CAD课件

第2章
CAD建模理论基础
2.1.5
自由曲面建模理论基础
与自由曲线一样，自由曲面也有显示、隐式和参数表达 三种表达形式，且参数表达更便于计算机处理。 与自由曲线不同的是，自由曲面有2个参数变量u,v。 基本概念 曲面参数表达形式
x = x(u, v ), y = y(u, v ), z = z(u, v ), u, v ∈ [0 1]
⎡0 1 2 ⎤ ⎢1 ⎡ =⎢ ⎢3 1 ⎥ ⎢4 ⎣ ⎦ ⎢ ⎣3
0 ⎤ a3 2⎥ b3 ⎥ 3 ⎥ c3 ⎥ 1⎦ d 3
图2-40 沿两个方 向错切变换
X
• 旋转变换
第2章
CAD建模理论基础
指图形绕坐标原点进行旋转的变换 角度：逆时针方向旋转为正向旋转
x ′ = OP ′ cos(α + θ ) = OP cos(α + θ ) = x 2 + y 2 (cos α cos θ − sin α sin θ ) = x cos θ − y sin θ
0⎤ d⎥ ⎦
x、y坐标值按相应 倍数放大了
讨论a、d
进行比例变换，各点的坐标 值，以坐标原点为中心，进行 放大或者缩小
第2章
CAD建模理论基础
x* = ax + cy y* = bx + dy
• 镜像变换
关于x轴对称 关于y轴对称 关于y=x对称
⎡1 0 ⎤ T =⎢ 0 − 1⎥ ⎦ ⎣
⎡ − 1 0⎤ T =⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣
沿＋x方向 沿－x方向 沿＋y方向 沿－y方向
⎡1 0⎤ T =⎢ ⎥ ⎣c 1 ⎦
⎡ 1 0⎤ T =⎢ − c 1⎥ ⎣ ⎦
⎡1 b ⎤ T =⎢ 0 1⎥ ⎣ ⎦
⎡1 − b ⎤ T =⎢ 0 1⎥ ⎣ ⎦
y B* B o A A*
y C C* * B B D D* x o A A*
C* C y B* B D x o * D* A A
第2章
CAD建模理论基础
2.2.1 平面图形的变换
用来研究和实现几何变换的数学工具是线性代数， 主要是矩阵理论 按照几何变换的特点可分为： 基本几何变换 齐次坐标几何变换
第2章
CAD建模理论基础
二维图形可以通过点集的矩阵来表示 例：三角形通过其顶点的位置向量来表示
A B ⎡ x1 ⎢x ⎢ 2 C ⎢ x3 ⎣ y1 ⎤ y2 ⎥ ⎥ y3 ⎥ ⎦
C(x3,y3)
A(x1,y1)
B(x2,y2)
我们试图找到一个方法，求解某一点变换后的位置向量
P • T＝ P *
变换前的 位置向量 变换后的 变换矩阵 不妨令 位置向量 ⎡a b ⎤ T =⎢ c d⎥ ⎣ ⎦
则
x* = ax + cy y* = bx + dy
第2章
CAD建模理论基础
基本几何变换
第2章
CAD建模理论基础
2.2 设计模型变换基本算法
几个基本概念
几何变换：几何图形（或形体）按某种规则变换成另一几 何图形或形体）的过程 设计模型变换的理论基础是几何变换，也称图形变 换。包括二维、三维几何变换和它们的组合变换。 投影变换是与画法几何理论有关的图形变换，包括 正投影变换、轴测投影变换、透视投影变换等。 线框图形（或形体）的变换以顶点的变换为基础。
⎡ P1 ( v ) ⎤ ⎡ P1 ( 0 , v ) ⎤ ⎢ P (v ) ⎥ ⎢ P (1, v ) ⎥ ⎥ ⎥ = UM ⎢ 2 X ( u , v ) = U • M h • G hx ( v ) = UM h ⎢ 2 h ⎢ R1 ( v ) ⎥ ⎢ R1 ( 0 , v ) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ R 2 (v )⎦ x ⎣ R 2 (1, v ) ⎦ x
坐标没有变化
第2章
CAD建模理论基础
• 比例变换
x* = ax + cy y* = bx + dy
⎡a b ⎤ ⎡a T =⎢ b = c = 0, T = ⎢ c d ⎥ 中的 ⎣ ⎦ ⎣0
2 1⎤ ⎡4 3⎤ 例如： ⎡ ⎢4 6⎥ • ⎡2 0⎤ = ⎢ 8 18⎥ ⎥ ⎢ 0 3⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢8 4 ⎥ ⎦ ⎣ ⎢16 12⎥ ⎦ ⎣
第2章 写成行向量
⎡ q11 ⎢q = VM h ⎢ 12 ⎢ q13 ⎢ ⎣ q14
CAD建模理论基础
q 41 ⎤ q 42 ⎥ ⎥ q 43 ⎥ ⎥ q 44 ⎦
[P1 ( v )
转置
P2 ( v )
R1 ( v )
R 2 ( v ) ]x
q 21 q 22 q 23 q 24
q 31 q 32 q 33 q 34
y′ = OP ′ sin (α + θ ) = OP sin (α + θ )
2 2
y P’(x' y') P (x,y) x
θ α
o
⎡ cosθ = x + y (cos α sin θ + sin α cos θ ) T = ⎢ ⎣− sin θ = x sin θ + y cos θ
sin θ ⎤ ⎥ cosθ ⎦
P1x,P2X,R1x,R2x是v的函数，可写成Hermite形式：
⎡q11 ⎤ ⎡q21 ⎤ ⎡q41 ⎤ ⎡q31 ⎤ ⎢q ⎥ ⎢q ⎥ ⎢q ⎥ ⎢q ⎥ P1x (v) = VMh ⎢ 12 ⎥ P2 x (v ) = VMh ⎢ 22 ⎥ R1x (v) = VMh ⎢ 32 ⎥ R2 x (v) = VMh ⎢ 42 ⎥ ⎢q13 ⎥ ⎢q23 ⎥ ⎢q43 ⎥ ⎢q33 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ q14 ⎦ x q24 ⎦ x ⎣ ⎣ ⎣q44 ⎦ x ⎣q34 ⎦ x
⎡0 1 ⎤ T =⎢ 1 0⎥ ⎣ ⎦
第2章
CAD建模理论基础
Y
⎡ − 1 0⎤ T =⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣
o
X
⎡1 0 ⎤ T =⎢ 0 − 1⎥ ⎣ ⎦
⎡− 1 0 ⎤ T =⎢ 0 − 1⎥ ⎣ ⎦
图2-39
镜像变换
• 错切变换
x* = ax + cy y* = bx + dy
第2章
CAD建模理论基础
⎡ q 11 ⎡ P1 ( v ) ⎤ ⎢q ⎢ P (v ) ⎥ ⎥ = ⎢ 21 ⎢ 2 ⎢ q 31 ⎢ R1 ( v ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ R 2 ( v ) ⎦ x ⎣ q 41 ⎣
q 12 q 22 q 32 q 42
q 13 q 23 q 33 q 43
q 14 ⎤ q 24 ⎥ ⎥ M TV h q 34 ⎥ ⎥ q 44 ⎦ x
CAD建模理论基础
T Z ( u , v ) = UM h Q z M h V T
T P ( u , v ) = UM h QM h V T
可求得
⎡ ⎢ x 00 ⎢ ⎢ x ⎢ 10 Qx = ⎢ dx ⎢ ⎢ du 00 ⎢ dx ⎢ ⎢ du 10 ⎣
x 01 x11 dx du 01 dx du 11
P (u, v ) = [x (u, v ), y (u, v ), z (u, v )]
角点 把u,v=0或1代入P(u, v)，得到四个角点，记为P00,P01,P10,P11
第2章 边界线
CAD建模理论基础
矩形域曲面片的四条边界线是： P(u,0)， P(u,1)， P(0,v)， P(1,v)，简记为pu0 ， pu1 ， p0v ， p1v 曲面片上的点 点为P(ui,vj)，记为Pij Pij点的切矢 Puij Pvij Pij点的法矢 nij p0v P01 pu1 P11 Pij
第2章
CAD建模理论基础
Bezier曲面
用同样的方法可推得Bezier曲面的矩阵表达式
T P ( u , v ) = UM b BM b V T
其中
Mb
⎡−1 ⎢ 3 =⎢ ⎢− 3 ⎢ ⎣ 1
3 −6 3 0
−3 3 0 0
1⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦
第2章
CAD建模理论基础
P(u,1) P 13 P(0,1) = P 03 P 02 P (0, v) P 01 P 12 P 11 P 10 P 22 P 21 P 31 P 20 P (u,0) P (1, v) P 23 P(1,1) = P 33 P 32
p1v P10
P00
pu0
第2章
CAD建模理论基础
双三次参数自由曲面的X分量X(u,v)可表示为：
X ( u , v ) = a 11 u 3 v + a 31 uv + a 41 v = UC
3 xV 3 3
+ a 12 u 3 v + a 32 uv
2 2
2
+ a 13 u 3 v + a 14 u
dx dv 00 dx dv 10 d 2x dudv 00 d 2x dudv 10
dx ⎤ dv 01 ⎥ ⎥ dx ⎥ dv 11 ⎥ d 2x ⎥ ⎥ dudv 01 ⎥ d 2x ⎥ ⎥ dudv 11 ⎥ ⎦
第2章 可求得Coons曲面系数矩阵表达式
CAD建模理论基础
⎡ ⎢ P00 ⎢ ⎢ P ⎢ 10 Q =⎢ dP ⎢ ⎢ du 00 角点沿u方 ⎢ dP ⎢ 向的斜率 ⎢ du 10 ⎣
2
3 2
+ a 21 u 2 v
3
+ a 22 u 2 v
+ a 23 u 2 v + a 24 u
+ a 33 uv + a 34 u
+ a 42 v
T
+ a 43 v + a 44
其中：
U = u3 u2 u 1
[
]
V = v3 v2 v 1
[
]
第2章
Hale Waihona Puke BaiduCAD建模理论基础
为了确定Cx,可用三次Hermite曲线推导方法。先设v不 变，u为参变量，有
C* C
y B* B
C C* D x D*
D* o x A A* D
第2章
⎡0 ⎢1 例 正方形abcd，点阵为 ⎢ 1 ⎢ ⎢ 观察变换结果。 ⎣0 0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 1⎦
CAD建模理论基础
⎡1 2⎤ ，乘以变换矩阵 ⎢ 3 1⎥ ⎣ ⎦
Y
a ⎡0 b ⎢1 ⎢ c ⎢1 ⎢ d ⎣0
0⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ 1⎦
T
T = QxM hV
T
⎡ P1 ( v ) ⎤ ⎢ P (v ) ⎥ T ⎥ = UM h Q x M h V X ( u , v ) = U • M h • G hx ( v ) = UM h ⎢ 2 ⎢ R1 ( v ) ⎥ ⎥ ⎢ R 2 (v )⎦ x ⎣
T
第2章 同理有
T Y ( u , v ) = UM h Q y M h V T
• 恒等变换
x* = ax + cy y* = bx + dy
⎡a b ⎤ ⎡1 0⎤ T =⎢ ⎥ 中的 b = c = 0, a = d = 1 即 T = ⎢0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎣c d ⎦
例如
⎡2 1⎤ ⎡2 1 ⎤ ⎢4 6⎥ • ⎡1 0⎤ = ⎢4 6⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢8 4 ⎥ ⎢8 4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
湖南大学机械与汽车工程学院 Hunan University
College of Mechanical and Automobile Engineering
第二章 CAD建模的理论基础
第2章
CAD建模理论基础
2.1 计算机几何造型基础知识 2.1.1 三维几何造型的基本元素 2.1.2 三维形体的几何模型 2.1.3 三维几何模型的表示方法 2.1.4 自由曲线设计理论基础 2.1.5 由曲面建模理论基础 2.2 设计模型变换的基本算法 2.2.1 平面图形的变换 2.2.2 三维模型的几何变换 2.2.3 三维图形的投影变换
四个 角点
P01 P11 dP du 01 dP du 11
dP dv 00 dP dv 10 d 2P dudv 00 d 2P dudv 10
dP ⎤ dv 01 ⎥ 角点沿V方 ⎥ dP ⎥ 向的斜率 dv 11 ⎥ d 2P ⎥ ⎥ dudv 01 ⎥ d 2P ⎥ ⎥ 扭矢 dudv 11 ⎥ ⎦
P(0,0) = P 00 图2.33
P(1,0) = P 30
双三次Bezier曲面
第2章
CAD建模理论基础
B-Spline曲面
用同样的方法可推得B-Spline曲面的矩阵表达式
P ( u , v ) = UM s SM V
T s
T
其中
⎡−1 ⎢ 3 1⎢ Ms = 6 ⎢− 3 ⎢ ⎣ 1
3 −6 0 4
−3 3 3 1
1⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦
第2章
CAD建模理论基础
P23 P03 P02 P01 P 10 P00 P30 图3.1.33 双三次B样条曲面片 P20
P 12 P22 P21
P33 P32 P31
P 11
第2章
CAD建模理论基础
几种曲线、曲面的比较
Hermite曲线、Bezier曲线、B样条曲线的比较: 共同的矩阵表示形式； 各自优越性？p39 三种曲面的特点？p39