基于信息再利用的灰色系统GM_1_1_模型建模方法及应用

x
δ(1) ( t ) = k
x
(0)
( t1 ) -
b e a
a ( tk - t1 )
+
b a
(0) (0) 上式中的 x ( t1 ) 称为边值. 将边值取为 x ( t1 ) 在理论上是不合理的, 怎样确定边值目 前还没有最佳的方法, 已有不少文献对其进行了有益的讨论 . ) 1 关于等距序列的讨论 (0) 此时原始数据序列 x 的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型 ( 9) 可简化为:
… 1 (1) ( t2 ) , …, x ( tn ) ] T
(0)Βιβλιοθήκη 将上面求得的参数 Α与 Β 代入式 ( 10) 中, 得到原始数据序列 x ( 111) 模型: ( ) δ (1) ( t ) = Α ^ x e- a tk - t1 + Β, k = 1, 2, …, n k 将上式进行一次累减生成, 可得到原始数据序列 x δ (1) ( t ) = Α ^ x ek
摘要: 目的: 寻找新的灰色系统 GM (1. 1) 模型建模方法, 建立拟合精度与预测精度较高的GM (1. 1) 模型.
方法: 在邓聚龙教授建模方法的基础上, 用基于信息再利用的方法, 建立新的灰色系统GM (1. 1) 模型. 结果: 用基于信息再利用的灰色系统 GM (1. 1) 模型建模方法建立的 GM (1. 1) 模型, 其拟合精度与预测精度不但优 于传统方法建立的 GM (1. 1) 模型, 而且优于其他改进方法建立的 GM (1. 1) 模型. 结论: 基于信息再利用的灰 色系统 GM (1. 1) 模型建模方法不但建模过程简单适用, 而且其建立的GM (1. 1) 模型拟合精度与预测精度优 于其他改进方法建立的 GM (1. 1) 模型, 因而具有广泛的应用价值.
x
δ(0) ( t ) = k
x
(0)
( t1 ) -
b a b a b a
( 1 - ea ) e -
a ( tk - t1 )
, k = 2, 3, …, n
( 10)
文献 [ 7 ] 给出式 ( 10) 的改进公式为:
x
δ(0) ( t ) = k
x
(0)
( tm ) -
( 1 - ea ) e -
3 基于信息再利用的灰色系统 G M ( 1. 1) 模型建模方法的建模过程
本文拟将参数的求解与边值的确定综合在一起讨论, 提出了一种基于信息再利用的方 法 . 即在传统 ( 等距及非等距序列) 的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型的建模方法的基础上, 采用再 次利用原始数据提供的信息, 将灰色系统 GM ( 1. 1) 模型中的辩识参数与边值综合在一起重 新进行辩识. 基于信息再利用的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型建模方法的建模过程有如下三个特 点:
x
(1)
( 7)
( t1 ) = x (0) ( t1 )
其中
(1) (1) ∃ x (1) ( tk ) x ( tk ) - x ( tk - 1 ) (0) = = x ( tk ) , k = 2, 3, …, n ∃ tk tk - tk - 1 (1) 再用下面的数据代换平滑差分方程 ( 7) 中的 x ( tk ) , (1) (1) ) x (1) ( tk - 1 ) ) , k = 2, 3, …, n z ( tk ) = Κ x ( tk ) + ( 1 - Κ
收稿日期: 2007211226 基金项目: 重庆医科大学科技基金 (N SFYY200722)
98
数 学 的 实 践 与 认 识
39 卷
等距序列. 2. 2 传统的灰色系统 G M ( 1. 1) 模型的建模方法 原始数据序列 ( 1) 的一次累加生成序列为
x
(1)
= {x
(1)
( t1 ) , x (1) ( t2 ) , …, x (1) ( tn ) }
1 ) 其建模过程与传统 ( 等距及非等距序列) 的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型的建模方法保持
一致;
100
数 学 的 实 践 与 认 识
(0)
39 卷
2 ) 再次利用了原始数据序列 x = {x
(1)
= {x
(0)
( t1 ) , x (0) ( t2 ) , …, x (0) ( tn ) } 的累加生成序列 x (1)
( t1 ) , x (1) ( t2 ) , …, x (1) ( tn ) } 的信息; 3 ) 利用了传统 ( 等距及非等距序列) 的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型的建模方法没有利用的
原始数据序列对应的时间序列 t = { t1 , t2 , …, tn } 提供的信息 . ( ) 基于信息再利用的灰色系统 GM 1. 1 模型建模方法的建模过程简述如下: 首先利用传统 ( 等距及非等距序列) 的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型的建模方法得到原始数 (0) 据序列 x 的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型 ( 9) , 可将模型 ( 9) 称为毛坯模型 . 然后对毛坯模型 ( 9) 进行精加工, 即将毛坯模型 ( 9) 的第三个公式改写为 ( ) δ(1) ( 12) x ( tk ) = Α e - a tk - t1 + Β, k = 2, 3, …, n 其中 Α与 Β 为新的待辨参数. 利用传统 ( 等距及非等距序列) 的灰色系统 GM ( 1. 1) 模型的建模方法得到的参数 a , 再 次利用原始数据序列 (0) (0) (0) (0) x = {x ( t1 ) , x ( t2 ) , …, x ( tn ) } 的累加生成序列
k
( 2)
其中
x
(1)
( tk ) =
∑x
i= 1
(0)
( ti) ∃ ti}
( 3)
从一次累加生成序列 ( 2) 还原为原始数据序列 ( 1) 的计算公式为 (1) (1) x ( tk + 1 ) - x ( tk ) (0) ( 4) x ( tk + 1 ) = tk + 2 - tk + 1 当一次累加生成序列 ( 2) 接近于非齐次指数规律变化时, 序列 ( 2) 的响应函数是微分方 程
x
(1)
= {x
(1)
( t1 ) , x (1) ( t2 ) , …, x (1) ( tn ) }
以及原始数据序列对应的时间序列
t = { t1 , t2 , …, tn }
将累加生成序列 x
(1)
= {x
(1)
( t1 ) , x (1) ( t2 ) , …, x (1) ( tn ) } 和原始数据序列对应的时间序列
… …
- z
(1)
( tn )
1
1
1
Y = [x
( t2 ) , x (0) ( t3 ) , …, x (0) ( tn ) ] T
(0) 将上面求得的参数 a 与 b 代入式 ( 6) 中, 得到原始数据序列 x 的灰色系统GM ( 1. 1) 模 型: (0) δ(0) x ( t1 ) = x ( t1 ) δ(1) δ(1) x ( tk ) - x ( tk - 1 ) δ(0) x ( tk ) = ( 9) ( k = 2, 3, …, n ) tk - tk - 1
关键词: 灰色系统; 数学模型; 灰色模型; GM (1. 1) 模型
1 引 言
灰色系统理论中的 GM ( 1. 1) 模型[ 122 ] 自 20 世纪 80 年代邓聚龙教授提出以来, 因其计算 方法简便, 所需样本数据较少等优点, 广泛应用于社会、 经济、 军事、 气象、 工程技术和生物医 学等众多领域. GM ( 1. 1) 模型是应用最为广泛的灰色模型 . 建立 GM ( 1. 1) 模型的传统方法有计算方法简便的优点, 美中不足的是拟合精度和预测 精度有时较差. 为了提高 GM ( 1. 1) 模型的拟合精度和预测精度, 许多学者在 GM ( 1. 1) 模型 建模方法上做了大量的研究. 主要是从以下两个方面进行了研究: 一方面是探讨了改进求解 [ 327 ] GM ( 1. 1 ) 模型中的参数的方法 ; 另一方面是探讨 GM ( 1. 1 ) 模型中的边值的确定方 法[ 829, 12 ]. 本文拟将参数的求解与边值的确定综合在一起讨论, 提出了一种基于信息再利用的方 法 . 用该方法建立的 GM ( 1. 1) 模型可以极大地提高 GM ( 1. 1) 模型的拟合精度和预测精度, 该方法的另外一个优点是保持了传统方法建立 GM ( 1. 1) 模型的计算方法简便的优点 . 文中 的应用实例验证了本文提出的基于信息再利用的方法的有效性与实用价值 .
dx
x
(1)
( t)
dt
(1)
+ ax
(1)
( t) = b
( 5)
( t1 ) = x (0) ( t1 )
b e a b a
的解
x
(1)
( t) =
x
(0)
( t1 ) -
a ( t- t1 )
+
其中未知常数 a 与 b 为待辨参数. 序列 ( 2) 的离散响应函数为
x x
(1)
( t1 ) = x (0) ( t1 ) ( tk ) =
[ 15218 ]
t = { t1 , t2 , …, tn } 代入上式, 利用线性代数中的矩阵方程可确定待辨参数 Α与 Β
:
Α = (B TB ) - 1B T Y Β 其中
B
T
=
1 1
(1)
e-
a ( t2 - t1 )
… e-
a ( tn - t1 )
1 ( t1 ) , x