2013年高考数学总复习 2-6 幂函数与函数的图象变换课件新人教B版

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高考数学 2.6 一次函数二次函数与幂函数复习课件

Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c 的图象 (a>0)
方程 ax2＋bx＋c＝0 的解
x1，x2
x0
(x1<x2)
无解
ax2＋bx＋c>0 的解集
{x|x>x2 {x|x∈R
R
或 x<x1} 且 x≠x0}
ax2＋bx＋c<0 的解集 {x|x1<x<x2}
∅
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∅
6
2.二次函数对应的一元二次方程的区间根的分布讨论二次函数相应的二次方程的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想．
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16
变式训练 1 已知二次函数的对称轴为 x＝－ 2，截 x 轴上的弦长为 4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．
又 f(x)的图象过点12， 22， ∴12α＝ 22，∴α＝12.∴k＋α＝1＋12＝32.
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10
4．设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值 1，3 .
解析当 α＝1,3 时，y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数，
符合要求；当 α＝－1 时，y＝1x的定义域为{x|x≠0，
解析式．
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2
(3)二次函数图象和性质 ①二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的顶点坐标为－2ba，4ac4－a b2 ；对称轴方程为 x＝－2ba .熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴，并会画示意图． ②在对称轴的两侧单调性相反． ③当 b＝0 时为偶函数，当 b≠0 时为非奇非偶函数．

【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.8幂函数课件理新人教B版

试求函数h(x)的最大值以及单调区间. 【解题指南】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x) 在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值．
【规范解答】设幂函数为f(x)=xα，因为点( 2 ，2)在f(x)的图象上，所以 ( 2) 2，所以α=2，即f(x)=x2；又设g(x)=xβ，点
第八节幂函数
三年1考
高考指数:★
1.了解幂函数的概念；
2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,
y x ,y
1 2
1 的图象，了解它们的 x
变化情况.
1.高考主要考查幂函数的概念、图象与性质，单独考查的概率
较低.
2.常与函数的性质及二次函数、指数函数、对数函数等知识交
汇命题.
3.题型多以选择题、填空题的形式出现，属低中档题.
∴a＞b＞c,故选A.
1 2
1 2
(2)∵函数在(0，+∞)上递减，∴3m-9<0，∴m<3，∵m∈N+， ∴m=1,2.又∵函数的图象关于y轴对称，∴3m-9为偶数，当m=1时,3m-9=-6为偶数，当m=2时,3m-9=-3为奇数，
∴m=1, m 1 .
而 y x 在(-∞,0)，(0，+∞)上均为减函数，
2.判定及应用幂函数的方法要判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足1中的三个特征. 【提醒】区分幂函数与指数函数的关键是自变量的位置在底数上还是在指数上.
【例1】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；

2013年高考数学总复习 2-6 幂函数与函数的图象变换课件新人教B版2

3．用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 4．有关结论若 f(a＋ x)＝ f(a－ x)， x∈R 恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ a 成轴对称图形．
误区警示 1．对于函数 y＝ |f(x)|与 y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将 y＝ f(x)位于 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方，后者将 y＝f(x)图象在 y 轴左侧图象去掉作右侧关于 y 轴的对称图，后者是偶函数而前者 y≥ 0.比如 y＝ |sinx |与 y＝ sin|x |.
幂函数的定义
1 [例 1] (2011· 福州模拟 )幂函数的图象过点 (2， )，则 4 它的单调增区间是 ( A． (0，＋∞ ) C． (－∞，＋∞)
α
) B． [0，＋∞ ) D． (－∞， 0)
1 分析：由幂函数 y＝ x 的图象过点(2， )，求出 α，按 4 α 的正负及函数的奇偶性得出单调区间．
1 解析：设幂函数为 y＝ x ，由条件知， 2 ＝，∴α＝ 4
α α
－ 2，∴ y＝ x－2，此函数为偶函数，且在 (0，＋∞)上单调递减，∴在(－∞， 0)上单调递增．
2．图象：(只作出第一象限图象 )
幂函数在其它象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性作出．幂函数 y＝ xα(α∈ R)的图象如下表：
q α＝ p
α<0
0<α<1
α>1
p、 q 都是奇数
p 为奇数， q 为偶数
q α＝ p p 为偶数，q 为奇数
α<0
0<α<1

高考数学一轮复习第4讲二次函数与幂函数课件文新人教B版

考点突破考点一二次函数的图象及应用
【例 1】 (2)已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－ 2)x－a2＋8.设 H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)， g(x)}(max{p，q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值)．记 H1(x)的最小值为 A， H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝( ) A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16 C．－16 D．16
考点突破考点二二次函数在给定区间上的最值问题
【例2】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．讨论二次函数的开口方向及解 ①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减， ∴f(x)min＝f(1)＝－2. ②当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，
1
讨论二次函数的开口方向及对称轴位置
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
a－2，a＜1，综上所述，f(x)min＝ 1 －a，a≥1.
–2
–1
O –1
1
2
x
1 –2 x＝ a
深度思考 1 本题是对称轴动而区间不动，你应该考虑对称轴 x＝与区间 a
[0，1]的位置关系，结合图形分析确定分类讨论的标准．
(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，
解得x＝a＋2或x＝a－2.
f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知 H1(x)的最小值是f(a＋2)， H2(x)的最大值为g(a－2)，
考点突破考点一二次函数的图象及应用

幂函数教学讲解ppt课件

03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂函数的实例，例如人口增长、金融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数，其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律，有助于解决各种实际问题，培养数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。

高三数学一轮复习函数与方程、函数模型及应用课件新人教B版

• 四、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系 • 1．方程有两个不相等的正实数根⇔
• 2．方程有两个不相等的负实根⇔
• 五、一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问题 • 研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑： • 1．一元二次方程根的判别式； • 2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
(3)若f(x0)· f(b0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间 (x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第二、第三步，……直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在区间(an，bn)中．第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间 (an，bn)内的任何一个值就是方程f(x)＝0的一个近似根．注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
解析：(1)设投资x万元时，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x， 1 1 由图知f(1)＝4，∴k1＝4. 5 5 又g(4)＝2，∴k2＝4. 1 5 从而f(x)＝ x(x≥0)，g(x)＝ x(x≥0)． 4 4
• 解析：(1)当0<x≤100时，f(x)＝60； • 当100<x≤600时，f(x)＝60－(x－100)×0.01＝61－ 0.01x.
60 ∴f(x)＝ 61－0.01x
0<x≤100 . 100<x≤600
• • • • •
(2)设利润为y元，则0<x≤100时， y＝60x－50x＝10x， ∴x＝100时，ymax＝1000元．当100<x≤600时， y＝(61－0.01x)·x－50x＝11x－0.01x2

【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)2-6幂函数与函数的图象变换课件新人教B版

4．有关结论若 f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R 恒成立，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 成轴对称图形．
[答案]
3.(1)(0,0) (1,1) 增直线 (2)(1,1)
减
考点自测把脉弱点 1． (2013· 山东实验中学模拟)下面给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x ，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x ，④y＝x－1 C．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x ，④y＝x
1 3 1 2
1 3
2
1 2
2
3
1 2
－1
D．①y＝x ，②y＝x ，③y＝x ，④y＝x
2
－1
1 2
[答案] B
[解析]
y＝x 为偶函数，对应②；y＝x 定义域 x≥0，对
2
1 2
应③；y＝x－1 为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 与 y＝x 均为奇函数，但 y＝x 比 y＝x 增长率大，故①对应 y＝x3.
3
1 3
3
1 3
1 2．(2013· 大连模拟)函数 y＝5 与函数 y＝－ x的图象关于 5
x
(
) A．x 轴对称 C．原点对称 B．y 轴对称 D．直线 y＝x 对称
1 1 1.重点掌握 α＝－1,2，，3，时幂函数 2 3
2．由幂函数的单调性求解有关幂函数的不等式问题时，要注意分类讨论．
4．(文)(2013· 郑州模拟)已知函数 f(x)＝2x－2，则函数 y＝ |f(x)|的图象可能是( )
[答案]
B
[解析] 将 y＝2x 的图象向下平移 2 个单位得到 y＝f(x)的图象，再将 f(x)的图象位于 x 轴下方部分翻折到 x 轴的上方即得 y＝|f(x)|的图象，故选 B.

人教高中数学B版必修二《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件

人教高中数学B版必修二《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数PPT课件
科目：数学
适用版本：人教高中数学B版
适用范围：【教师教学】
4.4 幂函数
第一页，共三十一页。
第四章指数函数、对数函数与幂函数
考点
学习目标
核心素养
了解幂函数的概念，会求幂函数幂函数的概念
的解析式
数学抽象
结合幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，
(－∞，0)
R 上__增___
[0，＋∞) 上__增__
上__减__ [0，＋∞)
上_增__
__(1_，__1_)__
R上 _增___
(－∞，0) 上__减___
(0，＋∞) 上__减___第七页，共三十一页。判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝x－45是幂函数．( √ ) (2)函数 y＝2－x 是幂函数．( × ) (3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( × )
值域
R [0，＋∞)
y＝x2 R
_(0_，__＋__∞__)
y＝x3 R R
y＝x－1
(_－__∞__，__0_)_∪_ (_0_，__＋__∞__) (－∞，0) ∪(0，＋∞)
第六页，共三十一页。
函数性质
y＝x
1
y＝x2
y＝x2
y＝x3 y＝x－1
奇偶性
奇
非奇非偶 _偶___
__奇__
奇
单调性公共点
第十二页，共三十一页。
(1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念而找不出“m2－m－1＝ 1”这一等量关系，导致解题受阻． (2)幂函数 y＝xα(α∈R)中，α 为常数，系数为 1，底数为单一的 x. 这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数的解析式形同而实异，解题时一定要分清，以防出错．

2013年高考数学总复习 2-6　幂函数与函数的图象变换新人教B版

2-6 幂函数与函数的图象变换基础巩固强化1.已知点(33，3)在幂函数f (x )的图象上，则f (x )( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．是非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 [答案] A[解析] 设f (x )＝x α，则(33)α＝3，即3－12 α＝312 ，故α＝－1，因此f (x )＝x－1，所以f (x )是奇函数．故选A.2．(文)函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数[答案] A[解析] ∵35的分子分母都是奇数，∴f (－x )＝(－x ) 35 ＝－x 35 ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又35>0，∴f (x )在第一象限内是增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[－1,1]上是增函数．(理)设a ∈{－1,1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且该函数为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3[答案] A[解析] 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1或3.3．设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[分析] a 、b 的指数相同，可以构建幂函数，使用幂函数的单调性比较大小，再构造对数函数以确定c 与1的大小关系，然后综合作出判断．[解析] 根据幂函数y ＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上单调递减，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1.所以b <a <c .故选C.4．幂函数y ＝x －1及直线y ＝x 、y ＝1、x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 32的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，②D ．⑤，①[答案] C[解析] y ＝x 32是增函数，∵32>1，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.5．给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12，f 4(x )＝1x.若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.6．(2011·青岛一中模拟)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] 由题意知m 2－m －1＝1，得m ＝－1或m ＝2，又由题意知m 2－2m －3<0，得m ＝2.故选A.7．(文)幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f ′(8)的值为________．[答案] －264[解析] 设f (x )＝x α，由条件知12＝4α，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12 ，∴f ′(x )＝－12x －32，∴f ′(8)＝－264.(理)若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，设它在A 点处的切线为l ，则过点A 与l 垂直的直线方程为________．[答案] 4x ＋4y －3＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线的斜率为1，从而与l 垂直的直线斜率为－1，故过A 与l 垂直的直线方程为y －12＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x ＋4y －3＝0.8．已知函数f (x )＝x 1－a3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a ＝________.[答案] 3[解析] ∵f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}， ∴1－a3<0，∴a >1. 又∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )为偶函数，∵a ∈N ，∴a 的最小值为3.9．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，10－2a <0，a ＋1>10－2a ，∴a <－1或3<a <5. (理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c ，d ∈R )，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8) [解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5，故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba ＝6，c a ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6a ，c ＝5a ，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．10．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a 、b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (8)、g (8)、f (2012)、g (2012)四个数按从小到大的顺序排列．[解析] (1)C 1对应函数g (x )＝x 3，C 2对应函数f (x )＝2x.(2)由于交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，显然有h (1)＝f (1)－g (1)＝1>0，h (2)＝f (2)－g (2)＝－4<0，h (9)＝29－93＝－217<0，h (10)＝24>0，∴x 1∈[1,2]，x 2∈[9,10]，∴a ＝1，b ＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f (8)<g (8)<g (2012)<f (2012).能力拓展提升11.(文)y ＝|x －13|的图象为( )[答案] A[解析] y ＝|x －13|为偶函数，故选A.(理)(2012·潍坊市高三模拟)定义一种运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥b ，b a <b ，已知函数f (x )＝2x⊗(3－x )，那么函数y ＝f (x ＋1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 如图．在同一坐标系内分别作出y ＝2x与y ＝3－x 的图象，据已知函数f (x )的定义知，相同x 对应的上方图象即为函数f (x )的图象(如实线部分所示)，然后将其图象左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象，故选B.12．(文)幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定 [答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， ∴13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α，23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13β，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13αβ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13βα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＝13，∴αβ＝1.故选A. (理)函数y ＝a x＋b 的图象如图所示，则函数y ＝b ＋1x ＋a的大致图象为( )[答案] C[解析] 由函数y ＝a x＋b 的图象知0<a <1，b <－1， ∵函数y ＝b ＋1x ＋a 的图象可视作函数y ＝1x的图象，向左平移a 个单位，向下平移－b 个单位得到的图象，即其中心(－a ，b )应位于第三象限，故选C.13．(2012·湖北重点中学联考)已知a ＝ln 12010－12010，b ＝ln 12011－12011，c ＝ln 12012－12012，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a[答案] A[解析] 记f (x )＝ln x －x ，则 f ′(x )＝1x －1＝1－xx ，当0<x <1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1>12010>12011>12012>0，∴a >b >c ，选A.14．(文)函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1x ≤0，x 12x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________．[答案] x 0<－1或x 0>1[解析] 当x 0≤0时，不等式可化为2－x 0－1>1，即2－x 0>2，解得x 0<－1；当x 0>0时，不等式可化为x 120>1，解得x 0>1，故x 0的取值范围是x 0<－1或x 0>1.(理)在y ＝(12)x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝x 23四个函数中，当0<x 1<x 2<1时，使f (x 1＋x 22)>f x 1＋f x 22恒成立的函数个数是________．[答案] 2个[解析] 当0<x 1<x 2<1时，使f (x 1＋x 22)>f x 1＋f x 22恒成立，说明函数图形是向上凸的，而所考查函数图象只有y ＝log 2x ，y ＝x 23两个符合要求．15．已知f (x )＝x α(其中α＝1－n 2＋2n ＋3，n 是偶数)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．[解析] 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.又n 是偶数，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13.∴f (x )在R 上单调递增． ∴f (x 2－x )>f (x ＋3)转化为x 2－x >x ＋3，解得x <－1或x >3，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 16．(文)已知函数f (x )＝x 13 －x -13 5，g (x )＝x 13 +x -135.(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，并由此概括一个涉及函数f (x )、g (x )的对所有非零实数x 都成立的等式，并证明．[解析] (1)证明：因为f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝＝－x 13 －x -13 5＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．设x 1<x 2，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝，∵，∴f (x 1)－f (x 2)<0.故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f (x 2)－5f (x )g (x )＝0.证明如下：(理)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立，当x ＝1时，f (1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝1，∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac ≥116.∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]．∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.1．(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1[答案] B[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12 定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13增长率大，故①对应y ＝x 3.2．有min{a ，b }表示a 、b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.3．(2011·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x >0.若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，1)[解析] 在同一直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝x ＋a 的图象如图可知a <1.5．(2012·浙江余姚中学模拟)已知实数a 、b 满足等式log 2a ＝log 3b ，给出下列五个关系式：①a >b >1；②b >a >1；③a <b <1；④b <a <1；⑤a ＝b .其中可能的关系式是________．[答案] ②④⑤[解析] 由已知log 2a ＝log 3b ，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x 的图象，当纵坐标相等时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出②④⑤可能成立．6．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)且幂函数g(x)＝xm2－m－2(m∈Z)的图象与x 轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解析](1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，2)，∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；又g(x)＝xm2－m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)>g(x)得，x2>1，∴x>1或x<－1.故x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．若g(x)＝x－2，则由f(x)>g(x)得，x2>1x2，∴x4>1，∴x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有f(x)>g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．综上知，x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．。

幂函数教学(共43张PPT)高一数学人教B版必修第二册

R
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？

2013高考数学人教B版课后作业2-6幂函数与函数的图象变换

2-6 幂函数与函数的图象变换1.(2011·烟台拟)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(27，13)，则f (18)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设f (x )＝x α，由条件知f (27)＝13，∴27α＝13，∴α＝－13，∴f (x )＝x -13 ，∴f (18)＝(18)-13 ＝2.2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )[答案] D[解析] 由题意知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，观察所给图象可知，只有D 图存在交点．(理)(2011·陕西文，6)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根 [答案] C[解析] 在同一坐标系中，画出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象，易知有两个交点，即|x |＝cos x 有两个根．3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )[答案] B[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12 定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13 均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13 增长率大，故①对应y ＝x 3.(理)给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12 ，f 4(x )＝1x.若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] B[解析] 函数g i (x )的零点就是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也就是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.4．(文)(2011·郑州一检)若0<x <y <1，则( ) A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．(14)x <(14)y[答案] C[解析] ∵0<x <y <1，∴由对数函数的单调性得，log 4x <log 4y ，故选C.(理)(2011·天津理，7)已知a ＝b ＝c ＝则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b [答案] C[解析] a ＝b ＝＝c ＝＝显然有log 23.4>log2103>log 2 3.6，由对数函数、指数函数单调性，有a >c >b ，故选C.5．(文)幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12 的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，①D ．⑤，① [答案] D[解析] y ＝x 12 是增函数，∵12<1，∴其图象向上凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域①，⑤.(理)幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定[答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.(理)(2011·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.7．若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________． [答案] 4x －4y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线方程为y －12＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x －4y ＋1＝0.8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<010－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>010－2a >0a ＋1>10－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<010－2a <0a ＋1>10－2a∴a <－1或3<a <5. (理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c(a 、b 、c ，d ∈R)，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8) [解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5，故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝6c a ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6ac ＝5a ，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．9．若f (x )＝ax ＋1x －1在区间(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] a >－1 [解析] f (x )＝ax ＋1x －1＝a x －＋a ＋1x －1＝a ＋a ＋1x －1. ∵f (x )在(－∞，1)上为减函数， ∴a ＋1>0，∴a >－1.10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．[解析] 如图，设左侧射线对应的解析式为：y ＝kx ＋b (x ≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝1b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式是y ＝－x ＋2(x ≤1)；同理，x ≥3时，函数解析式为：y ＝x －2(x ≥3)；再设抛物线段的解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，将(1,1)代入得，a ＋2＝1，∴a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上知，函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 x －x 2＋4x －xx －x .11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是( )[答案] C [解析] f (x )＝2|log2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2log2x，x ≥12－log2x，0<x <1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1.(理)(2011·威海模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(3,4) [答案] C[解析] 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，所以x 0在区间(1, 2)内．12．(文)(2011·淮南模拟)函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )[答案] A[解析] 由已知得0<cos x ≤1，∴ln cos x ≤0，排除B 、C 、D.故选A.(理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 的函数关系的是( )[答案] C[解析] 根据球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD ( )A ．相交，且交点在坐标原点B ．相交，且交点在第Ⅰ象限C ．相交，且交点在第Ⅱ象限D ．相交，且交点在第Ⅳ象限 [答案] A[解析] 易求得两直线方程分别为AB ：y ＝12x 、CD ：y ＝lg22x ，则其交点为坐标原点．如图所示．(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln3)B.13ln3C.13(1－ln3) D ．ln3－1 [答案] A[解析] 设u (x )＝x 3－ln x ，则u ′(x )＝3x 2－1x.令u ′(x )＝0，得x ＝313.当0<x <313时，u ′(x )<0，u (x )单调递减；当x >313时，u ′(x )>0，u (x )单调递增．所以，当x ＝313时，u (x )取到最小值，此极小值即为u (x )在(0，＋∞)上的最小值． ∴|MN |＝|13－13ln 13|＝13(1＋ln3)．14．(文)已知函数f (x )＝2x －x m，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2011·山东烟台调研)设函数f (x )＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2e x.(p 是实数，e 是自然对数的底数)(1)当p ＝2e 时，求f (x )＋g (x )的单调区间；(2)若直线l 与函数f (x )，g (x )图象都相切，且与函数f (x )的图象相切于点(1,0)，求p 的值．[解析] (1)当p ＝2e 时，f (x )＋g (x )＝2e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ＋2e x ＝2ex －2ln x ，则(f (x )＋g (x ))′＝2e －2e.故当x >1e 时，f (x )＋g (x )是增函数；当0<x <1e时，f (x )＋g (x )是减函数．综上，f (x )＋g (x )的单调增区间为[1e，＋∞)，f (x )＋g (x )的单调减区间为(0，1e]．(2)∵f ′(x )＝p ＋p x2－2x，∴f ′(1)＝2(p －1)．设直线l ：y ＝2(p －1)(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝p －x －y ＝2e x 得(p －1)(x －1)＝ex，即(p －1)x 2－(p －1)x －e ＝0. 当p ＝1时，方程无解；当p ≠1时，∵l 与g (x )图象相切，∴Δ＝(p －1)2－4(p －1)(－e )＝0，得p ＝1－4e . 综上，p ＝1－4e .15．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，第一年的维修保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需维修保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． [解析] (1)y ＝50x －[12x ＋x x －2×4]－98＝－2x 2＋40x －98.(x ∈N *) (2)解不等式－2x 2＋40x －98>0得， 10－51<x <10＋51. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.故从第三年起该机床开始盈利．(3)①∵y x ＝－2x ＋40－98x＝40－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12，当且仅当2x ＝98x，即x ＝7时，等号成立．∴到2014年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元． ②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，y max ＝102.故到2017年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理．1．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (x )>0，故选C.2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞)[答案] A[解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)．3．(2011·山东文，10)函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )[答案] C[解析]利用特殊化思想求解；当x＝0时，y＝0，排除A；当x→＋∞时，显然y>0，排除D；当x＝2π时，y＝π<4，排除B，故选C.4．(2010·浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是( )[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t 的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.5．(2011·天津文，8)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2]∪(1,2]D ．[－2，－1] [答案] B[解析] 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2 －1≤x ≤2x －1 x <－1或x >2由y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，即方程f (x )＝c 有两个不等的根，即函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点．由图象知：∴－2<c ≤－1或1<c ≤2.6．(2010·东营质检)函数y ＝|x |与y ＝x 2＋1在同一坐标系的图象为( )[答案] A[解析] 由y ＝x 2＋1得，y 2－x 2＝1(y ≥1)，它表示焦点在y 轴上的等轴双曲线的上支，它以y ＝±x 的其渐近线，故选A.7．若(a ＋1) -13 <(3－2a ) -13 ，则a 的取值范围是______． [答案] (23，32)∪(－∞，－1)[解析] 幂函数y ＝x -13 在(0，＋∞)上为减函数，函数值y >0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y <0.∴有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<03－2a >0，∴23<a <32或a <－1即a 的取值范围为(23，32)∪(－∞，－1)．8．(2011·福建质量检查)设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]，满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为________．[答案] {2}[解析] 依题意得y ＝a c x ，当x ∈[a,2a ]时，y ＝a cx∈[12a c －1，a c －1]⊆[a ，a 2]，因此有⎩⎪⎨⎪⎧12a c －1≥a a c －1≤a 2，即2a ≤ac －1≤a 2，又常数c 是唯一的，因此a 2＝2a ，又a >1，所以a ＝2.9．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (8)、g (8)、f (2012)、g (2012)四个数按从小到大的顺序排列．[解析] (1)C 1对应函数g (x )＝x 3，C 2对应函数f (x )＝2x.(2)由于交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，显然有h (1)＝f (1)－g (1)＝1>0，h (2)＝f (2)－g (2)＝－4<0，h (9)＝29－93＝－217<0，h (10)＝24>0，∴x 1∈[1,2]，x 2∈[9,10]，∴a ＝1，b ＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f (8)<g (8)<g (2012)<f (2012)．10．已知函数f (x )＝(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)，g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．[解析](1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：。

高三数学一轮课件：第2章第6节幂函数与函数的图象变换

第二章函数与基本初等函数
第二十页，编辑于星期日：二十二点四十三分。
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[答案] A
[解析]
0<x<
π 2
时，f(x)>0，排除B，D；－
π 2
<x<0时，
f(x)<0，排除C，故选A．
第二章函数与基本初等函数第二十一页，编辑于星期日：二十二点四十三分。
第二章函数与基本初等函数
第十页，编辑于星期日：二十二点四十三分。
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4．常用作图方法： (1)描点法作图：通过___列__表_、___描__点_、___连__线_三个步骤，画出函数图象．经常利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性) 画出图象 (2) 图象变换法作图：在高考中要求学生掌握三种变换： _平__移__变__换___、_伸__缩__变__换___、___对__称__变__换_.
3
⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x 2 的图象经过的“区域”是( )
第二章函数与基本初等函数第二十八页，编辑于星期日：二十二点四十三分。
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A．⑧，③ C．⑥，② [答案] C
B．⑦，③ D．⑤，①
[解析]
3
y＝x2
是增函数，∵32>1，∴其图象向下凸，过点
第二章函数与基本初等函数第三十一页，编辑于星期日：二十二点四十三分。
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[解析] (1)∵m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，而 m 与 m＋1 中必有一个为偶数，∴m2＋m 为偶数，∴函数 f(x)＝x(m2＋m)－1(m ∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．

课件1：2.6函数的图像变换

[练一练] 若关于 x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意 a＝|x|＋x
令
y
＝Leabharlann |x|＋x
＝
2x，x≥0， 0，x＜0，
图像如图所
示，故要使 a＝|x|＋x 只有一解则 a>0.
答案：(0，＋∞)
分别画出下列函数的图像： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝l－g lxg，xx，≥01<，x<1. 图像如图 1. (2)将 y＝2x 的图像向左平移 2 个单位．图像如图 2. (3)y＝xx22＋－22xx－－11，，xx<≥00，. 图像如图 3.
[类题通法]
画函数图像的一般方法
(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函
的不等式 x－2<x0 的最大整数解为________．解析：设函数 y1＝ln x，y2＝72－x，所以原方程的解即为这两个函数图像交点的横坐标．由图像(如图)可得 x0∈(2,3)，所以 x<2 ＋x0∈(4,5)，故原不等式的最大整数解为 4. 答案：4
2．(2013·北京高考改编)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称，则 f(x)＝________. 解析：与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线为 y＝e－x，函数 y ＝e－x 的图像向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图像，即 f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1. 答案：e－x－1
(3)对称变换： y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝－f(x) ；

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