《3.3.2 函数的极大值和极小值》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品

2．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处f(x)存在唯一的极小 值，则( )． A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0 B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0 C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0 D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
答案 54
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4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分
别为________、________.
解析 因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0.① 又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.② 由①②解得a＝1，b＝－3.
答案 1 －3
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典例剖析 题型一 求函数的极值 2x (2)f(x)＝ 2 －2. x ＋1 【例1】 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x e ；
2
－x
解 (1)函数的定义域为R.
x2 x2′ex－ex′x2 －x 2 －x f′(x)＝ex′＝ ＝ 2 x e － x e x 2 e
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预习测评
1．关于极值，如下叙述正确的是(
A．若f′(x0)＝0，则f(x0)是极值
)．
B．对于函数f(x)，极大值和极小值是惟一的
C．极大值总比极小值大 D．极大值可能是最大值 解析 答案 比如y＝－x2，极大值0也是最大值． D
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3.3.2 函数的极大值和极小值
1．了解极大(小)值的概念；结合图象，了解函数在某点取得 极值的必要条件和充分条件； 2．能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小 值．
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自学导引 1．如果不等式
f(c)≥f(x)(或f(c)≤f(x))
对一切x∈(u，v)成
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(7)函数f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值点的分布是有规 律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同 样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数 f(x)在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内的极 大值点和极小值点是交替出现的．
＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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x f′(x) f(x)
(－∞，0) 0 (0,2) － 0 0 ＋
2 0 4e－2
(2，＋∞) －
由上表可以看出： 当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0； 4 当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝ 2. e
立，就说函数在x＝c处取得极大(小)值，称 c为f(x)的一个极大(小) 值点， f(c) 为f(x)的一个极大(小)值．极大值，极小值统称极值 ， 极大值点和极小值点统称为 极值点 ． 2．如果函数f(x)在某个区间内有导数，求极值的一般方法 为： (1)求导数f′(x)； (2)求f(x)的驻点，即求 f′(x)＝0 的根； (3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近 为 正(负) ，右侧附近为 负(正) ，那么函数y＝f(x)在这个驻 点处取得极大(小)值．
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自主探究
在一个给定区间上，函数的极值有怎样的情形？
提示 在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点， 也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或
者只有极小值没有极大值；也可以既有极大值，又有极小
值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
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要点阐释 1．函数极值概念的理解 (1)函数 f(x)在点 x0 及其附近有定义是指在点 x0 及其左、 右邻域 都有意义． (2)按定义，极值点 xi 是区间[a、b]内部的点(如图)，不会是端 点 a，b.
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(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函 数，即在区间上单调的函数没有极值． (4)极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比 极小值大，极小值不一定比极大值小． (5)不可导函数也可能有极值点(例如函数y＝|x|，它在点x＝0 处不可导，但x＝0是函数的极小值点)，即函数f(x)在极值点处不 一定存在导数． (6)可导函数的极值点一定是它导数为零的点，反之，函数的 导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点仅是 该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．
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解析 ∵f(x)在x＝1处存在极小值， ∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，故选C.
答案 C
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3．函数y＝x3－27x的极大值是________．
解析 ∵y′＝3x2－27，令y′＝0，得x＝± 3. 又y′＝3(x＋3)(x－3)，∴y′>0⇔x<－3或x>3； y′<0⇔－3<x<3，故x＝－3是函数的极大值点， ∴y极大值＝f(－3)＝54.
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2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数定义域； (2)求导数f′(x)； (3)求方程f′(x)＝wenku.baidu.com的根即函数驻点； (4)检查f′(x)在f′(x)＝0的根左右两侧的符号，若左正右 负，那么f(x)在这个根处取得极大值；若左负右正，那么f(x)在这 个根处取得极小值；若左、右同号，则不是极值点．通常利用列 表的形式概括表示并进行判断是什么类型的极值点以及极值．
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(2)函数的定义域为R. 2x2＋1－4x2 2x－1x＋1 f′(x)＝ ＝－ . x2＋12 x2＋12 令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：