微积分模拟考试试卷
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x2－x)dx B ．S ＝⎠⎛01(x －x2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy [答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x2)dx.2．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02xdx ，b ＝⎠⎛02exdx ，c ＝⎠⎛02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<c<bB ．a<b<c)C ．c<b<aD ．c<a<b [答案] D[解读] a ＝⎠⎛02xdx ＝12x2|02＝2，b ＝⎠⎛02exdx ＝ex|02＝e2－1>2，c ＝⎠⎛02sinxdx ＝－cosx|02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a<b.3．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x2，y ＝x3围成的封闭图形面积为( )[答案] A[解读] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x2－x3)dx ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x3－14x401＝112.[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：—(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P 的坐标是( )[答案] A[解读] 设P(t ，t2)(0≤t≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S1＝⎠⎛0t (tx －x2)dx ＝t36；S2＝⎠⎛t 2(x2－tx)dx ＝83－2t ＋t36，若S1＝S2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169.4．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x3所围成的图形的面积为( ) A ．4 D ．6 [答案] A[解读] S ＝⎠⎛02x3dx ＝⎪⎪x4402＝4.5．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx 的值为( )`A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos1 [答案] B[解读] ⎠⎛1－1(sinx ＋1)dx ＝(－cosx ＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.6．曲线y ＝cosx(0≤x≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π D ．π [答案] A [解读] 如右图， S ＝∫02π(1－cosx)dx ~＝(x －sinx)|02π＝2π.[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为⎝⎛⎭⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 7．函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值[解读] F′(x)＝x(x －4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， ∵F(－1)＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253.&∴最大值为0，最小值为－323.[点评] 一般地，F(x)＝⎠⎛0x φ(t)dt 的导数F′(x)＝φ(x)．8．已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝2n2＋n ，函数f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ，若f(x)<a3，则x 的取值范围是( )B ．(0，e21)C ．(e －11，e)D ．(0，e11) [答案] D[解读] f(x)＝⎠⎛1x 1t dt ＝lnt|1x ＝lnx ，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.9．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sinx(0≤x≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( ))[答案] A[解读] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsinxdx ＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝SS 矩形OABC ＝22π＝1π.10．(2010·吉林质检)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x <02cosx 0≤x≤π2的图象与x 轴所围成的图形面积S为( )B ．1C ．4[解读] 面积S ＝∫π2－2f(x)dx ＝⎠⎛0－2(x ＋2)dx ＋∫π202cosxdx ＝2＋2＝4.11．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x －[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－x3，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g(x)dx 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76 [答案] A~[解读] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x ，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛m n g(x)dx ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3dx ＝⎪⎪－x2614＝－52.11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )[答案] A[解读] 方程x2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c ，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b2db 1×1＝13.12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y ＝x2(x≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )[答案] C（[解读] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x2dx＝13x3|01＝13，故所求概率p ＝13.2．如图，阴影部分面积等于( )A ．23B ．2－3[答案] C[解读] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝323. 4－x2dx ＝( )《A ．4πB ．2πC ．π [答案] C[解读] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A．在t1时刻，甲车在乙车前面|B．在t1时刻，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[答案]A[解读]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )－1 [答案] D [解读]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区】6． (sinx －cosx)dx 的值是( )A ．0 C ．2 D ．－2 [答案] D[解读] (sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx) ＝－2.7．(2010·惠州模拟)⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3[解读] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x≤13－x 1<x≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x|)dx ＝⎠⎛01(1＋x)dx ＋⎠⎛12(3－x)dx＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋32＝3.8．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________. —[答案] －1或13[解读] ∵⎠⎛1－1f(x)dx ＝⎠⎛1－1(3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)|1－1＝4，⎠⎛1－1f(x)dx ＝2f(a)，∴6a2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.9．已知a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解读] 由已知得a ＝∫π20(sinx ＋cosx)dx ＝(－cosx ＋sinx)|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是Tr ＋1＝(－1)r×Cr 6×26－r×x3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a<b ， 则直线AB 的方程为y －a2＝b2－a2b －a(x －a)， -即y ＝(a ＋b)x －ab.则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b2x2－abx －x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝⎠⎛034xdx ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12—C ．1或－12D ．－1或－12 [答案] C[解读] 因为S3＝⎠⎛034xdx ＝2x2|30＝18，所以6q ＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则⎠⎛1e lnxdx ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1 [答案] A[解读] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是⎠⎛1e lnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解读] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y22、x ＝4－y ，,∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f(x)＝ex －1，直线l1：x ＝1，l2：y ＝et －1(t 为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解读] 由题意得S1＋S2＝⎠⎛0t (et －1－ex ＋1)dx ＋⎠⎛t 1(ex －1－et ＋1)dx ＝⎠⎛0t (et －ex)dx ＋⎠⎛t1(ex －et)dx ＝(xet －ex)|t 0＋(ex －xet)|1t ＝(2t －3)et ＋e ＋1，令g(t)＝(2t －3)et ＋e ＋1(0≤t≤1)，则g′(t)＝2et ＋(2t －3)et ＝(2t －1)et ，令g′(t)＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g′(t)<0，g(t)是减函数，当t ∈(12，1]时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g(12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x|dx 。
微积分的(上、下)模拟的试卷和答案
北京语言大学网络教育学院《微积分（上、下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、设函数()f x 的定义域是[]0,4，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列nn n)211(lim +∞→的极限为（ ）。
[A] e 4 [B] e 2 [C] e[D] e 33、函数y = ）。
[A] ()21,,y x x =+∈-∞+∞[B] [)21,0,y x x =+∈+∞[C] (]21,,0y x x =+∈-∞[D] 不存在4、1arctany x=， 则dy =（ ）。
[A] (1,1)-[B] (1,0)-[C](0,1)[D] [1,25][A] 21dx x +[B] 21dxx -+[C] 221x dx x+ [D]()221dxx x +5、xx xx sin cos 1lim0⋅-→=（ ）6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。
[B] 1x；[C] 不存在7、函数4334+-=x x y 的二阶导数是（ ）。
[A] 2x [B] 21218x x - [C] 3249x x -[D] x 128、21lim 1xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）9、已知()03f x '=-，则()()0003lim x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆（ ）10、函数1()()2x xf x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠[C](){},0x y x y +>[D](){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞12、幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域是（ ）[A] -1 [B] 0[C] 1/2[D] 不存在[A] 2e -[B] e[C]2e [D] 1[A] 12 [B] -12[C]3[D] -3[A] 1[B] -1[C]0[D] 不存在[A] []1,1- [B] [)1,1- [C] (]1,1-[D] ()1,1-13、设)(x f 为],[b a 上的连续函数，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(的值（ ）14、若f x ax nn n ()==∞∑0，则a n =（ ）15、设(,)f x y 为连续函数，且(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =和1x =围成的区域。
22数二真题试卷
22数二真题试卷2022年数学二真题试卷是针对中国高等教育自学考试（自考）中数学科目的一份模拟试题。
这份试卷通常由教育部门或相关机构根据考试大纲和历年考试趋势精心设计，旨在帮助考生熟悉考试题型、难度和考试流程。
以下是一份模拟的2022年数学二真题试卷的大致内容，供考生参考。
一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 1C. 3D. 42. 以下哪个选项是微分方程dy/dx=x^2-y^2的解：A. y = x^2 + CB. y = x^2 - CC. y = Cx^2D. y = C/x^23. 已知函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列哪个选项是正确的：A. f(a+h) = f(a) + 2hB. lim(h→0) [f(a+h) - f(a)]/h = 2C. f(a) = 2aD. f(a) = 2...二、填空题（每题3分，共15分）1. 若f(x)=ln(x+1)，则f'(x)=______。
2. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(2,1)处的切线斜率是______。
3. 微分方程dy/dx + 2y = 6x满足初始条件y(0)=1的特解是______。
...三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫[0,1] (3x^2-2x+1) dx。
2. 求解微分方程dy/dx - 3y = 6x^2，y(0) = 2。
3. 证明函数f(x)=e^x在R上是单调递增的。
...四、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，讨论其在区间(-∞,+∞)上的单调性，并求出其极值。
2. 考虑函数y=x^2-4x+3，求其在区间[0,4]上的最值，并说明取得最值时x的值。
...五、应用题（每题15分，共15分）1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=50x+0.05x^2，其中x是产品数量。
2019微积分期中模拟考试题(A卷)
2019年秋季学期基础学部大一学生模拟考试(A卷) 课程:微积分考试时间: 2019年11月日学号: 姓名:…………………………………………………………………………………………………………………选择题（每题1分，总分20分）1. 设f（x）在（a,b）内连续，且x0∈（a,b），则在点x0处（）A、f（x）的极限存在，且可导B、f（x）的极限存在，但不一定可导C、f（x）的极限不存在D、f（x）的极限不一定存在2. 当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（）A、x1000B、1−cos xC、1−ln x4D、arc tan x3.limsinx√1−cosx3arctan(4√1−cosx3)=( )A、-4B、−12 C、2 D、144. 下列函数中在(-1,1)上满足罗尔定理的函数是（）A、y=|x|B、y=√x23 C、y=x3+1 D、y=x2+15. 若f(−x)=f(x) (-∞<x<+∞)，在(-∞，0)内有f′(x)>0 , f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有（）A、f′(x)>0，f′′(x)<0B、f′(x)>0，f′′(x)>0C、f′(x)<0，f′′(x)<0D、f′(x)<0，f′′(x)>06. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为（）A、3B、52 C、2 D、327. 设y=f(cos x)∙cos(f(x))，且f可导，则y′=（）A、f´(cos x)∙sin x∙sin(f(x))f′(x)B、f´(cos x)∙cos(f(x))+f(cos x)∙[−sin(f(x))]C、−f′(cos x)∙sin x∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)D、f´(cos x)∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f′(x)8.设函数y={√1−asin2x−bx2,x≠02,x=0在点x=0处连续，则a+b =（）A、-3B、3C、2D、-29. 设函数f(x)=|x3−1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的（）A、充分必要条件B、必要但不充分条件C、充分但不必要条件D、既不充分又不必要条件10. f(x)与g(x)在R 有定义，f(x)连续且大于0，g(x)有间断点，则f(g(x))、g(f(x))、g(x)f(x)、f(x)g(x)中，必有间断点的函数个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、311. 函数f (x )=1x满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ ） A 、[-2,2] B 、[1,2] C 、[-2,0] D 、[0,1]12. 设函数f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n，则f(x)在(−∞,+∞)内（ ）A 、处处可导.B 、恰有一个不可导点.C 、恰有两个不可导点.D 、至少有三个不可导点. 13. 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x)>0，f ″(x)>0，Δx 为自变量x 在x 0处的增量，Δy 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分.若Δx >0，则（ ）A 、0<dy <ΔyB 、0<Δy <dyC 、Δy <dy <0D 、dy <Δy <0 14. 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是（ ） A 、若lim x→0f(x)x存在，则f (0)=0 B 、若limx→0f(x)+f(−x)x 存在，则f (0)=0C 、若limx→0f(x)x 存在，则f ′(0)存在 D 、若lim x→0f(x)−f(−x)x 存在，则f ′(0)存在 15. 设{x =sint y =tsint +cost （t 为参数），则d 2ydx 2|t=π4 =（ ）A.√2B.2C.4 D .√3 16. 函数f (x )=x 2−x x 2−1√1+1x2的无穷间断点的个数为（ ） A 、0. B 、1 C 、2. D 、3 17. 函数y =ln (1−2x )在x =0处的n 阶导数y (n )(0)=（ ）A 、2n (n −1)!B 、−2n n!C 、2n n!D 、−2n (n −1)!18. 设函数f (x )=(e x −1)(e 2x −2)………(e nx −n),其中n 为正整数，则f′(0)= （ ） A 、(−1)n−1(n −1)! B 、(−1)n (n −1)! C 、(−1)n−1n! D 、(−1)n n!19. 设f ′(x)在[a , b]上连续，且f ′(a)>0, f ′(b)<0，则下列结论中错误的是（ ）A 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) >f(a)B 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) > f(b)C 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f ′(x 0)=0D 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) =020. 下列关于数列{x n }的极限是a 的定义，正确的有（ ）个 ①对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜ε成立②对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜cε成立 c 为正常数 ③对于任意给定的正整数m ，存在正整数N,当n ＞N 时，|x n −a |＜1m成立 ④对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ≥N 时，|x n −a |＜ε成立 A 、2 B 、3 C 、1 D 、4基础学部百思堂 2019年11月2日参考答案1. B[解析] 由函数f （x ）在（a ，b ）内连续的定义知，lim x→x 0f (x )=f (x 0)，因此f （x ）在点x 0处的极限存在，但不一定可导如：f （x ）=|x|，在x =0处连续，但是不可导 2. C[解析] x1000与x 同阶，1−cos x 等价于x 22，1−ln x 4等价于−x 4，arc tan x 与x 同阶，所以c 为高阶无穷小3. D[解]lim sinx √1−cosx 3arctan(4√1−cosx 3)=lim sinx √1−cosx34√1−cosx3-lim 4√1−cosx3=lim x→0(e sinx −1)4(x 22)13+14-lim x→0sinx4(x 22)13=144. C5. C [解析] f(-x)=f(x)，则−f ′(−x )=f ′(x )所以，f 1(x )为奇函数，同理，f ′′(x )为偶函数，已知在(-∞，0)内有f ′(x )>0 , f ′′(x )<0则有χϵ(0,+∞)时f ′(x )<0，f ′′(x )<06. C[解析] ∵f （x ）=ax 2+bx+c∴f ′（x ）=2ax+b ，f ′（0）=b ＞0 ∵对任意实数x 都有f （x ）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2-4ac ≤0即 b 2≤4ac b ≤2√acf (1)f ′(0)=a+b+c b =1+a+cb≥1+2√acb≥1+bb =27. C[解析] 复合函数求导 导数的四则运算y`=[f(cosx)]`cos(f(x))+f(cosx)[cos(f(x))]`=f`(cosx)(-sinx)cos(f(x))+f(cosx)[-sin(f(x))]f`(x) =-f`(cosx)sinxcos(f(x))-f(cosx)sin(f(x))·f`(x) 8. A 9. A[解析] 若|x 3−1|φ(x)在x=1处可导，则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h所以lim h→0+h 3+3h 2+3h h φ(h) = lim h→0−−h 3−3h 2−3hhφ(h) 所以必有lim h→0φ(x)=0若φ(x )=0 则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h= 0所以，在1处可导所以，充要条件 10. B[解析] 对于f(g(x))， g(x)有间断点，但只要f(x)为常函数，则f(g(x))无间断点；对于g(f(x))，只要间断点小于等于0，因为f(x)＞0，则间断点无法取到； 对于g(x)/f(x)，f(x)>0，g(x)有间断点，则一定有间断点；对于第四个复合函数，仍然可以考虑常函数来举出反例 11. B 12. C[解析]当|x |<1时，f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n=1；当|x |=1时，f(x)=lim n→∞√1+1n=1；当|x |>1时，f(x)=lim n→∞|x|3(1|x|3n+1)1n=|x |3.即f(x)={−x 3,1,x 3,x <−1,−1≤x ≤1,x >1. 可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).13. A[解析]因为f ′(x)>0, 则f(x)严格单调增加f ″(x)>0,则f(x)是凹的又Δx >0,故0<dy <Δy 14. D[解析]本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
普林斯顿AP微积分
普林斯顿AP微积分据360教育集团介绍：第一部分主要知识共分了20章，其中微积分准备知识极限(Limit)和连续(Continuity)各1章，导数(Derivative)与微分(Differential)8章，积分(Integral)8章，微分方程(Differential Equations)1章和无穷级数(Infinite Series)1章。
第二部分给出了所有课后习题的详细答案。
第三部分测试试卷微积分AB有三套题，BC有2套题，都可以作为模拟题供我们使用。
据360教育集团介绍，经过一段时间的阅读和研究，发现此本教材的主要优点有以下：1. 概念丰满。
稍稍比较几本教材(如Barron，Peterson)，我们就会发现作者在每个概念的导出和概念的解释上费了很多功夫。
众所周知，数学学习对概念的理解至关重要，只有在深刻理解概念的前提下，我们才能开展运算、应用等数学活动。
举个例子，教材在导出导数的定义式时，先给出直线的斜率，然后抛出问题：曲线的斜率如何求，紧接着给出割线斜率，最后推出导数定义式。
有简到难，有理有据，步步推进。
2. 例题丰富。
教材中每章的例题，几乎覆盖了该章的所有知识点，也基本反映了考试的基本考点。
每个例题解题过程都比较规范，共同让我们能够学习到解题过程一些基本术语的英语表达。
作者在例题的设计上也很讲究，一个知识点从不同角度给出例题。
3. 练习丰厚。
这部分可能是其他教材所没有的，教材在讲完例题之后设置了一系列的Problems，让读者盖住答案自己做，做完跟答案对照。
这些题很适合自学完前面的知识点之后自己练习做，能够极大的巩固知识点。
4. 习题丰足。
该教材习题的一个特点是：围绕一个知识点的题很多，让读者不断的练习、不断的巩固。
好比我们刚学完1+1=2，习题里会出现大量的1+2，2+3，1+3之类的习题。
读者如果能按照习题循序渐进的布置扎实练习，收获会很大。
此外，此教材对于例题、习题、模拟题的解答非常的清楚和详细，很适合在家自学的读者。
山东工商学院 微积分II80学时模拟试卷
装。
订。
线。
《高等数学II 》期末模拟考试试卷（80学时）一、选择题（每小题2分，共12分）1.若级数1n n U ∞=∑收敛于S,则级数11()n n n U U ∞+=+∑ ( B )A. 收敛于2SB. 收敛于12S U -C.收敛于12S U +D.发散 2.设级数21n n a ∞=∑是收敛的，则级数1nn a n∞=∑( ) A. 一定条件收敛 B.一定发散C.一定绝对收敛D.可能收敛也可能发散 3.(,)lim→=x y ( )A.0B. 12C. ∞D.极限不存在4.函数(,)f x y 在点(,)P x y 的某一邻域内连续且偏导数存在，是(,)f x y 在该点可微的( )A.必要条件但不是充分条件B.充分条件但不是必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件 5. 微分方程x xe y y y 22=-'-''的一个特解形式为=*y ( )A.x e x b ax 2)(+B.x axeC.x e b ax )(+D.x xe b ax )(+6.二元函数222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩x yx y f x y x y x y 在点(0,0)处( )A.连续且偏导数存在B.连续但偏导数不存在C.不连续、偏导数存在D.不连续、偏导数不存在 二、填空题（每小题3分，共21分）1.已知三点(1,2,1)A ,(2,1,1)B -,(1,1,2)C --,则向量AB 与BC的夹角为 。
2.函数21-x 的幂级数展开式为 。
3.级数21sin n n xn∞=∑的收敛域为 。
4.方程20y y y '''-+=的特征方程是 特征根是 , 通解是 。
5.z =dz 为 。
6.求心形线)0)(cos 1(>θ+=a a r 的全长为_________________ 。
7.设D=}2|),{(22x y x y x ≤+，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),( 表示为极坐标形式的二次积分为 _________________ 。
数学建模微积分2模拟题
微积分（Ⅱ）复习资料前言：为帮助各位大一学弟学妹对微积分（Ⅱ）有一个更好的认识，考试能够顺利过关，我们数学建模协会为大家整理了一些相关题型和往几届考试试题，希望对大家有所帮助！另外，本次活动只做每个大题的第一个小题，其他小题留在平时下来完成，这都是近几年的考题和有代表性的基本题型！ 一、（多元函数微分基础部分）【10分】①、已知f(x,y,z)=ln(xy+z),求df(1,2,0)②、设函数 ,若f(x,y,z)在(1,1,-1)处沿z 轴正 方向有最大增长率18，求a 、b 、c 的值。
③、函数 由 确定，求二、（多元函数微分应用部分）【10分】①、求曲面 在点 （1,1,1）处的切平面和法线方程 ②、证明曲面 上任意点处得切平面在各坐标轴上的截距和为定值czx byz axyz y x f 222++=),,(),(y x z z =e yz xy z=+dzy zx z 及,∂∂∂∂zxy z ln+=p 02=++z y x三、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】①、求积分，其中D 是直线y=2与y=2x 所围成的闭区域。
②、计算二次积分③、计算二重积分 【基础】四、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】①、计算I= ，其中D ：⎰⎰Dxyd σ[]⎰-+⎰----x x dyx y xdx2121322111)(⎰⎰=1x x dyy ydxI sin ⎰⎰++D d y xy x σπ2222)sin(4122≤+≤y x -dxdyy x )cos(②、计算I= ，D 是由x+y=1,x=0及y=0所围成。
【提高】五、（多元函数积分部分—三重积分）【10分】①、计算积分 ，其中 为由锥面 和球面 所围成的立体。
②、计算I= ，其中 是由不等式 和所确定。
③、求三重积分Vυ⎰⎰⎰，其中V 是由曲线0z yx =⎧⎨=⎩ 绕z O 轴旋转所成的曲面(0)z ≥ 与平面1z =所围成的空间区域。
浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《微积分》试卷及答案解析
(
)
lim
x→0
f (x) ex2 sin x
+ x
x2
=1
1
求 f (x) 在 x = 0 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式。（8’）
五、已知对任意自然数
n,
有
un
>
0
且
lim
n→∞
1
npun − cos
π n
=
1
判断
∑ ∞ un
n=1
的
敛散性。（8’）
六、设函数 f (x) 在 [0, π] 上连续, 在 (0, π) 内可导, 且
论。（7’）
2
答题卡： 3
答题卡： 4
答题卡： 5
2020-2021 学年秋冬学期微积分期末模拟考试答案
命题、组织：丹青学业指导中心
一、 (1) 注意到 因此 利用 立即得到
(2) 利用
1 ≤ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ≤ 1 2n 2 · 4 · 6 · · · (2n)
∫π
∫π
f (x) cos x dx = f (x) sin x dx = 0
0
0
证明: 存在两个不同的 ξ1, ξ2 ∈ 0, π) , 使得 f (ξ1) = f (ξ2) = 0（8’）
七、求幂级数
∑ ∞ (−1)n
n
+
2 xn
的收敛域及和函数。（8’）
n+1
n=0
八、设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数. 且 f (1) = 0. 方程 f (x) = 0 在 (0,1) 内
·
·
·
cos
1 2n
高二数学积分试题答案及解析
高二数学积分试题答案及解析1.等于（）A．1B．C．D．+ 1【答案】B【解析】．【考点】微积分基本定理的应用．2.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）.A．2B．4C．2D．4【答案】D.【解析】作出直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形（如图）；则.【考点】定积分的几何意义.3.由曲线所围成的图形面积是 .【答案】.【解析】作出图像如图所示（阴影部分），则.【考点】定积分的几何意义.4.等于（）A．πB．2C．π﹣2D．π+2【答案】D【解析】，故选Ｄ．【考点】定积分．5.如图，阴影部分的面积是( )A．2B．2－C．D．【答案】D【解析】由图易知，阴影部分面积为.故选D.【考点】定积分的应用.6.已知，则二项式展开式中含项的系数是___________.【答案】【解析】，即，二项式展开式的通项公式（），令，则，，所以展开式中含项的系数是.【考点】定积分和二项式定理的应用.7.计算定积分：=_______.【答案】．【解析】，故应填入：．【考点】定积分．8.下列各命题中，不正确的是（）A．若是连续的奇函数，则B．若是连续的偶函数，则C．若在上连续且恒正，则D．若在上连续，且，则在上恒正【答案】D【解析】奇函数关于原点成中心对称，其在区间的图像与直线，轴围城的面积（考虑正负）之和为零；偶函数关于轴对称在轴两侧的面积应该相等，B正确；C显然正确；当在区间内负的面积少于正的面积时，，但在上可以为负.【考点】定积分.9.由曲线与直线所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是____________．【答案】【解析】显然，根据对称性，只需算左边阴影部分的面积即可，曲线y=sinx，y=cosx的交点坐标为(),∴左边阴影部分的面积=，∴阴影部分面积S=2()=．【考点】定积分求曲边图形的面积．10.曲线与坐标轴围成的面积是（）。
A．4B．C．3D．2【答案】3【解析】根据图形的对称性，可得曲线与坐标轴围成的面积【考点】定积分在求面积中的应用11.定积分等于()A．－6B．6C．－3D．3【答案】A【解析】.【考点】定积分的计算.12.下列值等于1的定积分是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；；【考点】定积分的计算。
教师公开招聘考试小学数学(极限与微积分)模拟试卷2(题后含答案及解析)
教师公开招聘考试小学数学（极限与微积分）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．“f(χ)在点χ0处连续”是｜f(χ)｜在点χ0处连续的( )条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要正确答案：A解析：f(χ)在点χ0处连续，｜f(χ)｜在点χ0处必连续；｜f(χ)｜在点χ0处必连续，f(χ)在点χ0处不一定连续，如f(χ)＝，所以答案为A．知识模块：极限与微积分2．＝1，则常数a＝( )．A．2B．0C．1D．－1正确答案：D解析：＝－a，所以，a＝－1．选择D项．知识模块：极限与微积分3．＝( )．A．B．0C．1D．正确答案：C解析：知识模块：极限与微积分4．＝( )．A．0B．1C．D．e-2正确答案：C解析：知识模块：极限与微积分5．设f(χ)＝，则f(χ)不存在的原因是( )．A．都存在但不相等B．f(0)无意义C．f(χ)不存在D．f(χ)不存在正确答案：B解析：由题可知，，但f(χ)在χ＝0处无意义，所以极限不存在，因此答案为B．知识模块：极限与微积分6．(lnsinχ)′＝( )．A．tanχB．cotχC．－tanχD．－cotχ正确答案：B解析：设u＝sinχ，则原式＝(lnu′)′.u′＝＝cotχ．知识模块：极限与微积分7．设f′(χ0)＝2，则＝( )．A．0B．1C．2D．4正确答案：D解析：由题，.2＝2f′(χ0)＝4．知识模块：极限与微积分8．已知曲线y＝χ3－1，其过点(1，－1)的切线方程为( )．A．9χ＋4y＋5＝0B．9χ－4y－13＝0C．3χ－2y－5＝0D．3χ－2y－1＝0正确答案：B解析：设切点(χ0，y0)，根据已知可得切线斜率k＝χ(χ0，y0)与(1，－1)均是切线上的点，故＝χ02，又因为(χ0，y0)是曲线上的点，则y0＝χ03－1，将其代入前式求得，χ0＝0或χ0＝，经检验，χ0＝0不合题意，舍去，故χ0＝，所以切线方程为y＋1＝(χ－1)，整理得9χ－4y－13＝0．知识模块：极限与微积分9．∫χsinχdχ＝( )．A．χ2cosχ＋CB．sinχ＋χcosχ＋CC．χ2－cosχ＋CD．sinχ－χcosχ＋C正确答案：D解析：∫χsinχdχ＝－∫χdcosχ＝－(χcosχ－∫cosχdχ)＝－(χcos χ－sinχ)＋C＝sinχ－χcosχ＋C．知识模块：极限与微积分10．定积分∫-11dχ＝( )．A．－2B．0C．D．2正确答案：D解析：令χ＝sint，当χ＝－1时，t＝－，当χ＝1时，t＝，即原式＝＝2．知识模块：极限与微积分11．曲线y＝2χ2＋3在点(2，9)处的切线方程为( )．A．y＝4χB．y＝8χ－7C．y＝8χ＋7D．y＝11χ＋9正确答案：B解析：由题可知y′＝4χ，则曲线y＝2χ2＋3在(2，9)处的切线斜率为y′(2)＝8，故切线方程为y－9＝8(χ－2)，整理得y＝8χ－7，因此答案为B．知识模块：极限与微积分12．曲线y＝χ-2在点(1，1)处的切线斜率为( )．A．－4B．－3C．－2D．－1正确答案：C解析：曲线y＝χ-2在(1，1)处的切线斜率为y′(1)，因为y′＝－2χ-3，所以在(1，1)处的切线斜率为－2．知识模块：极限与微积分13．已知参数方程，则＝( )．A．－tantB．C．D．正确答案：B解析：知识模块：极限与微积分14．若∫01(3χ2＋λ)dχ＝2，则λ等于( )A．0B．1C．2D．－1正确答案：B解析：∫01(3χ2＋λ)dχ＝(χ3＋λχ)｜01 ＝1＋λ，即1＋λ＝2，从而λ＝1．知识模块：极限与微积分15．函数f(χ)在区间[－a，a]上是连续的，则下列说法中正确的有( )．①若f(χ)＝χ2＋cosχ则有∫0af(χ)dχ＝2f(χ)dχ．②若f(χ)＝χ＋sinχ，则∫-a0f(χ)dχ＝∫0af(χ)dχ．③若f(χ)为偶函数，则有∫-aaf(χ)dχ＝2∫0af(χ)dχ＝2∫-a0f(χ)dχ．④若f(χ)为奇函数，则∫-aaf(χ)dχ＝0．A．①②③④B．①③C．②③D．③④正确答案：D解析：根据定积分的性质，同时已知偶函数图象关于y轴对称，则∫-a0f(χ)d χ＝∫0af(χ)dχ成立，故∫-aaf(χ)dχ＝2∫-a0f(χ)dχ＝2∫0af(χ)dχ．①中f(χ)为偶函数，但积分区间关于原点不对称，所以不成立；②中被积函数为奇函数，所以不成立；③正确；④根据奇函数图象关于原点对称，结合定积分的几何意义可知是正确的．知识模块：极限与微积分填空题16．＝_______．正确答案：解析：因为(χ→∞)，故有知识模块：极限与微积分17．已知f(χ)＝(1＋cos2χ)2，则f′(χ)＝_______．正确答案：－4sin2χ(1＋cos2χ)解析：设u＝1＋cos2χ，则f(χ)＝u2，因此f′(χ)＝f′(u).u′(χ)＝2u(1＋cos2χ)′＝2(1＋cos2χ).(－sin2χ).2＝－4sin2χ(1＋cos2χ)．知识模块：极限与微积分18．函数f(χ)＝χ3在闭区间[0，6]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ_______．正确答案：2解析：根据拉格朗日中值公式f′(ξ)＝，可得3ξ2＝，解得ξ＝2．知识模块：极限与微积分19．比较如，较小的是_______．正确答案：解析：根据定积分在定义域内的保序性，在区间[0，1]内，由于，因此知识模块：极限与微积分20．广义积分∫0＋∞e-χdχ＝_______．正确答案：1解析：知识模块：极限与微积分21．函数f(χ)在点χ0处可导且f′(χ0)＝0是函数f(χ)在点χ0处取得极值的________条件．正确答案：必要不充分解析：函数的极值点只能是驻点和不可导点，反之，驻点和不可导点不一定是极值点．例如χ＝0是函数y＝χ3的驻点但不是极值点，χ＝0是函数y＝的不可导点但不是极值点．知识模块：极限与微积分22．f(χ)是连续函数且满足∫f(χ)sinχdχ＝cos2χ＋C，则f(χ)________．正确答案：－2cosχ解析：由题可知f(χ)sinχ＝[∫f(χ)sinχdχ]′＝(cos2χ＋C)′＝－2sin χcosχ，所以f(χ)＝－2cosχ．知识模块：极限与微积分23．设区域D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，y≥0}，则χydχdy________．正确答案：0解析：由题可知知识模块：极限与微积分解答题24．已知函数极限＝2，求a的值．正确答案：由此得a＝－8．涉及知识点：极限与微积分25．设二元函数z＝χ2eχ+y，求：(3)dz．正确答案：(1)＝2χeχ＋y＋χ2eχ＋y＝(χ2＋2χ)eχ＋y；(2)＝χ2e χ＋y；(3)dz＝＝(χ2＋2χ)eχ＋ydχ＋χ2eχ＋ydy 涉及知识点：极限与微积分26．计算由曲线y＝χ2与直线χ＝0，y＝1所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积．正确答案：由已知可得V＝．涉及知识点：极限与微积分27．已知F(χ)＝f(t)dt ，f(χ)连续，求证F′(χ)＝．正确答案：由题意可知，F(χ)是上、下限均为已知函数的变限积分，由变限积分求导法可得，F′(χ)＝f(lnχ)(lnχ)′－f，整理即得，F′(χ)＝．涉及知识点：极限与微积分28．求下列函数的导数．(1)y＝χ3sinχ(2)y＝cos(1＋sin) (3)y ＝ln(χ＋) (4)y＝ecos2χsinχ2正确答案：(1)y′＝3χ2sinχ＋χ3cosχ．涉及知识点：极限与微积分29．求下列不定积分．正确答案：涉及知识点：极限与微积分。
教师公开招聘考试中学数学(极限与微积分)模拟试卷1(题后含答案及解析)
教师公开招聘考试中学数学（极限与微积分）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．=( )．A．ln2B．一C．1D．正确答案：A解析：=ln2—ln1=ln2．知识模块：极限与微积分2．=( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：极限与微积分3．若级数( )．A．一定绝对收敛B．可能收敛也可能发散C．一定条件收敛D．一定发散正确答案：B解析：本题可通过举例来证明，可能收敛，也可能发散．知识模块：极限与微积分4．当n→∞时，1一cos为等价无穷小，则k=( )．A．B．2C．1D．一2正确答案：B解析：知识模块：极限与微积分5．已知=1，则导数f’(x0)等于( )．A．1B．5C．D．正确答案：D解析：知识模块：极限与微积分6．若函数f(x)=在x=0处连续，则a=( )．A．1B．2C．4D．0正确答案：C解析：知识模块：极限与微积分7．若D是曲线y=x2与y=2x围成的封闭区域，则的值为( )．A．8B．C．0D．正确答案：B解析：知识模块：极限与微积分8．不定积分=( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：知识模块：极限与微积分9．设f(x)=2x2+x3｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：即g”‘(x)=24｜x｜，由于｜x｜在x=0处不可导，因此n=3．知识模块：极限与微积分10．曲线y=2x+的斜渐近线方程为( )．A．y=2xB．y一2xC．y=3xD．y=一3x正确答案：A解析：该曲线只有间断点x=0，=∞→x=0为曲线的垂直渐近线．又因为=0→曲线有斜渐近线y=2x．故本题选A．知识模块：极限与微积分11．=( )．A．e=B．C．1D．e正确答案：A解析：知识模块：极限与微积分12．已知y’=，则y=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：极限与微积分13．若=2，则积分区域D可以是( )．A．由｜x｜=、｜y｜=1所围成的区域B．由x轴、y轴及x+y一1=0所围成的区域C．由x=1、y=2及x=2、y=3所围成的区域D．由｜x｜+y｜=所围成的区域正确答案：A解析：=2，则积分区域D的面积是2，B、D两项表示的区域面积为，C项表示的区域面积为1，只有A项围成的区域面积为2．知识模块：极限与微积分14．若函数f(x)=，则｜f(x)｜在[一1，e]上最小值和最大值分别为( )．A．一4，1B．0，4C．1，4D．0，1正确答案：B解析：｜f(x)｜=，｜f(x)｜在[一1，1]上单调递减，在[1，e]上单调递增，所以最小值在x=1处取得，｜f(1)｜=0；｜f(一1)｜=4，｜f(e)｜=1，｜f(一1)｜＞｜f(e)｜，所以最大值为4，在x一1处取得．知识模块：极限与微积分15．设曲线y=处的切线与直线ax+5y+1=0垂直，则a=( )．A．4B．一4C．D．一正确答案：A解析：知识模块：极限与微积分填空题16．已知=2，则a=__________．正确答案：2解析：=a=2，所以a=2．知识模块：极限与微积分17．ln(cos4x)在x→0时是x的__________阶无穷小．(填数字)正确答案：2解析：，因此当x→0时ln(cos4x)是x的2阶无穷小．知识模块：极限与微积分18．设=__________。
微积分考试题目及答案
微积分考试题目及答案一、选择题1. 下列哪个选项描述了微积分的基本思想？A. 求导运算B. 求积分运算C. 寻找极限D. 都是答案：D2. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2的导数是多少？A. f'(x) = 4x^2 + 6xB. f'(x) = 6x^2 + 3xC. f'(x) = 6x^2 + 6xD. f'(x) = 4x^2 + 3x答案：A3. 计算积分∫(2x^2 + 3x)dxA. x^3 + 2x^2B. x^3 + 2x + CC. (2/3)x^3 + (3/2)x^2D. (2/3)x^3 + 3x^2答案：C二、填空题4. 函数f(x) = 3x^2 + 2x的导数为_________答案：f'(x) = 6x + 25. 计算积分∫(4x^3 + 5x)dx = __________答案：x^4 + (5/2)x^2 + C6. 函数y = x^2在点x=2处的切线斜率为_________答案：4三、解答题7. 求函数y = x^3 + 2x^2在x=1处的切线方程。
解：首先求函数在x=1处的导数，f'(x) = 3x^2 + 4x。
代入x=1得斜率为7。
又因为该点经过(1,3)，故切线方程为y = 7x - 4。
8. 求曲线y = x^3上与x轴围成的面积。
解：首先确定曲线截距为(0,0)，解方程得x=0。
利用定积分区间求解：∫[0,1] x^3dx = 1/4。
以上为微积分考试题目及答案，希望对您的学习有所帮助。
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AP考试模拟试题与答案1-微积分BC- AP Calculus-BC
1
14
(A) (B) 1 (C)
(D) 4 (E) 5
2
16
15. Which of the following is an equation of the line tangent to the curve with parametric equations x = 3t2 − 2, y = 2t3 + 2 at the point when t = 1?
−
d 3)
x
=
n
5x
(A) lim n→0
−3
(x
+
2)(x
−
dx 3)
−2
5x
(B) lim n→− 3 + n
(x
+
2)(x
−
dx 3)
n
5x
(C) lim n→− 2−
− 3 (x + 2)(x − 3) d x
n
5x
(D) lim n→− 3
ห้องสมุดไป่ตู้
−3
(x
+
2)(x
−
dx 3)
−2
5x
(E) lim n→0 n
III. f < 0 on (0, b)
(A) III only (B) I and II only
(C) II and III only (D) I and III only (E) I, II, and III
y f
a
0
x b
Figure 1T-3
7.
∞
1
=
n = 1 (2n − 1)(2n + 1)
微积分考试题及答案
微积分初步期末模拟试题及答案一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数241)(x x f -=的定义域是 ． ⒉若24sin lim 0=→kxx x ，则=k ． ⒊已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．⒋若⎰=x x s d in ．⒌微分方程y x e x y y x +='+'''sin )(4的阶数是 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当k =（ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=00,,1)(2x kx x x f ，在0=x 处连续. A ．1 B ．2 C ．1- D ．0⒊满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的（ ）。
A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ． 间断点⒋设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aa x x f -d )(（ ） A ．⎰0-d )(2a x x f B ．⎰0-d )(a x x f C ．⎰ax x f 0d )( D ． 0 ⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ）A. 1e -=Cx y ；B. 1e -=x C y ；C. C x y +=；D. C x y +=221 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y '. ⒊计算不定积分x x x d )1(2⎰+ ⒋计算定积分⎰π0d sin 2x x x 四、应用题（本题16分）欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？模拟试题答案及评分标准一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈)2,2(- ⒉2 ⒊21x- ⒋C x +-cos ⒌3 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈B ⒉A ⒊C ⒋D ⒌B三、（本题共44分，每小题11分） ⒈解：原式41)2)(2()2)(1(lim 2=+---=→x x x x x 11分 ⒉解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+=' 9分 x x x 2cos sin 35cos 5-= 11分 ⒊解：x x x d )1(2⎰+= C x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(2 11分 ⒌解：⎰π0d sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 11分四、应用题（本题16分）解：设土地一边长为x ，另一边长为x 216，共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 10分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省. 16分。
AP考试模拟试题与答案1-微积分BC- AP Calculus-BC
6. The graph of the function f is shown in Figure 1T-3. Which of the following statements is/are true?
I. f (0) = 0
II. f has an absolute maximum value on [a , b]
Use the answer sheet provided on the previous page. All questions are given equal weight. Points are not deducted for incorrect answers and no points are given to unanswered questions. Unless otherwise indicated, the domain of a function f is the set of all real numbers. The use of a calculator is not permitted in this part of the exam.
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(C) e 2
x
a
0
b
(A)
y
Figure 1T-1 A possible graph of f is (see Figure 1T-2):
(B)
y
(C)
y
a
b
x
a0
b
xa
0
bx
(D)
y
(E)
y
a0
b
x
a
0
bx
Figure 1T-2
北航1212考试批次微积分(上)复习题一 (1)
北航1212考试批次《微积分（上）》复习题一本模拟题页码标注所用教材为：经济应用数学基础（一） 微积分（第三版）赵树嫄2007年6月第3版中国人民大学出版社书如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.函数4121y x x =++在定义域内（ C ）. A.单调递增；B.单调递减；C.上凹；D.下凹.2.函数()f x 在0x x =在以下（ C ）条件下，必取得极大值.A.0()0f x '=；B.0()0f x ''<；C. 0()0f x '=且0()0f x ''<；D.0()0f x = 3.设函数()122+=-x x f ，则()=+1x f （ C ） A ．222++x x B. 222+-x x C ．1062++x x D. 1062+-x x 4.函数21+-=x y 的极小值点是（ B ） A ．0 B. 1 C.2 D.35.如果函数()x f 的定义域为（0，1），则下列函数中，定义域为（-1，0）的为：（ B ）A ．()x f -1 B. ()x f +1 C. ()x f sin D. ()x f cos 6. x x y arctan +=单调区间增区间为（B ）A ．()+∞,0 B. ()+∞∞-, C. ()0,∞- D. ()1,0 7.函数x x y 4cos 2sin +=的周期为（ A ）A ．π B. π2 C. π3 D. π4 8.函数()1ln -=x y 在区间（ D ）内有界。
A ．()+∞,2 B. ()+∞,1 C. ()2,1 D. ()3,29.下列函数中（ C ）是奇函数。
A ．x x sin B. x x cos + C. x x sin + D. x x cos + 10.函数x y sin =在0=x 处( C )A ．无定义 B.有定义，但不连续 C.连续 D.无定义，但连续 二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11. 连续函数在闭区间内一定有最值. ( A )A ．对B ．错12. 函数()sin xf x x =(0)x ≠在0点处的极限值为1。
微积分II期末试题
装 订 线汕头大学06-07学年 春 季学期 微积分II 期末考试试卷开课单位 数学系 任课老师 评 卷 人 学生姓名 学号 所在开课班 所在系/院一、单项选择题。
（每小题3分，共12分）1，设(,)z f x y =由方程3230z xyz b -+=（其中b 为常数）所确定，则()zy∂=∂。
(A)2xz z xy - （B ）23z xy - （C ）2xz z xy-- （D ）233z xy - 2，设{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则1()2D dxdy =⎰⎰。
(A) 2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-3，设22{(,)|09}D x y x y =≤+≤，则22()()Dx y dxdy +=⎰⎰。
(A)812 （B ）92 （C ）812π （D ）92π 4，下列级数中，条件收敛的是( )。
(A) 114(1)()5n n n ∞-=-∑ (B) 1n n ∞=2121(1)1n n n n ∞-=-+∑ (D) 14311(1)n n n∞-=-∑ 二、填空。
（每空3分，共15分）1，若3cos x z e y =，则dz =__________________________________________。
2，设{1,1,0},{1,2,2}a b ==-，则a b ⨯= _______________，a b ∙= ________。
3，幂级数12n n n x ∞=∑的收敛半径为_________。
4，过点(3,0,1)M -且与平面2100x y z -++=平行的平面方程为___________ ________________________。
二．计算下列个题。
(每小题8分,共24分)1 ，求球面22214x y z ++=在点(1,3,2)P 处的切平面及法线方程。
2，设222cos()z x y x y =++，求22,z zx x∂∂∂∂。
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微积分模拟考试试卷一、填空题（共六小题，每题4分，共24分）1．设)2ln(1)(x x x f -++=，则)(x f 的定义域用区间表示为 ________ 2.曲线x x y 2sin +=在点()221,ππ+处的切线方程是 。
3.⎰-=xx f dt t t x f 0__________)()1()(的单调减少的区间是，则设 42()sin x y x e bx -=设 ，dy=_________________________5. 某商品的需求量Q 与价格p 的函数关系为b ap Q =，其中b a ,为常数，且0≠a ，则需求量Q 对价格p 的弹性为 。
6._________________)(ln )(21='=⎰-dx xx f e x f x，则设 二、单项选择题（共六小题，每题4分，共24分）[]00222()().()()()()()()()ln 1()()()() ()x x x x x x A x x B x x C x x x D x αβαβαβαβαβ→→+++⋅1.若当时，、都是无穷小，则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小 答（ ）221123212121212x y x x x A x B x C x x D x x -==-+======2.函数的间断点为、，则此函数间断点的题型为（ ）．，都是第一类；．，都是第二类；．是第二类，是第一类；．是第一类，是第二类． 答（ ）3．若⎰+=C x dx x f 2)(，则⎰=-dx x xf )1(2（ ）。
A.C x +-22)1(2 B.C x +--22)1(2. C.C x +-22)1(21D. C x +--22)1(21答（ ）ln ()()00()0()0()10:( )=======xy xA y xB yC xD y x 4.曲线的渐近线是 及 而无垂直渐近线 而无水平渐近线 及 答5.下列广义积分为收敛的是 （A ）⎰∞+edx x x ln （B ）⎰∞+e x x dx ln （C ）⎰∞+e x x dx2)(ln （D ）⎰∞+e x x dx ln 答（ ）ln ()1 ()1() 1 ()1( )=---y x x A B C e D e 6.关于函数的极值正确结论是 有极小值 有极大值 有极大值 有极小值 答 三、解答下列各题（共3小题，18分） 1、(本小题6分)求极限 limtan tan sinln().x x x →--2212、(本小题6分)2ln(1)1()?1ln 211 ，函数在是否可微 ，x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩=3、(本小题6分)0,13)sin(,)(==++=x dy y x xy x y y 求所确定由方程设函数四、解答下列各题（共2小题，12分） 1（本小题6分).d 11x xx⎰-+求 2．( 本 小 题6分 )．计算积分⎰edx x x 12)ln (五、( 本 题分6分 )证明当时02<<>x x x x πsin cos六( 本题8分 )[]22,,0,2.1,.y x y ax y x a ==+= 如图是区间上抛物线直线与曲线相交问为何值时能使图中两阴影部分面积相等七（本题8分 )设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为2/10)(x e x P P -==，且最大需求量为6，其中x 表示需求量，P 表示价格。
（1）求该商品的收益函数和边际收益函数。
（2）求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格。
一、填空题（六小题，每题4分，共24分） 1．[)2 1，-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-≥>-≥+210201x x x x 且得且由 2．1+=x y3．[](01)01(0,1][0,1).， 或，或或 4．2(2sin cos )x e x bx b bx dx --+ 5．b (b abp appp Q Q p b b p =⨯==-1)('ε) 6. -12二、单项选择题（六小题，每题4分，共24分）1．D; 2.D 3.D; 4. A; 5. C; 6. A三、解答下列各题（共3小题，18分）1、(本小题6分)求极限 limtan tan sinln().x x x →--221y=ax+122s e c l i m1c o s l n (1)1x xx x →=-⋅-解:原式 =sec 222、(本小题6分)?012ln 11)1ln()(2处是否可微在 ， ，讨论函数=⎩⎨⎧≥+-<+=x x x x x x f（法一）解：f x x ()在处连续=1；212(1)lim 11x xf x --→'==+ (1)1f +'= (1)1f '=故:f x x x (),在处可导故它在处可微==11（法二）解：f x x ()在处连续=1；221,()1xx f x x '<=+ 所以：(1)1f -'= 1,()1x f x '≥= 所以：(1)1f +'= (1)1f '=故:f x x x (),在处可导故它在处可微==11（法三）解：211()(1)ln(1)ln 2lim lim 111x x f x f x x x --→→-+-==--； 11()(1)1ln 2ln 2lim lim 111x x f x f x x x ++→→--+-==-- (1)(1)(1)1f f f -+'''=== f x x x (),在处可导故它在处可微==113、(本小题6分)(),sin()31,x y y x xy x y y ='=++=设函数由方程所确定求:解：对方程两边求导：cos()()30xy y xy y ''⋅+++=3cos()1cos()y xy y x xy --'=+0,1x y ==当时 (0)4y '=-代入得:四、解答下列各题（共2小题，12分） 1（本小题6分)求：（法一）解：2,12u x u dx udu =-==-令 , ⎰⎰--=--+=∴du u udu uu )()()(2222211原式=-+⎰⎰422du u du=-++4233u u c =--+-+412313x x c ().（法二）解：令：1,u x v '=+=则：1,u v '==-原式2(12x =-+3/242(1(1)3x x C =-+--+2．( 本 小 题6分 )2 1(ln )ex x dx ⎰计算积分．（方法一）原式=-⎰x x x xdx e e 32121323(ln )ln =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰e x x x dx e e 331213231313ln…………5分=-5272273e…………6分（方法二）解：令：ln ,:t x t x e ==则1320t e t dt=⎰原式…………2分11233001233t tt e te dt =-⎰ 1133300122399t t e te e dt=-+⎰…………5分=-5272273e 五、( 本 题6分 )证明当时02<<>x x x x πsin cos连续， 在令⎥⎦⎤⎢⎣⎡π-=20cos sin )(x x x x fxx x x f 222sin 2sin cos 1)(=+-=' …………3分当时在，单调增即02002<<'>⎡⎣⎢⎤⎦⎥x f x ππ()…………5分 f x f x x x()()sin cos >=∴>00…………6分六( 本题8分 )[]22,,0,2.1,.y x y ax y x a ==+= 如图是区间上抛物线直线与曲线相交问为何值时能使图中两阴影部分面积相等解设直线:y ax =+1 1分s ax dx ax x =+=+⎰()()1202202=+22a s x dx x ===⎰2230213838122,33a a +==七（本题8分 )设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为2/10)(x e x P P -==，且最大需求量为6，其中x 表示需求量，P 表示价格。
（1）求该商品的收益函数和边际收益函数。
（2）求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格。
解（1）所求收益函数2/10)()(x xe x xP x R -==，60≤≤x ；边际收益函数为2/)510()('x e x x R --=，60≤≤x 。
（2）令0)('=x R 得2=x , 为唯一驻点，又05)2("1<-=-e R ， 因此2=x 为唯一的极大值点，也是最大值点。
所以当2=x （产量）时，最大收益120)2(-=e R相应的价格为110-=e P 。