9.4+矩形、菱形、正方形(例)9课时

9.4 矩形、菱形、正方形（例）9课时一．选择题（共4小题）1．（2019春•中山市期末）下列说法中，正确的是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．对角线互相平分的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等的平行四边形是矩形2．（2019•保康县模拟）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE OF =；小何：四边形DFBE 是正方形；小夏：AFED FBCE S S =四边形四边形；小雨：ACE CAF ∠=∠．这四位同学写出的结论中不正确的是( )A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨3．（2019春•高邮市期中）下列说法正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的矩形是正方形D ．对角线相等的菱形是正方形4．（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有( )个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（共4小题）5．（2019春•岳麓区校级期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是BAD ∆和ACD ∆的高，得到下列四个结论：①OA OD =；②AD EF ⊥；③当90A ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④AE DF AF DE +=+．其中正确的是 （填序号）．6．（2019春•伊通县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得60B ∠=︒，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC =，则图1中对角线AC 的长为 cm ．7．（2019•湖北模拟）如图，在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90D ∠=︒，45ABE ∠=︒，BC CD =，若5AE =，2CE =，则BC 的长度为 ．8．（2018秋•龙泉驿区期末）在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，10AB BC ==，点E 在AB 上，6BE =且45DCE ∠=︒，则DE 的长为 ．三．解答题（共4小题）9．（2019春•闽侯县期末）如图1，在平面直角坐标系中，放置一个边长为5正方形ABCD ，人使得它的两个顶点B和A恰好落在x轴正半轴和y轴正半轴上，M为正方形的中心．（1）若点B和点A在x轴和y轴上滑动，求证：在这个运动过程中，M始终在第一象限的角平分线上．（2）若点A运动到(0,3)，求此时M点的坐标．10．（2019春•北流市期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF DE⊥，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35︒时，求EFC∠的度数．11．（2018秋•南关区校级期末）如图，在矩形ABCD中，8BC=，点P从点D出AB=，16发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当6t=时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；（3）直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；（4）求整个运动当中，线段PQ扫过的面积是多少？12．（2019秋•城固县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作DE AC，CE与DE交于点E．CE BD，过点D作////求证：四边形OCED是正方形．9.4 矩形、菱形、正方形（例）9课时参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2019春•中山市期末）下列说法中，正确的是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．对角线互相平分的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D ．对角线相等的平行四边形是矩形【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定逐个判断即可．【解答】解：A 、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，错误；B 、对角线互相平分、垂直的四边形是菱形，错误；C 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，错误；D 、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的应用，能熟记平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质和判定的内容是解此题的关键．2．（2019•保康县模拟）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE OF =；小何：四边形DFBE 是正方形；小夏：AFED FBCE S S =四边形四边形；小雨：ACE CAF ∠=∠．这四位同学写出的结论中不正确的是( )A ．小青B ．小何C ．小夏D ．小雨【分析】利用平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，一一判断即可．【解答】解：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，//CD AB ，ECO FAO ∴∠=∠，（故小雨的结论正确）， 在EOC ∆和FOA ∆中，EOC AOF ECO OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EOC FOA ∴∆≅∆，OE OF ∴=（故小青的结论正确）， EOC AOF S S ∆∆∴=，12ADC AFED ABCD S S S ∆∴==四边形平行四边形， AFED FBCE S S ∴=四边形四边形故小夏的结论正确，EOC FOA ∆≅∆，EC AF ∴=，CD AB =，DE FB ∴=，//DE FB ，∴四边形DFBE 是平行四边形，OD OB =，EO DB ⊥，ED EB ∴=，∴四边形DFBE 是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误，故选：B ．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质正方形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2019春•高邮市期中）下列说法正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的矩形是正方形D ．对角线相等的菱形是正方形【分析】根据矩形的判定方法对A 进行判断；根据菱形的判定方法对B 、D 进行判断；根据正方形的判定方法对C 进行判断．【解答】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A 选项错误；B 、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以B 选项错误；C 、对角线垂直的矩形是正方形，所以C 选项错误；D 、对角线相等的菱形是正方形，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果⋯那么⋯”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．（2019春•香坊区校级期中）下列说法中，正确的有( )个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；③有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；④对角线平分、相等且垂直的四边形是正方形，错误；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，正确，故选：B ．【点评】本题考查了正方形的判定和性质、平行四边形的判定、菱形的判定及矩形的判定，解题的关键是能够熟练掌握有关的判定定理，难度不大．二．填空题（共4小题）5．（2019春•岳麓区校级期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是BAD ∆和ACD ∆的高，得到下列四个结论：①OA OD =；②AD EF ⊥；③当90A ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④AE DF AF DE +=+．其中正确的是 ②③④ （填序号）．【分析】①如果OA OD =，则四边形AEDF 是矩形，90A ∠=︒，不符合题意，所以①不正确；②首先根据全等三角形的判定方法，判断出AED AFD ∆≅∆，AE AF =，DE DF =；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△0AE AFO ≅∆，即可判断出AD EF ⊥；③首先判断出当90A ∠=︒时，四边形AEDF 的四个角都是直角，四边形AEDF 是矩形，然后根据DE DF =，判断出四边形AEDF 是正方形即可；④根据AED AFD ∆≅∆，判断出AE AF =，DE DF =，即可判断出AE DF AF DE +=+成立．【解答】解：如果OA OD =，则四边形AEDF 是矩形，没有说90A ∠=︒，不符合题意，故①错误； AD 是ABC ∆的角平分线，EAD FAD ∴∠=∠，在AED ∆和AFD ∆中，90EAD FAD AED AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AED AFD AAS ∴∆≅∆，AE AF ∴=，DE DF =，AE DF AF DE ∴+=+，故④正确；在AEO ∆和AFO ∆中，AE AF EAO FAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO AFO SAS ∴∆≅∆，EO FO ∴=，又AE AF =，∴是EF的中垂线，AO∴⊥，故②正确；AD EF当90∠=︒时，四边形AEDF的四个角都是直角，A∴四边形AEDF是矩形，又DE DF=，∴四边形AEDF是正方形，故③正确．综上可得：正确的是：②③④，故答案为：②③④．【点评】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．6．（2019春•伊通县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具制作成图1所示菱形，并测得60B∠=︒，接着活动学具制作成图2所示正方形，并测得正方形的对角线AC=，则图1中对角线AC的长为a cm．【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明∆是等边三角形即可解决问题．ABC【解答】解：如图1，2中，连接AC．在图2中，四边形ABCD是正方形，∠=︒，B∴=，90AB BC=，2AC aAB BC a ∴==，在图1中，60B ∠=︒，BA BC =，ABC ∴∆是等边三角形，AC BC a ∴==，故答案为：a ，【点评】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2019•湖北模拟）如图，在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90D ∠=︒，45ABE ∠=︒，BC CD =，若5AE =，2CE =，则BC 的长度为 6 ．【分析】过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，由题意可证四边形CDFB 是正方形，由正方形的性质可得CD BC DF BF ===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，由全等三角形的性质可得5AG AE ==，可得3AF =，由勾股定理可得6BC DC ==．【解答】解：过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，//AD BC ，90D ∠=︒，90C D ∴∠=∠=︒，BF AD ⊥∴四边形CDFB 是矩形BC CD =∴四边形CDFB 是正方形CD BC DF BF ∴===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，BC BF =，90BFG C ∠=∠=︒，CE FG =()BCE BFG SAS ∴∆≅∆BE BG ∴=，CBE FBG ∠=∠45ABE ∠=︒，45CBE ABF ∴∠+∠=︒，45ABF FBG ABG ∴∠+∠=︒=∠ABG ABE ∴∠=∠，且AB AB =，BE BG =()ABE ABG SAS ∴∆≅∆5AE AG ∴==，523AF AG FG ∴=-=-=在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+，2225(3)(2)DF DF ∴=-+-，6DF ∴=6BC ∴=故答案为：6【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．8．（2018秋•龙泉驿区期末）在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，10AB BC ==，点E 在AB 上，6BE =且45DCE ∠=︒，则DE 的长为 8.5 ．【分析】过点C 作CG AD ⊥，交AD 的延长线于点G ，推出四边形ABCG 是正方形，得到90BCG ∠=︒，BC CG =延长AB 到BH 使BH DG =，根据全等三角形的性质得到DE EH BE DG ==+，利用勾股定理求得DE 的长．【解答】解：如图，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，90A ∴∠=︒， 过点C 作CG AD ⊥，交AD 的延长线于点G ，10AB BC ==，∴四边形ABCG 是正方形，90BCG ∴∠=︒，BC CG =，45DCE ∠=︒，45DCG BCE ∴∠+∠=︒，延长AB 到BH 使BH DG =，在CDG ∆与CHB ∆中，BC CG G CBH DG BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDG CHB SAS ∴∆≅∆，CH CD ∴=，BCH GCD ∠=∠，DCE HCE ∴∠=∠，CE CE =，()CEH CED SAS ∴∆≅∆，DE EH BE DG ∴==+，在过点C 作CG AD ⊥，交AD 的延长线于点G ，DE DG BE =+，设DG x =，则10AD x =-，6DE x =+，在Rt ADE ∆中，由勾股定理得：222AD AE DE +=，222(10)4(6)x x ∴-+=+，解得 2.5x =．2.568.5DE ∴=+=．故答案是：8.5．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．三．解答题（共4小题）9．（2019春•闽侯县期末）如图1，在平面直角坐标系中，放置一个边长为5正方形ABCD ，人使得它的两个顶点B 和A 恰好落在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，M 为正方形的中心．（1）若点B 和点A 在x 轴和y 轴上滑动，求证：在这个运动过程中，M 始终在第一象限的角平分线上．（2）若点A 运动到(0,3)，求此时M 点的坐标．【分析】（1）作ME x ⊥轴交x 轴于E 点，作MF y ⊥轴交y 轴于F 点，则四边形EMFO 是矩形得出90MEA MFB ∠=∠=︒，90EMA AMF ∠+∠=︒，由正方形的性质得出MA MB =，90AMF FMB ∠+∠=︒，推出EMA FMB ∠=∠，由AAS 证得MEA MFB ∆≅∆得出ME MF =，即四边形EMFO 是正方形，得出点M 都在AOB ∠的平分线上，即可得出结论；（2）点A 运动到(0,3)，由勾股定理得出4OB ==，作M E x ⊥轴交x 轴于E 点，作MF y ⊥轴交y 轴于F 点，作CN x ⊥轴交x 轴于N 点，则四边形AONC 是直角梯形，四边形EMFO 是正方形，得出90AOB CNB ∠=∠=︒，由正方形性质得出MA MC =，AB BC =，90ABC ∠=︒，推出MF 是直角梯形AONC 的中位线，90ABO CBN ∠+∠=︒，证得BAO CBN ∠=∠，由AAS 证得BAO BCN ∆≅∆得出4CN OB ==，由中位线定理得出1()2MF OA CN =+即可得出结果． 【解答】（1）证明：作ME x ⊥轴交x 轴于E 点，作MF y ⊥轴交y 轴于F 点，如图1所示： 则四边形EMFO 是矩形，90MEA MFB ∴∠=∠=︒，90EMA AMF ∠+∠=︒，四边形ABCD 是正方形，MA MB ∴=，90AMF FMB ∠+∠=︒，EMA FMB ∴∠=∠，在MEA ∆和MFB ∆中，MEA MFB EMA FMB MA MB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MEA MFB AAS ∴∆≅∆，ME MF ∴=，∴四边形EMFO 是正方形，∴点M 都在AOB ∠的平分线上，M ∴始终在第一象限的角平分线上；（2）解：点A 运动到(0,3)，3OA ∴=，5AB =，4OB ∴==，作ME x ⊥轴交x 轴于E 点，作MF y ⊥轴交y 轴于F 点，作CN x ⊥轴交x 轴于N 点，如图2所示：则四边形AONC 是直角梯形，四边形EMFO 是正方形，90AOB CNB ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是正方形，MA MC ∴=，AB BC =，90ABC ∠=︒，MF ∴是直角梯形AONC 的中位线，90ABO CBN ∠+∠=︒，90BAO ABO ∠+∠=︒，BAO CBN ∴∠=∠，在BAO ∆和BCN ∆中，AOB CNB BAO CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAO BCN AAS ∴∆≅∆，4CN OB ∴==，117()(34)222MF OA CN ∴=+=+=， M ∴点的坐标为：7(2，7)2．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、直角梯形的性质、中位线定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、证明三角形全等是解题的关键．10．（2019春•北流市期末）四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图1，求证：矩形DEFG 是正方形；（2）当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是35︒时，求EFC ∠的度数．【分析】（1）作EP CD ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ，证明Rt EQF Rt EPD ∆≅∆，得到EF ED =，根据正方形的判定定理证明即可；（2）分两种情况讨论即可．【解答】（1）证明：作EP CD ⊥于P ，EQ BC ⊥于Q ，45DCA BCA ∠=∠=︒，EQ EP ∴=，90QEF PEF ∠+∠=︒，90PED PEF ∠+∠=︒，QEF PED ∴∠=∠，在Rt EQF ∆和Rt EPD ∆中，QEF PED EQ EPEQF EPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩Rt EQF Rt EPD(ASA)∴∆≅∆，EF ED ∴=，∴矩形DEFG 是正方形；（2）①当DE 与AD 的夹角为35︒时，如图2，35ADE ∠=︒，90ADC ∠=︒65EDC ∴∠=︒360EDC DEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=︒360909065115EFC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒②当DE 与DC 的夹角为35︒时，如图390DEF DCF ∠=∠=︒∴点D ，点E ，点C ，点F 四点共圆35EDC EFC ∴∠=∠=︒【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．11．（2018秋•南关区校级期末）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 停止，同时，点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止，点P 、Q 的速度都是每秒1个单位，连接PQ 、AQ 、CP ．设点P 、Q 运动的时间为t 秒（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形；（2）当6t =时，判断四边形AQCP 的形状，并说明理由；（3）直接写出以PQ 为对角线的正方形面积为96时t 的值；（4）求整个运动当中，线段PQ 扫过的面积是多少？【分析】（1）由矩形性质得出16BC AD ==，8AB CD ==，由已知可得，BQ DP t ==，16AP CQ t ==-，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，得出方程，解方程即可；（2）6t =时，6AQ =，6DP =，得出16610CQ =-=，16610AP =-=，AP CQ =，//AP CQ ，四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，与勾股定理求出10AQ =，得出AQ CQ =，即可得出结论；（3）分两种情况：求出正方形的边长为则对角线PQ 为由勾股定理求出QM 的长，由题意得出方程，解方程即可；（4）连接AC 、BD ，AC 、BC 相交于点E ，线段PQ 扫过的面积AED =∆的面积BEC +∆的面积，即可得出结果．【解答】解：（1）在矩形ABCD 中，8AB =，16BC =，16BC AD ∴==，8AB CD ==，由已知可得，BQ DP t ==，16AP CQ t ==-，在矩形ABCD 中，90B ∠=︒，//AD BC ，当BQ AP =时，四边形ABQP 为矩形，16t t ∴=-，解得：8t =，∴当8t s =时，四边形ABQP 为矩形；（2）四边形AQCP 为菱形；理由如下：6t =，6AQ ∴=，6DP =，16610CQ ∴=-=，16610AP =-=，AP CQ ∴=，//AP CQ ，∴四边形AQCP 为平行四边形，在Rt ABQ ∆中，10AQ ==，AQ CQ ∴=，∴平行四边形AQCP 为菱形，∴当6t =时，四边形AQCP 为菱形；（3）正方形面积为96，∴正方形的边长为：PQ ∴==分两种情况：①如图1所示：作PM BC ⊥于M ，则8PM AB ==，DP BQ t ==，16AP BM t ==-，由勾股定理得：QM =BM BQ QM =+，16t t ∴+=-，解得：8t =-②如图2所示：DP BQ t ==，16AP BM t ==-，BQ BM QM =+，16t t ∴-+=，解得：8t=+综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：8-8+（4）连接AC、BD，AC、BC相交于点E，则整个运动当中，线段PQ扫过的面积是：AED∆的面积BEC+∆的面积，如图3所示：AED∆的面积BEC+∆的面积12=矩形ABCD的面积，∴整个运动当中，线段PQ扫过的面积12=矩形ABCD的面积118166422AB BC=⨯⨯=⨯⨯=．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键．12．（2019秋•城固县期中）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作//CE BD，过点D作//DE AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．【分析】根据正方形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：//CE BD ，//DE AC ，∴四边形CODE 是平行四边形，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，OD OC ∴=，90DOC ∠=︒，∴四边形CODE 是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．3．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE4．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．5．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．6．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．7．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．8．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形9．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．10．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．11．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．12．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．13．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．。