函数与图像专题七
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专题七 函数与图象
⊙热点一:图象信息题 1.如图Z7-7,二次函数y =-x 2-2x 的图象与x 轴交于点A ,O ,在抛物线上有一点P ,
满足S △AOP =3,则点P 的坐标是( )
图Z7-7
A .(-3,-3)
B .(1,-3)
C .(-3,-3)或(-3,1)
D .(-3,-3)或(1,-3)
2.(2013年山东菏泽)已知b <0时,二次函数y =ax 2+bx +a 2-1的图象是下列4个图之一.根据图象分析,a 的值等于( )
A .-2
B .-1
C .1
D .2
⊙热点二:代数几何综合题 1.(2013年湖南永州)如图Z7-8,已知二次函数y =(x -m )2-4m 2(m >0)的图象与x 轴交
于A ,B 两点.
(1)写出A ,B 两点的坐标(坐标用m 表示);
(2)若二次函数图象的顶点P 在以AB 为直径的圆上,求二次函数的解析式; (3)设以AB 为直径的⊙M 与y 轴交于C ,D 两点,求CD 的长.
图Z7-8
2.(2013年四川资阳节选)如图Z7-9,四边形ABCD是平行四边形,过点A,C,D作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),与x轴的另一交点为E,连接CE,点A,B,D的坐标分别为(-2,0),(3,0),(0,4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知抛物线的对称轴l交x轴于点F,交线段CD于点K,点M,N分别是直线l和x轴上的动点,连接MN,当线段MN恰好被BC垂直平分时,求点N的坐标.
图Z7-9
⊙热点三:函数探索开放题
(2013年四川雅安)如图Z7-10(1),已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;
(3)如图Z7-10(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A,D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(1) (2)
图Z7-10
函数与图象
热点一 1.D 2.C 热点二
1.解:(1)∵y =(x -m )2-4m 2, ∴当y =0时,(x -m )2-4m 2=0. 解得x 1=-m ,x 2=3m . ∵m >0,
∴A ,B 两点的坐标分别是(-m,0),(3m,0). (2)∵A (-m,0),B (3m,0),m >0,
∴AB =3m -(-m )=4m ,圆的半径为1
2
AB =2m .
∴OM =AM -OA =2m -m =m .
∴抛物线的顶点P 的坐标为:(m ,-2m ).
又∵二次函数y =(x -m )2-4m 2(m >0)的顶点P 的坐标为(m ,-4m 2),
∴-2m =-4m 2.解得m 1=1
2
,m 2=0(舍去).
∴二次函数的解析式为y =⎝⎛⎭
⎫x -1
22-1, 即y =x 2-x -3
4
.
(3)如图89,连接CM .在Rt △OCM 中,
∵∠COM =90°,CM =2m =1,OM =m =1
2
,
∴OC =CM 2-OM 2=12-⎝⎛⎭⎫122=3
2
. ∴CD =2OC = 3.
图89 图90
2.解:(1)∵点A ,B ,D 的坐标分别为(-2,0),(3,0),(0,4),且四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB =CD =5,∴点C 的坐标为(5,4).
∵点A ,C ,D 在抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)上,
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
4a -2b +c =0,25a +5b +c =4,c =4.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a =-2
7,b =10
7,
c =4.
故抛物线的解析式为y =-27x 2+10
7
x +4.
(2)如图90,连接BD 交对称轴于G ,在Rt △OBD 中,易求BD =5,∴CD =BD ,则∠DCB =∠DBC .
又∵∠DCB =∠CBE ,∴∠DBC =∠CBE . 过G 作GN ⊥BC 于H ,交x 轴于N ,
易证GH =HN ,∴点G 与点M 重合.
故直线BD 的解析式y =-4
3
x +4.
根据抛物线可知对称轴方程为x =5
2
,
则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫52,23,即GF =23,BF =12. ∴BM =FM 2+FB 2=5
6
.
又∵MN 被BC 垂直平分,∴BM =BN =5
6
.
∴点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫
236,0. 热点三
解:(1)由题意,得⎩⎪⎨⎪
⎧
a +
b +
c =0,9a -3b +c =0,
c =3.
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a =-1,
b =-2,
c =3.
∴抛物线的解析式为:y =-x 2-2x +3.
(2)∵△PBC 的周长为PB +PC +BC , ∵BC 是定值,
∴当PB +PC 最小时,△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴l 对称,
∴连接AC 交l 于点P ,即点P 为所求的点(如图91).
图91
∵AP =BP ,
∴△PBC 的周长最小是PB +PC +BC =AC +BC . ∵A (-3,0),B (1,0),C (0,3), ∴AC =3 2,BC =10.
故△PBC 周长的最小值为3 2+10.
(3)①∵抛物线y =-x 2-2x +3顶点D 的坐标为(-1,4),A (-3,0), ∴直线AD 的解析式为y =2x +6. ∵点E 的横坐标为m ,
∴E (m,2m +6),F (m ,-m 2-2m +3).
∴EF =-m 2-2m +3-(2m +6)=-m 2-4m -3,
AH =12AB =1
2
×4=2,
∴S =S △DEF +S △AEF =12EF ·GH +12EF ·AG =12EF ·AH =1
2(-m 2-4m -3)×2=-m 2-4m -
3.
②存在.∵S =-m 2-4m -3=-(m +2)2+1.
∴当m =-2时,S 最大,最大值为1. 此时点E 的坐标为(-2,2).