--非正弦交流电路

第9章非正弦交流电路学习指导与题解一、基本要求1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。

明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。

了解谐波分析中傅里叶级数的应用。

2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。

能根据波形的特点判断所含谐波的情况。

了解波形原点选择对所含谐波的影响。

3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。

能根据给定波形计算出直流分量。

能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量，计算出它的有效值。

4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。

5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。

掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。

二、学习指导在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。

如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。

因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。

本章的教学内容可分为如下三部分：1．非正弦周期波由谐波合成的概念；2．非正弦周期波的谐波分析；3．非正弦交流电路的计算。

着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。

现就教学内容中的几个问题分述如下。

（一）关于非正弦周期波的谐波的概念非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。

如周期性变化的方波、三角波等。

这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期T和频率f，不同的是波形而已。

f t，可几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。

反之，一个非正弦周期波()以分解为含直流分量（或不含直流分量）和一系列频率为整数倍的正弦波。

这些一系列频率为整数倍的正弦波，就称为非正弦周期波的谐波。

其中频率与非正弦周期波相同的正弦波，称为基波或一次谐波；频率是基波频率2倍的正弦，就称为二次谐波；频率是基波频率3倍的正弦波，称为三次谐波；频率是基波频率k 倍的正弦波，称为k 次谐波，k 为正整数。

人们通常将二次及二次以上的谐波，统称为高次谐波。

（二）关于谐波分析的方法在电路分析中，将非正弦周期波的分解，应用傅里叶级数展开的方法，分解为直流分量（或不含有）和频率为整数倍的一系列正弦波之和，称为傅里叶分析，又称为谐波分析。

一人周期为T 的函数()f t ，如果满足狄里赫利条件﹡，则()f t 可以展开为如下三角级数：01()(cos sin )k k k f t A A k t B k t ωω∞==++∑这是一个无穷级数，由法国人傅里叶（Fourier ）提出来的，故称为傅里叶级数。

式中0A ，k A ，k B 称为傅里叶系数，由如下公式计算得出：00001()()2()cos 2()sin TTk Tk A f t dtT A f t k tdtT B f t k tdtT ωω===⎰⎰⎰直流分量0A 是()f t 一周期时间内的平均值，称直流分量。

1k =的正弦波，称为基波；2k =的正弦波，称为二次谐波；k n =的正弦波，称为n 次谐波。

当k 为奇数时，称为奇次谐波；k 为偶数时，称为偶次谐波。

非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。

在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级数。

常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示，以供查用。

常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式()f t 波 形 图()f x 傅里叶级数展开式22()(1sin cos 2cos 4)2315mA f t t t t πωωωπ=+---L﹡ 狄利赫利条件：()f t 在〔2T -，2T 〕 或〔0，T 〕区间，（1）除有限个第一类间断点外，其余各点连续；（2）只有有限个极点。

()f t 波 形 图()f x 傅里叶级数展开式2222()(1cos 2cos 4cos6)31535m f t A t t t ωωωπ=----L411()(sin sin 3sin 5)35m f t A t t t ωωωπ=+++L211()(sin sin 2sin 3)23m f t A t t t ωωωπ=-+-L1111()[(sin sin 2sin 3)]223m f t A t t t ωωωπ=-+++L2811()(sin sin 3sin 5)925m f t A t t t ωωωπ=-+-L2811()(cos cos3cos5)925m f t A t t t ωωωπ=+++L411()(sin sin sin 3sin 3sin 5sin 5)925m f t A t t t αωαωαωαπ=+++L331111()(cos3cos 6cos9)283580m f t A t t t ωωωπ=+-+-L（三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。

在对称波形中，傅里叶级数中，有些谐波分量（包括直流分量。

因直流分量是0k =的零次谐波分量）不存在。

因此，利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。

1．波形对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性与谐波分量的关系 有如下几个对称性波形及其傅里叶系数情况。

（1）偶函数 ()f t 波形对称于纵坐标，满足()f t =()f t -条件，如图9-1所示。

则0k B =，傅里叶级数中只含0A 和cos k A k t ω∑项，k =1，2，3，…。

亦即这类对称性非正弦周期波，只含直流分量和一系列余弦 函数的谐波分量。

（2）奇函数 ()f t 波形对称于坐标原点，满足 图9-1 偶函数波形举例()()f t f t =--条件，如图9-2所示。

则00A =，k A=0，傅里叶级数中，只含sin kB k t ω∑项，k =1，2，3，…。

亦即这类对称性非正弦周期波，只含一系列正弦函数的谐波分量。

（3）奇半波对称函数 若()f t 波形移动半周()2T ±与 原波形成镜像，即对横轴对称，满足()()2Tf t f t =-±条件。

如图9-3所示，()f t 波形不对称于纵轴和原点，故它图9-2 奇函数举例 不是偶函数和奇函数，只是移动()2T±与原波形对称于 横轴，则傅里叶系数中，00A =，k A 和k B 中k 为奇数，即k =1，3，5，…。

这类非正弦周期波只含奇次谐波。

所以，这类奇半波对称函数()f t ，称为奇谐波函数。

以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面 再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波 分量情况。

（4）半波重叠函数 若()f t 波形移动半波()2T ± 与原波形重叠，满足()()2Tf t f t =±条件。

如图9-4 所示，()f t 不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和 奇函数，只是移动2T±与原波形重叠。

则傅里叶系数 图 9-3 奇半波对称波形举例k A 和k B 中k 为偶数，即k =0，2，4，6，…。

这类非正弦周期波只含偶次谐波。

所以，这类半波重叠函数，称为偶偕波函数。

图 9-4 半波重叠函数波形举例 图 9-5 奇函数且半波对称波形举例（5）奇函数且奇半波对称 若()f t 波形满足()()f t f t =--和()()2Tf t f t =-±两个条件。

如图9-5所示，()f t 波形对称于原点，是奇函数，且移动2T±与原波形对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。

则傅里叶系数中00A =，0k A =，k B 中k 为奇数，即k =1，3，5…。

傅里叶级数中只含sin kB k t ω∑项的奇次谐波。

所以，这类奇函数且半波对称波，只含正弦函数的奇次谐波。

(6) 偶函数且奇半波对称 ()f t 波形满足()f t=()f t -和()()2Tf t f t =-±两个条件。

如图9-6所示，()f t 波形对称于纵坐标，是偶函数，且移动2T±与原波形对横轴成镜像对称，又是奇半波对称函数。

则傅里叶系000k A B ==，k A 中k 为奇数，即k =1，3，5…。

傅里叶级数中只含cos kA k t ω∑项的奇次谐波。

所以，这类偶函数且奇半波对称对称波，只含余弦函数的奇次谐波。

（7）偶函数且半波重叠 ()f t 波形满足()()f t f t =-和()()2Tf t f t =±两个条件。

如图9-7所示，()f t 波形对称于纵轴，是偶函数，且移动2T±与原波形重叠，又是半波重叠函数。

则傅里叶系数中，0k B =，k A 中k 为偶函数，即k =0，2，4，6，…。

傅里叶级数中只含0A 和cos kA k t ω∑项的偶次谐波。

所以，这类偶函数且半波重叠波，只含余弦函数的偶次谐波，包含直流分量。

（8）奇函数且半波重叠 ()f t 波形满足()()f t f t =--和()()2Tf t f t =±两个条件，如图9-8所示。

()f t 波形对称于原点，是奇函数，且移动2T±与原波形重叠，又是半波重叠函数。

则傅里叶系数中，00A =，0k A =，k B 中的k 为偶数，即k =2，4，6，…。

傅里叶级数中只含sin kB k t ω∑项的偶次谐波。

所以，这类奇函数且半波重叠波，只含正弦函数的偶次谐波。

图9-7 偶函数且半波重叠波形举例 图 9-8 奇函数且半波重叠波形举例﹡2。

非对称性非正弦周期波谐波分析的简化计算（1）非对称性非正弦周期波()f t ，可以分解为偶部()ef t 和奇部0()f t 之和。

偶部()ef t 是对称于纵轴的偶函数，奇部0()f t 是对称于原点的奇函数。

即 0()()()ef t f t f t =+1()[()()]2e f t f t f t =+-01()[()()]2f t f t f t =--图9-9 非对称性非正弦周期波()u t 及其偶部()eut 和奇部0()u t 波形图然后，利用波形的对称性来简化傅里叶系数的计算。

例如，如图9-9（a ）所示的非对称性非正弦周期电压波()u t ，它的偶部()eu t 为如图9-9（b ）所示，是偶函数且半波重叠波，从上述波形对称性可知，它的傅里叶级数只含0A 和cos kA k t ω∑项的偶次谐波。

即2111()[cos 2cos 4cos6]31535e mmU U u t t t t ωωωππ=+----L 奇部0()u t 如图9-9(c )所示，它是一正弦函数，即01()sin 2m u t U t ω=故非对称性非正弦周期波()u t 的傅里叶级数展开式为0()()()21sin [cos 22311cos 4cos 6]1535e m m m u t u t u t U U U t t t t ωωππωω=+=++----L（2）将非对称性非正弦周期波移动坐标原点位置，便可提到对称性波形，从而可以简化傅里叶级数展开式的计算。