2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷
2020全国高中数学联赛B卷答案及评分标准
2020年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1. 若实数x 满足()()248log log 2log 4x x x =+，则x = ． 答案：128． 解：由条件知
24488221121
log log 2+log log 4log +log log 2233
x x x x x =++=++，
解得2log 7x =，故128x =．
2. 在平面直角坐标系xOy 中，圆经过点(0,0),(2,4),(3,3)，则圆上的点到原点的距离的最大值为 ．
答案：
解：记(2,4),(3,3)A B ，圆经过点,,O A B ．注意到90OBA （直线OB
与AB 的斜率分别为1和1），故OA 为圆的直径．从而圆上的点到原点O 的距离的最大值为25OA ．
3. 设集合{}1,2,
,20X =，A 是X 的子集，A 的元素个数至少是2，且A 的
所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A 的个数为 ．
答案：190．
解：每个满足条件的集合A 可由其最小元素a 与最大元素b 唯一确定，其中,,a b X a b ，这样的(,)a b 的取法共有220C 190种，所以这样的集合A 的个数为190．
2020年全国高中数学联合竞赛一试试题卷(高联一试含答案及评分标准)
2020年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.在等比数列{}n a 中，1,13139==a a ，则13log 1a 的值为
.
2.在椭圆Γ中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，21,F F 为两个焦点.若
02121=⋅+⋅BF BF AF AF ，则
2
1F F AB 的值为.
3.设0>a ，函数x
x x f 100
)(+
=在区间(]a ,0上的最小值为1m ，在区间[)+∞,a 上的最小值为2m ，若1m 20202=m ，则a 的值为
.
4.设z 为复数，若
i
z z --2
为实数(i 为虚数单位)，则3+z 的最小值为.
5.在△ABC 中，4,6==BC AB ，边AC 上的中线长为10，则2
cos 2sin
66
A
A +的值为.
6.正三棱锥ABC P -的所有棱长都为1，N M L ,,分别为棱PC PB PA ,,的中点，则该三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为
.
7.设0,>b a ，满足：关于x 的方程
b a x x =++||||恰有三个不同的实数解321,,x x x ，且
b x x x =<<321，则b a +的值为_____________.
8.现有10张卡片，每张卡片上写有5,4,3,2,1中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为5,4,3,2,1的五个盒子中，规定写有j i ,的卡片只能放在i 号或j 号盒子中.一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法公共有____________种.
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)参考答案与评分标准B1卷
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2022年全国高中数学联合竞赛（B1卷）
参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设10分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9、10小题5分为一个档次，第11、12小题10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：本大题共8小题，每小题10分，满分80分．
1. 若等差数列{}n a 的各项非零，且
1234a a a +=，则567a a a +的值为 ． 答案：45
． 解：设{}n a 的公差为d ，则
111()42a a d a d ++=+，即127
d a =-． 令17,2(0)a t d t t ==-¹，从而5
6171291418467125a a a d t t a a d t t ++-===+-． 2. 在平面直角坐标系中，圆W 的方程为22202220220x y x y +---=，则圆W 的面积为 ．
答案：2243p ．
解：易知2222:(10)(11)202210112243x y W -+-=++=．
设圆W 的半径为r ，则22243r =，于是圆W 的面积为22243r p p =．
3. 将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为 ．
答案：712
． 解：连续掷两次骰子共有2636=种情况，其中对每个{1,2,,6}k Î ，当第一次掷骰子所得点数为k 时，第二次掷骰子所得点数不小于k 的情况数为7k -． 从而所求概率611217(7)363612
2020全国高中数学联赛B卷题目
2020年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
1. 若实数x 满足()()248log log 2log 4x x x =+，则x = ．
2. 在平面直角坐标系xOy
中，圆经过点(0,0),(2,4),(3,3)，则圆
上的点
到原点的距离的最大值为 ．
3. 设集合{}1,2,
,20X =，A 是X 的子集，A 的元素个数至少是2，且A 的
所有元素可排成连续的正整数，则这样的集合A 的个数为 ．
4. 在三角形ABC 中，4,5,6BC
CA AB ，则6
6
sin cos 2
2
A A
= ．
5. 设9元集合{}{}
i ,1,2,3A a b a b =+∈，i 是虚数单位．()129,,
,z z z α=是
A 中所有元素的一个排列，满足129z z z ≤≤
≤，则这样的排列α的个数
为 ．
6. 已知一个正三棱柱的各条棱长均为3，则其外接球的体积为 ．
7. 在凸四边形ABCD 中，2BC AD ．点P 是四边形ABCD 所在平面上一点，满足202020200PA PB PC PD ．设,s t 分别为四边形ABCD 与PAB 的面积，则
t s
．
8. 已知首项系数为1的五次多项式()f x 满足：()8,1,2,,5f n n n ==，则
()f x 的一次项系数为 ．
9.（本题满分16分） 在椭圆中，A 为长轴的一个端点，B 为短轴的一个端点，12,F F 为两个焦点．若12120AF AF BF BF ，求12tan tan ABF ABF 的
值．
10. （本题满分20分）设正实数,,a b c 满足222494122a b c b c ++=+−，求123
2020年全国高中数学联合竞赛一试B卷
2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷
试题参考答案及评分标准〔B 卷〕
讲明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕
1．函数2
54()2x x f x x
-+=-在(,2)-∞上的最小值是 〔 B 〕
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当1
22x x
=--时上式取等号．
而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．
2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ⊆，那么实数a 的取值范畴为 〔 A 〕
A ．[0,3)
B ．[0,3]
C ．[1,2)-
D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根
12a x =22a x =
故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即
22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<．
3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23，乙在每局中获胜的概率为1
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛一试B卷参考答案及评分标准
设 BC a 0 ．由余弦定理知 4 1 a2 2a 2 ，故 a 2 14 ．
2
2
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ax2 3x 3 (a 0) 的图像与
抛物线 y2 2 px ( p 0) 的图像关于直线 y x m 对称，则实数 a, p, m 的乘积
bn an an1 an2 (n N*) ．
若{bn}是公比为 3 的等比数列，求 a100 的值．
解：由条件知 bn b1 3n1 3n (n N* ) ．
……………4 分
因此，an3 an bn1 bn 3n1 3n 2 3n (n N*) ．
……………8 分
于是
33
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1.
等差数列{an}
的公差
d
0
，且
a2021
a20
a21
，则
a1 d
的值为
．
答案：1981．
解：由条件知
a1
2020d
a1
19d
a1
20d
，又
d
0
，故
a1 d
1981 ．
2. 设 m 为实数，复数 z1 1 2i, z2 m 3i（这里 i 为虚数单位），若 z1 z2 为
为
2021年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案(B1卷)
∈
0,
π 2
，
√
√
√
则
y1
−
y2
=
4 9
2 sin θ cos θ − 8 cos2 θ
=
4 2 sin θ cos θ 9 sin2 θ + cos2 θ
⩽
2 2，等号成立时 3
√
√
√√
9 sin2 θ = cos2 θ ⇒ sin θ =
10 10
,
cos θ
=
3 10 10
⇒
P
3 5 5,
10 10
.
解答
a1 = 2, a2 = 3, a3 = 7, a4 = 25, a6 = 121, a7 = 721 ⇒ an = n! + 1.
假设 n = k 时结论成立，则 n = k + 1 时，ak+1 = (k + 1) · (k! + 1) − k
第1页 共4页
= (k + 1)! + k + 1 − k = (k + 1)! + 1，即 n = k + 1 时结论也成立.
.
√
综上，y1 − y2 的最大值是 2 3 2.
第4页 共4页
与一条倾斜角为
π 4
的直线相
交于 P (3, 2), Q 两点，则 △OP Q 的面积为
2020全国高中数学联赛试题及详细解析含评分标准
．
答案：144 ．
解：令 t x a ，则关于 t 的方程 t a
2
2
t a b 恰有三个不同的实数 2
解 ti
xi
a (i 1, 2, 3) ． 2
由于 f (t) t a 2
t a 为偶函数，故方程 f (t) b 的三个实数解关于 2
数轴原点对称分布，从而必有 b f (0) 2a ．以下求方程 f (t) 2a 的实数解．
1 3 cos2 A 211 ．
44
256
6. 正三棱锥 P ABC 的所有棱长均为1， L, M , N 分别为棱 PA, PB, PC 的中
点，则该正三棱锥的外接球被平面 LMN 所截的截面面积为
．
答案： ． 3
解：由条件知平面 LMN 与平面 ABC 平行，且点 P 到平面 LMN, ABC 的距离
. √√
|x| + |x + a| = b
.
x1, x2, x3, x1 < x2 <
8. 10
,
1, 2, 3, 4, 5
,
.
10
1, 2, 3, 4, 5
,
i, j
ij
.
,
1
.
.
:
3,
56 .
.
9.
16
√
高中数学历届全国高中数学联赛一试解析版
7 1987 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 33
8 1988 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 37
9 1989 年全国高中数学联合竞赛一试试题 . . . . . . . . . . . . . . 42
第 1 页 共 267 页
4. 下列四个图形中，哪一个面积最大？ √
A. △ABC：∠A = 60◦, ∠B = 45◦, AC = 2 √√
B. 梯形：两条对角线长度分别为 2 和 3，夹角为 75◦
()
C. 圆：半径为 1
D. 正方形：对角线长度为 2.5
解答 对于选项 A： BC
=
AC
⇒
BC
和 AB′ 相交的直线有 4 条，共面 (相交或平行)
C. 24
的直线有 2 条，与其异面的直线有 5 条：
CD′, DA′, BC′, BD, A′C′.
于是异面直线的对数为 12 ·5 2
= 30. 所以选
A.
D. 48
6. 在坐标平面上有两个区域 M 和 N . M 是由 y ⩾ 0, y ⩽ x 和 y ⩽ 2 − x 这三个
D. 甲不是乙的必要条件，也不是充分条件
解答
பைடு நூலகம்
√ 1
2023年全国高中数学联合竞赛加试(B)卷参考答案及评分标准
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2023年全国高中数学联合竞赛
加试（B 卷）参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一．（本题满分40分）如图，ABC 的外心为O ，在边AB 上取一点D ，延长OD 至点E ，使得,,,A O B E 四点共圆．若2,3,4,5OD AD BD CD ，证明：ABE 与CDE 的周长相等．
证明：由,,,A O B E 共圆得AD BD OD DE ，又2,3,4OD AD BD ，所以6DE ． ……………10分
由OA OB 得OAD OEA ，故OAD OEA ∽，故OA OE AE OD OA AD
． 所以22(26)16OA OD OE ，得4OA ． 进而26OE AE AD AD OA
． 同理可得OBD OEB ∽ ，28BE BD ． ……………20分 由于22OC OA OD OE ，故OCD OEC ∽． ……………30分 因此EC OC CD OD
． 由2,8OD OE OD DE 知4OC ，又5CD ，故210EC CD ． 计算得
76821AB AE BE ，561021CD DE EC ，
即ABE 与CDE 的周长相等． ……………40分
二．（本题满分40分）设,m n 是给定的整数，3m n ≥≥.求具有下述性质的最小正整数k ：若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在m 个红色的数12,,,m x x x （允许相同），满足121m m x x x x -+++< ，或者存在n 个蓝色的数12,,,n y y y （允许相同），满足121n n y y y y -+++< ． C E O A B D C E O A B D
2020年全国高中数学联赛一试二试试题整理详解汇编(一试二试为A卷)(含解答)
考虑{1, 2}, {1, 3}, {1, 4} 在 1 号盒，且{1, 5} 在 5 号盒的放法数 N ．
卡片{2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 的放法有 8 种可能，其中 6 种是在 2, 3, 4 号的某个盒
中放两张，其余 2 种则是在 2, 3, 4 号盒中各放一张．
若 {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 有两张在一个盒中，不妨设 {2, 3}, {2, 4} 在 2 号盒，则
3
{2, 5}只能在 5 号盒，这样 5 号盒已有{1, 5}, {2, 5}，故{3, 5}, {4, 5} 分别在 3 号与 4
号盒，即{2, 5}, {3, 5}, {4, 5} 的放法唯一；
若{2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 在 2, 3, 4 号盒中各一张，则 2, 3, 4 号盒均至多有 2 张卡片，
5. 在 ABC 中 ， AB 6, BC 4 ， 边 AC 上 的 中 线 长 为
sin6 A cos6 A 的值为
．
2
2
答案： 211 ． 256
解：记 M 为 AC 的中点，由中线长公式得
4BM 2 AC2 2( AB2
BC2 ) ，
5． 10 ， 则
可得 AC 2(62 42 ) 4 10 8 ．
设 AB (s, t) ，则 AC ( t, s) ，且 ABC 的面积
2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2022年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列{}na
中，2a=
，3a=1202272022
aaaa++的值为.2.设复数z满足91022zzi+=+，则||z的值为.
3.设()f某是定义在R上的函数，若2()f某某+是奇函数，()2某f 某+是偶函数，则(1)f的值为.
4.在ABC中，若in2inAC=，且三条边,,abc成等比数列，则coA的值为.
5.在正四面体ABCD中，,EF分别在棱,ABAC上，满足3BE=，4EF=，且EF与平面BCD平行，则DEF的面积为.
6.在平面直角坐标系某Oy中，点集{(,)|,1,0,1}K某y某y==-，在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.
7.设a为非零实数，在平面直角坐标系某Oy中，二次曲线222
0某aya++=的焦距为4，则a的值为.
8.若正整数,,abc满足2022101001000abc≥≥≥，则数组(,,)abc的个数为.二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式|2||52|某某a-<-对所有[1,2]某∈成立，求实数a的取值范围.
10.设数列{}na是等差数列，数列{}nb满足212nnnnbaaa++=-，
1,2,n=.
（1）证明：数列{}nb也是等差数列；
（2）设数列{}na、{}nb的公差均是0d≠，并且存在正整数,t，使得tab+是整数，求1||a的最小值.
11.在平面直角坐标系某Oy中，曲线21:4Cy某=，曲线222:(4)8C某y-+=，经过1C上一点P作一条倾斜角为45
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2020年全国高中数学联合竞赛一试B 卷
试题参考答案及评分标准〔B 卷〕
讲明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．
一、选择题〔此题总分值36分，每题6分〕
1．函数2
54()2x x f x x
-+=-在(,2)-∞上的最小值是 〔 B 〕
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---2≥2=，当且仅当1
22x x
=--时上式取等号．
而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．
2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，假设B A ⊆，那么实数a 的取值范畴为 〔 A 〕
A ．[0,3)
B ．[0,3]
C ．[1,2)-
D ．[1,2]- [解] 因240x ax --=有两个实根
12a x =22a x =
故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即
22a ≥-且42a ， 解之得03a ≤<．
3．甲乙两人进行乒乓球竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23，乙在每局中获胜的概率为1
3
，且各局胜负相互独立，那么竞赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 〔 C 〕
A.
670243 B. 27481 C. 266
81
D. 24181 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
设每两局竞赛为一轮，那么该轮终止时竞赛停止的概率为
22215
()()339
+=．
假设该轮终止时竞赛还将连续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，现在，该轮竞赛结果对下轮竞赛是否停止没有阻碍．从而有
5(2)9
P ξ==，
4520
(4)()()9981P ξ===，
2416
(6)()981P ξ===，
故52016266
2469818181
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.
令k A 表示甲在第k 局竞赛中获胜，那么k A 表示乙在第k 局竞赛中获胜． 由独立性与互不相容性得
12125
(2)()()9
P P A A P A A ξ==+=
， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++
33211220
2[()()()()]333381
=+=，
1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++
222116
4()()3381==，
故52016266
2469818181
E ξ=⨯+⨯+⨯=．
4．假设三个棱长均为整数〔单位：cm 〕的正方体的表面积之和为564 cm 2，那么这三个正方体的体积之和为
〔 D 〕
A. 586 cm 3
B. 586 cm 3或564 cm 3
C. 764 cm 3
D. 764 cm 3或586 cm 3
[解] 设这三个正方体的棱长分不为,,a b c ，那么有()
2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2
2
2
2
394c a b c ≥++=，2
31c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．
假设9c =，那么22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =． 假设8c =，那么22946430a b +=-=，5b ≤．但2
230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．假
设5b =，那么25a =无解，假设4b =，那么2
14a =无解．现在无解．
假设7c =，那么22944945a b +=-=，有唯独解3a =，6b =．
假设6c =，那么22943658a b +=-=，现在2
2
2
258b a b ≥+=，2
29b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，现在2
583622a =-=无解．
综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
体积为3331239764V =++=cm 3或333
2367586V =++=cm 3．
5．方程组0,
0,
0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩
的有理数解(,,)x y z 的个数为 〔 C 〕 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
[解] 假设0z =，那么00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.
x y =-⎧⎨=⎩，
假设0z ≠，那么由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②
将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1
x y
=-
，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，
故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,
1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，那么
sin cot cos sin cot cos A C A
B C B
++的取值范畴
是
〔 B 〕
A. )+∞
B.
C. D. (0,)+∞
[解] 设,,a b c 的公比为q ，那么2,b aq c aq ==，而
sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C
B C B B C B C
++=
++