吉林大学弹性理论第二章

•应该注意 应该注意—— 应该注意 •应力分量是标量 应力分量是标量 •箭头仅是说明方向 箭头仅是说明方向
§2.3 平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
平衡方程2 §2.5 平衡方程
平衡微分方程
∂ τ yx ∂σ x ∂ τ zx + + + F bx = 0 ∂x ∂y ∂z
∆F pn =lim S ∆S→ ∆ 0
应力矢量
pn随截面的法线方向 的方向改变而变化 随截面的法线方向n的方向改变而变化
应力2 §2.2 应力
•应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。 •显然，弹性体内某确定点各个截面的应力 •——应力状态必然存在一定的关系。 •应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起 的应力变化趋势。 •应力状态对于结构强度是十分重要的。 •准确描述应力状态，合理的应力参数。 •为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。
不变性 实数性 正交性
•坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应 力状态不变。 •应力不变量正是对应力状态性质的描述。
主应力7 §2.6 主应力
主应力正交性证明： 主应力正交性证明：
下面证明下述结论： 下面证明下述结论： 特征方程无重根； 1. 若σ1≠σ2≠σ3，特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直； 应力主轴必然相互垂直； 2. 若σ1＝σ2≠σ3，特征方程有两重根； 特征方程有两重根； σ1和σ2的方向必然垂直于σ3的方向。而σ1和 的方向必然垂直于σ 的方向。 的方向可以是垂直的，也可以不垂直； σ2的方向可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若σ1=σ2=σ3，特征方程有三重根； 特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直， 也可以不垂直， 三个应力主轴可以垂直 ， 也可以不垂直 ， 任何方向都是应力主轴。 任何方向都是应力主轴。
应力3 §2.2 应力
应力矢量沿坐标分解 应力矢量 ——没有工程意义 正应力和切应力 正应力σ n与切应力τ n 切应力 与结构强度关系密切 根据截面方位不能完全确定切应力 应力分量——应力张量 应力张量 应力张量可以描述一点应力状态 应力状态 应力张量
应力4 §2.2 应力
应力张量
σx τ xy τ xz σ11 σ12 σ13 σij = τ yx σ y τ yz = σ21 σ22 σ23 τ τ σ σ σ σ zx zy z 31 32 33
面力边界条件——
F =σijn sj i
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。 边界的应力分量的关系。
边界条件2 §2.5 边界条件
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 描述弹性体内部的平衡。
这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体， 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
——弹性力学以坐标系定义应力分量； ——弹性力学以坐标系定义应力分量； 弹性力学以坐标系定义应力分量 材料力学以变形效应定义应力分量。 材料力学以变形效应定义应力分量。 正应力二者定义没有差异 而切应力定义方向不同
§2.5 边界条件
弹性体的表面， 弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知——面力边界Sσ 边界面力已知
应力状态4 §2.4 应力状态
• 任意斜截面的应力 • 转轴公式
σi` j` =σijnii`njj`
• ——应力分量满足张量变化规则 ——应力分量满足 应力分量
• 应力张量为二阶对称张量
• 转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分 转轴公式表明： 量可通过原坐标系的应力分量确定。 量可通过原坐标系的应力分量确定。
τ xy l2 + (σ y − σ 2 )m2 + τ yz n2 = 0 τ xz l2 + τ yz m2 + (σ z − σ 2 )n2 = 0
(σ x − σ 3 )l3 + τ xy m3 + τ xz n3 = 0
τ xy l3 + (σ y − σ 3 )m3 + τ yz n3 = 0 τ xz l3 + τ yz m3 + (σ z − σ 3 )n3 = 0
§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律
结构强度分析需要简化和有效的参数 ——最大正应力、最大切应力以及方位
主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态 ——进一步探讨
主应力2 §2.6 主应力
• 主应力和主平面
• 主应力分析
(σ x − σ )l + τ xy m + τ xz n = 0
§2.1 体力和面力
• 物体外力 • ——分为两类 分为两类 • 体力 • 面力 • 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面 积的载荷。 积的载荷。
§2.2
应力与应力张量
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 外界因素作用下， 内力 外界因素作用下 分之间的相互作用力。 分之间的相互作用力。 附加内力 应力
• 应力张量可以确定一点的应力状态。
• 坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是 坐标轴转轴后，应力分量发生改变。 作为整体所描述的应力状态没有变化。
应力状态5 §2.4 应力状态
平面应力状态转轴公式
σ x ` = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ − 2τ xy cosθ sin θ ) σ y ` = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ + 2τ xy (cosθ sin θ ) τ x `y ` = (σ x − σ y ) cosθ sin θ +1 τ xy (cos 2 θ − sin 2 θ )
(σ x − σ 2 )l2 + τ xy m2 + τ xz n2 = 0
分别乘以l2，m2，n2 分别乘以-l1,-m1,-n1 六式相加，可得
(σ1 −σ2 )(l1l2 + m1m2 + n1n2 ) = 0
(σ 2 −σ 3 )(l2l3 + m2m3 + n3n3 ) = 0 (σ 3 −σ1 )(l1l3 + m1m3 + n1n3 ) = 0
主应力5 §2.6 主应力
特征方程有三个实数根 分别表示这三个根， σ1，σ2，σ3分别表示这三个根，代表某点三个 主应力。 主应力。 对于应力主方向，将σ1，σ2，σ3分别代入
(σ x − σ )l + τ xym + τ xzn = 0
τ xyl + (σ y − σ )m + τ yz n = 0 τ xzl + τ yzm + (σ z − σ )n = 0
应力状态2 §2.4 应力状态
应力矢量与应力分量的关系
p i = σ ij n j
•公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位 公式表明：已知应力张量， 公式表明 微分面的应力矢量。 微分面的应力矢量。 •当然可以确定正应力σ n与切应力τ n。 当然可以确定正应力
应力状态3 §2.4 应力状态
应力不仅随位置改变而 变化， 变化，而且随截面方位 改变而变化。 改变而变化。 同一点由于截面的法线 方向不同， 方向不同，截面上的应 力也不同。 力也不同。 讨论应力分量在坐标变 讨论应力分量在坐标变 换时的变化规律。 换时的变化规律。
σ 3 − I1σ 2 + I 2σ − I3 = 0
主应力3 §2.6 主应力
σ − I1σ + I2σ − I3 = 0
3 2
主应力特征方程
其中： 其中：
I1 =σx +σy +σz
σ ij 主元之和
2 xy 2 yz 2 xz
I2 = σ xσ y +σ yσ z +σ zσ x −τ −τ −τ
τ xyl + (σ y − σ )m + τ yz n = 0 τ xzl + τ yz m + (σ z − σ )n = 0
σ x −σ τ xy τ xz τ yx σ y −σ τ yz = 0 τ zx τ zy σ z −σ
关于l，m，n的齐次线性 方程组， 非零解的条件为方程组的 系数行列式等于零，即 展开
σx I 3 = τ yx τ zx τ xy σy τ zy τ xz τ yz σz
代数主子式之和 应力张量元素 构成的行列式
主应力4 §2.6 主应力
• 应力状态特征方程
• ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力 ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力 主轴方向。 主轴方向。 • 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和 主应力和应力主轴方向取决于载荷、 边界条件等，与坐标轴的选取无关。 边界条件等，与坐标轴的选取无关。 • 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3 因此，特征方程的根是确定的， 的值是不随坐标轴的改变而变化的。 的值是不随坐标轴的改变而变化的。 • I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二 第一、 和第三不变量 和第三不变量。
变形连续条件。
边界条件3 §2.5 边界条件
位移边界条件
边界位移已知——位移边界Su 边界位移已知
u =u
v =u
w= w
位移边界条件就是弹性体表面的变形协调
弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等
边＝Sσ＋Su ＝ 部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界位移已知 部分边界面力已知——面力边界Sσ 部分边界面力已知 不论是面力边界条件，位移边界条件， 还是混合边界条件，任意边界的边界条件 数必须等于3 数必须等于3个。