2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)教师版

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2019•海南）设集合A ＝{x |x 2﹣5x +6＞0}，B ＝{x |x ﹣1＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣2，1）C ．（﹣3，﹣1）D ．（3，+∞）【分析】根据题意，求出集合A 、B ，由交集的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，A ＝{x |x 2﹣5x +6＞0}＝{x |x ＞3或x ＜2}，B ＝{x |x ﹣1＜0}＝{x |x ＜1}，则A ∩B ＝{x |x ＜1}＝（﹣∞，1）；故选：A ．【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．2．（5分）（2019•海南）设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】求出z 的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．【解答】解：∵z ＝﹣3+2i ，∴z =−3−2i ，∴在复平面内z 对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C ．【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题．3．（5分）（2019•海南）已知AB →=（2，3），AC →=（3，t ），|BC →|＝1，则AB →•BC →=（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．3 【分析】由BC →=AC →−AB →先求出BC →的坐标，然后根据|BC →|＝1，可求t ，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．【解答】解：∵AB →=（2，3），AC →=（3，t ），∴BC →=AC →−AB →=（1，t ﹣3），∵|BC →|＝1，∴t ﹣3＝0即BC →=（1，0），则AB →•BC →=2故选：C ．【点评】本题主要考查了向量数量积 的定义及性质的坐标表示，属于基础试题4．（5分）（2019•海南）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R+r)2+M 2r 2=（R +r ）M 1R 3．设α=r R ．由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)≈3α3，则r 的近似值为（ ） A ．√M 2M 1R B ．√M 22M 1R C ．√3M 2M 13R D ．√M23M 13R 【分析】由α=r R ．推导出M 2M 1=3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，由此能求出r ＝αR =√M 23M 13R ． 【解答】解：∵α=r R ．∴r ＝αR ，r 满足方程：M 1(R+r)2+M 2r 2=（R +r ）M 1R 3． ∴M 2M 1=3α3+3α4+α5(1+α)≈3α3， ∴r ＝αR =√M23M 13R ． 故选：D ．【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．5．（5分）（2019•海南）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选：A．【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．6．（5分）（2019•海南）若a＞b，则（）A．ln（a﹣b）＞0B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0D．|a|＞|b|【分析】取a＝0，b＝﹣1，利用特殊值法可得正确选项．【解答】解：取a＝0，b＝﹣1，则ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；3a=30=1＞3b=3−1=13，排除B；a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题．7．（5分）（2019•海南）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故选：B．【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题．8．（5分）（2019•海南）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x23p +y2p=1的一个焦点，则p ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．【解答】解：由题意可得：3p ﹣p ＝（p 2）2，解得p ＝8． 故选：D ．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．9．（5分）（2019•海南）下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（ ） A ．f （x ）＝|cos2x | B ．f （x ）＝|sin2x | C ．f （x ）＝cos|x | D ．f （x ）＝sin|x |【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．【解答】解：f （x ）＝sin|x |不是周期函数，可排除D 选项；f （x ）＝cos|x |的周期为2π，可排除C 选项；f （x ）＝|sin2x |在π4处取得最大值，不可能在区间（π4，π2）单调递增，可排除B ． 故选：A ．【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题．10．（5分）（2019•海南）已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sin α＝（ ） A ．15 B ．√55 C ．√33 D ．2√55【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sin αcos α＝2cos 2α，结合角的范围可求sin α＞0，cos α＞0，可得cos α＝2sin α，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin α的值．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sin αcos α＝2cos 2α，∵α∈（0，π2），sin α＞0，cos α＞0， ∴cos α＝2sin α，∵sin 2α+cos 2α＝sin 2α+（2sin α）2＝5sin 2α＝1，∴解得：sin α=√55．故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．11．（5分）（2019•海南）设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√5【分析】由题意画出图形，先求出PQ ，再由|PQ |＝|OF |列式求C 的离心率．【解答】解：如图，由题意，把x =c 2代入x 2+y 2＝a 2，得PQ =2√a 2−c 24， 再由|PQ |＝|OF |，得2√a 2−c 24=c ，即2a 2＝c 2， ∴c 2a 2=2，解得e =c a =√2． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12．（5分）（2019•海南）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83] 【分析】因为f （x +1）＝2f （x ），∴f （x ）＝2f （x ﹣1），分段求解析式，结合图象可得．【解答】解：因为f （x +1）＝2f （x ），∴f （x ）＝2f （x ﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[−14，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[−12，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）=−89解得x=73或x=83，若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥−89，则m≤73．故选：B．【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2019•海南）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98．【分析】利用加权平均数公式直接求解．【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：x=110+20+10（10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．故答案为：0.98．【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）（2019•海南）已知f （x ）是奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣e ax ．若f （ln 2）＝8，则a ＝ ﹣3 ．【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果【解答】解：∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣ln 2）＝﹣8，又∵当x ＜0时，f （x ）＝﹣e ax ，∴f （﹣ln 2）＝﹣e ﹣aln 2＝﹣8，∴﹣aln 2＝ln 8，∴a ＝﹣3．故答案为：﹣3【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．15．（5分）（2019•海南）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝6，a ＝2c ，B =π3，则△ABC 的面积为 6√3 ．【分析】利用余弦定理得到c 2，然后根据面积公式S △ABC =12ac sin B ＝c 2sin B 求出结果即可．【解答】解：由余弦定理有b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，∵b ＝6，a ＝2c ，B =π3，∴36＝（2c ）2+c 2﹣4c 2cos π3， ∴c 2＝12，∴S △ABC =12acsinB =c 2sinB =6√3，故答案为：6√3．【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．16．（5分）（2019•海南）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 26 个面，其棱长为 √2−1 ．【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个面，故共有26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的cos45=√22倍．【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+√22x+√22x＝1，解得x=√2−1．故答案为：26，√2−1．【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题．三、解答题：共70分。