高三二轮复习数学微专题--- 含参数函数的单调性

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用导数讨论含参函数的单调性

单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。

首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。

含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。

其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。

在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。

通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。

例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。

该函数的导数为$y'=2ax+b$。

因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。

更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。

再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。

总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。

正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。

”。

利用导数研究含参函数单调性

利用导数研究含参函数单调性函数的单调性是指函数随着自变量的变化，函数值的增减规律。

利用导数可以研究含参函数的单调性。

考虑含参函数$f(x;a)$，其中$a$是函数的参数。

我们希望研究函数$f$相对于自变量$x$和参数$a$的单调性。

首先，我们来研究函数相对于自变量$x$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$的单调性，我们需要计算其导数。

记$f'(x;a)$为函数$f(x;a)$的导数。

根据导数的定义，我们有$$f'(x;a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x;a) - f(x;a)}{\Delta x}$$这表示了函数$f(x;a)$在$x$处的切线的斜率。

我们可以通过计算导数来研究函数的单调性。

具体来说，当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终大于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递增的；当导数$f'(x;a)$在一些区间内始终小于零时，函数$f(x;a)$在该区间内是递减的。

例如，考虑函数$f(x;a) = ax^2 + bx + c$，其中$a,b,c$是参数。

我们可以计算其导数$f'(x;a) = 2ax + b$。

当$a>0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上大于零，这表示函数$f(x;a)$是递增的；当$a<0$时，$f'(x;a)$在整个实数域上小于零，这表示函数$f(x;a)$是递减的。

接下来，我们来研究函数相对于参数$a$的单调性。

要研究函数$f(x;a)$相对于参数$a$的单调性，我们需要计算其偏导数。

记$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a)$为函数$f(x;a)$相对于参数$a$的偏导数。

根据偏导数的定义，我们有$$\frac{\partial f}{\partial a}(x;a) = \lim_{\Delta a \to 0} \frac{f(x;a+\Delta a) - f(x;a)}{\Delta a}$$类似地，我们可以通过计算偏导数来研究函数相对于参数的单调性。

高三二轮复习数学微专题---含参数函数的单调性

由 f '(x) g'(x) 0 在以 a， b 为端点的区间上恒成立，知 x1 要么不大于 a， b 中的小者；
a 要么不小于 a， b 中的大者，
3
因为 a， b 都不大于 0，所以， (2 x+b) 0，所以，由 f '(x)g'(x) 0 知 3x 2 a 0 ，
所以
a x 0； 3
分层分类
x1 2 x 2 2
( x1 2)( x2 2)
(x1 2)( x2 2)
∵ x1∈（－ 2， +∞）， x2∈（－ 2， +∞）且 x1＜ x2， ∴ x2－ x1＞ 0，x1 +2＞ 0， x2+2＞0 ∴当 1－ 2a＞ 0，即 a＜ 1 时， f（ x1）＞ f（ x2），该函数在（-2 ，+ ）减函数；
当0 a b
a 时，由 f '(x)g'(x) 0 在区间 (b,a)上恒成立， 3
即（3x2 a）(2 x b) 0 在区间 (b,a )上恒成立，
知|a－ b|最大值为 | a
a | ，而由 a 3
a 3
解得
a>
－
1； 3
此时， | a
a | |（
a）2
3 a |，配方后知，取不到最大值；
3
3
当0 b a
2
3x
a, g ( x)
2x
b, a,b
R
⑴由题设 “单调性一致 ”定义知， f '(x)g'(x) 0 在区间 [ － 1,+ )上恒成立，
即，（3
2
x
a）(2 x
b)
0 在区间 [ －1,+ )上恒成立，

函数单调性高三复习知识点

函数单调性高三复习知识点函数单调性是高中数学中的重要知识点之一，它在数学分析、代数学等学科中有着广泛的应用。

本文将就函数单调性的定义、性质、证明方法等方面进行高中复习知识点的总结。

一、函数单调性的定义与性质在数学中，函数单调性是指函数对于定义域内的任意两个不同的自变量取值，其函数值的变化关系。

具体而言，若函数在定义域D上满足对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则称该函数在D上为递增函数；若对于任意的x_1,x_2∈D，且x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则称该函数在D 上为递减函数。

函数的单调性可以用图像直观地表示出来。

对于递增函数，其图像从左往右呈上升趋势；对于递减函数，其图像从左往右呈下降趋势。

而对于函数的单调性来说，如果一个函数既是递增函数又是递减函数，那么它在整个定义域上是无单调性的。

二、函数单调性的证明方法1. 利用导数的符号进行证明函数的单调性与函数的导数有着密切的关系。

对于给定的函数，如果在定义域内的某个区间上导数的取值恒为正值，则函数在该区间上为递增函数；如果导数的取值恒为负值，则函数在该区间上为递减函数。

证明函数单调性的关键是分析函数的导数符号。

可以通过导数的定义及相关的数学推理，找出导数在某个区间上的符号，从而得出函数在该区间上的单调性。

2. 利用函数的增减性进行证明对于函数f(x)，若在定义域内的任意两个不同的自变量取值x_1和x_2，若有f(x_1) < f(x_2)，则函数在x_1和x_2之间取任意值时均满足f(x_1) < f(x) < f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递增的。

反之，如果有f(x_1) > f(x_2)，则称函数在x_1和x_2之间是递减的。

基于这个性质，可以通过选择不同的x_1和x_2来判断函数的单调性。

如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) < f(x_2)，则函数为递增函数；如果对于所有的x_1 < x_2，都有f(x_1) > f(x_2)，则函数为递减函数。

用导数解决含参数的函数的单调性

用导数解决含参数的函数的单调性单调性是数学中一个重要的概念，用于描述函数在特定区间内的增减性质。

在解决含参数的函数的单调性时，我们可以利用导数的概念和性质进行分析和推导。

本文将介绍如何使用导数解决含参数的函数的单调性，并给出相应的示例。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于函数$f(x)$在点$x=a$处可导，其导数$f'(a)$表示函数曲线在该点处的斜率，可以通过以下公式计算：$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，$h$为一个无限趋近于0的值。

导数可以帮助我们研究函数的变化趋势、最值以及单调性等性质。

接下来，我们将探讨含参数的函数的单调性。

含参数的函数形式可以表示为$f(x;a)$，其中$a$为参数。

我们的目标是找到使函数单调的参数范围。

解决这个问题的关键是求导。

首先，我们需要计算函数的一阶导数$f'(x;a)$和二阶导数$f''(x;a)$。

一阶导数反映了函数的变化趋势，二阶导数揭示了函数的曲率性质。

接下来，我们需要找出函数的临界点和在其定义域内的驻点。

临界点是导数为0或不存在的点，驻点是导数在该点处为0的点。

当我们求出一阶导数$f'(x;a)$后，我们可以通过求解方程$f'(x;a)=0$来计算临界点和驻点。

这些点将给出函数的极值或拐点。

通过对导数方程进行求解，我们可以找到参数$a$满足$f'(x;a)=0$，从而得到临界点和驻点。

接下来，我们需要进行符号分析，确定函数的区间性质。

具体来说，当一阶导数$f'(x;a)$在一些区间内大于0时，函数$f(x;a)$是递增的；当一阶导数在一些区间内小于0时，函数是递减的；当一阶导数的正负性在一些点发生改变时，该点可能是函数的拐点。

当我们确定函数的单调性时，还应该考虑到函数的定义域。

特别是当参数$a$对函数的定义域有影响时，我们需要对不同的参数范围进行分析，以确定函数的单调性。

高考专题函数单调性知识点

高考专题函数单调性知识点：函数单调性知识点详解导言：高考数学中，函数单调性是一个重要而常见的考点。

理解和掌握函数单调性的相关知识点，不仅是解题的关键，也是学习高中数学的基础。

本文将从函数单调性的定义、判定和应用三个方面详细介绍这一知识点。

一、函数单调性的定义函数的单调性是指函数在定义域内的全部或部分区间上是递增或递减的性质。

具体地说，对于定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在闭区间[a, b]上是递增函数；如果对于任意的x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在闭区间[a, b]上是递减函数。

二、函数单调性的判定1. 导数法：对于可导函数，通过判断导数的正负性可以确定函数的单调性。

如果函数的导数f'(x)>0恒成立，则函数递增；如果函数的导数f'(x)<0恒成立，则函数递减。

2. 一阶导数法：对于一次可导函数，通过一阶导数的增减性可判断函数的单调性。

如果在某一区间上一阶导数f'(x)递增，则函数递增；如果一阶导数f'(x)递减，则函数递减。

3. 二阶导数法：对于二次可导函数，通过二阶导数的正负性可以判定函数的单调性。

如果二阶导数f''(x)>0恒成立，则函数为凹函数，即在该区间递增；如果二阶导数f''(x)<0恒成立，则函数为凸函数，即在该区间递减。

三、函数单调性的应用1. 求函数的单调增区间和单调减区间：通过判定函数的单调性，可以求出函数的单调增区间和单调减区间。

在解题时，常常需要利用函数的单调性来确定函数的取值范围、最值、零点等。

2. 求函数的最值：对于持续递增（递减）的函数来说，该函数的最小值（最大值）可以通过求出定义域的最小值（最大值）来得到。

这对于优化问题的解决非常有用。

参数函数的单调区间

参数函数的单调区间参数函数是指函数中含有一个参数，这个参数可以取多个不同的值，从而函数的值也会发生相应的变化。

而函数的单调性是指在定义域上，函数值随着自变量变化的趋势。

对于参数函数的单调性，我们可以分为三种情况来讨论：第一种情况是参数函数的单调递增。

当参数函数的自变量增大时，函数值也随之增大。

例如，考虑函数$f(x) = ax$，其中$a$为常数。

当$a>0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而增大；当$a<0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而减小。

所以函数$f(x) = ax$的单调递增区间为$x>0$；第二种情况是参数函数的单调递减。

当参数函数的自变量增大时，函数值会随之减小。

例如，考虑函数$f(x) = -\frac{1}{x}$，其中$x$为正数。

当$x$增大时，函数$f(x)$会变得更小。

所以函数$f(x) = -\frac{1}{x}$的单调递减区间为$x>0$；第三种情况是参数函数的单调性与参数相关。

在这种情况下，函数的单调性会随着参数的取值不同而变化。

例如，考虑函数$f(x) = bx^2$，其中$b$为常数。

当$b>0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而增大；当$b<0$时，函数$f(x)$随着$x$的增大而减小。

所以函数$f(x) = bx^2$的单调性依赖于参数$b$的取值。

综上所述，参数函数的单调性可以分为三种情况：单调递增、单调递减和与参数相关。

其中单调递增的区间为自变量取值大于一些特定值的范围，单调递减的区间为自变量取值小于一些特定值的范围，与参数相关的单调性则是根据参数的取值范围来确定。

高三数学专题含参函数的单调性

高三数学专题含参函数的单调性1.设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间．2.判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．3.已知函数f(x)＝x2＋2a ln x，(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为l，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．4.设函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)，其中a≥－1，求f(x)的单调区间．5.已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．试求f(x)的单调区间．6.讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．7.函数f(x)＝ax2－a－ln x，讨论f(x)的单调性．8.设函数f(x)＝(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．9.已知函数f(x)＝－a(x－ln x)．(1)当a＝1时，试求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≤0时，试求f(x)的单调区间．10.已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．11.设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.讨论f(x)在其定义域上的单调性．12.已知函数f(x)＝a ln x＋x2－(1＋a)x(x>0)，其中a为实数．求函数f(x)的单调区间．13.已知函数f(x)＝e x－ax＋a，其中a∈R，e为自然对数的底数．讨论函数f(x)的单调性，并写出对应的单调区间．14.已知函数f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－ln x(a∈R)．当a>0时，求函数f(x)的单调递减区间．15.设函数f(x)＝x2－m ln x(m>0)，求函数f(x)的单调区间．16.已知函数f(x)＝ax＋x2－x ln a(a>0且a≠1)，求函数f(x)的单调递增区间．17.已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R，讨论函数f(x)的单调性．18.已知函数f(x)＝ax－e x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．19.已知函数f(x)＝ln x－ax－3(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性．20.已知函数f(x)＝ln x－(a∈R)，试判断f(x)在定义域内的单调性．21.已知f(x)＝a(x－ln x)＋，a∈R. 讨论f(x)的单调性．22.已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R)．求函数f(x)的单调区间．23.设f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. 令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间．24.设函数f(x)＝ax－2－ln x(a∈R)．(1)若f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为，求a的值；(2)当a>0时，求f(x)的单调区间．25.设函数f(x)＝.求函数f(x)在[0,2]上的单调区间．26.已知函数f(x)＝a e xx－2a e x－x2＋x.(1)求函数f(x)在(2，f(2))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调区间．27.已知m>0，讨论函数f(x)＝的单调性．答案解析1.【答案】解f′(x)＝3ax2＋1，若a>0，则f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾．若a＝0，则f(x)＝x，此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾．若a<0，则f′(x)＝3a(x＋)(x－)，综上可知，a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为(－∞，－)，(，＋∞)，增区间为[－，]．【解析】2.【答案】解由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈(0,)时，f′(x)>0；当x∈[，＋∞)时，f′(x)≤0.故f(x)在(0,)上单调递增，在[，＋∞)上单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a<0时，f(x)在(0,)上单调递增，在[，＋∞)上单调递减．【解析】3.【答案】解(1)f′(x)＝2x＋＝，由已知f′(2)＝1，解得a＝－3.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．①当a≥0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a<0时，f′(x)＝，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，]；单调递增区间是(，＋∞)．【解析】4.【答案】解由已知得函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)且f′(x)＝(a≥－1)，①当－1≤a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝.f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：从上表可知，当x∈(－1，]时，f′(x)≤0，函数f(x)在(－1，]上单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增．综上所述：当－1≤a≤0时，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．当a>0时，函数f(x)在(－1，]上单调递减，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增．【解析】5.【答案】解f′(x)＝－1＋kx＝，x∈(－1，＋∞)．当k＝0时，f′(x)＝－，所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；在区间[0，＋∞)上，f′(x)≤0.故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是[0，＋∞)；当0<k<1时，由f′(x)＝＝0，得x 1＝0，x2＝>0，所以，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f′(x)>0；在区间[0，]上，f′(x)≤0.故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(，＋∞)，单调递减区间是[0，]；当k＝1时，f′(x)＝，故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)；当k>1时，f′(x)＝＝0，得x 1＝∈(－1,0)，x2＝0，所以在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；在区间[，0]上，f′(x)≤0，故f(x)的单调递增区间是(－1，)和(0，＋∞)，单调递减区间是[，0]．【解析】6.【答案】解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝，①当a＝0时，f′(x)＝，由f′(x)≥0，得x≥1；由f′(x)<0，得0<x<1.所以，f(x)在(0,1)内为减函数，在[1，＋∞)内为增函数；②当a>0时，f′(x)＝，因为a>0，所以－<0，由f′(x)≥0，得x≥1；由f′(x)<0，得0<x<1.所以，f(x)在(0,1)内为减函数，在[1，＋∞)内为增函数．综上所述，a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数；在[1，＋∞)内为增函数．【解析】7.【答案】解由f(x)＝ax2－a－ln x，得f′(x)＝2ax－＝(x>0)，当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上为减函数；当a>0时，由f′(x)＝0，得x＝±＝±，∴当x∈(0，)时，f′(x)<0，当x∈[，＋∞)时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，)上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，当a>0时，f(x)在(0，)上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．【解析】8.【答案】解(1)函数f(x)＝(x－1)3－ax－b的导数为f′(x)＝3(x－1)2－a，当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上递增；当a>0时，当x>1＋或x<1－时，f′(x)>0，当1－≤x≤1＋时，f′(x)≤0，可得f(x)的增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)，减区间为[1－，1＋]．【解析】9.【答案】解(1)当a＝1时，f′(x)＝－1＋，f′(1)＝0，f(1)＝e－1.∴方程为y＝e－1.(2)函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(1－)，＝＝，当a≤0时，对于∀x∈(0，＋∞)，e x－ax>0恒成立，令f′(x)>0⇒x>1，令f′(x)<0⇒0<x<1，∴f(x)的减区间为(0,1)，增区间为(1，＋∞)．【解析】10.【答案】解(1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝＋1－，因此，f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1，又f(2)＝ln 2＋2，所以y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.(2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)，令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，所以，当x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数单调递增；②当a≠0时，由g(x)＝0，即ax2－x＋1－a＝0，解得x 1＝1，x2＝－1.(ⅰ)当a＝时，x 1＝x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0<a<时，x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；(ⅲ)当a<0时，由于－1<0，x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时函数f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减；函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当0<a<时，函数f(x)在(0,1)和(－1，＋∞)上单调递减；函数f(x)在(1，－1)上单调递增．【解析】11.【答案】解f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2，由f′(x)＝0，得x 1＝，x2＝，x1<x2，∴由f′(x)<0，得x<或x>；由f′(x)>0，得<x<，故f(x)在(－∞，)和(，＋∞)上单调递减，在(，)上单调递增．【解析】12.【答案】解因为f′(x)＝＋x－(1＋a)＝(x>0)，①当a≤0时，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1，此时，函数f(x)的增区间是(1，＋∞)，减区间是(0,1)，②当0<a<1时，令f′(x)>0，得x>1或0<x<a；令f′(x)<0，得a<x<1，此时，函数f(x)的增区间是(1，＋∞)和(0，a)，减区间是(a,1)，③当a＝1时，f′(x)≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，此时，函数f(x)的增区间是(0，＋∞)，无减区间，④当a>1时，令f′(x)>0，得x>a或0<x<1；令f′(x)<0，得1<x<a，此时，函数f(x)的增区间是(a，＋∞)和(0,1)，减区间是(1，a)．【解析】13.【答案】解由函数f(x)＝e x－ax＋a，可知f′(x)＝e x－a，①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增；②当a>0时，令f′(x)＝e x－a＝0，得x＝ln a，故当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．【解析】14.【答案】解当a>0时，函数f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－ln x的导数f′(x)＝－ax＋1＋a－＝－(x>0)，当a＝1时，f′(x)≤0，f(x)递减；当a>1时，1>，f′(x)<0，可得x>1或0<x<；当0<a<1时，1<，f′(x)<0，可得0<x<1或x>.综上可得，a＝1时，f(x)的减区间为(0，＋∞)；a>1时，f(x)的减区间为(1，＋∞)，(0，)；0<a<1时，f(x)的减区间为(，＋∞)，(0,1)．【解析】15.【答案】解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x>时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．综上，函数f(x)的单调增区间是(，＋∞)，减区间是(0，)．【解析】16.【答案】解函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ax ln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.令h(x)＝f′(x)＝2x＋(ax－1)ln a，h′(x)＝2＋ax ln2a，当a>0，a≠1时，h′(x)>0，所以h(x)在R上是增函数，又h(0)＝f′(0)＝0，所以，f′(x)>0的解集为(0，＋∞)，f′(x)<0的解集为(－∞，0)，故函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．【解析】17.【答案】解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，若a≤0，则f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，f′(x)>0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．【解析】18.【答案】解∵f′(x)＝a－e x，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝ln a.由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞)．【解析】19.【答案】解由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－a，当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，]，减区间为(，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调增区间为(0，＋∞)，无减区间．【解析】20.【答案】解由题意得f(x)的定义域是(0，＋∞)且f′(x)＝，当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－a]上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．【解析】21.【答案】解由f(x)＝a(x－ln x)＋(x>0)，得f′(x)＝a(1－)＋＝＋＝＝(x>0)．若a≤0，则ax2－2<0恒成立，∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；当a>0时，若0<a<2，当x∈(0,1)和(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈[1，]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；若a＝2，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；若a>2，当x∈(0，)和(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x∈[，1]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数．【解析】22.【答案】解f′(x)＝(x>0)，当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，减区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．【解析】23.【答案】解∵f(x)＝x ln x－ax2＋(2a－1)x(x>0)，∴g(x)＝f′(x)＝ln x－2ax＋2a，x>0，g′(x)＝－2a＝，当a≤0时，g′(x)>0恒成立，即得g(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a>0，x≥时，g′(x)≤0，函数为减函数，当0<x<时，g′(x)>0，函数为增函数，∴当a≤0时，g(x)的单调增区间是(0，＋∞)；当a>0时，g(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是[，＋∞)．【解析】24.【答案】解(1)函数的导数f′(x)＝a－，若f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为，则f′(e)＝a－＝，得a＝.(2)由f′(x)＝a－＝(x>0)，当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)随x变化情况如下表：由表可知，f(x)在(0，)上是单调减函数，在(，＋∞)上是单调增函数，所以，当a>0时，f(x)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，＋∞)．【解析】25.【答案】解f′(x)＝，当2－m≤0，即m≥2时，x∈[0,2]，f′(x)≥0，f(x)在[0,2]上单调递增；当0<m<2时，令f′(x)≤0，得0≤x≤2－m，令f′(x)>0，得2－m<x≤2，所以f(x)在[0,2－m]上单调递减，在(2－m,2]上单调递增；当m≤0时，f′(x)≤0，f(x)在[0,2]上单调递减．【解析】26.【答案】解(1)函数f(x)＝a e xx－2a e x－x2＋x的导数为f′(x)＝a(e x＋x e x)－2a e x－x＋1＝(x－1)(a e x－1)，可得f(x)在(2，f(2))处的切线斜率为a e2－1，切点为(2,0)，即有切线的方程为y－0＝(a e2－1)(x－2)，即为y＝(a e2－1)(x－2)．(2)由f(x)的导数为f′(x)＝(x－1)(a e x－1)，①当a＝0时，f′(x)＝－(x－1)，当x>1时，f′(x)<0，f(x)递减；当x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；②当a<0时，当x>1时，f′(x)<0，f(x)递减；当x<1时，f′(x)>0，f(x)递增；③当a>0时，若a＝，则f′(x)＝(x－1)(e x－1－1)，f(x)在R上递增；若a>，则f′(x)>0，即为(x－1)(x－ln)>0，可得x>1或x<ln；f′(x)<0，即为(x－1)(x－ln)<0，可得ln<x<1；若0<a<，则f′(x)>0，即为(x－1)(x－ln)>0，可得x<1或x>ln；f′(x)<0，即为(x－1)(x－ln)<0，可得1<x<ln.综上可得，a≤0时，f(x)的增区间为(－∞，1)，减区间为(1，＋∞)；a＝时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；a>时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，(－∞，ln)，减区间为(ln，1)；0<a<时，f(x)的增区间为(ln，＋∞)，(－∞，1)，减区间为(1，ln)．【解析】27.【答案】解f′(x)＝，设g(x)＝－mx2－(m＋3)x－3，令g(x)＝0，得x 1＝－，x2＝－1.①当0<m<3时，x1<x2，x，f′(x)与f(x)的变化情况如下：∴f(x)在区间(－∞，－)，(－1，＋∞)上是减函数，在区间(－，－1)上是增函数．②当m＝3时，x1＝x2，在区间(－∞，＋∞)上，g(x)≤0，即f′(x)≤0，∴f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数．③当m>3时，x1>x2，x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下：∴f(x)在区间(－∞，1)，(－，＋∞)上是减函数，在区间(－1，－)上是增函数．【解析】。

含参型函数单调性求解技巧

含参型函数单调性求解技巧单调性是函数在某个定义域上的递增或递减性质。

当一个函数在某个区间上单调递增时，函数的值随着自变量的增大而增大；当一个函数在某个区间上单调递减时，函数的值随着自变量的增大而减小。

要判断一个含参型函数的单调性，可以运用微积分和函数性质的知识。

下面介绍一些常见的求解技巧。

一、求导法1. 单调递增区间如果一个函数在某个区间上的导数大于零，则函数在该区间上单调递增。

即 f'(x) > 0。

2. 单调递减区间如果一个函数在某个区间上的导数小于零，则函数在该区间上单调递减。

即 f'(x) < 0。

判断函数的单调性时，可以求出函数的导数，并根据导数的正负来判断单调性的性质。

例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，我们可以求出它的导数 f'(x) = 2x + 3。

根据导数 f'(x) 的正负，可以判断函数 f(x) 的单调性。

二、函数性质法有些函数具有特殊的数学性质，可以利用这些性质来判断函数的单调性。

1. 二次函数二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是常数，并且 a ≠ 0。

当 a > 0 时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递增；当a < 0 时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，函数在抛物线开口的两侧上单调递减。

例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，它是一个开口向上的抛物线，函数在整个定义域上单调递增。

2. 反函数如果一个函数在整个定义域上单调递增或单调递减，则它的反函数在整个值域上也单调递增或单调递减。

例如，对于函数f(x) = e^x，它是一个在整个定义域上单调递增的指数函数。

其反函数为f^{-1}(x) = \\ln x，它在整个值域上也单调递增。

三、初等函数的单调性规律对于一些常见的初等函数，也存在一些单调性的规律，可以用来判断函数的单调性。

2023届高考数学导数满分通关：含参函数的单调性讨论

专题05 含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； (2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”； (4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．考点一导主一次型【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性．1．解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．考点二导主二次型【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021·全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018·全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2．①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0．所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)． (1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．【对点训练】3．(2020·全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3， k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫ k 3，＋∞上单调递增．4．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2，x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1a． x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减．命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a<x <1，即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a，即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． [例6] 已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a．(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ；当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x－ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ．当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析 f ′(x )＝ax ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)， ①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． ②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016·山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3．当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．【对点训练】6．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x．①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性． 8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x ．(1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a2a，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)．①当0<k <2时，4k >k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数．综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．10．解析函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1．①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．考点三导主指对型【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a2，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a2．综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a2．【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增． ∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －12x 2＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x－x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )·1x－x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1，此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)； ③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ，此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)；当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＞1时，f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，＋∞)．考点四导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e x·(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析(1)g′(x)＝(e x)′·(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017·山东)已知函数f(x)＝13x3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析(1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．。

含参数的函数单调性

含参数的函数单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性质。

具体而言，如果对于定义域内的任意两个不同的实数a和b，当a小于b时，函数值f(a)小于f(b)，则称函数在该区间内为递增函数；当a小于b时，函数值f(a)大于f(b)，则称函数在该区间内为递减函数。

当函数有参数时，其单调性可以根据参数的取值范围和函数表达式来确定。

设函数为f(x;a)，其中a为参数，则函数f的单调性可分为以下几种情况：1.a为固定值的情况：当a为固定值时，可以将其视为一个常数，此时只需要分析函数关于自变量x的单调性。

即只关注函数f(x)在定义域内的增减性质。

2.a为可变参数的情况：当a为可变参数时，需要根据参数a的取值范围和函数表达式来分析函数的单调性。

具体分析方法如下：a)当参数a的取值范围与函数的自变量x无关时，可以将a视为常数，此时只需要分析函数关于自变量x的单调性。

b)当参数a的取值范围与函数的自变量x相关时，需要通过函数表达式来分析函数的单调性。

可以通过以下几种方法来确定函数的单调性：-方法一：通过求导数来分析函数的单调性。

-方法二：通过构造不等式来分析函数的单调性。

-方法三：通过绘制函数图像来分析函数的单调性。

以下以具体的例子来说明含参数的函数单调性的分析方法。

例1：考虑函数f(x;a) = ax^2 + 1，其中a为参数。

首先，当a为固定值时，函数f(x;a) = ax^2 + 1可以视为一个二次函数。

我们知道，二次函数的单调性与其二次项的系数a有关。

当a>0时，二次函数f(x)是开口向上的，是递增函数；当a<0时，二次函数f(x)是开口向下的，是递减函数。

因此，不考虑a的取值范围时，函数f(x;a)在整个定义域上的单调性与a无关。

接下来，考虑a为可变参数的情况。

直接观察函数表达式f(x;a) =ax^2 + 1，可以发现函数f(x;a)关于自变量x是一个二次函数，函数的单调性与参数a无关。

因此，无论参数a的取值范围如何，函数f(x;a)在整个定义域上都具有相同的单调性。

高三函数单调性知识点

高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。

在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。

一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。

二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。

若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。

2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。

若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。

三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。

递增函数和递减函数统称为单调函数。

2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。

3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。

高三数学复习专题——函数的单调性

函数的单调性从近两年高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数最值问题是高考的热点，各种类型都有，难度中等偏高，客观题主要考查函数的单调性或最值的灵活确定与简单应用，主观题注重综合考查函数性质，以及数学思想方法．一、要点精讲 1．单调性对于给定区间I 上的函数()x f 及属于这个区间I 的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，如果都有()()21x f x f <（()()21x f x f >），那么就说()x f 在给定区间上是增函数（减函数）；这个区间就叫做这个函数的单调递增（减）区间。

2. 判断函数单调性的方法 ⑴ 定义法⑵ 在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

⑶ 利用复合函数的单调性：同增异减⑷ 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； ⑸ 互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性；3．求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 4、函数的最值：二、双基达标1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝1xC ．y ＝2－xD ．y ＝－x 2－4x ＋12．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3 B ．a ≥－3 C ．a ≤3 D ．a ≥3 解：x 对＝1－a ，由在(－∞，4]上是减函数，故1－a ≥4. ∴a ≤－3. 3．函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[1，＋∞)解：定义域为{x |－5≤x ≤1}．函数的递增区间为[－5，－2]．4．若f (x )为R 上的减函数，则满足f (1－a )<f (2a 2)的实数a 的取值范围是________．解：∵f (x )在R 为减函数，∴1－a >2a 2，即2a 2＋a －1<0. ∴－1<a <12.5．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解：∵f (x )＝a ＋1－2a x ＋2在(－2，＋∞)是增函数，∴1－2a <0，即a >12.6、⑴ 函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为(],2-∞；⑵ 函数()()3,1)34(log )(221∈-+-=x x x x f 的递减区间为(]1,2 三．典例解析热点一：函数的单调性的定义1. 1x ，2x 是()x f 定义域内的两个值，且21x x <，有()()21x f x f >，则是（A ）增函数（B ）减函数（C ）常数函数（D ）增减性不定 2、有下列几个命题：①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数； ②函数y =11+x 在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数； ③函数y =245x x -+的单调区间是［－2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）. 其中正确命题的序号是___________________.④解：①函数y =2x 2+x +1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y =11+x 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y =245x x -+的单调区间，首先被开方数5+4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③ 错；④∵f （x ）在R 上是增函数，且a ＞－b ，∴b ＞－a ，f （a ）＞f （－b ），f （b ）＞f （－a ），f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ），因此④是正确的.3、下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是( ) A ．f (x )＝－x ＋1 B ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝ln(－x )解：f (x )＝－x ＋1为减函数，f (x )＝x 2－1在(－∞，1)上为减函数；f (x )＝2x为增函数，f (x )＝ln(－x )为减函数，由条件知f (x )在(－∞，0)上为增函数，故排除A 、B 、D 选C. 热点二：判断证明函数的单调性3．(2010北京)给定函数①21x y =，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解：易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.4、⑴判断并证明函数)1,0(11log )(≠>+-=a a xxx f a的单调性 ⑵当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围．解：(1)定义域为{x |－1<x <1}．(2)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}． 5、判断函数xx e e x f -+=)(在区间),0(+∞上的单调性．解法一设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－e x 2－e －x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1)，∵0<x 1<x 2，∴e x 2－e x 1>0，又e>1，x 1＋x 2>0，∴e x 1＋x 2>1，故1e x 1＋x 2－1<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，由单调函数的定义知函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数．解法二对f (x )＝e x＋e －x求导得f ′(x )＝e x －e －x ， ∵x >0 ∴e x >1,0<e －x<1 ∴f ′(x )>0在(0，＋∞)恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 6、论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21212211++-++x ax x ax =)2)(2()2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax =)2)(2()21)((2112++--x x a x x . ∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2， ∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0. ∴当1－2a ＞0，即a ＜21时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数；当1－2a ＜0，即a ＞21时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数. 法二：分离分式法7、已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a +b ≠0时，有ba b f a f ++)()(＞0.判断函数f （x ）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x 1、x 2∈［－1，1］，且x 1＜x 2，则－x 2∈［－1，1］.又f （x ）是奇函数，于是f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）+f （－x 2）=)()()(2121x x x f x f -+-+·（x 1－x 2）.据已知)()()(2121x x x f x f -+-+＞0，x 1－x 2＜0，∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）.∴f （x ）在［－1，1］上是增函数.8．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x 1，x 2满足f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋2，当x >0时，有f (x )>－2.求证：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，令x 2＝Δx ＋x 1.则f (x 2)－f (x 1)＝f (Δx ＋x 1)－f (x 1) ＝f (Δx )＋f (x 1)＋2－f (x 1) ＝f (Δx )＋2.∵Δx >0，∴f (Δx )>－2. ∴f (Δx )＋2>0，即f (x 2)－f (x 1)>0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．热点二：求函数的单调区间 9、求下列函数的单调区间．(1) y ＝－x 2＋2|x |＋3；(2) y ＝x ＋9x(x >0)．解：(1)∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 x ≥0－x 2－2x ＋3x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4 x ≥0－x ＋12＋4 x <0.由图知，单调递增区间是(－∞，－1)和[0,1]．递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．(2) y ′＝1－9x 2＝x 2－9x 2＝x －3x ＋3x2，令y ′≥0，即：(x －3)(x ＋3)≥0 得：x ≥3或x ≤－3(舍去)，∴单调递增区间为[3，＋∞)．令y ′<0即(x －3)(x ＋3)<0，又x >0，得：0<x <3， ∴单调递减区间为(0,3)．10．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( ) A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数解：∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )．∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴．又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．题型四：函数的单调性的应用11.（09辽宁）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（A ）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x －1|)＜f(),再根据f(x)的单调性得|2x －1|＜解得＜x ＜12、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在（0，+∞）上是减函数，如果01<x ，02>x 且|,|||21x x <则有（）（A ）0)()(21>-+-x f x f （B ）0)()(21<+x f x f （C ）0)()(21>---x f x f （D ）0)()(21<-x f x f13、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为（）（A ）)21,0( （B ）),2(+∞ （C ）),2()1,21(+∞⋃ （D ）),2()21,0(+∞⋃ 14. 函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是A.（0，1）B.（0，2）C.（1，2）D.（2，+∞）解：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数，且u = 2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴⎩⎨⎧>->.02,1a a ∴1＜a ＜2.15．已知函数⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解：（数形结合）∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a －2>0a －2×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.()f x [0,)+∞(21)f x -1()3f 13231323122312231313132316、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x x ≤0，log 2x ＋2 x ＞0.若f (x 0)≥2，则x 0的取值范围是____________．解：当x 0≤0时，f (x 0)≥2化为(12)x 0≥2，即：(12)x 0≥(12)－1，∴x 0≤－1，当x 0＞0时，f (x 0)≥2化为log 2(x 0＋2)≥2，即log 2(x 0＋2)≥log 24，∴x 0＋2≥4，∴x 0≥2，∴x 0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．法二：数形结合17．(09天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解：∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1. 18. 若a ＜0，＞1，则 ( )A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 解：由得由得，所以选D 项。

导数含参单调性的讨论课件-2024届高三数学二轮专题

f (x)min f (1) e a,
课堂小结 1.定义域优先； 2.一次函数型：
3.二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数型：
斜率确定，讨论截距。
截距确定，讨论斜率。
开口方向两根大小不能因式分解就讨论德尔塔
斜率确定，讨论截距。
例2.讨论f (x) ax ln x的单调性.
解 : 定义域为(0,),
f (x) a 1 ax 1, xx
(1)当a 0时, f (x) 0,
a0 a0
f (x)在(0,)上单增, (2)当a 0时, x (0, 1 ), f (x) 0, f (x)单增,
(3)a 0时,
f (x) 3 0恒成立, x
f (x)在(0,)上单减, (2)a 0时,
x 3 时, f (x) 0, f (x)单增, 2a
0 x 3 时, f (x) 0, f (x)单减, 2a
x 1 时, f (x) 0, f (x)单增, a
0 x 1 时, f (x) 0, f (x)单减, a
3a
a
1 x 1 时, f (x) 0, f (x)单增,
3a
a
x 1 或x 1 时, f (x) 0, f (x)单增, 综上
a
3a
1 x 1 时, f (x) 0, f (x)单减,
a
3a
开口方向，两根大小。
例4.讨论f (x) x3 x2 ax 1(a R)的单调性.
f (x) a 1 ax 1, xx
(1)当a 0时, f (x) 0,
f (x)在(0,)上单减, (2)当a 0时, x (0, 1 ), f (x) 0, f (x)单减,
a x (1 ,), f (x) 0, f (x)单增,

高中数学优质PPT课件含参函数的单调性与导数

x (1,1)时,3x2 [0,3).a 0.
解得a 0.
[变式1]函数f (x) ex (x2 ax a)在R 上单调递减,求实数a的值.
解 :
f (x)
x2
ax ex
a
,
f '(x)
(2x a) ex
(x2 e2x
ax a) ex
x2
(2 a)x 2a
ex
.
1.已知函数的单调性求参数【类型一】
[练3]函数f (x) 1 x3 1 ax2 (a 1)x 1 在区间(1,4)上单调递减, 32
在(6, )上单调递增, 求实数a的范围.
(法2) 析 : f (x) x2 ax a 1 (x 1)[ x (a 1)],
依题意, 在 (1,4) 内 f (x) 0, 在 (6,) 内 f (x) 0，
a 0是f (x) x3在(2,1)上递增,不合题意.a 0.
解 : f '(x) 3x2 a. 由题意得存在x (2,1), 使f '(x) 3x2 a 0.
即x (2,1)使a 3x2. x (2,1)时,3x2 [0,12). a 0.
1.已知函数的单调性求参数
例2.函数f (x) x3 ax在(2,1)内存在单调减区间,求a的取值范围.
1.已知函数的单调性求参数【类型一】
练1.函数f (x) 1 x2 9 ln x在区间[m 1, m 1] 上单调递减,则实数m的 2
取值范围是___________ .
析 :即f '(x) x 9 x2 9 0在[m 1, m 1]上恒成立. xx
即x2 9 0在[m 1, m 1]上恒成立.
由题意得f '(x) 0在R上恒成立.又ex 0,x2 (2 a)x 2a 0在R上恒成立.

高三复习导数与函数---含参数的单调性问题

重点：1、含参数单调性的讨论；2、函数在某个区间单调求参数取值范围难点：含参数单调性的讨论一、基本知识点A 、在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤：1.先明确定义域（通常针对的是对数函数）2.求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）。

即在定义域范围内恒单调递增或递减。

3.当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置）4.根据参数的范围划分好单调区间。

B 、函数在给定某个区间内的单调，求参数的取值范围的解题思路或步骤：主体思路跟上面类似，结合单调区间判定极值点相对位置。

C 、函数是给定的，单调区间是含有参数的解题思路和步骤：先把函数的单调区间明确，而条件中的单调区间是函数单调区间的某个子集。

二、基础模块例1. 设函数x kx x x f +-=23)( 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;例2. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠。

求函数()f x 的单调区间与极值点。

例3. 已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈求函数()f x 的单调区间例4. 已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;例5. 已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.例6. 已知函数f （x ）=x 3+3x 2若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.三、拓展模块例1. 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =-+->，讨论()f x 的单调性.例2. 设函数()(0)kx f x xe k =≠（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围.例3. 已知函数f(x)=21x 2－ax+(a －1)ln x ，1a >。

含参函数单调性

含参数函数单调性●基础知识总结和逻辑关系一、函数的单调性求可导函数单调区间的一般步骤和方法:1)2)3)来，然后用这些4)区间内的单调性.二、函数的极值求函数的极值的三个基本步骤1)2)3)如果是左正右负（左负右正），在这个根处取得极大（小）值.三、求函数最值1)2)就是最小值.四利用导数证明不等式1）利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：①直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.②把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.2）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程：1）第一步：先求定义域，再求导；2）第二步：【注意题目本身给定的参数范围】流程①：最高次项系数如果含参数，分三种情况依次讨论该系数。

（不含参就直接略过）时，求出参数的值，或时，把最高次项系数外提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。

流程②：接流程①。

”，”然后进入流程③。

流程③：判断由②得出的根是否在定义域内。

（i函数（ii ）定义域内有且只有一个根，对这个唯一的根进行列表，（iii ）定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程④。

流程④：在流程③况下，讨论两根大小（，，）。