19.2.1矩形

∴四边形EFGH为矩形．(有三个角是直角的四边形是矩形。)
∴ EG=FH．
交流反思:四边形、平行四边形、矩形的关系
矩形 平行四边形 四边形
想一想：
矩形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
对称轴?对称轴有几条?
矩形的特征?
A D
矩形特征1:矩形的四个角都是直角
∵矩形ABCD， ∴ ∠BAD＝∠CDA = ∠BCD＝∠ABC ＝Rt∠
有一个角是直角 平行四边形 对角线相等 矩形
对角线
有三个角 互相平分 是直角 且相等
四边形
例1 已经:矩形ABCD的两条对角线相交于点0, ∠AOD=120°, AB = 4cm, 求矩形对角线的长. A D 解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BD( 矩形的对角线相等 ∴ OA= OC = OB= OD = AC BD( 平行四边形的对角线互相平分 )
A
D
Ｏ
B
C
和△AOD四个三角形的周长和为86cm,
又∵ AC=BD=13cm,
∴
AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD) =86－4×13=34(cm)
即矩形ABCD的周长等于34cm。
例3 在△ABC中，已知∠ACB＝90°，
CD为AB边上的中线，延长CD到点E， 使得DE＝CD．连结AE，BE，请说明 四边形ACBE为矩形． 解 ∵ CD是AB边上的中线， ∴ AD＝DB． 又∵ DE＝CD， ∴四边形ACBE是平行四边形．
矩形特征
A
O
D
B
C
对边：平行 （共性） 相等 （共性） （1）边： 邻边：互相垂直 （个性）


（2）角： 四个角都是直角 （个性）
互相平分 （共性） （3）对角线： 相 等 （个性）

平行四边形ABCD再加上什么条件就可以变为矩形了呢 ?
矩形的识别? 有一个角是直角的平行四边形 是矩形；
∵ ∠A＝Rt∠, 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形
又∵四边形ABCD是矩形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的 对边平行 ）. AO = CO，BO = DO（平行四边形的 对角线互相平分 ）.
∴ AB + BC =28，BC－AB = 4， ∴ AD = BC =16，AB = CD =12．
B
C
∵ ∠A+∠C+ ∠B+∠D = 360°
∴四边形EFGH为矩形． (有三个角是直角的四边形是矩形。)
3.如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，且 ∠AOD＝120°，你能说明AC＝2AB吗？
解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BD( 矩形的对角线相等 ∴ OA= OC = OB= OD = AC BD( 平行四边形的对角线互相平分 ) )
α BB B A C CC D
对角线相等 的平行四边形
是矩形；
∵ AC=BD 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形
O
B
C
四边形ABCD加上什么条件，可以成为矩形： 有三个角都是直角 的四边形是矩形；
∵ ∠A= ∠B=∠C= Rt∠, ∴四边形ABCD是矩形 B A D
C
对角线互相平分且相等 的 四边形是矩形．
∴ OA= OB ∵∠AOD=120° ∴∠AOB=180°－∠AOD = 60° ∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB ∴AC = 2OA=2AB.
4.矩形ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O， △BOC和△AOB的周长差是4cm，那么矩形各边的 长是多少?
解 ∵AB + BC + CD + DA = 56， （BC + BO + CO）－（AB + AO + BO）= 4，
C
对角线互相平分且相等 的 四边形是矩形．
∵ AC=BD,OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B C
矩形的识别：
矩形识别依据1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形识别依据2 对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形识别依据3 有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形识别依据4
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
B
O
C
矩形特征2:矩形的对角线相等且互相平分．
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线 ∴ AC＝BD,OA=OC,OB=OD
平行四边形ABCD再加上什么条件就可以变为矩形了呢 ?
矩形的识别? 有一个角是直角的平行四边形 是矩形；
∵ ∠A＝Rt∠, 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形
A A A A D D D D
O
) B C
∴ OA= OB ∵∠AOD=120° ∴∠AOB=180°－∠AOD = 60° ∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=4cm ∴AC = 2OA=8cm.
例2 如图，矩形ABCD被两条对角
线分成四个小三角形，如果四个小 三角形的周长的和是86cm,对角线长 是13cm，那么矩形的周长是多少？ 解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD
对角线
有三个角 互相平分 是直角 且相等
四边形
矩形的识别口诀：
任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对角线则要平分且相等。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对角线相等也可以。
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
X
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；X (4)有四个角是直角的四边形是矩形;
(对角线互相平分的四边形是平行四边形．)
∵ ∠ACB＝90°， ∴四边形ACBE为矩形
(有一个角是直角的平行四边形是矩形。)
例4 如图， ABCD的四个内角平分线相交于 点E，F，G，H．试说明：EG=FH．
解 ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠DAB＋∠ABC＝180°． 又∵ AG、BG分别平分∠DAB、∠ABC， ∴ ∠GAB＋∠ABG＝90°． ∵ ∠GAB＋∠ABG＋∠AGB＝180°， ∴ ∠AGB＝90°． 同理∠FEH＝90°，∠BFC＝90°． ∴ ∠EFG＝90°．
四边形、平行四边形、矩形
矩形 平行四边形 四边形
想一想：
矩形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？
对称轴?对称轴有几条?
矩形有何特征?
矩形特征1: 矩形的四个角都是直角
∵矩形ABCD， ∴ ∠BAD＝∠CDA = ∠BCD＝∠ABC ＝Rt∠
A
D
O
C
B
矩形特征2:矩形的对角线相等且互相平分．
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线 ∴ AC＝BD,OA=OC,OB=OD
回答正确,真棒!
观察下面图案，有没有你熟悉的几何图形？
A
D
B
C
其实我还是平行四 边形啊!只是我比较 特殊而已,大家发现 了我的特殊之处吗? 请同学们举手回答!
A A A A D D
D D
A
D α BB B C CC
B
C
矩形： 有一个角是直角的特殊平行四边形。
木门
纸张
电脑显示器
实质上： 矩形是特殊的平行四边形。 特殊
A
D
O
B C
我是平行四边形, 我的角,边,对角线 都有哪些特性呢?
概念:有两组对边分别平行的四边行是平行四边行.
两组对边分别平行;即:AD∥BC; AB∥ CD
两组对边相等; 即:AB=CD; AD=BC
对角相等;即:∠DAB=∠ BCD ; ∠ABC=∠CDA
对角线互相平分;即 AO=CO; BO=DO
∵ AC=BD,OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B C
矩形的判定：
矩形判定依据1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形判定依据2 对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形判定依据3 有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形判定依据4
对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
有一个角是直角 平行四边形 对角线相等 矩形
A A A A D D D D
α BB B A C CC D
对角线相等 的平行四边形
是矩形；
∵ AC=BD 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形
O
B
C
四边形ABCD加上什么条件，可以成为矩形： 有三个角都是直角 的四边形是矩形；
∵ ∠A= ∠B=∠C= Rt∠, ∴四边形ABCD是矩形 B A D
（5）四个角都相等的四边形是矩形； (6)矩形的对角相等且互补;
（7）对角线相等且互相垂直的四边形是矩且相等四边形是矩形；
2.已知：
ABCD中，∠A和∠C互补，
ABCD是矩形吗？为什么？
A D
解:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C ,∠B＝∠D
∵ ∠A+∠C= 180° ∴ ∠A＝∠C= 90° ∴ ∠A＝∠B =∠C= 90°