《立体几何》精品练习-3

第9章第3节一、选择题1．(2010·深圳市调研)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面．故甲是乙成立的充分不必要条件．2．(文)设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列结论：①a∥b，b⊂α⇒a∥α；②α∥β，a∥β，a⊄α⇒a∥α；③α∩β＝a，b∥α，b∥β⇒b∥a；④a∥α，b⊂α⇒a∥b.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] B[解析]①可能有a⊂α；④可能有a与b异面，故只有②③正确．(理)已知直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l; ②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析](1)中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．(2)中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．(3)如图，α∩β＝a，m⊥α，l⊂β，l ∥a，满足m⊥l，但得不出α∥β.(4)中，若m⊥l，且m⊥α⇒l⊥α，又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故选B.3．(2010·湖北文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④[答案] C[解析]①平行关系的传递性．②举反例：在同一平面α内，a⊥b，b⊥c，有a∥c.③举反例：如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但a与b相交．④垂直于同一平面的两直线互相平行．故①，④正确．4．(文)α、β是相异平面，a、b、c是相异直线，A、B是相异点，则在下列命题中错误的是()A．α∩β＝a，b⊂α，c⊂β，b∩c＝A⇒A∈aB．α∥β，a⊂α，b⊂β，P∈a⇒P∉bC．α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A⇒b∩c＝AD．a⊄α，b⊄α，a⊂β，b⊂β，a∩b＝A⇒α∥β[答案] D[解析]∵a⊄α可能是a∥α，也可能是a与α相交，当a与α相交时，∵a⊂β，∴交点在β内，故D错．(理)(2010·东北四市联考)两个平面α与β相交但不垂直，直线m在平面α内，则在平面β内()A．一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直B．一定存在直线与m平行，但不一定存在直线与m垂直C．不一定存在直线与m平行，但一定存在直线与m垂直D．不一定存在直线与m平行，也不一定存在直线与m垂直[答案] C[解析]直线m在平面α内，直线m与平面α、β的交线的位置关系有两种可能：平行或相交，当平行时，在平面β内一定存在直线与m平行，也一定存在直线与m垂直，当相交时，在平面β内不存在直线与m 平行，但一定存在直线与m垂直，故选C.[点评]当m与平面α、β的交线l相交时，若在平面β内存在直线a∥m，则由线面平行的判定定理知a ∥α，再由性质定理知a∥l，∴m∥l，这与m和l相交矛盾．5．(2010·济南模拟)给出下列命题：①若平面α内的直线m与平面β内的直线n为异面直线，直线l是α与β的交线，那么l至多与m、n中一条相交；②若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；③一定存在平面γ同时和异面直线m、n都相交．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．①③[答案] C[解析]①错误，l可能与m，n两条都相交；②错误，直线m与l亦可共面；③正确．在m、n上分别取点M、N，则经过直线MN可以作出平面与m、n都相交．6．已知不重合的平面α、β和不重合的直线m、n，给出下列命题：①m⊂α，n⊂β，α⊥β⇒m⊥n②m⊥α，n⊥β，α与β相交⇒m与n相交③m⊥n，n⊂β，m⊄β⇒m⊥β④m∥α，n∥β，m∥n⇒α∥β其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]四个命题全错，图(1)中α∩β＝l，m∥l∥n，知①错；图(2)中取n上一点P，过P作m′⊥α，当m ∥m′时满足②的条件，但m与n不相交；③、④显然错误，故选A.7．正方体的棱长为1，C 、D 、M 分别为三条棱的中点，A 、B 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是( )A.23 B.63 C.13D.62[答案] C[解析] 设点M 到ABCD 的距离为h ，连结AC ，作CF ⊥AB ，垂足为F ，则BF ＝24，BC ＝52，∴CF ＝324，连CM ，则VC －ABM ＝VM －ABC. VC －ABM ＝13S △ABM×CM ＝13×14×1＝112，又VM －ABC ＝13×12×AB×CF×h＝13×12×2×324×h ＝h 4， 则由h 4＝112得h ＝13，故选C.8．(2010·淄博一中)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则α∥β是l ⊥m 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 若α∥β，则由l ⊥α知l ⊥β，又m ⊂β，可得l ⊥m ；若α与β相交(如图)，设α∩β＝n ，当m ∥n 时，由l ⊥α可得l ⊥m ，而此时α与β不平行．于是α∥β是l ⊥m 的充分不必要条件．故选A.9．(2010·襄樊测试)设m、n是平面α内的两条不同直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是()A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n[答案] B[解析]由m⊥l1，m⊥l2，l1、l2是平面β内两条相交直线，知m⊥β，又m⊂α，所以α⊥β；若α⊥β，m⊂α，则未必有m⊥β，未必有m⊥l1，m⊥l2，故选B.10．(2010·江西理)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] D面直线所成角的定义知，分别过点B、C、D的体对角线BD1、CA1、DB1与三棱AB、AD、AA1成的角也都相等，故过点A作与BD1，CA1，DB1平行的直线也满足直线l的要求，故这样的直线可作4条．二、填空题11．(文)(2010·江苏盐城调研)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________．(请用代号表示)[答案]①②⇒③[解析]在β内任取一点P，P与l确定一个平面γ，则γ与β相交于过P点的一条直线l′，∵l∥β，∴l∥l′，∵l⊥α，∴l′⊥α，∴β⊥α.(理)(2010·哈三中)已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，有下列三个条件①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β要使命题“若α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把你认为正确条件的序号填上)[答案]①或③②如图，正方体ABC D－A1B1C1D1中，α、β、γ分别为平面ADD1A1、平面ABCD、平面A1B1C1D1，m为AD，n为A1B1，满足α∩β＝m，n⊂γ，m∥γ，n∥β，但m与n显然不平行．]12．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为________．(从相交、平行、异面、重合中选填)[答案]异面[解析]将表面展开图折起还原为正方体如图，故MN与PB异面．13．(2010·东北师大附中等三校)一个几何体的三视图如图所示：其中，正(主)视图中大三角形是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为________．[答案] 32[解析] 由三视图可知，该几何体是正六棱锥，底面边长为1，侧棱长为2，如图设底面中心为O ，易知OD ＝1，又PD ＝2，∴PO ＝3， ∴体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫6×34×12×3＝32. 14．(2010·上海大同中学模拟)给出如下四个命题：①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个平面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A 、B 、C ∈平面M ，且点A 、B 、C ∈平面N ，则平面M 与平面N 重合．其中真命题的序号是________． [答案] ②[解析] 如图(1)，平面α内∠ABC 为直角，P ∉α，过P 作PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，则四边形PDBE 有三个直角，故①假；在图②的平面α内，四边形ABCD 中任意三点不共线，知③假；图③中，M∩N ＝l ，A 、B 、C 都在l 上，知④假，只有②真．三、解答题15．(文)(2010·江苏通州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝1，AB ＝3，点E 在CD 上移动． (1)求三棱锥E －PAB 的体积；(2)试在PD 上找一点F ，使得PE ⊥AF ，并证明你的结论． [解析] (1)∵PA ⊥平面ABCD ，∴VE －PAB ＝VP －ABE ＝13S △ABE·PA＝13×12×1×3×1＝36.(2)F 是PD 的中点∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ∵ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ∵PA∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD∵F 是PD 上的点，AF ⊂平面PAD ，∴AF ⊥DC ∵PA ＝AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD 又CD∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面PDC ∵PE ⊂平面PDC ，∴PE ⊥AF.(理)(2010·黑龙江哈三中)如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝23，沿对角线BD 将△ABD 向上折起，使点A 移至点P ，且点P 在平面BCD 内的投影O 在CD 上．(1)求证：PD ⊥BC ；(2)求二面角P －DB －C 的正弦值； (3)求点C 到平面PBD 的距离．[解析] (1)∵BC ⊥CD ，BC ⊥OP ，∴BC ⊥平面PCD ，∴PD ⊥BC ； (2)过O 作OE ⊥BD 于点E ，连接PE ∵BD ⊥OP ，∴BD ⊥平面OPE ，∴BD ⊥PE ， ∴∠PEO 为二面角P －BD －C 的平面角， 在△POE 中，PE ＝3，OE ＝1，PO ＝22，则 sin ∠PEO ＝223；(3)VC －PBD ＝VP －BCD ， ∴13×⎝⎛⎭⎫12×6×23×h ＝13×⎝⎛⎭⎫12×6×23×22，解得h ＝2 2. 16．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，E 是SD 的中点． (1)求证：SB ∥平面EAC ； (2)求证：AC ⊥BE.(3)(理)若SD＝2，AD＝2，求二面角C－AS－D的余弦值．[解析](1)证明：连结BD交AC于点O，连结EO.因为底面ABCD是正方形，所以O是BD的中点．又因为E是SD的中点，所以EO∥SB.又因为E O⊂平面EAC，SB⊄平面EAC，所以SB∥平面EAC.(2)因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥SD.又因为SD∩BD＝D，所以AC⊥平面BDS.因为BE⊂平面BDS，所以AC⊥BE.(3)(理)解法1：因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD.因为底面ABCD 是正方形，所以AD ⊥CD. 又因为SD∩AD ＝D ，所以CD ⊥平面SAD ，所以CD ⊥AS.过点D 在平面SAD 内作DF ⊥AS 于F ，连结CF. 由于DF∩CD ＝D ， 所以AS ⊥平面DCF. 所以AS ⊥CF.故∠CFD 是二面角C －AS －D 的平面角． 在Rt △ADS 中，SD ＝2，AD ＝2，可求得DF ＝233. 在Rt △CFD 中，DF ＝233，CD ＝2，可求得CF ＝303. 所以cos ∠CFD ＝DF CF ＝105.即二面角C －AS －D 的余弦值为105. 解法2：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz.则D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0,0，2)，S(0,0,2)， SA →＝(2，0，－2)，SC →＝(0，2，－2)． 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由 n ⊥SA →，n ⊥SC →得，⎩⎪⎨⎪⎧n·SA →＝0n·SC →＝0，即⎩⎨⎧2x －2z ＝02y －2z ＝0， 取z ＝2，得n ＝(2,2，2)．易知平面ASD 的一个法向量为DC →＝(0，2，0)． 设二面角C －AS －D 的平面角为θ.则cosθ＝|n·DC →||n||DC →|＝105. 即二面角C －AE －D 的余弦值为105. 17．(文)(2010·东北师大附中月考)如图，在几何体P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB＝PA ＝2.(1)当AD ＝2时，求证：平面PBD ⊥平面PAC ； (2)若P C 与AD 所成角为45°，求几何体P －ABCD 的体积．[解析] (1)当AD ＝2时，四边形ABCD 是正方形，则BD ⊥AC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，又PA∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PB D ⊥平面PAC.(2)若PC 与AD 成45°角，∵AD ∥BC ，∴∠PCB ＝45°.∵BC ⊥AB ，BC ⊥PA ，AB∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，∴BC ⊥PB ，∴∠CPB ＝90°－45°＝45°，∴BC ＝PB ＝22，∴几何体P －ABCD 的体积V ＝13×(2×22)×2 ＝823. (理)(2010·湖南文)如图所示，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AB ＝AD ＝1，AA1＝2，M 是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M 和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM ⊥平面A1B1M.[解析] 方法1：(1)如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M 与C1D1所成的角． 因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M ＝90°，而A1B1＝1，B1M ＝B1C12＋MC12＝2，故tan ∠MA1B1＝B1M A1B1＝ 2. 即异面直线A1M 和C1D1所成的角的正切值为 2.(2)由A1B1⊥平面BCC1B1，BM ⊂平面平面BCC1B1，得A1B1⊥BM ①由(1)知，B1M ＝2，又BM ＝BC2＋CM2＝2，B1B ＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM ⊥B1M ②又A1B1∩B1M ＝B1，∴BM ⊥平面A1B1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A1B1M.方法2：以A 为原点，AB →，AD →，AA1→的方向分别作为x 、y 、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，C1(1,1,2)，D1(0,1,2)，M(1,1,1)．(1)A1M →＝(1,1，－1)，C1D1→＝(－1,0,0)，cos 〈A1M →，C1D1→〉＝－13×1＝－33. 设异面直线A1M 与C1D1所成角为α，则cosα＝33，∴tanα＝ 2.即异面直线A1M 和C1D1所成的角的正切值是 2.(2)A1B1→＝(1,0,0)，BM →＝(0,1,1)，B1M →＝(0,1，－1)，A1B1→·BM →＝0，BM →·B1M →＝0，∴A1B1→⊥BM →，BM →⊥B1M →，即BM ⊥A1B1，BM ⊥B1M ， 又B1M∩A1B1＝B1，∴BM ⊥平面A1B1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此ABM ⊥平面A1B1M.。