利用零点分段法解含多绝对值不等式.

(2)|x+1|>|2x－1|;
(3)|x－1|+|2x+1|<4.
【解前点津】(1)可直接去掉绝对值符号，转化为－(x+2)≤x2－4≤(x+2);(2)两边平方，去掉绝对值符号;(3)当x=1,－ 时,有x－1=0及2x+1=0,故可分段讨论，去掉绝对值符号.
【规范解答】(1)原不等式可化为:
－(x+2)≤x2－4≤x+2 .
【规范解答】(1)化原不等式为: .
(2)化原不等式为:
.
(3)化原不等式为两个不等式组:
.
【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算.对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多精力.
【例2】解下列含有绝对值的不等式：
(1)|x2－4|≤x+2;
不等式组(Ⅰ)的解集是{x|x＜－2}，
不等式组(Ⅱ)的解集是 ，
不等式组(Ⅲ)的解集是{x|x＞1}．
综上可知原不等式的解集是{x|x＜－2或x＞1}．
例2解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．
解：由于实数1，2将数轴分成(－∞，1]，(1，2]，(2，＋∞)三部分，故分三个区间来讨论．
⑴当x≤1时，原不等式可化为－(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜0．故不等式的解集是{x|x＜0}．
综上知a＞2．
无理不等式与绝对值不等式
●考试目标主词填空
1.含有绝对值的不等式
①|f(x)|<a(a>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是－a<f(x)<a.
②|f(x)|>a(a>0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)>a或f(x)<－a.
③|f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x).
故原不等式的解集为［1,3］∪{－2}.
(2)化原不等式为|x+1|2>|2x－1|2 (2x－1)2－(x+1)2<0.
(2x－1+x+1)·(2x－1－x－1)<0 3x·(x－2)<0 0<x<2.
(3)令x－1=0得x=1,令2x+1=0得x=－ .
当x∈ 时,原不等式可化为:－(x－1)－(2x+1)<4 .
|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|当且仅当a1,a2,a3,…an符号相同时取等号.
●题型示例点津归纳
【例1】解无理不等式.
(1) >2;
(2) >2x－4;
(3) <2x+1.
【解前点津】(1)因2>0,故原不等式可化为不等式组: .
(2)因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论.
2.无理不等式
对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有两类:
①
② .
3.含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号.
4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解.
5.三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,此不等式可推广如下：
利用零点分段法解含多绝对值不等式
对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法——零点分段讨论法．
一、步骤
通常分三步：
⑴找到使多个绝对值等于零的点．
⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1段进行讨论．
⑶将分段求得解集，再求它们的并集．
二、例题选讲
不等式 的解即当y1= 的图像在y2=ax+ (x≥0)的图像上方时相应的x的取值范围，因为不等式解集为(4,m),故方程 有一个解为4,将x=4代入 得: .
再求方程 的另一个解，得:x=36,即m=36.
【解后归纳】用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像，且图像必须wenku.baidu.com“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集.
例1求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．
分析：据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉绝对值．从而转化为不含绝对值的不等式．
解：∵|x＋2|＝ ，|x－1|＝ ．
故可把全体实数x分为三个部分：①x＜－2，②－2≤x＜1，③x≥1．
所以原不等式等价于下面三个不等式组：
(Ⅰ) ，或(Ⅱ) ，或(Ⅲ) ．
解：∵x＝5时，|x－5|＝0；x＝3时，|x－3|＝0．
⑴当x≤3时，原不等式可化为－x＋5－x＋3＜a，即a＞8－2x，由x≤3，所以－2x≥－6，故a＞2．
⑵当3＜x≤5时，原不等式可化为－x＋5＋x－3＜a，即a＞2．
⑶当x＞5时，原不等式可化为x－5＋x－3＜a，即a＞2x－8＞10－8＝2，故a＞2．
【例4】解不等式|log2x|+|log2(2－x)|≥1.
【解前点津】从x的可取值范围入手，易知0<x<2,当x分别在 及(1,2)上取值时，可同时去掉两个绝对值符号.
【规范解答】∵x>0且2－x>0故0<x<2时不等式才有意义.
当x∈ 时,因log2x≤0,log2(2－x)≥0,故此时原不等式为:
⑵当1＜x≤2时，原不等式可化为(x－1)－(x－2)＞x＋3，即x＜－2．故不等式的解集是 ．
⑶当x＞2时，原不等式可化为(x－1)＋(x－2)＞x＋3，即x＞6．故不等式的解集是{x|x＞6}．
综上可知，原不等式的解集是{x|x＜0或x＞6}．
例3已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，求a的取值范围．
【例3】若不等式 的解集是(4,m),求a,m的值.
【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数y= (x≥0)及y=ax+ (x≥0)的图像.若y= 的图像位于y=ax+ 图像的上方，则与之对应的x的取值范围就是不等式的解.
【规范解答】设y1= ,它的图像是半条抛物线;y2=ax+ (x≥0),它的图像是经过点(0, ),斜率为a的一条射线.
当x∈ 时,原不等式可化为:－(x－1)+(2x+1)<4.
由 <x≤1.
当x∈(1,+∞)时,原不等式可化为:(x－1)+(2x+1)<4,故由 .
综上所述知: 为原不等式解集.
【解后归纳】解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段?分几段?这只须算出“分点”即可，即“绝对值”为0时的变量取值，n个不同的分点，将数轴分割成了(n+1)段.