凹凸函数 - 360文档中心

凹凸函数的性质

凹凸函数的性质（一）李联忠1文丽琼21 营山中学四川营山 637700 2营山骆市中学四川营山 638150：若函数f(x)为凹函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，则nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图：文献标识号：：高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。

学有余力的学生，会去证多个数的情形。

仿照书上去证，几乎不可能。

下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。

如图（一）凸函数定义若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。

如图（二）性质定理若函数f(x)是凹函数，则nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)是凸函数，则nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++证明：若函数f(x)是凹函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x xx nn ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则bna nf x x x x x x n n ++++⋅=+++ 2121)(（1）∵f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方 ∴b a f x x +≥11)(;b a f x x +≥22)(;…;ba f x x n n +≥)(∴bna nf f f x x x x x x n n ++++⋅≥+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n )()()()(2121+++≤+++若函数f(x)为凸函数，如下图点P （)(,2121nf nx x x x xx nn ++++++ ）在f(x)上设过P 点的切线方程为：y=ax+b 则bna nf x x x x x x n n ++++⋅=+++ 2121)(（1）∵f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方∴b a f x x +≤11)(;b a f x x +≤22)(;…;ba f x x n n +≤)(∴bna nf f f x xx x x x n n ++++⋅≤+++ 2121)()()( (2)由（1），（2）得nf f f nf x x x x x x n n)()()()(2121+++≥+++定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。

函数凹凸的定义

02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图像上的任意两点A和B，如果A、B两点连线的中点始终位于A、B连线的下方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显的特征，即函数图像上任意两点的连线的斜率始终小于或等于该点处的函数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有广泛应用，它可以帮助我们理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点之间总是位于这两点连线的下方，即对于定义域内的任意x1和x2，都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为，如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加而减少。

(完整word版)高中数学函数的凸凹性例讲

高中数学函数的凸凹性例讲山西忻州五寨一中摄爱忠函数凹凸性问题是高考中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质.①掌握增量法解决凹凸曲线问题 ②函数的凹凸性定义及图像特征一、凸凹函数定义：设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（b a ,）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（b a ,）上的下凸函数；（2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（b a ,）上的上凸函数。

二、凹凸函数的几何特征：1.形状特征图1（下凸函数）图2（上凸函数）下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方;上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。

2切线斜率特征图3（下凸函数）图4（上凸函数）下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而增大；上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而减小；简记为：斜率凹增凸减．．．．．．。

3增量特征：图5（下凸函数）图6（凸函数）下凸函数的增量特征是：i y ∆越来越大；上凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小；简记为：增量下大上小．．．．．．。

弄清了上述两类凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凸的曲线问题．三、凸函数与导数的关系定理1（可导函数与凹凸函数的等价命题）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔)(x f '为I 上的增函数；（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔)(/x f 为I 上的减函数；定理2（可导函数与二阶导数的关系）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔0)(≥''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔0)(≤''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.四、函数凹凸性的应用题型1：图形与图像问题◇题目：一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数)(h f V =的大致图象可能是图8中的（）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．练一练：◇题目：向高为Ｈ的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深ｈ的函数关系的图象如图9所示，那么水瓶的形状是（图10中的）图7图8（）．（1998年全国高考题）图9 图10解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于ｈ的函数图象是凸的，即每当ｈ增加一个单位增量Δｈ，V 的相应增量ΔＶ越来越小．这说明容器的上升的液面越来越小，故选Ｂ．讲一讲：◇题目：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是（）．Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．②③Ｄ．①③解：因为温度ｙ关于时间ｔ的图象是先上凸后平行直线，即5分钟前每当ｔ增加一个单位增量Δｔ，则ｙ相应的增量Δｙ越来越小，而5分钟后是ｙ关于ｔ的增量保持为0，故选Ｂ．注：本题也选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期的《试题集绵》，用了增量法就反成了“看图说画”．练一练：◇题目：（06重庆理）如下图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是（）C图17解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲线，在［0，π］上是上凸的，在［π，2π］上是下凸的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量ｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的f(x)的变化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ则越来越小，故f(x)关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是下凸的，后来在［π，2π］上是上凸的，故选D．◇题目：（07 江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1解：设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为上右图.因为函数V 1（h ）、V 2（h ）为下凸函数, V 1（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量， ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 1> 0.5H =h 4；同理V 2（h ）当h 从Ｏ→H ，Δh 增加一个单位增量，ΔV ｉ（ｉ＝1，2，3，…）增大，则h 2> 0.5H =h 4；所以h 1> h 4、 h 2> h 4；由V 1（h ）、V 2（h ）图象可知，h 从H →h 2，ΔV 1（h ）>ΔV 2（h ）,而0.5 V 1（h ）>ΔV 1（h ）,ΔV 2（h ）=0.5 V 2（h ）,则当ΔV 1（h ）=0.5 V 1（h ）时h 1> h 2，所以答案为A.题型2：函数与图像问题◇题目：在x y x y x y y x2cos ,,log ,222====这四个函数中,当210x x <<时，2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3【分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足2)()()2(2121x f x f x x f +>+时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。

函数的凹凸性和拐点

函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。

下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。

一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。

几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。

凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。

如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。

函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。

在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。

二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。

在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。

因此，拐点也被称为凹凸性变化点。

拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。

如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。

在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。

综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。

凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。

在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。

《函数的凹凸性》课件

凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商品的需求和供给关系，以及价格和产量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用方法之一，通过计算函数的二阶导数并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下凸出的弧形线，则该函数是凹的；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例，通过绘制该函数的图像可以观察到，该函数在$x < 0$时图像向下凸出，因此函数$f(x) = x^4

函数凹凸的定义(精)

令h 0 ，得
f x2 f x1 f x1 f x2 , x2 x1
所以 f 为I上的递增函数。
( 2) ( 3) : 在以 x1 , x2 x1 x2 为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和 f 递增条件，有
f x2 f x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 . 即f x2 f x1 f x1 x2 x1 .
定义
设f ( x )定义在区间 I 上, 如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凸函数。
如果 x1 , x2 I , (0,1), 恒有 f (x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), 那末称 f ( x ) 为 I 上的凹函数。
f x1 f x3 f x3 x1 x3
(1 ) f x2 (1 ) f x3 (1 ) f x3 ( x2 x3 )
两式相加，并将 x3 x1 1 x2代入,
f x1 1 f x2 f x3 f x1 1 x2 .
a b c 3
a a bbc c , 其中a，b，c为正数。
1 证设 f x x ln x , x 0, 则 f x ln x 1, f x ， x 显然x 0时，f ( x ) 0, 故f为严格凸函数 ,
a b c 1 f f a f b f c , 3 3 abc abc 1 即 ln a ln a b ln b c ln c , 3 3 3 a b c abc 3 a b c a b c abc , 故 a b c . 又 3 3

关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明

关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明首先，函数的凹凸性可以通过两种定义来描述：一种是基于函数在定义域上的局部性质，即函数在一些区间上是凹（或凸）函数；另一种是基于函数的二阶导数，即函数的二阶导数在定义域上的符号。

1.函数凹（凸）的局部定义：如果函数f在定义域内的一些区间上，对于任意两点x1和x2，函数图像上的割线始终在函数图像下方（或上方），则称函数f在这个区间上是凹（或凸）函数。

f(x)=f(x1)+f'(x1)(x-x1)+f''(c)(x-x1)²/2其中，c是介于x1与x之间的一些值。

由于f''(c)表示函数f在点c处的二阶导数，我们可以得到：f(x)-(f(x1)+f'(x1)(x-x1))=f''(c)(x-x1)²/2由于f''(c)表示二阶导数，它的符号可以告诉我们函数的凹凸性。

假设f''(c)>0，那么对于任意给定的x，我们有：f(x)-(f(x1)+f'(x1)(x-x1))=f''(c)(x-x1)²/2>0这意味着对于任意两点x1和x，函数图像上的割线始终在函数图像上方，即函数在这个区间上是凹函数。

同理，当f''(c)<0时，函数在这个区间上是凸函数。

这样，我们可以得出结论：如果函数的二阶导数在一些区间上始终大于0（或小于0），那么函数在这个区间上是凹（或凸）函数。

2.函数的二阶导数符号定义：如果函数f的二阶导数在定义域上始终大于0（或小于0），则称函数f是凹（或凸）函数。

f''(x) = lim(h→0) [f'(x + h) - f'(x)] / h假设f''(x)>0对于定义域上的任意x成立，那么我们可以选择一个足够小的正数h，使得f'(x+h)-f'(x)>0。

凹函数凸函数

图1x y O 图2-1 y=x x y O y=x 2 x y O 1y x = xyO 图3-1x 2 x 1PQ xyO 图3-2x 2 x 1PQ凹函数?凸函数?524573 广东省吴川市振文中学柯厚宝日常生活中,很多物体和图形都具有凹凸性.函数的图象也是一种图形,它也具有凹凸性.那么函数呢？本文将作一点探讨.1 碗是凹的还是凸的？如图1所示,我们平时吃饭所用的碗是凹的还是凸的？相信很多朋友都会随口答上:凹的!从直观上讲,这个回答是正确的.但从严密的角度看,这个回答又是片面的.试想,我们若是从下而上地看,看到的却是凸的.因而要描述一个物体或图形是凹的还是凸的,还得先把观察的角度定下来. 2凹、凸函数的定义函数的图象是一种图形,因而也可以研究其凹凸性.为了方便研究,对于函数的图象,我们规定从下而上地看.下图分别是函数:y x =,21,y x y x==的图象,哪个是凹的？哪个是凸的？从下而上地看,图2-1中的函数y x =的图象概不是凹的也不是凸的,即这个函数的图象不具有凹凸性;图2-2中的函数2y x =的图象是凸的,有的书也记作“下凸”;对于图2-3中的函数1y x=的图象要分两个范围考虑:①y 轴左边的图象是凹的,有的书也记作“上凸”. ②y 轴右边的图象是凸的.我们顺便总结一下函数图象的凹、凸性: 如图3-1,点P 、Q 是函数图象上的任两点,则在12[,]x x 上,函数图象在直线PQ 的下方,称这图象是凸的,对应的函数为凸函数.如图3-1,点P 、Q 是函数图象上的任两点,则在12[,]x x 上,函数图象在直线PQ 的上方,称这图象是凹的,对应的函数为凹函数.进一步引进梯形的中位线(如图4-1～3),我们可得如下关于凹函数与凸函数的定义: 设函数)(x f 在区间I 上连续(即不间断),对任意两个不同的点1x 、2x I ∈.图4-3(1)如果恒有12121(()())()22x x f x f x f ++=,则函数()f x 在区间I 上概不是凹函数也不是凸函数(如图4-1);(2)如果恒有12121(()())()22x x f x f x f ++>,则函数()f x 在区间I 上是凸函数(如图4-2); (3)如果恒有12121(()())()22x x f x f x f ++<,则函数()f x 在区间I 上是凹函数(如图4-3).3应用函数的凹凸性解题举例例 1定义:对于任意的12,(0,)x x ∈+∞,且12x x ≠时,有12121(()())()22x x f x f x f ++< 成立,称函数()y f x =为在(0,)+∞上的凹函数.则下列函数在(0,)+∞上为凹函数的是( )(A)3xy = (B)3log y x = (C)3y x = (D)1y x =- 解析:分别画出函数的图象,结合凹函数与凸函数的定义知B 正确.故选B. 例2已知函数()y f x =的定义域在I 上,且对于任意的12,x x I ∈,恒有11(()2f x + 122())()2x x f x f +≥成立.则函数()f x = .(写出一个满足题设的函数即可) 解析:由题知,只需找到一个凸函数即可,于是()2xf x =(或2()f x x =.答案不唯一).例3:已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有12()2x x f +< ()()122f x f x +.求实数a 的取值范围.分析:由12()2x x f +<()()122f x f x +知()f x 在R 上为凸函数,必有(0,)a ∈+∞. 解:∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭2121222x x x x a b c ++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211222ax bx c ax bx c +++++-()21204a x x =--<,又∵12x x ≠,∴0a >.∴实数a 的取值范围为()0,+∞.。

《函数凹凸性》课件

几何意义
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为凸函数。这种方法适用于一阶导数容易计算或形式较为简单的函数。

高数课件14凹凸性

凹凸性与光滑性的应用：在优化问题、微分方程等领域有广泛应用
凹凸性与函数的单调性
凹凸性：函数在某点处的二阶导数符号决定了该点的凹凸性
单调性：函数在某点处的一阶导数符号决定了该点的单调性
凹凸性与单调性的关系：凹凸性与单调性是函数在某点处的二阶导数和一阶导数的符号决定的
凹凸性与单调性的应用：在解决实际问题时，可以利用凹凸性与单调性来判断函数的极值和拐点
利用极限判断：如果极限存在且大于0，则为凹函数；如果极限存在且小于0，则为凸函数。
03
凹凸性的性质
凹凸函数的性质
01 02
03 04
05 06
凸函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) < f(x2) 凹函数：对于任意x1, x2, y1, y2，若x1 < x2，则f(x1) > f(x2) 凸函数的二阶导数大于等于0
正二阶导数：函数在该点处为凸函数
负二阶导数：函数在该点处为凹函数
注意事项：凹凸性判定法只适用于二阶可导的函数
06
凹凸性的扩展知识
凹凸性的连续性和可微性
凹凸性的连续性：凹凸性是函数在某点附近的局部性质，与函数的连续性无关
凹凸性的可导性：凹凸性是函数在某点附近的局部性质，与函数的可导性无关
凹凸性与函数极值的关系
凹凸性是函数在某点附近的性质，与函数在该点的极值有关凸函数在极小值点处具有凹性，凹函数在极大值点处具有凸性凸函数的极小值点处，其导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其导数小于等于0 凸函数的极小值点处，其二阶导数大于等于0 凹函数的极大值点处，其二阶导数小于等于0
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汇报人：

求函数的凹凸区间及拐点的步骤

求函数的凹凸区间及拐点的步骤一、概念解析在数学中，我们经常会遇到求函数的凹凸区间及拐点的问题。

这涉及到了函数的二阶导数，以及函数图像的变化规律。

下面我将按照从简到繁的方式，逐步探讨这一主题。

1. 凹凸性的概念我们需要了解什么是函数的凹凸性。

对于函数f(x)，若在区间I上满足f''(x)>0（f''(x)表示f(x)的二阶导数），则称函数f(x)在I上是凹的；若在区间I上满足f''(x)<0，则称函数f(x)在I上是凸的。

2. 拐点的概念另外，拐点指的是函数图像上的一个特殊点，该点对应的二阶导数f''(x)发生变号的点。

二、步骤探究接下来，我们将讨论求函数的凹凸区间及拐点的具体步骤。

我将结合具体的例子来说明每一步的操作方法，以便你能更深入地理解。

1. 求导数我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数，分别记为f'(x)和f''(x)。

这一步是求凹凸区间及拐点的基础。

2. 解方程f''(x)=0在区间I上，我们需要解方程f''(x)=0，找出f(x)的二阶导数为0的点。

这些点就是函数可能存在拐点的位置。

3. 列出数表我们需要列出f''(x)的变号区间，并通过数表的形式进行展示。

在这一步，我们可以通过选取区间内的特定点，代入f''(x)的值，来判断函数的凹凸性。

4. 确定凹凸区间及拐点根据数表中f''(x)的正负情况，我们可以确定函数f(x)的凹凸区间，并找出拐点的具体位置。

这样，我们就完成了求函数的凹凸区间及拐点的步骤。

三、总结回顾通过以上步骤，我们可以比较清晰地了解了如何求函数的凹凸区间及拐点。

在实际应用中，我们可以通过这些步骤，快速、准确地分析函数的凹凸性质，从而更好地理解函数的图像特征。

个人观点：求函数的凹凸区间及拐点是数学中的重要问题，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题的解决中发挥着重要作用。

函数凹凸性判别法与应用讲解

函数凹凸性判别法与应用讲解
函数凹凸性是指函数的变化趋势，即函数的单调性。

单调指的是曲线的一面朝上、一
面朝下，即函数的上凹下凸。

凹凸性判别法是利用函数的三阶导数来判断函数的凹凸性，它的原理是：若一个函数
的三阶导数大于 0，则其对应的前面的函数为凸函数；若一个函数的三阶导数小于0，则
其对应的前面的函数为凹函数。

因此，凹凸性判别法是基于三阶导数判断函数凹凸性的一种方法。

具体来进行凹凸性判断时，首先要求函数的三阶偏导数，记为y''''，如果y''''>0，说明该点处曲线呈凸函数；如果y''''<0，说明该点处曲线呈凹函数。

1、它可以用来判断函数图像的凹凸性，如弧线的凹凸情况；
2、它是非线性优化算法的基本前提。

非线性优化首先要求目标函数的形式，然后通
过数值分析来求解函数的极值、拐点等；
3、它还可以用来分析对策优化问题，研究决策问题中随机变量的影响，研究决策问
题中策略的选择等。

据此，可以看出凹凸性判别法不仅可以用来判断某函数的凹凸性，还能用于优化函数
求解和决策问题的研究中，由此可见它的重要性和实用性。

凹凸函数的综合题

凹凸函数的综合题一、凹凸函数的基本概念凹凸函数是高等数学中经常出现的概念，也是优化问题中常常涉及的知识点。

在此先简单介绍凹凸函数的定义。

定义1：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意的$x_1,x_2\in I$以及$\lambda\in[0,1]$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$在$I$上是凹函数。

如果不等式号为$\ge$，则称$f(x)$在$I$上是凸函数。

定义2：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任意的$x_1,x_2\in I$以及$\lambda\in(0,1)$，都有$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)< \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$，则称$f(x)$在$I$上是严格凹函数。

如果不等式号为$\ge$，则称$f(x)$在$I$上是严格凸函数。

定义3：设$f(x)$在区间$I$上有定义，如果$f(x)$在$I$上是凹函数或者凸函数，则称$f(x)$在$I$上是凹凸函数。

二、凹凸函数的判断对于一元函数，判断它是凹凸函数，我们可以通过它的导数信息来判断。

如果$f(x)$在首一幂级数$x=0$处二阶可导，那么当$f''(x)>0$时，$f(x)$在定义域上就是凸函数；当$f''(x)<0$时，$f(x)$在定义域上就是凹函数。

当$f''(x)=0$时，则需要进一步探究函数的性质。

这里的二阶可导是指一阶导数存在时，二阶导数也存在。

但是对于二元或者更高维的函数，则需要使用更多的工具来判断它们的凹凸性质。

定理1：设$f(x_1,x_2)$在$\mathbb{R}^2$上二阶可导，当且仅当$f(x_1,x_2)$的一阶偏导数存在且连续时，它的二阶混合偏导数$D_{12}^2f(x_1,x_2)=\frac{\partial^2f(x_1,x_2)}{\partial x_1\partial x_2}$与$D_{21}^2f(x_1,x_2)=\frac{\partial^2f(x_1,x_2)}{\partialx_2\partial x_1}$相等。

凹凸函数的判断方法二阶导数

凹凸函数的判断方法二阶导数凹凸函数是高中数学中常遇到的一个概念，掌握凹凸函数的判断方法对于学习数学及应用数学都具有重要意义。

凹凸函数可以通过它的二阶导数来进行判断，下面详细介绍二阶导数的用法。

一、凸函数和凹函数的定义首先，凸函数的定义是对于区间上的任意两点，函数图像上连结它们的线段，位于该线段之上的点的函数值不小于线段端点的函数值，否则就称该函数是凹函数。

以数学公式表示，若函数 f(x) 在区间 [a, b] 上满足下列条件：f[(x1 + x2)/2] ≤ [f(x1) + f(x2)]/2则称 f(x) 在区间 [a, b] 是凸函数。

二、二阶导数的作用当我们需要判断一个函数是凸函数还是凹函数时，我们可以通过二阶导数的符号来进行判断。

因为一个函数 f(x) 在区间 [a, b] 上是凸函数的充分必要条件是对于所有处于区间 (a, b) 的 x，函数的二阶导数f″(x)大于或等于零。

我们用f″(x) 表示 f(x) 的二阶导数。

三、二阶导数的判断方法1. 二阶导数为正的情况当函数的二阶导数f″(x) 大于零时，该函数就是凸函数。

因为在凸函数上，每个点的二阶导数大于或等于零。

此时，函数图像呈现出向上的弯曲形态。

2. 二阶导数为负的情况当函数的二阶导数f″(x) 小于零时，该函数就是凹函数。

在凹函数上，每个点的二阶导数小于或等于零。

此时，函数图像呈现出向下的弯曲形态。

3. 二阶导数为零的情况在函数的二阶导数f″(x) 等于零的点处，出现了拐点，故拐点处的左边为凸函数，右边为凹函数。

四、总结在了解了凸函数和凹函数的定义后，我们可以通过求出函数的二阶导数来查看该函数的凹凸性质。

如果二阶导数大于零，则该函数是凸函数；如果二阶导数小于零，则该函数是凹函数。

同时，当二阶导数等于零时，拐点处左侧为凸函数，右侧为凹函数。

总之，掌握凹凸函数的判断方法是高中数学学习中及其应用中必不可少的知识点，通过学习本文的介绍，希望对大家对此有所帮助。

求函数的凹凸性和拐点

定义法：根据凹函数和凸函数的定义，通过比较函数在某一点的切线与x轴的夹角来判断函数的凹凸性。
导数法：通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的凹凸性。如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间内为凹函数；如果导数小于0，则函数在此区间内为凸函数。
二次项系数法：对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数，如果a>0，则函数为凹函数；如果a<0，则函数为凸函数。
求函数的凹凸性和拐点需要先求一阶导数和二阶导数
根据一阶导数和二阶导数的符号判断函数的凹凸性和拐点
拐点是函数凹凸性改变的点，需要满足一阶导数等于零且二阶导数等于零或正负号改变
需要注意函数的定义域和极值点的判断
汇报人：XX
拐点是函数图像上凹凸性改变的点
拐点处函数的二阶导数变号
添加标题
添加标题
拐点处的一阶导数为零或不存在
添加标题
添加标题
拐点是函数局部性质的重要体现
金融领域：拐点用于预测股票价格的走势物理研究：拐点用于描述物体运动轨迹的变化点数学建模：拐点用于优化函数值，解决最优化问题工程设计：拐点用于调整机械结构，提高稳定性
PART FOUR
确定函数表达式和定义域求一阶导数和二阶导数判断一阶导数和二阶导数的正负性，确定凹凸区间判断二阶导数是否等于零，确定拐点
确定函数的定义域求一阶导数令一阶导数等于0，解出x的值判断二阶导数的符号，确定拐点的性质
函数表达式：f(x)=x^3 凹凸性：在区间(-∞, +∞)上，函数f(x)是凸函数。拐点：在x=0处，函数f(x)的拐点为(0,0)。求解过程：通过求导数和二阶导数，确定函数的凹凸性和拐点。
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的凹凸性。如果图像在某区间内始终位于x轴的上方或下方，则函数在此区间内为凹函数或凸函数。

凹凸函数判定定理的推广及证明

凹凸函数判定定理是指在多元函数的情况下，若满足下列条件之一，则该函数在该点处是凹函数或凸函数。

●若函数在该点处可导，且二阶导数矩阵为正定矩阵，则该函数在该点处是凸
函数；
●若函数在该点处可导，且二阶导数矩阵为负定矩阵，则该函数在该点处是凹
函数；
●若函数在该点处不可导，则不能判断该函数在该点处是凹函数还是凸函数。

证明：
设函数f(x)在x0处可导，且二阶导数矩阵为A。

对于任意的向量h，有：
f(x0+h)=f(x0)+A(h,h)+o(||h||^2)
其中o(||h||^2)表示当||h||趋于0时，o(||h||^2)/||h||^2趋于0的函数。

当A为正定矩阵时，对于任意的向量h，有A(h,h)>0，因此f(x0+h)>f(x0)，即函数f(x)在x0处是凸函数。

当A为负定矩阵时，对于任意的向量h，有A(h,h)<0，因此f(x0+h)<f(x0)，即函数f(x)在x0处是凹函数。

当函数f(x)在x0处不可导时，无法得出函数f(x)在x0处是凹函数还是凸函数的结论。

函数凹凸性对极值的影响分析

函数凹凸性对极值的影响分析函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。

以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。

同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。

●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。

2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。

这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。

●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。

3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。

然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。

●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。

对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。

然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。

●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。

即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。

函数凹凸性与一阶导图像

函数凹凸性与一阶导图像
1 函数凹凸性
凹凸性是函数中的一种重要特征，它指的是函数曲线的极大值、极小值和转折点的特点。

可以从函数曲线的变化趋势来看，一般来分为凹函数和凸函数。

- 凹函数：凹函数的凹点位于曲线的最低点，会出现负斜率的改变，曲线呈下凹形，其凹点处曲线较平滑，且曲线坡度很小，对对应的变量趋势变得更加平缓。

- 凸函数：凸函数的凸点位于曲线的最高点，会出现正斜率的改变，曲线呈上凸形，其凸点处曲线较平滑，且曲线坡度很大，对对应的变量趋势变得更加剧烈。

函数凹凸性是应用函数及其导数来衡量函数曲线弯曲圆滑程度的重要方法，对于求解最优解、优化问题的求解等有重要的意义。

2 一阶导图像
一阶导图像是指函数的一阶导数与函数曲线图的图像一起表示，它用一组点来表示函数曲线图以及函数在所有点处的斜率，是可以用证明函数凹凸性的重要图示形式。

当你面对函数曲线上的一个点时，如果对应的一阶导数为正，说明函数的增长速度是正的，函数图像也是上凸的，这就是一个凸点；如果一阶导数为负，说明函数的变化速度是负的，图像呈下凹形，这
就是函数的一个凹点。

通过一阶导图像，函数凹凸性可以迅速描绘出来，而且有助于理解函数的变化特征。

通过一阶导图像，特别容易找出函数凹凸性，并能够十分准确地描述函数的弯曲程度，因此，在求解极值、求解复杂问题等方面都有着重要的作用。