圆的方程专题

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高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)

高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号.[答案] 96.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2019泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a=________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，所以的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且经过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，所以圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2=2.一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc

的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

高中数学教师备课必备系列圆与方程专题八圆系方程及其应用含解析

圆系方程及其应用一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)?)(x?a)??(y?b(),b(a为圆心的同心圆系方程：．以12222?0??+Dx?Ey?F?0xEyx??yy+Dx?与圆同心的圆系方程为：220??F+DxC:x??yEy0?l:ax?by?c交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）R?）?0+（（ax?byx??yc+Dx?Ey?FABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在（1）当直线交于与圆两点时，圆系中的所有圆是以AB的垂直平分线上；公共弦??b??aED),?M(?ACl时，这时圆系的圆心与圆，切于点（2）当直线22?????bEaE?abD?D),b?(a?(?,?)?CM?OM?OC?(?,?)?(?,?)2222222?n?CM=CMn l)b(a,n?，∴，∴而直线∥的法向量2l?CM ACl的过点，且直线的切线．为圆因此，CMCACA?l与重合．又∵（过切点的半径与切线垂直），∴ACCl圆心都，直线外）与圆内切或外切于点是它们的公切线，由此可知，圆系中的所有圆（除圆CA在直线上．22220??FDx?Ey?F?0C:x?yC:x+?yE+Dx?y交点的圆系方程为：．过两圆与322112112????2222??1?0?Dx?Ey?y+Dx?Ey?F??xF?y?x+．221121??E??DED2211),?M(?,可知，圆心??)?)2(12(1?????(E?E)E?(D?DDDE?)ED1111211222)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(??,?)11????)2(1??)?2(12(1)2(1?2)2???EDED2211)]?(OC?OC,?)?C[(??,C)?(??2112?????1122221?M,C,CCC M上．因此，点共线，即圆系的所有圆的圆心都在已知两圆的连心线2112CAB?CC AB C BA,为所有两点时，则，且弦（即连心线与公共弦垂直）（1）当圆与圆相交于2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已（2）当圆与圆内切或外切于的连心线点时，则在过切点2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?EyxC:??yF?0； 1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆，可等价转化为过圆（2）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?Ey?F?(F?F)]?x?y0? :系方程211112211???1??*0F)?)y?(F??(D?D)x?(EE称为根轴方程．时，上述方程（3）特别地，当222111根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；与圆两点时，方程于表示公共弦①当两已知圆21C AA C(*)的公切线方程．②当圆点时，方程与圆内切或外切于表示过（内或外）公切点21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二．圆系方程在解题中的应用2222?2x?yy?1??y?2?03x0x??y3?3x交点和坐标原点的圆的方程．．求经过两圆和例122020?x?2y?x?y?4(2,0)3)BA(?1,?，且过点例2．求与圆切于点的圆的方程．222222?0?3)]?(y200x?y?4x?2y???[(x?1)?(x?1)?(y3)?3)A(??1,，构造圆系为点圆解一：视点422??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，∴所求的圆的方程为，可得代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系解二：过点的已知圆的切线方程为22?(3x?4y??15)?x0?yy?4x?2?20822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B代入点，∴所求的圆的方程为，可得7220?1?y??2x4yxC:?0??2:x?y4l的交点且面积最小的圆的方程．求经过直线与圆Ｃ： 3.例??22?0?4?x?y2x?y?1+?2xy?4解一：设圆的方程为，即22???)?0?(1?x)?(4?4)xy?y+2(1+，则1584??2222???????()4144r??(41)?(?)?(?)，5544．8222??r?26x?12y?5x37?5y?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5作业：222?x?y4)?B(?1,A(1,1) 1.求与圆的圆的方程．切于点，且过点22220x?y?x?4x?y?10x?3y?6?的交点，且与直线2.求过两圆和相切的圆的方程．221)??R,k?k?10)y10k?20?0(kx??y2?kx?(4中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系一．常见的圆系方程有如下几种：222??0)(???x?a)?(yb)()b(a, 1．以为圆心的同心圆系方程：2222?0??+Dx?EyxDxx?y+?Ey?F?0?y同心的圆系方程为：与圆220?c?axl:?by0?EyC:x?y+Dx??F交点的圆系方程为：与圆2．过直线22??）0?（R???x?y+Dx?EyF+（ax?byc）ABClB,A为公共弦的一系列相交圆，其圆心在两点时，圆系中的所有圆是以与圆交于）当直线（1AB公共弦的垂直平分线上；??b??aED,?M(?)ACl，2（时，这时圆系的圆心切于点）当直线与圆22．?????b?abDD?EaE,?)?((??,?)?(?,?)??(a,b)CM?OM?OC?2222222?n?CM=CMn l)bn?(a,，∴，∴而直线∥的法向量2CM?l ACl的切线．，且直线因此，的过点为圆CA?lCACM重合．与（过切点的半径与切线垂直）又∵，∴CCAl是它们的公切线，外）与圆内切或外切于点圆心都由此可知，圆系中的所有圆（除圆，直线CA上．在直线2222+Dx?Ey?F?0C:x?:xy?y+Dx?Ey?F?0C交点的圆系方程为：．过两圆与311222121????2222??10??Eyy?F??Fx??y?+Dxx?yD+x?E．211122??EE??DD2211,M(??),可知，圆心??)??)2(12(1????(E?E)(D?D?DDE?)EDE1111222211)?(?,?)CM(??,?OM?OC?(?,?)?11????)2(122(1??2(1?2(1)?))2???EDDE2211)]?(OC?OC)?)?(??,?[(?C,?C2121????12211??22M,C,CCC M上．共线，即圆系的所有圆的圆心因此，点都在已知两圆的连心线2211CAB?CCC ABB,A为所有（即连心线与公共弦垂直）相交于两点时，则（1）当圆，且弦与圆2211圆的公共弦；CCCC AAM上，圆系的所有圆都与已内切或外切于在过切点与圆点时，则）当圆（2的连心线2121CC A处内切或外切．及圆知的圆在点21注意：22+Dx?Ey?FC:x??y0；1）此圆系不含圆（2222CC和两圆公共弦所在直线交点的圆）为了避免利用上述圆系方程时讨论圆，可等价转化为过圆（22122?[(D?D)x?(E?E)y?Dx?EyF??(F?F)]?0x?y? :系方程221211111???1??*)F?0)E?Ey?(F?x?(DD)?(称为根轴方程．3（）特别地，当时，上述方程211221根轴的特点：位于已知两圆外的根轴上的任意一点向圆系的所有圆所作的切线的长都相等．CC ABBA,(*)所在直线的方程；表示公共弦两点时，方程①当两已知圆与圆于21C AA C(*)的公切线方程．内切或外切于点时，方程表示过（内或外）公切点与圆②当圆21A外，公切线上的所有点均具有根轴的性质．这时，除点二、圆系方程在解题中的应用：2222?2x?y3y?1?3x?y?2?03xx0?y??交点和坐标原点的圆的方程．例1 和．求经过两圆22?4x?2y?20?x0?y A(?1,?3)B(2,0)的圆的方程．，且过点切于点例2．求与圆222222?]?3)0?(?20?y[(x?1)?(y?3)1)?0x??y?4x?2y(x?3)1,A(??视点解一：为点圆，构造圆系422??(2,0)B?4x?18yx??7y20?07，可得，∴所求的圆的方程为代入点3A(?1,?3)3x?4y?15?0，与已知圆构造圆系的已知圆的切线方程为解二：过点22?(3x?4y??20?15)?x0?y??4x2y822??7x?7y?4x?18y?20?0(2,0)B，可得代入点，∴所求的圆的方程为72201?y2?x?C:x4?y?0x4??y?l:2的交点且面积最小的圆的方程．与圆Ｃ：例3.求经过直线??22?02x?1+y?4??x?xy?2?4y，即解一：设圆的方程为22???)??40?4)yx??y(1+2(1+)x?(，则1584??2222???????4)r??()(41?)1?(?4)?4(，55448222??r5x?5y?26x?12y?37?0. 最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：∴当时，5练习：22?yx2?A(1,1)B(?1,?4)的圆的方程．，且过点切于点1.求与圆2222??2)?1)??y(x(x?1)0?(y?解：设所求的圆方程为29????+29=0154???1,yB(?1,?4)x?，，解得代入，得，将∵圆过点15822???15x?15y?447x??7y0将代回圆系方程，得所求的圆方程为522220?4yxx?y??1x?0?x?3y?6 2.求过两圆相切的圆的方程．和的交点，且与直线?14??222222?x??x?y?00x?y?1?x?y?4x?，即解：设所求的圆的方程为????1122?????1441?12?????4?r???(,0)，半径圆心?????????1||1??21?1?????2?6||??|?|232??1?d?(,0)0?y?6x?3圆心的距离到直线??||1?2?13?12???8??3|41|2??rd?0?y?6x?3????相切，∴，即∵所求圆与直线??|?11|1?|1|28??2222220xx?y?yx??1??40?x?y?311?323x∴所求的圆的方程为，??222,0?2?d?r0x?4??xy0y3?6?x?的距离又圆的圆心到直线即11|2?6|3?1220x??xy?4∴圆也符合题意，22220??x??32y?3x3?x110y4x?.∴所求的圆的方程为或22?2kx?(4k?10)y?10k?20?0(k?R,xk?y??1)中，任意两个圆的位置关系如何？3.圆系22?10y?20?2k(x?4y?5)?x0?y解：圆系方程可化为：2x?4y?10?0x?2y?5?0??k?R，k??1∵，??2250,C?0?10?2l:x?4y?5)?x5?(y的半径，故直线∴，即??2222x?y?10y?20?0x?(y?5)?5??到直线易知圆心的距离恰等于圆22?5y?5)(x?02xl:?y??5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的与圆任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．。

圆的方程专题讲义

圆的方程专题讲义一、知识梳理圆的定义与方程注意：1确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()(6)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．()题组二：教材改编2．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －3)2＋(y －1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1D ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝13．圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为_______．题组三：易错自纠4．若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±46．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1三、典型例题题型一：圆的方典例 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为__________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为______________．思维升华：(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为______________________．题型二：与圆有关的最值问题典例已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，求x ＋y 的最大值和最小值．引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值． 2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．思维升华：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练：已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x的最大值和最小值； (2)求x ＋y 的最大值与最小值．题型三：与圆有关的轨迹问题典例已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．思维升华：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．跟踪训练已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．注意：利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．四、反馈练习1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋10y ＝0B ．x 2＋y 2－10y ＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0 3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝44．若a ∈}431,0,2{ ，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C．1＋22D．2＋226．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．9．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为__________．10．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得的线段长为22，在y轴上截得的线段长为2 3. (1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|P A|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．14．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为55，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为_________________．。

专题06 圆的方程(知识梳理+专题过关)(原卷版)

专题06圆的方程【知识梳理】1、圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),a b 为圆心，r 为半径．2、点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有（1）若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=（2）若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->（3）若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<3、圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-．它表示一个点(,)22D E--．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆．4、用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组．（3）解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．5、轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．（3）求轨迹方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；②列出关于,x y 的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答．【专题过关】【考点目录】考点1：圆的标准方程考点2：圆的一般方程考点3：点与圆的位置关系考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系考点5：定点问题考点6：轨迹问题【典型例题】考点1：圆的标准方程1．（2021·广东·深圳市南山区华侨城中学高二期中）已知以点()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ､B ，其中O 为坐标原点.(1)试写出圆C 的标准方程；(2)求证：OAB 的面积为定值；(3)设直线24y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的标准方程.2．（2020·内蒙古·包头市第四中学高二期中）已知点(4,2)A 和(0,2)B -(1)求直线AB 的方程；(2)若圆C 经过,A B 两点，且圆心在直线23x y -=上，求圆C 的方程3．（2021·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，则圆的方程为________．4．（2022·上海金山·高二期中）过直线2x y +=与直线0x y -=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的标准方程是_____.5．（2022·全国·高二期中）已知点()6,8C ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程是______．6．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆224670x y x y +-++=同圆心且过点(1,1)P -的圆的方程是_____________．7．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆22(1)(2)4x y -++=关于直线y x =对称的圆的方程为______________.8．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知ABC 顶点的坐标为43(5,2),()1,(,0)A B C ，，则其外接圆的标准方程为_________．9．（2021·福建宁德·高二期中）某圆经过()()010610A B ，，，两点，圆心在直线21x y -=上，则该圆的标准方程为（）A ．()()223534x y +++=B ．()()223534x y -++=C ．()()223534x y ++-=D ．()()223534x y -+-=考点2：圆的一般方程10．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()()()4,0,0,2,2,2A B C --，求：(1)AB 边中线所在的直线方程(2)ABC 的外接圆的方程11．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．12．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,D a -四点，若它们在同一个圆周上，则=a ________．13．（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为________14．（2021·江苏无锡·高二期中）直线142xy+=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．22420x y x y +--=B ．224210x y x y +---=C ．224210x y x y +--+=D ．22240x y x y +--=15．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆22620x y x y ++-=，则该圆的圆心和半径分别是（）．A ．()3,1--B ．()3,1-，10C ．()3,1-D ．()3,1-，1016．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=考点3：点与圆的位置关系17．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点()1,1A -在圆2220x y x y a +---=外，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <B ．3a <-C ．534a <<D ．534a -<<考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系18．（2021·全国·高二期中）已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．19．（2021·四川巴中·高二期中）已知方程[)()2222cos 4sin 4sin sin 100,2x y x y αααααπ+-⋅-⋅+-+=∈表示圆.(1)求α的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.20．（2021·福建宁德·高二期中）已知方程222450x y mx y +-++=表示圆，则m 的取值范围是____________.21．（2021·山东省实验中学高二期中）若曲线222:245160C x y ax ay a +-++-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围是______．22．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞23．（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．3(,)2-+∞24．（2020·四川巴中·高二期中（文））若方程2222210x y ax a a +++-+=表示圆，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．0a >C ．1a >D ．12a >25．（2021·湖南·高二期中）若方程22210x y y m +-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0∞-D ．()0,∞+26．（2021·重庆·高二期中）若方程2220x y kx k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(1,7)B ．[1,7]C ．(,1)(7,)-∞+∞D ．(,1][7,)-∞⋃+∞考点5：定点问题27．（2021·全国·高二期中）已知动圆C 经过坐标原点O ，且圆心C 在直线:24l x y +=上.（1）求半径最小时的圆C 的方程；（2）求证：动圆C 恒过一个异于点O 的定点.28．（2020·湖南娄底·高二期中）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．29．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1考点6：轨迹问题30．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点M 的轨迹方程.31．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程.32．（2021·四川巴中·高二期中）已知圆C 经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点158,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，且点M 满足2AM MB =，求点M 的轨迹方程.33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点的轨迹方程．34．（2021·四川省江油市第一中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两条坐标轴的三个交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若过点T （2，0）的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，求M 的轨迹方程.35．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）1.已知圆C 过点(2,3)-，(0,3)-，(0,1)-.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线210x y +-=与直线210x y ++=的交点，过点P 作直线与圆C 交于点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC 的顶点(3,0)B -，(3,0)C ，且||2||AB AC =，(1)设ABC 的外接圆为M ，请写出M 周长最小时的M 标准方程．(2)设顶点(,)A x y ，求顶点A 的轨迹方程及ABC 面积的最大值．37．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二期中）已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．38．（2021·山西·侯马市第一中学校高二期中）已知圆C :()()22119x y -+-=，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________________.39．（2021·四川·树德中学高二期中（文））若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π40．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）已知点A 的坐标是（-1，0），点M 满足|MA |=2，那么M 点的轨迹方程是（）A ．x 2+y 2+2x -3=0B ．x 2+y 2-2x -3=0C ．x 2+y 2+2y -3=0D ．x 2+y 2-2y -3=0。

圆的标准方程专题

圆的标准方程专题(六十一)1．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案 A解析设该直径的两个端点分别为P(a，0)，Q(0，b)，则A(2，－3)是线段PQ的中点，所以P(4，0)，Q(0，－6)，圆的半径r＝|PA|＝（4－2）2＋32＝13.故圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.2．过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是() A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案 C解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.∵圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a.∵|CA|2＝|CB|2，∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.∴a＝1，b＝1.∴r＝2.∴方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.3．(优质试题·贵州贵阳一模)圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4答案 A解析由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x －1)2＋(y－2)2＝2，故选A.4．(优质试题·沧州七校联考)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4答案 C解析依题意，设圆C 的圆心坐标为(2，b)，(b<0)．则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2＋b －22|2＝2，∴b ＝－2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.选C.5．(优质试题·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1答案 B解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1，1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.6．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E ＝F ＝0且D<0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a ，0))，且半径r ＝|a|.∴当E ＝F ＝0且D<0时，圆心为(－D 2，0)，半径为|D2|，圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点，但D ＝2>0，故选A.7．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA 、OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC →＝aOA →＋bOB →(a ，b ∈R )，则以下说法正确的是( ) A ．点P(a ，b)一定在单位圆内 B ．点P(a ，b)一定在单位圆上 C ．点P(a ，b)一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P(a ，b)在单位圆上答案 B解析由题意得|OC|＝a 2＋b 2＝1，所以点P(a ，b)在单位圆上，故选B.8．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0，1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋(y±33)2＝43B ．x 2＋(y±33)2＝13C ．(x±33)2＋y 2＝43D ．(x±33)2＋y 2＝13答案 C解析方法一：(排除法)由圆心在x 轴上，则排除A ，B ，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan60°＝|OA||OC|＝1|OC|，所以a＝|OC|＝33，即圆心坐标为(±33，0)，r 2＝|AC|2＝12＋(33)2＝43.所以圆的方程为(x±33)2＋y 2＝43，选C. 9．(优质试题·山东青岛一模)若过点P(1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB|＝( ) A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线， ∴OA ⊥AP.∵P(1，3)，O(0，0)， ∴|OP|＝1＋3＝2.又∵|OA|＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12.∴∠AOP ＝60°，∴|AB|＝2|AO|sin ∠AOP ＝ 3.10．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析设P(x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.11．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．5 2 B ．10 2 C ．15 2 D ．20 2答案 B解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2. 12．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.13．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________．答案 2<m<4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1解析 ∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m)2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，∴2<m<4.当m ＝3时，r 最大为1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.14．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0，3)，(－4，0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)． ∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.15．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________．答案 π解析如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C(3，0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.16．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8解析由题意可设圆心A(a ，a)，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.17．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C(3a ，a)，半径为r ＝3|a|. 又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心C(3a ，a)到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a|12＋12.∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离为|a －b|2.∴r 2＝(|a －b|2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b)2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9. 故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F.令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F.④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E 2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E)2＋56＝2(D 2＋E 2－4F)．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1. 故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．答案 (1)y 2－x 2＝1(2)x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3 解析 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 02－x 02＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 02－x 02＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.1．(优质试题·河南天一大联考)以(a ，1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5答案 A解析由题意，圆心在直线2x －y －1＝0上，将点(a ，1)代入，得a ＝1，即圆心为(1，1)，半径r ＝|2－1＋4|5＝ 5.∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.2．(优质试题·湖北宜昌月考)已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方． (1)求圆M 的方程；(2)设A(0，t)，B(0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．答案 (1)(x －1)2＋y 2＝1 (2)最大值是152，最小值274解析 (1)设圆心M(a ，0)，由已知，得M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－（32）2＝12，∴|8a －3|82＋62＝12，又∵M 在l 的下方， ∴8a －3>0，∴8a －3＝5，∴a ＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.。

解析几何专题2圆的方程及应用

《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用『知识与方法梳理』？（一）圆的方程的两种形式方程形式方程相关参数意义标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r一般式2 2x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-4F > 0 )圆心(--D，- E )，半径：r= 2/ D2+ E2- 4F(二)点与圆的位置关系的判定点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;2 2(2) X0 + y0 + Dx。

+ Ey0 + F = 0.1.点p在圆上.(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;2 2(2) X。

+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.2.点P在圆内.(1)(X。

-a)2+ (y°-b)2> r2;2 2⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 03.点P在圆夕卜.圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r22 2 22. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r22 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F圆方程切线方程1. x2+y2=r22X0X + y°y = r2 2 22. (x-a)2+(y-b)2=r22(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 23. x2+y2+Dx+Ey+F=0X0X + y°y + D号+ 誓+F = 01. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆C相交时，过两交点的圆的方程可设成（三）直线与圆的关系方法已知细d直M圆旳X FD 4 < +2 -2一二A卜+2X线：—直M圆2 22 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0相关运算离距N= ( d心凰=0那+F判M+CDX脚立BV2+尹耽用2x，Ax元{艄《必修2》解析专题、圆的方程及应用圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.（1）皿施心内含(2)也-呵=15。

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)

高中数学圆与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)知识点：4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程222()()x a y b r -+-=2、点与圆的关系的判断方法：00(,)M x y 222()()x a y b r -+-=（1）>，点在圆外2200()()x a y b -+-2r （2）=，点在圆上2200()()x a y b -+-2r （3）<，点在圆内2200()()x a y b -+-2r 4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程：，圆心为半径为022=++++F Ey Dx y x2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线：，圆：，圆的半径为，圆心l 0=++c by ax C 022=++++F Ey Dx y x r 到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：)2,2(E D --d （1）当时，直线与圆相离；r d >l C （2）当时，直线与圆相切；r d =l C （3）当时，直线与圆相交；直线、圆的位置关系r d <l C 注意：1.直线与圆的位置关系直线与圆相交，有两个公共点方程组有两组不同实数解d R ⇔<⇔(0)∆>直线与圆相切，只有一个公共点方程组有唯一实数解d R ⇔=⇔(0)∆= 直线与圆相离，没有公共点方程组无实数解d R ⇔>⇔(0)∆<2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。

圆的方程专题复习

圆的方程专题复习1考点1：圆的标准方程1.求圆心在(1,2)A -，半径为2的圆的标准方程。

2.以(2,3)p -为圆心，且经过点(3,1)R 的圆的标准方程。

3.求以(1,2)A -,(5,6)B -为直径两端点的圆的方程。

4.求经过三点(1,2)A -,(3,0)B ，(1,4)C 圆的标准方程。

5.求过点(5,2)A ，(3,2)B ，且圆心在直线23y x =-上的圆的方程。

考点2：圆的一般方程1.已知方程：220xy x y m +-++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围是________ 2.已知方程：224250x y mx y m ++-+=表示的曲线是圆，则m 的取值范围是____ 3.求经过三点(1,2)A -,(3,0)B ，(1,4)C 圆的一般方程。

考点3：点与圆的位置关系1.判断点(1,2)A -与圆224x y +=的位置关系是是_____________2．若(1,2)A 在圆22)(1)5x m y -+-=（上，则m =__________ 3.若点(1,2)p 在圆22)(1)5x m y -+-=（的内部，则m 的取值范围是_________4.圆22(1)4x y -+=上的点到(2,3)p -的最近距离是______，最远距离是______ 5.圆22(1)4x y -+=上的点到(1,2)p 的最近距离是______，最远距离是______ 6.圆22(1)4x y -+=上的点到(0,1)p 的最近距离是______，最远距离是______ 7.p 为圆221x y +=上的动点，则点p 到直线34100x y --=的距离的最小值是___考点4：直线与圆的位置关系 1.判断直线20x y --=与圆222210x y x y +--+=的位置关系是_________,直线到圆的最近距离是_____________，最远距离是__________________ 2.对任意的数k ，直线(32)20kx ky +--=与圆222220x y x y +---= 的位置关系是________3.圆22(1)4x y -+=的圆心到直线3y x =的距离等于_________4. 0y +-=截圆224x y +=得到的劣弧所对的圆心角是________5.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=____个。

DS圆的方程专题(教师版)

圆的方程专题知识梳理、一、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).二、圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．三、点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.四、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.五、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .六、圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±一、二、题型全归纳题型一、圆的方程类型一、标准方程【例题】已知圆M 与直线3x −4y =0及3x −4y +10=0都相切，圆心在直线y =−x −4上，则圆M 的方程为( )A. (x +3)2+(y −1)2=1B. (x −3)2+(y +1)2=1C. (x +3)2+(y +1)2=1D. (x −3)2+(y −1)2=1【答案】C【解析】解：到两直线3x −4y +10=0的距离都相等的直线方程为3x −4y +5=0，联立方程组{y =−x −43x−4y+5=0，解得{y =−1x=−3.又两平行线之间的距离为2，所以，半径为1，从而圆M 的方程为(x +3)2+(y +1)2=1．故选C ．求出圆心坐标与半径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆心坐标与半径是关键．【变式训练1.1】圆(x −1)2+(y −1)2=2关于直线y =kx +3对称，则k 的值是( )A. 2B. −2C. 1D. −1 【答案】B【解析】解：圆(x −1)2+(y −1)2=2关于直线y =kx +3对称，则直线过圆心(1,1)，即1=k +3，解得k =−2．故选：B ．根据圆关于直线对称知直线过圆心，由此求得k 的值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题．【变式训练1.2】已知经过点P(1,32)的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y =12x ，l 2：y =2x 相切，则这两圆的圆心距|C 1C 2|等于______．【答案】4√59【解析】【分析】设圆心坐标为(x,y)，由于圆与直线l 1:y =12x ，l 2:y =2x 都相切，根据点到直线的距离公式得圆心只能在直线y =x 上，设C 1(a,a)，C 2(b,b)，推导出a ，b 是方程(1−x)2+(32−x)2=x 25的两根，由此能求出，这两圆的圆心距|C 1C 2|.本题考查两圆的圆心距的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质，点到直线的距离公式，韦达定理的合理应用．【解答】解：设圆心坐标为(x,y)，由于圆与直线l 1：y =12x ，l 2：y =2x 都相切，根据点到直线的距离公式得：√5=√5，解得y =x ，∴圆心只能在直线y =x 上，设C 1(a,a)，C 2(b,b)，则圆C 1的方程为(x −a)2+(y −a)2=a 25，圆C 2的方程为(x −b)2+(y −b)2=b 25，将(1,32)代入，得：{(1−a)2+(32−a)2=a 25(1−b)2+(32−b)2=b 25， ∴a ，b 是方程(1−x)2+(32−x)2=x 25，即9x 25−5x +134=0的两根，∴a +b =259，ab =6536， ∴|C 1C 2|=√(a −b)2+(a −b)2=√2⋅√(a +b)2−4ab =√2⋅√62581−659=4√59．故答案为4√59．类型二、一般方程【例题】已知方程x 2+y 2−2x +2y +F =0表示半径为2的圆，则实数F =______ ．【答案】−2【解析】【分析】本题考查圆的一般式方程与圆的标准形式的互化，圆的半径的求法，考查计算能力．利用圆的一般式方程，化为标准形式，通过圆的半径求解F 即可．【解答】解：方程x2+y2−2x+2y+F=0，可得(x−1)2+(y+1)2=2−F，方程x2+y2−2x+2y+F=0表示半径为2的圆，可得2−F=4，解得F=−2．故答案为−2．【变式训练1.3】从原点O向圆C：x2+y2−12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为______．【答案】12【解析】【分析】本题考查圆的标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+(y−6)2=9，得到圆心C(0,6)，圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90∘，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60∘+60∘=120∘，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为1．2故答案为1．2类型三、圆系方程【例题】已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。

解析几何专题-圆的方程

圆心坐标与半径求法
圆心坐标
对于标准方程，圆心坐标为$(a, b)$；对于一般方程，圆心坐标为$left( frac{D}{2}, -frac{E}{2} right)$。
半径求法
对于标准方程，半径$r = sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$；对于一般方程，半径$r = frac{1}{2}sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}$。
已知三点求圆方程
• 设三点为$A(x{1}, y{1}), B(x{2}, y{2}), C(x{3}, y{3})$，则圆方程可表示为
已知三点求圆方程
$$ begin{vmatrix}
x^{2} + y^{2} & x & y & 1
已知三点求圆方程
x_{1}^{2}
+
y_{1}^{2} & xห้องสมุดไป่ตู้{1} &
圆与圆的位置关系
04
圆与圆外离和内含
圆与圆外离
两圆心之间的距离大于两圆半径之和，即$d > R + r$。
VS
圆与圆内含
一个圆位于另一个圆的内部，即$R - r < d < R + r$，其中$d$为两圆心之间的距离， $R$和$r$分别为两圆的半径。
圆与圆外切和内切
圆与圆外切
两圆有且仅有一个公共点，且该点位于两圆的外部，即$d = R + r$。
圆的综合应用举例
06
涉及圆的证明题解法举例
利用圆的定义进行证明
01
通过证明某点到圆心的距离等于半径，从而证明该点在圆上。
利用圆的性质进行证明

专题一、求圆的方程

专题一、求圆的方程1、根据下列条件求圆的方程：(1) 求以)3,1(N 为圆心，并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程;22256(1)(3)25x y -+-= （2）经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；22(4)(3)25x y -++=（3）所求圆过P(4,-2)，Q(-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为34;222120x y x +--=或2210840x y x y +--+=（4）已知圆的半径为10，圆心在直线y=2x 上，圆被直线x-y=0截得的弦长为24.22(2)(4)10x y -+-=或22(2)(4)10x y +++=(5) 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.（6）求与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上的圆的方程.(x －1)2＋(y ＋1)2＝22、已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线03:1=-y x l 上，它截直线0:2=-y x l 所得的弦长为72，求圆C 的方程. (x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.3、已知圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x-2y=0的距离为55，求该圆的方程. 22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=4、过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则ΔOAB 的外接圆方程是 . 22(2)(1)5x y -+-=5.一圆经过两点A （4,2）、B （-1,2），且在两坐标轴上四个截距之和为2，求圆的方程. 222280x y x +-+=6. ABC ∆的三个顶点分别为A （-1,5）、B （-2，-2）、C （5，5），求其外接圆的方程. 2242200x y x y +---=7.圆C 过点P （1,2）、Q （-2,3），且圆C 在两坐标轴上截得的弦长相等，求该圆的方程.222230x y x y ++--= 或2244170x y x y +++-=9.已知两圆222210(3)20x y y +=+-=和（x-1）相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是 . x+3y=010.求经过直线x=-2和圆2224110x y x y ++--=的交点的所有圆中，面积最小的圆的方程 . 22(2)(2)15x y ++-=11.求与直线x+y-2=0和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程.22(2)(2)2x y -+-=12.求圆心在直线x+y=0上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，222280x y x y +++-=交点的圆的方程. 226680x y x y ++-+=13.圆在x,y 轴上分别截得的弦长为14和4，且圆心在直线2x+3y=0上，求此圆的方程. 22(9)(6)85x y -++=或22(9)(6)85x y ++-=。

高中数学教师备课必备(圆与方程)：专题五圆的方程典型例题含解析

类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径,则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内．解法二：(直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==ACr ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y xO ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．类型三：弦长、弧问题例9、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB 。

高三微专题——圆的方程

课题：圆的方程一、读与查读：圆的方程两种形式，直线与圆位置关系判断，圆与圆位置关系查：圆的方程，判断方法2.小题回顾（1）.(必修2P102习题5改编)若某圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是.【答案】(x-2)2+(y-1)2=1【解析】因为圆与x轴相切，所以圆心的纵坐标与半径的值相等，故设圆心为(a，1)(a>0)，由已知得圆心到直线4x-3y=0的距离d==r=1，所以a=2或a=-(舍去)，故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.（2）.(必修2P117习题5改编)若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是.【答案】(-∞，0)∪(10，+∞)【解析】将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为(x-1)2+(y+2)2=1，圆心为(1，-2)，半径为1.因为直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，即=>1，解得m<0或m>10.二、导与学1.求圆的方程例1：根据下列条件求圆的方程：|4-3| 5 a12|-5|5m(1)经过点P (1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上； (2)圆心在直线y=-4x 上，且与直线l ：x+y-1=0相切于点P (3，-2). 【思维引导】(1)可以利用“待定系数法”求出圆的方程.(2)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.例如，圆心和半径.【解答】(1)设圆的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2，由题意列出方程组，解得所以圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.(2)过切点且与直线x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x 联立可求得圆心为(1，-4)，所以半径=所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.【精要点评】求圆的方程时，要根据已知条件选择合适的形式，一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式.不论是哪种形式，都是确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式.另外，充分利用圆的有关几何性质，也可以求得圆的方程中的三个参数.常用的性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线.变式训练1：根据下列条件求圆的方程：(1)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (-9，2)； (2)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2). 【解答】(1)设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，因为此圆过点A (1，12)，B (7，10)，C (-9，2)，所以解得D=-2，E=-4，F=-95，所以所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0.(2)由题意设圆的方程为x 2+(y-b )2=1.因为过点(1，2)，所以代入可得b=2，故所222222(-1)(-1)2310a b r a b r a b ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，，24-325a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，1144120491007100814-920D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，，，求圆的方程为x 2+(y-2)2=1.2.圆的弦长、弦心距和半径关系问题例2.已知直线l ：y=x 和圆C ：(x-2)2+(y-4)2=10.(1)求直线l 和圆C 的交点坐标； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长.【思维引导】直接思路是求出两交点坐标，然后用两点间距离公式求解，求弦长也可用几何法进行求解.【解答】(1)由解得或即直线l 和圆C 的交点坐标为A (1，1)和B (5，5).(2)方法一：由(1)知，直线l 被圆C 所截得的弦长为=4.方法二：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，所以弦长为l===【精要点评】求直线被圆所截得的弦长问题多采取半弦、半径、圆心到直线的距离构成直角三角形来处理.变式训练2：已知圆C 1：x 2+y 2-6x-6=0，圆C 2：x 2+y 2-4y-6=0.(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在直线的方程.【解答】(1)因为圆C 1的圆心为(3，0)，半径为r 1，圆C 2的圆心为(0，2)，半径为r 2.又因为C 1C 2，所以|r 1-r 2|<C 1C 2<r 1+r 2，所以圆C 1与圆C 2相交.22(-2)(-4)10x y y x ⎧+=⎨=⎩，，11x y =⎧⎨=⎩，55x y =⎧⎨=⎩，，(2)圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为3x-2y=0.三、教1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.圆的切线(1)若点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2上时，则经过点P(x0，y0)的圆的切线方程为x 0x+yy=r2；若点P(x，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时，则经过点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(2)当点P(x0，y0)在圆外时，切线有两条.求圆的切线方程时，常设出切线的点斜式方程，然后运用点到直线的距离求出斜率.如果只能解出斜率的一个值，要注意斜率不存在的情形.(3)当点P(x0，y0)在圆x2+y2=r2外时，直线x0x+y0y=r2是切点弦所在的直线方程.3.圆系及圆系的方程(1)当直线l：ax+by+c=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交时，经过直线l与圆C交点的圆系的方程可以设为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(ax+by+c)=0，λ为待定参数.(2)经过圆C1：f1(x，y)=0与圆C2：f2(x，y)=0交点的圆的方程为f1(x，y)+tf2(x，y)=0(t≠-1).(3)已知圆C1：f1(x，y)=0与圆C2：f2(x，y)=0有公共点(二次项系数相同)，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表示经过它们交点的直线；如果两圆有两个交点，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表示公共弦所在直线；如果两圆外切，那么方程f1(x，y)-f2(x，y)=0表示公切线方程.四、测1. 知识与方法2. 题组训练（1）．已知直线l 经过点P 且被圆x 2+y 2=25截得的弦长为8，求直线l 的方程.①当直线l 的斜率k 不存在时，l 的方程为x=-3，代入x 2+y 2=25，得y 1=4，y 2=-4，弦长为|y 1-y 2|=8，符合题意.②当直线l 的斜率k 存在时，设其方程为y+=k (x+3)，即kx-y+3k-=0.=3=3，解得k=-，此时直线l 的方程为y+=-(x+3)，即3x+4y+15=0.综上，直线l 的方程为x+3=0或3x+4y+15=0.(2) .k 为何值时，圆C 1：x 2+y 2+4x-6y+12=0和圆C 2：x 2+y 2-2x-14y+k=0分别相交、相切、相离?将两圆的一般方程化为标准方程，C 1：(x+2)2+(y-3)2=1，C 2：(x-1)2+(y-7)2=50-k. 圆C 1的圆心为C 1(-2，3)，半径r 1=1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2(k<50)，所以C 1C 2=5，当1=5，即k=34时，两圆外切；3-3-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3232343234当-1|=5=6，k=14时，两圆内切；当14<k<34时，则4<6，即r2-r1<C1C2<r2+r1，两圆相交；当k<14或34<k<50时，两圆相离.。

高中试卷-专题08 圆的方程(含答案)

专题08 圆的方程一、单选题1．（2020·湖南省高二月考）曲线方程表示一个圆的充要条件为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】表示圆的充要条件是，即.故选：C ．2．（2019·浙江省高二期中）圆心在上，半径为3的圆的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】圆心在上，半径为3的圆的标准方程为：故选： B3．（2020·北京高三一模）设则以线段为直径的圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】的中点坐标为：，圆半径为，圆方程为.故选：.2240x y Ex y ++-+=15E >15E ³215E >215E ³()221440E +--´>215E >(2)1-，22(2)(1)3x y -++=22(2)(1)9x y -++=22(2)(1)3x y -+-=22(2)(1)9x y -+-=(2)1-，22(2)(1)9x y -++=()()2141A B -，，，，AB 22(3)2x y -+=22(3)8x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=AB ()3,02AB r ===22(3)2x y -+=A4．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）圆心为且过原点的圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.5．（2019·瓦房店市实验高级中学高二月考）已知点，，，则外接圆的圆心坐标为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.线段中点坐标为，线段斜率为，所以线段垂直平分线的斜率为，故线段的垂直平分线方程为，即.由.所以外接圆的圆心坐标为.故选：A6．（2020·陕西省陕西师大附中高一期末）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（）()1,1()()22111x y -+-=()()22111x y +++=()()22112x y +++=()()22112x y -+-=()()2211(0)x y m m -+-=>()()220101(0)m m -+-=>2m =()()22112x y -+-=()3,6A ()1,4B ()1,0C ABC D ()5,2()5,2-()2,5()5,2-AB ()2,5AB 64131-=-AB 1-AB ()52y x -=--7y x =-+AC ()2,3AC 60331-=-AC 13-AC ()1323y x -=--11133y x =-+75111233y x x y y x =-+ì=ìïÞíí==-+îïîABC D ()5,2C 430x y -=xA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．故选A7．（2020·江苏省王淦昌中学高一开学考试）已知圆M 与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.8．（2020·广东省高三月考（理））已知圆，点，内接于圆，且，当，在圆上运动时，中点的轨迹方程是（）22(2)(1)1x y -+-=227(3)13x y æö-+-=ç÷èø22(1)(3)1x y -+-=223(1)12x y æö-+-=ç÷èø4315a b r -==12340x y -=34+100x y -=4y x =--M 22(3)(1)1x y ++-=22(3)(1)1x y -++=22(3)(1)1x y +++=22(3)(1)1x y -+-=340x y -=34100x y -+=3450x y -+=3450{4x y y x -+==--3{1x y =-=-21M ()()22311x y +++=C 221x y +=()1,0A ABC D 60BAC Ð=°B C BCA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设中点为，圆心角等于圆周角的一半，，，在直角三角形中，由，故中点的轨迹方程是：，如图，由的极限位置可得，.故选：D9．（2020·全国高三月考（理））已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（）A ．100B ．25C ．50D．【答案】D 【解析】设圆的方程为，将代入可得，2212x y +=2214x y +=221122x y x æö+=<ç÷èø221144x y x æö+=<ç÷èøBC D Q 60BAC Ð=°60BOD \Ð=o BOD 1122OD OB ==D 2214x y +=BAC Ð14x <C ()()()4,6,2,2,5,5--,M N C CMN D 252C 220x y Dx Ey F ++++=()()()4,6,2,2,5,5--，解得.故圆的一般方程为，即，故的面积.面积的最大值为.故选：.10．（2019·全国高三二模（文））已知2，，成等差数列，则圆：上的点到点距离的最大值为（）A ．1B ．2C ．5D ．【答案】C 【解析】因为2，，成等差数列，所以，可得，所以点的轨迹方程为，圆心，则圆上的点到点的最大值为.故选：C 二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）圆（）A ．关于点对称B ．关于直线对称C ．关于直线对称D ．关于直线对称【答案】ABC 【解析】，所以圆心的坐标为.A ：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；52460822050550D E F D E F D E F +++=ìï--+=íï+++=î2,4,20D E F =-=-=-C 2224200x y x y +---=()()221225x y -+-=CMN D 11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =Ð=´´Ð£´´´=CMN \D 252D 2m n +6-C (()2214x y -++=(),M m n 2m n +6-()2226m n +=-220m n ++=M 220x y ++=()1-C M max 325d =+=22410x y x +--=()2,00y =320x y +-=20x y -+=22224102)5(x y x x y +--=Þ+=-()2,0()2,0B ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；C ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；D ：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.故选：ABC12．（2019·福建省南安第一中学高二月考）已知点，直线，下列结论正确的是（）A ．恒过定点B ．（为坐标原点）C ．到直线的距离有最小值，最小值为3D ．到直线的距离有最大值，最大值为5【答案】ABD 【解析】直线，当时，，故A 正确；，故B 正确；点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，直线过定点，位置如图：由图可知，点到直线的距离最小值为0，当直线与轴垂直时，圆心到直线的距离最大，最大值为4，所以到直线的距离有最大值，最大值为5.故C 错误，D 正确.故选：ABD.13．（2019·福建省高一期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波0y =320x y +-=20x y -+=()()cos ,sin P R q q q Î:40l x my +-=l ()4,01OP =O P l P l :40l x my +-=0y =4x =1OP ==P ()0,0()4,0P l x P l ,A B ()1l l ¹罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,点.设点的轨迹为,下列结论正确的是（）A ．的方程为B ．在轴上存在异于的两定点,使得C ．当三点不共线时,射线是的平分线D ．在上存在点,使得【答案】BC 【解析】设点，则，化简整理得，即，故A错误；当时，，故B 正确；对于C 选项，，,要证PO 为角平分线，只需证明，即证，化简整理即证，设，则，，则证，故C 正确；对于D 选项，设,由可得，而点M 在圆上，故满足，联立解得，无实数解，于是D 错误.故答案为BC.三、填空题14．（2019·江苏省南京师大附中高三一模）圆关于直线的对称圆的方程为_____.xOy ()()2,0,4,0,A B -12PA P PB=满足P C C ()2249x y ++=x ,A B ,D E 12PD PE=,,A B P PO APB ÐC M 2||MO MA =(),P x y 12PA PB=2280x y x ++=()22416x y ++=()()1,0,2,0,D B -12PDPE =222cos =2AP PO AO APO AP PO+-Ð×222cos =2BP PO BO BPO BP PO +-Ð×cos =cos APO BPO ÐÐ22222222AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO +-+-=××2228PO AP =-(),P x y 222PO x y =+()()222222222282828AP x x y x x y x y x y -=++=++++=+cos =cos APO BPO ÐÐ()00,M x y 2||MO MA =220003316+160x y x ++=2280x y x ++=0=2x 0y 22:(1)(2)4C x y ++-=21y x =-【答案】【解析】的圆心为，关于对称点设为，则有: ，解得，所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.故答案为：15．（2020·广东省红岭中学高二期末）方程表示圆C 中，则圆C 面积的最小值等于________.【答案】【解析】当故答案为16．（2020·全国高三月考（理））已知点，，是圆上一点，则的最小值为_________【答案】【解析】设点，则又因为，则，22(3)4x y -+=22:(1)(2)4C x y ++-=(1,2)-21y x =-(,)x y 2121222112y x y x +-ì=´-ïïí-ï=-ï+î30x y =ìí=î(3,0)22(3)4x y -+=22(3)4x y -+=22230x y x my m +-+--=3p ()222222301424m m x y x my m x y m æö+-+--=\+++=++ç÷èø()222142344m R m m =++=++2m =-23R p p =3p(0,0)O (4,0)A M 22:(2)1C x y -+=||||OM AM 13(,)M x y 222222||||(4)OM x y AM x y +=-+22(2)1x y -+=221(2)y x =--故，，易得函数在上单调递增.则的最小值为，故的最小值为.故答案为：17．（2019·山东省高三期中）已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，且截轴所得的弦长为，则圆的方程为______，则点到圆上动点的距离最大值为______.【答案】 8 【解析】设圆的方程为由题意可得，解得，所以圆的方程为；设点到圆心的距离为，则点到圆上动点的距离最大值为.故答案为：；8四、解答题18．（2019·四川省仁寿一中高二期中（文））求过点A (0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．【答案】(x －3)2＋(y －3)2＝18.【解析】设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．由题意得解得∴圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.22||43101||413413OM x AM x x -==-+-+-+[1,3]x Î101413y x =-+-+[1,3]22||||OM AM 19||||OM AM 131330x y -=C y x C ()6,5P C Q ()()22319x y -+-=222()()x a y b r -+-=(0,0)a b >>22308a b a r b r -=ìï=íï+=î313a b r =ìï=íï=î()()22319x y -+-=()6,5P (3,1)C 5d ==()6,5P C Q 538d r +=+=()()22319x y -+-=222222(6)a b r a b r a b ì+=ï+-=íï=î点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．19．（2019·吉林省东北师大附中高一月考）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，求此圆的方程.【答案】，【解析】设圆的方程为：，则：，，所以或，因此圆的方程为：，. 20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）已知圆：，圆关于直线对称，圆心在第二象限，半径为.（1）求圆的方程；（2）直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.或【解析】分析：(,)a b r ,,a b r ,,a b r y y x =30x y -=22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=222()()x a y b r -+-=||a r =30a b -==313a b r =ìï=íï=î313a b r =-ìï=-íï=î22(3)(1)9x y -+-=22(3)(1)9x y +++=（1）通过圆关于直线对称，可知圆心在直线上，再结合半径为，得到关于的方程组，求解方程组，选择在第二象限中的根，即可求得圆的方程；（2）分截距为零和不为零两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径求解直线方程。

专题37圆的方程

专题37圆的方程知识必备1圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆定点叫作圆心，定长叫作半径.2圆的方程标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程：(x a)2(y b)2=r2圆心在原点的圆的标准方程：x2y2=r2圆的一般方程：x2y2Dx Ey F=0(D2E24F>0)说明：（1）x2和y2项的系数相等且都不为零；（2）没有xy这样的二次项.（3）表示以(D2，E2)为圆心，12√D2E24F为半径的圆.圆的直径式：以(x1，y1)和(x2，y2)两点连线为直径的圆方程：(x x1)(x x2)(y y1)(y y2)=3确定圆的方程的方法和步㘔确定圆的方程主要方法是待定系数法，一般步骤为：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程或圆的直径式；（2）根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；（3）解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.4与圆有关的位置关系（1）点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外点P在圆上点P在圆内d>r d=r d<r代数表示：圆的标准方程(x a)2(y b)2=r2，点M(x0，y0).点在圆上：(x0a)2(y0b)2=r2；点在圆外：(x0a)2(y0b)2>r2；点在圆内：(x0a)2(y0b)2<r2.（2）直线与圆的位置关系几何法：设⊙O的半径为r，点P到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相离直线l与⊙O相切直线l与⊙O相交1没有公共点唯一公共点两个公共点d>r d=rd<r代数法：联立直线和圆的方程得到一元二次方程通过判别式Δ=b 24ac 判定{Δ>0⇔相交Δ=0⇔相切Δ<0⇔相离（3）圆与圆的位置关系设⊙O ，⊙O 的半径为r ，r外离外切相交内含没有公共点唯一公共点两个公共点唯一公共点没有公共点d>r1r2d=r1r2r2r1<d<r1r2d=r2r10<d<r2r1公共弦问题：将两个圆的方程作差，即为公共弦所在直线方程.5圆系方程（1）同心圆系方程：与(x a)2(y b)2=r2共圆心的同心圆系方程为________(x a)2(y b)2=λ与x2y2Dx Ey F=0同圆心的圆系方程为________x2y2Dx Eyλ=0（2）过直线与圆交点的圆系方程过直线Ax By C=0与x2y2Dx Ey F=0的交点的圆系方程为：λ(Ax By C)x2y2Dx Ey F=0（3）过两圆交点的圆系方程过直线x2y2D1x E1y F1=0与x2y2D2x E2y F2=0的交点的圆系方程为：x2y2D1x E1y F1λ(x2y2D2x E2y F2)=0典型例题考点一圆的方程________【例题1】圆心为(1，2)，半径为3的圆的方程是（）A(x1)2(y2)2=9B(x1)2(y2)2=3C(x1)2(y2)2=3D(x1)2(y2)2=9【例题2】已知圆C过点A(4，0)，B(8，6)，且圆心C在直线l：x y3=0上求圆C的方程.【例题3】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，√5)在圆C上，且圆心到直线2x y=0的距离为4√55，则圆C的方程为________【例题4】在平面直角坐标系xOy中，A(2，0)，B(2，2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为________【例题5】已知△ABC的顶点坐标分别是A(5，1)，B(1，1)，C(1，3)，则△ABC的外接圆方程为（）23A (x 3)2(y 2)2=5B (x 3)2(y 2)2=20C (x 3)2(y 2)2=20D (x 3)2(y 2)2=5 【例题6】圆(x 2)2(y 12)2=4关于直线xy 4=0对称的圆的方程为（） A (x 6)2(y 4)2=4B (x 8)2(y 2)2=4C (x 8)2(y 2)2=4D (x 6)2(y 4)2=4 【例题7】圆x 2y 22x 4y 11=0关于点P (2，1)对称的圆的方程是________ 【例题8】方程x 2y 24mx 2y 5m =0表示圆，则实数m 的取值范围为（） A (∞，14)⋃(2，∞) B (14，1) C (∞，14)⋃(1，∞) D (∞，14]⋃[1，∞）【例题9】如果圆的方程为x 2y 2kx 2y k 2=0，那么当圆的面积最大时圆心的坐标为________ 【例题10】已知曲线C ：x 2y 22kx (4k 10)y 10k 20=0，其中k ≠1，则C 过定点________考点二与圆有关的位置关系【例题11】以点A (2，3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，7)与圆O 的位置关系是（）A 在圆内B 在圆上C 在圆外D 无法判断【例题12】已知点P (2a ，a )在圆(x a )2(y a )2=20的内部，则实数a 的取值范围是________【例题13】“a >0”是“点(0，1)在圆x 2y 22ax 2y a 1=0外”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【例题14】已知点M (a ，b )在圆O ：x 2y 2=1外，则直线ax by =1与圆O 的位置关系是（（） A 相切 B 相交C 相离D 不确定.【例题15】已知圆C ：x 2y 2=4（，直线l ：y 1=k (x 1)（，则直线l （与圆C （的位置关系（） A 相离 B 相切C 相交D 以上皆有可能【例题16】若无论实数k 取何值，直线kx y k 1=0与圆x 2y 22x 2y b =0相交，则b 的取值范围为（）A (∞，2)B (∞，2)C (∞，0)D (0，2)【例题17】直线y =√33x m 与圆x 2y 2=1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是________【例题18】圆(x 3)2(y 3)2=9上到直线3x 4y 11=0的距离等于1的点的个数为（（） A 1 B 2C 3D 4【例题19】若圆(x1)2(y1)2=R2上有且仅有三个点到直线4x3y=11的距离等于1，则半径R的值为________【例题20】已知圆O：x2y2=r2(r>0)上有且只有两个点到直线l：3x4y15=0的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（）A(2，4)B[2，4]C（2，3]D[3，4）【例题21】圆x2y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线x y2=0的距离为1，则r的取值范围是（）A(√21，∞)B(√21，√21)C(0，√21)D(0，√21)【例题22】已知圆x2y2=4上存在两点到点(m，m)(m>0)的距离为1，则实数m的取值范围为________【例题23】圆O1：(x1)2(y2)2=1与圆O2：(x2)2(y1)2=2的位置关系为（）A外离B相切C相交D内含【例题24】若圆x2y2=4与圆x2y216x m=0相外切，则实数m的值是________【例题25】与圆C：(x2)2(y1)2=4相切于点(4，1)且半径为1的圆的方程是________【例题26】已知圆：(x1)2(y2)2=r2(r>0)与圆：(x4)2(y2)2=16有公共点，则r的取值范围为（）A（）（0，1]B[1，5]C[1，9]D[5，9]【例题27】圆x2y24x6y4=0（与圆x2y22x4y3=0（的公共弦所在的直线方程为________【例题28】已知圆C1：x2y2kx2y=0与圆C2：x2y2ky4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a，b)，且点P在直线mx ny2=0上，则m2n2的取值范围是（）A(12，∞)B(∞，14]C[12，∞)D(∞，14)考点三圆的简单应用【例题29】若点P在圆(x1)2y2=1上运动，Q(m，m1)，则PQ的最小值为（）A√22B√21C√21D√2【例题30】已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y14=0上，求x y的最大值与最小值.【例题31】若点A(m，n)在圆C：x2y22x8y1=0上，则n的取值范围为（）45A [0，359] B [0，409] C [0，4] D (∞，359] 【例题32】已知A (0，2)（，点P （在直线x y 2=0（上，点Q （在圆x 2y 24x 2y =0（上，则|PA ||PQ |的最小值是________考点四与圆有关的轨迹问题【例题33】已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (1，0)，B (3，0)，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程.【例题34】设定点M (3，4)，动点N 在圆x 2y 2=4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.【例题35】过点M (2，1)，且经过圆x 2y 24x 4y 4=0与圆x 2y 24=0的交点的圆的方程为（）A x 2y 2x y 6=0B x 2y 2x y 8=0C x 2y 2x y 2=0D x 2y 2x y 4=0阿氏圆【例题36】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(k >0，k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |=√3，若点P 不在直线AB 上，则△PAB 面积的最大值为（） A ( )√3B 3C 2√3D 4√3【例题37】若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足|PA ||PB |=√2，则PA 2PB 2的最小值为（）A 3624√2B 4824√2C 36√2D 24√26。