2016届上海市南洋模范中学高三上学期第三次月考数学试卷(解析版)

2015-2016学年上海市南洋模范中学高三（上）第三次月考数学试卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．若实数a，b满足a2+b2=1，则ab的取值范围是．2．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax+a+6=0的两个实根，则的最小值为．3．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）=．4．已知集合A={（x，y）|﹣2＜y＜1，x∈Z，y∈Z}，B=，则A∩B 的真子集的个数为．5．函数的单调递增区间是．6．不等式（|x|+x）（sinx﹣2）＜0的解集为．7．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则f（1）的最小值为．8．若三角方程有解，则实数m的取值范围是．9．若y=f（2x﹣1）是周期为t的周期函数，则函数y=f（x）的一个周期是．10．已知，若，则cos2x0=．11．若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则的值为．12．设集合中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M﹣m的值为．13．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．14．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f（x）），n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设（f n﹣1则f的n阶周期点的个数是．二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．把下列命题中的“=”改为“＞”，结论仍然成立的是（）A．如果a=b，c≠0，那么B．如果a=b，那么a2=b2C．如果a=b，c=d，那么a+d=b+c D．如果a=b，c=d，那么a﹣d=b﹣c16．设p，q是两个命题，，q：|2x+1|＜1，则p是q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件17．定义在R上的函数f（x），当时，f（x）=x2﹣x，且对任意的x满足f（x﹣2）=af（x）（常数a＞0），则函数f（x）在区间上的最小值是（）A．B．C．D．18．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则关于f（x）的最小正周期T及y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S的正确结论是（）A．T=4，S=π+1 B．T=2π，S=2π+1 C．T=4，S=2π+1 D．T=2π，S=π+1三、解答题（本大题满分74分）19．已知函数f（x）=满足f（c2）=．（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）＞．20．已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．21．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．22．（理科）已知函数，其中a为常数，且a＜0．（1）若f（x）是奇函数，求a的取值集合A；（2）当a=﹣1时，设f（x）的反函数为f﹣1（x），且函数y=g（x）的图象与y=f﹣1（x+1）的图象关于y=x 对称，求g（1）的取值集合B；（3）对于问题（1）（2）中的A、B，当a∈{a|a＜0，a∉A，a∉B}时，不等式x2﹣10x+9＜a（x﹣4）恒成立，求x的取值范围．23．对于函数f1（x）、f2（x）、h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x）、f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x）、f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，第二组：，，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f1（x）=log2x，，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）=x（x＞0），，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市南洋模范中学高三（上）第三次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）1．若实数a，b满足a2+b2=1，则ab的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】由实数a，b满足a2+b2=1，可得1≥2|ab|，即可得出．【解答】解：∵实数a，b满足a2+b2=1，∴1≥2|ab|，解得，∴ab的取值范围是．故答案为：．2．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax+a+6=0的两个实根，则的最小值为．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】由已知条件利用根的判别式、韦达定理、完全平方和公式求解．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax+a+6=0的两个实根，∴△=4a2﹣4a﹣24＞0，解得﹣2＜a＜3，∵x1+x2=2a，x1x2=a+6，∴==（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2=4a2﹣2a﹣12﹣4a+2=4a2﹣6a﹣10=4（a﹣）2﹣，a=时，取最小值﹣．故答案为：﹣．3．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+m，则f（﹣1）=﹣3．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数的性质可得f（0）=0可求m，从而可求x≥0时的函数的解析式，再由f（﹣1）=﹣f（1）可求【解答】解：由函数为奇函数可得f（0）=1+m=0∴m=﹣1∵x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3故答案为：﹣34．已知集合A={（x，y）|﹣2＜y＜1，x∈Z，y∈Z}，B=，则A∩B的真子集的个数为15．【考点】交集及其运算．【分析】由题意和交集的运算求出A∩B，利用结论求出集合A∩B的子集的个数．【解答】解：A={（x，y）|﹣2＜y＜1，x∈Z，y∈Z}={（x，y）|y=﹣1或0，x∈Z}，B=={（x，y）|x=2或3，y∈Z}，∴A∩B={（2，0），（2，﹣1），（3，0），（3，﹣1）}，∴集合A∩B的真子集个数为24﹣1=15，故答案为：15．5．函数的单调递增区间是[﹣1，1）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由根式内部的代数式大于0求出函数的定义域，外函数幂函数为减函数，求出内函数二次函数的减区间得答案．【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，解得﹣3＜x＜1．令g（x）=﹣x2﹣2x+3，则外函数为y=，为减函数，求函数的单调递增区间，即求g（x）=﹣x2﹣2x+3的减区间，函数g（x）在[﹣1，1）上为减函数，则原函数的增区间为：[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．6．不等式（|x|+x）（sinx﹣2）＜0的解集为（0，+∞）．【考点】其他不等式的解法；正弦函数的定义域和值域．【分析】由sinx﹣2＜0，将原不等式转化为：|x|+x＞0，再由绝对值不等式求解．【解答】解：∵sinx﹣2＜0，∴|x|+x＞0，∴x＞0∴原不等式的解集是：{x|x＞0}故答案为：（0，+∞）．7．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则f（1）的最小值为4．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】由题意可知，二次函数f（x）的图象恒在x轴或x轴上方，即a＞0，△=0，推出ac的范围，进而利用均值不等式求出a+c的最小值，从而求出f（1）的最小值．【解答】解：∵二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴a＞0，△=4﹣4ac=0，∴a＞0，c＞0，ac=1，∴a+c≥2 =2，当且仅当a=c=1时取等号．而f（1）=a+c+2≥4故答案为：4．8．若三角方程有解，则实数m的取值范围是．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】利用辅助角公式可将f（α）=sinα﹣cosα化为f（α）=3sin（α+φ）∈[﹣3，3]，依题意可得﹣3≤2m﹣1≤3，从而可得答案．【解答】解：令f（α）=sinα﹣cosα，则f（α）=3sin（α+φ）∈[﹣3，3]，∵三角方程有解，∴直线y=2m﹣1与正弦曲线f（α）=3sin（α+φ）有公共点，∴﹣3≤2m﹣1≤3，∴﹣1≤m≤2．故答案为：[﹣1，2]．9．若y=f（2x﹣1）是周期为t的周期函数，则函数y=f（x）的一个周期是2t．【考点】函数的值．【分析】根据函数的周期性得到f（2x﹣1）=f[2（x+t）﹣1]=f（2x﹣1+2t），从而有f（x）=f（x+2t），从而求出函数的周期即可．【解答】解：若y=f（2x﹣1）是周期为t的周期函数，则y=f（2x﹣1）=f[2（x+t）﹣1]=f（2x﹣1+2t），则f（x）=f（x+2t），故y=f（x）的一个周期是2t，故答案为：2t．10．已知，若，则cos2x0=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用三角函数的平方关系求出，将cos2x0写出，利用两角差的余弦公式展开，将三角函数值代入化简即可．【解答】解：因为，所以，所以，因为，所以，所以cos2x0====故答案为：．11．若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则的值为108．【考点】对数的运算性质．【分析】设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，由此能求出的值．【解答】解：∵正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，∴===108．故答案为：108．12．设集合中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M﹣m的值为5﹣2．【考点】元素与集合关系的判断；不等关系与不等式．【分析】根据不等式的性质求出最小值，a取最小值为1，b取最大值为2，即可求出答案．【解答】解：∵1≤a≤b≤2，∴a取最小值为1，b取最大值为2．所以：最大值M==3+2=5又∵≥，即最小值m=2所以：M﹣m=．故答案为：．13．【理】若函数f（x）=x2+a|x﹣1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣2，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】去绝对值原函数变成：f（x）=，由已知条件知，函数x2+ax﹣a在[1，+∞）单调递增，x2﹣ax+a在[0，1）单调递增，所以，解该不等式组即得a的取值范围【解答】解：f（x）=x2+a|x﹣1|=；要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，得﹣2≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]14．对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f（x）），n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设（f n﹣1则f的n阶周期点的个数是2n．【考点】函数的周期性．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=∴f的1阶周期点的个数是2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x解得x=当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x解得x=∴f的2阶周期点的个数是22依此类推∴f的n阶周期点的个数是2n故答案为：2n二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）15．把下列命题中的“=”改为“＞”，结论仍然成立的是（）A．如果a=b，c≠0，那么B．如果a=b，那么a2=b2C．如果a=b，c=d，那么a+d=b+c D．如果a=b，c=d，那么a﹣d=b﹣c【考点】不等关系与不等式．【分析】先将下列命题中的“=”改为“＞”，选项A，取c＜0，不成立，选项B，取a=﹣1，b=﹣2时，a2＞b2不成立，选项D，取a=4，b=3，c=5，d=1时，a+d＞b+c不成立，选项D根据不等式的性质可得结论．【解答】解：把下列命题中的“=”改为“＞”，则选项A，如果a＞b，c≠0，那么，若c＜0时，不成立；则选项B，如果a＞b，那么a2＞b2，取a=﹣1，b=﹣2时，a2＞b2不成立；选项C，如果a＞b，c＞d，那么a+d＞b+c，取a=4，b=3，c=5，d=1时，a+d＞b+c不成立；选项D，如果a＞b，c＞d，那么a﹣d＞b﹣c，根据不等的性质可知a+c＞b+d，故正确故选D．16．设p，q是两个命题，，q：|2x+1|＜1，则p是q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】不等式的基本性质．【分析】分别化简p，q对应的不等式，即可得出结论．【解答】解：，q可化为﹣1≤x＜0：|2x+1|＜1，可得﹣1＜x＜0，显然后者可以推出前者，前者不能推出后者，∴p是q必要非充分条件．故选：B．17．定义在R上的函数f（x），当时，f（x）=x2﹣x，且对任意的x满足f（x﹣2）=af（x）（常数a＞0），则函数f（x）在区间上的最小值是（）A．B．C．D．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】需要求的函数定义域是在（5，7]，所以需要平移到已知的定义域上，根据条件每次平移2个单位，所以平移3次，就变成（﹣1，1]，由此可求结论．【解答】解：当x∈（1，3]，（x﹣2）∈（﹣1，1]，所以f（x）== [（x﹣2）2﹣（x﹣2）]=（x﹣2）（x﹣3）当x∈（3，5]，（x﹣2）∈（1，3]，所以f（x）=（x﹣4）（x﹣5）当x∈（5，7]，（x﹣2）∈（3，5]，所以f（x）=（x﹣6）（x﹣7）=（x2﹣13x+42）∴当x=6.5时，f（x）min=故选D．18．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（向右为顺时针，向左为逆时针）．设顶点p（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则关于f（x）的最小正周期T及y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S的正确结论是（）A．T=4，S=π+1 B．T=2π，S=2π+1 C．T=4，S=2π+1 D．T=2π，S=π+1【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，由此可得结论．【解答】解：从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考查P点的运动轨迹，不妨考查正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，再以C 为圆心，旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：∴两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积S=2××π+2××1×1+×2π=π+1故选A．三、解答题（本大题满分74分）19．已知函数f（x）=满足f（c2）=．（1）求常数c的值；（2）解不等式f（x）＞．【考点】函数与方程的综合运用；不等式．【分析】（1）先判定c2的大小，从而断定代入哪一个解析式，建立等量关系，解之即可；（2）根据分段函数的分类标准进行分类讨论，分别在每一段上求解不等式，注意解集与前提求交集，最后将两种情形求并集即可．【解答】解（1）依题意0＜c＜1，∴c2＜c，∵f（c2）=，c=（2）由（1）得f（x）=由f（x）＞得当0＜x＜时，∴当时，，∴综上所述：∴f（x）＞的解集为{x|}20．已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．【考点】函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．【分析】（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．【解答】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．21．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f （x ）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m 的值． 【考点】弦切互化；同角三角函数间的基本关系．【分析】（1）把m=0代入到f （x ）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f （x ）化为一个角的正弦函数，利用x 的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f （x ）的值域；（2）把f （x ）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x 和cos2x 的式子，把x 换成α，根据tan α的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f （α）=中得到关于m 的方程，求出m 的值即可．【解答】解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，从而得：f （x ）的值域为．（2）因为=sin 2x +sinxcosx +=+﹣=所以=①当tan α=2，得：，， 代入①式，解得m=﹣2．22．（理科）已知函数，其中a 为常数，且a ＜0．（1）若f （x ）是奇函数，求a 的取值集合A ；（2）当a=﹣1时，设f （x ）的反函数为f ﹣1（x ），且函数y=g （x ）的图象与y=f ﹣1（x +1）的图象关于y=x 对称，求g （1）的取值集合B ；（3）对于问题（1）（2）中的A 、B ，当a ∈{a |a ＜0，a ∉A ，a ∉B }时，不等式x 2﹣10x +9＜a （x ﹣4）恒成立，求x 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的性质．【分析】（1）由必要条件f（﹣1）+f（1）=0得a2﹣a﹣2=0，a＜0，所以a=﹣1．当，任取x≠0，x∈R．==0恒成立．由此能求出集合A．（2）当，得，互换x，y得，由此能求出集合B．（3）原问题转化为g（a）=（x﹣4）a﹣（x2﹣10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠﹣1，a≠﹣4}恒成立则或，由此能求出x的取值范围．【解答】解：（1）由必要条件f（﹣1）+f（1）=0得a2﹣a﹣2=0，a＜0，所以a=﹣1，…2分下面证充分性，当，任取x≠0，x∈R．==0恒成立…2分由A={﹣1}．…1分（2）当，得，互换x，y得，…1分从而所以g（1）=﹣4．…2分即B={﹣4}．…1分（3）原问题转化为g（a）=（x﹣4）a﹣（x2﹣10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠﹣1，a≠﹣4}恒成立，则…2分或，则x的取值范围为{1，4}…2分23．对于函数f1（x）、f2（x）、h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x）、f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x）、f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）=sinx，f2（x）=cosx，第二组：，，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f1（x）=log2x，，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）=x（x＞0），，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），求出实数a，b的值是否存在即可．（2）依题意，有在x∈[2，4]上有解化简得：log2（4x）+t•log2（2x）＜0即在x∈[2，4]上有解，从而求出t的范围．（3）依题意，，由当且仅当即时等号成立，得：，解得：，故．那么h（x1）h（x2）≥m恒成立，只需求解h（x1）h（x2）的最小值，利用基本不等式的性质求解即可．【解答】解：（1）第一组：h（x）是f1（x）、f2（x）的生成函数，因为存在使h（x）=f1（x）+•f2（x），第二组：h（x）不是f1（x）、f2（x）的生成函数，因为若存在a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），则有x2﹣x+1=a（x2﹣x）+b（x2+x+1）=（a+b）x2+（b﹣a）x+b故，而此方程无解，所以h（x）不是f1（x）、f2（x）的生成函数（2）依题意，有在x∈[2，4]上有解化简得：log2（4x）+t•log2（2x）＜0即在x∈[2，4]上有解，函数在x∈[2，4]的最大值为．故实数t的取值范围为．（3）存在最大的常数m为289．依题意，，由当且仅当即时等号成立，得：，解得：，故．====；正数x1，x2，满足x1+x2=1，故当且仅当时等号成立．函数h（x1）h（x2）的最小值为289．故最大的常数m为289．2016年11月10日。