高考数学总复习课时规范练43直线与圆、圆与圆的位置关系文新人教A版

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2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆、圆与圆的位置关系

3－4sin25θ＋1，
所以 1≤4sin25θ＋1<3，
所以 2 r2－d2＝2 3－4sin25θ＋1∈(0,2 2]. 所以当 4sin2θ＋1＝5，即 sin2θ＝1 时，弦长有最大值 2 2.
题型二圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2 2)2＝16和两点A(0，－m)， B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为
则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
第八章直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一部分
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )

2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

直线与圆、圆与圆的位置关系课时训练—— 高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系题型1:直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系的判定例1：（1）直线01=+-ky x 与圆122=+y x 的位置关系是（） A.相交 B.相离 C.相交或相切 D.相切（2）直线03:=++y x l 与圆C ：04222=--+x y x 的位置关系是 .例2：若直线034=+-a y x 与圆10022=+y x 有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围.例3：已知圆822=+y x ，定点P （4,0），若过点P 的直线的斜率存在，则斜率为多少时，这条直线与已知圆：（1）相切；（2）相交；（3）相离.变式训练1：已知点M ),(00y x 是圆)0(222>=+r r y x 内异于圆心的点，则直线200r yy xx =+与此圆的交点的个数为（）A. 2B. 1C. 0D.不能确定3.由直线与圆的位置关系求圆的方程例4：（1）已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的方程为（）A.3)1()1(22=-++y xB.2)1()1(22=++-y xC.2)1()1(22=-+-y xD.2)1()1(22=+++y x（2）已知圆C 的圆心与点（-2,1）关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C 相交于A ，B 两点，且6||=AB ，则圆C 的方程为 .题型2：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系的判断例5：已知两圆0244221=-+++y x y x C ：，0882222=---+y x y x C ：，判断圆1C 与圆2C 的位置关系.变式训练2：已知圆05422221=-++-+a y ax y x C ：与圆03222222=-+-++a ay x y x C ：，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆1C 与圆2C 的位置关系如何？2.由圆与圆的位置关系确定参数的值或取值范围.例6：已知圆05422221=-++-+m y mx y x C ：，圆03222222=-+-++m my x y x C ：.问：m 为何值时，（1）圆1C 与圆2C 外切？（2）圆1C 与圆2C 内含？变式训练3：若圆1)1(221=+-y x C ：与2C 08822=++-+m y x y x 相切，则m 等于（） A. 16 B. 7 C. -4或16 D. 7或163.由圆与圆的位置关系求圆的方程例7：求与圆0222=-+x y x 外切且与直线03=+y x 相切于点M （3,3-）的圆C 的方程.题型3：直线与圆的相交问题 1.求直线与圆的交点坐标例8：已知直线083:=+-y x l 与圆04222=--+y y x 相交，求它们的交点坐标.2.求弦长问题例9：过圆822=+y x 内的点P （-1,2）作直线l 交圆于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为π43，求弦AB 的长.变式训练4：直线063:=-+y x l 被圆04222=--+y y x C ：截得的弦长为 .3.与弦长有关的逆向问题例10：（1）过点P （0,2）引一条直线l 交圆4)1(22=+-y x C ：于A ，B 两点，若32||=AB ，则直线l 的方程为 .变式训练5：如果一条直线经过点)23,3(--M 且被圆2522=+y x 所截得的弦长为8，则这条直线方程为 .4.直线与圆相交时，求过交点的方程问题例11：求经过直线0=+y x 与圆084222=--++y x y x 的交点，且经过点P （-1，-2）的圆的方程.5.中点弦问题例12：已知圆0126422=-+-+y x y x 内一点A （4，-2），求以A 为中点的弦所在的直线方程.题型4：直线与圆的相切问题 1.已知切线斜率求切线方程例13：与直线3+=x y 平行且与圆8)3()2(22=-+-y x 相切的直线的方程为 .2.已知圆上一点求切线方程例14：经过点)6,2(M ，且与圆1022=+y x 相切的直线的方程为 .3.已知圆外一点求切线方程例15：经过点P （4,5），且与圆4)2(22=+-y x 相切的直线方程为 .4.求切线长例16：若圆034222=+-++y x y x C ：关于直线062=++by ax 对称，则由点),(b a 向圆所作的切线长的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6变式训练6：已知圆.1)3(22=+-y x C ：（1）过点A （0,1）作直线l 与圆C 相切，切线长为，直线l 的方程为 . （2）过点M （2,3）作直线'l 与圆C 相切，则直线'l 的方程为 . （3）过直线1+=x y 上的一点P 向圆C 引切线，Q 为切点，则||PQ 的最小值为 .题型5：两圆位置关系相关问题 1.求过两圆交点的圆的方程例17：圆心在直线04=--y x 上，且经过圆06422=--+x y x 与圆06422=--+y y x 的交点的圆的方程为 .变式训练7：求过两圆0122142222=++++-=+++y x y x y x y x ，的交点的圆中面积最小的圆的方程.2.两圆的公共弦问题例18：（1）圆024102221=-+-+y x y x C ：与圆0822222=-+++y x y x C ：的公共弦所在的直线的方程为，公共弦长为 .（2）若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a 的值为 .变式训练8：两圆02221=-+x y x C ：与04222=-+y y x C ：的公共弦长为 .3.求两圆公切线的方程例19：求圆3622=+y x O ：与圆0161022=+-+y y x M ：的公切线的方程.4.两圆公切线的条数问题例20：已知圆01148221=+--+y x y x C ：和圆032222=-++y y x C ：，两圆的公切线有（） A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条题型6：直线与圆的方程的应用问题 1.动圆圆心的轨迹问题例21：已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.2.直线与半圆的相交问题例22：若曲线)22(412≤≤--+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是 .3.范围与最值问题例23：已知点),(y x P 在圆0146622=+--+y x y x C ：上. （1）求xy的最大值和最小值；（2）求3222+++x y x 的最大值与最小值；（3）求y x +的最大值与最小值.:变式训练9：已知实数y x ,满足03422=+++x y x ，求：（1）12--x y 的最大值与最小值；（2）22)4()3(-+-y x 的最大值与最小值.4.直线与圆的方程在几何问题中的应用例24：在△ABO 中，5||,4||,3||===AB OA OB ，P 是△ABO 的内切圆上的一点，求以|||,||,|PO PB PA 为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.。

高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________．解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。

2021人教A版高考数学总复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》

故圆心 C(0，0)到直线 l：ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ a2|c＋| b2＝1＝r，故圆 C：x2 ＋y2＝1 与直线 l：ax＋by＋c＝0 相切，故选 A. 答案 A
规律方法判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
答案 B
6.(多填题)(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0 与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________. 解析根据题意画出图形，可知 A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝2 5，
位置关系外离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系 __d_＞__R_＋__r_ _d_＝__R_＋__r_ _R_－__r_＜__d_＜__R_＋__r_ _d_＝__R_－__r_ _d_＜__R__－__r_
公切线条数
4
3
2
1
0
[常用结论与微点提醒] 1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋ (y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
考点一直线与圆的位置关系

高考数学一轮复习专题直线与圆、圆与圆的位置关系学案新人教版

直线与圆、圆与圆的位置关系一、考纲要求直线与圆、圆与圆的位置关系B二、复习目标1．掌握直线与圆的关系，即相交、相切、相离，并能够利用直线和直线垂直的充要条件和点到直线的距离公式解决圆的切线和弦长等有关问题．2．能根据给定的两个圆的方程判定两圆的位置关系，并能根据两圆的位置关系解决有关问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．三、重点难点直线与圆相交的弦长问题，直线与圆相切问题．根据两个圆的方程判定两圆的位置关系．四、要点梳理(一) 直线与圆的位置关系1．位置关系有：、、．2．判断方法：(1)代数法：方程组2220()()Ax By C x a y b r ++=⎧⎨-+-=⎩有两组不同的实数解⇔直线与圆；有两组相同的实数解⇔直线与圆；无实数解⇔直线与圆．(一般不用此法) (2)几何法：圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，满足：_______⇔直线与圆相离；_______⇔直线与圆相切；_______⇔直线与圆相交。

说明：解决直线与圆的关系问题时，一般用几何法不用代数法，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).(二) 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系有：、、、、．2．根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：（1）代数法：方程组⎩⎨⎧=++++=++++0022********F y E x D y x F y E x D y x 有两组不同的实数解⇔两圆；有两组相同的实数解⇔两圆；无实数解⇔两圆．(一般不用此法)（2）几何法：设两圆圆心分别为1O ，2O 半径分别为12,r r ，12O O d =，则⇔+>21r r d 两圆 ⇔__条公切线；⇔+=21r r d 两圆 ⇔___条公切线；2121r r d r r +<<-⇔两圆______⇔____条公切线；⇔≠-=)(2121r r r r d 两圆 ⇔____条公切线；⇔≠-<≤)(02121r r r r d 两圆 ⇔无公切线（0=d 时为同心圆）．五、基础自测1．已知圆22:4O x y +=，则过点(2,4)P 与圆O 相切的切线方程为．2．若过点(4,0)A 的直线l 与圆22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________________.3．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有____个.4．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是___________.5．若圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线432x y -=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________________ .6．设集合{}{}2222(,)()(1)1,(,)(1)()9A x y x a y B x y x y a =-++==-+-=，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为___________________.六、典例精讲例1．在平面直角坐标系xoy 中，直线:(4)1l y k x =-+与圆 22:(1)25C x y ++=的位置关系为．变式1：若直线l 被圆 C 所截的弦长为6，则k = ．变式2：过点(4,1)的直线被圆 C 所截的弦长为6，则直线的方程为．变式3：直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧？为什么？变式4：若直线l 被圆C 所截的弦长为整数，这样的直线有条；变式5：直线l 与圆C 交于,E G 两点，直线1l ：(1)40x k y +--=与圆C 交于,F H 两点则四边形EFGH 的面积最大值为．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．变式1：在平面直角坐标系xOy 中，(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，过A 点向动圆C 引切线,AP AQ ，,P Q 为切点，求AP AQ ⋅ 的最小值．变式2：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在一点M ，使得223MA MO -=，求圆心C 的横坐标的取值范围．变式3：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，若过A 任作两条互相垂直的直线12,l l ，使其总与半径为1，圆心在直线l 上的两个定圆1C 与2C 相交，且12,l l 分别被圆12,C C 截得的弦长相等，求圆1C 与2C 的方程．例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -4=．（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程：（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式1：已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -1=．设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线1l 被圆C 1截得的弦长与直线2l 被圆C 2截得的弦长之比为2:1，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式2：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -4=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ,满足PA PB =（1）求,a b 满足的关系式；（2）求PA 的最小值．变式3：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -1=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ，满足2PA PB =，求12PC C ∆的面积的最大值．直线与圆、圆与圆的位置关系课后练习1．已知点),(b a P 在圆222r y x =+的外部，则直线2r by ax =+与圆222r y x =+的位置关系是___________．2．已知圆01010:221=--+y x y x C 和04026:222=-+++y x y x C 相交于A B 、两点，则公共弦AB 的长度为___________．3．过原点且与直线1=x 及圆1)2()1(22=-+-y x 相切的圆的方程为_____________．4．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ，则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为_______________________．5．若圆2221:240()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210()C x y by b b R +--+=∈圆恰有三条切线，则a b +的最大值为_____________．6．过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为___________________．7．已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切．其中真命题的代号是______________．（写出所有真命题的代号）8． (1)已知)4,3(A ，求圆422=+y x 上的点与点A 的最大距离和最小距离；(2)已知圆1)4()3(:22=-+-y x C ，点)1,0(-A ，)1,0(B ，设P 是圆C 上的动点，令22PB PA d +=，求d 的最大值与最小值；(3)已知点),(y x P 是圆4)3()3(22=-+-y x 上任意一点，求点P 到直线062=++y x 的最大距离与最小距离．9．如图，已知圆心坐标为的圆M 与x轴及直线y 分别切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x轴及直线y =分别切于C 、D 两点．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．10．已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系———————————————————————————————— [考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r2－r1|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]直线与圆的位置关系l mx y m C x 2y 2的位置关系是( )【导学号：31222298】A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]圆与圆的位置关系(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋－a2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝0－12＋2－12＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2] 若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.]直线与圆的综合问题心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．图841[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝m ＋525＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.12分[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程． [解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，则r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.5分(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5.7分由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.10分所以直线MN的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0.12分[思想与方法]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝1＋k2[x A＋x B2－4x A x B].[易错与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．课时分层训练(四十八)直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交C．相离D．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．(2017·山西太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8B [由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0，得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.]4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )【导学号：31222299】A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20A [由题意知，O ，A ，B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)．又圆的半径r ＝12|OP |＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.]5．(2017·河北衡水中学三模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )【导学号：31222300】A ．1013B ．921C ．1023D ．911C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023]．二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________. 【导学号：31222301】x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则 |OD |＝532＋－42＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]8．(2017·安徽十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________．－33[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.所以实数k 的最小值为－33.] 三、解答题9．已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值． [解] (1)由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3.2分当a ＝3时，A (1，3)，易知所求切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，易知所求切线方程为x －3y －4＝0.5分 (2)设过点A 的直线方程为x ＋y ＝b ，则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，8分又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2，∴⎝⎛⎭⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，则b ＝± 2. 因此a ＝b －1＝±2－1.12分10．(2017·唐山模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，MN 的中点坐标为C (－1,1).3分又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1；当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.6分(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( )A ．2B ．2 2C ．3D ．2 3D [由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1，则C (3，－1)．11 依题意，圆C 的圆心(3，－1)在直线kx ＋y －2＝0上，所以3k －1－2＝0，解得k ＝1，则点A (0,1)，所以|AC |＝13，故|AB |＝|AC |2－r 2＝13－1＝2 3.]2．(2017·济南质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________.32[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．【导学号：3122302】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).5分(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2.8分在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2，故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k 2＝2， ∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)，10分故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .12分。

福建专用高考数学总复习课时规范练43直线与圆圆与圆的位置关系文新人教A版0315497

课时规范练43 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.对任意的实数k,直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能2.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.43.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-114.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2017山东潍坊二模,文7)已知圆C1:(x+6)2+(y+5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.7B.8C.10D.136.(2017福建宁德一模,文10)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是()A.(,2)B.(,3)C. D.〚导学号24190781〛8.(2017福建泉州一模,文15)过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为.9.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.10.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.〚导学号24190782〛综合提升组11.(2017安徽合肥一模,文9)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2,则直线l的方程为()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=012.(2017河南洛阳一模,文9)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有||≥|,则k的取值范围是()A.(,+∞)B.[,+∞)C.[,2)D.[,2)13.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为.14.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.〚导学号24190783〛创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.答案：1.C直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),02+(-1)2-2×0-2=-1<0,则点A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交,故选C.2.B由方程(x-2)2+(y+1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r=3,则圆心到直线l的距离d=.由r=,故所求点的个数为2.3.C圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=,从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9,故选C.4.B圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d= a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.A圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即-3=7.故选A.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d==1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=,∴圆C中以为中点的弦长为2=2=4.故选D.7.D当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.8.-因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(-3,-1),所以直线P'Q的方程为y=·(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圆心(0,0)到直线的距离d==1,∴a=-.9.4π圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=.由已知()2+=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4±由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=,即a2-8a+1=0,可求得a=4±.11.B当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=0,代入圆的方程得y=1±,∴|AB|=2,成立.当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,圆半径r==2,圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=.∵d2+=r2,∴+3=4,解得k=-,∴l的方程为3x+4y-12=0.故选B.12.C设AB中点为D,则OD⊥AB,∵||≥|,∴2||≥|,∴||≤2|.∵||2+|2=4,∴||2≥1.∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,∴||2<4.∴4>||2≥1,∴4>≥1.∵k>0,∴≤k<2,故选C.13.2x+3y-4=0以O(0,0),A(2,3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即x2+y2-2x-3y=0,与圆C:x2+y2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ的方程为2x+3y-4=0.14.解 (1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-<m<,故x0=,且<x0≤3.因为m=,所以x0=,整理得.所以M的轨迹C的方程为+y2=.(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P,Q,直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),①k PE==-,k QE=,当-≤k≤时,直线L与曲线C只有一个交点.②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,则,解得k=±.综上所述,当-≤k≤或k=±时,直线L与曲线C只有一个交点.15.解 (1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知解得a=1或a=.又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-或k>1+.x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+6=,=(x1+x2,y1+y2),=(1,-3),假设,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=,假设不成立, ∴不存在这样的直线l.。

高考数学导航一轮复习直线与圆、圆与圆的位置关系课件新人教A版

位置关系外离
外切
公共点个数 0
1
几何特征
(圆心距d，两圆交 2
内切 1
内含 0
R－r＜d ＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征(两个圆的方程组成的方程组)
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
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三基能力 (nénglì)强化
第四十一页，共49页。
课堂(kètáng) 互动讲练
第四十二页，共49页。
课堂(kètáng) 互动讲练
第四十三页，共49页。
规律(guīlǜ) 方法总结
1．圆的切线方程的求法 (1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程．先求切点与圆心(yuánxīn)连线的斜率k，由垂直
若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程 x＝x0.
有两组不同实数解
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基础知识梳理 (shūlǐ)
在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？
【思考·提示】应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条(yī tiáo)；若点在圆外，切线应有两条．
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基础知识梳理 (shūlǐ)
2．圆与圆的位置(wèi zhi)关系
课堂(kètáng) 互动讲练
(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2 上，则过M点的圆的切线(qiēxiàn)方程为 x0x＋y0y＝r2.
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课堂(kètáng) 互动讲练
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课堂(kètáng) 互动讲练
例2 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及
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新高考数学一轮复习课时规范练42 直线与圆、圆与圆的位置关系新人教A版高三全册数学试题

课时规范练42 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2019吉林长春二模,4)已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b=()A.-3B.1C.-3或1D.522.(2019河南八市联考,6)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a 的取值范围为()A.(2-√17,2+√17)B.(2-√17,2)C.(-15,+∞)D.(-15,2)3.已知直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A4a ,1a作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.4√2B.6C.√38D.2√104.与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是()A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=45.(2019山东日照联考,8)过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,其面积分别为S1,S2,当|S1-S2|最大时,直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y-2=0D.x+y-1=06.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.47.(2019安徽合肥模拟,8)已知直线l:x-√3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+√3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π3,则实数a的值等于()A.2或10B.4或8C.6±2√2D.6±2√38.(2019江苏苏锡常镇四市调查(二),7)过直线l:y=x-2上任意点P作圆C:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB的面积为.9.(2019湖北十堰调研,15)已知圆M:(x-6)2+(y-6)2=16,点A(8,4),过点A的动直线与圆M交于P,Q 两点,线段PQ的中点为N,O为坐标原点,则△OMN面积的最大值为.10.已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r,若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.综合提升组11.(多选)对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l1:ax+3y+6=0,l2:2x+(a+1)y+6=0与圆C:x2+y2+2x=b2-1(b>0)的位置关系是“平行相交”,则实数b的取值可以是()A.1B.2C.3D.412.(2019内蒙古呼和浩特调研,9)过坐标轴上一点M(x0,0)作圆C:x2+(a-12)2=1的两条切线,切点分别为A、B.若|AB|≥√2,则x0的取值范围是()A.(-∞,-√52]∪[√52,+∞)B.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)C.(-∞,-√72]∪[√72,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)13.(2019北京朝阳区模拟,14)已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=kx-2,若直线l上存在点P,过点P 引圆的两条切线l1,l2,使得l1⊥l2,则实数k的取值范围是.14.已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,AB中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-√3,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.(2019江苏泰州模拟,10)在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当线段PQ长最小时,k=()A.2B.3C.2√2D.516.已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2√3,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.参考答案课时规范练42直线与圆、圆与圆的位置关系=√2,则|1+b|=2,解得b=1或b=-3,故选C.1.C由圆心到切线的距离等于半径,得√222.D由题意知,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2-a,则圆心为(1,-1),半径为√2-a,则2-a>0,解得a<2,=2√2,于是(√2-a)2-(2√2)2<32,解得a>-15,综上所述,a∈(-圆心到直线x+y-4=0的距离为d=√215,2),故选D.3.B∵直线l:y=-ax+a是圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-ax+a过圆心C(2,1),∴1=-2a+a,解得a=-1,∴直线l的方程为y=x-1,A点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r2=40-4=36,|AB|=6,故选B.4.C圆x2+y2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为√2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为√2=3√2,则所求圆的半径为√2,设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则√2=√2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合题意,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.故选C.5.A因为点P坐标满足x2+y2≤4,所以点P在圆x2+y2=4内,因此,当OP与过点P的直线垂直时,|S1-S2|最大,此时直线OP的斜率为k OP=1-01-0=1,所以直线l的斜率为k=-1,因此,直线l的方程是y-1=-(x-1),整理得x+y-2=0.故选A.6.D∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴a4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=√(1-1)2+(-1+2)2=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=12√4+16=√5,∴圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2√a2-a2=2√5-1=4.故选D.7.B由∠MPN=π3可得∠MCN=2∠MPN=2π3.在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=π6,可得点C(3,-√3)到直线MN,即直线l:x-√3y-a=0的距离为2sinπ6=1.所以√3×√3)√1+3=1,解得a=4或8.故选B.8.12依据题意作出图象,如下图:因为直线PA 过点P 且与圆x 2+y 2=1相切于点A ,所以PA ⊥OA ,所以PA=√aa 2-aa 2=√aa 2-1,要使得PA 最小,则OP 要最小,由题可得OP 的最小值就是点O 到直线l :y=x-2的距离d=√22=√2.此时,PA min =√aa min 2-1=√(√2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,PB=1,所以△PAB 的面积为S △PAB =12×1×1=12.9.12 由题可知MN ⊥PQ ,所以点N 在以线段AM 为直径的圆上,△OMN 的边|OM|=6√2,故当N 到直线OM 的距离最大时,△OMN 的面积最大,以线段AM 为直径的圆的圆心为(7,5),半径为√2,直线OM 的方程为x-y=0,点(7,5)到直线OM 的距离为√2=√2,所以N 到直线OM 的距离的最大值为2√2,故△OMN的面积的最大值为12×6√2×2√2=12.10.-2 √5 如图,由圆心与切点的连线与切线垂直,得a +12=-12,解得m=-2.因此圆心为(0,-2),则半径r=√(-2-0)2+(-1+2)2=√5.11.BCD 由已知得直线l 1:ax+3y+6=0与l 2:2x+(a+1)y+6=0平行,则a ×(a+1)=3×2,解得a=2或a=-3,当a=2时两直线方程相同,两直线重合,不合题意,a=-3时检验符合题意,故a=-3.此时两直线方程为x-y-2=0,x-y+3=0,C :x 2+y 2+2x=b 2-1(b>0)的方程配方整理得(x+1)2+y 2=b 2,圆心坐标为(-1,0),半径为b.据题意,平行相切包括一条相切,另一条相交、相切、相离均可,平行相离包括都相离的情况,因此其他情况即平行相交,也即是指两直线与圆都相交,当两直线与圆平行相切时,b=√2=32√2或b=√2=√2,当两直线与圆平行相离时,b<32√2且b<√2,即b<√2,故当两直线与圆平行相交时,b ≠32√2且b>√2.故选BCD .12.C 根据题意,C :x 2+(a -12)2=1,其圆心为(0,12),半径r=1,过点M 作圆的切线,切点为A ,B ,则MA ⊥AC ,MC ⊥AB ,则S △MAC =12×|MA|×|AC|=12×|MC|×|aa |2.又由|AC|=1,变形可得|AB|=2×|aa ||aa |,则有|aa ||aa |≥√22. 又由M (x 0,0),C (0,12),则|MC|2=a 02+14,|MA|2=|MC|2-1=a 02−34,即可得a 02-34a 02+14≥12,解可得x 0≤-√72或x 0≥√72,即x 0的取值范围是(-∞,-√72]∪[√72,+∞).故选C .13.[0,+∞) 圆心为C (2,0),半径r=√2,设P (x ,y ),因为两切线l 1⊥l 2,如下图,PA ⊥PB ,由切线性质定理,知PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,PA=PB ,所以,四边形PACB 为正方形,所以|PC|=2,则点P 满足(x-2)2+y 2=4,即点P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.直线l :y=kx-2过定点(0,-2),直线方程即kx-y-2=0,只要直线与P 点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径,即d=√≤2,解得k ≥0,即实数k 的取值范围是[0,+∞).14.解(1)设P (x ,y ),则A (x ,2y ).将A (x ,2y )代入x 2+y 2=4得点P 的轨迹E 的方程为a 24+y 2=1(y ≠0).(2)由题意可设直线l 方程为x=my-√3,由{a =aa -√3,a 24+a 2=1,得(m 2+4)y 2-2√3my-1=0.所以{a 1+a 2=2√3aa 2+4,a 1·a 2=-1a 2+4.所以|AB|=√1+a 2|y 1-y 2|=√1+a 2√(a 1+a 2)2-4a 1·a 2=4(a 2+1)a 2+4=2.所以m=±√2.当m=√2时,中点纵坐标y 0=a 1+a 22=√66,代入x=my-1得中点横坐标x 0=-2√33,斜率为k=-√2.故线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0.当m=-√2时,同理可得MN 的垂直平分线方程为2x-√2y+√3=0.所以线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0或2x-√2y+√3=0.15.A 如图,因为PQ 为切线,所以PQ ⊥C 2Q ,由勾股定理,得|PQ|=√aa 22-1,要使|PQ|最小,则需|PC 2|最小,显然当点P 为C 1C 2与C 1的交点时,|PC 2|最小,此时,|PC 2|=|C 1C 2|-1,所以当|C 1C 2|最小时,|PC 2|就最小,|C 1C 2|=√a 2+(-a +4)2=√2(a -2)2+8≥2√2,当k=2时,|C 1C 2|最小,得到|PQ|最小,故选A .16.解(1)设圆C :(x-a )2+y 2=r 2(a>0),由题意知√22=a ,√a 2+3=a ,解得a=1或a=138.∵S=πr 2<13,∴a=1,∴圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.(2)不存在.理由如下,当斜率不存在时,直线l 为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l :y=kx+3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得{a =aa +3,(a -1)2+a 2=4,消去y 得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0,解得k<1-2√63或k>1+2√63.x 1+x 2=-6a -21+a 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2a +61+a 2,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2),aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3),假设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2,解得k=34∉-∞,1-2√63∪1+2√63,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.。

届高考数学一轮复习9.4直线与圆、圆与圆的位置关系理新人教A版

第 4 讲直线与圆、圆与圆的地点关系基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、选择题1．若直线ax ＋ by ＝1 与圆 x 2＋2＝1 订交，则 (， )()yP a bA ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能分析由12<1，得2＋ 2>1，∴点 P 在圆外．2a ba ＋ b答案 B2．圆 x 2＋ y 2－ 4x ＝ 0 在点 P (1 ， 3) 处的切线方程为()A ． x ＋ 3y － 2＝ 0B ． x ＋ 3y － 4＝ 0C ． x － 3y ＋ 4＝ 0D ． x － 3y ＋ 2＝ 03分析易知圆心 C 坐标为 (2 ， 0) ，则 k CP ＝ 1－ 2＝－ 3 ，3因此所求切线的斜率为3 . 故切线方程为y3 x －1) ，即 x － 3 y ＋2＝ 0.－3＝ (3答案 D3．(2015 ·甘肃诊疗考试 ) 已知圆1： ( x － ) 2＋( y － b ) 2＝4， 2：(x －－1)2＋( y －－2) 2O aO ab＝ 1( a ，b ∈ R) ，则两圆的地点关系是()A ．内含B ．内切C ．订交D ．外切分析由 O 1： ( x － a ) 2＋ ( y － b ) 2＝ 4 得圆心坐标为 ( a ， b ) ，半径为 2；由 O 2：( x － a －1) 2＋ ( y － b － 2) 2＝ 1 得圆心坐标为 ( a ＋ 1，b ＋ 2) ，半径为1，因此两圆圆心之间1 222＝ 5，由于 |2 － 1| ＝ 1＜ 5＜ 2＋ 1＝ 3，因此两圆订交，应选的距离为 | OO | ＝ 1 ＋ 2 C.答案C4．若直线＝与圆 ( －2) 2＋ 2＝ 1 的两个交点对于直线2 ＋＋＝0 对称，则，的值分别为()11A ． k ＝2， b ＝－ 4B ． k ＝－ 2， b ＝ 4C ． k ＝1，＝ 4D ． k ＝－ 1，＝－ 42 b2b分析由于直线 y ＝ kx 与圆 ( x － 2) 2＋y 2 ＝1 的两个交点对于直线 2x ＋y ＋ b ＝0 对称，则 y＝kx 与直线 2x ＋＋＝ 0 垂直，且 2 ＋ y ＋＝ 0 过圆心，因此解得k ＝ 1，＝－ 4.y bx b2 b答案A5．(2014 ·江西卷 ) 在平面直角坐标系中， A ， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x ＋ y － 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 ( )A. 4 35πB. 4πC ． (6 －2 5) π D. 54π分析由题意得以 AB 为直径的圆 C 过原点 O ，圆心 C 为 AB 的中点，设 D 为切点，要使圆 C 的面积最小，只要圆的半径最短，也只要 OC ＋ CD 最小，其最小值为 OE ( 过原点 O 作直线 2x ＋ y －4＝ 0 的垂线，垂足为E ) 的长度 ( 如图 ) ．由点到直线的距离公式得 | OE | ＝4 2 2 4. 因此圆 C 面积的最小值为 π＝5π . 应选55 A.答案A二、填空题6．(2015 ·青岛质量检测) 直线 y ＝ 2x ＋1 被圆 x 2＋ y 2＝ 1 截得的弦长为 ________．分析圆 x 2＋y 2＝ 1 的圆心 O (0 ， 0) ，半径 r ＝ 1. 圆心 O 到直线 y ＝ 2x ＋1 的距离为 d ＝15221 4 5 22 ＋（－ 1） 2＝ 5，故弦长为 2 r － d ＝ 21－ 5＝5.答案4 557．(2014 ·湖北卷 ) 直线 l 1：y ＝ x ＋ a 和 l 2：y ＝ x ＋ b 将单位圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 分红长度相等的四段弧，则 a 2＋ b 2＝ ______．分析由题意知，直线l 截圆所得的劣弧长为 π ，则圆心到直线 l 的距离为2| a | 21 2 ，即212 2 ＝ 2 ，则 a ＝ 1.同理可得 b 2＝ 1，则 a 2＋ b 2＝ 2.答案28．(2014 ·重庆卷 ) 已知直线 ax ＋y － 2＝ 0 与圆心为 C 的圆 ( x － 1) 2＋ ( y －a ) 2＝ 4 订交于 A ，B两点，且△为等边三角形，则实数＝ ________．ABCa分析依题意，圆C 的半径是 2，圆心 (1 ， ) 到直线ax＋－ 2＝ 0 的距离等于3 × 2＝Cay23，于是有 |1 · a ＋ a － 2|2a 2＝3，即 a － 8a ＋1＝ 0，解得 a ＝4± 15.＋ 1答案4± 15三、解答题9．已知直线 l ： y ＝kx ＋ 1，圆 C ： ( x －1) 2＋ ( y ＋ 1) 2＝ 12.(1) 试证明：无论 k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点；(2) 求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长．(1) 证明y ＝kx ＋ 1，法一由（ x － 1） 2＋（ y ＋ 1） 2＝ 12，消去 y 得 ( k 2＋ 1) x 2－(2 － 4k ) x － 7＝ 0，由于＝ (2 － 4k ) 2＋28( k 2＋ 1)>0 ，因此无论 k 为什么实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．(2) 解设直线与圆交于 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) 两点，则直线 l 被圆 C 截得的弦长 | AB | ＝ 1＋ k 2| x 1－ x 2|8－ 4k ＋ 11k 24k ＋3＝ 21＋ k 2＝ 211－ 1＋ k 2 ，4k ＋ 32令 t ＝2，则 tk－ 4k ＋ ( t － 3) ＝ 0，1＋ k3当 t ＝0 时， k ＝－，当 t ≠0时，由于 k ∈ R ， 4因此＝ 16－ 4t ( t －3) ≥0，解得－ 1≤ t ≤4，且 t ≠0，故 t ＝ 4k ＋ 34，此时 | AB | 最小为 2 7.1＋ k 2 的最大值为法二(1) 证明圆心(1 ，－ 1) 到直线l 的距离d ＝ | k ＋ 2| ，圆 C 的半径＝ 2 3， 2C1＋ k 2 RR－d 2k2＋4k＋411k2－ 4k＋ 8，而在＝ 112k＋8 中，＝ 12－2＝2－ 41＋k1＋k Sk＝( －4) 2－4×11×8<0，故 11k2－ 4k＋ 8>0 对k∈ R 恒建立，22因此 R－ d >0，即 d<R，因此无论k 为什么实数，直线l 和圆 C总有两个交点．(2)解由平面几何知识，228－ 4k＋ 11k2知 | AB| ＝ 2 R－d＝ 21＋k2，下同法一．法三(1) 证明由于无论 k 为什么实数，直线 l 总过点 P(0，1)，而| PC|＝5<23＝R，因此点(0，1)在圆C 的内部，即无论k为什么实数，直线l总经过圆C内部的定点. 所P P 以无论 k 为什么实数，直线 l 和圆 C总有两个交点．(2) 解由平面几何知识知过圆内定点(0 ，1) 的弦，只有和(为圆心 ) 垂直时才最短，P PC C而此时点 P(0，1)为弦 AB的中点，由勾股定理，知| AB| ＝2 12－5＝ 27，即直线l被圆 C截得的最短弦长为 2 7.10．(2013 ·江苏卷 ) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 A(0，3)，直线 l ： y＝2x－4.设圆 C的半径为1，圆心在 l 上．(1)若圆心 C也在直线 y＝x－1上，过点 A 作圆 C的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使| MA|＝2| MO|，求圆心 C的横坐标 a的取值范围．解 (1) 由题设，圆心 C 是直线 y＝2x－4和 y＝ x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．设过 A(0，3)的圆 C的切线方程为 y＝ kx＋3，|3k＋1|3由题意，得k2＋1＝ 1，解得k＝0 或－4，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)由于圆心在直线 y＝2x－4上，因此圆 C的方程为( x－ a)2＋[ y－2( a－2)]2＝1.设点 M( x， y)，由于| MA|＝2| MO|，因此x2＋（ y－3）2＝2x2＋ y2，化简得 x2＋ y2＋2y－3＝0，即 x2＋( y＋1)2＝4，因此点 M在以 D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点 M ( x ， y ) 在圆 C 上，因此圆 C 与圆 D 有公共点，则 |2 －1| ≤|CD | ≤2＋ 1，即 1≤ a 2＋（ 2a － 3） 2≤ 3. 整理得－ 8≤5a 2－ 12a ≤0.2212由 5a － 12a ＋8≥0，得 a ∈ R ；由 5a － 12a ≤0，得 0≤ a ≤ 5 .因此点 C 的横坐标 a 的取值范围是 0， 12 .5能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )11．已知圆 C 1：( x － a ) 2＋( y ＋ 2) 2＝ 4 与圆 C 2 ：( x ＋ b ) 2 ＋( y ＋ 2) 2＝ 1 相外切，则ab 的最大值为()63 9 D ． 2 3A.B.C.224分析由两圆相外切可得圆心 ( a ，－ 2) ， ( － b ，－ 2) 之间的距离等于两圆半径之和，即2 2 299( a ＋ b ) ＝9＝ a ＋ b ＋2ab ≥4ab ，因此 ab ≤ 4，即 ab 的最大值是 4( 当且仅当 a ＝ b 时取等号) ，应选 C.答案C12．圆 ( x －3) 2＋ ( y － 3) 2＝ 9 上到直线 3x ＋ 4y － 11＝0 的距离等于 1的点有()A ．1 个B ．2 个C ．3个D ．4 个分析由于圆心到直线的距离为|9 ＋ 12－ 11|＝ 2，5又由于圆的半径为 3，因此直线与圆订交，由数形联合知，圆上到直线的距离为1的点有 3个．答案C13．(2014 ·新课标全国Ⅱ卷 ) 设点 M ( x 0，1) ，若在圆 O ： x 2＋ y 2 ＝1 上存在点 N ，使得∠ OMN＝ 45°，则 x 0 的取值范围是 ________．分析法一当x 0＝0 时， (0 ， 1) ，由圆的几何性质得在M圆上存在点N ( － 1，0) 或 N (1 ， 0) ，使∠ OMN ＝ 45° . 当 x 0≠ 0 时，过 M作圆的两条切线，切点为A 、B .若在圆上存在 N ，使得∠ OMN ＝ 45°，应有∠ OMB ≥∠ OMN ＝ 45°，∴∠ AMB ≥ 90°，∴－ 1≤ x 0＜ 0 或 0＜x 0≤ 1. 综上，－ 1≤ x 0≤ 1.法二过 O 作 OP ⊥ MN ， P 为垂足， OP ＝ OM · sin 45 °≤1，∴≤1，∴2≤ 2，∴ 02＋1≤2，∴ 02≤ 1，∴－ 1≤x 0OMsin 45 °OMxx≤ 1.答案[ －1，1]14．(2015 ·淮安一模 ) 已知圆： 2＋y 2＝4 和点 (1， )．O xM a(1) 若过点有且只有一条直线与圆O 相切，务实数a 的值，并求出切线方程．M(2) 若 a ＝ 2，过点 M 作圆 O 的两条弦 AC ， BD 相互垂直，求 | AC | ＋ | BD | 的最大值．解 (1) 由条件知点 M 在圆 O 上，因此 1＋ a 2＝ 4，则 a ＝± 3.当 a ＝ 3时，点为(1 ， 3) ，Mk ＝ 3， k3切＝－ 3，OM3此时切线方程为 y － 3 ＝－ 3 ( x － 1) ．即 x ＋ 3y － 4＝0，当 a ＝－ 3时，点 M 为 (1 ，－3) ， k ＝－3， k＝3切 3.OM此时切线方程为 y ＋ 3 ＝3 x －1) ．(3即 x － 3y － 4＝0.因此所求的切线方程为x ＋ 3y － 4＝ 0 或 x － 3y －4＝ 0.222则 d1＋ d2＝OM＝3.又有|AC|＝2BD|＝22 4－ d， | 2 4－ d ，12因此|AC|＋| BD|＝222 4－d1＋ 2 4－d2.则 (| AC| ＋ | BD|)22222＝4×(4 － d ＋ 4－ d＋ 2 4－ d · 4－ d )1212＝4×[5 ＋ 216－22224（d1＋ d2）＋ d1d2]＝4×(5 ＋ 2224＋d1d2) ．由于 2d22229d ≤ d ＋ d＝ 3，因此 d d≤4，121212当且仅当1＝2＝6时取等号，因此4＋1222≤5，d d2 d d2因此 (|| ＋ ||)2≤ 4× 5＋2×5＝40.AC BD2因此 | AC| ＋ | BD| ≤2 10，即 | AC| ＋ | BD| 的最大值为 2 10.。

高考数学一轮复习限时集训(五十二)直线与圆、圆与圆的位置关系理新人教A版

限时集训(五十二) 直线与圆、圆与圆的位置关系(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0D ．y ＝02．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2C.2π3D.56π 3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．55．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝06．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM u u u r ·ON u u u r(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．8．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA u u r ＋OB u u u r 与PQ u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案限时集训(五十二) 直线与圆、圆与圆的位置关系1．C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7．±338.(2，2) 9.3 10．解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －1＝2－31＋1，m －12＋n －22＝m －42＋n ＋12＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA u u r ＋OB u u u r＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4k －31＋k2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ u u u r＝(6，－2)，所以OA u u r ＋OB u u u r 与PQ u u u r共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为 (x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧m －42＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，m ＋22＋n －22＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意．。