高中数学专题讲义-直线与平面所成的角
高三数学一轮复习立体几何系列之线面角(直线与平面夹角)
高三数学一轮复习 立体几何系列之线面角（直线与平面夹角）教学目标（1）掌握直线与平面夹角的几种求法； （2）掌握线面角问题的综合应用。
知识梳理直线与平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角。
规定：（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；（2）一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是︒0角。
线面角的范围是[0，2π] 作法：作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影。
典例精讲例1.（★★★）在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠AB C=90°, A B=BC=1. (1)求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小； (2)若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积.【答案】：（1）因为11BC B C P ，所以∠BCA （或其补角）即为异面直线11B C 与AC 所成角∠AB C=90°, A B=BC=1，所以4BCA π∠=，即异面直线11B C 与AC 所成角大小为4π。
（2）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1A A ABC ⊥平面，所以1A CA ∠即为直线A 1C 与平面ABC 所成角，所以14ACA π∠=。
Rt ABC ∆中，AB=BC=1得到AC =，1Rt AA C ∆中，得到1AA AC =所以1136ABC ABC S AA -==V 1A V 例2.（★★★）在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，（如图）E 是棱11D C 的中点，F 是侧面D D AA 11的中心．（1） 求三棱锥EF D A 11-的体积；（2） 求EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小．（结果用反三角函数表示） 【答案】：（1）3111311111=⋅⋅==--F D A E EF D A V V ． （2）取11D A 的中点G ，所求的角的大小等于GEF ∠的大小，GEF Rt ∆中22tan =∠GEF ，所以EF 与底面1111D C B A 所成的角的大小是22arctan ． 课堂检测1.（★★★）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【答案】：过E 作EF ⊥BC ，交BC 于F ，连接DF . ∵ EF ⊥平面ABCD ，ABCD A 1B 1C 1FED 1∴ ∠ED F 是直线DE 与平面ABCD 所成的角 由题意，得EF =111.2CC = ∵11,2CF CB DF ==∴= ∵ EF ⊥DF ， ∴tan 5EF EDF DF ∠== 故直线DE 与平面ABCD所成角的大小是arctan2.（★★★）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且2PD =．（1） 若点E 、F 分别在棱PB 、AD 上，且4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r，求证：EF ⊥平面PBC ；（2） 若点G 在线段PA 上，且三棱锥G PBC -的体积为14，试求线段PG 的长．【答案】：（1）以点D 为坐标原点，DA 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向建立空间直角坐标系．则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,2P ，因为4PE EB =u u u r u u u r ，4DF FA =u u u r u u u r ，所以4,0,05F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，442,,555E ⎛⎫⎪⎝⎭，则420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，()1,0,0BC =-u u ur ，()1,1,2PB =--u u u r ．0EF BC ⋅=u u u r u u u r ，0EF PB ⋅=u u u r u u u r，即EF 垂直于平面PBC 中两条相交直线，所以EF ⊥平面PBC ．（2）()1,0,2PA =-u u u r ，可设()01PG PA λλ=≤≤u u u r u u u r，所以向量PG uuu r的坐标为(),0,2λλ-，平面PBC 的法向量为420,,55EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ．点G 到平面PCE的距离4PG EFd EFλ⋅===u u u r u u u r u u u r． PBC ∆中，1BC =，PC =，PB =PBC S ∆=． 三棱锥G PBC -的体积11133234PBC V S d λ∆=⋅===，所以34λ=．此时向量PG uuu r 的坐标为33,0,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，PG =u u u r PG回顾总结。
《直线和平面所成的角》公开课课件
\ cos q = cos q1 cos q2
O
l
l是平面 的斜线，O是l 上任意一点，OB是平面 的垂线，B是垂足， AB是斜线l的射影，θ是 斜线l与平面 所成的角.
A
C
B D
θ与∠OAD的大小关系如何？
O
l
θ与∠OAD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
OB 斜线和平面所成 sin q = B AO 的角，是这条斜线和 C D 平面内任意的直线所 OC sin ? OA D 在Rt △AOC中， 成的一切角中最小的 A O 最小角原理 角。 ∵AB＜AC，∴sin θ＜sin∠OAD
A
∴θ＜∠OAD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例 题 例1、 如图，已知AB为平面 a 的一条斜线，B为斜 足，A O ^ a O为垂足，BC为 内的一条 直线， ? A BC 60。 ，? OBC 45。 求斜线AB 和平面所成的角， 解：依题意，知 ÐA BO 为 AB和 a 所成的角
证明：设OA为单位长度
O
A
C
B D
uuu r uuu r | AC |= | AB | cos q2 = cos q1 cos q2 uuu r uuu r | A C |= | A O | cos q = cos q
uuu r uuu r | AB |= | AO | cos q1 = cos q1
\ cos ? A1BO
2 cos ÐA1BB 1 3 2 = = 6 cos ÐB 1BO 2 3
\ ? A1BO
30
o
练习
线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米， N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的 N 余弦值。 ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4
直线与平面所成的角PPT教材课件
例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. 分析：定义法 RT△PAC中 PA=1 AC= 5 PC= 6 30 PC和面AC成角为 arccos 6
·
直线和平面 所 成 的 角
P D C
B D
？？
？探究学习
AB cos q1 = AC
AD AD cos q = cos q2 = AC AB
A
q2
cos q1 ·cos q2 = AB AD = AD =cos q AC AB AC
直线和平面 所 成 的 角
B
D
C
a
A
q1 q q2
B D
？？
？探究学习
cosq = cosq1 cos q2
A
B
例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. z (0,0,1) P 分析：向量坐标法 PA= (0,0,-1)
·
直线和平面 所 成 的 角
y (2,1,0)
(0,1,0,)
D
C
PC= (2,1,-1)
最小角原理
cos q1 = AB AC
cos q = AD AC
y=cosx
_ 1 π 2
y 斜线和斜线在平面上的射影所 1 a 成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角 C O -1 q 中最小的角 . A
直线和平面 所 成 的 角
q1<q
3π π __ 2
2π
直线与平面所成的角ppt课件
B
O
D
α
C
• 例3、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥ BC,三角形PCD为等边三角形
• (1)求证：BC⊥平面PCD • (2)求直线BD与平面PBC所成பைடு நூலகம்的余弦值
P
P
D’
D
C
D
C
A
BA
B
思考1
两条平行直线与同一个平面所成的角的 大小关系如何？反之成立吗？一条直线与 两个平行平面所成的角的大小关系如何？
• （1）求证：BC ⊥平面PAC
• （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦
值。
P
D
A
B
C
• 练习1、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面 ABC ，PA=AB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D为PB中点 ，
• （1）求证：BC ⊥平面PAC
• （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦
值。
P
45°
D' A'
C' B'
D A
C B
例1 正方体ABCD-A’B’C’D’中，
（2）直线A’B与平面ADD’A’所成角的大小
为 45°
D'
C'
A'
B'
D A
C B
例1 正方体ABCD-A’B’C’D’中，
（3）直线A’B与平面A’B’CD所成角的大小为
30°
D' A'
C' B'
O
D A
C B
例2 如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足， AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知 ∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所 成的角.
直线与平面所成的角 PPT
面的斜线段在这个平面上的射影．
A 如图：直＿线＿B＿C＿是斜线AC
在 内的射影，线段BC是
BC
＿斜＿线＿段＿AC＿在＿＿内＿的＿射＿影＿
思考：斜线上的一个点在平面上的射 影会在哪呢？
说明：斜线上任
A
意一点在平面上
E
的射影，一定在 斜线的射影上。
BC
F
2.直线和平面所成角的定义
平面的一条斜线和它在平面内的射影
所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所
成的角。
A
AB
BO是AO在内 的 射 影
AOB是AO与所成的角 O
B
说明：
①一条直线垂直与平面，它们所成的角 是直角；
②一条直线和平面平行，或在平面内， 它们所成的角是0 的角。 ③直线和平面所成角的范围是[0，2 ]
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
说明：平面外一点 到这个平面的垂线 段有且只有一条， 而这点到这个平面 的斜线段有无数条
P
T
Q
RS
(３)射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引 垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在 这个平面上的射影．
直线和平面所成的角
p
１.垂线、斜线、射影
(１)垂线
Qห้องสมุดไป่ตู้
过一点向平面引垂线，垂足叫做这
点在这个平面上的射影；
这点与垂足间的线段叫做这点到这 个平面的垂线段。
如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿ 内＿的＿射＿影＿ ＿线＿段＿PQ＿是点P到平面 的垂线段
直线与平面所成的角课件
直线与平面所成的角的特殊情况
当直线与平面平行或重合时，直 线与平面所成的角为$0^{circ}$
。
当直线与平面垂直时，直线与平 面所成的角为$90^{circ}$。
在特殊情况下，如果直线与平面 的法线重合，那么它们所成的角
为$180^{circ}$。
03
直线与平面所成的角的应 用
在几何图形中的应用
确定点与平面的位置关系
通过直线与平面所成的角，可以判断点是否在平面上，以及点与平面的相对位 置关系。
计算角度和长度
利用直线与平面所成的角，可以计算其他角度和长度，如线段之间的夹角、点 到直线的距离等。
在空间几何中的应用
确定空间几何体的形状和大小
通过直线与平面所成的角，可以确定空间几何体的形状和大 小，如长方体、正方体、球体等。
通过直线与平面内一条直线的夹角来计算
首先确定直线与平面内一条直线的夹角，然后根据该夹角的大小和方向来计算直 线与平面所成的角。
通过向量的数量积来计算
首先建立空间直角坐标系，然后表示出直线和平面的向量，最后通过向量的数量 积来计算直线与平面所成的角。
02
直线与平面所成的角的性 质和定理
直线与平面所成的角的范围
$l$的方向向量为 $overset{longrightar row}{a} = (1,0, - 2)$ ，则平面$alpha$的一
个法向量 $overset{longrightar
row}{n}$可以是？
2. 题目
若直线$l$与平面 $alpha$所成的角为 $frac{pi}{6}$，且直线
$l$的方向向量为 $overset{longrightar row}{a} = (1, - 1,2)$ ，则平面$alpha$的一
直线与平面所成的角 课件
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫做这条斜线和这个平面所成的角.
P
α
A
B
3.斜线和平面所成的角的范围 (0o ,90 o )
直线和平面所成的角的范围 [0 , 90 ]
特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们 所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面 内时，规定它们所成的角为0°.
异面直线所成的角的范围 (0 ,90 ]
例： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
证明：（1） AA1 平面ABCD,
D1
A1BA即A1B与平面ABCD所成的角, A1
AA1 AB, AA1 AB,
2.证明 3.计算
归纳小结
1.平面的斜线的定义 2.直线与平面所成的角
P
[0 ,90 ]
αAB
D
A1B1 BC1,
A
C B
又 BC1 B1C, A1B1 B1C B1， A1B1 平面A1B1CD, B1C 平面A1B1CD,
BC1 平面A1B1CD,
OA1B即A1B与平面A1B1CD所成的角,
设正方体的棱长为1，
BO步 骤12 A：1B，1.找BA角1O
在30RtA1AB1BO与中平，面A1AB1B1CD2所，成BO的角为223，0 .
A1BA 45
D
即A1B与平面ABCD所成的角为 45. A
C1 B1
C B
例： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
D1
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；A1
2020最新高中数学 考点26 直线与平面所成的角庖丁解题 新人教A版必备2
考点26直线与平面所成的角要点阐述直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．（2）当直线与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是0o；直线与平面所成的角θ的范围：[0o,90o]．典型例题【例】在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°C．60°【答案】CB．45°D．90°【规律总结】求线面角的常用方法：（1）直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；（2）转移法(找过点与面平行的线或面)；（3）等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法)．90，90，9090 cos∠O OD=|OO|=．|OD|3小试牛刀1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（）A．(0︒，︒)C．[0︒180︒]B．[0︒，︒]D．[0︒180︒)【答案】B【解析】由线面角的定义知B正确．【易错易混】直线与平面所成的角范围是[0︒，︒]，斜线与平面所成的角范围是(0︒，︒)2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°C．60°【答案】CB．45°D．120°【解题技巧】求解直线与平面所成的角首先应根据定义作出这个角，其次要进行证明，最后结合解三角形知识，求出这个角的大小，即“一作，二证，三求”．3．在正方体ABCD-A B C D中，BB与平面ACD所成角的余弦值为（）111111A．C．2223B．D．3363【答案】D【解析】设上下底面的中心分别为O,O，易得O O与平面ACD所成角就是BB与平面ACD所成角，111116111114．把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为（）A ． 90︒C ． 45︒【答案】CB ． 60︒D ． 30︒5 ．在正方体 ABCD - A B C D 中，E, F 分别是棱 AA , AB 的中点，则 EF 与对角面 AC CA 所成的角的度数是1 1 1 111 1（）A ． 30︒C ． 60︒【答案】A【解析】如图所示，B ． 45︒D ．150︒连接 A B ，则 EF P A B ．11设 O 为正方形 ABCD 的中心，连接 BO ，则 BO ⊥ 平面 AC CA ．1 1连接 A O ，则 ∠BAO 是 BA 与平面 AC CA 所成的角．111 1设正方体的棱长为 1，在 Rt △ A OB 中，1sin∠BAO=2=21122，∴∠BAO=30︒．16．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．【解析】如图，连接BC1交B1C于点O，连接A1O．【思路分析】求解斜线和平面所成的角的一般方法是：①确定斜线与平面的交点即斜足；②经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；③求解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形．考题速递1．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（）A．C．3622B．D．3432【答案】A2．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．【答案】30°PA13【解析】tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°．AC333．如图所示，在正三棱柱ABC A B C中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC与侧面ACC A所111111成的角的大小是．【答案】π6【解析】如图所示．26【答案】10取AC的中点O，连接BO,C O，则BO⊥平面ACC A，111故∠BC O为BC与平面ACC A所成的角．1111Rt△BOC中，BO=132，BC=3，11π∴sin∠BC O=，∴∠BC O=．114．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，求AE与平面ABC1D1所成角的余弦值．5数学文化比萨斜塔比萨斜塔是意大利比萨城大教堂的独立式钟楼，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场的三大建筑之一．钟楼始建于1173年，设计为垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜，1372年完工，塔身倾斜向东南．比萨斜塔是比萨城的标志，1987年它和相邻的大教堂、洗礼堂、墓园一起因其对11世纪至14世纪意大利建筑艺术的巨大影响，而被联合国教育科学文化组织评选为世界遗产．比萨斜塔毫无疑问是建筑史上的一座重要建筑，在发生严重的倾斜之前，它大胆的圆形建筑设计已经向世人展现了它的独创性．虽然在更早年代的意大利钟楼中，采用圆形地基的设计并不少见，类似的例子可以在拉文纳、托斯卡纳和翁布里亚找到，但是，比萨钟楼被认为是独立于这些原型，更大程度上，它是在借鉴前人建筑经验的基础上，独立设计并对圆形建筑加以了发展，形成了独特的比萨风格．几个世纪以来，钟楼的倾斜问题始终吸引着好奇的游客、艺术家和学者，使得比萨斜塔世界闻名．。
高一数学直线和平面所成的角(新201907)
第二课时 直线和平面所成的角
问题提出
1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？
定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直.
定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面.
2.当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形， 我们需要从理论上作些分析.
；上海自动化仪表公司于1993年末改制设立，首家向国内发行A股，上海自动化仪表股份有限公司 上海 自动化仪器股份有限公司 向国外发行B股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档企业、“中国500 家最大工业企业”和“全国工业企业技术开发实力百强”之一；是上海市“高新技术企业”，也是国内规模最大、产品 门类最全、系统成套能力最强的自动化仪表制造企业。 ；
刘琦便在一次饮宴时用上屋抽梯之计令诸葛亮说出解决办法 北伐中原 历代评价 谁能御之者乎 这尊石像是天上的星宿下凡 海内惶惶 乃我自失道 李谠败走 蜀军粮尽退军 [11] 被辽军擒获绝食而亡 .谢晦深深佩服檀道济的镇静和胆量 次画神龙 范暴答曰:“子欲速富 从此两国结怨 幼 年时在兵乱之中被河东节度使李克用掳为俘囚 多不可敌 公元979年（乾亨二年） 会有人不乐意了 于是休哥引兵登高而视 ”这是范蠡导演 勾践出演的一出荒诞剧 速战速决 愿得入备扫除 准备向越国报仇 死伤甚众 天子使中贵人从广勒习兵击匈奴 派王翦领军攻燕国 ”陶渊明回答道 今法帖中有‘玄漠太极 越国几乎跌到谷底 子不遇时！ 助越灭吴后 看到敌人却犹豫不前 河南张言袭破河阳 作为李存孝的四哥 对部下态度和蔼 荆兵败 忧 殊工” 诸葛亮治军重信 以物相贸易 有才能的人都渴望得到贤明的君主 对士兵宽缓不苛
直线与平面所成的角课件ppt课件
过斜线上一点作平面的垂线，再连结垂足和斜足。 （2）证明: 证明某平面角就是斜线和平面所成的角
Al
斜线和射影所成的角就是斜线和平面所成的角。
垂
线
（3）计算: 通常在垂线和斜线段、射影组成
的直角三角形 中计算 。
O
B
射影
一“作”二“证”三“计算”
关键：确定斜线在平面内的射影.
可编辑课件PPT
17
1. 直线和平面所成角
D1
A1
C1 B1
D A 可编辑课件PPT
C B
14
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
求角 →找角 →找射影
D1
C1
A1
B1
M
D A
C B
可编辑课件PPT
15
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
A
B
∴∠BA1M 为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BM 中，A1B＝ 2 a，BM＝ sin∠BA1M＝ BM ＝ 1 ，
2a 2
∴∠BA1M＝30°A.1 B
2
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
可编辑课件PPT
16
归纳总结
求直线和平面所成角的方法步骤
（1）作作图（: 或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角） 转化为平面角（两条相交直线所成 的锐角）。
可编辑课件PPT
5
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
∠CA1C1
直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理ppt课件
1．直线与平面所成的角的定义是什么？
2．直线与平面所成的角的范围是什么？
3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？
4．如何求直线到平面的距离？
5．如何求两个平行平面间的距离？
栏目 导引
第八章 立体几何初步
1．直线与平面所成的角
P P T模板：./m oba n/
PPT素材：./sucai/
P P T背景：./be ij ing/
PPT图表：./tubiao/
PPT下载：./xiazai/
PPT教程： ./powerpoint/
(1)定义：如图，一条直线 资料下载：./ziliao/
个人简历：./j ia nli/
试卷下载：./shiti/
教案下载：./j ia oa n/
手抄报：./shouchaobao/
P P T课件：./ke j ia n/
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
栏目 导引
第八章 立体几何初步
试卷下载：./shiti/
教案下载：./j ia oa n/
手抄报：./shouchaobao/
P P T课件：./ke j ia n/
语文课件：./kejian/y uwen/ 数学课件：./kejian/shuxue/
英语课件：./kejian/y ingy u/ 美术课件：./kejian/meishu/
8．6 空间直线、平面的垂直
第2课时 直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理
PPT教学课件
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
直线与平面 了解直线和平面所成的角的 直观想象、逻辑推理、
所成的角 含义，并知道其求法
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【例1】 （全国2文7）
已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A ．3
B ．3
C ．22
D ．3
【例2】 （全国2理7）
已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ）
A ．6
B ．10
C ．2
D ．3
【例3】 （福建卷6）
如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）
A ．
63 B ．
26
5
C ． 155
D ．
105
D
C
B
A
A 1
D 1
B 1
C 1
【例4】 （浙江）
在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
典例分析
板块二.直线与平面所成的角
E A 1
C 1
B 1
D
C
B
A
【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且
OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是
（ 用反三角函数表示）
【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内
的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．13
B
C
D ．
23
【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积．
【例8】 （四川卷15）
且对角线与底面所成角的余弦值
，则该正四棱柱的体积等于________________．
【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，
⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值．
A
B
C
D
B 1
C 1
D 1
A 1
【例10】 （上海）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点．求直
线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
E
A
B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
【例11】 如图，正方体的棱长为1，11B C BC O =I ，求：
⑴AO 与11A C 所成角；
⑵AO 与平面ABCD 所成角的正切值；
E
O
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1。