2013高考数学一轮复习 2.8 函数与方程精品教学案(教师版)新人教版

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高考数学一轮复习精品学案第6讲函数与方程

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第6讲函数与方程一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2013年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

高三数学一轮复习精品教案2：2.8函数与方程教学设计

第八节函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系续表3.二分法对于在区间『a，b』上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．(人教A 版教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2.5，3)『解析』由零点存在性定理知x 0∈(2，3)，故选C. 『答案』 C2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)『解析』显然f (x )＝e x ＋4x －3的图象连续不间断，又f (12)＝e －1＞0，f (14)＝4e －2＜0.∴由零点存在定理知，f (x )在(14，12)内存在零点．『答案』 C3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12『解析』由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0得x ＝0或x ＝a b ＝－12，故选C.『答案』 C4．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝(12)x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝x 12－(12)x 只有1个零点．『答案』 B5．(2013·德州调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．『解析』函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0，1)上递增．由已知条件f (0)f (1)＜0，即a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0. 『答案』 (－2，0)(1)(2012·天津高考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)(2013·湛江模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．『思路点拨』 (1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．『尝试解答』 (1)因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0，1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)设f (x )＝x 3－(12)x －2，则x 0是函数f (x )的零点．在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝(12)x－2的图象，如图所示． ∵f (1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f (2)＝8－(12)0＝7＞0∴f (1)f (2)＜0， ∴x 0∈(1，2)．『答案』 (1)B (2)(1，2),确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(1)函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点(2)(2013·汕头模拟)函数f (x )＝ln(x －2)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)『解析』 (1)令f (x )＝x －cos x ＝0，则x ＝cos x ，设函数y ＝x 和y ＝cos x ，在同一坐标系下做出它们在『0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内有且仅有一个零点．(2)由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ＞2}，∴排除A. ∵f (3)＝－23＜0，f (4)＝ln 2－12＞0，f (5)＝ln 3－25＞0，∴f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＞0，∴函数f (x )的零点在(3，4)之间，故选C.『答案』(1)B(2)C若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为()A．1.25B．1.375C．1.406 25 D．1.5『思路点拨』(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.『尝试解答』根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25.『答案』C,1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在『a，b』内连续不间断，②f (a )·f (b )＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．『解析』在(1，2)内取中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，∵f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，f (1)＜0，∴f (x )＝0的根在(32，2)内．『答案』 (32，2)(2013·临沂模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)． (1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．『思路点拨』解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f (x )与g (x )有两个交点，从而数形结合求解．『尝试解答』 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是『2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)．法二作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2013·淮南模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ， x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．『解析』由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x ＝－2a ，结合图形只需－2a ＞1⇒a ＜－12即可．『答案』 a ＜－12一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范1.函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a ，b 』上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．思想方法之五用函数与方程思想解决图象公共点问题(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0『解析』由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)， x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.『答案』 B易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答．防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．1．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间『0，4』上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈『0，4』，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为6.『答案』 C2．(2013·威海模拟)设方程log 4x －(14)x ＝0，log 14x －(14)x ＝0的根分别为x 1、x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2『解析』在同一坐标系内画出函数y ＝(14)x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14x 的图象，如图所示，则x 1＞1＞x 2＞0，由log 4x 1＝(14)x 1，log 14x 2＝(14)x 2得log 4x 1x 2＝(14)x 1－(14)x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选A. 『答案』 A。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程学案文-人教版高三全册数学学案

第八节函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．答案1．f(x)＝0 2.x轴零点3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝01．(必修①P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234 5f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.答案：B2．(必修①P88例1改编)函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是方程x12－⎝⎛⎭⎪⎫12x＝0的解的个数，即方程x12＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的解的个数，也就是函数y＝x 12与y＝⎝⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：B3．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．∴f(0)f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2<a<0.答案：(－2,0)知识点二二分法1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证__________，给定精确度ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)：①若____________，则x1就是函数的零点；②若____________，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若____________，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．答案1．f(a)f(b)<0 一分为二零点2．f(a)f(b)<0 ①f(x1)＝0 ②f(a)f(x1)<0③f(x1)f(b)<04．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：A5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060x解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56热点一零点所在区间的判断【例1】 (1)(2017·吉林长春监测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)C (2)B【总结反思】判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)(2)(2017·永州模拟)若x 0是函数f (x )＝2x－x －3的零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)的值为________．解析：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.(2)函数f (x )＝2x－x －3的零点即函数y ＝2x与y ＝x ＋3的交点的横坐标．如图，因为f (－3)·f (－2)＝18×(14－1)<0，f (2)·f (3)＝(－1)×2＝－2<0.所以x 0∈(－3，－2)或x 0∈(2,3)，所以[x 0]的值为－3或2.答案：(1)B (2)－3或2热点二函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)由f (x )＝0得cos x ＝log 8x ，设y ＝cos x ，y ＝log 8x ，作出函数y ＝cos x ，y ＝log 8x 的图象，由图象可知，函数f (x )的零点个数为3.【答案】 (1)2 (2)3 【总结反思】判断函数y ＝f (x )零点个数的常用方法(1)直接法．令f (x )＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数．(2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数).(2017·佳木斯一模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x >0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0. 则e x＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C. 答案：C热点三函数零点的应用考向1 二次函数的零点问题【例3】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解】 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤12或x ≥1}．(2)函数g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 2>0，1<－a4<2，a 2－24>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5>0，2a ＋11>0，－8<a <－4，a <－26或a >26，解得－5<a <－2 6.所以实数a 的取值范围是(－5，－26). 【总结反思】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2,1)．考向2 利用函数的零点求参数的取值范围【例4】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，log a x ＋1＋1，x ≥0，(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点．如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a－1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋4a －3x 0＋3a ，－1＝2x 0＋4a －3，整理可得4a2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.【答案】 C 【总结反思】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.(2017·南昌模拟)对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －1m ≤n，n 2－mn m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．解析：由2x －1≤x －1，得x ≤0，此时f (x )＝－(2x －1)2＋2(2x －1)·(x －1)－1＝－2x ，由2x －1>x －1，得x >0，此时f (x )＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，作出函数f (x )的图象如图所示，要使方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1<0,0<x 2<12<x 3<1，且x 2，x 3关于x ＝12对称，所以x 2＋x 3＝1，当－2x ＝14时，解得x ＝－18，∴－18<x 1<0，∴78<x 1＋x 2＋x 3<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫78，11．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0.3．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．。

2013年高考第一轮复习教案-08二次函数与二次方程

《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第8讲二次函数与二次方程一．课标要求1．掌握二次函数的概念、图象及性质；2．能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件.3．能求二次函数的区间最值．4．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．二．命题走向二次函数是一种常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。

从近几年的高考形势来看，对二次函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

预测2013年对本节的考察是：1．题型有一个选择题或一个解答题；2．题目形式多以指二次函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

三．要点精讲1、二次函数①定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫二次函数.②二次函数的有关性质1＞、开口方向：当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下b2＞、对称轴方程x＝－a23＞、定义域：自然定义域：R，指定定义域：D③图象④二次函数的解析式1＞、一般式：y＝ax2＋bx＋c2＞、顶点式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)是二次函数图象的顶点3＞、交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两实根2、二次方程①当f(x)＝ax2＋bx＋c中，f(x)＝0时，即得到二次方程ax2＋bx＋c＝0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.②根的判别式△＝b2－4ac△＞0时，方程有两个不相等的实数根；△＝0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根 ③ 根与系数的关系(韦达定理)x 1＋x 2＝－ab ，x 1x 2＝ac④ 二次方程根的分布根的位置<=>图象位置<=>ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0) 若有二根x 1＞1，x 2＜1 若有二根x 1，x 2∈(2，3) 则四．典例解析例1、选择填空题① f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有 f(2＋t)＝f(2－t)，那么( ) A.f⑵＜f⑴＜f⑷ B.f⑴＜f⑵＜f⑷ C.f⑵＜f⑷＜f⑴ D.f⑷＜f⑵＜f⑴解：由题意，f(x)的图象关于直线x ＝2对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知f⑷＞f⑴＞f⑵，选A② 已知y ＝log 2a (x 2－2x)在区间(－∞，0)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.a ＞1 B.－1＜a ＜1 C.a∈R 且a≠0 D.a ＜－1或a ＞1 解：由函数的单调性的定义知：x 在(－∞，0)上增大时，函数值y 随之增大，故有以下过程： x: －∞−−→−增大0 u ＝x 2－2x:＋∞−−→−减小0故必有0＜a 2＜1∴ －1＜a ＜1且a≠0.选B③ 已知函数y ＝log 21(x 2－6x ＋7)，则y( )A.有最大值没有最小值B.有最小值没有最大值C.有最大值也有最小值D.没有最大值也没有最小值解：∵ u＝x 2－6x ＋7∈[－2，＋∞) 而定义域要求u ＞0，即u ∈(0，＋∞) ∴ b＝log 0.5u∴ b∈(－∞，＋∞).选D例2、填空题①方程x 2－2|x|＝a(a∈R)有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______.解：令y 1＝x 2－2|x|，y 2＝a则y 1＝⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-)0x (x 2x )0x (x 2x 22，其函数图象如下：思考：a 为何(范围)②关于x 的方程x 2－2ax ＋9＝0的两个实数根分别为α、β，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值是_______________.解：方程有实数根，故△＝4a 2－4×9≥0 ∴ a≤－3或a≥3 又α＋β＝2a ，αβ＝9∴ y＝(α－1)2＋(β－1)2 ＝(α＋β)2－2(α＋β)－2αβ＋2 ＝4a 2－4a －16 ∵ a≤－3或a≥3 ∴ y≥8(a ＝3时取等号) ∴ y min ＝8例3、已知函数y ＝x 2－4ax ＋2a ＋30的图象与x 轴无交点，求关于x 的方程3a x+＝|a －1|＋1的根的范围.分析：由于图象与x 轴没有交点，所以△＜0，解得a 的取值范围又对于每一个a 值，原方程都是一元一次方程，但由于a 是变化的，可知，x 是a 的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题.解：∵ y＝x 2－4ax ＋2a ＋30的图象与x 轴无交点，所以△＝(－4a)2－4(2a ＋30)＜0 解得：－2.5＜a ＜3⑴当a∈(－2.5，1]时，方程化为x ＝(a ＋3)(2－a) ＝－a 2－a ＋6∈(425,49] ⑵当a∈(1，3)时，方程化为x ＝(a ＋3)a ＝a 2＋3a∈(4，18) 综上所述：x∈(49，18) 例4．设a ，b 为实常数，k 取任意实数时，函数y ＝(k2＋k ＋1)x2－2(a ＋k)2x ＋(k2＋3ak ＋b)的图象与x 轴都交于点A(1，0). ① 求a 、b 的值；② 若函数与x 轴的另一个交点为B ，当k 变化时，求|AB|的最大值. 分析：由A 在曲线上，得k 的多项式对k 恒成立，即可求的a ，b 的值.解：⑴由已知条件，点A(1，0)在函数图象上，故(k 2＋k ＋1)－2(a ＋k)2＋(k 2＋3ak ＋b)＝0整理得：(1－a)k ＋(b ＋1－2a 2)＝0∵ 对k∈R，上式恒成立 ∴ 1－a ＝0且b ＋1－2a 2＝0 从而a ＝1，b ＝1y ＝(k 2＋k ＋1)x 2－2(k ＋1)2x ＋(k 2＋3k ＋1) ⑵设B(α，0)，则|AB|＝|α－1|∵(k 2＋k ＋1)x 2-2(k ＋1)2x ＋(k 2＋3k ＋1)＝0的两个根为1、α，由韦达定理1•α＝1k k 1k 3k 22++++整理得：(1－α)k 2＋(3－α)k ＋(1－α)＝0α＝1时，得2k ＝0 ⇒ k ＝0 α≠1时，∵ k∈R，∴ △≥0 即(3－α)2－4(1－α)2≥0 得：－1≤α≤35且α≠1 综合得：－1≤α≤35∴ －2≤α－1≤32∴ |AB|＝|α－1|∈[0，2] 即|AB|的最大值为2. 例5、设实数a 、b 、c 满足a 2－bc －8a ＋7＝0 …………① b 2＋c 2＋bc －6a ＋6＝0 …………② 求a 的取值范围.分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a 的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a 来表示bc 及b ＋c ，从而用韦达定理构造出a 为变量的一元二次方程，由△≥0建立a 的不等式.解：由①得：bc ＝a 2－8a ＋7 …………③由①②得：(b ＋c)2＝a 2－2a ＋1即b ＋c ＝±(a－1) …………④由③④得b ，c 为方程x 2±(a－1)x ＋(a 2－8a ＋7)＝0的两个实数根，由于b ，c∈R，所以△≥0 即：[±(a－1)]2－4(a 2－8a ＋7)≥0即：a 2－10a ＋9≤0 得：1≤a≤9例6、设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，方程f(x)－x ＝0的两个根x 1、x 2满足 0＜x 1＜x 2＜a1. Ⅰ.当x∈(0，x 1)时，证明x ＜f(x)＜x 1；Ⅱ.设函数f(x)的图象关于直线x ＝x 0对称，证明:x 0＜2x 1. 分析：由于涉及方程根的问题，故需用韦达定理来分析和解决.证明:Ⅰ.令F(x)＝f(x)－x. 因为x 1、x 2是方程f(x)－x ＝0的根，得F(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) 当x∈(0，x 1)时，由于x 1＜x 2，x －x 1＜0，x －x 2＜0 得(x －x 1)(x －x 2)＞0，又a ＞0，得 F(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)＞0 即x ＜f(x). 而x 1－f(x)＝x 1－[x －F(x)]＝x 1－x ＋a(x －x 1)(x －x 2)＝(x 1－x)[1－a(x －x 2)]因为0＜x ＜x 1＜x 2＜a 1所以x 1－x ＞0， 1－a(x －x 2)＞1－a·a1＞0 得 x 1－f(x)＞0 即 f(x)＜x 1.Ⅱ.依题意知x 0＝－2ab . 因为x 1，x 2是方程f(x)－x ＝0的根，即x 1，x 2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的根，所以 x 1＋x 2＝－a1b - x 0＝－2a1ax ax 2a 1)x a(x 2a b 2121-+=-+= 因为ax 2＜1，所以x 0＜2x 2a ax 11= 例7、若关于x 的二次方程7x 2－(p ＋13)x ＋p 2－p －2＝0的两根α、β满足0＜α＜1＜β＜2，求实数p 的取值范围.解：设f(x)＝7x 2－(p ＋13)x ＋p 2－p －2 根据题意得：f(0)＞0 p 2－p －2＞0f⑴＜0 即 p 2－2p －8＜0f⑵＞0 p 2－3p ＞0 解得：p∈(－2，－1)∪(3，4)五．思维总结。

高三一轮复习教案-函数与方程

课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。

函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。

本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。

它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。

学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。

通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。

所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。

设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。

教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。

教学方法：讲练结合，师生互动。

教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。

过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。

情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。

难点：零点个数问题，含参数的零点问题。

教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。

2013届高考数学二轮复习精品教学案专题02-函数与导数(教师版)

【2013考纲解读】1。

了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数,并能简单应用.2。

理解函数的单调性及几何意义;学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性，提高观察、分析、推理、创新的能力.3。

了解函数奇偶性的含义；会判断函数的奇偶性并会应用;掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用.4。

掌握一次函数的图象和性质；掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系,理解“三个二次”的内在联系，讨论二次方程区间根的分布问题.7.了解幂函数的概念;结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象，了解它们的变化情况。

8.掌握解函数图象的两种基本方法：描点法、图象变换法；掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质。

9.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数;根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。

10.了解指数函数、对数函数及幂函数的境长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.11.了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义；能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数.12。

了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次）；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次);会用导数解决某些实际问题。

【知识络构建】【重点知识整合】一、函数、基本初等函数的图象与性质1．函数的性质(1）单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质,特别注意定义中的符号语言；(2）奇偶性:偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性;奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．特别注意定义域含0的奇函数f（0)＝0；（3）周期性：f（x＋T)＝f（x)（T≠0），则称f（x)为周期函数，T是它的一个周期．2．对称性与周期性的关系(1）若函数f（x）的图象有两条对称轴x＝a,x＝b(a≠b）,则函数f（x）是周期函数，2｜b－a｜是它的一个正周期，特别地若偶函数f（x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数,2|a｜是它的一个正周期；3．函数的图象（1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点;（2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质）指数函数y＝a x（a〉0,a≠1）的图象和性质，分0〈a<1，a>1两种情况；对数函数y＝log a x （a>0，a≠1）的图象和性质，分0〈a<1，a>1两种情况；幂函数y＝xα的图象和性质,分幂指数α〉0，α＝0，α<0三种情况．二、函数与方程、函数的应用1．函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x）的零点就是方程f（x)＝0的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f （x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．2．二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间[a，b］，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε；第二步：求区间［a，b］的中点c；第三步：计算f（c）：(1）若f(c）＝0,则c就是函数的零点；（2)若f（a）·f(c)〈0,则令b＝c(此时零点x0∈(a,c）)；（3）若f(c)·f(b)<0，则令a＝c（此时零点x0∈（c，b))；(4）判断是否达到精确度ε:即若｜a－b｜<ε,则得到零点近似值a(或b）；否则重复（2)～(4)．3．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1）阅读理解,审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；（2）数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；（3）解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；（4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．三、导数在研究函数性质中的应用及定积分1．导数的几何意义4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者,最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者．5．定积分与曲边形面积(1）曲边为y＝f(x)的曲边梯形的面积:在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f（x)，和直线x ＝a，x＝b(a≠b）,y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝错误!.当f（x)≥0时，S＝错误!f（x）d x；当f（x）〈0时，S＝－错误!f（x）d x。

高考数学一轮复习专题08 函数与方程教学案理-人教版高三全册数学教学案

专题08 函数与方程1.考查函数零点的个数和取值X围；2.利用函数零点求解参数的取值X围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力．1．函数的零点(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．(3)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0；第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)＝0，则c1就是函数的零点；(2)若f(a)f(c1)<0，则令b＝c1(此时零点x0∈(a，c1))；(3)若f(b)f(c1)<0，则令a＝c1(此时零点x0∈(c1，b))；第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．高频考点一函数零点个数的判断例1、(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)令f (x )＝2x|log 0，5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象(如图)．由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f (x )有2个零点．答案 (1)2 (2)B【方法规律】函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.【变式探究】f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点．答案 2高频考点二、函数零点所在区间的判断例2、(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)解析(1)∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值X围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．法二易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．答案(1)A (2)B【方法规律】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【变式探究】已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析 ∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－12>0. 故f (x )的零点x 0∈(2，3)．答案 C高频考点三、函数零点的应用例3、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值X 围．由函数的图象(如图)，必须有⎩⎪⎨⎪⎧f （6）<2，f （10）>2，a >1.即⎩⎪⎨⎪⎧log a 6<2，log a 10>2，a >1.解之得6<a <10.故a 的取值X 围是(6，10)．【方法规律】已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法：(1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数X 围； (2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．【变式探究】(1)(已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)(2)(2016·某某卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值X 围是________．解析 (1)当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13.因此当x ≤0时，f (x )＝e x＋a ＝0只有一个实根， ∴a ＝－e x(x ≤0)，则－1≤a <0.(2)在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 (1)D (2)(3，＋∞)高频考点四、二次函数的零点问题例4、已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，某某数a 的取值X 围．【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】若函数f(x)＝(m －2)x2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 答案 C解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，f －1·f 0<0，f 1·f 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m<121.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D2.【2016高考某某理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值X 围是______.【答案】13(,)22【解析】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322a <<．3.【2016高考某某理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值X 围是（）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34} 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知3401331,0134a a a a -≥⎧⇒≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数的去X 围是123[,]{}334，故选C.4.【2016年高考理数】设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值X 围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图，作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极小值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值(1)2f -=；只有当1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求的取值X 围是(,1)-∞-．【2015高考某某，理15】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a 的取值X 围是.【答案】),1()0,(+∞-∞ .【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值X 围是),1()0,(+∞-∞ .【2015高考某某，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4【解析】由题意得：求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点（2014·某某卷）已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e【答案】B【解析】依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m－12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．（2014·某某卷）已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R.若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值X 围为________．【答案】(0，1)∪(9，＋∞)（2014·某某卷）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3 B．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D．c >9 【答案】C【解析】由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3，∴6<c ≤9，故选C.（2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f(x)|≥ax，则a 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0] 【答案】D【解析】方法一：若x≤0，|f(x)|＝|－x 2＋2x|＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x<0时，不等式可变为a≥x－2，而x －2<－2，可得a≥－2；若x>0，|f(x)|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax，可得a≤ln （x ＋1）x 恒成立，令h(x)＝ln （x ＋1）x ，则h′(x)＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g(x)＝xx ＋1－ln(x ＋1)，则 g′(x)＝－x（x ＋1）2<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，可得h′(x)＝xx ＋1－ln （x ＋1）x2<0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，x→＋∞时，h(x)→0，所以h(x)>0，a≤0.综上可知，－2≤a≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0与直线y ＝ax 的图像，如下图，要使|f(x)|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x 2－2x ，x≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y′＝2x －2，所以y′|x ＝0＝－2，所以－2≤a≤0.（2013·某某卷）若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f(x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0且3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根分别为x 1，x 2，所以f(x)＝x 1或f(x)＝x 2，当x 1是极大值点时，f(x 1)＝x 1，x 2为极小值点，且x 2>x 1，如图(1)所示，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根；当x 1是极小值点时，f(x 1)＝x 1，x 2为极大值点，且x 2<x 1，如图(2)所示，可知方程f(x)＝x 1有两个实根，f(x)＝x 2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根；综合以上可知，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0共有3个不同实根．（2013·某某卷）函数y ＝f(x)的图像如图1－2所示，在区间[a ，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2＝…＝f （x n ）x n，则n 的取值X 围是( )图1－2A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3} 【答案】B【解析】问题等价于直线y ＝kx 与函数y ＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n 的取值X 围是{2，3，4}．（2013·某某卷）函数f(x)＝2ln x 的图像与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】法一：作出函数f(x)＝2ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B. 法二：也可以采用数值法：可知它们有2个交点，选B.（2013·某某卷）设函数f(x)＝xe 2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数．【解析】解：(1)f′(x)＝(1－2x)e －2x.由f′(x)＝0，解得x ＝12，当x<12时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是－∞，12，单调递减区间是12，＋∞，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －1＋c.(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c ，x∈(0，＋∞)．①当x∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2xe2xx＋2x －1.因为2x －1>0，e2xx>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x－c ，所以g′(x)＝e－2x －e2xx＋2x －1.因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x>1>x>0，所以－e2xx<－1.又2x －1<1，所以－e2xx ＋2x －1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减．综合①②可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e －2－c.当g(1)＝－e －2－c>0，即c<－e －2时，g(x)没有零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当g(1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g(x)只有一个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当g(1)＝－e －2－c<0，即c>－e －2时，综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.（2013·某某卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值X 围．【解析】解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1，0)，(0，＋∞)．(2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)f′(x 2)＝－1. 当x<0时，对函数f(x)求导，得f′(x)＝2x ＋2. 因为x 1<x 2<0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．所以，函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2. 当x 1<0时，函数f(x)的图像在点(x 1，f(x 1))处的切线方程为 y －(x 21＋2x 1＋a)＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f(x)的图像在点(x 2，f(x 2))处的切线方程为 y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2，①ln x 2－1＝－x 21＋a.② 由①及x 1<0<x 2，知－1<x 1<0.由①②得，a ＝x 21＋ln 12x 1＋2－1＝x 21－ln(2x 1＋2)－1.设h(x 1)＝x 21－ln(2x 1＋2)－1(－1<x 1<0)，则h′(x 1)＝2x 1－1x 1＋1<0.所以，h(x 1)(－1<x 1<0)是减函数．则h(x 1)>h(0)＝－ln 2－1，所以a>－ln 2－1.又当x 1∈(－1，0)且趋近于－1时，h(x 1)无限增大，所以a 的取值X 围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值X 围是(－ln 2－1，＋∞)．（2013·某某卷）函数f(x)＝2x|log 0.5x|－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B1．函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(－2，－1) D ．(－1，0) 解析由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点．答案 D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2，0 C.12D ．0 解析当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.答案 D3．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3.答案 C4．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38解析令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值X 围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．答案 D6．已知f (x )＝⎩⎨⎧e －x，x ≤0，x ，x >0，g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有一个零点时，b 的取值X 围是________．7．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，18．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值X 围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：(0,1)9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是连续曲线， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，某某数a 的取值X 围．解：(1)“对于任意的a ∈R，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题；依题意f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根，(2)依题意知，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f －1>0，f 0<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 11．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，某某数a 的取值X 围．解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值X 围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.。

高三数学一轮复习学案2.8函数与方程

2.8函数与方程考试要求1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.4.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用.基础回顾1.函数的零点(1)对于函数y ＝)(x f ，我们把使)(x f ＝0的实数x 叫做函数y ＝)(x f 的 .(2)方程)(x f ＝0有实数根⇔函数y ＝)(x f 的图象与x 轴有 ⇔函数y ＝)(x f 有 .2.函数零点的判断如果函数y ＝)(x f 在区间[a ,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y ＝)(x f 在区间(a ,b)内有，即存在c ∈(a ,b),使得，这个c 也就是方程)(x f ＝0的根.3.二分法及其步骤(1)对于在区间[a ,b]上连续不断且满足f (a )f (b)＜0的函数y ＝)(x f ，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间使区间的两个端点逐步逼近.进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)二分法的步骤（见课本必修①第99页）.4.常用的几类函数模型(1)一次函数模型；(2)反比例函数模型；(3)二次函数模型；(4)指数函数模型；(5)对数函数模型；(6)幂函数模型 .5.有关x n a a x x <<log 的研究在区间（0，+∞）上，尽管函数y ＝)0()1(log ),1(>=>=>n x y a x y a a n a x 和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一档次上.随着x 的增大，y ＝xa (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝n x (ｎ＞0)的增长速度，而y ＝x a log (a ＞1)的增长则会越来越慢，因此总会存在一个0x ，当x ＞0x 时，就有x n a a x x <<log 基础自测1.用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算f (0)＜0, f (0.5)＞0可得其中一个零点0x ∈ ，第二次应计算 .以上横线上应填的内容为（）A.(0,0.5) , f (0.25)B.(0,1) , f (0.25)C.(0.5,1) , f (0.75)D.(0,0.5) , f (0.125)2，函数y =lg x －x9的零点所在的大致区间是( ) A.(6,7) B.(7,8) C.(8,9) D.(9,10)3，关于方程01232=-++x x x 下列说法正确的是（）A.方程有两个不相等的负实根B.方程有两个不相等的正实根C.方程有一正实根，一零根D.方程有一负实根，一零根例题选讲例1.若方程012=--x ax 在（0,1）内恰有一解，求a 的取值范围.例2.若关于x 的方程0532=+-a x x 的两根一个大于1，另一个小于1，求a 的取值范围.。

高三数学一轮复习精品教案1：2.8函数与方程教学设计

2.8函数与方程1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与零点的关系3．二分法对于在区间『a ，b 』上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误为函数点． 2．由函数y ＝f (x )在闭区间『a ，b 』上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，如图所示．所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间『a ，b 』上有零点的充分不必要条件．『试一试』1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．『解析』∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.『答案』0，－122．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是________．(填序号) ①(－2，－1) ②(－1,0) ③(0,1) ④(1,2)『答案』②1．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a，b』上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．三个等价关系(三者相互转化)3．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间『a，b』，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．『练一练』(2014·南京一模)若方程lg|x|＝－|x|＋5在区间(k，k＋1)(k∈R)上有解，则满足所有条件的k 的值的和为________．『解析』利用数形结合思想，画出草图(如图)即可知方程在(－5，－4)，(4,5)这两个区间上有解，即此时k＝－5，k＝4，从而满足所有条件的k的值的和为－1.『答案』－11.函数f (x )＝x 2－3x －18在区间『1,8』上________(填“存在”或“不存在”)零点．『解析』法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0， f (8)＝82－3×8－18＝22>0， ∴f (1)·f (8)<0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』的图像是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』存在零点．法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， x ∈『1,8』，∴(x －6)(x ＋3)＝0. ∵x ＝6∈『1,8』，x ＝－3∉『1,8』， ∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈『1,8』存在零点．『答案』存在2．(2013·徐州期中)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________.『解析』记f (x )＝e x －x －2，则从表中数据可知f (1)<0，f (2)>0，所以k 的值为1. 『答案』13．(2014·朝阳模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．『解析』由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3. 『答案』(0,3)『备课札记』『类题通法』判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断．『典例』(1)(2014·镇江模拟)方程2x－x＝2的实根个数为________．(2)(2013·南通三模)在区间『－a，a』(a>0)上不间断的偶函数f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间『0，a』上是单调函数，则函数y＝f(x)在区间(－a，a)上零点的个数是________．『解析』(1)由2x－x＝2得2x－2＝x.设f1(x)＝2x－2，f2(x)＝x.在同一直角坐标系中画出两函数图像可观察得出有一个交点．即原方程只有1个实根．(2)由于f(x)满足f(0)·f(a)<0，且f(x)在区间『0，a』上是单调函数，故函数f(x)在(0，a)上有且仅有一个零点．又由于函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在(－a,0)上有且仅有一个零点，从而函数f(x)在区间(－a，a)上有2个零点．『答案』(1)1(2)2『备课札记』『类题通法』函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．『针对训练』(2013·镇江12月统考)方程x＋log2x＝0的根的个数为________．『解析』由x＋log2x＝0，得log2x＝－x，画出等号两侧在(0，＋∞)上的函数图像即可得出原方程有1个根．『答案』1『典例』若函数f(x)＝x ln x－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．『解析』令g(x)＝x ln x，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)<0，即ln x<－1，可解得0<x <1e ；令g ′(x )>0，即ln x >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e 时，函数g (x )单调递增，由此可知当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e .在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的简图如图所示，据图可得－1e <a <0.『答案』 ⎝⎛⎭⎫－1e ，0 『备课札记』『解析』函数f (x )＝ln x －x －a 的零点，即为关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程ln x －x －a ＝0，化为方程ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知，直线y 2＝x ＋a 与曲线y 1＝ln x 相切时有a ＝－1，所以关于x 的方程ln x －x －a ＝0有两个不同的实根，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．『答案』(－∞，－1) 『类题通法』已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．『针对训练』(2013·南京三模)已知直线y ＝mx (m ∈R )与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图像恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是____________．『解析』在直角坐标系中，作出函数f (x )的图像(如图)，欲使函数y ＝mx 与y ＝f (x )的图像恰有3个不同的公共点，只需直线y ＝mx 与f (x )的图像在第一象限内有两个公共点即可．于是联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋1，y ＝mx ，得x 2－2mx ＋2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.『答案』(2，＋∞)『课堂练通考点』1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________．『解析』当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 『答案』02．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是『－1,1』上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在『－1,1』内有________个不同的实数根．『解析』由f (x )在『－1,1』上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在『－1,1』上有唯一实数根．『答案』13．(2013·苏锡常镇二调)方程x lg(x ＋2)＝1有________个不同的实数根．『解析』方程变形为lg(x ＋2)＝1x ，根据函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的定义域为(－2，＋∞)的图像(如图)的交点个数知方程根的个数．『答案』24．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．『解析』由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)．『答案』(2,3)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．『解析』∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．。

高三数学一轮复习精品教案4：2.8 函数与方程教学设计

2.8 函数与方程考情分析考点新知① 函数与方程中函数的零点及二分法在高考中必将有所考查.② 以难度较低的填空题为主，考查函数的图象及根的存在性问题．① 了解二分法求方程近似解的方法，体会函数的零点与方程根之间的联系，形成用函数观点处理问题的能力.② 会利用函数的图象求方程的解的个数以及研究一元二次方程的根的分布.1. 若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．2. 已知函数f (x )＝2x －3x ，则函数f (x )的零点个数________．3.方程lgx＝2－x 在区间(n ，n ＋1)(n ∈Z )有解，则n 的值为________．4. 若关于x 的方程7x 2－(m ＋13)x －m －2＝0的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为________．5.若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1)＝－2 f (1.5) ＝ 0.625 f (1.25) ＝－0.984 f (1.375)＝－0.260f (1.4375)＝0.162f (1.40625)＝－0.054那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根为________(精确到0.1)．1. 函数零点的定义(1) 方程f (x )＝0的实数根又叫y ＝f (x )的零点．(2) 方程f (x )＝0有实根函数y ＝f (x )的图象与有交点对函数f (x )＝0有． 2. 函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数y ＝f (x )在区间上有零点，即存在x 0∈(a ，b )，使得，这个x 0也就是函数f (x )＝0的零点．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3. 与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点无交点零点个数4. 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间(a，b)，验证；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算；①若，则x1就是函数的零点；②若，则令b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1))；③若，则令a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步．题型1零点的求法及零点的个数例1(1) 求函数f(x)＝x3－2x2－x＋2的零点；(2) 已知函数f(x)＝ln(x＋1)－1x，试求函数的零点个数．备选变式（教师专享）(1) 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，解不等式bf(ax)>0；(2) 已知f(x)＝2x，g(x)＝3－x2，试判断函数y＝f(x)－g(x)的零点个数．题型2二次函数的零点问题例2(1) 已知α、β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的两个实根，且α<2<β，求m的取值范围；(2) 若方程x2＋ax＋2＝0的两根都小于－1，求a的取值范围．变式训练已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；(2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．题型3函数与方程的相互转换例3设函数f(x)＝|x|x＋2－ax2，a∈R.(1) 当a＝2时，求函数f(x)的零点；(2) 当a>0时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点；(3) 若函数f(x)有四个不同的零点，求a的取值范围．备选变式（教师专享）设a 是实数，讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )的实数解的个数．1. (2013·天津)函数f ()x ＝2x ||log 0.5x －1的零点个数是________．2. (2013·南通二模)函数f (x )＝(x －1)sinπx －1(－1＜x ＜3)的所有零点之和为________．3. 若{}x ＝x －[]x ([]x 表示不超过x 的最大整数)，则方程12 013－2 013x ＝{}x 的实数解的个数是________．4. (2013·常州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x≥2，（x －1）3，0＜x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．1. 函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是________．2. 若关于x 的方程|x|x －1＝kx 2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．3. 已知关于x 的方程x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有唯一解，则实数a 的值为________．4. 对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1) 当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2) 若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．1. 一元二次方程根的分布问题通常有两种解法：一是方程思想，利用根与系数的关系；二是函数思想，构造二次函数利用其图象分析，但要重视条件的严谨．2. 涉及函数零点的问题，通常有三种转化：一是用零点的定义转化为方程问题；二是利用零点存在性定理转化为函数问题；三是利用数形结合思想转化为函数图象问题．答案1.『解析』由题意可得，b ＝－2a 且a ≠0，由g (x )＝－2ax 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝－12.2.『答案』2『解析』(解法1)令f (x )＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f (x )的零点个数为2.(解法2)由f (0)>0，f (1)<0，f (3)<0，f (4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内．3.『答案』1『解析』令f (x )＝lg x ＋x －2，由f (1)＝－1<0，f (2)＝lg2>0，知f (x )＝0的根介于1和2之间，即n ＝1.4.『答案』(－4，－2)『解析』设f (x )＝7x 2－(m ＋13)x －m －2，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－4<m <－2.5.『答案』1.4『解析』f (1.40625)＝－0.054<0，f (1.4375)＝0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4.1. (2) x 轴零点2. f (a )·f (b )＜0， f (x 0)＝0，3.两个交点一个交点214.f (a )f (b )<0；f (x 1)；①f (x 1)＝0，②f (x 1)f (a )<0，③f (x 1)f (a )>0，题型1 零点的求法及零点的个数例1『答案』(1) ∵ f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x ＋1)(x －1)．令f (x )＝0，得x ＝±1，2，∴ 函数f (x )的零点是－1，1，2.(2) 令f (x )＝0，即ln (x ＋1)＝1x ，在同一坐标系中画出y ＝ln (x ＋1)和y ＝1x 的图象，可知两个图象有两个交点，所以f (x )有两个零点．备选变式（教师专享）『答案』(1)由题意，得f ()x ＝(x ＋2)(x －3)＝x 2－x －6，所以a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bf (ax )>0，即为f (－x )<0，即x 2＋x －6<0，解得－3<x <2，所以解集为(－3，2)．(2)在同一坐标系内作出函数f (x )＝2x 与g (x )＝3－x 2的图象，两图象有两个交点， ∴ 函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点．题型2 二次函数的零点问题例2『答案』(1) 设f (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m . ∵ α、β是方程f (x )＝0的两个根，且α<2<β， ∴ f (2)<0，即22＋2(2m －1)＋4－2m <0，得m <－3.(2) 设f (x )＝x 2＋ax ＋2, f (－1)＝1－a ＋2，Δ＝a 2－8.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，Δ≥0，－a 2<－1，∴ 22≤a <3.变式训练『答案』设二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0所对应的函数为f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1. (1) 要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则结合函数图象(如图)，有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.(2) 要使方程两根均在区间(0，1)内，则结合函数图象(如图)，有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，Δ≥0，0<－m<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m>－12，m≤1－2或m≥1＋2，－1<m<0，即－12<m ≤1－ 2.题型3 函数与方程的相互转换例3 设函数f (x )＝|x|x ＋2－ax 2，a ∈R .(1) 『答案』当x ≥0时，由f (x )＝0，得xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x －1)＝0，解得x ＝0或x ＝－2±62(舍负)；当x <0时，由f (x )＝0，得－xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x ＋1)＝0(x ≠－2)，解得x ＝－2±22.综上所述，函数f (x )的零点为0，x ＝－2＋62，x ＝－2＋22，x ＝－2－22.(2) 证明：当a >0且x >0时，由f (x )＝0，得xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax －1＝0. 记g (x )＝ax 2＋2ax －1，则函数g (x )的图象是开口向上的抛物线．又g (0)＝－1<0，所以函数g(x )在(0，＋∞)内有且仅有一个零点，即函数f (x )在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点． (3) 『答案』易知0是函数f (x )的零点．对于x >0，由(2)知，当a >0时，函数f (x )在区间(0，＋∞)内有且仅有一个零点；当a ≤0时，g (x )＝ax 2＋2ax －1<0恒成立，因此函数f (x )在区间(0，＋∞)内无零点．于是，要使函数f (x )有四个不同的零点，函数f (x )在区间(－∞，0)内就要有两个不同的零点．当x <0时，由f (x )＝0，得－xx ＋2－ax 2＝0，即ax 2＋2ax ＋1＝0(x ≠－2)．①因为a ＝0不符合题意，所以①式可化为x 2＋2x ＋1a ＝0(x ≠－2)，即x 2＋2x ＝－1a ＝0.作出函数h (x )＝x 2＋2x (x <0)的图象便知－1<－1a <0，得a >1，综上所述，a 的取值范围是(1，＋∞)．备选变式（教师专享）『答案』原方程等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，（x －1）（3－x ）＝a －x ，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，a ＝－x 2＋5x －3.在同一坐标系下作直线y ＝a 与抛物线y ＝－x 2＋5x －3(1<x <3)的图象，由图可知，当1<a ≤3或a ＝134时，原方程只有一个实数解；当3<a <134时，原方程有两个不同的实数解．1.『答案』2『解析』令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )、h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此，函数f (x )有2个零点．2.『答案』4『解析』令f (x )＝(x －1)sinπx －1＝0，则sinπx ＝1x －1，在同一坐标系中作出函数y ＝sinπx与y ＝1x －1的图象如图所示，易知此两函数的图象都关于点(1，0)中心对称，且它们有四个交点，即函数f (x )有四个零点，又对称的两交点横坐标之和为2，故四个零点之和为4.3.『答案』2 『解析』方程可化为12 013＋『x 』＝2 013x ，可以构造两个函数：y ＝12 013＋『x 』，y ＝2 013x ，由图可知，两函数图象有2个交点，故方程有两个根．4.『答案』⎝⎛⎭⎫0，12 『解析』在同一个直角坐标系中作出函数y ＝f (x )、y ＝kx 的图象，函数y ＝f (x )图象最高点坐标为A (2，1)，过点O 、A 的直线斜率为2，x ≥2时，f (x )＝2x 单调减且f (x )＞0，直线y ＝kx 过原点，所以斜率0＜k ＜2时，两个函数的图象恰有两个交点．1.『答案』1『解析』因为函数f (x )＝2x ＋x 3－2的导数为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2≥0，所以函数f (x )单调递增，f (0)＝1－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以根据根的存在定理可知在区间(0，1)内函数的零点个数为1个．2.『答案』k <－4『解析』显然，x ＝0是方程的一个实数根．当x ≠0时，方程可化为1k ＝|x |(x －1)，设f (x )＝1k，g (x )＝|x |(x －1)，题意即为f (x )与g (x )图象有三个不同的交点，由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1），x>0，－x （x －1），x<0，结合图象知，－14<1k <0，所以k <－4.3. 『答案』1『解析』设f (x )＝x 2＋2alog 2(x 2＋2)＋a 2－3，由f (－x )＝f (x )，知f (x )是偶函数．若方程f (x )＝0有唯一解，则f (0)＝0，代入得a ＝1或a ＝－3.令t ＝x 2，则f (x )＝g (t )＝t ＋2alog 2(t ＋2)＋a 2－3.当a ＝1时，g (t )＝t ＋2log 2(t ＋2)－2，由于g (t )≥g (0)＝0，当且仅当x ＝0时取等号，符合条件；当a ＝－3时，g (t )＝t －6log 2(t ＋2)＋6，由g (30)＝30－6×5＋6>0，g (14)＝14－6×4＋6<0，知f (x )至少有三个根，不符合．所以，符合条件的实数a 的值为1.4. 『答案』(1) 当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3，故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1，3.高三数学一轮复习教案(2) ∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0<a<1.11。

新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案

新课标人教版高三数学第一轮复习全套教学案引言本教学案旨在帮助高三学生进行数学第一轮复，以应对新课标人教版高考数学考试。

以下是教学案的详细内容。

目标1. 复并巩固高三数学的核心知识点。

2. 提供高质量的练题和解析，以帮助学生熟悉考试形式和题型，提高解题能力。

3. 培养学生的数学思维和分析能力，以便他们能够在考试中灵活应用知识。

教学内容教学内容主要包括以下部分：1. 数系与代数- 实数与复数- 集合与命题- 数列与数列极限- 等差数列与等比数列2. 函数与方程- 函数与方程基本概念- 一次函数与二次函数- 指数与对数- 三角函数与三角方程3. 解析几何与向量- 平面与空间几何- 二次曲线与常平面- 直线与平面的位置关系- 向量与向量运算4. 概率与统计- 随机事件与概率- 离散型随机变量与连续型随机变量- 统计与抽样调查- 相关与回归分析教学方法为了最有效地进行数学复，我们将采用以下教学方法：1. 系统性研究：按照教学内容的顺序进行研究，逐步巩固知识点。

2. 理论与实践相结合：注重理论知识的讲解，并提供大量的练题和解析，以帮助学生巩固理论知识并提高解题能力。

3. 互动教学：鼓励学生积极参与课堂讨论和提问，激发学生的研究兴趣和数学思维。

4. 小组合作研究：安排学生进行小组合作研究，提倡彼此讨论和合作解题，培养学生的团队合作精神和交流能力。

教学评估为了评估学生的研究效果和掌握程度，我们将采用以下评估方法：1. 阶段性测试：安排定期的阶段性测试，检验学生对各个知识点的理解和掌握情况。

2. 作业批改：及时批改学生的作业，给予针对性的指导和建议。

3. 课堂互动评估：评估学生在课堂上的积极参与程度和表现。

4. 模拟考试：进行模拟考试，让学生体验真实考试环境，以便他们熟悉考试形式和提高应试能力。

结语通过本教学案的实施，相信学生们在第一轮数学复习中将取得良好的成绩。

希望学生们能够认真学习、勤于练习，并与老师和同学们积极合作，共同进步。

高三数学一轮复习精品教案8：2.8 函数与方程教学设计

2.8 函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.从近两年的高考试题来看，函数的零点，方程根的问题是热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.预计今后高考仍有可能以函数的零点，方程根的存在性问题为主要考点，并结合考查相应函数的图象和性质.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) .2.函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4考点梳理4)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间『0，4』上的零点个数为() A．4 B．5 C．6 D．7x的零点，若0＜x0＜a，则()已知a是函数f(x)＝ln x－log12A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1. 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.类型一判断函数零点所在的区间判断下列函数在给定的区间内是否存在零点.(1)f (x )＝3x －5x ＋1，x ∈『－1，1』；(2)f (x )＝sin x －x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6. (2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞) 类型二零点个数的判断(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．41.判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间『a ，b 』上连续；(2)计算f (a )，f (b )的值并判断f (a )·f (b )的符号；(3)若f (a )·f (b )＜0，则有实数解.除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断.2.确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断.(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.(3)若函数f(x)在『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点.答案『考点梳理』1.(1)f (x )＝0 (2)有交点有零点2.f (a )·f (b )＜0 (a ，b ) (a ，b ) f (c )＝0『解析』∵f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0，因此，函数f (x )在区间(－1，0)内有零点．故选B.『解析』若f (x )＝0，则x ＝0或cos x 2＝0，x 2＝k π＋π2，k ∈Z ，又x ∈『0，4』，k ＝0，1，2，3，4，所以f (x )共有6个零点．故选C.『解析』因为f (x )＝ln x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以当0＜x 0＜a 时，有f (x 0)＜f (a )＝0，故选C.『解析』⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2（1－a ）＋a ＝－（1＋a ）－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－（1－a ）－2a ＝2（1＋a ）＋a . 可得a ＝－34.故填－34. 『解析』令函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.『解析』(1)∵f (－1)＝3－1＋5＋1＞0，f (1)＝3－5＋1＜0.∴f (－1)·f (1)＜0，∴f (x )在『－1，1』内有零点．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋π6＝π6－12＞0， f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6－π6＝12－π6＜0， f ⎝⎛⎭⎫－π6·f ⎝⎛⎭⎫π6<0，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π6内有零点．『评析』要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．『解析』∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B. 解法一：∵f (0)f (1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f (x )在区间(0，1)内有且只有1个零点，可知B 正确．解法二：设y 1＝2x ，y 2＝2－x 3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f (x )的零点个数．故选B.『评析』(1)连续函数在区间『a ，b 』上有f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点来求．『解析』函数f (x )的零点可转化为方程f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0的根，由此得到|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝⎛⎭⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B.。

高三数学大一轮复习 2.8函数与方程教案理新人教A版

§2.8函数与方程2014高考会这样考 1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力．复习备考要这样做 1.准确理解函数零点与方程的根，函数图象与x轴交点之间的关系，能根据零点存在性定理和二分法求方程近似解；2.会利用函数值域求解“a＝f(x)有解”型问题；3.利用数形结合思想解决有关函数零点的个数问题．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0) 无交点零点个数两个一个无(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f (c )；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.[难点正本疑点清源](1)函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根；(2)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是_______．答案－12，－13解析由⎩⎪⎨⎪⎧22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.2．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________．答案 3解析由题意知，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k ＝3.3． (2012·湖北)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈[0,4]，所以0≤x 2≤16. 因为5π<16<11π2，所以函数y ＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为6.4． (2011·课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为 ( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)答案 C解析 ∵f (x )＝e x＋4x －3，∴f ′(x )＝e x＋4>0. ∴f (x )在其定义域上是严格单调递增函数．∵f (－14)＝e －14－4<0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2<0，f (14)＝e 14－2<0，f (12)＝e 12－1>0，∴f (14)·f (12)<0.题型一函数零点的判断例1 判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]．思维启迪：第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解．解 (1)方法一 ∵f (1)＝12－3×1－18＝－20<0，f (8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f (1)·f (8)<0，故f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点．方法二令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，x ∈[1,8]． ∴(x －6)(x ＋3)＝0，∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]， ∴f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]存在零点． (2)方法一 ∵f (1)＝log 23－1>log 22－1＝0，f (3)＝log 25－3<log 28－3＝0，∴f (1)·f (3)<0，故f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]存在零点．方法二设y ＝log 2(x ＋2)，y ＝x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．探究提高求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析∵f′(x)＝2x ln 2＋3>0，∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝20＝1>0，f(1)＝2＋3＝5>0，f(2)＝22＋6＝10>0，∴f(－1)·f(0)<0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．题型二函数零点个数的判断例2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．思维启迪：函数零点的个数⇔方程解的个数⇔函数y＝f(x)与y＝log3|x|交点的个数．答案 4解析由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．探究提高对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；(2)利用函数图象交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．(2012·天津)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析因为f′(x)＝2x ln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．题型三二次函数的零点问题例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．思维启迪：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图(1)所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2m ＋1<0，f －1＝2>0，f 1＝4m ＋2<0，f2＝6m ＋5>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1>0，Δ≥0，0<－m <1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0.即－12<m ≤1－ 2.探究提高对二次函数的零点问题，可以采用根与系数的关系和判别式解决；比较复杂的题目，可利用二次函数的性质结合图象寻求条件．关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时：(1)有两不同正根； (2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)内有且只有一解．解设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a 2－a －2)＝4(a －2)(a ＋1)． (1)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝2a >0，x 1·x 2＝a ＋2>0，解得a >2.(2)由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a <3，f 1>0，f 3>0，解得2<a <115.(3)由已知条件f (2)<0，解得a >2. (4)由已知条件f (1)f (3)<0，解得115<a <3.检验：当f (3)＝0，即a ＝115时，方程的两解为x ＝75，x ＝3，当f (1)＝0，即a ＝3时，方程的两解为x ＝1，x ＝5，可知115≤a <3.当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，1<a <3⇒a ＝2.即a ＝2时f (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，方程的解x 1＝x 2＝2，∴a ＝2，综上有a ＝2或115≤a <3.题型四函数零点的应用例4 若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．思维启迪：方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解．解方法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根．令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＋1≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意．综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋1＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2. 探究提高对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决．(2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4) 解析根据绝对值的意义， y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >1或x <－1，－x －1－1≤x <1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点． 5.数形结合思想在函数零点问题中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．审题视角 (1)y ＝g (x )－m 有零点即y ＝g (x )与y ＝m 的图象有交点，所以可以结合图象求解．(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实根⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．规范解答解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，[3分]因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点．[6分] 方法二作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图．[3分]可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.[6分] (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图．[8分]∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.[10分]故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．[12分]温馨提醒 (1)求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．(2)本题的易错点是确定g (x )的最小值和f (x )的最大值时易错．要注意函数最值的求法．方法与技巧1．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．失误与防范1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不必要；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.(时间：60分钟) A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1．方程|x2－2x |＝a 2＋ 1 (a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵a >0，∴a 2＋1>1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点． ∴方程有两解．点评 y ＝|x 2－2x |的图象画不准确致误．2． (2011·福建)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝m 2－4>0，∴m >2或m <－2. 3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x >0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B.4．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b 答案 B解析由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0，且f (x )为单调递增函数．故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)． ∵g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，故h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a <c <b . 二、填空题(每小题5分，共15分)5．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 014x＋log 2 014x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________．答案 3解析函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 014x＋log 2 014x 在区间(0，12 014)内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R 上的零点的个数为3. 6． (2012·深圳模拟)已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．答案 x 1<x 2<x 3解析令x ＋2x ＝0，即2x ＝－x ，设y ＝2x，y ＝－x ；令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ，设y ＝ln x ，y ＝－x .在同一坐标系内画出y ＝2x，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0<x 2<1，令x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，∴x ＝1＋52，即x 3＝3＋52>1，所以x 1<x 2<x 3.7．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为____________．答案 1＋2或1解析即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <2，x ＝1.解得x ＝1＋2或x ＝1.∴g (x )的零点为x ＝1＋2或x ＝1.三、解答题(共25分)8． (12分)判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．解因为f (－1)＝－4＋1＋23＝－73<0，f (1)＝4＋1－23＝133>0，所以f (x )在区间[－1,1]上有零点．又f ′(x )＝4＋2x －2x 2＝92－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，当－1≤x ≤1时，0≤f ′(x )≤92，所以f (x )在[－1,1]上单调递增．所以f (x )在[－1,1]上有且只有一个零点．9． (13分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0.当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)，∴2x ＝1，x ＝0符合题意．当Δ>0，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根，即f (x )有两个零点或没有零点．∴这种情况不符合题意．综上可知，m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.B 组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·辽宁)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3. 又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos πx |. 同理可以得到在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0，⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．2． (2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点答案 B解析在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x>1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B. 3． (2012·福州质检)已知函数f (x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零答案 A 解析在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象，由图象知f (x 1)<0.二、填空题(每小题4分，共12分)4．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．答案 7解析设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n <0.001，即2n >100，由26＝64,27＝128 知n ＝7.5．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．答案 6解析因为f (－x ＋2)＝f (－x )，所以y ＝f (x )为周期函数，其周期为2.在同一直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )和y ＝log 7x 的图象如图，当x ＝7时，f (7)＝1，log 77＝1，故y ＝f (x )与y ＝log 7x 共有6个交点．6． (2012·海淀调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,1)解析画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x >0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0<m <1，即m ∈(0,1)．三、解答题(13分)7． (1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．解 (1)①函数f (x )有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.②设f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4. 由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－43m ＋4>0x 1＋1x 2＋1>0x 1＋1＋x 2＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>03m ＋4－2m ＋1>0－2m ＋2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m >4或m <－1，m >－5，m <1，∴－5<m <－1.故m 的取值范围为(－5，－1)．(2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，即|4x －x 2|＝－a .令g (x )＝|4x －x 2|， h (x )＝－a .作出g (x )、h (x )的图象．由图象可知，当0<－a <4，即－4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点．故a 的取值范围为(－4,0)．。

高考数学一轮复习 2.3 函数的性质精品教学案(教师版)新人教版学案

2013年高考数学一轮复习精品教学案2.3 函数的性质（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1. 理解函数的单调性及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质．3．会判断函数的单调性与奇偶性；掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用. 4．理解函数的周期性与对称性. 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.函数的单调性与奇偶性是历年来高考必考内容之一,选择填空题、解答题中都可能出现,解答题一般以中、高档题的形式考查,常常与三角函数、不等式等知识相联系，以考查函数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的性质求解,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.增函数和减函数定义：如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数.3．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数. （3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.（4）导数法:若当[,]x a b ∈时，'()0f x >，则()f x 在[,]a b 上递增；若当[,]x a b ∈时，'()0f x <，则()f x 在[,]a b 上递减.（5）利用函数图象判断函数单调性.（6）复合函数[()]y f g x =的单调性判断：如果()y f u =和()u g x =单调性相同，那么[()]y f g x =是增函数；如果()y f u =和()u g x =单调性相反，那么[()]y f g x =是减函数. 4．熟记以下几个结论:与()f x 的单调性相同；（2）()f x -与()f x 的单调性相反；（3）1()f x 与()f x 的单调性相反. 5.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数.6.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0；如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是非奇非偶函数;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是f(x)=0.7.奇偶函数的性质:(1)奇偶函数定义域关于原点对称.(2)奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称.(3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. 8.利用定义判断函数奇偶性的步骤：(1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)下结论.9.周期函数的定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有()()f x T f x +=，则称()f x 为周期函数，其中T 称为()f x 的周期.若T 中存在一个最小的正数,则称它为()f x 的最小正周期. 【例题精析】考点一函数的单调性例1. （2012年高考辽宁卷文科8）函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（）（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）1. (2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________. 【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>,所以定义域为1(,)2-+∞,由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞.考点二函数的奇偶性例2. (2012年高考广东卷文科4) 下列函数为偶函数的是( ) A .y=sinx B. y=3x C. y=xe D. y=ln 21x +2. (2012年高考天津卷文科6)下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) A.y=cos2x ，x ∈R B.y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0C.y=2x x e e y --=，x ∈R D.y=3x +1，x ∈R考点三函数的周期性与对称性例3.（2009年高考山东卷文科第12题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<, (80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、对称性，利用函数性质比较函数值的大小. 【变式训练】3. 如果函数f(x)=x 2+bx +c 对于任意实数t ，都有f (2－t )=f (2+t )，那么 ( )A ．f (2)＜f (1)＜f (4)B ．f (1)＜f (2)＜f (4)C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)【易错专区】问题：求单调区间时,忽视定义域例. 函数()ln f x x x =的单调递减区间为 .1.(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科)下列函数中，既是偶函数，且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是（）A ． 21x y = B ．x y cos = C ． x y ln = D ．xy 2=2．（辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A ．1y x=-B ．13log y x =-C ．2xy =D ．3y x x =+【答案】D【解析】由奇函数,排除B 、C,而1y x=-在定义域内不是单调函数,故选D. 3. (山东省实验中学2012年3月高三第四次诊断)已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--，则(2012)f =( )A.2B.-2C.4D.04. （2009年高考广东卷A 文科第8题）函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x xxf x x e x ex e'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D.5.(北京市东城区2012年1月高三考试）对于函数()lg 21f x x =-+，有如下三个命题： ①(2)f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数；③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数．其中正确命题的序号是．（将你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②6．（2009年高考江苏卷第3题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .【答案】(1,11)-【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.亦可填写闭区间或半开半闭区间. 【考题回放】1.(2012年高考陕西卷文科2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） A 1y x =+ B 2y x =- C 1y x=D ||y x x = 2．（2010年高考山东卷文科5）设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（）（A ）-3 （B ）-1 （C ） 1 (D)33.(2011年高考安徽卷文科11)设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，()f x =22x x -，则(1)f = .【答案】－3【解析】2(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.4.(2012年高考重庆卷文科12)函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数，则实数a = .5. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f （x ）是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ＋1，则3f 2（）=_______________。

高考数学一轮复习第三章函数、导数及其应用第八节函数与方程教案(含解析)-高三全册数学教案

第八节函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．(2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系1．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致范围是( ) A ．(1,2) B ．(2,3)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B. 2．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x ＋3x 在R 上是增函数，∵f (－1)＝1e－3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (－1)·f (0)＜0，∴函数f (x )有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.3．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f (x )按照下述方法定义：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ；当x ＞2时，f (x )＝12(x －2)2，则方程f (x )＝12的所有实数根之和是( ) A ．2B ．3C ．5D ．8解析：选C 画出函数f (x )的图象，如图所示：结合图象x ＜2时，两根之和是2，x ＞2时，由12(x －2)2＝12，解得x ＝3，故方程f (x )＝12的所有实数根之和是5，故选C. 2．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f (a )·f (b )＜0；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点； ④若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1．已知实数a ＞1,0＜b ＜1，则函数f (x )＝a x＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B ∵a ＞1,0＜b ＜1，f (x )＝a x ＋x －b ，∴f (－1)＝1a－1－b ＜0，f (0)＝1－b ＞0，由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1,0)上存在零点．2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]的图象是连续的，故f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0，∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f (x )的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y ＝f (x )必须在区间[a ，b ]上是连续的，当f (a )·f (b )＜0时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f (x )＝g (x )－h (x )，作出y ＝g (x )和y ＝h (x )的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·温州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C 如图，作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2. 综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )＋x－4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当x ＜0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x＝－2或x ＝0(舍去)，所以当x ＜0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1＜0，f (2)＝e 2－4＞0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点，故选C.考点三函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·杭州七校联考)若函数f (x )＝m －x 2＋2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：令f (x )＝m －x 2＋2ln x ＝0，则m ＝x 2－2ln x ．令g (x )＝x 2－2ln x ，则g ′(x )＝2x －2x ＝2x －1x ＋1x ，∴g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4＋1e 4，g (e)＝e 2－2，4＋1e 4＜5＜e 2－2，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＜g (e)，数形结合知，若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，e 上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤1，4＋1e 4. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤1，4＋1e 4 [由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解1．(2018·浙江名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x ，x ＞0，－x 2＋3，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1,3)B ．(1,3]C ．[2,3)D ．[1，＋∞)解析：选A 函数g (x )＝f (x )－k (x ＋1)在(－∞，1]上恰有两个不同的零点，等价于直线y ＝k (x ＋1)与函数y ＝f (x )的图象在(－∞，1]上有两个不同的交点．作出f (x )的大致图象如图所示，因为直线y ＝k (x ＋1)过定点(－1,0)，定点(－1,0)与点(1,2)和(0,3)连线的斜率分别为1和3，结合f (x )的图象可知k 的取值范围是[1,3)．2．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2x －122－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：选B 函数y ＝log 12x 在定义域上是减函数，y ＝x 2－12在(－1,1)上不是单调函数，y ＝－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y ＝2x －1，当x ＝0∈(－1,1)时，y ＝0且y ＝2x－1在R 上单调递增．故选B.2．(2018·豫南十校联考)函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 解析：选A 因为f (0)＝－1＜0，f (1)＝2＞0，则f (0)·f (1)＝－2＜0，且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．3．(2018·宁波期末)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x ＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，即0是函数f (x )的一个零点，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3为增函数．因为f (1)＝e1＋1－3＝e －2＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋14－3＝e 14－114＜0，所以当x ＞0时，f (x )有一个零点．根据对称性知，当x ＜0时，函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点的个数为3.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，1x ，x ＜0，则函数f (g (x ))的所有零点之和是________．解析：由f (x )＝0，得x ＝2或x ＝－2，由g (x )＝2，得x ＝1＋3，由g (x )＝－2，得x ＝－12，所以函数f (g (x ))的所有零点之和是－12＋1＋3＝12＋ 3.答案：12＋35．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2，则函数f (x )为开口向上的抛物线，且f (0)＝k 2≥0，∴关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，即函数f (x )的零点位于[0,1)，(1，＋∞)上．故只需f (1)＜0即可，即1＋k －3＋k 2＜0，解得－2＜k ＜1.答案：(－2,1)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·宁波高考模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的零点之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，∵f (f (x ))＝0，∴f (x )＝0或f (x )＝1，由以上过程可知f (x )＝0的解为0,1，令f (x )＝1，得x ＝－1或x ＝2，∴f (f (x ))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2.故选C.2．(2019·绍兴模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 法一：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0＜x＜12时，f ′(x )＞0，当x ＞12时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 10＝－4－2e 10＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝5－ln 2＞0，f (e 2)＝8－2e 2＜0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e10，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，e 2上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2.法二：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x (x ＞0)，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2.3．(2017·金华期中)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝(x －2)(x －3)＋0.02，则关于y ＝f (x )在R 上零点的说法正确的是( )A ．有4个零点其中只有一个零点在(－3，－2)内B ．有4个零点，其中两个零点在(－3，－2)内，两个在(2,3)内C ．有5个零点都不在(0,2)内D ．有5个零点，正零点有一个在(0,2)内，一个在(3，＋∞)内解析：选C 根据对称性可以分三种情况研究：①x ＞0的情况，f (x )是把抛物线y ＝(x －2)(x －3)(与x 轴交点为2,3)向上平移了0.02，则与x 轴交点变到(2,3)之间了，所以在(2,3)之间有两个零点．②当x ＜0时，f (x )＝－(x ＋2)(x ＋3)－0.02，根据对称性(－3，－2)之间也有两个零点．③f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0(奇函数特性)，所以有五个零点，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，eB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，e C.⎝⎛⎦⎥⎥⎤12，e e D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，e e 解析：选D 若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f (x )的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方．∴k ×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k＝ln m ＋12m ＝1m ，∴m ＝ e.此时，k ＝1m ＝ee，f (x )的图象和直线y＝kx －12有3个交点，不满足条件，故所求k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，e e . 5．(2018·湖南考前演练)设x 0是函数f (x )＝2x－|log 2x |－1的一个零点，若a ＞x 0，则f (a )满足( )A ．f (a )＞0B ．f (a )＜0C ．f (a )≥0D ．f (a )≤0解析：选A 当x ＞1时，f (x )＝2x－log 2x －1，易证2x＞x ＋1＞x .又函数y ＝2x的图象与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以2x＞x ＋1＞x ＞log 2x ，从而f (x )＞0.故若a ＞1，有f (a )＞0；若0＜a ≤1，因为当0＜x ≤1时，f (x )＝2x＋log 2x －1，显然f (x )单调递增，又f (1)＝1＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2＜0，所以x 0是f (x )唯一的零点，且0＜x 0＜1，所以f (a )＞0，故选A.6．(2018·余杭地区部分学校测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋2，－2＜x ＜0，2|x －1|－1，x ≥0，若方程f (x )＝a 有三个不等的实数根，则a 的取值范围为________；不等式f (f (x ))≥1的解集为____________．解析：作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，方程f (x )＝a 有三个不等的实数根，即直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合图象知a ∈(0,1)．设f (x )＝t ，则不等式f (f (x ))≥1可转化为f (t )≥1，故得t ＝0或t ≥2，由f (x )＝0得x ＝±1，由f (x )≥2得x ≥log 23＋1，所以f (f (x ))≥1的解集为{－1,1}∪[log 23＋1，＋∞)．答案：(0,1) {－1,1}∪[log 23＋1，＋∞) 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)8．(2019·台州三校适考)已知f (x )＝x ＋1x－2，若关于x 的方程f (|2x－1|)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2|2x－1|－3＝0有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围为________．解析：令t ＝|2x－1|(x ≠0)，则方程f (|2x－1|)－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2|2x－1|－3＝0可化为方程f (t )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －3＝0，作出函数y ＝|2x－1|(x ≠0)的大致图象如图所示，结合图象分析可知，关于t 的方程f (t )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －3＝0在(0,1)上有两个不同的实数解．f (t )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －3＝0可化为t 2＋(3k －2)t ＋1－2k ＝0，记g (x )＝x 2＋(3k －2)x ＋1－2k ，则g (x )在(0,1)上有两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝3k －22－41－2k ＝9k 2－4k ＞0，0＜－3k －22＜1，g 0＝1－2k ＞0，g1＝1＋3k －2＋1－2k ＝k ＞0，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧k ＜0或k ＞49，0＜k ＜23，k ＜12，k ＞0，所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫49，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫49，129．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是连续曲线，∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.10．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2， (1)若f (x )≤0的解集A ⊆{x |0≤x ≤3}，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )＝f (x )＋|x 2－1|在区间(0,3)内有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)＝4(a －2)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜a ＜3，f 0≥0，f 3≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2，0＜a ＜3，a ＋2≥0，9－6a ＋a ＋2≥0⇒2≤a ≤115.综上得－1＜a ≤115.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，115.(2)g (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＋|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2ax ＋a ＋1，|x |≥1，－2ax ＋a ＋3，|x |＜1.若a ＝0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，|x |≥1，3，|x |＜1无零点；若a ≠0时，由于h (x )＝－2ax ＋a ＋3在(0,1)单调，所以在(0,1)内h (x )至多只有一个零点．记φ(x )＝2x 2－2ax ＋a ＋1. ①若0＜x 1＜1,1≤x 2＜3，则⎩⎪⎨⎪⎧h0·h 1＜0，φ1·φ3≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3－a ＋3＜0，3－a19－5a ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞3或a ＜－3，3≤a ≤195⇒3＜a ≤195.经检验a ＝195时，φ(x )的零点为45，3∉[1,3)，所以a ≠195.所以3＜a ＜195.②若1≤x 1＜x 2＜3，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－8a ＋1＞0，1＜a2＜3，φ1≥0，φ3＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1－3或a ＞1＋3，2＜a ＜6，a ≤3，a ＜195⇒1＋3＜a ≤3.综合①②得，实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3，195.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ＜1，1x ＋1－1，－1＜x ＜0，g (x )＝f (x )－4mx －m ，其中m ≠0.若函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．{－1}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞C ．{－1}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞解析：选C 作出函数y ＝f (x )的大致图象，如图所示．函数g (x )的零点个数⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝4mx ＋m 的交点个数．直线y ＝4mx ＋m过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，当直线y ＝4mx ＋m 过点(1,1)时，m ＝15；当直线y ＝4mx ＋m 与曲线y ＝1x ＋1－1(－1＜x ＜0)相切时，设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0＋1－1，由y ′＝－1x ＋12得切线的斜率为－1x 0＋12，则－1x 0＋12＝1x 0＋1－1－0x 0＋14，解得x 0＝－12，所以4m ＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＝－4，得m ＝－1.结合图象可知当m ≥15或m ＝－1时，函数g (x )在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．2．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数．解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x－4ln x＝x －3x－4ln x －2(x ＞0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝x－1x－3x2.令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x (0,1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值又∵g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上仅有1个零点．。