限，直线与的倾斜角分别为，，求的值．19．（17分）已知函数，（，），若曲线在处的切线方程．（1）求实数，的值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）设，，，…，，其中，，求证：．参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：抛物线的焦点坐标为：，X X C 22221x y a b-=0a >0b >A F 2e =A C M C M MA MF 1α2α122αα+()()e e2xxf x b x -+=+-()2g x ax b =+a b ∈R ()y g x =1x =()210y x f =++'a b ()()22f x kg x k ≥-+x ∈R k 1θ2θ3θ,2π0n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭*n ∈N 2n ≥()()()()()()()()121121sin cos sin cos sin cos sin cos 6n n n n f f f f f f f f n θθθθθθθθ--++++> 212y x =10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：D ．2．【解答】解：根据题意，由分布列可得：，解可得：，即．故选：A ．3．【解答】解：由导数的图象可得，导函数的值在上的逐渐增大，故函数在上增长速度逐渐变大，故函数的图象是下凹型的．导函数的值在上的逐渐减小，故函数在上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B ．4．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、三人按“，，”的顺序排列，排好后有4个空位，在4个空位中选1个安排，有4种选法，4人排好后有5个空位，在5个空位中选1个安排，有5种选法，则一共有种安排方法，②、三人按“，，”的顺序排列，同理，此时有20种排列方法；综合可得：这样的排列有种；故选：C ．5．【解答】解：设曲线：上的点的坐标为，，则点到直线的距离，当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为．故选：B ．6．【解答】解：的展开式中项为，即的展开式中的系数为．故选：C ．7．【解答】解：法一：根据题意，正方形的边长为2个单位，则其周长是8，21b a ca b c =+⎧⎨++=⎩31b =13b =()f x '[]1,0-()f x []1,0-()f x ()f x '[]0,1()f x []0,1A B C D E 4520⨯=C B A 202040+=C ()10xy x =>A 1,m m ⎛⎫⎪⎝⎭0m >A 1620x y ++=d ≥=16m m =4m =A 14,4⎛⎫⎪⎝⎭()52x x y -+52x y ()()222225253C C 30y xx x y⋅⋅-=-()52x x y -+52x y30-ABCD若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这5种组合有种顺序，1、2、5，1、3、4，这2种组合有种顺序，则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，法二：同法一：分析可得三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，相当于8个点数中用2个隔板，有种顺序，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，每种组合有种顺序，则此时有种顺序，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法种，故选：D ．8．【解答】解：因为恰有两个零点，即恰有两个零点，所以令，则与有两个交点，又因为当时，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，且当时，，当时，，，所以在上单调递增，且，作出的大致图象，如图所示：A 13C 3=33A 6=A 352627⨯+⨯=27C 21=13C 3=236⨯=A 21627+=()y f x kx =-()f x kx =()2ln 1,011,0xx xg x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩()y g x =y k =0x >()ln 1x g x x =-()2ln 1x g x x -'=()g x ()0,e ()e,+∞0x >()()min 1e 1e g x g ==-e x >()ln 11xg x x=-<0x <()211g x x =+()320g x x'=->()g x (),0-∞()1g x >()g x因为与有两个交点，由图可得．故选：D ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9．【解答】解：，故为奇函数，A 正确；由题意的定义域为，对函数求导得，所以为上的增函数，B 正确；为上的增函数，，所以有唯一的零点，C 正确；令，可得，即，，故斜率为0的切线方程为，即，D 错误．故选：AC ．10．【解答】解：对于A ，的通项公式为，当时，，故A 选项正确；对于B ，当，的通项公式为，当或时，二项式系数最大，因此二项式系数最大的项有两项，故B 选项错误；对于C 选项，由于，所以，故C 选项正确；对于D ，若，则，令，则，故D 选项正确．故选：ACD ．11．【解答】解：选项A ，甲选择北京和乙选择上海可能同时发生，不互斥，错误；选项B ，由题意，事件总数为种，事件，的个数均为种，则，，()y g x =y k =()11,11,e k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()()sin f x x x f x -=-+=-()f x ()sin f x x x =-R ()1cos 0f x x '=-≥()f x R ()f x R ()00f =()f x ()1cos 0f x x '=-=cos 1x =2πx k =k ∈Z ()()2πsin 2π02πy k k x k --=-2πy k =()1xmy +()C rrx my 0r =00C 1x m =3m =()7,f y ()77C 33C rrrrry y =3r =4r =3334C 32a m ==2m =2m =()()44,12f y y =+1x =()4012341281a a a a a ++++=+=2343C A 36=M N 322332A C A 12=()()121363P M P N ===()211222C C C 53636P MN +==，，即，正确；选项C ，，正确；选项D ，，错误．故选：BC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．若有两空，则第一空2分，第二空3分．）12．【解答】解：，则，故．故答案为：5．13．【解答】解：根据题意，只须把10个名额分成3份，每份至少一个名额即可，分别对应3个班，选用隔板法，即将10个名额排成一列，共9个间隔即空位，从其9个空位中，选取2个，插入隔板就符合题意，即种分配方案．故答案为：36．14．【解答】解：椭圆：的离心率为，不妨可设椭圆：，，的上顶点为，两个焦点为，，为等边三角形，过且垂直于的直线与交于，两点，，由等腰三角形的性质可得，，，设直线方程为，，，将其与椭圆联立化简可得，，由韦达定理可得，，，()()()512P MN P N M P M ==()()()512P MN P M N P N ==()()P N M P M N =()()531113636P MN P MN =-=-=()()()()11519333636P M N P M P N P MN =+-=+-=()2s t t t =+()21s t t '=+()22215m /min s '=⨯+=29C 36= C ()222210x y a b a b +=>>12∴C 2222143x y c c +=2a c =C A 1F 2F 12AF F ∴△ 1F 2AF C D E tan 30DE k ∴=︒=2AD DF =2AE EF =DE )y x c =+()11,D x y ()22,E x y C 22138320x cx c +-=12813cx x +=-2123213c x x =-，解得，的周长等价于．故答案为：13．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【解答】解：（1）当时，，，则，令得，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，又因为，，所以的最大值为2，综上所述，函数在的最小值为，最大值2；（2）因为，所以，当时，在上恒成立，故此时在上为增函数；当时，令，得，当时，；当时，，故此时在上为增函数；在上为减函数，248613DE x c =-====138c =ADE △2213488138DE DF EF a c ++===⨯=2a =()2ln f x x x=+[]1,e x ∈()22212x f x x x x -'=-+=()0f x '=2x =[]1,2x ∈()0f x '<()f x (]2,e x ∈()0f x '>()f x 2x =()f x ()21ln 2f =+()12f =()2e 12ef =+<()f x ()f x []1,e 1ln 2+()()ln 0af x x x x=+>()221a x af x x x x-'=-+=0a ≤()0f x '>()0,+∞()f x ()0,+∞0a >()0f x '=x a =0x a <<()0f x '<x a >()0f x '>()f x (),a +∞()0,a综上所述，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数；在上为减函数．16．【解答】解：（1）证明：四边形是菱形，，，，，平面，平面，又平面，，，是的中点，，，平面，，平面；（2）因为菱形的边长为2，由余弦定理得，又，，，从而可求得：，根据第（1）问可知：平面，又平面，，又，，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建系如图，则根据题意可得：，，，设，，，设为平面的一个法向量，则，0a ≤()f x()0,+∞0a >()f x (),a +∞()0,a ABCD BD AC ∴⊥BD PA ⊥ PA AC A = PA AC ⊂PAC BD ∴⊥PAC PO ⊂PAC BD PO ∴⊥PA PC = O AC PO AC ∴⊥AC BD ⊂ABCD AC BD O = PO ∴⊥ABCD AC =2221cos 22AB BC ACABC AB BC+-∠==-()0,πABC ∠∈2π3ABC ∴∠=3πBAD ∴∠=2BD =PO ⊥ABCD AC ⊂ABCD PO AC ∴⊥AC BD ⊥OA ∴OB PO ∴OA OB PO x y z ()0,1,0B ()C ()0,1,0D -()()0,0,0P t t >()DC ∴=()0,1,DP t = (),,n x y z = PCD 0n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得，取，平面，平面的一个法向量为，平面与平面，，，又，，即，，，又平面的一个法向量，记直线与平面所成角为，则．17．【解答】解：（1）易知的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，所以的分布列为：0123（2）（i ）记“输入的问题没有语法错误”为事件，记“输入的问题有语法错误”为事件，记“ChatGPT的回答被采纳”为事件，则，，，，所以；（ii ）若ChatGPT 的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为．00y y tz ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩(,n t = BO ⊥ PAC ∴PAC ()10,1,0n =PAC PCD cos ,n ∴ 22574836t t ∴=+24t ∴=0t >2t ∴=2OP =()0,0,2P ∴()0,1,2PB ∴=-PCD (2,n =PB PCD θsin cos ,n PB n PB n PBθ⋅===X ()035338C C 10C 56P X ===()125338C C 151C 56P X ===()215338C C 30152C 5628P X ====()305338C C 1053C 5628P X ====X X P15615561528528A B C ()0.9P A =()0.1P B =()0.5P C B =()0.85P C A =()()()()()()()0.10.50.90.850.815P C P CB P CA P B P C B P A P C A =+=+=⨯+⨯=()()()()()()0.90.851530.815163P A P C A P AC P A C P C P C ⨯====18．【解答】解：（1）由题意得，，解得，，，所以双曲线的方程为；（2）由（1）知双曲线的方程为，所以左顶点，右焦点，设（，），则．当时，，此时，，，所以．当时，，，所以，又由点在第一象限，易知，，所以，综上的值为．19．【解答】解：（1）因为，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为曲线在处的切线方程，所以，解得；所以，所以，解得；2222c a ab c a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩1a =b =C 2213y x -=C 2213y x -=()1,0A -()2,0F ()00,M x y 00x >00y >22013y x -=02x =03y =1MA k =1π4α=2π2α=122παα+=02x ≠010tan 1MA y k x α==+020tan 2MF y k x α==-()()()()()000000012222220000000221211tan 2tan 2113111y x y x y x y x x y x x y x αα+++-=====--+-+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭M 13π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,πα∈122παα+=122αα+π()()e e2xxf x b x -=++-()()e e 2x x f x b -'=-+-()02f b '=-()2g x ax b =+()2g x ax '=()2g x ax '=()y g x =1x =()210y x f =++'()122g a '==1a =()11g b =+1212b b +=++-2b =（2）不等式可化为，设，则，设，则；①当时，，所以在上单调递增；又因为，所以当时，，即，在上单调递减；当时，，即，在上单调递增；所以；②当时，令，得，解得，，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，，不合题意；综上，的取值范围是；（3）证明：由（2）知，当时，，所以，所以，所以，所以．()()22f x kg x k ≥-+2e e20xxkx -+--≥()2e e2xxh x kx -=+--()e e 2x x h x kx -'=--()e e2xxs x kx -=--()e e 2x x s x k -'=+-1k ≤()e e 2220xxs x k k -'=+-≥-≥()s x R ()00s =0x <()0s x <()0h x '<()h x (),0-∞0x >()0s x >()0h x '>()h x ()0,+∞()()00h x h ≥=1k >()0s x '<2e2e 10xx k -+<e x k k <<+((ln ln k x k -<<+()sx (()0,ln k ()()00s x s <=()h x ()0,+∞()()00h x h <=k (],1-∞1k =2e e 2xxx -+≥+()()()()1212121222121212ee e e 4x x x x x x x xf x f x x x x x ++++--+--+⋅=≥+-+()()()()11sin cos cos sin 12i n i i n i f f f f θθθθ-+-++≥()()()()()()()()1211212sin cos sin cos sin cos sin cos n n n n f f f f f f f f θθθθθθθθ--⎡⎤++++⎣⎦ 12n >()()()()()()()()121121sin cos sin cos sin cos sin sin n n n n f f f f f f f f θθθθθθθθ--++++ 6n >。
2023-2024学年福建省泉州高二下学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年福建省泉州高二下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．下列函数的求导正确的是（）A ．()22x x'-=-B ．()1ln1010'=C ．()cos cos sin x x x x x '=-D ．()'2e e x x=【正确答案】C【分析】根据求导公式及求导法则验证各选项即可.【详解】因为()232x x --'=-，故A 错误；因为()ln100'=，故B 错误；因为()cos cos (cos )cos sin x x x x x x x x x '''=+=-，故C 正确；因为()'2e 2e x x =，故D 错误.故选：C2．设样本数据1210,,...,x x x ，的均值和方差分别为1和4，若3i i y mx =+，1,2i =，…，10，且1y ，2y ......，10y 的均值为5，则方差为（）A ．5B ．8C ．11D ．16【正确答案】D【分析】根据样本数据i x 的平均数x 和方差2S ，则样本数据i i y ax b =+的平均数为ax b +，方差为22S a ，由此即可求出结果．【详解】因为样本数据1210,,x x x ⋅⋅⋅的均值和方差分别为1和4，且3i i y mx =+，所以1210,,y y y ⋅⋅⋅的均值为：135m ⨯+=，即2m =，所以方差为22416⨯=．故选：D ．3．函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A ．()()()432(1)f f f f '>'>'>'B ．()()()()1234f f f f ''''>>>C ．(2)(1)(4)(3)f f f f ''''>>>D ．()()()()2314f f f f ''''>>>【正确答案】B【分析】根据函数图象的增减性判断四个导数值的正负，根据在四个点处函数图象切线斜率判断导数值的大小.【详解】由图可知，1x =和2x =在()f x 的增区间内，故()()10,20f f ''>>，且在1x =处切线斜率大于在2x =处切线斜率，即()()120f f ''>>；3x =和4x =在()f x 的减区间内，故()()30,40f f ''<<，且在3x =处切线斜率比在4x =处切线斜率大，即()()034f f ''>>；综上，()()()()12034f f f f ''''>>>>.故选：B.4．已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（）A 2B ．2-C ．22D ．22-【正确答案】D【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可【详解】对()()()2cos 0cos 2sin 0cos 2x f x x f x f x π⎛⎫-+=+' ⎝⎭=⎪'，求导可得，()()2cos 0sin f x x f x ''=-，得到(0)2f '=，所以，()22sin cos x x f x +=，所以，()2cos 2sin f x x x '=-，332cos 2sin 224434f πππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭故选D5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．25B ．38C ．58D ．34【正确答案】B【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.【详解】令1A =“玩手机时间超过1h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过1h 的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，则12ΩA A =⋃，且12,A A 互斥，()()120.2,0.8P A P A ==，1(|)0.5,()0.4P B A P B ==，依题意，()()()11222(|)(|)0.20.50.8(|)0.4P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=，解得23(|)8P B A =，所以所求近视的概率为38.故选：B关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.6．已知()22ln f x x x ax =+-在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．(],4∞-C ．(),2-∞D ．(),4-∞【正确答案】B【分析】由题意得()0f x '≥在()0,∞+恒成立，转化为最值问题求解【详解】由()22ln f x x x ax =+-可得()14f x x a x'=+-，由条件只需()140f x x a x =+-≥'，即14a x x≤+在()0,∞+上恒成立，由基本不等式可得144x x +≥=，当且仅当14x x =，即12x =时取等号，故14x x+的最小值为4，只需4a ≤．故选：B7．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用(,)m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则(100,3)A =（）A ．5050B ．4851C ．4950D ．5000【正确答案】B【分析】由二项式展开式系数可知，第m 行第n 个数应为11n m C --，从而可求得结果【详解】解：由二项式展开式系数可知，第m 行第n 个数应为11n m C --，所以第100行第3个数为299999848512C ⨯==，即(100,3)A =4851，故选：B8．设n 为正奇数，则112215555n n n n n n n C C C ---++++L 被7整除的余数为（）．A ．2-B ．0C ．3D ．5【正确答案】D【分析】按照二项式定理将原式改写成7的倍数的形式，剩余的部分即为余数.【详解】112215555n n n n n n n C C C ---++++L ()01122115555n n n n nnn n n n n n C C C C C C ---=+++++-L ()()51161711nnn =+-=-=--()()()()210112211771717111n nn n n n nn n n n n C C C C C ----=+-+-++-+--L ()()()210112231777171115n n n n n n n n n C C C C -----⎡⎤=+-+-++--+⎣⎦．∵()()()2101122317717111n n n n n nn n n C C C C -----+-+-++⋅-- 为整数，故112215555n n n n n n n C C C ---++++L 被7整除的余数为5；故选：D ．二、多选题9．6(3x的展开式中，下列说法正确的是（）A ．所有项系数和为64B ．常数项为第4项C ．整式共有3项D ．3x 项的系数81-【正确答案】AC【分析】根据赋值法可求出所有项系数和判断A ，由二项展开式的通项公式可判断BCD 即可.【详解】令1x =，由664(1)263-==知，所有项系数和为64，故A 正确；二项展开式的通项公式为366622166C (3)(1)(1)3C r r r rrr rr r Tx xx----+=-=-，令3602r -=，解得4r =，故展开式第5项为常数项，故B 错误；当0,2,4r =时，36N 2r -∈，展开式为整式，故C 正确；当3632r -=时，2r =，26223336(1)3C 1215T x x -=-=，故D 错误.故选：AC10．关于函数()1ln f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()1f 是()f x 的极大值B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在()0,1上单调递减D ．设()()g x xf x =，则1e g g⎛⎫< ⎪⎝⎭【正确答案】BCD【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极值与零点，即可判断；【详解】解：函数()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞，22111()x f x x x x-'=-+=，当01x <<时，()0f x '<，则函数()f x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0f x '>，则函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值()11f =，故A 错误，C 正确；对于B ，函数1()ln y f x x x x x=-=+-，定义域为(0,)+∞，则22213()112410x y x x x---'=-+-=<，故函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又当1x =时，其函数值为0，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；对于D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，则()ln 1g x x '=+，令()0g x '=，解得1ex =，当10e x <<时，()0g x '<，则函数()g x 在1(0,)e上单调递减，当1e x >时，()0g x '>，则函数()g x 在1(e，)∞+上单调递增，所以当1ex =时，函数()g x 取得极小值即最小值1(e g ，所以1(eg g <，故D 正确．故选：BCD ．11．（多选题）盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（）A ．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件B ．“第一次取到白球”和“第二次取到白球”是相互独立的事件C ．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为34D ．设随机变量ξ和η分别表示取到白球和黑球的个数，则()()E E ξη<【正确答案】CD【分析】根据对立事件、独立事件的含义判断A 、B ，应用古典概型的概率求法求C 中概率即可判断，由ξ、η可能值为{01,2}，，分别求出对应的概率，并求出期望即可比较大小关系判断D.【详解】“取到2个白球”和“取到2个黑球”是互斥事件，但不是对立事件，故A 不正确；“第一次取到白球”发生会影响“第二次取到黑球”的概率，不是相互独立事件，故B 不正确．在第一次取到白球的条件下，第二次取一个球共有4个基本事件，其中取到的是黑球的事件有3个，其概率为34，故C 正确，由题设，ξ可能值为{01,2}，，且323()54010P ξ===⨯，31233()521545P ξ=⨯+⨯==，211()54210P ξ===⨯，所以314()125105E ξ=⨯+⨯=；η可能值为{01,2}，，且211()54010P η===⨯，31233()521545P η=⨯+⨯==，313()52210P η===⨯，所以336()125105E ξ=⨯+⨯=；所以()()E E ξη<，故D 正确．故选：CD12．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．假设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，且p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，则下列说法正确的是（）A ．1是方程：230123p p x p x p x x +++=的根B ．当()1E X =时，1p =C ．当()1E X >时，1p =D ．当()1E X <时，1p =【正确答案】ABD【分析】根据方程的根的验证，可判断A;对230123p p x p x p x x +++=进行等量代换，然后再进行因式分解，构造函数()f x ，由二次函数的性质分析,可判断B,C,D;；【详解】将1x =代入230123p p x p x p x x +++=中，01231p p p p +++=成立，即1是方程：230123p p x p x p x x +++=的根，故A 正确；由以上分析可知，01231p p p p +++=，则123()23E X p p p =++，所以230123p p x p x p x x +++=，变形为230123(1)0p p x p x p x --++=，所以23023023()0p p x p x p p p x ++-++=，即023(1)(1)(1)(1)0p x p x x p x x x -+-+-+=，即23230(1)[()]0x p x p p x p -++-=，令23230()()f x p x p p x p =++-，若30p ≠时，则()f x 的对称轴为23302p p x p+=-<，注意到0(0)0f p =-≤，320123(1)2231()1f p p p p p p E X =+-=++-=-，若30p =时，(1)()1f E X =-，当()1E X ≤时，(1)0f ≤，()0f x =的正实根01x ≥，即原方程的最小正实根1p =，故B,D 正确；当()1E X >时，123(1)2310f p p p =++->，()0f x =的正实根01x <，即原方程的最小正实根1p <，故C 错误；故选：ABD 三、填空题13．已知随机变量()2~1,X N σ，若()20.17P X >=，则()02P X =≤≤_________.【正确答案】0.66##3350【分析】利用正态分布的对称性以及正态分布图面积为1即可。
福建省泉州一中—度高二数学下学期期中考试(理)试卷
高 二 数 学（理科）时间120分钟 满分150分 泉州一中考试命题中心一、选择题(本大题共有10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本大题每小题5分，满分50分.请将答案填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．) 1、你认为下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适（ ）A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形2、若yi x z +-=)2(1与i x z +=32),(R y x ∈互为共轭复数，则1z 在复平面中所对应的点在复平面的第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四3、下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补；如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180=∠+∠B AB ．由平面三角形性质推测空间四面体性质C ．某校高二年共有14个班，1班有56人，2班有57人，3班有54人，由此推测各班都超过50人D ．在数列}{n a 中，11=a ，)2)(1(2111≥+=--n a a a n n n ，由此猜想出}{n a 的通项公式 4、根据微积分基本定理计算=+-⎰dx e x x )23sin 2(0π（ ）A ．ππe -+26 B ．ππe -+-21 C ．ππe 325-+ D ．ππe 327-+5、设曲线11-+=x x y 在点)2,3(处的切线与直线01=++y ax 垂直，则=a （ ） A ．2 B ．21 C ．21- D ．2-6、用分析法证明：欲使①B A >，只需②D C <，这里①是②的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、设0)(>n f )(+∈N n 且4)2(=f ，对任意的+∈N n n 21,，都有)()()(2121n f n f n n f ⋅=+恒成立，则猜想)(n f 的一个表达式为（ ）A ．2)(n n f =B ．12)(-=n n fC ．nn f 2)(= D ．nn f 22)(=8．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数2233cy x bx =++的单调递增区间为（ ）A ．]2,(--∞B ．),3[+∞C ．]3,2[-D ．),21[+∞9、高二某班6名同学站成一排照相，同学甲，乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同排法总数共有（ ）A ．120B ．240C ．360D ．48010．如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE=x a x ≤≤0()，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数)(x f y =的图象大致是( )．二、填空题(本大题共有5小题．请把结果直接填写在Ⅱ卷上．．．．．．．．．．．．，每题填对得4分，否则一律是零分．本大题满分20分.)11、甲，乙，丙三位同学结伴上学，途中有一位同学做了一件好事。
福建省泉州市数学高二下学期理数期中考试试卷
福建省泉州市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则为（）A . {2，4，5}B . {1，3，4}C . {1，2，4}D . {2，3，4，5}2. （2分）已知复数在复平面内对应的点在二象限，且，则实数的取值范围是（）A . 或B .C . 或D .3. （2分） (2019高一上·田阳月考) 下列函数中，在上单调递增的是（）A .B .C .D .4. （2分）给出如下四个命题：①若“”为假命题，则p,q均为假命题；②命题“若a>b,则”的否命题为“若,则”；③命题“任意”的否定是“存在”；④在中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中不正确命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 15. （2分）若x0是方程x+lgx=2的解，则x0属于区间（）A .B .C .D .6. （2分）曲线3x2﹣y+6=0在处的切线的倾斜角是（）A . ﹣135°B . ﹣45°C . 45°D . 135°7. （2分）某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，已知130～140分数段的人数为90，90～100分数段的人数为a，则下图所示程序框图的运算结果为(注：n！＝1×2×3×…×n，如5！＝1×2×3×4×5)（）A . 800!B . 810!C . 811!D . 812!8. （2分） (2019高三上·吉林月考) 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A . 1B . 2C .D . 49. （2分）(2017·衡阳模拟) 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A . 4πB . πh2C . π（2﹣h）2D . π（4﹣h2）10. （2分）若点A的坐标为， F是抛物线的焦点，点M在抛物线上移动时，使取得最小值的M的坐标为（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·山西月考) 已知函数，则下列函数的图象错误的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 若函数满足，且在上是增函数，又，则的解集是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点F1（﹣， 0），F2（， 0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离为________14. （1分） (2018·临川模拟) 函数的最大值是________.15. （1分） (2017高二下·溧水期末) 已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是________．16. （1分）已知正方体的棱长为1，F，E分别为AC和BC′的中点，则线段EF的长为________．三、解答题 (共7题；共62分)17. （10分） (2016高二下·江门期中) 已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a= ，求△ABC的面积．18. （2分） (2018高二下·大名期末) 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19. （10分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M在线段PD上，且AM⊥MC．（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．20. （10分） (2015高二上·抚顺期末) 已知椭圆在x轴两焦点为F1 ， F2 ，且|F1F2|=10，P为椭圆上一点，∠F1PF2= ，△F1PF2的面积为6 ，求椭圆的标准方程？21. （10分） (2018高二下·保山期末) 已知函数 .（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.22. （10分）(2017·合肥模拟) 已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2cosθ+4sinθ．（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1 ， C2是否相交，若不相交，请说明理由；若交于一点，则求出此点的极坐标；若交于两点，则求出过两点的直线的极坐标方程．23. （10分）已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|﹣m（1）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是R，求m的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共62分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
福建省泉州市2020年高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
福建省泉州市2020年高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）点到点的距离相等，则x的值为（）A .B . 1C .D . 22. （2分）(2017·商丘模拟) 若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足 = + ，则• 的值为（）A . ﹣B . ﹣2C .D . 23. （2分） (2018高三上·浙江期末) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .4. （2分）两个非零向量、满足||=||=|+|，则﹣与所成的角是（）A . 150°B . 120°C . 60°D . 30°5. （2分） (2017高三上·邯郸模拟) 直线y=x+a与抛物线y2=5ax（a＞0）相交于A，B两点，C（0，2a），给出下列4个命题：p1：△ABC的重心在定直线7x﹣3y=0上，p2：|AB| 的最大值为2 ；p3：△ABC的重心在定直线 3x﹣7y=0上；p4：|AB| 的最大值为2 ．其中的真命题为（）A . p1 ， p2B . p1 ， p4C . p2 ， p3D . p3 ， p46. （2分）已知AD是△ABC中BC边上的中线，若=，=，则=（）A . （﹣）B . ﹣（﹣）C . （+）D . ﹣（+）7. （2分） (2017高二上·临沂期末) 已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A . + =1B . + =1C . + =1D . + =18. （2分）如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC中点，则二面角C﹣BF﹣D的正切值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·黄陵开学考) 动点P到A（0，2）点的距离比它到直线：L：y=﹣4的距离小2，则动点P的轨迹为（）A . y2=4xB . y2=8xC . x2=4yD . x2=8y10. （2分） (2018高二下·沈阳期中) 若向量，，，则实数的值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二下·孝感期中) 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）F2（3，0），则其离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）是以原点为中心，焦点在轴上的等轴双曲线在第一象限部分，曲线在点P处的切线分别交该双曲线的两条渐近线于两点，则（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二上·常州期末) 抛物线x2=﹣8y的焦点坐标为________．14. （1分） (2016高一下·广州期中) 若平行四边形ABCD满足，，则该四边形一定是________．15. （1分） (2019高二上·龙江月考) 已知，，，，，则 ________.16. （2分） (2018高二上·浙江月考) 若是双曲线的左，右焦点，点是双曲线上一点，若，则 ________，的面积 ________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2017高二上·广东月考) 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．18. （10分） (2019高二下·鹤岗月考) 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19. （5分） (2016高二上·包头期中) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的一点M的横坐标为3，焦点为F，且|MF|=4．直线l：y=2x﹣4与抛物线C交于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若P是x轴上一点，且△PAB的面积等于9，求点P的坐标．20. （15分） (2019高二下·上海月考) 几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”，如图所示的“椭圆柱”中，、和、分别是上下底面两椭圆的长轴和中心，、是下底面椭圆的焦点，其中长轴的长度为，短轴的长度为2，两中心、之间的距离为，若、分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面的两侧.（1）求证：∥平面；（2）求点到平面的距离；（3）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且、与下底面所成的角分别为、，试求出的取值范围.21. （10分）(2017·揭阳模拟) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1 ，AB1∩A1B=E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥平面A1ACC1；（2）若AB=1，且AC•AD=1，求二面角B﹣A1D﹣B1的余弦值．22. （10分） (2015高二下·铜陵期中) 已知椭圆C： =1，过点M（2，0）任作一条直线与C交于不同的两点A、B．（1）求△OAB的面积的最大值；（2）若椭圆C的左顶点为N，直线l：x= ，直线NA和NB交直线l与PQ两点，设A、B、P、Q的纵坐标分别为y1、y2、y3、y4．求证： + ．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
福建省泉州市2020年(春秋版)高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
福建省泉州市2020年（春秋版）高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2017·石景山模拟) 若复数是纯虚数，则实数a的值为________2. （1分）已知命题p：“∀x＞0，有2x≥1成立”，则￢p为________．3. （1分）求值： =________．4. （1分）下列命题适合用反证法证明的是________.①已知函数f(x)=ax+(a>1),证明:方程f(x)=0没有负实数根;②若x,y∈R,x>0,y>0,且x+y>2,求证:和中至少有一个小于2;③关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的;④同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.5. （1分） (2016·山东理) 若（ax2+ ）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=________．6. （1分） (2015高二上·湛江期末) 请阅读下列材料：若两个正实数a1 ， a2满足a12+a22=1，那么a1+a2．证明：构造函数f（x）=（x﹣a1）2+（x﹣a2）2=2x2﹣2（a1+a2）x+1，因为对一切实数x，恒有f（x）≥0，所以△≤0，从而得4（a1+a2）2﹣8≤0，所以a1+a2 ．根据上述证明方法，若n个正实数满足a12+a22+…+an2=1时，你能得到的结论为________．7. （1分）某单位在国庆节7天假期里安排甲、乙、丙三人值班，每天1人，每人至少值2天，则不同的安排方法共有________种．8. （1分） (2020高三上·青浦期末) 我国古代庄周所著的《庄子天下篇》中引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根一尺长的木棒，每天截下其一半，这样的过程可以无限地进行下去.若把“一尺之棰”的长度记为1个单位，则第天“日取其半”后，记木棒剩下部分的长度为，则 ________9. （1分）在三角形ABC中，角角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=2b=2，a=2sinA，则此三角形的面积S△ABC=________10. （1分） (2016高二上·上海期中) 用数学归纳法证明命题：1+2+3+…+（n﹣1）+n+（n﹣1）+…+3+2+1=n2 ，当从k到k+1时左边增加的式子是________．11. （1分） (2016高二上·江阴期中) 圆心为（3，0），而且与y轴相切的圆的标准方程为________12. （1分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为________ ．13. （1分） (2017高二下·芮城期末) 一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则 ________．14. （1分）寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________ 种．二、解答题 (共6题；共55分)15. （10分）综合题。
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福建省泉州市高二下学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）若复数为纯虚数，则实数x的值为（）
A . 3
B . 1
C . -3
D . 1或-3
2. （2分） (2017高二下·长春期中) 若函数f（x）=x3﹣3x﹣a有3个不同零点，则实数a的取值范围是（）
A . （﹣2，2）
B . [﹣2，2]
C . （﹣∞，﹣1）
D . （1，+∞）
3. （2分） (2017高二下·西安期中) 证明1+ +…+ （n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（）
A . 1项
B . k﹣1项
C . k项
D . 2k项
4. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字4是取出的五个不同数的中位数的概率为（）
A .
C .
D .
5. （2分）空间五点中，无三点共线．且无四点共面，则这五点可以确定平面的个数是（）
A . 5
B . 10
C . 15
D . 20
6. （2分）已知椭圆,过点P(2,1)且被点P平分的椭圆的弦所在的直线方程是（）
A . 8x+y-17=0
B . x+2y-4=0
C . x-2y=0
D . 8x-y-15=0
7. （2分）若则S1S2S3的大小关系为（）
A . S1<S2<S3
B . S2<S1<S3
C . S2<S3<S1
D . S3<S2<S1
8. （2分）已知点A(1，1，1)，点B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为（）
A . 4
C . 4
D . 3
二、填空题 (共4题；共5分)
9. （1分） (2018高二下·乌兰月考) 如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．
10. （2分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1 ，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2 ，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3 ，记弧A2A3的长为l3 ，则l1+l2+l3=________ ．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4 ，记弧A3A4的长为l4 ，…，当弧长ln=8π时，n=________
11. （1分）已知dx，数列的前n项和为Sn ，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣8，则bnSn 的最小值为________
12. （1分）的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为________．
三、解答题 (共5题；共55分)
13. （10分） (2016高二下·上海期中) 已知z为复数，ω=z+ 为实数，
（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；
（2）当﹣4＜ω＜2时，若u= （α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．
14. （15分） (2017高二下·鸡泽期末) 从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（用数字作答）
（1）男、女同学各2名；
（2）男、女同学分别至少有1名；
（3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出。
15. （10分）综合题。
（1）在（1﹣x）5+（1﹣x）6+（1﹣x）7+（1﹣x）8的展开式中，求含x3的项的系数；（2）若（2﹣x）6展开式中第二项小于第一项，但不小于第三项，求x的取值范围．16. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：在上仅有个零点．
17. （10分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个零点，求证：．
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
三、解答题 (共5题；共55分)
13-1、
13-2、14-1、14-2、14-3、15-1、
15-2、
16-1、
16-2、
17-1、
17-2、。