数列 倒序相加 并项求和电子教案
数列求和公式基础教案
1 1 2
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1 2 3
, ,
1 n n 1
, 的前 n 项和.
【例 9】 计算：
变式 1 等差数列 an 中, a7 4, a19 2a9 ,
(I)求 an 的通项公式; (II)设 bn
1 , 求数列bn 的前n项和Sn . nan
4
变式 2 正项数列｛an｝满足 a n 2 (2n 1)a n 2n 0 .
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列， 然后分别求和，再将其合并即可. 【例 6】 求数列的前 n 项和： 1 1,
1 1 1 4, 2 7, , n 1 3n 2 ，… a a a
变式 1 已知数列{an}是 3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前 n 项和 Sn.
1 1 1 1 ( ) n( n k ) k n n k
1 【例 7】在数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2 n＝an Sn－2 . (1)求 Sn 的表达式； Sn (2)设 bn＝ ，求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n＋1
【例 8】求数列
(1)求数列｛an｝的通项公式 an； (2)令 bn=
1 错误！未找到引用源。 ，求数列｛bn｝的前 n 项和 Tn. (n 1)a n
一、 真题训练 二、 学法总结 三、 技巧提炼 四、 作业布置
5
1、已知等差数列 a n 满足 a 2 0 ， a6 a8 10 （1）求数列 a n 的通项公式； （2）求数列
倒序相加法课程设计
倒序相加法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生理解倒序相加法的概念，掌握其运算规则和应用场景。
2. 学生能够运用倒序相加法解决数学问题，提高数学运算能力。
3. 学生了解倒序相加法在数学及生活中的实际应用，增强数学与现实生活的联系。
技能目标：1. 学生通过倒序相加法的练习，提高逻辑思维能力和问题解决能力。
2. 学生能够运用倒序相加法进行简便计算，提升计算速度和准确性。
3. 学生学会运用倒序相加法进行数学探究，培养创新意识和团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对倒序相加法产生兴趣，树立学习数学的自信心，形成积极向上的学习态度。
2. 学生在合作交流中，培养团队精神，学会尊重他人，理解他人，善于倾听。
3. 学生通过数学学习，认识到数学在生活中的重要性，激发对科学文化的热爱。
课程性质：本课程为数学学科教学，针对学生年级特点，结合教材内容进行设计。
学生特点：学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对倒序相加法的掌握程度不同，需要分层教学。
教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动探究，关注学生的个体差异，提高教学效果。
通过本节课的学习，使学生达到上述课程目标，为后续数学学习打下坚实基础。
二、教学内容本节课教学内容围绕倒序相加法展开，结合教材第四章第三节“简便计算”进行设计。
具体内容包括：1. 倒序相加法的基本概念：通过实例引入倒序相加法的概念，让学生理解其含义和特点。
2. 倒序相加法的运算规则：讲解倒序相加法的运算步骤，引导学生掌握计算方法。
3. 倒序相加法的应用场景：分析倒序相加法在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
4. 倒序相加法的简便计算：教授如何运用倒序相加法进行简便计算，提升学生的计算速度和准确性。
5. 倒序相加法的拓展练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，并提高拓展能力。
教学大纲安排如下：第一课时：导入倒序相加法概念，讲解运算规则。
第二课时：分析应用场景，进行实际操作练习。
高三数学 第23课时 数列求和教案 教案
课题：数列求和教学目标：1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3.熟记一些常用的数列的和的公式． 教学重点：特殊数列求和的方法． （一） 主要知识：1.等差数列与等比数列的求和公式的应用；2.倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；（二）主要方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()3()()2221121216n n n n +++=++；()4()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦；()50122nn n n n n C C C C ++++=.2.错位相消法：给12n n S a a a =+++各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n 项和n S .一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列。
3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()3()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；()41a b=-；()51k=；()611m m mn n nC C C -+=-；()7()!1!!n n n n ⋅=+-；()811,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥ 5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
数列求和的方法总结教案
名师精编优秀教案授课教案学员姓名：__________ 授课教师：_ 所授科目：学员年级：__________ 上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时优秀教案名师精编的相关性质对函数化简，后证明左边=右边）小题已经证明的结论可知，1）利用第（2（．优秀教案名师精编1928?????????f?令S??ff?f????????10101010????????2819?????????f?则S?f?ff?????????10101010????????两式相加得：?19?9????所以.?S9?f??2S9?f??????21010??????小结：解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.222210132?S????求值：: 针对训练2222222210?89?31?1021?典型题（三）错位相减法求数列的前N项和：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。
若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.????cb ca?b?是公比为，其中是等差数列，若等比数列，令q nnnnn S?bc?bc??bc?bc n11n22n?1nn?1qS?bc?bcbc??bc?则n32n1nn?12n?1两式相减并整理即得2n1)2?S12??22??(n? n?1，求数列｛a｝的前n项和题1：已知S. 2a?n?nn n01n?2n?1①解：n12n?1n2n???(n1)22S2?12?2?②n②—①得n?1nnn01?2?2S22n?2??11?2n?n优秀教案名师精编典型题（四）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求??c??a是各项不为零的等差数和方法称为裂项相消法。
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
2025届高考数学一轮复习教案：数列-数列求和
第五节数列求和课程标准1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.考情分析考点考法:高考命题常以等差、等比数列为载体,考查裂项相消、错位相减求和等数列求和方法,涉及奇偶项的求和问题是高考的热点,常以解答题的形式出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【核心考点·分类突破】考点一分组、并项、倒序相加求和[例1](1)数列112,214,318,…的前n项和为S n=()A.2-1B.(r1)2+2nC.(r1)2-12+1D.2-1【解析】选C.数列112,214,318,...的前n项和为S n=(1+2+3+...+n)+(12+14+18+ (12)=(r1)2+12(1-12)1-12=(r1)2-12+1.(2)设f(x)=21+2,则f(12024)+f(12023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024)=________.【解析】因为f(x)=21+2,所以f(x)+f(1)=1.令S=f(12024)+f(12023)+…+f(1)+f(2)+…+f(2024),①则S=f(2024)+f(2023)+…+f(1)+f(12)+…+f(12024),②所以2S=4047,所以S=40472.答案:40472(3)(2023·深圳模拟)已知公差为2的等差数列的前n项和为S n,且满足S2=a3.①若a1,a3,a m成等比数列,求m的值;②设b n=a n-2,求数列的前n项和T n.【解析】①由题意知数列是公差为2的等差数列,设公差为d,则d=2,又因为S2=a3,所以a1+a2=a3,即2a1+d=a1+2d,得a1=d=2,所以a n=a1+(n-1)d=2n(n∈N*).又因为a1,a3,a m成等比数列,即32=a1a m,所以36=2×2m,得m=9.②因为b n=a n-2=2n-4n,所以T n=(2×1-41)+(2×2-42)+…+(2×n-4n)=2×(1+2+…+n)-(41+42+…+4n)=2×(r1)2-4×(1-4)1-4=n(n+1)-43×(4n-1)=n2+n+43-4r13.【解题技法】分组转化与并项求和法(1)数列的项可以拆分成两类特殊数列,分别对这两类数列求和,再合并后即为原来的数列的前n项和;(2)数列的项具有一定的周期性,相邻两项或多项的和是一个有规律的常数,可以将数列分成若干组求和.【对点训练】1.已知数列的通项公式为a n=n cos(n-1)π,S n为数列的前n项和,则S2023=()A.1009B.1010C.1011D.1012【解题提示】将a n=n cos(n-1)π化为a n=n×-1-1,利用并项法求和.【解析】选D.因为当n为奇数时cos(n-1)π=1,当n为偶数时cos(n-1)π=-1,所以cos(n-1)π=-1-1,所以a n=n cos(n-1)π=n×-1-1.S2023=(1-2)+(3-4)+…+(2021-2022)+2023=-1011+2023=1012.2.设f(x)=44+2,若S=f(12024)+f(22024)+…+f(20232024),则S=________.【解析】因为f(x)=44+2,所以f(1-x)=41-41-+2=22+4,所以f(x)+f(1-x)=44+2+22+4=1.S=f(12024)+f(22024)+…+f(20232024),①S=f(20232024)+f(20222024)+…+f(12024),②①+②,得2S=[f(12024)+f(20232024)]+[f(22024)+f(20222024)]+…+[f(20232024)+f(12024)]=2023,所以S=20232.答案:202323.已知是公差d≠0的等差数列,其中a2,a6,a22成等比数列,13是a4和a6的等差中项;数列是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.(1)求数列和的通项公式;(2)令c n=a n+b n,求数列的前n项和T n.【解析】(1)因为a2,a6,a22成等比数列,所以62=a2a22,即(1+5)2=(a1+d)(a1+21d)①.因为13是a4和a6的等差中项,所以a4+a6=26,即(a1+3d)+(a1+5d)=26②,由①②可得:a1=1,d=3,所以a n=1+(n-1)×3=3n-2,从而b3=a2=4,b5=a6=16.因为数列是公比q为正数的等比数列,所以b5=b3q2,即16=4q2,所以q=2,从而b n=b3q n-3=2n-1.(2)由于b n=2n-1,所以b1=1.因为c n=a n+b n,所以T n=c1+c2+…+c n=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a n+b n)=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=+(-1)2×3+1-21-2=2n+32n2-12n-1.考点二裂项相消法求和[例2](1)已知函数f(x)=x a的图象过点(4,2),令a n=1(r1)+(),n∈N*.记数列{a n}的前n项和为S n,则S2025=________.【解析】由f(4)=2可得4a=2,解得a=12,则f(x)=12,所以a n=1(r1)+()==+1-,S2025=a1+a2+a3+…+a2025=(2-1)+(3-2)+(4-3)+…+(2025-2024)+(2026-2025)=2026-1.答案:2026-1(2)已知数列的各项均为正数,S n是其前n项的和.若S n>1,且6S n=2+3a n+ 2(n∈N*).①求数列的通项公式;②设b n=1r1,求数列的前n项和T n.【解析】①因为6S n=2+3a n+2,(i)n=1时,6S1=6a1=12+3a1+2,即12-3a1+2=0,解得a1=2或a1=1,因为S n>1,所以a1=2;(ii)n≥2时,由6S n=2+3a n+2,有6S n-1=-12+3a n-1+2,两式相减得6(S n-S n-1)=2--12+3a n-3a n-1,所以6a n=2--12+3a n-3a n-1,所以2--12-3a n-3a n-1=0,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1)-3(a n+a n-1)=0,所以(a n+a n-1)(a n-a n-1-3)=0.因为数列的各项均为正数,所以a n+a n-1≠0,所以a n-a n-1-3=0,即a n-a n-1=3,综上所述,是首项a1=2,公差d=3的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,所以数列的通项公式为a n=3n-1.②由①知a n=3n-1,所以a n+1=3(n+1)-1=3n+2,所以b n=1r1=1(3-1)(3r2)=13×(3r2)-(3-1)(3-1)(3r2)=13×(13-1-13r2),所以T n=13×(12-15)+13×(15-18)+13×(18-111)+…+13×(13-1-13r2)=13×(12-15+15-18+18-111+…+13-1-13r2)=13×(12-13r2)=13×3r2-22(3r2)=6r4,所以数列的前n项和T n=6r4.【解题技法】破解裂项相消求和的关键点(1)定通项:根据已知条件求出数列的通项公式.(2)巧裂项:根据通项公式的特征进行准确裂项,把数列的每一项,表示为两项之差的形式.(3)消项求和:通过累加抵消掉中间的项,达到消项的目的,准确求和.(4)常见的裂项结论:①设等差数列的各项不为零,公差为d(d≠0),则1r1=1(1-1r1);②142-1=12(12-1-12r1);③1(r1)(r2)=12(r1)(1-1r2)=12[1(r1)-1(r1)(r2)];④242-1=14(42-1)+1442-1=14+18(12-1-12r1);⑤a n=2(2+)(2r1+)=12+-12r1+;⑥a n=r12(r2)2=14[12-1(r2)2].提醒:要注意正负相消时,可以通过写出前几项观察消去规律的方法,确定消去了哪些项,保留了哪些项,不可漏写未被消去的项.【对点训练】1.{a n }是等比数列,a 2=12,a 5=116,b n =r1(+1)(r1+1),则数列{b n }的前n 项和为()A .2-12(2+1)B .2-12+1C .12+1D .2-12+2【解析】选A .a 5=a 2·q 3,所以q 3=18,所以q =12,a 1=1,所以a n =(12)n -1.b n =(12)[(12)-1+1][(12)+1]=1(12)+1-1(12)-1+1,所以b 1+b 2+b 3+…+b n =[1(12)1+1-1(12)0+1]+[1(12)2+1-1(12)1+1]+[1(12)3+1-1(12)2+1]+…+[1(12)+1-1(12)-1+1]=1(12)+1-12=2-12(2+1).2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=8,S n =r12-n -1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)n 项和T n .【解析】(1)因为a 2=8,S n =r12-n -1,所以a 1=S 1=22-2=2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=r12-n -1-(2-n ),即a n +1=3a n +2.又a 2=8=3a 1+2,所以a n +1=3a n +2,n ∈N *,所以a n +1+1=3(a n +1),所以数列{a n +1}是等比数列,且首项为a 1+1=3,公比为3,所以a n +1=3×3n -1=3n ,所以a n =3n -1.(2)因为2×3=2×3(3-1)(3r1-1)=13-1-13r1-1,r1n 项和T n =(13-1-132-1)+(132-1-133-1)+…+(13-1-13r1-1)=12-13r1-1.考点三错位相减法求和[例3]已知数列中,a 1=8,且满足a n +1=5a n -2·3n .(1)证明:数列-3为等比数列,并求数列的通项公式;(2)若b n =n (a n -3n ),求数列的前n 项和S n .【解析】(1)因为a n +1=5a n -2·3n ,所以a n +1-3n +1=5a n -5·3n =5(a n -3n ),所以数列-3是以a 1-31=5为首项,以5为公比的等比数列,所以a n -3n =5×5n -1=5n ,所以a n =3n +5n .(2)因为a n =3n +5n ,所以b n =n (a n -3n )=n ×5n ,所以S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,即S n =1×51+2×52+3×53+…+n ×5n ①,所以5S n =1×52+2×53+3×54+…+n ×5n +1②,由①-②得:-4S n =1×51+1×52+1×53+…+1×5n -n ×5n +1,-4S n =5(1-5)1-5-n ×5n +1,化简得:S n =5+(4-1)×5r116.【解题技法】错位相减法求和的解题策略(1)巧分拆,即将数列的通项公式分拆为等差数列与等比数列积的形式,并求出公差和公比.(2)构差式,即写出S n的表达式,再乘公比或除以公比,然后将两式相减.(3)后求和,根据差式的特征准确进行求和.提醒:错位相减法求和的注意点①在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“S n-qS n”的表达式.②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式S n=na1.【对点训练】已知数列的前n项和为S n=3n2+8n-6,是等差数列,且a n=b n+b n+1(n≥2).(1)求数列和的通项公式;(2)令c n=b n·2n+2n+1,求数列的前n项和T n.【解析】(1)S n=3n2+8n-6,所以n≥2时,S n-1=3(n-1)2+8(n-1)-6,所以a n=S n-S n-1=6n+5.n=1时,a1=S1=5,不满足a n=6n+5,所以a n=5(=1)6+5(≥2);设的公差为d,a n=b n+b n+1(n≥2),所以a n-1=b n-1+b n(n≥3),所以a n-a n-1=b n+1-b n-1,所以2d=6,所以d=3.因为a2=b2+b3,所以17=2b2+3,所以b2=7⇒b1=4,所以b n=3n+1;(2)c n=3(n+1)2n,所以T n=3×2+3×22+…+(+1)2①,所以2T n=32×22+3×23+…+(+1)2r1②,①-②得,-T n=3[2×2+22+23+…+2n-(n+1)2n+1]+1)2r1=-3n·2n+1,所以T n=3n·2n+1,所以数列的前n项和T n=3n·2n+1.。
数列的求和公式的教案
数列的求和公式的教案教案标题：数列的求和公式的教案教案目标：1. 学生能够理解数列的概念和性质。
2. 学生能够推导数列的求和公式。
3. 学生能够应用数列的求和公式解决实际问题。
4. 学生能够发展数学思维和解决问题的能力。
教学资源：1. 教材：包含数列的相关知识和例题。
2. 白板、黑板、彩色粉笔。
3. 计算器。
4. 练习题和答案。
教学过程：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾数列的概念和常见类型，如等差数列、等比数列等。
2. 提问：你们知道如何求一个数列的前n项和吗？探索（15分钟）：1. 给出一个等差数列的例子，如2, 5, 8, 11, 14, ...2. 引导学生思考如何求这个数列的前n项和。
3. 鼓励学生尝试列出数列的前几项，并观察数列的规律。
解决问题（20分钟）：1. 引导学生发现等差数列的前n项和可以通过求平均值乘以项数得到。
2. 引导学生推导等差数列的求和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项。
3. 提供几个例子，让学生应用求和公式计算数列的前n项和。
拓展（15分钟）：1. 引导学生思考如何求解等比数列的前n项和。
2. 引导学生推导等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a1为首项，r为公比。
3. 提供几个例子，让学生应用求和公式计算等比数列的前n项和。
总结（5分钟）：1. 归纳总结等差数列和等比数列的求和公式。
2. 强调数列的求和公式在解决实际问题中的应用。
3. 鼓励学生在日常学习中多关注数列的性质和规律。
作业：1. 布置练习题，要求学生应用数列的求和公式计算前n项和。
2. 检查学生的作业并给予反馈。
教学反思：本节课通过引导学生思考和探索，让学生主动发现等差数列和等比数列的求和公式。
通过实际问题的应用，提高学生对数列求和公式的理解和掌握。
同时，通过引导学生思考拓展问题，拓宽学生的数学思维和解决问题的能力。
专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和(解析版)
专题08数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和◆倒序相加法求和等差数列的求和公式()12n n n a a S +=,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现12x x k +=(k 为常数),()()12f x f x m +=(m 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.【经典例题1】已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +-=，数列{}n a 满足()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求数列{}n a 的通项公式.【答案】12n n a +=【解析】因为()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.①∴()121n n n a f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.②∴①+②，得21n a n =+，∴12n n a +=.所以数列{}n a 的通项公式为12n n a +=.【练习1】已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120191a a =，试用推导等差数列前项和的方法探求：若24()1f x x=+，则()()()122019f a f a f a +++= （）A ．2018B ．4036C ．2019D ．4038【答案】D 【解析】120191a a ⋅=，∵函数24()1f x x =+∴222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x，令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，∴()()()()()()120192201820191242019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯，∴4038T =.故选：D.【练习2】已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=__________．【答案】192【解析】函数1()1f x x =+，当0x >时，1111()()111111xf x f x x x x x+=+=+=++++，因数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则2119218317101a a a a a a a ===== ，119111()()()()1f a f a f a f a +=+=，同理2183171010()()()()()()1f a f a f a f a f a f a +=+==+= ，令()()()()()1231819S f a f a f a f a f a =+++++ ，又()()()()()19181721S f a f a f a f a f a =+++++ ，则有219S =，192S =，所以()()()()()1231819192f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=.故答案为：192【练习3】已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】1005.【解析】因为()442xx f x =+，所以()1144214242442x x x xf x ---===++⨯+，所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相加得22010S =，故1005S =.【练习4】函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=.(I)求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;(II)若数列{}n a 满足11(0)(1)n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n a 是等差数列吗?【解析】(I)令12x =,得1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(II)已知函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=,可得11(0)(1)11(1)(0)nn n a f f f f n n n a f f f f n n ⎧-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎛⎫⎛⎫⎪=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩由两式相加可得11(1)112(2)244n n n n n a a a n -++==⇒-=故数列{}n a 是等差数列.◆数列绝对值求和(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为{},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项小于0而从第1k +项开始大于或等于0,于是有,;2,n n nk S n k T S S n k -⎧=⎨->⎩(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为{},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项大于0而从第1k +项开始小于或等于0,于是有,2,nn kn S n k T S S n k ⎧=⎨->⎩ 。
2019-2020年高三数学 第23课时 数列求和教案
2019-2020年高三数学 第23课时 数列求和教案教学目标：熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；熟记一些常用的数列的和的公式．教学重点：特殊数列求和的方法．（一） 主要知识：等差数列与等比数列的求和公式的应用；倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；（二）主要方法：基本公式法：等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a qq q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩()()2221121216n n n n +++=++；()23333112314n n n ++++=+⎡⎤⎣⎦； 0122nn n n n n C C C C ++++=.错位相消法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前项和. 一般适应于数列的前向求和，其中成等差数列，成等比数列。
分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；1a b =-1k =；；；倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
导数法：灵活利用求导法则有时也可以完成数列求和问题的解答.递推法.奇偶分析法.（三）典例分析：问题1．求下列数列前项和： ，，，…，；，，，…，；，，，…，；，，，…，， ；222sin 1sin 2sin 3︒+︒+︒+…； ，，，…，；问题2．求和111112123123n S n =+++⋅⋅⋅++++++++；23123n n n S a a a a =++++； ()0123521n n n n nC C C n C +++++问题3．已知数列的通项，求其前项和问题4．(全国Ⅰ文)设正项等比数列的首项，前项和为，且0)12(21020103010=++-S S S .（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前项和.问题5．(湖北)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数；（四）巩固练习：（北京）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则等于明朝程大拉作数学诗：“远望巍巍塔七层，红光点点加倍增，共灯三百八十一，请问尖头盏灯”.求数列，，，，…的前项和.()()2222100999897-+-+…在数列中，…，又，则数列的前项和为求数列，，，，…的前项和.（五）课后作业：(荆州统测)数列满足递推关系：，且，.求、；求；求数列的前项和.（六）走向高考：（广东）在德国不莱梅举行的第届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第堆只有一层，就一个乒乓球；第、、、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.（福建）数列的前项和为，若，则等于（全国Ⅱ）已知数列的通项，其前项和为，则（福建文）“数列的前项和为，，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．2019-2020年高三数学第24课时数列的综合应用教案教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．教学重点：等差（比）数列的性质的应用．（一）主要知识：等差数列的概念、性质及基本公式。
高中数学同步教学课件 习题课 数列求和(一)
，则a1＋a2＋…＋a98等于
A.96
B.97
√C.98
D.99
S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98＝9967＋9954＋…＋9965＋9978， S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1＝9987＋9956＋…＋9945＋9976， 两式相加得， 2S＝9967＋9954＋…＋9965＋9978＋9987＋9965＋…＋9945＋9967 ＝9976＋9987＋9945＋9956＋…＋9965＋9945＋9978＋9967＝98×2， ∴S＝98.
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和， 求Tn.
由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
第四章 数 列
习题课 数列求和(一)
学习目标
1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式. 2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和、裂项相消法求和等数列求和的方法.
内容索引
一、分组求和与倒序相加法求和 二、拆项、并项求和 三、裂项相消法求和 随堂演练 课时对点练
一 分组求和与倒序相加法求和
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
跟踪训练2 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”
之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁
时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的
数列求和方法总结教案
龙文教育个性化辅导教案提纲学生:日期: 年月日第次时段: 教学课题数列求和方法归纳—导学案教学目标考点分析1.掌握常用数列求和公式（错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组转化法）2.灵活运用数列求和公式，掌握求和技巧。
重点难点灵活运用数列求和公式，掌握求和技巧。
教学方法讲练结合法、启发式教学教学过程数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。
由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanS nn2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211+==∑=nnkSnkn4、)12)(1(6112++==∑=nnnkSnkn5、213)]1(21[+==∑=nnkSnkn例1、已知{}n a是一个首项为a，公比为(01)q q<≤的等比数列，求2222*123()n nS a a a a n N=++++∈例2、已知数列{}n a 为等差数列，且p a =1q，1q a p =（p q ≠，p ，*q N ∈），求p q S +。
例3、 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和。
例4、 设*123,()n S n n N =+++⋅⋅⋅+∈，求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.二、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +例5、求包含在正整数m 与n ()m n <之间的分母为3的所有不可约分数之和。
数列求和学习教案
等比数列(děnɡ bǐ shù liè)
和一个
的对应项
之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比
数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
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考点一 分组转化法求和 命 1.分组、拆、拼、转化为 题 常数列或等差数列求和 点 2.转化为等比数列求和
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③2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1.
④
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
⑤ n1 n2 (n 2)2
1 4
(
1 n2
(n
1 2)2
)
⑥
(2n
2n 1)(2n1
1)
1 2n 1
1 2n1 1
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4．错位相减法
等差数列(děnɡ chā shù liè)
如果一个数列的各项是由一个
数列{a n}中，a1 2, an1 an 4n 3,求数列的前 n项和sn
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第四页，共46页。
3．裂项相消法
(1)把数列的通项拆成 两项之差
，在求和时中间的一些项可以相
互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①nn1＋1＝1n－n＋1 1. ②nn1＋2＝121n－n＋1 2.
(1)倒序相加法
如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相
等或等于 同一个常数(chángshù)
，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加
法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
f
(x)
2
2x x
1
,
数列求和的教案
数列求和的教案----看通项，定方法一、 基础知识概要近几年来，数列是高考的热点，试题通常以等差数列、等比数列为载体，考查基础知识、基本技能和基本思想方法为主。
而对数列求和的考查是必不可缺少的一个内容，应引起高度的重视，在解题的过程中常用到等价转化、分类讨论、函数与方程等思想方法。
【教学目标】1. 熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2. 熟记一些常用的数列的和的公式；3. 能运用公式法、裂项相消、错位相减、倒序相加、分组求和等重要的方法进行求和；4. 培养学生分类讨论思想，转化与化归思想在解题中运用的能力。
【教学重点】 特殊数列的求和方法 【教学难点】 错位相减、裂项相消 【教法选择】 讲练结合 二、精讲精练 1、公式法等差数列求和公式： 等比数列求和公式： 引例：(2010.课标卷)设等差数列满足， ,35a =109a =-（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求 的前项和 及使得最大的序号n 的值。
解析：（1）由a n = a 1 +（n-1）d 及a 3=5，a 10=-9得 解得数列{a n }的通项公式为a n =11-2n(2)由(1) 知S n =na 1+ d=10n-n 2 因为S n =-(n-5)2+25. 所以n=5时，S n 取得最大值。
【反思归纳】 公式法要熟记公式，灵活运用。
2、裂项相消：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项相互抵消，从而求得其和。
引例（2015.唐三模）{}n a {}n a nS 112599{a d a d +=+=-192{a d ==-(1)2n n -在等差数列{n a }中 a 3=5,a 4+a 8=22，则11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎭⎩的前20项和为（ ）4140、A4120B 、4342C 、4321D 、 【分析笔记】解析：法一：S n ＝13[(1－14)＋(14－17)＋…＋(13n －2－13n ＋1)]＝13·(1－13n ＋1)＝n3n ＋1. 答案：A法二：特殊值法取n=1 排除【反思归纳】使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；是否注意到由于数列 {n a } 中每一项 分拆成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上，正负项相消是此法的根源和目的。
高中数学同步教学课件 习题课 分组求和、倒序相加求和、并项求和
跟踪训练1 数列{an}满足a1＝1，an是－1与an＋1的等差中项. (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
由已知可得an＋1－1＝2an，即an＋1＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋ 1)，故数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列. 即有an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n， 所以an＝2n－1.
D.Sn＝1＋2n－1，n∈N＋
∵an＝1＋2n－1， 1－2n
∴Sn＝n＋ 1－2 ＝n＋2n－1，n∈N＋.
1234
2.在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，
则S15＋S22－S31的值为
√ A.13 B.－76 C.46
D.76
∵S15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29， S22＝(－4)×11＝－44， S31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61. ∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.已知数列{an}的通项公式为an＝n－2(n∈N＋)，设f(x)＝x＋log228＋－xx ，则 数列{f(an)}的各项之和为
√ A.36 B.33 C.30 D.27
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1234
3.已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是_－__1_,_0_. S10＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a9＋a10)＝0，S9＝S10－a10＝－1.
1234
4.若
F(x)＝4x4＋x 2，则
教学设计5：6.4 数列求和
6.4 数列求和[知识回顾]一、公式法1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1或q ≠1.2．一些常见数列的前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝ ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝ . 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法如果一个数列{a n }，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，等差数列的前n 项和即是用此法推导的．2．分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，等比数列的前n 项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5.数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．[考点探究]考点一分组转化法求和典题导入[例1] 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n .由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.以题试法1．已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．考点二错位相减法求和典题导入[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3. (1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .由题悟法用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n ”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．以题试法2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝3n ＋k . (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(4＋k )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .考点三裂项相消法求和典题导入[例3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .本例条件不变，若数列{b n }满足b n ＝1S n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .由题悟法利用裂项相消法求和应注意(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n}是等差数列，则1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1，1a n a n＋2＝12d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋2.以题试法3．在等比数列{a n}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立．若存在，求出正整数k的最小值；不存在，请说明理由．答案[知识回顾]一、公式法 2．(2)n 2 (3) n 2＋n [例1][自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln 3＝2×1－32n1－3＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1. 1．解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ， x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.[例2][自主解答] (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kc n －1(n ≥2)． 由a 2＝4，a 6＝8a 3 ，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kc n －1＝2n (n ≥2)， 于是a n ＝2n . (2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i ，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n . T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2. 2．解：(1)当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －3n －1－k ＝2·3n －1，得等比数列{a n }的公比q＝3，首项为2.∴a 1＝S 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －1. (2)由a n ＋12＝(4＋k )a nb n ，可得b n ＝n2·3n －1， 即b n ＝32·n 3n .∵T n ＝32⎝⎛⎭⎫13＋232＋333＋…＋n 3n ， ∴13T n ＝32⎝⎛⎭⎫132＋233＋334＋…＋n 3n ＋1， ∴23T n ＝32⎝⎛⎭⎫13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1， ∴T n ＝94⎝⎛⎭⎫12－12·3n －n 3n ＋1.[例3][自主解答] (1)∵S n ＝na n －n (n －1)，当n ≥2时， S n －1＝(n －1)·a n －1－(n －1)(n －2)，∴a n ＝S n －S n －1＝na n －n (n －1)－(n －1)a n －1＋(n －1)·(n －2)， 即a n －a n －1＝2.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列， 故a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知b n ＝2a n a n ＋1＝22n －12n ＋1＝12n －1－12n ＋1， 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.解：S n ＝na n －n (n －1)＝n (2n －1)－n (n －1)＝n 2. b n ＝1S n ＋n ＝1n 2＋n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， T n ＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.3．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， ∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2. ∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝nn ＋34. ∵1S n ＝4nn ＋3＝43⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋3， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3 ＝43⎝⎛⎭⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<229， ∴存在正整数k 的最小值为3.。
五年级下册数学教案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版
五年级下册数学教案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版教学内容本节课主要围绕倒序相加法进行教学，通过引导学生探索并理解倒序相加法的概念、原理及应用，使他们能够熟练地运用该方法解决实际问题。
教学目标1. 理解倒序相加法的概念及原理；2. 学会运用倒序相加法解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
教学难点1. 倒序相加法的原理理解；2. 如何引导学生运用倒序相加法解决实际问题。
教具学具准备1. 教学PPT；2. 课堂练习题；3. 小组讨论表格。
教学过程1. 导入：通过一个实际问题引入倒序相加法，激发学生的兴趣和求知欲。
2. 新课导入：讲解倒序相加法的概念及原理，通过示例让学生理解并掌握。
3. 练习：让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
4. 小组讨论：分组讨论如何运用倒序相加法解决实际问题，培养学生的团队合作精神。
5. 总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
板书设计1. 五年级下册数学教案-7.2 用倒序相加法求和｜苏教版2. 目录：教学内容、教学目标、教学难点、教具学具准备、教学过程、板书设计、作业设计、课后反思3. 正文：按照教学过程逐步展示板书内容。
作业设计1. 基础题：让学生运用倒序相加法解决一些简单的问题；2. 提高题：让学生运用倒序相加法解决一些较复杂的问题；3. 拓展题：让学生运用倒序相加法解决一些实际问题。
课后反思本节课通过讲解倒序相加法的概念、原理及应用，让学生掌握了倒序相加法这一数学工具，培养了他们的逻辑思维能力和团队合作精神。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答他们的疑问，确保他们能够熟练地运用倒序相加法解决实际问题。
同时，还要注意课后作业的布置，让学生在课后能够对所学知识进行巩固和拓展。
重点关注的细节是“教学难点”和“教学过程”的步骤。
教学难点倒序相加法的原理理解倒序相加法是一种数学技巧，它通过将一个数列的元素按照倒序重新排列，然后将原数列与倒序数列对应位置的元素相加，从而求得数列的和。