函数是现代数学的基本概念之一汇总

lg(3  x) 求函数 f ( x)   5  4 x  x 2 的定义域 sin x  x3  3 x  0     x  k 解：依题意  sin x  0 1  x  5 5  4 x  x 2  0  


 D  {x | 1  x  3, x  0}  [1,0） (0,3).
2 2

不同 （法则不同）

不同 （定义域不同）
相同 不同 （定义域不同）

4、 f ( x)  1 ，g ( x)  sec x  tg x
2 2

说明2：f 和 f ( x)的含义是有区别的。f 表示 x 与 y 之间的
函数关系，f ( x)表示自变量 x 所对应的函数值。 但为叙述方便，习惯上称f ( x)，或 y  f ( x)表示函数。

按照某个法则 f ，对D中每一个数 x ,变量 y 都有唯一
的值与之对应，则称这个法则 f 是定义在D 上的函数， 记作：

y  f ( x)
法则

xD
定义域

因变量

自变量

函数的表示法有三种：解析法、图像法、表格法。 定义域和法则是函数的两个要素。定义域和法则确定，相 说明1： 应的值域也随之确定。

f

若集合中元素的个数为有限个，则称有限集 ； 否则，称为无限集 。 不含任何元素的集合称为空集。用符号

 表示

2、集合表示法 列举法： 把集合中所有的元素都列举出来。

A  a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,.........

描述法：把M 中元素的共同特征描述出来。

形如： M  元素 | 元素所满足的条件
我们干脆这样来理解：

f 是一个运算法则，f () 表示对括弧中的  按照 规定的法则进行运算。

例如： 定义 f ( x)  x  sin x 就是表示
2

法则： f ()  2  sin 1 12 1 2 4 2 就有 f ( )  ( )  sin f ( x )  x  sin x t t t 其定义域为D。 说明3：函数表达式为： y  f ( x) ， x  D ，

2、一昼夜的气温 T 随着时间 t 的 变化而变化，
0

T

t
6 12 24

3、为研究钢线含碳量 x （单位：%）对电阻 Y （单位：） 在200 C 的效应，
x
Y

实验记录如下：
0.4
19

0.1
15

0.3
18

0.55
21

0.7
22.6

0.8
23.8

0.95
26.1

定义1.1：设有两个变量 x 和 y ，D是给定的一个数集 ，如果

例1：单位圆上点的集合

y

A （  x, y) | x2  y 2  1

0

x
1

y
例2：单位圆内点的集合

B （  x, y) | x2  y 2  1

x
0 1

3、数集

集合中的元素都是数的集合

全体自然数的集合 全体整数的集合

N  1， 2， 3， 4， ............

(3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为奇函数. •奇偶函数的图形特点

偶函数的图形对称于y轴
怎样判断函数的奇偶性？

奇函数的图形对称于原点

例如：判断函数 y  ln( x  1  x 2 ) 的奇偶性

根据点集的几何特征来对数集命名

———数轴上的区间

（二）、区间
1、有限区间
( a ) b

x

开区间：

(a, b)   x | a  x  b
[ a ] b

x

闭区间：
( a ] b

[a, b]   x | a  x  b

x

[ a

) b

x

半开区间：

(a, b])   x | a  x  b [a, b)   x | a  x  b
此函数称为取整函数, 其定义域为D(, +), 其值域为Rf Z. 注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部 分, 记作[x].

2 x 0  x 1 例1.5 例 6. 函数 y   . 1 x x 1
此函数的定义域为D[0, 1](1, )[0, ).

2、无限区间

开区间：

(a,  )   x | a  x   (, b)   x |    x  b (,  )   x |    x    R

半开区间： [a,  )   x | a  x   (, b]   x |    x  b
a 
(


)



。 a


a 

xa

U(a,  )   x | a    x  a  (a   ) (a   )

x | a  x  a   

邻域是一个非常重要的概念，我们将在数轴某点x0附 近分析函数变化趋势及其性质。 称  为邻域半径，一般取 的值很小，可以任意小。

基本要求
①能准确叙述并深刻理解极限定义，明确其几何意义， ②正确理解无穷小量及其与极限的关系 ③牢固掌握极限运算法则，极限的性质 ④理解极限存在准则，熟记两个重要极限，灵活地运用 它们及其各种变形公式求极限

⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质。

重点：

例如数 2 的0.001邻域就是

U（2，0.001）=（1.999，2.001）
数 2 的0.001的去心邻域就是 U（2，0.001）=（1.999，2）∪（2，2.001）

二、函数概念
在同一个问题中，往往有几个变量，按照一定的规律变化着。
2 1 、圆的面积 A 是随着半径 r 的变化而变化， A =  r 例如：
解：f ( x)  ln( x  1  ( x) )
2

 ln( 1  x 2  x)  ln(

( 1  x 2  x)( 1  x 2  x) ( 1  x  x)
2

)

 ln

1 ( 1  x 2  x)

  ln( x  1  x2 )   f ( x)

  q 全体有理数的集合 Q   x | x  ; p, q都为整数且互质 p  
全体实数的集合

Z  .......  3，-2，-1，0，1，2，3，.... 
R   x |    x  

. . . . . . . -3 -1 0 1 2 3

x

实数和数轴上的点可以建立一一对应关系，有时把数 x 称为点 x ，指着数轴的点说数 x ，这两种说法是等价的。 可以把数集说成点集，把数轴的点集说成数集。
函数表达式为： y  f ( x) ， 定义域是使x 有意义的数集， 称为自然定义域

1 求函数 y   x  2 的定义域 2 1 x

1  x 2  0  解： 依题意  x20  D  [2, 1) (1,1)

 x  1 ,   x  2
(1, ).

所以 y  ln( x  1  x2 ) 是奇函数。
怎样判断函数的奇偶性？

定义： f ( x)  ? 用 教材 13页习题 9 运算性质：

怎样判断函数的单调性？

举例
证明 y  x2 在（0，  ）上是单调上升的。

证明： 任取 x1, x2  （0， ）,且 x1  x2
则 f ( x2 )  f ( x1 )  x  x  ( x1  x2 )( x2  x1 )  0
2 2 2 1

所以 y  x 在（0，  ）上是单调上升

当 0  x  1 时, y  2 x  当 x>1 时, y1x.

1 1 例如 f ( )  2  2  2 2 f (1)  2 1  2  f(3)134.

三、函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 则称函数f(x) 在X上有上界. 如果存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 则称函数f(x) 在X上有下界. 如果存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界.
第一章

函数与极限

函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对 象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析 方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是 函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和 有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.
2

我们现在的本领还只能用定义。

等我们学习了第二章以后，问题就特别简单了。

(3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为奇函数. •奇偶函数举例 yx2, ycos x都是偶函数. yx3, ysin x 都是奇函数.
极限概念，无穷小与极限的关系， 极限运算法则，两个重要极限， 连续概念，初等函数的连续性，间断点及其分类。

难点：
极限概念及求极限的方法技巧，

连续概念及其性质。

第一节
一、集合与区间
（一）集合
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函数

1、集合的概念 ★把任意指定的有限多个或无限多个事物所组成的总体称为 一个集合。用英文大写字母 A，B，C，………来表示。 组成这个集合的事物称为该集合的元素。用小写字母表示。 事物 a 不是集合M中的元素，记作 a  M 事物 a 是集合M中的元素，记作 a ∈M 读作 a 属于M 读作 a 不属于M
函数表达式为分段函数，定义域为各段函数定义域的并集。

1 x 0   例例 1.3 7. 函数 y  sgn x   0 x  0 .  1 x  0 此函数称为符号函数, 其定义域为D(, +) , 其值域为Rf {1, 0, 1}. 例1.4 函数 y[x].

例1.1 函数 y2. 这是一个常值函数, 其定义域为 D(, ), 其值域为 W {2}.

x x0  例 1.2 例 6. 函数 y | x |  .  x x  0 此函数称为绝对值函数, 其定义域为 D(, +), 其值域为 W [0, + ). 分段函数 在自变量的不同变化范围中 , 对应法则用不同 式子来表示的函数称为分段函数.

3、邻域
设 a 与  是两个实数，且  0,


a 
( a


a 
)

则称数集 U（a,）=  x | | x  a |  为点a的 邻域。

U(a,  )   x | a    x  a     (a   , a   )
设 a 与  是两个实数，且  0, 则称数集 U（a,）=  x | 0 | x  a |  为点a的 去心邻域。
怎样判断函数的有界性？

(2)函数的单调性 设函数yf(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意 两点, 且x1<x2. 如果恒有f(x1)<f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的. 如果恒有f(x1)>f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

•函数的有界性举例 f(x)sin x在(, +)上是有界的: |sin x|1.

1 函数 f (x)  在开区间(0, 1)内是无上界的. x 1 这是因为, 对于任一 M>1, 总有 x1 : 0  x1  1 , 使 M 1 f (x1)   M , x1 所以函数无上界. 1 函数 f (x)  在(1, 2)内是有界的. x

法则 值域

定义域

D
★ 要判断两个函数是

是一个映射

W

否相同， 必须定义域、法则都相同，缺一不可。

判断下列每对函数是否相同？

1、 f ( x)  x , g ( x)  x 2 2、 f ( x)  2ln x , g ( x)  ln x 2 3、 f ( x)  1 ，g ( x)  sin x  cos x