高三文科数学函数、三角函数,向量测试题

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高三数学(文)三角函数大题20道训练(附详答)

f (x)在区间,上的最大值和最小值
IL6 2
f (x)= 2cosx •. 3sin 2x a.(a R, a为常数)
［丿逛］
f(X)在6’6上最大值与最小值之和为3,求的值;
(2)条件下f(x)经过怎样的变换后得到y=sinx，写出其变换步骤
6.已知a=(1,2sinx),b=(2cos(x ),1)，函数f(x)二c b(x R)
2
10.已知ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a b、c，且bcsC(2a . B
(1)求角B的大小；
(2)若y = cos2A-cos2C,求y的最小值.
11.如图，已知平面四边形ABCD中，也BCD为正三角形，AB= AD=1,/BAD=，记四边形ABCD勺面积为S.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
8兀
(2)若f(x) ,求cos(2x-§)的值。
7.已知：在厶ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，向量m=(23sin号,),
n=(sin寻+扌，1)且m•n=、.3•
(1)求角B的大小；
(2)若角B为锐角，a=6,S^abc=6 .. 3求b的值.
8.已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m=(1,-.，③,n = (cosA,sin A),
S 4
且m n = -1.
(1)求角A;
•2f2 f
(2)若sin B -cos B
1
9.在:ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a2c2-b2ac
2
(i)求cosB的值；
r A +C
(u)求sin—— -cos2B的值.
文数20道三角大题
..3bc cos A.

三角函数与向量题型

一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1BC ．2D ．43、（广东文4理10）若向量,a b满足||||1a b ==，,a b的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+- 和(,sin ),2m b m α=+ 其中,,m λα为实数.若2,a b = 则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅（D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 7、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-8（全国2文9）把函数e xy =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（）A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +9、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 11、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数错误！未找到引用源。

三角函数向量解三角形数列综合测试含答案

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试含答案大冶一中孙雷一、选择题每题只有一个正确选项,共60分1.若向量===BAC CB AB ∠),0,1-(),23,21(则 A.30° B.60° C. 120° D. 150°2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ,)(PC PB PA +•的最小值是A.-8B. -14C.-26D.-303.已知在正方形ABCD 中,点E 为CD 的中点,点F 为CB 上靠近点B 的三等分点,O 为AC 与BD 的交点,则=DB A.OF AE 51858-+ B.OF AE 74718-+ C.OF AE 58518-+ D. OF AE 71874-+ 4.已知）2π-απ-(523-αsin -αcos <<=,则=+αααtan -1)tan 1(2sin A.7528- B.7528 C.7556- D. 7556 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3,则实数=mA.6-B.5-C.3-D.2-6.已知α为锐角,且2)8π-α(tan =,则=α2sin A.102 B.1023 C.1027 D. 4237.已知向量)sin 41-(α，=a ,)4πα0)(1-α(cos <<=，b ,且b a //,则=)4π-αcos( A.21- B.21 C.23- D.23 8.在ABC △中,3:2:1::=A B C ,则=a b c ::A.1:2:3B.3:2:1C.1:3:2D. 2: 3:19.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,若B A C sin sin sin 3+=,53cos =C ,且4=ABC S △,则=c A.364 B.4 C.362 D.5 10.在ABC △中,°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上,且772sin =∠BAD ,则CD =A. 334B.43 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题：“今有女善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布3135尺,则这位女子织布的天数是 A.2 B.3 C.4 D.112.数列}{n a 中,01=a ,且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ,则数列})1-(1{2n a 前2019项和为A.20194036B.10102019C.20194037D.20204039 二、填空题共20分13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值,且1-20192020<a a ,则当0<n S 时n 的最小值为_____________. 14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ,则该数列的通项公式为______________.15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+,且121==a a ,则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.16.ABC △中,Ab B a B Ac C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+,若1=+b a ,则c 的取值范围是___________.三、解答题共70分17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,81=a ,10-10=S1求n a ,n S ；2设||||||21n n a a a T +++= ,求n T .18.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,且552sin =B ,6=•BC BA 1求ABC △的面积；2若8=+c a ,求b 的值.19.已知函数)(|2||-|)(R a x a x x f ∈++=1当1=a 时,求不等式5≥)(x f 的解集；2当]1,0[∈x 时,不等式|4|≤)(+x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.20.已知函数)0(23-sin 3cos sin )(2>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π,将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位长度,再向下平移21个单位长度,得到函数=y )(x g 的图象 1求函数)(x f 的单调递减区间；2在锐角ABC △中,角C B A ,,的对边为c b a ,,,若2,0)2(==a A g ,求ABC △面积的最大值.21.已知关于x 的函数1-2-2π3cos(cos 2)(2）x x x f += 1求不等式0)(>x f 的解集;2若关于x 的不等式x a x x f sin ≥|2sin )(|+在区间]4π3,3π[上有解,求实数a 的取值范围.22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且31-34n n a S =,等差数列}{n b 各项均为正数,223b a =,4246b b a += 1求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；2设数列}{n c 的前n 项和为n T ,对一切*N n ∈有n n n b na c a c a c =++ 22112成立,求n T .。

高中文科数学---三角函数习题

A 0, 0,
) 在 x 处取得 6
最大值 2, 其图象与轴的相邻两个交点的距离为 (I) 求 2
f ( x) 的解析式 ; (II)
4
2
求函数 g( x) 6cos x sin x 1 的值域 .
f (x ) 6
24 ．在 △ABC 中 , 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 bsinA= 3 acosB. (1) 求角 B的大小 ; (2) 若 b=3,sinC=2sinA, 求 a,c 的值 .
,且A
B
C , 3b
, 则为 20acosA
sin A :sin B :sin C
（）
A ． 4∶ 3∶２
B． 5∶ 6∶７ C ． 5∶ 4∶３
D．6∶5∶４
13 ． ( 解三角形 ) 在 ABC 中 , 若 , A 60
, , 则 B 45 BC 3 2
AC
A ． 4 3 B． 2 3
D
C
EC、 ED 则 sin CED
（）
A ． 3 10 B． 10
C． 5
D． 5
10
10
10
E 15 A
B
在 5 ． ABC 中, 若 sin2 A sin 2 B , 则 sin 2 C ABC 的形状是（
）
A ．钝角三角形 . B．直角三角形 . C ．锐角三角
形.
D．不能确定 .
6 ．设向量
高中文科数学 --- 三角函数习题
一、选择题
sin 47o sin17 o cos30 o
1．
cos17o
三角函数习题
（）
A ． 3 B． 1

三角函数和向量测试试卷(含答案)

三角函数和向量测试试卷（含答案）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．02120sin 等于（） A ．23±B ．23C ．23- D ．212．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）A ．34B ．34-C ．34±D ．3 3．sin163sin 223sin 253sin313+=（）A ．12-B ．12 C．2- D．24．若,24παπ<<则（）A ．αααtan cos sin >>B ．αααsin tan cos >>C ．αααcos tan sin >>D ．αααcos sin tan >>5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（）A ．52π B ．25π C ．π2 D ．π5 6．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 8．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b += （）A ．7B ．10C ．13D ．49．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（） A .1925 B .1625 C .1425 D .72510．向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-11．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 12.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上13．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________。

三角函数题型综合练习(含答案)(文科)

三角函数题型综合练习（一）三角函数的图像与性质一、选择题1.已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（）【答案】A A ．1213-B ．513- C ．513 D ．12132.函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为 ( ) 【答案】C ;3.函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是 ( )【答案】AA ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π4.将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ,则ϕ的值可以是（）【答案】BA ．35π B ．65π C ．2πD ．6π5．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是（）【答案】B A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π66.若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（）【答案】BA ．5B ．4C ．3D ．27、函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）【答案】BA ．1-B ．CD ．08.函数x x x y sin cos +=的图象大致为（）【答案D9.（函数f(x)=sin xcos x+32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（）【答案】A ．π,1B ．π,2C ．2π,1D ．2π,210.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后,与函数sin(2)3y x π=+的图像重合,则||ϕ=___________.【答案】56π11.设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是_____.【答案】2a ≥12.已知函数(1) 求2()3f π的值; (2) 求使 1()4f x <成立的x 的取值集合【答案】解: (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：13.已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解答：133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (2)33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,4sin5θ=-, 1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭14.设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,(Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值 )32sin(2sin 212cos 232cos 2122cos 1.323cos sin sin 323)(12πωωωωωωω--=-=---=--=x x x x x x x x x f ）解：（因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离是4π，14422,0=⇒⨯=>ωπωπω所以，又23)(11)32sin(23,38323523),32sin()()1(2≤≤-≤-≤-≤-≤≤≤--=x f x x x x x f 因此所以时当知）由（πππππππ()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值是23，最小值是-1 15.已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值; (II)若(,)2παπ∈,且f α=（）求α的值. 【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）=1cos 2sin 2cos 42x x x + =1(sin 4cos 4)2x x +)4x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,. (II)因为f α=（）所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈, 所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=. 16.本题共有2个小题.第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>. (1)令1ω=,判断函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性并说明理由;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再往上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像.对任意的a R ∈,求()y g x =在区间[,10]a a π+上零点个数的所有可能值.【答案】法一:解:(1)()2sin 2sin()2sin 2cos )24F x x x x x x ππ=++=+=+ ()F x 是非奇函数非偶函数.∵()0,()44F F ππ-==∴()(),()()4444F F F F ππππ-≠-≠-∴函数()()()2F x f x f x π=++是既不是奇函数也不是偶函数.(2)2ω=时,()2sin 2f x x =,()2sin 2()12sin(2)163g x x x ππ=++=++, 其最小正周期T π=由2sin(2)103x π++=,得1sin(2)32x π+=-, ∴2(1),36k x k k Z πππ+=--⋅∈,即(1),2126k k x k Z πππ=--⋅-∈ 区间[],10a a π+的长度为10个周期,若零点不在区间的端点,则每个周期有2个零点;若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含3个零点,其它区间仍是2个零点; 故当(1),2126k k a k Z πππ=--⋅-∈时,21个,否则20个. 法二:16.设函数()sin sin()3f x x x π=++.(Ⅰ)求()f x 的最小值,并求使()f x 取得最小值的x 的集合;(Ⅱ)不画图,说明函数()y f x =的图像可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到. 【答案】解:(1)3sincos 3cossin sin )(ππx x x x f ++=x x x x x cos 23sin 23cos 23sin 21sin +=++=)6sin(3)6sin()23()23(22ππ+=++=x x当1)6sin(-=+πx 时,3)(min -=x f ,此时)(,234,2236Z k k x k x ∈+=∴+=+πππππ所以,)(x f 的最小值为3-,此时x 的集合},234|{Z k k x x ∈+=ππ.(2)x y sin =横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得x y sin 3=; 然后x y sin 3=向左平移6π个单位,得)6sin(3)(π+=x x f二、与恒等变换有关的题型1．在锐角∆ABC 中,角A,B 所对的边长分别为a,b. 若2sinB=3b,则角A 等于______（）【答案】AA ．3πB ．4π C ．6πD ．12π2. sincos 2αα==若（）【答案】C A ．23-B ．13-C ．13D ．233.（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知sin2α=,则cos 2(α+)= （）【答案】AA ．B ．C ．D ．4.已知51sin()25πα+=,那么cos α= （）【答案】C A ．25- B ．15- C ．15 D ．255.设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________【答案】36.若1cos cos sin sin 3x y x y +=,则()cos 22x y -=________.【答案】79-7.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.【答案】;三、与三角形有关的题型1.已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c .若2220a ab b c ++-=,则角C 的大小是________2.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（）【答案】AA ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3.在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则（）【答案】AA ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 4．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC 的面积为（）【答案】BA ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-15． ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,若2B A =,1a =,b =,则c =（）【答案】BA ．B ．2CD ．16.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =（）【答案】BA ．3πB ．23πC ．34π D ．56π 7.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b = （）【答案】DA ．10B ．9C ．8D ．58.在△ABC 中,3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = （）【答案】BA ．15B ．59 C D ．19.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B (II)若1sin sin 4A C =,求C . 【答案】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=,所以222a cb ac +-=-.由余弦定理得,2221cos 22a cb B ac +-==-,因此,0120B =.(Ⅱ)由(Ⅰ)知060A C +=,所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+ cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+cos()2sin sin A C A C =++ 122=+=故030A C -=或030A C -=-, 因此,015C =或045C =.10.在△ABC 中, 内角A , B , C 所对的边分别是a , b , c . 已知sin 3sin b A c B =, a = 3, 2cos 3B =. (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】11.在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .(Ⅰ)求角A 的大小. (Ⅱ) 若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:2sin sin A B B =,且(0,)sin 0sin 22B B A π∈∴≠∴=,且(0,)23A A ππ∈∴=;(Ⅱ)由(1)知1cos 2A =,由已知得到:222128362()3366433623b c bc b c bc bc bc =+-⨯⇒+-=⇒-=⇒=,所以12823ABCS =⨯=12.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =+.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.13.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.(Ⅰ)求sin A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影.【答案】解:(Ⅰ)由3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=- 得53sin )sin(cos )cos(-=---B B A B B A ,则 53)cos(-=+-B B A ,即 53cos -=A又π<<A 0,则 54sin =A(Ⅱ)由正弦定理,有 BbA a sin sin =,所以22sin sin ==a A b B , 由题知b a >,则 B A >,故4π=B .根据余弦定理,有 )53(525)24(222-⨯⨯-+=c c ,解得 1=c 或 7-=c (负值舍去),向量BA 在BC =B cos 2214.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c 成等差数列;(2) 若C=23π,求ab的值. 【答案】解:(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B 因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB 再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列 (2)由余弦定理知2222cos c a b ac C =+-得2222(2)2cos 3b a a b ac π-=+-化简得35a b =15.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c . 已知cos23cos()1A B C -+=.(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若△ABC 的面积S =5b =,求sin sin B C 的值.【答案】(Ⅰ)由cos23cos()1A B C -+=,得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=,解得1cos 2A = 或cos 2A =-(舍去).因为0πA <<,所以π3A =.(Ⅱ)由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =,知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.(四)综合题1.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x =求的最大值【答案】2.已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π.(Ⅱ) 上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f .所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.3.如图,在等腰直角三角形OPQ ∆中,90OPQ ∠=,OP =,点M 在线段PQ 上.(1)若OM =求PM 的长;(2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ∆的面积最小?并求出面积的最小值.【答案】解:(Ⅰ)在OMP ∆中,45OPM ∠=︒,OM =OP =,由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒,得2430MP MP -+=,解得1MP =或3MP =.(Ⅱ)设POM α∠=,060α︒≤≤︒,在OMP ∆中,由正弦定理,得sin sin OM OPOPM OMP =∠∠,所以()sin 45sin 45OP OM α︒=︒+,同理()sin 45sin 75OP ON α︒=︒+故1sin 2OMN S OM ON MON ∆=⨯⨯⨯∠ ()()221sin 454sin 45sin 75OP αα︒=⨯︒+︒+ ()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒=====因为060α︒≤≤︒,30230150α︒≤+︒≤︒,所以当30α=︒时,()sin 230α+︒的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值.即230POM ∠=︒时,OMN∆的面积的最小值为8-.2．（。

函数、三角函数、向量、数列综合测试二

函数、三角函数、向量、数列综合测试二一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1．已知集合{2,1,0,1,2},{1,0,1},{0,1,2},U U A B C A B =--=-= 则=（）A ．{-2}B ．{0，1}C ．{2}D ．{0，1，2}2．已知复数21i z i=+，则z 2等于（）A ．1-iB ．-1+iC ．-1-iD ．1+i3.与函数)1lg(10-=x y 是同一函数的是( )A.1-=x yB.1-=x yC.112+-=x x y D.211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y4.当1a >时，函数log a y x =和(1)y a x =-的图象只可能是（）5.设0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =则a b c 、、的大小关系为（）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 6．已知向量(,3),(2,1)a x b a b =-=-⊥若，则x =（）A ．32B ．6C ．－32D ．－67．函数()sin(2)3f x y x π==-的图象的一条对称轴方程是（）A ．12x π=B ．6x π=C ．512x π=D ．3x π=8.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（）A ．22cos y x =B ．22sin y x = C ．)42sin(1π++=x y D ．cos 2y x =9．在等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，120112010,0a a =-=，则9797S S -= （）A ．2B ．－2C ．－1D ．110．曲线3231y x x =-+在点（—1，—3）处的切线与坐标轴所围成的封闭图形的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 11．函数2()ln(2)f x x x=--的零点所在的大致区间是（）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）12．执行右图所示的程序框图，则输出的S 等于（） A ．254 B ．255 C ．511 D ．512第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

三角函数、向量、解三角形、数列练习题

《三角函数》练习题1.在0360 到内，与2120 角终边相同的角是 .2.若tan 2α=，则22222sin cos sin 2cos αααα-=+ .3.已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+= .4.不等式[]cos 0,0,2x x π<∈的解集为 .5.函数3tan()6y x πω=+的周期为2π，则ω= .6.函数2sin(4)4y x π=-的图像向左平移3π个单位所得图像的解析式为 .7.cos81cos 21sin81cos69+= .8.已知tan 2,tan 3αβ==,且,αβ是锐角，则αβ+= .9.已知1sin cos ,3αα+=则sin 2α= .10.函数()sin cos f x x x =-的最大值为 .11.（1）若12sin(),cos(2)633ππαα-=+求.（2）若2(0,),sin cos ,cos 222πθθθθ∈-=求.12.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.（1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；（2）求函数()f x 的单调递增区间.13.已知函数()sin()1(0,0)6f x A x A πωω=-+>>的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,),()2,22f πααα∈=求的值.《平面向量》练习题1.△ABC 中，D 在BC 上，且=2BD DC ，把AC 表成AB AD和的线性组合 .2.等边△ABC 中，AB BC与的夹角为 .3.已知向量12e e与不共线，若1212ke e e ke k ++= 和共线，则 .4.已知13(1,1),(1,1),22a b a b ==--=则 .5.已知4,6,,60,a b a b a b ==<>=则在方向上的投影为 .6.若(4,2),(6,),a b m a b ==⊥且，则m 的值为 .7.已知(1,2),(2,1),22a b a b a b =-=--++则与的夹角的余弦值为 .8.已知,120,a b <>=1,3a b == ，则5-a b = .9.与(1,2)a =-垂直的单位向量b = . 10.已知(4,3),a =1,b = 且=5a b ⋅ ，则b = .11.已知(1,2),(,1)a b x ==.（1）若(2)(2)a b a b +-∥，求x 的值；（2）若(2)(2)a b a b +⊥-，求x 的值.12.已知(sin ,1cos ),(1,0),3m B B n π=-= 且与向量的夹角为其中,,A B C 是△ABC 的内角，求角B 的大小.13.已知(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a b c ααββ===-.（1）求b c +的最大值；（2）设,(),cos 4a b c παβ=⊥+ 且求的值.《解三角形》练习题1.一个三角形的两内角分别为4560 和，如果45 角所对的边长为6，那么60 角所对的边长为 .2.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状为 . 3.在△ABC 中，若4,2,120b a C === ，则c = . 4.在△ABC 中，4,6,62,=ABC a b S C ===△则角 . 5.在△ABC 中，222,a c b ab -+=则=C 角 . 6.在△ABC 中，:1:2,:1:3,=A B a b A ==则 .7.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60 ，另两边之比为8:5，则这个三角形的面积为 .8.在△ABC 中，sin :sin :sin 4:3:2,cos A B C C ==那么 . 9.在△ABC 中，2,3,4,ABC a b c S ====△则 .10.在△ABC 中，60,A = 且最大边长与最小边长是方程2327320x x -+=的两实根，那么BC = .11.在锐角△ABC 中，32sin 0a b A -=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5,,7,cos a c a c b A +=>=且求.12.在△ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin(2)4A π-的值.13. 在△ABC 中，已知3cos()16cos cos B C B C --=. （Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若3,a =△ABC 的面积为22，求,b c .《数列》练习题1.已知数列{}n a 的通项公式为11(1),2n n a +--=则该数列的前四项依次为 . 2.等差数列1,1,3,,89--- 的项数是 .3.等差数列{}n a 中，若1472589,0,a a a a a a ++=++=则369a a a ++= .4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45812,a a S =-=则 .5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若111,2,23,k k a d S S k +==-==则 .6.已知数列{}n a 满足231n S n n =-+，则{}n a 的通项公式为n a = .7.等差数列{}n a 中，39156a a a ++=-，则17S = .8.等差数列{}n a 中，3930,210,S S ==则6S = .9.等差数列{}n a 中，132013242012a a a a a a ++=++ .10.若三个数成等差数列，且这三个数的和为9，平方和为59，则这三个数按从小到大的顺序排列为 .11.已知数列{}n a 为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式. （Ⅰ）598070,112a a ==.（Ⅱ）前三项分别为1,23,25a a a +--.12.设数列{}n a 满足11220,111n na a a +=-=++且,求{}n a 的通项公式.13.设数列{}n a 满足210,n S n n n N +=-+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当n S 取得最大值时，求序号n 的值.。

高三文科数学三角函数专题测试题(后附答案)

高三文科数学三角函数专题测试题a sin A … “1. 在△ ABC 中，已知b = COSB ，贝V B 的大小为（）A. 30°B . 45° C. 60° D . 90°2. 在△ ABC 中，已知 A = 75°, B = 45°, b = 4,贝V c =（）A ：6B. 2；6 C. 4 ;3 D. 23. 在△ ABC 中，若/ A = 60°,/ B = 45°, BC= 3 .-'2,贝V AC=()/ ABC=n，AB= 2, BC = 3」sin / BAC=()B ¥a = 1, b=“J 3, c = 2,贝V B 等于()在厶 ABC 中，b 2+ c 2- a 2=- bc ,贝V A 等于（） A. 60°B. 135°C. 120°D. 90° 10 .在厶ABC 中，/ B = 60°, b 2= ac ,则A ABC —定是()在厶ABC 中，汨B =聶， “ BC- sin B AC= = sin A4. 在厶ABC 中，若/ A = 30° ,/ B = 60°，贝y a : b : c =()5. A. 1 : .''3 : 2 B. C. 2 : 3 : 4 D. 1 ： ,'2 <△ ABC 中，若 sin A>sin B ，则A 与B 的大小关系为（） A. A>B B.A<BC. A > BD. A 、B 的大小关系不能确定A. 30° C. 60°边长为5, A. 90° B. D. 7,B. 45°120°8的三角形的最大角与最小角的和是（120° C. 135° D. 150° 在厶ABC 中, 在厶ABC 中,23 .16 .在厶 ABC 中，A = 45 ° , a = 2, b = ；：2,则角B 的大小为 17 .在厶ABC 中，c + b = 12, A = 60°, B = 30°，贝V b =18.在△ ABC 中，若a = 3, b^3,Z A =^，则川的大小为 __________________ .2 2 219 . (2013 •上海卷)已知△ ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为 a , b , c ,若3a + 2ab + 3b — 3c = 0, 贝 y cos C =20 .厂9在厶ABC 中，若 AB= ：5, AC = 5,且 cos C =亦，贝V BC = 21 . <△ ABC 中，化简 b • cos C + c • cos B = 22 . 在厶ABC 中，a = 1, b = ,：3, A + C = 2B ,则 sin C =a 2+b 2 —c 2已知△ ABC 的三边a , b , c ,且面积S = 4 ，则角C =解答题24 . 在厶ABC 中，a =.3, b = 2, B = 45°,解这个三角形.14 .在厶ABC 中，a = 15, b = 10, A = 60°，贝V cos B =()二.填空题A = 30°,B = 120°,则厶ABC 的面积为25•设△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知a = 1, b = 2, A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形11 •三角形的两边分别为 5和3,它们夹角的余弦是方程 5x 2— 7x — 6= 0的根，则三角形的另一边长为 ()A. 52B. 2 13C. 16D. 412 .在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 (a 2+ c 2— b)tan B = .：3ac ,则/ B =()C n或罟叱13.在△ ABC 中，a sin A sin B + b cos 2A = ：2a ，则 £=()A. 2 :'3B. 2 '2CQ 3 D 匹15 .已知△ ABC 中，AB= 6,cos C =-41⑴求厶ABC的周长；(2)求cos(A - C)的值.n n26. 在△ ABC中，a cos — - A = b cos — - B，判断△ ABC 的形状.27. 在△ ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且A+ C= 2B.⑴求cos B的值；(2)若b2= ac,求sin A sin C 的值.28. 在△ ABC中，B= 120°,若b= 13, a + c = 4，求△ ABC的面积.参考答案:1.B 解析：由正弦定理亠=旦得a=沁sin A sin B b sin B'sin2.B解析:3.B解析:4.A解析:5.A解析:6.C解析：sin A sin AB cos B，即sin B = cos B ,• B=45°4 c由正弦定理得sin 45 ° = sT60即 c =2 .；6.利用正弦定理解三角形.由正弦定理得 a : b : c= sin A :sin A >sin B? 2R Sin A >2R sinsinB?B : sinC = 1 : ：'3 :2.a>b? A> B(大角对大边).BC 由余弦定理得A&=BA2+Be 2B A- BCcos Z ABC=5,• AC=诂.再由正弦定理爲Z CAC=ACsin Z ABC可得sin Z BAC=葺0107.C 解析：cos Bc2+ a2—b2 4+ 1 —3 1 = = =2.2ac8.B9.C ••• B=60°解析：设边长为7的边所对的角为e52+ 82—721。

(选择)高中数学函数,三角函数,不等式,向量练习题二(含详解)

29．（2022·全国高三专题练习）已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >30．（2021·浙江高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（）A ．5122a b --B ．322a b ⎛-- ⎝⎭C ．323a b ⎛-+ ⎝⎭D ．323a b ⎛-+- ⎝⎭31．（2022·全国高三专题练习）在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB BC CD ===，P 是腰AD 上的动点，则2PB PC -的最小值为（）AB ．3C D ．27432．（2021·云南高三二模（文））已知函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象经过点P ⎛ ⎝⎭，则下列命题是真命题的是（） A ．函数()f x 在55,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. B ．函数()f x 的图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭.C ．2π-是函数()f x 的一个周期.D ．函数()f x 的图象的对称轴方程为6x k ππ=+（k Z ∈）.33．（2021·陕西高三其他模拟（理））函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，下列描述错误的是（）A ．定义域是R ，值域是[]0,3B ．其图象有无数条对称轴C ．712π是它的一个零点 D ．此函数不是周期函数34．（2021·河南高三其他模拟（文））若93tan 45πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos2α=（） A ．1517- B ．217- C ．217 D ．151735．（2020·全国高三专题练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线520x y +=上，则23cos 221cos παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+（） A ．3320-B ．2033-C ．2033D ．332036．（2021·河南郑州外国语中学高一月考）已知4sin()5πα+=，且α是第四象限角，则cos(2)απ-的值是（）A ．35 B ．35C ．35±D ．4537．（2019·三台县芦溪中学高三其他模拟（文））若sin()4πα-cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为 AB． C．D ．-38．（2018·湖南长郡中学高三其他模拟（理））2cos 210cos752cos 15sin15-= A ．12B．C ．12-D39．（2021·河南高一期末（理））已知5cos 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 6πα-=（）A ．1113B ．726 CD40．（2020·全国高二单元测试）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π 41．（2020·广西高三一模（理））22sin 42cos 123cos361︒︒︒+＝（）A ．18B ．16C ．14D ．1242．（2021·江苏高一期中）我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =()cos 3cos 0c B b a C ++=，且222 4c a b --=，则ABC 的面积为（）A B ．CD ．43．（2021·安徽高三一模（文））将方程2sin cos x x x =的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．B ．C ．D ．44．（2020·南昌市第八中学高三期末（文））2sin18m =，若24m n +=，=（） A ．1B ．2C ．4D ．845．（2019·四川高考模拟（文））A ，B 是O ：221x y +=上两个动点，且120AOB ∠=︒，A ，B 到直线l ：34100x y +-=的距离分别为1d ，2d ，则12d d +的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．646．（2020·重庆八中高一期末）在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6,47．（2020·四川成都七中高三其他模拟（理））已知正实数,m n ，设a m n =+，b =.若以,a b 为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c ，且c 满足2c k mn =⋅，则实数k 的取值范围为（）A ．()1,6B ．()2,36C ．()4,20D ．()4,3648．（2022·全国高三专题练习）在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为2230'︒，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为6730︒'，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（） A ．90mB ．100mC ．110mD ．270m49．（2019·浙江衢州二中高三二模）已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（）A B C D ．50．（2021·海原县第一中学高二期末（理））设P 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>上一点，两焦点分别为1F ，2F ，如果1275PF F ∠=︒，2115PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（）A B C D二、多选题51．（2021·河北高三其他模拟）已知,0,1a b a b >+=，则（） A ．22a b -> B ．12log ()2ab ≥C ．(2)b b a a >-D ．234a b +≥52．（2021·山东高三二模）已知0a >，0b >，21a b +=，则（）A ．54a b +<B ．1a b ->-C 12b ≤D ≥53．（2021·全国高三其他模拟）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.81=，2⎡=-⎣等，定义{}[]x x x =-，则下列结论正确的有（） A ．x R ∀∈，[]{}x x ≥B ．不等式[][]240x x -<的解集为()0,5C ．(){}f x x =的值域为[)0,1D ．(){}f x x =是周期函数54．（2022·全国高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（）A ．10a e-≤<B ．4312a e e ≤< C ．3211a e e ≤< D ．1a e e≤<答案及解析29．A 【分析】建立坐标系，设(),3a t t =，()0,0b x =， (),c x y =，根据已知条件得到所设未知数的关系，代换之后即可逐项判断. 【详解】解：因为向量a ，b 夹角为3π，设(),3a t t =，()0,0b x =，00,0x t >>，(),c x y =，因为a b a c bc++=，1b c-=()()022001,t x t x yx x yx +++-+=001t x =（1）()00y y y y ⎧≤⎪=-≥⇒⎨=⎪⎩若0y =，则由（1）得0x x x ==，这与()2201x x y -+=矛盾.∴0y ≠，y =带入（1）得02022t x x t t x t x x x x+--==⇒>> 0000,202x xt x x x x=>>>-由()()22220031x x y x x x -+=-+=得012,02x x x x =<<综上：010,,2x y x x t <<===10312x b c x <<⇒+=+令x =，则sin α=，所以0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭31cos 2sin 6b c x πααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭62,6πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()2sin 1,26πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故2b c +<故A 正确1b x =+-x，则sin α=，所以0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 3b x πααα⎛⎫=+-++⎪⎝⎭2,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭3πα⎛⎛⎫+∈⎪ ⎝⎭⎝⎦，故2313b <≤ 222x a +=lim 0x a →=，故B 、C 、D 均错误. 故选：A 【点睛】平面向量的解题思路：(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算进行解题． 30．D 【分析】以AB的中点M 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，并设2AB =，可得OA ，OB ，AF 的坐标，再设AF OA OB λμ=+，得2,2λμ-+=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即可得解．【详解】如图，以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(O ，()1,0A -，()10B ,，(1,2F +，所以(1,OA =-，(1,OB =，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则2,2λμ-+=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即33233AF a b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的线性表示，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的线性运算用坐标表示，解方程组得出结论．本题也可直接利用向量的线性运算求解，如图中1OM (OA OB)2=+，OK OM =-，KF OA =-，再由向量加减法法则计算可得． 31．C【分析】过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，过C 作CF AB ⊥，垂足为F ，以E 为原点，分别以EB ，ED所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，运用坐标表示出2(2,PB PC x -=-，再由向量的数量积运算求得2PB PC -，根据二次函数的性质可得最值得选项. 【详解】过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，过C 作CF AB ⊥，垂足为F ，以E 为原点，分别以EB ，ED 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：由已知可得：1,1CD BC AD EF ====， 12AE BF ==，所以DE =1.(0,0),(,0),2E A D -，3(1,0),(,0)2C F B ，因为P 是腰AD 上的点，所以设点P 的横坐标为 1(0)2x x -≤≤，因为直线AD的方程为112=-x，即=+y(P x，所以3(,2PB x =-，(1,)PC x =-，2(2,PB PC x ∴-=-，所以|2|(2PB PC -=11,042x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，|2|PB PC -，故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查求向量的模的最值，关键在于建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算求得向量的模，再利用函数的性质求得最值. 32．C 【分析】首先求出函数()f x 的解析式，然后利用正弦型函数的性质分别判断A 、B 、C 、D 选项即可得答案．【详解】解：因为函数()sin(2)f x x θ=+的图象经过点P ⎛⎝⎭，所以sin θ=又22ππθ-<<，所以3πθ=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ：因为sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，而55,1313x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，17432,33939x πππ⎛⎫+∈-⎪⎝⎭不是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的子区间，故A 错误；对于B ：当6x π=时，06f π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ：函数的最小正周期为222πππω==，所以2π-为函数的周期，故C 正确；对于D ：令232x k πππ+=+，解得()212k x k Z ππ=+∈，故D 错误．故选：C ． 33．D 【分析】根据正弦型函数值域可确定32sin 2113x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，结合绝对值的含义可知A 正确；根据正弦函数对称轴，采用整体对应的方式可知()5212k x k Z ππ=+∈是()f x 的对称轴，知B 正确；根据7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭可知C 正确；由()()f x f x π+=知π是()f x 的周期，知D 错误. 【详解】对于A ，易知()f x 定义域为R ，1sin 213x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，32sin 2113x π⎛⎫∴-≤--≤ ⎪⎝⎭，02sin 2133x π⎛⎫∴≤--≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]0,3，A 正确；对于B ，由()sin 2sin k x x ππ+-=得：()sin 22sin 233k x x k Z ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=-∈，即()sin 2sin 22333x k x k Z πππππ⎛⎫⎛-+++-=-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭∈⎝，即()()23f x k f x k Z πππ⎛-+++=⎫⎪⎝⎭∈ ，()5212k x k Z ππ∴=+∈是函数图象的对称轴，故有无数条，B 正确，对于C ，772sin 21012123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，712π∴是()f x 的一个零点，C 正确；对于D ，()()2sin 2212sin 2133f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π∴是函数的周期，D 错误.故选：D. 34．A 【分析】由诱导公式求得3tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得到tan 4α=，然后由三角恒等变换可得结果.【详解】因为93tan tan 2tan 4445πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1tan 3tan 41tan 5πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，解得tan 4α=，则22222222cos sin 1tan 11615cos2cos sin cos sin 1tan 11617ααααααααα---=-====-+++ 故选：A. 【点睛】方法点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子.比如 2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan ααααααααα===++，22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++. 35．B 【分析】先根据题意求出角α的正余弦值，再对23cos 221cos παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+化简，代入求值即可. 【详解】直线520x y +=的斜率为52-，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线520x y +=上，所以5tan 2α=-，当角α终边在第二象限时，529sin 29α，229cos 29α，此时222232cos2sin22sin cos2021cos1cos1cos331πααααααα⎛⎛⎫+⎪⎝⎭⎝⎭====-+++⎛+⎝⎭；当角α终边在第四象限时，529sin29α，229cos29α，此时222232cos2sin22sin cos2021cos1cos1cos331πααααααα⎛⎛⎫⨯+⎪⎝⎭⎝⎭====-++++⎝⎭.故选: B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及三角函数诱导公式的应用，属于中档题.36．B【分析】先化简已知得到4sin5α=-，再化简()cos2απ-=cosα，再利用平方关系求值得解.【详解】因为()4sin5πα+=，所以4sin5α=-，因为()cos2απ-=cosα，α是第四象限角，所以3cos5α=.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 利用平方关系22sin cos1αα+=求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号.37．D【分析】首先根据角之间的关系，应用诱导公式求得结果.【详解】由题意可得cos()sin[()]sin()sin()42444πππππαααα+=-+=-=--=，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，属于简单题目. 38．B 【分析】首先利用诱导公式，将三角式子进行化简，之后应用和角正弦公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果. 【详解】根据相应公式可得cos210cos752cos15sin15cos15cos30cos75sin30cos15-=-- ()2sin15cos30cos15sin30sin452=-+=-=-. 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式和正弦的和角公式，属于简单题目. 39．D 【分析】根据角的范围求得sin 32611πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再运用余弦差角公式可求得答案.【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 06πα⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭，由5cos 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得sin 32611πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 6636363πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦511213213=⨯+=故选：D. 40．A 【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=由余弦和角与差角公式的应用，变形可得()12020202120212cos cos 2cos cos22i i i d a a a a --++=⨯，令120202a a m +=，代入化简并构造函数()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦，求得()g x '并判断符号，可证明()g x 为单调递增函数，且可得2m π=，从而1202022a a π+=，进而由等差数列前n 项和公式即可求解. 【详解】等差数列{}n a 的公差为2020，设2020.d = 函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，则()()122020122020cos cos cos 1010a a a a a a π+++++++=，即()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=①对11010,i i Z ≤≤∈，由余弦的和角与差角公式化简可得 2021cos cos i i a a -+()()()()2202122021222021220212cos cos 2222i i a i d i d a i d i d +--+--⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()220212202122coscos22i a i d i d +--=⨯()2021202122cos cos22i i i d a a --+=⨯()12020202122cos cos22i d a a -+=⨯，记120202a am +=，将①化简可得()()()12020220191010101120201010m a a a a a a π⎡⎤-++++=⎣⎦，即20192017201520202cos cos cos cos cos 10102222d d d d m m π,⎡⎤-⋅+++=⎢⎥⎣⎦② 令()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦，由2020.d =可得()20192017201520202sin cos cos cos cos 2020202002222d d d d g x x ⎡⎤'=+⋅+++>-=⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递增，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由②可知()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=，所以()120202020202010102a a S π⨯+==，故选：A. 【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题. 41．A 【分析】先求出cos36︒，然后，利用2221s (in 42o cos 3123s c 311c s 66os )42o 31c 63︒︒︒=++︒︒+，代入 cos36︒的值求解即可【详解】sin 72cos72sin1441cos36sin18cos36cos722sin 364sin 364︒︒︒︒︒=︒︒===︒︒，1cos36sin18sin 54sin18sin(3618)sin(3618)2cos36sin182︒-︒=︒-︒=︒+︒-︒-︒=︒︒=令cos36x =︒，得1sin184x ︒=， 1142x x ∴-=，x ∴=cos36∴︒=所以，()222sin 42cos12sin 42cos 123cos3613cos361︒︒︒︒︒=+︒+[]21sin(4212)sin(4212)43cos361︒+︒+︒-︒=︒+ ()1sin 54sin 3043cos361︒+︒=︒+()2221111cos3642423cos3611314⎫⎛⎫⎪︒+ ⎪⎝⎭⎝⎭==︒++1(713218(74+==+ 故选：A 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用sin1441cos36sin184sin 364︒︒︒==︒和 1cos36sin182︒-︒=，求出cos36︒，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题42．B 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得cos C ，再结合已知及余弦定理，求得ab 的值，代入已知公式，即可求解.【详解】由题意，因为()cos 3cos 0c B b a C ++=，所以()sin cos sin 3sin cos 0C B B A C ++=，即sin()3sin cos 0B C A C ++=，又由sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos 0A A C +=，由因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以13cos 0C +=，即1cos 3=-C ，因为2224c a b --=，由余弦定理可得22241cos 223a b c C ab ab +--===-，解得6ab =，则ABC 的面积为S == 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题. 43．C 【分析】由三角函数的恒等变换化简方程2sin cos x x x ，并求值，判断{}n a 以重复循环出现，且120a a +=，340a a +=，⋯，计算可得所求和．【详解】解：2sin cos x x x =，即为1sin 2sin(2)23x x π=-即sin(2)3x π-=所以2arcsin(23x k ππ-=+或2arcsin(k ππ+-，k Z ∈，即223x k ππ=-+或423k ππ++，k Z ∈，而3π<=，所以123x π=-，2423x π=+，3223x ππ=-， ⋯，所以212x x π-=+，211cos()x x a -=-=，322x x π-=-212cos()x x a -==，后面的值都是以120a a +=，340a a +=，⋯，所以12202120211a a a a a ++⋯+=== 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用反三角函数求得12,x x 的值，从而得出循环，得出120a a +=，340a a +=，⋯，从而求得结果.44．B 【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解. 【详解】由题：== 4sin18cos182sin 362cos542cos54cos54cos54︒︒︒︒︒︒︒====. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力. 45．C 【分析】由题设00(cos ,sin ),B(cos(120),sin(120))A αααα++,其中α∈R ，先利用两点间的距离公式求出001214[3cos 3cos(120)4sin 4sin(120)]5d d αααα+=-+++++，再利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图像和性质求最值得解.【详解】由题设00(cos ,sin ),B(cos(120),sin(120))A αααα++,其中α∈R .可以由题得0012103cos 4sin 103cos +1204sin +120,55d d αααα----==（）（）001214[3cos 3cos(120)4sin 4sin(120)]5d d αααα+=-+++++00001=4[6cos60cos(60)8cos60sin(60)]5αα-+++001=4[3cos(60)4sin(60)]5αα-+++01=45[sin(60+)]5αβ-⋅+≤5，此时0sin(60+)=-1αβ+.故选C 【点睛】本题主要考查圆的方程，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 46．D 【分析】cos 2sin()26C C C π+=+=，可得3C π=；再结合正弦定理余弦定理，将cos cos sin sin3sin A C B C a c A +=中的角化边，化简整理后可求得c =；根据锐角ABC ∆和3C π=，可推出(6A π∈，)2π，再根据可得4sin a A =，4sin b B =，于是24(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A π+=+=+-，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．【详解】cos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，k Z ∈，(0,)2C π∈，3C π∴=．由正弦定理知，sin sin B bA a=，由余弦定理知，222cos 2b c a A bc+-=，cos cos sin sin3sin A C B Ca c A+=，∴22211223b c a bbc a c a +-⨯+=)0b c =， 0b ≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =，锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，)2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin sin ))326a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=+=+， (6A π∈，)2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]，a b ∴+的取值范围为(6，．故选：D ．【点睛】本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 47．D 【分析】先根据基本不等式得a m n =+≥b =2222cos 41616cosc a b ab C mn mn mn C =+-≥+-，由1cos 1C -<<得2436mn c mn <<，故436k <<.【详解】解：先根据基本不等式得：a m n =+≥b 因为其第三条边长为c ，且c 满足2c k mn =⋅，所以由余弦定理得：2222cos 41616cos c a b ab C mn mn mn C =+-≥+-，因为1cos 1C -<<所以2436mn c mn <<，即436k m m m n n n ⋅<<，所以436k <<. 故选：D.本题考查满足三角形的条件时求参数的取值范围，解题的关键是结合余弦定理和基本不等式进行，是难题. 48．A 【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项. 【详解】如下图所示，设,,OC z OA x OB y ===，则222540x y +=，22.5,67.5OAP OBP ∠=∠=，则22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，解得tan 22.521=，22tan 67.5tan13511tan 67.5==--，解得tan 67.52+1=，所以222540+=，解得z =所以)1x ==)y ==要使点C 处测得塔顶的仰角为最大，则需tan PCO ∠最大，也即需OC 最小，所以OC AB ⊥，又1122ABOSOA OB AB OC =⨯⨯=⨯⨯，即(90540OA OB OC AB ⨯===，所以C 点到塔底O 的距离为90m ，故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查立体图形的计算实际运用，关键在于依据已知作出图形，明确已知条件中的数据在图形中的表示，再运用解三角形的知识得以解决.【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB =x , AC =y ,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC 外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则2AG =．在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，4xy ∴．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为114sin120232⨯⨯⨯︒⨯ 故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 50．A【分析】利用正弦定理可求1212PF PF F F +的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为c ，则122F F c =.在12PF F ∆中，由正弦定理有1212211212sin sin sin PF PF F F PF F PF F F PF ==∠∠∠，所以1212sin15sin 75sin 90PF PF F F ==︒︒︒，故1212sin15sin 75sin 90PF PF F F +=︒+︒︒，整理得到()1212sin15sin 751545sin 90PF PF F F +︒+︒==︒+︒=︒故22a c =e =. 故选：A.【点睛】一般地，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的动点，则122PF PF a +=，因122F F c =，故可以用正弦定理、余弦定理求解与焦点三角形12F PF 的边角有关系的数学问题.51．BD【分析】对AC 选择，只需要举反例说明即可；对于BD 选项需要借助于不等式的性质以及函数的图像与性质进行证明.【详解】对A ：当12a b ==时，02221a b -==<，即22a b -<，故A 错误；对B ：因为1a b +=，a b +≥1≥，即104ab <≤，由于12log y x =在R 上单调递减，所以()12log 2ab ≥，故B 正确；对C ：当12a b ==时，1212b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1122132(2)22b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，又由于12y x =在R 上单调递增，所以11221322⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(2)b b a a <-，故C 错误；对D ：()22213124431a a a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭+-≥，故D 正确. 故选：BD.52．BCD【分析】先根据已知条件判断出,a b 的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证明判断出各选项的对错.【详解】因为2,100a b b =>>-，所以01b <<，所以01a <<；A ．因为221551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，取等号时31,42a b ==满足，故A 错误； B ．因为22215151112424a b b b b ⎛⎫⎛⎫-=--=-++>-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C ．12b =，取等号时1,2a b ==故C 正确；D ．因为20b -<≥()2132a b ≤-，只需证()232a b ≤-，即证()()22312b b -≤-，即证24410b b -+≥，即证()2210b -≥，显然()2210b -≥成立，且31,42a b ==时取等号，故D 正确；故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，然后分析形如sin cos a b θθ--的式子的几何意义去进行求解并判断.53．CD【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；解不等式[][]240x x -<可判断B 选项的正误；取[)(),1x n n n Z ∈+∈可判断C 选项的正误；验证()()1f x f x +=可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，当 1.2x =-时，[]2x =-，{}()1.220.8x =---=，不满足[]{}x x ≥，故A 错误；对于B ，由[][]240x x -<可得[]04x <<，故[]x 的取值集合为{}1,2,3，故14x ≤<，故B 错误；对于C ，对于函数(){}f x x =，若n Z ∈且1n x n ≤<+，则[]x n =，则(){}[][)0,1f x x x x ==-∈，C 选项正确；对于D ，对任意的x ∈R ，存在n Z ∈使得1n x n ≤<+，则[]x n =，112n x n +≤+<+，故[]11x n +=+，所以，(){}[](){}()111111f x x x x x n x n x f x +=+=+-+=+-+=-==，故函数(){}f x x =为周期函数，D 选项正确.故选：CD.54．CD【分析】根据奇函数性质判断()f x 在R 上的单增，将函数不等式恒成立转化为自变量大小恒成立，分离参数，构造新函数，研究新函数的最大值，从而求得参数取值范围，再根据充分不必要条件的定义判断选项即可.【详解】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数； 222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln x ae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln x x x x x a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()xx x x x g x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e -------+-+-'== (1)(3ln )xx x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e=>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e--≤===，故若使22ln x x x x x a e--≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.【点睛】方法点睛：根据单调性把函数不等式转化为自变量大小比较，分离参数，借助导数研究函数最大值，从而求得参数取值范围.。

向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷汇编

阶段性考试试卷姓名：分数：一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥++∞∈∀xx x p ，命题01,:0200≤+-∈∃x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ⌝∨ D.()()p q ⌝∧⌝ 2．已知函数，则不等式f （x ）≤5的解集为（）A ．[﹣1，1]B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4）C ．[﹣2，4]D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4]3．设复数z 满足11zi z+=-,则的z 虚部为（） A ．i - B ．i C ．1 D ．1-4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e C.⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,05．已知函数2()(1)xf x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（）6．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．a b a b-≤-C ．()22a b a b+=+D ．()()22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<8．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称9．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是( )10．若20πα<<，31)3cos(=+απ，则cos α=（） A.6322+ B.6162- C.6162+D.6322-11．已知(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（） A ．1 B 631012．已知向量,a b 的夹角为120°，且2,3a b ==，则向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为（）A 1913B 613C 56D 8313．已知等差数列{}n a 的前n 项和为114,22,12n S S a ==-,如果当n m =时,n S 最小，那么m 的值为（） A ．10 B ．9 C ．5 D ．4二、填空题（每题5分，共25分） 14．函数ln ()2xf x x=-的定义域为 . 15．已知1x f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则(1)f -= ． 16．已知⎩⎨⎧>≤--=)1(log )1(1)2()(x x x x a x f a 是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是___17．在ABC ∆中，G 为重心，BE 为AC 上的中线，()1//,4AG CD AD AB AC R λλ=+∈，则λ的值为___________． 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3B π=，3b 2a c +的最大值为．三、解答题（每题12分，共60分） 19．（1）已知()2tan 5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos sin cos sin αααα+-的值；（2）已知α，β均为锐角，且()cos αβ+=，()sin αβ-=，求2β．20．已知函数2()2sin ()24f x x x π=+-.（1）求()f x 的周期和单调递增区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求A 的大小；（2）若=3AB AC ⋅，求△ABC 的面积．22．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中)2,1(=a .（1）若||=c ，且//c a ，求c 的坐标；（2）若||=b ，且2+a b 与2-a b 垂直，求a 与b 的夹角θ.23．在∆ABC 中, 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22cos -=c a B b . （1）求角A 的大小；（2）若∆ABC 且22cos 4++=c ab C a ,求a .参考答案1．A 【解析】试题分析：关于命题p ，2110,2,log log 21,x x x x x⎛⎫>∴+≥∴+≥= ⎪⎝⎭因此为真命题.关于命题q ,使用配方法可得2013024x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭,故为假命题,由真值表可知,只有p q ∨为真命题,故选A.考点：1、特称命题与全程命题；2、真值表的应用. 2．C 【解析】试题分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．解：由于，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤3， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]，故选：C ． 3．C 【解析】试题分析：依题意，()11z i z +=-，解得()()()()11121112i i i iz i i i i ---====++-，则的z 虚部为1，故选C.考点：1、复数的四则运算；2、复数的概念. 4．B 【解析】试题分析：因函数)(x f y =是奇函数,故不等式)1()(ln f x f -<可化为)1()(ln -<f x f ,由函数的单调性可得1ln ->x ,解之得ex 1>,应选B. 考点：函数的基本性质及运用. 5．C. 【解析】试题分析：∵2()(1)xf x e x =-+，∴'()2(1)xf x e x =-+，''()2xf x e =-，∴'()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，而'(ln 2)22(ln 21)2ln 20f =-+=-<，1'(1)0f e --=>，(1)40f e =-<，故()f x 存在极大值点1(1,ln 2)x ∈--，极小值点2(1,)x ∈+∞，故选C.考点：导数的运用.【名师点睛】函数的图象是函数性质的体现，如单调性，奇偶性等，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论，找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如3y x =)，还要保证该零点为变号零点． 6．B 【解析】试题分析：由题 A ．||||||a b a b ⋅≤，由向量乘法的定义，0||=||||cos a b a b θθ=⋅当时；成立。

高三文科数学函数三角函数,向量测试题

高三文科数学集合、函数、初等函数、三角函数阶段性测试一、选择题1、下列式子中，正确式子的个数是（）Φ {Φ}； Φ∈{Φ}； {0} Φ ； 0∈Φ； Φ≠{0}； {Φ}≠{0}；（A ）6；（B ）5；（C ）4；（D ）小于42、已知集合M 和N 间的关系为M N M =⋂，那么下列必定成立的是（）（A ）Φ=⋂M N C U ；（B ）Φ=⋂N M C U ；（C ）Φ=⋂N C M C U U ；（D ）Φ=⋃N C M C U U 。

3、已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2， x >0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是( )A ．[－4,2)B ．[－4,2]C ．(0,2]D ．(－4,2]4、定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－3)等( )A ．2B ．3C ．6D ．95、函数y =的定义域是（）．A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]36、若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（）． A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<7、)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.388、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈ 9、将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则向量α的坐标可能为（） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12π D ．(,0)6π10、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（）A. 2eB. eC. ln 22D. ln 2 11、已知cos （α-6π）+sin α=的值是则)67sin(,354πα- （A ）-532 （B ）532 (C)-54 (D) 5412、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的（A ）既不充分也不必要的条件（B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件（D ）充要条件二、填空题13、函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________________．14、()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ． 15、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 16．对于函数f （x ）定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+； ②)()()(2121x f x f x x f +=⋅；③0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x ； ④2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 当xx f -=2)(时，上述结论正确结论的序号是 .（写出全部正确结论的序号）三、解答题16、已知集合A={x ｜x 2-1=0}，B={x ｜x 2-2ax+b=0 }若，且B ⊆A ，B ≠Φ，求a 、b 的值。

高考数学测试卷三角函数与向量测试参考答案

1．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得C B B A C B sin cos cos sin 2cos sin -=()C B C B C B B A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2 又在三角形ABC 中，()0sin sin ≠=+A C B∴A B A sin cos sin 2=，即21cos =B ， 3π=B （Ⅱ）∵22272cos b a c ac B ==+- ∴227a c ac =+-又∵()ac c a c a 216222++==+∴3=ac ∴1sin 2ABC S ac B ∆= 即13333224ABC S ∆=⋅⋅=2．解: (I)由已知可得x x x x x x x f cos sin 2)sin )(cos sin 2(cos )(+-+= x x x x x x x x cos sin 2sin 2cos sin 2cos sin cos 22+-+-=x x x x 22sin 2cos sin 3cos -+= )12(cos 2sin 23)2cos 1(21-+++=x x x 21)42sin(22321)2cos 2(sin 23-+=-+=πx x x 由224222πππππ+<+<-k x k 得：883ππππ+<<-k x k 8分即函数)(x f 嘚单调递增区间为)8,83(ππππ+-k k ()k ∈Z . 9分 (II) 由(I) 有21)42sin(223)(-+=πx x f ， ∴2123)(max-=x f . 10分所求x 嘚集合为{|,}8x x k k ππ=+∈Z . 12分3．解：﹙Ⅰ﹚22()cos 23sin cos sin f x x x x x =+-3sin 2cos 2x x =+ 4分2sin(2)6x π=+5分∴,()[2,2]T f x π=∈- 7分﹙Ⅱ﹚由()22A f =，有()2sin()226A f A π=+=，∴sin() 1.6A π+= ∵0A π<<， ∴62A ππ+=,即3A π=. 10分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =， ∴2()0b c -=. 12分 ∴,b c = ∴3B C π==. ∴ABC ∆为等边三角形. 13分4．（I ）解：由,0sin 2≠x 得)(Z k k x ∈≠π，所以)(x f 嘚定义域为},|{Z k k x x ∈≠π. （II ）解：当)(Z k k x ∈≠π时x x x x x x x x f sin 2sin 2cos sin 2sin 212cos 2sin )(2+=+-= ),4sin(2cos sin π+=+=x x x …………7分所以)(x f 嘚值域为：}22|{≤≤-y y . （III ）解：因为α是锐角，且212tan =α，所以342tan 12tan 2tan 2=-=ααα，从而,53cos ,54sin ==αα 故57cos sin )(==+=αααf5．解：（1）∵||||||1OA OB OC ===，由条件可得345OA OB OC +=-两边平方得2229||2416||25||OA OA OB OB OC +⋅+= ∴0OA OB ⋅=同理可得45OB OC ⋅=-，35OC OA ⋅=-．（2）由0OA OB ⋅=可得OA OB ⊥，∴11||||22AOB S OA OB ∆== 由45OB OC ⋅=-，得4cos 5BOC ∠=-，∴3sin 5BOC ∠=，∴13||||sin 210AOC S OB OC BOC ∆=∠=，由35OC OA ⋅=-，得3cos 5COA ∠=-，∴4sin 5COA ∠=，∴12||||sin 25AOC S OB OC COA ∆=∠= ，即可得132621055ABC AOB BOC COA S S S S ∆∆∆∆=++=++=6．解：（Ⅰ）由22sin cos 1C C ，得26sin 5C . 则sin()sin cos cos sin 444C C C 26212432.525210…………6分（Ⅱ）因为cos 1CA CB CA CB C ，则 5ab . ………………8分又37a b ，所以 222()227a b a b ab .…………9分所以2222cos 25c a b ab C . 则 5c . ………………11分所以1sin 62ABC S ab C .……13分7．.解:（１）()BC AB AB AC AB +⋅=⋅ =+⋅AB AB .132=-=⋅AB BC AB∴.2=AB 即AB 边嘚长度为2. ……5分（２）由已知及（１）有:,1cos 2=A b (),3cos 2-=-B a π∴A b B a cos 3cos = ……………8分由正弦定理得: A B B A cos sin 3cos sin =∴()C B A sin sin -=()()21sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin =+-=+-B A B A B A B A B A B A8．解：]cos sin 2)sin [(cos 21)(22x x x x x f --= )2sin 2(cos 21x x -= )42cos(22π+=x （I ）)(x f 嘚最小正周期ππ==22T .（II ）∈-==+k k x k x ,82,42ππππ则Z.)(x f 函数图象嘚对称轴方程是∈-=k k x ,82ππ Z.（注：若写成也可以或Z k k x k x ∈+=-=,838ππππ）（III ）ππππ+≤+≤k x k 2422令Z k k x k k x k Z k k x k ∈-≤≤-≤+≤-∈+≤≤-,885,2422.,838ππππππππππππ则令则故)(x f 嘚单调区间为.],8,85[Z k k k ∈--ππππ)(x f 嘚单调减区间为.],83,8[Z k k k ∈+-ππππ9．（Ⅰ）22()cos sin 23cos sin f x m n x x x x ωωωω=⋅=-+⋅cos23sin 2x x ωω=+2sin(2)6x πω=+。

(填空)高中数学函数,三角函数,不等式,向量练习题(含解析)

56．（2020·江苏高三其他模拟）已知实数x 、y 满足1x y +=，若不等式()4422x y x yk +≥+恒成立，则实数k 的取值范围是________.57．（2020·浙江高三其他模拟）设正数a ，b 满足， 11316a b a b ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，则a bb a +的最大值是________.58．（2020·上海高三二模）设二次函数()()2212f x m x nx m =++--，（,m n R ∈且12m ≠-）在[]2,3上至少有一个零点，则22m n +的最小值为___________.59．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()()44xxkf x k R =+∈为定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，函数()()()122x x g x f x a a R ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭的最小值为1，则a =______.60．（2017·上海）已知函数()y f x =是奇函数,且当0x ≥时,()()2log 1f x x =+.若函数()y g x =是()y f x =的反函数,则()3g -=_______.61．（2021·浙江高一期末）如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．62．（2021·上海高三其他模拟）如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy θ∠=，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若12OP xe ye =+(其中1e ，2e 分别是x 轴，y 轴正方向的单位向量)，则P 点的斜坐标为(),x y ，向量OP 的斜坐标为(),x y .给出以下结论：①若60θ=︒，()2,1P -，则3OP =；①若()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1212,OP OQ x x y y +=++；①若(),P x y ，R λ∈，则(),OP x y λλλ=；①若()11,OP x y =，()22,OQ x y =，则1212OP OQ x x y y ⋅=+；①若60θ=︒，以O 为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=. 其中所有正确的结论的序号是___________.63．（2021·浙江温州中学高三其他模拟）已知向量,OA OB 垂直，且12OA OB ==，若[]0,1λ∈，则()314AB AO BO BA λλ-+--的最小值为_________． 64．（2021·浙江高三其他模拟）已知平面内不同的三点O ，A ，B 满足||||5OA AB ==，若[0,1]λ∈时，2||(1)5OB OA BO BA λλ-+--的最小值为||OB =___________.65．（2021·浙江高二期末）在锐角ABC 中，6B π=，2AB AC -=，则AB AC ⋅的取值范围为__________．66．（2021·河北高一期末）已知向量(),1a λ=，()3,5b =-，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是___________.67．（2019·安徽高一期末）在圆心为O ，半径为2的圆内接ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()4222442220a a b c c b b c -++++=，则OBC ∆的面积为__________．68．（2021·山西高一期末）如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.69．（2021·江西景德镇一中高二期末）如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．70．（2019·湖南衡阳市一中高三月考（理））已知函数()()131log 312xf x abx =++为偶函数，()22x x a bg x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则()()()()2233100100a b a b a b a b ++++++⋅⋅⋅++=___________71．（2020·河南高三一模（理））已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线的左，右两支分别交于A ，B 两点，若2AB AF =，27cos 8BAF ∠=，则双曲线C 的离心率为__________. 72．（2020·全国（理））已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且6a =，4sin 5sin B C =，当2A C =时，ABC 的周长为________.73．（2018·上海交大附中高三其他模拟）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V -ABCD 可绕着AB 任意旋转，AB ⊂ 平面α，M 是CD的中点，2,AB VA ==V 在平面α上的射影点为O ，则OM 的最大值为_______74．（2021·江苏高一课时练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c，且2cos cos )A a C =，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC 面积最大时，BD =____________.答案及解析56．(-∞ 【分析】由()244224x y x y +=+-，再利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数k 的取值范围.【详解】因为()()()2244222222422x y x y x y x y x y k ++=+-⋅=+-≥+，令22x y t =+≥=240t kt --≥，t ≥恒成立，所以244t k t t t-≤=-，函数()4f t t t =-在区间)⎡+∞⎣上单调递增，则()(min f t f ==.k ∴≤k的取值范围是(-∞.故答案为：(-∞. 【点睛】本题考查利用不等式恒成立求参数，考查了参变量分离法与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题. 57．18 【分析】变形已知13(3)()16a b a b +++=，利用基本不等式构造a b b a +，由1316(3)()a b a b =+++≥.【详解】 113()16a b a b +++=，13(3)()16a b a b∴+++= 1316(3)()a b a b ∴=+++≥8∴≥3()54b a a b ∴+≤，18b a a b ∴+≤当且仅当133=8a b a b ++=即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.故答案为：18 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 58．453【分析】由()()22120f x m x nx m =++--=可得()()222120x m xn x -++-=,即变换主元,视为关于(),m n 的直线方程,则22m n +表示原点到点(),m n 的距离的平方,最小值即为原点到直线()()222120xm xn x -++-=的距离的平方,进而利用均值不等式求得2d 的最小值即可.【详解】由题,当[]2,3x ∈时,()()22120f x m x nx m =++--=有解,则可设点(),m n 在直线()()222120x m xn x -++-=上,则22m n +表示原点到点(),m n 的距离的平方,22m n +的最小值为原点到直线()()222120x m xn x -++-=的距离的平方,所以2422242424411131543144431x x x d x x x x -+-===-⋅-+-+, 令[]2131537,102t x =-∈,原式21111169484444415154814311313t t t t t =-⋅=-⋅++⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为484481288+81=257t t ++≥⨯,当且仅当4844t t=,即11t =时等号成立,不符合题意, 所以当37t =时,4844t t +最小,此时2d 取得最小值为453, 则22m n +的最小值为453, 故答案为:453【点睛】本题考查由零点分布求参数范围,考查点到直线距离公式的应用,考查利用均值定理求最值,考查转化思想和运算能力.【分析】根据偶函数的定义可得1k =，从而利用换元法：令122xxu =-()0u ≥，将原问题转化为含参数a 的二次函数最值即可求解. 【详解】解：由题意得()()f x f x -=，即4444x x x x k k --+⋅=+⋅，即()()1440x xk ---=，所以1k =，所以()144xxf x =+， ()21111422224222xx x x x x x x g x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令122xxu =-，()22h u u au =-+. 因为122xxu =-在[)0,+∞上是增函数，所以当[)0,x ∈+∞时，0u ≥. 因为()g x 在[)0,+∞上的最小值是1，所以()h u 在[)0,+∞上的最小值是1. 当0a ≥时，()2min2124a a h u h ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，解得2a =或2a =-（舍去）；当0a <时，()()min 021h u h ==≠，不合题意，舍去. 综上，2a =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是观察出144xx +与122x x -的关系，然后利用换元法将原问题等价转化为二次函数最值来解决. 60．7- 【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，且反函数与原函数奇偶性一致，即可求解. 【详解】解：由函数()y f x =是奇函数,则其反函数()y g x =也为奇函数，则(3)(3)g g -=-，设2log (1)3x +=，则7x =，则(3)7g =，故(3)(3)7g g -=-=-，故答案为7-. 【点睛】本题考查了反函数与原函数奇偶性一致，重点考查了反函数的定义域是原函数的值域，属基础题. 61．(10,3)+∞【分析】根据题意，设()01AE mAD m =<<，根据向量的线性运算，利用AB AC →→、表示出AE →，求出λ和μ，然后利用双钩函数的单调性求出12λμ+的取值范围. 【详解】解：由题可知，13B BCD →→=，设()01AE mAD m =<<，则13AE m AB BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()13m AB BA AC ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，所以2133AE m AB m AC →→→=+，而AE AB AC λμ→→→=+，可得：21,33m m λμ==，所以1323m mλμ+=+()01m <<，设()33m f x m=+()01m <<，由双钩函数性质可知，()f x 在()0,1上单调递减，则()()1101333f x f >=+=，所以12λμ+的取值范围是(10,3)+∞.故答案为：(10,3)+∞.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转化思想和运算能力. 62．①①①①. 【分析】在①中，()21224OP e e =-=；在①中，()()11122122121122OP OQ x e y e x e y e x x e y y e +=+++=+++；在①中，()11121112OP x e y e x e y e λλλλ=+=+；在①中，()()()()111221221212121212OP OQ x e y e x e y e x x y y x x y y e e ⋅=+⋅+=+++⋅；在①中，设(),P x y )2121xe ye +=，化为222cos 601x y xy ++︒=，从而满足条件的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=. 【详解】①①60θ=︒，()2,1P -，①()21224OP e e =-==①正确；①①()11,P x y ，()22,Q x y ，①()()11122122121122OP OQ x e y e x e y e x x e y y e +=+++=+++， ①1212OP OQ x x y y ⋅=+，故①正确； ①①(),P x y ，R λ∈，①()11121112OP x e y e x e y e λλλλ=+=+， ①(),OP x y λλλ=，故①正确；①()()()()111221221212121212OP OQ x e y e x e y e x x y y x x y y e e ⋅=+⋅+=+++⋅，故①错误； ①若60θ=︒，以O 为圆心，1为半径的圆满足1OP =，设(),P x y )2121xe ye +=，化为222cos 601x y xy ++︒=， ①2210x y xy ++-=.故满足条件的圆的斜坐标方程为2210x y xy ++-=.故①正确. 故答案为：①①①①. 63．15【分析】作正方形OACB ，取AB 上一点D ，设AD AB λ=，取OB 上一点E ，满足3OE =，则可得()314AB AO BO BA OD DE CD DE λλ-+--=+=+，即求EC 长度. 【详解】如图，作正方形OACB ，取AB 上一点D ，设AD AB λ=，[]0,1λ∈，则AB AO AD AO OD λ-=-=，取OB 上一点E ，满足3OE =，则()()3114BO BA BE BA DE λλ--=--=，则()314AB AO BO BA OD DE CD DE λλ-+--=+=+，易得()min1215CD DE EC +==.故答案为：15.【点睛】关键点睛：本题考查利用几何图形解决向量问题，解题的关键是画出图形，将所求转化为CD DE +.64．【分析】由题设，将平面向量转化为平面几何图形，B 在以A 为圆心5为半径的圆上，利用向量加减、数乘的几何意义分别确定D 、E 使(1)B BD O λ=-、25BA BE =，进而可知2||(1)5OB OA BO BA λλ-+--表示AD ED +，若A '是A 关于OB 的对称点，可知,,A D E '共线时AD ED +最小，①A BE '中应用余弦定理求cos EBA '∠，即可求||OB . 【详解】由题设，如下图示，若OD OB λ=，25BE BA =，则(1)B BD O λ=-，AD OB OA λ=-，25BA BE =，即2(1)5O B ED B A λ=--，①2||(1)||||5OB OA BO BA AD ED λλ-+--=+，即AD ED +，若A '是A 关于OB 的对称点，①A D AD '=，即AD ED A D ED '+=+，如下图示，当且仅当,,A D E '共线时，即A D ED A E ''+== ①||||5OA AB ==，即5A B '=，2BE =， ①此时，①A BE '中，254413cos 2525EBA +-'∠==-⨯⨯，而2cos 2cos 1EBA ABO '∠=∠-且ABO ∠为锐角，①cos ABO ∠=，而||2cos OB AB ABO =∠=故答案为：【点睛】关键点点睛：根据平面向量加减、数乘的几何意义，将题设条件转化为平面几何中的点线距离最短问题. 65．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到C 的坐标，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，计算所求的取值范围．【详解】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，建立平面直角坐标系，如图所示：因为6B π=，||||2AB AC CB -==，所以C 1)，设点(,0)A x ，因为ABC 是锐角三角形，所以56A C π+=，且32A ππ<<，过点C 作CD x ⊥轴与点D ，过点C 作CF BC ⊥，交x 轴于点F ，则A 在线段DF 上（不与D 、F 重合），x (,0)AB x =-，(3AC x =，1)，则223)(4AB AC x x x x ⋅=-==-，由二次函数的性质知，x =20x =，x =243x =，所以AB AC ⋅的取值范围是4(0,)3．故答案为：4(0,)3．66．5{|3λλ<，且3}5λ≠-.【分析】考虑0a b ⋅>和a ，b 同向两种情况可得结果. 【详解】由350a b λ⋅=-+>得53λ<，又当35λ=-时，a ，b 同向，故λ的取值范围是53λλ⎧<⎨⎩，且35λ⎫≠-⎬⎭.故答案为：53λλ⎧<⎨⎩，且35λ⎫≠-⎬⎭.67【分析】已知条件中含有22()b c +这一表达式，可以联想到余弦定理2222cos a b c bc A =+-进行条件替换；利用同弧所对圆心角为圆周角的两倍，先求出角A 的三角函数值，再求BOC ∠的正弦值,进而即可得解. 【详解】()4222442220a a b c c b b c -++++=，()()24222222220a a b c b c b c -++-∴+=，(1)在ABC ∆中，2222222cos 2cos a b c bc A b c a bc A =+-⇒+=+代入（1）式得： ()()242222222cos 2cos 0a a a bc A a bc A b c -+++-=，整理得：211cos ,cos ,sin 42A A A =⇒=±=圆周角等于圆心角的两倍，2BOC A ∴∠=，（1）当1cos 2A =时， 3A π=，23BOC π=∴∠，121sin 22232OBC S OB OC π∆∴=⋅⋅=⋅⋅=（1）当1cos 2A =-时，23A π=，点O 在ABC ∆的外面，此时，23BOC π∠=，OBC S ∆∴．【点睛】本题对考生的计算能力要求较高，对解三角形和平面几何知识进行综合考查. 68．3 【分析】设AD =m ，在,,ABC ADB ADC 中利用余弦定理建立三个关系式，联立即可作答. 【详解】设AD =m ，则有CD =m ，BD =2m ，BC =3m ，ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠得：224943m AB AB =++， ADB △中，由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠得：2254cos AB m m ADC =+∠， ADC 中，由余弦定理2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠得：2422cos m m ADC =-∠，消去cos ADC ∠得：2289AB m +=，从而得224843AB AB AB +=++，解得3AB =，所以AB 等于3. 故答案为：3 【点睛】关键点睛：条件较隐含的解三角形问题，根据题意设出变量，再选择恰当的三角形，借助正余弦定理列出方程、方程组是解题的关键.691 【分析】设ACB θ∠=，在①ABC 中应用正余弦定理可得sin sin ABCACθ∠=、224CD AC ABC ==-∠，在①BCD 中有90ACB BCD ∠∠=+︒且2222cos BD CD BC CD BC BCD =+-⋅⋅∠，结合诱导公式、辅助角公式及正弦型函数的性质即可求BD 的最大值. 【详解】设ACB θ∠=，在①ABC 中，由正弦定理得1sin sin AC ABC θ=∠，则sin sin ABCACθ∠=，由余弦定理得22221214CD AC ABC ABC ==+-⨯∠=-∠，①在①BCD 中，90ACB BCD ∠∠=+︒，①2222cos 7sin BD CD BC CD BC BCD ABC CD θ=+-⋅⋅∠=-∠+⋅=)277714ABC ABC ABC π⎛⎫-∠+∠=+∠-≤+ ⎪⎝⎭，当34ABC π∠=时等号成立． ①BD1. 【点睛】关键点点睛：应用正余弦定理得到相关边角与ACB ∠、2CD 、2BD 与ABC ∠的关系，结合诱导公式、三角恒等变换及正弦型函数的性质求最值. 70．1- 【分析】由奇偶函数的定义列出关于a 、b 的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数a 和b ，再利用和与积的值和331a b ==求出22a b +，33+a b ，44a b +等，找出具有周期性T 为3，再利用周期性求出式子的和．【详解】解：()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴(1)(1)(0)0f fg =-⎧⎨=⎩，即1(1)(31)33311log log 2210ab ab a b ++⎧+=-+⎪⎨⎪++=⎩，解得11ab a b =⎧⎨+=-⎩；∴复数a 、b 是方程210x x ++=的两个根，解得，12a =-，12b =-； 331a b ∴==已知1a b +=-，1ab =；则222()21a b a b ab +=+-=-，332a b +=，同理可求441a b +=-，551a b +=-，662a b +=，⋯，归纳出有周期性且3T =，22331001002233()()()()99[()()()]()1a b a b a b a b a b a b a b a b ∴++++++⋯++=+++++++=-故答案为：1-．【点睛】本题考查了奇（偶)函数的定义和复数的运算，再求复数的值时用到转化思想，求和式的值时利用331a b ==找出每项的和的周期，利用周期性求所求和式的值． 71【分析】设22,BF n AF m ==，由双曲线的定义得出：112,2BF a n AF m a =+=-，由2AB AF =得2ABF 为等腰三角形，设22ABF AF B θ∠=∠=，根据27cos 8BAF ∠=，可求出2211122cos =4BF n AF m θ==，得出2m n =，再结合焦点三角形12BF F ∆，利用余弦定理：求出a 和c 的关系，即可得出离心率.【详解】解：设22,BF n AF m ==，由双曲线的定义得出：1212,2BF BF a BF a n -==+则， 2112,2AF AF a AF m a -==-则，由图可知：114AB BF AF a n m =-=+-，又2AB AF =，即4a n m m +-=，则24m a n =+， ∴2ABF ∆为等腰三角形， 27cos 8BAF ∠=，设22ABF AF B θ∠=∠=，22BAF θπ∴+∠=，则22BAF θ=π-∠，()227cos 2cos cos 8BAF BAF θπ∴=-∠=-=-，即27cos 22cos 18θθ=-=-，解得：1cos 4θ=，则22112cos =4BF AF θ=，1124nm ∴=，解得：2m n =， 44,34n a n n a ∴=+=即，解得：43n a =， 83m a ∴=，在12BF F △中，由余弦定理得：22121212121cos cos 24BF BF F F F BF BF BF θ+-∠===，即：()()()222241224a n n c a n n ++-=⇒+⋅22210441331044233a a c a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯⨯，解得： 2229636c e a ==，即c e a ==. 【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率. 72．15 【分析】运用正弦定理可得45b c =，再次根据正弦定理以及()2sin3sin 4cos 1C C C =-可得cos C 的值，进而得sin C 和sin A ，再次运用正弦定理即可得到所求周长. 【详解】由6a =，4sin 5sin B C =，2A C =，可得3B C π=-，由正弦定理可得45b c =，可得54cb =，而()sin3sin 2cos cos2sin C C C C C =+()2sin cos cos cos2sin C C C C C =+()()22sin 2cos cos2sin 4cos 1C C C C C =+=-由sin sin b c B C =，可得()25544sin(3)sin sin 4cos 1c cc C C C C π==--，由sin 0C ≠，可得：254cos 41C -=，解得：3cos 4C =或3 4-（舍去），sin C ==可得3sin 2sin cos 24A C C ==⨯，4c =，5b =，则15a b c ++=，故答案为：15. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题 73．1【分析】先计算得到二面角C -AB -V 的大小为60°，设二面角C -AB -O 的大小为θ，则()24260OM θ=-+︒，计算得到答案.【详解】如图所示：简单计算可得二面角C -AB -V 的大小为60°设二面角C -AB -O 的大小为θ，则60VNO θ∠=-︒，()2cos 60NO θ=-︒ 在MNO ∆中，利用余弦定理得到：()()()2244cos 60222cos 60cos 4260OM θθθθ=+-︒-⋅⋅-︒⋅=-+︒故当105θ=︒时，OM取得最大值为1故答案为：1【点睛】本题考查了立体几何中的线段的最值问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.74【分析】将2c =代入2cos cos )A a C =，得b = ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，求出三角形ABC 的顶点C 的轨迹方程，根据图形得出三角形ABC 的面积何时最大，进而求出此时BD 的长. 【详解】将2c =代入2cos cos )A a C =得：cos cos )c A a C ⋅=，由正弦定理有：sin cos sin cos )C A A C ⋅=,即sin cos +cos sin C A C A A ⋅⋅，则sin()A C A +=,即sin B A ,所以b = .以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y由b ，即|||AC BC =,所以2222(1)2[(1)]x y x y ++=-+，即22(3)8(0)x y y -+=≠如图，顶点C 在圆22(3)8(0)x y y -+=≠上,设圆心为(3,0)E显然当CE AB ⊥时，三角形ABC 的面积最大, 由:1:3AO OE =,又:1:3AD DC =所以//OD CE ,又因为CE AB ⊥，即D 点在y 轴上(如图)4CE OD ==,1OB =所以BD =【点睛】本题考查正弦定理和和角公式，数形结合思想，本题还可以直接用余弦定理结合面积公式直接求解三角形ABC 的面积，从而得解，属于难题.。

【师说系列】2021年高考数学三轮专题分项模拟三角函数、平面向量质量检测试题文（含解析）(1)

专题质量检测(二) 三角函数、平面向量一、选择题1．假设函数f(x)＝sin2ax －3sinaxcosax(a ＞0)的图象与直线y ＝m 相切，那么m 的值为( )A ．－12B ．－32C ．－12或32 D.52或32解析：f(x)＝sin2ax －3sinaxcosax ＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6＋12，由题意得，m 为函数f(x)的最大值或最小值，因此m ＝－12或m ＝32.答案：C2．假设向量a ＝(1,2)和向量b ＝(x ＋1，－1)垂直，那么|a ＋b|＝( )A. 5B.52C.10D.102解析：由a ⊥b 可得1×(x＋1)＋2×(－1)＝0，解得x ＝1.故b ＝(2，－1)，因此a ＋b ＝(3,1)，因此|a ＋b|＝32＋12＝10.答案：C3．要取得函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π4个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3知，将函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度即可取得函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．应选B.答案：B4．在△ABC 中，AB ＝2BC ＝2，∠A ＝30°，那么△ABC 的面积为( ) A.12 B.32C ．1 D.3解析：由题意得AB ＝2，BC ＝1，由正弦定理得2sinC ＝1sin30°，故sinC ＝1，即C ＝90°，于是AC ＝22－12＝3，那么S △ABC ＝12×AC×BC＝32.答案：B5．假设M 为△ABC 所在平面内一点，且知足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，那么△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形解析：由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0可知CB →·(AB →＋AC →)＝0，设BC 的中点为D ，那么AB →＋AC →＝2AD →，故CB →·AD →＝0，因此CB →⊥AD →.又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形．答案：B6．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A ＞0，|φ|＜π2)的图象如下图，为了取得函数g(x)＝cos2x 的图象，那么只要将函数f(x)的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：显然A ＝1，又ω×π3＋φ＝π，ω×7π12＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝π3，故函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式为f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又g(x)＝cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，设需平移的单位长度为φ1，那么由2(x ＋φ1)＋π3＝2x＋π2得φ1＝π12.故要把函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移π12个单位长度．应选D. 答案：D7．已知向量a ＝(1，m)，b ＝(2，n)，c ＝(3，t)，且a ∥b ，b ⊥c ，那么|a|2＋|c|2的最小值为( ) A ．4 B ．10 C ．16 D ．20解析：由a ∥b ，b ⊥c ，得a ⊥c ，那么1×3＋mt ＝0，即mt ＝－3，故|a|2＋|c|2＝1＋m2＋9＋t2＝10＋m2＋t2≥10＋2|mt|＝16，当且仅当|m|＝|t|＝3时等号成立．答案：C8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边别离为a 、b 、c ，已知a2－c2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，那么b ＝( ) A.2 B ．22 C ．4 D ．23解析：由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b ，b≠0，因此b ＝2ccosA ＋2.①又sinAcosC ＝3cosAsinC ，因此sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC ，因此sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，即sinB ＝4cosAsinC. 由正弦定理得sinB ＝bc sinC ，故b ＝4ccosA.②由①②解得b ＝4. 答案：C9．在△ABC 中，D 是BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，那么PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A ．－1 B ．1 C.12 D ．－12解析：依题意得，PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝－2|PA →|·|PD →|≥－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝－|AD →|22＝－12，当且仅当|PA →|＝|PD →|＝12时取等号，因此PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－12，选D. 答案：D10．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx＋π3(ω＞0)在(0,2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，那么ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，13π12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，13π11 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4π13，12π11 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π8，14π11 解析：设t ＝ωx＋π3，那么t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2ω＋π3.因为f(t)＝sint 在t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2ω＋π3上恰有一个最大值点和一个最小值点，因此⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋π3≥2π3，2ω＋π3＜5π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥π6，ω＜13π12，即π6≤ω＜13π12. 答案：A11．在斜三角形ABC 中，sinA ＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，那么角A 的值为( )A.π4B.π3 C.π2 D.3π4解析：由题意知，sinA ＝－2cosB·cosC＝sin(B ＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC 两边同除以cosB·cosC 得tanB ＋tanC ＝－2，tan(B ＋C)＝tanB ＋tanC1－tanBtanC＝－1＝－tanA ，即tanA ＝1，因此A ＝π4.答案：A12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c.假设sin2B ＋sin2C －sin2A ＋sinBsinC ＝0，那么tanA 的值是( ) A.33 B ．－33C. 3 D ．－3解析：依题意及正弦定理可得，b2＋c2－a2＝－bc ，那么由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又0＜A ＜π，因此A ＝2π3，tanA ＝tan 2π3＝－3，选D.答案：D 二、填空题13．假设点P(cosα，sinα)在直线y ＝－2x 上，那么1＋cos2αcos2α＋sin2α的值为________．解析：由已知得tanα＝－2，那么1＋cos2αcos2α＋sin2α＝2cos2αcos2α＋2sinαcosα＝2cos2αcos2αcos2αcos2α＋2sinαcosαcos2α＝21＋2tanα＝－23.答案：－2314．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，OA→＝a －b ，OB →＝a ＋b ，假设△OAB 是以O 为直角极点的等腰直角三角形，那么△OAB 的面积为__________．解析：由题意得，|a|＝1，又△OAB 是以O 为直角极点的等腰直角三角形，故OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|，那么(a －b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|，又|OA →|＝|OB →|，故|a －b|＝|a ＋b|，得a·b＝0，因此|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，因此|OB →|＝|OA →|＝2，故S △ABO ＝12×2×2＝1.答案：115．在△ABC 中，a 、b 、c 别离是角A 、B 、C 的对边，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，b ＝1，△ABC 的面积为32，那么b ＋csinB ＋sinC 的值为__________．解析：在△ABC 中，∵0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6，又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，∴2A ＋π6＝5π6，解得A ＝π3.∵S △ABC ＝12bcsinA ＝12×1×c×32＝32，∴c ＝2.在△ABC 中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA ＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴a ＝3.由正弦定理，得bsinB ＝csinC ＝asinA ＝332＝2， ∴b ＋csinB ＋sinC ＝2. 答案：216．某城市为增强对建筑文物的爱惜，打算对该市的所有建筑文物进行测量，如图是一座超级闻名的古老建筑，其中A 是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上，AB 与水平基线HG 垂直，在相距为60 m 的G 、H 两点用测角仪测得A 的仰角∠ACE 、∠ADE 别离为75°、30°，已知测角仪器的高BE ＝1.5 m ，那么AB ＝__________m ．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解析：∵∠ACE ＝75°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝45°，在△ACD 中，CD ＝60，由正弦定理得CDsin45°＝ACsin30°，那么AC ＝302.在Rt △AEC 中，AE ＝ACsin75°，而sin75°＝sin(30°＋45°)＝2＋64，∴AE ＝15(1＋3)≈40.5(m)，故AB ＝AE ＋EB ＝40.5＋1.5＝42(m)．答案：42 三、解答题17．已知函数f(x)＝sin2x －23sin2x ＋3＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，求f(x)的值域．解析：f(x)＝sin2x ＋3(1－2sin2x)＋1＝sin2x ＋3cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.(1)函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k ∈Z)时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3为单调增函数，∴函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－5π12，kπ＋π12(k ∈Z)．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[0,1]， ∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1∈[1,3]．∴f(x)的值域为[1,3]．18．已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋23cos2x －3，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在锐角△ABC 中，假设f(A)＝1，AB →·AC →＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)∵f(x)＝2sinxcosx ＋3(2cos2x －1)＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(3)在锐角△ABC 中，有f(A)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝1， ∵0＜A ＜π2，π3＜2A ＋π3＜4π3，∴2A ＋π3＝5π6，∴A ＝π4.又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cosA ＝2，∴|AB →|·|AC →|＝2.∴△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sinA ＝12×2×22＝22.19．已知角α的极点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边通过点P(－3，3)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)假设函数f(x)＝cos(x －α)cosα－sin(x －α)sinα，求函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．解析：(1)∵角α的终边通过点P(－3，3)，∴sinα＝12，cosα＝－32，tanα＝－33，∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－32＋33＝－36.(2)∵f(x)＝cos(x －α)cosα－sin(x －α)sinα＝cosx ，x ∈R ，∴y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，∴函数y ＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为[－2,1]．20．已知函数f(x)＝32sin2x －cos2x －12，x ∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，且c ＝3，f(C)＝0，假设sinB ＝2sinA ，求a ，b 的值．解析：(1)∵f(x)＝32sin2x －1＋cos2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∴f(x)的最大值为0，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f(C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.∵0＜C ＜π，∴0＜2C ＜2π， ∴－π6＜2C －π6＜116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵sinB ＝2sinA ，∴由正弦定理得ab ＝12，①由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos π3，即a2＋b2－ab ＝9，② 由①②解得a ＝3，b ＝23. 21．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c.已知cosA －3cosC cosB ＝3c －ab .(1)求sinCsinA的值；(2)假设B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围．解析：(1)由正弦定理，设asinA ＝bsinB ＝csinC ＝k ，则3c －a b ＝3ksinC －ksinA ksinB ＝3sinC －sinA sinB ，因此cosA －3cosC cosB ＝3sinC －sinA sinB，即(cosA －3cosC)sinB ＝(3sinC －sinA)cosB ，化简可得sin(A ＋B)＝3sin(B ＋C)．又A ＋B ＋C ＝π，因此sinC ＝3sinA ，因此sinCsinA ＝3.(2)由sinC sinA＝3，得c ＝3a.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＞b ，a2＋c2＜b2，又b ＝10，因此52＜a ＜10.22．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，A ，B ，C 对的边别离为a ，b ，c ，设平面向量m ＝(cosB ，－sinC)，n ＝(cosC ，sinB)，m·n＝23.(1)求cosA 的值；(2)设a ＝3，△ABC 的面积S ＝5，求b ＋c 的值．解析：(1)∵m ＝(cosB ，－sinC)，n ＝(cosC ，sinB)，且m·n＝23，∴cosB·cosC－sinB·sinC＝23，即cos(B ＋C)＝23.∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴B ＋C ＝π－A. ∴cos(π－A)＝23，即cosA ＝－23.∴cosA ＝－23.(2)∵A 是△ABC 的一个内角，cosA ＝－23，∴sinA ＝53.∵S △ABC ＝12bc·sinA＝56bc ＝5，∴bc ＝6.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2＋8.∴b2＋c2＋12＝b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝a2＋4＝13.∴b＋c＝13.。