相似三角形的性质附答案

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相似三角形的性质及应用(知识点串讲)(解析版)

专题12 相似三角形的性质及应用知识网络重难突破知识点一相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例．②周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．③对应高线长之比、对应角平分线长之比、对应中线长之比都等于相似比．【典例1】（2020•衢州模拟）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．【点拨】由四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，易证得△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，又由点R为DE的中点，可求得各相似三角形的相似比，继而求得答案．【解析】解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥CD，AC∥DE，∴平行四边形ACED的面积＝平行四边形ABCD的面积＝6，△BCP∽△BER，△ABP∽△CQP∽△DQR，∴△ABC的面积＝△CDE的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，∵点R为DE的中点，∴CP：DR＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝3，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DR＝1：2，∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，∴S阴影＝S△PCQ+S△DQR＝．故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【典例2】（2019秋•河北区期末）如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比．【点拨】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE＝∠AGC＝90°，从而可证明∠AED＝∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．【解析】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．【变式训练】1．（2020春•甘州区校级月考）两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（）cm．A．16 B．16或28 C．36 D．16或36【点拨】根据相似三角形的性质求出相似比，得到周长比，根据题意列出比例式，解答即可．【解析】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为24cm，∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2019秋•慈溪市期末）如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°【点拨】先求出∠B，根据相似三角形对应角相等就可以得到．【解析】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，∴∠B＝42°，∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E．∴∠E＝42°．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用，全等三角形的对应角相等，是基础知识要熟练掌握．3．（2019秋•奉化区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AB＝3BD，则S△ADE：S△EFC的值为（）A．4：1 B．3：2 C．2：1 D．3：1【点拨】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，AD＝2EF，通过证明△ADE∽△EFC，可求解．【解析】解：∵AB＝3BD，∴AD＝2BD，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，∴AD＝2EF，∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴△ADE∽△EFC，∴S△ADE：S△EFC的＝（）2＝4：1，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．4.（2020•下城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（）A．4 B．6 C．2D．3【点拨】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC．【解析】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，＝，∴＝，即＝，解得，CD＝6，∴＝，解得，BD＝4，∴BC＝＝＝2，故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019•纳溪区模拟）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【点拨】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【解析】解：延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴＝1，△AEI∽△QDE，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝×3×2＝3，∵△ABF的面积＝×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴＝＝，∴△BFH的面积＝×2×5＝5，∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝7．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6.（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【点拨】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴＝＝，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴＝，解得：BE＝4；②∵＝，∴＝，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．知识点二相似三角形的应用【典例3】（2019秋•解放区校级期中）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗不计，计算结果中的分数可保留）【点拨】结合相似三角形的判定与性质进而得出两个正方形的边长，进而求出面积比较得出答案．【解析】解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，由图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．由AB＝1.5m，BC＝2m，得AC＝＝2.5（m），由AC•BH＝AB•BC可得：BH＝＝1.2（m），设甲设计的桌面的边长为xm，∵DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得x＝（m），由图乙，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，∴＝，即＝，解得y＝（m），∵x＝，y＝，∴x＜y，即x2＜y2，∴S正方形甲＜S正方形乙，∴第二个正方形面积大【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确表示出正方形的边长是解题关键．【变式训练】1．（2019秋•嘉兴期末）如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高AB＝15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌面的高度DE为（）A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm【点拨】证明△CAB∽△CDE，然后利用相似比得到DE的长．【解析】解：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴＝，而BC＝BE，∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．2．（2019秋•鹿城区月考）如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（）A．4 m B．m C．5m D．m【点拨】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解析】解：∵AB∥CD，∴△ABM∽△DCM，∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），∵MH∥AB，∴△MCH∽△ACB，∴＝＝，∴＝，解得MH＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比．3．（2019秋•滨江区期末）如图，小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，使斜边DF与地面保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝120cm，CD＝600cm，则树AB的高度为420cm．【点拨】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长，再加上AC的长即可求得树高AB．【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BC：EF＝DC：DE，∵DE＝30cm，EF＝15cm，AC＝120cm，CD＝600cm，∴，∴BC＝300cm，∴AB＝AC+BC＝120+300＝420cm，故答案为：420．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．4.（2020•秦皇岛一模）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC 高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．【点拨】解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．【解析】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EP A＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴∴∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴＝∴∴DA＝12．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出建筑物AB的高与小亮在路灯D下的影长，体现了方程的思想．巩固训练1．（2019秋•连州市期末）两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm【点拨】根据题意两个三角形的相似比是15：23，可得周长比为15：23，计算出周长相差8份及每份的长，可得两三角形周长．【解析】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．故选：C．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．2．（2018秋•临安区期末）如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，H 在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A．B．C．D．【点拨】通过证明△AEF∽△ABC，可得，可求EH的长，即可求解．【解析】解：如图，记AD与EF的交点为M，∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AM和AD分别是△AEF和△ABC的高，∴∴∴EH＝，∴EF＝，∴矩形EFGH的周长＝2×（+）＝故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．3．（2019秋•庐阳区校级期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．【点拨】由已知条件易求BE：BC＝1：5；证明△DOE∽△AOC，得到DE：AC的值，由相似三角形的性质即可解决问题．【解析】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：4，∴BE：EC＝1：4，∴BE：BC＝1：5，∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴S△DOE：S△AOC＝（）2＝，故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证出BE：BC＝1：5是解决问题的关键．4．（2020•上城区一模）如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝16：21．【点拨】过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解析】解：过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，∴EF∥CG，∴△BEF∽△BCG，∴，∵CE：EB＝3：4，∴，∴，∴＝＝，∴S1：S2＝16：21，故答案为：16：21．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．5．（2019秋•江干区期末）如图，已知▱ABCD中，E是BC的三等分点，连结AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11．【点拨】由E是BC的三等分点，得到＝，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到＝＝设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，求得S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，得到S四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，于是得到结论．【解析】解：∵E是BC的三等分点，∴＝，在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF＝1：3：9，设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，∴S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，∴四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，∴S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11，故答案为：1：3：9：11．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6．（2020•晋安区一模）如图，利用镜子M的反射（入射角等于反射角），来测量旗杆CD的长度，在镜子上作一个标记，观测者AB看着镜子来回移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记相重合，若观测者AB的身高为1.6m，量得BM：DM＝2：11，则旗杆的高度为8.8m．【点拨】根据题意抽象出相似三角形，然后利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】解：根据题意得：△ABM∽△CDM，∴AB：CD＝BM：DM，∵AB＝1.6m，BM：DM＝2：11，∴1.6：CD＝2：11，解得：CD＝8.8m，故答案为：8.8．【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是根据实际问题抽象出相似三角形，难度不大．7．（2019秋•竞秀区期末）如图，路灯距地面的高度PO＝8米，身高1.6米的小明在点A处测量发现，他的影长AM＝2.4米，则AO＝9.6米；小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时，他的影子BN 的长度为0.4米．【点拨】如图，设OA＝x，BN＝y．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．【解析】解：如图，设OA＝x，BN＝y．∵EB∥OP∥F A，∴△MAF∽△MOP，△NBE∽△NOP，∴＝，＝，∴＝，＝，解得x＝9.6，y＝0.4，故答案为9.6，0.4．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．8．（2019秋•开江县期末）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段OP）．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿（线段AE），这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿（线段BF），这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．【点拨】根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝灯高．在△CEA与△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．设AP＝xm，OP＝hm，则，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②联立①②两式，解得x＝4，h＝10．∴路灯有10m高．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．9．（2019秋•余杭区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上且AE•AB＝AD•AC，连结DE，BD．（1）求证：△ADE∽△ABC．（2）若点E为AB中点，AD：AE＝6：5，△ABC的面积为50，求△BCD的面积．【点拨】（1）由已知得出AE：AC＝AD：AB，由∠A＝∠A，即可得出：△ADE∽△ABC．（2）设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，由已知求出AC＝＝x，得出CD＝AC﹣AD＝x，得出＝，由三角形面积关系即可得出答案．【解析】（1）证明：∵AE•AB＝AD•AC，∴AE：AC＝AD：AB，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（2）解：∵点E为AB中点，∴AE＝BE，∵AD：AE＝6：5，∴设AD＝6x，则AE＝5x，AB＝10x，∵AE•AB＝AD•AC，∴AC＝＝＝x，∴CD＝AC﹣AD＝x，∴＝，∵△ABC的面积为50，∴△BCD的面积＝×50＝14．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积关系等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2018秋•江干区期末）如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上（不与点B、C重合），连接AE、BD 交于点G．（1）若AG＝BG，AB＝4，BD＝6，求线段DG的长；（2）设BC＝kBE，△BGE的面积为S，△AGD和四边形CDGE的面积分别为S1和S2，把S1和S2分别用k、S的代数式表示；（3）求的最大值．【点拨】（1）证明△BAG∽△BDA，利用相似比可计算出BG＝，从而得到DG的长；（2）先证明△ADG∽△EBG，利用相似三角形的性质得＝（）2＝k2，＝＝k，所以S1＝k2S，根据三角形面积公式得到S△ABG＝，再利用菱形的性质得到S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）由于＝＝1+﹣，然后根据二次函数的性质解决问题．【解析】解：（1）∵AG＝BG，∴∠BAG＝∠ABG，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠BAG＝∠ADB，∴△BAG∽△BDA，∴＝，即＝，∴BG＝，∴DG＝BD﹣BG＝6﹣＝；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴BC＝AD＝kBE，AD∥BC，∵AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，∠ADG＝∠BEG∴△ADG∽△EBG，∴＝（）2＝k2，＝＝k，∴S1＝k2S，∵＝＝k，∴S△ABG＝，∵△ABD的面积＝△BDC的面积，∴S2＝S1+﹣S＝k2S+kS﹣S＝（k2+k﹣1）S；（3）∵＝＝1+﹣＝﹣（﹣）2+，∴的最大值为．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了菱形的性质．。

相似三角形的性质及判定(1)含答案非常的全面

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC kA B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC kA B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BCAHkS B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB D E BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是D E 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC D EF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似三角形性质的练习题

相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。

2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。

因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。

A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。

B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。

C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。

D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。

因此，选D。

3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。

B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。

C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。

D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。

因此，选D。

4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。

相似三角形的的性质

研究平台
2 2
A2
10
4 C1
2
B2
A1
2
10
B1 C
2
A
2
B
相似三角形的性质(2) 定理猜想: 相似三角形的周长之比等于相似比. 已知：如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比是k，
AB BC CA k 求证： A1B1 B1C1 C1 A1
AB BC CA k 证: ABC ∽ A1B1C1 A B1C1 C1 A1 1B 1 A1 A AB BC CA k A 1B 1 B 1C1 C1 A 1
（一）
C2
2 10
研究平台
2 2
A2
10
4 C1
2
B2
A1
2
10
B1 C
2
A
2
B
• 相似三角形的对应高的比等于相似比; • 相似三角形的对应中线的比等于相似比; • 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比.
已知：如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比是k， AH⊥BC于H，A1H1⊥B1C1于H1。 AH k 求证： A1 H1
A
A1
B
H
C
B1
H1
C1
已知：如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比是k， AE、A1E1分别是△ABC、△A1B1C1的中线。求证： AE k A A1 E1
A1
B
E
C
B1
E1
C1
已知：如图，△ABC∽△A1B1C1，相似比是k， AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的角平分线 AD 求证： k A A1D1
已知：如图，△ABC中，D为AB上一点，

第二十一讲相似三角形的性质(含答案)-

第二十一讲相似三角形的性质两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相似比，可以想到这两个相似三角形中其他一些对应元素也与相似比有一定的关系．1．相似三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； 2．相似三角形周长之比等于相似比；3．相似三角形面积之比等于相似比的平方．以上诸多相似三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的知识方法，开阔了研究角、面积等问题的视野．例题求解【例1】如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC(AD<BC)，AC 、BD 交于点O ，若S △OAB =256S 梯形ABCD ，则△AOD与△BOC 的周长之比是．(2001年浙江省绍兴市中考题)思路点拨只需求BCAD的值，而题设条件与面积相关，应求出BOC AOD S S ∆∆的值，注意图形中隐含的丰富的面积关系．注相似三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用．人类第一次运用相似原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊著名学者，有“科学之父”的美称．他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确性．使教学具有不可动摇的说明力．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中．E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连结AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF =( )A ．4：10：25B ．4：9：25C ．2：3：5D ．2：5：25 (2001年黑龙江省中考题)思路点拨运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比．【例3】如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm ，BC=3㎝，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长．思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC 的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出．注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简单，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路．【例4】如图．在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作3条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的3个三角形1t 、2t 、3t 的面积分别为4、9和49，求△ABC 的面积．(美国数学邀请赛试题)思路点拔图中有相似三角形、平行四边形，通过相似三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相似比，注意等线段的代换．追求形式上的统一．【例5】如图，△ABC 中．D 、E 分别是边BC 、AB 上的点，且∠l ＝∠2=∠3，如果△ABC 、△EBD 、△ADC 的周长依次是m 、m 1、m 2，证明：4521≤+m m m ． (全国初中数学联赛试题)思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同—线段比的代数式，通过代数变形证明．注例4还隐舍着下列重要结论： (1)△FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； (2)1=++BCHGAC IE AB DF ； (3) 2=++ACFGAB HI BC DE ．学历训练1．如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于O ，若S △DOE ：S △COB =9：16，则AD ：DB= ． 2．如图，把正方形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到正方形A'B'C'D'的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD 面积的一半，若AC=2，则正方形移动的距离AA'是． (2003年江西省中考题)（第1题）（第2题）（第4题）3．若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为． (2000年武汉市中考题) 4．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同．就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比：a ：b ，设S 甲：S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则222)(66b a ba S S ==乙甲，又设V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积，则333)(b a b a V V ==乙甲． (1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )A ．两个球体B ．两个圆锥体C ．两个圆柱体D ．两个长方体 (2)请归纳出相似体的3条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于． (2001年江苏省泰州市中考题)5．如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=b ㎝，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 于( )A ．2：1B ．1：2C ．3：1D ．1：3 (2004年南京市中考题)（第5题）（第6题）（第7题）6．如图，D 为△ABC 的边AC 上的一点，∠DBC=∠A ，已知BC=2，△BCD 与△ABC 的面积的比是2：3，则CD 的长是( ) A.34 B.3 C ．232 D ．334 7．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且31=AC AD ，AE=BE ，则有( ) A ．△AED ∽△BED; B ．△AED ∽△CBD;C ．△AED ∽△ABD; D ．△BAD ∽△BCD. (2001年杭州市中考题) 8．如图，已知△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：FD ：FB=1：2：3，则S △ADE ：S 四边形DFGE ：S 四边形FBCG 等于( )A ．1：9：36B ．l ：4：9C ．1：8：27D ．1：8：36（第8题）（第9题） 9．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ACD=∠B ，求证：ADBCCD AB =22． 10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 于E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C ．(1)求证：△ABF ∽△EAD ；(2)若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求BF 的长． (2003年长沙市中考题)11．如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与点A 、C 不重合)，Q 点在BC 上．(1)当△PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；(3)试问：在AB 上是否存在点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，请求出PQ 的长． (2002年厦门市中考题)12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC=2，在BC 上有100个不同的点P l 、P 2、…P 100，过这100个点分别作△ABC 的内接矩形P 1E 1F 1G 1，P 2E 2F 2G 2…P 100E 100F 100G 100，设每个内接矩形的周长分别为L 1、L 2，…L 100，则L 1+L 2+…+L 100= ． (安徽省竞赛题) 13．如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB ，若△ADE 、△EFG 、△GIC 的面积分别为20cm 2、45cm 2、80cm 2，则△ABC 的面积为．（第12题）（第13题）（第14题）14．如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B 重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD 、DC 上，那么这个正方形的面积是厘米2． (第11届“希望杯”邀请赛试题)15．如图，正方形ABCD 中，AE ＝EF=FB ，BG=2CG ，DE ，DF 分别交AG 于P 、Q ，以下说法中，不正确的是( )A ．AG ⊥FDB ．AQ ：QG ＝6，7C ．EP ：PD=2 ： 11D ．S 四边形GCDQ ：S 四边形BGQF =17：9 (2002年重庆市竞赛题) 16．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且CD=3AB ，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于( )A ．2B ．23 C ．215+ D ．215-（第15题）（第16题）（第17题） 17．如图，正方形OPQR 内接于△ABC ，已知△AOR 、△BOP 和△CRQ 的面积分别是S 1=1，S 2=3和S 3=1，那么正方形OPQR 的边长是( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．318．在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为 a 、b 、c ，且a ＞b ＞c d ，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大?19．如图，△PQR 和△P ′Q ′R ′，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF ，设这个六边形的边长为AB= a 1，BC =b 1，CD= a 2，DE= b 2，EF= a 3，FA =b 3 ．求证：a 1 +a 2 +a 3= b 1+ b 2 +b 3．20．如图，在△ABC 中，AB=4，D 在AB 边上移动(不与A 、B 重合)，DE ∥BC 交AC 于E ，连结CD ，设S △ABC = S ，S △DEC =S 1． (1)当D 为AB 中点时，求SS 1的值； (2)若AD= x ，y SS =1，求y 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围； (3)是否存在点D ，使得S S 411>成立?若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由． (2002年福州市中考题)21．已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，按以下要求解答问题：(1)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与边OA ，OB 交于点C ，D ． ①在图甲中，证明：PC=PD ；②在图乙中，点G 是CD 与OP 的交点，且PG=23PD ，求△POD 与△PDG 的面积之比． (2)将三角板的直角顶点P 在射线OM 上移动，一直角边与边OB 交于点D ，OD=1，另一直角边与直线OA ，直线OB 分别交于点C 、E ，使以P 、D 、E 为顶点的三角形与△OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 的长．(2003年绍兴市中考题)。

相似三角形的性质与应用

相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中的重要概念，它们具有一些特定的性质和各种应用。

本文将介绍相似三角形的性质，以及在实际问题中如何应用相似三角形来解决一些实际问题。

一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的两个三角形。

相似三角形具有以下几个基本性质：1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即相等角所对的边成比例。

例如，若∠A≌∠D，则边AB与边DE的比等于边AC与边DF的比，即AB/DE = AC/DF。

2.对应边成比例性质：相似三角形中的对应边成比例，即边的比和角的比之间成立。

例如，若AB/DE = AC/DF，则∠A≌∠D。

3.三角形的扩大缩小性质：相似三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，那么这两个三角形是相似的。

例如，如果AB/DE = AC/DF且BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。

二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用：1.测量高度：相似三角形可用于测量无法直接测量的高度。

例如，当直接无法测量一座建筑物的高度时，可以利用相似三角形原理，在地面上测量一个已知距离的长度，然后观察建筑物的倾斜角度，从而利用相似三角形的比例关系计算出建筑物的高度。

2.计算距离：相似三角形还可用于计算距离。

例如，当无法直接测量两个不相邻点之间的距离时，可以利用相似三角形与已知距离的比例关系计算出所需距离。

3.设计工程：在设计工程中，相似三角形可用于模拟大规模结构的小规模模型。

通过将真实结构缩小成模型，可以通过相似三角形的比例关系获得有关真实结构的信息，从而进行有效的设计和分析。

4.地图测绘：在制作地图时，为了将真实距离转换为地图上的距离，可利用相似三角形的比例关系来缩放。

这样可以保持地图的比例并准确表示真实距离。

总结：相似三角形的性质和应用是初中数学中的重要内容。

准确理解相似三角形性质，并能灵活运用到实际问题中，能够帮助我们解决许多几何和测量方面的困难。

相似三角形性质专题(附答案

相似三角形的性质专题练习（附答案）1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB边的中点，P是BC边上一动点（点P不与B、C重合），若以D、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段PC= .2.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是3.已知在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，点D是射线BC上的一点（不与端点B重合），连接AD，如果△ACD与△ABC相似，那么BD= .4.如图，长方形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边AB上一点（不与A、B重合），F是边BC上一点（不与B、C重合）．若△DEF和△BEF是相似三角形，则CF= .5.如图，正方形ABCD的边长是2，E为BC的中点，点M、N分别在CD和AD上，且MN=1，当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．如图，D是等边△ABC的边BC上一动点，ED∥AC交AB于点E．DF⊥AC交AC于点F，DF=3，若△DCF与E、F、D三点组成的三角形相似，则BD的长等于1.解：∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵D 是AB 边的中点，∴CD=BD=AB 21=5 ∵以D 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似， ∴∠DPC=90°或∠CDP=90°，（1）若∠DPC=90°，则DP ∥AC ，∴21==BC BP AB BD ∴BP=421=BC ，则PC=4；（2）若∠CDP=90°，则△CDP ∽△BCA ，∴1085,PC AB PC BC CD ==即，∴PC=425． ∴PC=4或425 2.解：根据△B′FC 与△ABC 相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC ∽△ABC 时，BC CF AB F B ='，又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=BF ，所以886'BF F B -=，解得BF=724； ②△B′CF ∽△BCA 时，CACF BA F B ='，又因为AB=AC=6，BC=8，B'F=CF ，BF=B′F ，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF 的长度是4724或. 3.解：解：①若点D 在线段BC 上，∵△ACD ∽△BCA ，∴AC CD BC AC =，即121612CD =，解得：CD=9，则BD=BC-CD=16-9=7；②若点D 在线段BC 的延长线上当△D AC ∽△ABC 时，则AC CD BC AC =，即121612CD =，解得：CD=9，则BD=BC+CD=16+9=25；当△ACD ∽△ACB 时，则BC CD AC AC =，即BCCD =1212，∴CD=16，则BD=BC+CD=16+16=32．故答案为：7或25或32．4.解：：①如图1，∠DEF=90°时，设AE=x ，则BE=4-x ，易求△ADE ∽△BEF ，∴EF DE BE AD =，即EFDE x =-43， ∵△DEF 和△BEF 是相似三角形， ∴△DEF 和△ADE 是相似三角形，∴ADAE EF DE AE AD EF DE ==或 ∴343343x x x x =-=-或，整理得，6x=12或x 2-4x+9=0（无解），解得x=2，∴BE=4-2=2，BF 223=，解得BF=34，CF=3-34=35；②如图2，∠DFE=90°时，设CF=x ，则BF=3-x ，易求△BEF ∽△CFD ，∴EF DF BF DC =，即EF DF x =-34，∵△DEF 和△BEF 是相似三角形，∴△DEF 和△DCF 是相似三角形，∴DCCF EF DF CF DC EF DF ==或，即434434x x x x =-=-或，整理得，8x=12或x 2-3x+16=0（无解），综上所述，CF 的值为5/3或3/25.答案自己给出6.解：∵ED ∥AC 交AB 于点E ，△ABC 是等边三角形， ∴△BDE 是等边三角形，∠FDC=30°，当△DCF ∽△EFD ， ∴∠FED=∠FDC=30° ∴DE=3333tan ==∠FED DF ，∴BD=DE=3；当△DCF ∽△FED ，∴∠EFD=∠FDC=30°，∴BD=DE =DF•tan ∠A=1．故答案为：1或3．7.在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，以斜边BC 上距离B 点3cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°到Rt △DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 1.44 cm 2．解：根据旋转的性质可知，△PSC ∽△RSF ∽△RQC ∽△ABC ，△PSC ∽△PQF ，∵∠A=90°，AB=3cm ，AC=4cm ，∴BC=5，PC=2，S △ABC =6，∵S △PSC ：S △ABC =1：4，即S △PSC =23， ∴PS=PQ=23， ∴QC=27， ∴S △RQC ：S △ABC =QC 2：BC 2，∴S △RQC =50147， ∴S RQPS =S △RQC -S △PSC =1.44cm 2．。

相似三角形的性质和判定讲义及答案

5.相似三角形的性质和判定（讲义）一、知识点睛1. 相似三角形的性质： _________________ 、 ________________ .2. 相似三角形对应拓的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于 _______ :对应面积的比等于 ________________ . 3. 相似三角形的判定：① _________________________________ ； ② _________________________________ ； ③ _________________________________ .二、精讲精练1.两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别是 40° ,60° ,那么另一个三角形的最大内角是 __________________ , 最小内角是 _______ .若^ABC S ADEF, AB=6cm, BC=4cm, AC=9cm,且 △DEF 的最短边为8cm,则最长边为（）A. 16cm B- 18cm C. 4.5cm D- 13cm 如图，AD=3BD, 5.MBC =48,则4. 第3题图第4题图将三角形纸片（△ABC'）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点折痕为EF,AB=AC=3, BC=4,若以点F, C 为顶点的三角形与相似，则SF=n.如图，给出下列条件：4C AR① ZB = ZACD ② ZADC=ZACB ③竺=竺 CD BC®AC^=AD AB.其中能够判定△ABCsZkACD 的个数为（）a B. 2C. 3D. 4 C2. 3.6.如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）相似的是（）B・7.9.10.某种三角形架子山钢条焊接而成•在这种三角形架子的设讣图上，其三边长分别为4cm, 3cm, 5cm.现有两根钢条，一根长60cm,另一根长180cm,若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有种不同的做法.（焊接用料忽略不汁）如图,AB 〃DE,若AB: DE= 1:2, AC=2, BC=3，则CE= , CD=O.ED第8题如图，若丄BD, ED丄BD, C是线段BD的中点，且AC 丄CE,FD=1, BD=4,贝ij AB=n.如图，DE分别是△ABC'的边AB, AC上的点，Z1=ZB, AE=EC=4.BC=10, AB=i2.则ZiADE 和的周长之比为13. 如图，△ABC S &BC',相似比为匕AD,分别是边AnBC,夕C 上的中线，求证： _______ = k ・如图，△PMN 是等边三角形， ZAP3=120° - 求证：AM PB=PNAP・如图，M 为线段AB 上一点，人£与BD 交于点G ZDME=ZA=ZB=a,且 DM 交 AC 于点 F, ME 交 BD 于点G.求证J △AMFsMGM.14如图，在△ABC 中，AB=6, BC=8•点D 以每秒1个单位的速度山B 11. 12BBAD向4运动，同时点E以每秒2个单位的速度由C 向B运动，当点E 停止运动时，点D也随之停止运动，设运动时间为f秒.当以B, D, E为顶点的三角形与△ABC相似时，求f的值-【参考答案】一、知识点睛相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比;对应面积的比等于相似比的平方. 相似三角形的判定：®两组角对应相等的两个三角形相似;©两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;©三边对应成比例的两个三角形相二、精讲精练5. 6. 7.38.4； 69.410. 1:311. 证明略（提示：通过ZA=Z2, ZAMP=ZPNBH20。

6.5 相似三角形的性质-苏科版数学九年级下册精品讲义

第6章图形的相似6.5相似三角形的性质知识点01 相似三角形的性质1. 相似三角形周长的比等于相似比（1） ∽，则由比例性质可得：。

（2）相似多边形周长的比等于相似比.【即学即练1】在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，则缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算，得到答案．【详解】解：∵三角形的一条边由原图中的6cm 变成了2cm ，∴原三角形与缩印出的三角形是相似比为3：1，∴原三角形与缩印出的三角形的周长比为3：1，∴缩印出的三角形的周长是原图中三角形周长的，故选：A．2. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则，分别作出与的高和，则【微点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方.【即学即练2】在中，AD平分交边BC于点D，点E在线段AD上，若，则与的面积比为( )A．16：45B．1：9C．2：9D．1：3【答案】C【分析】根据等高三角形的面积比等于底边的长度比，得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到的面积比，即可得到答案；【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABE=∠C，∴，∵，∴，，，∴．故选C ；知识点02 相似三角形中对应线段的比1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的对应线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.【微点拨】要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.【即学即练3】如下图所示，在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且△ABC ∽△ADB ，则下列结论一定正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解．【详解】解：∵△ABC ∽△ADB ，∴，∴AB 2=AC •AD ．故选：A ．考法01利用三角形性质求解能力拓展【典例1】如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，交BC于点E，则S△BDE：S△AEC等于（）A．16：21B．3：7C．4：7D．4：3【答案】A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得．【详解】解：∵，∴，且，∴，，∴，∵，与的高相等，∴，∴．故选：A．考法02 证明三角形的对应线段成比例【典例2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案．【详解】解：，，，，，，由，，，，，故选：C ．题组A 基础过关练1．如图，在中，是斜边上的高，若，，则的长为（）A ．8B ．10C ．9D ．12【答案】C【分析】在与中，利用两角对应相等的两个三角形相似，对应边对应成比例，即可求解．【详解】解：如图所示，∵，，分层提分∴，，∴，，∴，∴，即，且，，∴，故选：．2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中不能得到DE BC的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：如图，解：A．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；B．当时，△ADE与△ABC不一定相似，∴∠ADE不一定等于∠B，∴不能得到DE BC，故选项符合题意；C．∵，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；D．∵，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE BC；故选项不符合题意；故选：B．3．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【分析】根据相似三角形的性质可得AE：CE＝2：5，从而得到CE＝5，即可求解．【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．4．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且，AD=1，BD=2，DE=2那么BC的值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】证明利用对应边对应成比例即可求出．【详解】解：∵∴∴∴∴故选C．5．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（）A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7【答案】A【分析】直接利用相似三角形的性质得出答案．【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．6．已知，，，则的周长之比为____．【答案】4∶3【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得解．【详解】解：∵，，，∴；故答案为：4∶3．7．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．【答案】3【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，∵△PAB∽△PCD，∴，（相似三角形对应高之比是相似比）即：，解得PF＝3．故答案为：3．8．如图，△ABC∽△CAD，∠ACB=∠D=90°，_____．【答案】AB•DC【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：∵∠ACB=∠D=90°，且△ABC∽△CAD，∴，即=AB•DC，故答案为：AB•DC．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．【答案】2.4【分析】根据已知可证明△ABE~∆FCB，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【详解】解：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴△ABE∽△FCB∴，∵BC=3，E是AD的中点，∴AE=1.5 ，∴BE=2.5，∴，∴FC=2.4．10．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE=4，求BC的长．【答案】(1)见解析；(2)BC=6．【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；（2）利用相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，，∴BC=6．题组B 能力提升练1．下列命题中，是真命题的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形B．小明爬山时发现上山比下山的盲区小C．若点P是线段AB的黄金分割点，则D．相似三角形的周长比等于相似比的平方【答案】A【分析】根据菱形的判定方法、黄金分割的定义、相似三角形的性质进行判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，故A正确；B、爬山时上山比下山的盲区大，原命题是假命题，故B错误；C、若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP时，则，原命题错误，故C错误；D、相似三角形的周长比等于相似比，原命题错误，故D错误．故选：A．2．如图，O是△ABC的重心，AN，CM相交于点O，那么△MON与△BMN的面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：3D．1：4【答案】C【分析】利用三角形重心的性质得到MO：MC＝1：3和点N是BC的中点，从而得到△MON和△MNC的面积比、△BMN和△CMN的面积比，然后综合两个面积比求得结果．【详解】解：∵点O是△ABC的重心，∴MO：MC＝1：3，点N是BC的中点，∴，∴，故选：C．3．若，且与的面积比是，则与对应角平分线之比为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．【详解】解：∵，且与的面积比是，∴与的相似比是，∴与对应角平分线之比为，故选：B．4．如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为（）A．B．1C．D．2【答案】C【分析】先根据三角形的中位线定理证明，则△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由求出四边形DBCE的面积．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴，AE＝CE＝AB，∴，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，故选：C．5．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．以BC上点O为圆心作⊙O分别与AB、AC相切E、C 两点，与BC的另一交点为D，则线段BD的长为________【答案】1【分析】连接OE，OE⊥AB，OE=OC，AC⊥OC，△BEO∽△BCA，故，故可得OC的长，即可得出BD的长．【详解】解：如图，连接OE，∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB，OE=OC，∵AC⊥OC，∴BEO∽BCA，∴，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴，∴，∴OE=，∴OC=，∴BD=BC-2×OC=4-2×．故答案为：1．6．如图，点G是的中线上一点，且，作，垂足为点E，若，则点A到的距离为______________．【答案】【分析】过点作，则的长即为到的距离，证明，根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点作，则的长即为到的距离，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案为：．7．如图，已知AB CD，AD与BC相交于点P，，若AP＝6，则PD的长是_____．【答案】10【分析】证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵AB CD，∴，∴，即，解得：PD＝10，故答案为：10．8．如图，在中，，，点从点出发，沿着边向点以的速度运动，点从点出发，沿着边向点以的速度运动．如果与同时出发，那么经过______秒和相似．【答案】4或【分析】分两种情况讨论，由相似三角形对应边成比例列方程求解即可．【详解】解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，∴CP=8-x（cm），CQ=2x（cm），当△PCQ∽△ACB，则，∴，∴x=4，当△PCQ∽△BCA，则，∴，∴x=，综上所述：经过4或秒，△PQC和△ABC相似．故答案为：4或．9．如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与交于点M．(1)求证：；(2)若，求BM．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据已知条件可得四边形是平行四边形，从而得到，即可求证；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出相似比，即可求得线段的长．【详解】（1）证明：，E是的中点，，，四边形是平行四边形，，，，；（2）解：，F是的中点，，，，，又，．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE，过点E作交AD于点F．(1)求EF的长．(2)求证：△DEF∽△ABD．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用，证明△AEF∽△ACD，根据对应边对应成比例进行计算即可；（2）利用勾股定理求出AD，利用，求出AF，利用求出DF，从而得出，在利用外角的性质，得到，即可得证．【详解】（1）解：∵CB＝5，DB＝1，∴，∵，∴，∵，∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴；（2）证明：∵∠C＝90°，AC＝3，CD＝4，∴，∵∴△AEF∽△ACD，∴，即：，∴，∴，∵，∴，∵，又∵，∴，∴△DEF∽△ABD题组C 培优拔尖练1．如图，在梯形中，，，对角线与相交于点O，把、、、的面积分别记作，那么下列结论中，不正确（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由，推出，推出，利用等高模型以及相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴选项A，B，D正确，选项C错误，故选：C．2．如图，中，，，为边上一动点，将绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点与，在同一直线上，若，则的长为（）A．3B．4C．6D．9【答案】B【分析】由旋转和平行线的性质易证，从而易证，即得出，代入数据即可求出BD的长．【详解】∵，∴．由旋转的性质可知，∴．又∵，∴，∴，即，∴．故选B．3．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，BC＝12，AH＝8，D、E分别为AB、AC上的点，G、F是BC上的两点，四边形DEFG是正方形，正方形的边长DE为（）A．4.8B．4C．6.4D．6【答案】A【分析】利用相似三角形对应高的比也等于相似比，可以求出x,注意所画图形是正方形，用同一未知数表示未知边，即可求出．【详解】解：设△ABC的高AH交DE于点M，正方形的边长为x.由正方形DEFG得，DE∥FG，即DE∥BC，∵AH⊥BC，∴AM⊥DE．由DE∥BC得△ADE∽△ABC，∴，把BC=12，AH=8，DE=x,AM=8-x代入上式得：，解得：x=4.8．答：正方形的边长是4.8．故选：A．4．如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【答案】B【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长．【详解】解：设对角线AC与BD交于点O，在中，，，过点O作于M（如图），，，，，．故选B．5．如图Rt AOB∽DOC，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，OB＝8，直线AD，CB交于P 点，连接MP，AOB保持不动，将COD绕O点旋转，则MP的最大值是_____．【答案】9【分析】根据相似三角形的判定定理证明COB∽DOA，得到∠OBC=∠OAD，得到O、B、P、A共圆，求出MS和PS，根据三角形三边关系解答即可．【详解】解：取AB的中点S，连接MS、PS，则PM≤MS+PS，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB=10，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB=∠DOA，∵AOB∽DOC，∴，∴COB∽DOA，∴∠OBC=∠OAD，∴O、B、P、A共圆，∴∠APB=∠AOB=90°，又S是AB的中点，∴PS=AB=5，∵M为OA的中点，S是AB的中点，∴MS=OB=4，∴MP的最大值是4+5=9，故答案为：9．6．如图，为等边边上的高，，为高上任意一点，则的最小值为_____．【答案】【分析】连接，交于点，此时最小，过点作于点，证明，然后求得，在中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示：连接，交于点，此时最小，过点作于点，∵为等边边上的高，∴点与点关于对称，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，解得：，∴，∴，∴在中，∴的最小值为：．故答案为：．7．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号）【答案】①③④【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而=2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断．【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确；在Rt ABF中，AF==8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt GFH中，∵，∴，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠BFE=∠C=90°，∴∠EFD+∠AFB=90°，而∠AFB+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠EFD，∴ABF∽DFE，∴，∴，而，∴，∴DEF与ABG不相似；所以②错误．∵=×6×3=9，=×3×4=6，∴．所以③正确．故答案为：①③④．8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则＝________．【答案】9：25【分析】先由DE：EC=3：2，得DE：DC=3：5，再根据平行四边形ABCD，得AB CD，AB=CD，所以，△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方求解．【详解】解：∵DE：EC=3：2，∴DE：DC=3：5，∵平行四边形ABCD，∴AB CD，AB=CD，∴，△DEF∽△BAF，∴，故答案为：9∶25．9．如图，在△ABC中，过点A作，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上，连接DE，交AB于点F，．(1)求证：四边形ACED是菱形；(2)当，时，直接写出的值．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据可得，即可证明四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质以及角平分线得出，则可根据邻边相等的平行四边形为菱形；（2）根据菱形的性质可得，从而求出的长，然后根据可得，根据相似三角形对应边成比例可得结论．【详解】（1）证明：，，即，，四边形是平行四边形，，，平分，，，，四边形是菱形；（2）四边形是菱形；，，，，，．10．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，．(1)如果，求AC的长；(2)如果△ADE的面积为1，求的面积．【答案】(1)18；(2)2【分析】（1）首先证明，利用相似三角形的性质解决问题即可．（2）证明，利用等高模型即可解决问题．【详解】（1）解：∵，∴＝，∵，∴，∴，∴，∴＝，，∴＝，∵，∴．（2）∵＝，∴，∴．11．如图，在正方形中，点M是边上的一点（不与B、C重合），点N在边的延长线上．且满足连接、，与边交于点E．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）证明，根据相似三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．12．如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CD=6，AC=8，求AE．【答案】(1)见解析；(2)12.5【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD，连接DE，证DCA∽EDA，得出比例式，代入数值求解即可．【详解】（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）解：在Rt ADC中，AC=8，CD=6，由勾股定理得：AD=10．连接DE，∵AE为直径，∴∠EDA=∠C=90°，∵∠CAD=∠EAD，∴DCA∽EDA，∴，∴，AE=12.5．13．矩形中，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在延长线上（图1）(1)若，求的度数与的长度；(2)如图2将向右平移得，两直角边与拒形相交于点E、F；当平移的距离是多少时，能使与相似，（先填空，再完成解答）解：设平移的距离为x，则______________________（用含x的代数式表示）【答案】(1)37°，4(2)，，或x=3.4【分析】（1）根据矩形的性质得出AD=BC=6，BC AD，∠B=90°，求出∠CAD=∠BCA=53°，则37°即可解答；由勾股定理求出=AC=10，进而求得；（2）设平移的距离为x，则，然后再解直角三角形表示出，进而表示出，同理表示出，然后根据相似三角形的性质列方程求解即可；【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，BC AD，∠B=90°，∴∠CAD=∠BCA=53°，∴∠BAC=90°-∠BCA=90°-53°=37°，∵将绕点A逆时针旋转得到∴37°在Rt△CBA中，AB=8，BC=6，由勾股定理得：=AC=10∴．（2）解：设平移的距离为x，则，∵∴，解得：∴同理：∵与相似∴或∴或，解得或x=3.4∴当或x=3.4时，与相似．14．【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接BD、CE．求证：BD=CE．【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD、CE，则___________．【拓展提升】（3）如图3，和都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，连接BD、CE．①求的值；②延长交于点G．交于点F．求．【答案】（1）见解析；（2）；（3）①；②30°【分析】（1）证明BAD CAE，从而得出结论；（2）证明BAD∽CAE，进而得出结果；（3）①利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理得到，再证明BAD∽CAE，进而得出结果；②由BAD∽CAE，得出∠ACE=∠ABD，进而得出∠BGC=∠BAC．【详解】（1）证明：∵ABC和ADE都是等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD CAE（SAS），∴BD=CE；（2）解：∵ABC和ADE都是等腰直角三角形，∴，∠DAE=∠BAC=45°，∴∠DAE∠BAE=∠BAC∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BAD∽CAE，∴；故答案为：；（3）解：①∵∠ABC=∠ADE=90°，∠DAE=∠BAC=30°，∴AE=2DE，AC=2BC，由勾股定理得AD=DE，AB=BC，∴，同理BAD∽CAE，∴；②∵BAD∽CAE，∴∠ACE=∠ABD，∵∠AFC=∠BFG，∴∠BGC=∠BAC=30°．。

相似三角形的性质

：如图，已知：∽，相似比为分别作出与的高和和中，，，，
相似三角形的应用十分广泛，它与函数联系起来，会出现各种各样的变化。

掌握利用相
中，，，，，点在上，与点上
当的面积与四边形的面积相等时，求
当的周长与四边形的周长相等时，求
在，使得
的长
(1) (2) (3) 已知A （3，0），B （ACO=•∠BAO ，•则点________，•AC=_______．已知，如图4，△ABC 中，，DF ∥AC ，则图中共有________对相似三角形．．下列各组图形一定相似的是（．
．有一个角相等的等腰三角形 B ．有一个角相等的直角三角形
．有一个角是100°的等腰三角形 D ．有一个角是对顶角的两个三角形，AB=BC=CD=DE ，∠
(4) (5) (6)
．如图6，若∠则△____∽△_____，对应边的比例式为_______，．如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，，在坐标轴上找到点点D ，使△AOB 相似，求出D 点的坐标，并说明理由． BD 于点F ，BE:EC=3:1，18FBE S
E，连接EN并延长交
．高明为了测量一大楼的高度，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE=27m，他与镜子
，已知他的眼睛到地面的高度CD为
，你知道是什么吗？试加以说明．
上，请找出一个与△CF交AD•于点E．。

相似三角形性质完整的题型+答案

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC ，AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 4:15 。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5，求: (1)S △AOD :S △BOC 的值；(2)S △AOB :S △AOD 的值. 答案:(1)9:25 (2)5:3。

绵阳市人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质(含答案)

人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质（含答案）【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 .【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =，则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积.【例4】如图，△ABC 中，O 是三角形内一点，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠. 求证：2BC AC AB =⋅.GEFDCBAGEFD CBA t 1t 2t 3I P HGEF DCBA【例5】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，5DC =，AB =，45B ∠=︒. 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，设运动的时间为t 秒. （1）求BC 的长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形.【例6】设△A 1B 1C 1的面积为S 1，△A 2B 2C 2的面积为S 212()S S <，当△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且120.30.4S S ≤≤时，则称△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，30B ∠=︒，60BCD ∠=︒，连接AC . （1）若AD =DC ，求证：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”；（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.OCBAMCB能力训练A 级1. 如图，在△ABC 与△BED 中，若53AB BC AC BD BE DE ===，且△ABC 与△BED 的周长之差为10cm ，则△ABC 的周长为 cm.（第1题）（第2题）（第3题）如图，△ABC 中，:1:2CE EB =，DE ∥AC . 若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为 .3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ，CD 交于F ，且3EFC FED S S =△△，则:ADE ABC S S =△△ .4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为 cm.5. 如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 的中点，EF 交AC 于点O ，FE 的延长线交CB 的延长线于G 点，那么:AOF COG S S =△△（）A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2EDCBA FECA DBCADBEDCBA（第5题）（第6题）（第7题）6. 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD ∥BC ，BC =CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒. 将△BEC 绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连接EF 交CD 于点M . 已知5BC =，3CF =，则:DM MC 的值为（）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:47. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE ，BC 分别交于点N ，M ，则下列结论错误的是（）A.AN ON AM OM =B.22ONE OMB S AN S AM =△△C.AN OE AM OC=D.22ADE ABC S ON OM S =△△（） A.12 B.13C.23D.25（第8题）（第9题）O NMFMG O F E CADBECAD B ED CBANMC ADBDCBAB 级1. 如图，在△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，GI ∥EF ∥AB . 若△ADE ，△EFG ，△GIC 的面积分别为20cm 2，45 cm 2，80 cm 2，则△ABC 的面积为 .C.2D.3（第3题）（第4题）（第5题）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且3CD AB =，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则:AE ED =（） A.2 B.325. 如图，△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AB 上的点，且123∠=∠=∠. 如果△ABC ，△EBD ，△ADC的周长依次是m ，m 1，m 2，证明：1254m m m +≤.6. 如图，P 是△ABC 内的一点，等长的三条线段DE ，FG 和HI 分别平行于边AB ，BC 和CA ，并且12AB =，8BC =，6CA =. 求证：::1:5:3AI IF FB =.（第6题）（第7题）如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且ABC PQRS S nS =△矩形，其中n 为不小于3的自然数. 求证：BSAB为无理数.8. 如图，已知直线l 1的解析式为36y x =+，直线l 1与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，直线l 2经过B ，C 两点，点C 的坐标为(8,0). 又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线l 2上从点C 向点B 移动，点P ，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度. 设移动时间为t 秒. （1）求直线l 2的解析式；（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式；（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？9. 如图，设△ABC 三边上的内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等. 求证：△ABC 为正三角形.10. 在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，已知AD CGk AB CE==，连接DE 与AF 交于点P ，连接CP . （1）如图1，当1k =时，点B ，C ，E 三点在同一条直线上，求AFDE的值.（2）如图2，当1k =时，将图1中的矩形CEFG 绕点C 顺时针旋转一个角度. ① 求AFDE的值； ② 求证：CP ⊥AF .（3）如图3，当1k ≠时，请直接写出用含k 的式子表示的AFDE的值.图1 图2 图3FG ED CBAADBCEFGPGABCP DEFFED PCBAG11. 在直角梯形ABCD 中，CB ∥OA ，90COA ∠=︒，3CB =，6OA =，BA =分别以OA ，OC 边所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求点B 的坐标；（2）已知D ，E 分别为线段OC ，OB 上的点，5OD =，2OE EB =，直线DE 交x 轴于点F ，求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案例1 10.5 提示：BE AE EFEG EC BE==．例2 C 例3 144 提示：1++．例4 解法一：如图1，过点O 作AC 的平行线交BC ，AB 于点D ，E ．∵DE ∥AC ，∴∠OAC =∠1，∴∠1=∠BAO ，∵∠OAC =∠OCA ，∴AO =OC ，AE =OE ，∴△AOE ∽△ACO ，∴AC OC AO EO =①，∵DE ∥AC ，∴AB AECB CD=②，∵∠2=∠OBC ，∠BCO =∠BCO ，∴△OCD ∽△BCO ，∴OC CD BC CO =③，①×②×③得ACCO gAB OC OC AE CDBC BC OE CD OC ⋅=⋅⋅， ∴21AC AB BC⋅=（AO=OC ，AE=OE ）， ∴2BC AC AB =⋅．解法二：如图2，不妨设AB >AC ，延长CA 至点P ，使CP =AB ，连接PB ，PO ．在△BAO 和△PCO 中，BA PC BAO PCO AO CO =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BAO ≌△PCO ， ∴∠CPO =∠ABO ．∴O ，A ，P ，B 四点共圆， ∴∠OAB =∠OPB =∠OBC ．而∠CPO =∠ABO ， ∴∠ABC =∠CPB ，又∠ACB =∠BCP ， ∴△CBA ∽△CPB ， ∴AC BC BCPC=，注意到PC =AB ，∴2BC AC AB =⋅，即△ABC 三边成比例．例5 提示：（1）BC =10（2）如图1，过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，则 BG =AD =3，GC =7，MN ∥DG ，当M ，N 运动t 秒时，CN =t ，CM =10-2t ，由△MNC ∽△GDC ，得CN CM CDCG=，即10257t t -=，解得5017t =．（3）①当NC =MC 时，如图2，则t =10-2t ，103t =；②当MN =NC 时，如图3，过点N 作NE ⊥MC 于点E ，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由△NEC ∽△DHC ，得CN EC CDHC=，即553t t -=，解得258t =；③当MN =MC 是，如图4，过点M 作MF ⊥CN 于点F ，则1122FC NC t ==．图1A BC EDO12P ABCO图2由△MFC ∽△DHC ，得FCMCHC DC =，即1102235tt -=，解得6017t =．例6（1）∵AD =DC ， ∴∠DAC =∠DCA ． ∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ACB ． ∵∠BCD =60°，∴∠DCA =∠ACB =30°． ∵∠B =30°，∴∠DAC =∠B =30°， ∴△DAC ∽△ABC ．过点D 作DE ⊥AC 于点E ． ∴AD =DC ， ∴AC =2EC ．在Rt △DEC 中，∵∠DCA =30°，∴3cos 2EC DCA DC∠==，∴3DC EC =，∴3DC AC=，∴210.33DAC ABC DC AC S S ∆∆=≈⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵0.30.4DACABCS S ∆∆≤≤， ∴△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”．（2）△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”不正确．反例：若∠ACB =40°，则△DAC 与△ABC 不具有一定的“全等度”． ∵∠B =30°，∠BCD =60°， ∴∠BAC =110°． ∵AD ∥BC ， ∴∠D =120°．∴△DAC 与△ABC 都是钝角三角形，且两钝角不相等．FENN NM N D ADCADADAB 图1 图2图3图4∴△DAC 与△ABC 不相似．∴若∠ACB =40°，则△DAC 与△ABC 不具有一定的“全等度”．A 级 1．25 2．29S 3．194．127或60375．B 6．C 7．C 8．A 9．提示：由△ABC ∽△DCA ，得22ABC ADCS AB BC CDS AD∆∆==10．提示：（1）∠ABF =∠COE ，∠BAF =∠C ，可证明△ABF ∽△COE ．（2）如图，作OG ⊥AC ，交AD 的延长线于G ，则∠G =∠C ， ∵O 为AC 中点，AC =2AB ， ∴∠FOG =∠BOA =∠COE =45°， ∴△FOG ∽△EOC ， ∴OF OG OEOC=．又AO =BA ，∠G =∠C ，∠AOG =∠BAC ， ∴△AGO ≌△BCA ， ∴OG =AC =2OC ， ∴2OF OGOEOC ==．（3）OF OEn =．11．提示：（1）114S S=．（2）()2140416S x x x S-+<<=．（3）不存在点D ，使得114S S >成立，从而反面说明．12．（1）当MN =3时，点P 在BC 上．（2）①当03x <≤时，213y x =．当3x =时，y 有最大值为3；②当36x <<时，设△PMN 与BC 相较于点E 、F ，BC 边上的高为4，则24434PEF ABCx S S ∆∆-=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， ()2433PEF x S ∆=-，()()22221438123344AMN PEF y S S x x x x x ∆∆=-=-+-=--+-=-．当x =4时，y 有最大值为4．B 级1．405cm 2 提示：1DE FC IC BCBCBC++=． 2．32提示：Rt △BAD ∽Rt △CBA ． 3．C ．FD EGCB(第10题)4．C 提示：延长DA 、CB 相交于G ，219GAB GDCS AB S CD ∆∆==⎛⎫ ⎪⎝⎭．设GAB S S ∆=，则9GDC S S ∆=，8ABCD S S =，222::::1:5:9GAB GEF GDC GA GE GD S S S ∆∆∆==．5．△EBD ∽△DAC ∽△ABC ，1m BD m BC=，2m DC AC mACBC==，222115511244m m BD AC BC DC ACDCACAC AC AC mBCBCBC BC BC BC BC ++-+==-+=-+-+≤⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．提示：163DE FG HI ===，203IF AB DE =-=，203AF AI IF AI =+=+，由△AFG ∽△ABC ，得AF GF ABBC=，43AI =，FB =4．7．设BC =a ，BC 边上的高AD =h ，PS =x ，RS =y ．由△ASR ∽△ABC ，得h x y a h-=，∵ABC PQRS S nS ∆=矩形， ∴12h x ah nxy nxa h-==，整理得22220nx nxh h -+=， ∴211222x n n h n=+-．∵()()222221n n n n -<-<-，∴22n n -不是完全平方数，22n n -为无理数，从而x h为无理数，于是BS BA=x h 为无理数. 8.提示：（1）364y x =-+. （2）23310S t t =-+. （3）如图1，当CP=CQ 时，即10t t -=，得5t =.如图2，当QC=QP 时，过点Q 作QD ⊥x 轴于D ，则()111022CD PC t ==-.∵△QDC ∽△BOC ，∴CD CQ CO CB =，即()1102810t t -=，得5013t =. （3）如图3，当PC=PQ 时，过P 作2PD l ⊥于D ，则1122CD CQ t ==.∵△CDP ∽△COB . ∴CD CP CO CB =，即1102810tt-=，得8013t =综上所述，当5t =或5013或8013时，△PCQ 为等腰三角形.9.设三角形边长为,,a b c .设x 为正方形的边长，h 为三角形的高，S 为三角形的面积.设D 、E 、F 、G 是立于a 边上的正方形的顶点.∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC，∴a a aax h x a h -=， 2a a a a ah S x a h a h ==++.同理可得：22,b c b cS Sx x b h c h ==++.据题意a b c x x x ==，故得222a b c S S S a h b h c h ==+++，或a b c a h b h c h +=+=+①，但111222a b c S ah bh ch ===，故a b c ah bh ch ==②.由①②得()()22a b a h b h -=-，因此a b a h b h -=-，故a b a h b h -=-③，或a b a h h b -=-④，其中必有一成立.若④式成立，由①④求得b a h =，矛盾（直角三角形斜边大于直角边），故③式成立.有①③得a b =.同理可证b c =，故a b c ==，即△ABC 为正三角形. 10.(1)连结AC ，CF ，可证明△ACF ∽△DCE ，得2AFDE=. （2）①2AFDE=. ②证明△ADH ∽△CPH ，∠CPH=∠ADH=90°，故CP ⊥AF . （3）21AFk DE=+. 11.(1)B (3,6). (2)作EG ⊥x 轴于点G ，可求得E （2，4），直线DE 的解析式152y x =-+. （3）存在.①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN 为菱形.作MP ⊥y 轴于点P ，则 MP ∥x 轴，∴△MPD ∽△FOD ，∴MP PD MD OF OD FD ==.又当0y =时，1502x -+=，解得 10x =.∴F 点的坐标为（10，0）.∴OF=10.在Rt △ODF 中，222251055FD OD OF =+=+=，∴10555MP PD ==， ∴25MP =，5PD =.∴点M 的坐标为()25,55-+.∴点N 的坐标为()25,5-.②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM 为菱形，延长NM 交x 轴于点P ，则MP ⊥x 轴.∵点M 在直线152y x =-+上.∴设M 点坐标为1,52a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，在Rt △OPM 中，222OP PM OM +=，∴2221552a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得()124,0a a ==舍去，∴点M 的坐标为（4，3）.∴点N 的坐标为（4，8）.③如图3，当OM=MD=DN=NO 时，四边形OMDN 为菱形，连结NM 交OD 于点P ，则NM 与 OD 互相垂直平分，∴52yM yN OP ===. ∴15522xM -+=，∴5xM =，∴5xN xM =-=-. ∴N 的坐标为55,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为()125,5N -，()24,8N ， 355,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

相似三角形的性质经典知识点及练习

相似三角形的性质知识点一：相似三角形的相似比与对应边上的高线、中线、角平分线的比的关系1.如图△ABC ∽△EFH ，AD 是△ABC 的中线，EG 是△EFH 的中线（1）求证：△ABD ∽△EFG(2)如果把中线改为高线或角平分线，结论还成立吗？总结：相似三角形对应边上的中线的比等于相似三角形对应边上的高线的比等于相似三角形对应角平分线的比等于例1：如图，矩形DEFG 内接于△ABC ，点D 在AB 上，点G 在AC 上，点E ，F 在BC 上， AH ⊥BC 于H ，交DG 于M ，且DE ：EF =2：3，BC =18，AH =12，求矩形DEFG 的周长．练习1：如图，在△ABC 中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 上，点G 、F 分别在AB 、AC 上，AH 是BC 上的高，AH 与GF 相交于K ，64:9:=∆∆S S ABC AG F ，EF=10，求AH 的长练习2：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是BC 上的高，AH 与GF 相交于K ，已知BC=12，AH=6，21=GF EF ，求矩形DEFG 的周长知识点二：相似三角形的相似比与周长比和面积比的关系在正方形网格中△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2有什么关系，证明你的结论（1） △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的相似比是（2） △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的周长比是（3） △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比是总结：相似三角形的周长比等于；相似三角形的面积比等于例1：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB =2DE ，AC =2DF ，∠A =∠D ，△ABC 的周长是24，面积是48，求△DEF 的周长和面积．练习1：已知△ABC ∽△D EF ，43=DE AB ，△DEF 的周长为12，面积是32，求△ABC 的周长及面积练习2：如图，R t△ABC到R t△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3:2（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知R t△ABC的周长是12，面积是6，求R t△DEF的周长与面积例3：填空：(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为_____，周长的比为_____，面积的比为_____．(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为____，周长的比为____．练习1：如果两个相似三角形对应高的比为4:5，则这两个三角形的相似比是，它们的面积比是练习2：两个相似三角形的对应边的比是2:3，周长之和是20，那么这两个三角形的周长分别为例4：如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点Q，若△DQE 的面积为9，则△AQB的面积为_______，四边形BCEQ的面积为________.练习1：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，25:10:4::=∆∆∆S S S ABF EBF D EF ，则DE:EC=练习2：如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，且DE:EC=3：5，连接AE 、BD 相交于点F ，△DEF ，△EFB ，△ABF 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1：S 2：S 3=例5：已知：如图，E 、M 是AB 边的三等分点，EF ∥MN ∥BC ．△AEF 的面积∶四边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积=____.练习1：已知，如图D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，且15:1:=∆S S DBCE ADE 四边形,那么DE:BC 的值等于练习2：已知，如图△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且DE//BC ，AD=3DB ，若△ABC 的面积为32，则四边形BCED 的面积为例6：已知：如图，Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，DE //AB ．(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时，求CD 的长；(2)当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时，求CD 的长．练习1：如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，EF ⊥AB ，BE=10，BC AC 43 ,求EF 的长练习2：已知两个相似三角形的一对应边长分别是35和14（1）已知它们的周长相差60，求这两个三角形的周长（2）已知它们的面积相差588，求这两个三角形的面积例7：如图，四边形ABCD中，AB//DC，∠B=90°，AB=3，BC=11，DC=6．在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．练习1：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长及它们的面积比练习2：如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s，的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？此时，它们的面积比是多少？。

相似三角形性质完整的题型+答案

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5，求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。

答案:(1)9:25 (2)5:3。

相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

相似三角形的性质定理（3种题型）【知识梳理】一、相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．二、相似三角形性质定理2相似三角形周长的比等于相似比．三、相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【考点剖析】题型一：相似三角形性质定理1例1.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，1132AB A B =，BE 、B 1E 1分别是它们的对应中线，且6BE =．求B 1E 1的长．【答案】4．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，BE 、11B E 分别是对应中线，1111AB BEA B E B ∴=即11362E B =，114E B =【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比．例2.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，12AC =，119A C =,1A ∠的平分线A 1D 1的长为6，求A ∠的平分线的长．【答案】8．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，AD 、11A D 分别是A ∠、1A ∠的平分线，1111AC AD A C A D ∴=即1296AD =，8AD ∴=即A ∠的平分线的长为8．【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比．例3.求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高．求证：11ADkA D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BC 、11B C 的高，11190BDA B D A ∴∠=∠=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例4.求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线．求证： 11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，1111AB CBkA B C B ==；又AD 、11A D 分别是边BC 、11B C 的中线，12BD BC ∴=，111112B D B C =，∴11DB k D B =，1111AB BD A B B D ∴=，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADkA B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．例5.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【解析】已知：如图，111ABC A B C ∆∆∽，且相似比为k ，AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠ 的角平分线．求证：11ADk A D =．证明：111ABC A B C ∆∆∽，1B B ∴∠=∠，111BAC B A C ∠=∠，11ABkA B =；又AD 、11A D 分别是BAC ∠、111B A C ∠的角平分线，11111111,22BAD BAC B A D B A C ∴∠=∠∠=∠，111BAD B A D ∴∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，1111AB ADk A B A D ∴==．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．例 6.如图，ABC ∆和111A B C ∆中，AD 和BE 是ABC ∆的高，11A D 和11B E 是111A B C ∆的高，且1C C ∠=∠，1111AD ABA D AB =．求证：1111AD BEA DB E =【解析】AB C D EA 1E 1D 1 C 1B 1证明：1111AB ADA B A D =，又111ADB A D B ∠=∠，111ABD A B D ∴∆∆∽，111ABD A B D ∴∠=∠，又1C C ∠=∠，111ABC A B C ∴∆∆∽，又BE 、11B E 分别是ABC ∆、111A B C ∆的高，1111BE AB E B A B ∴=，1111BE ADE B A D ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例7.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD 于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】解：BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠，又BAD C ∠=∠，ABF CBE ∴∆∆∽，AB BFCB BE ∴=，又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BD BC BA ∴=，14AB AB ∴=，2AB ∴=，12AB BC ∴=，1:2BF BE ∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用．例8.如图，在ABC ∆中，矩形DEFG 的一边DE 在BC 边上，顶点G 、F 分别在AB 、AC 边上，AH 是BC 边上的高，AH 与GF 交于点K ．若32AH cm =，48BC cm =，矩形DEFG 的周长为76cm ，求矩形DEFG 的面积．【答案】2360cm ．AB C DEFABC D EFGH K【解析】解：设DG xcm =，()38FG x cm=−矩形DEFG ，//90GF BC GDB ∴∠=，，GF AGBC AB ∴=,又AH 是高，90AHB ∴∠=，GDB AHB ∴∠=∠//DG AH ∴,DG BG AH AB ∴=，1DG GFAH BC ∴+=,3813248x x −∴+=，20x ∴=，∴20DG cm =，18FG cm =，2360DEFG S cm ∴=矩形．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识．例9.如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，AH 是ABC ∆的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG 的边长．【答案】24．【解析】设正方形EFGD 的边长为x ，//DG BC ，DG AD APBC AB AH ∴==．406040x x −∴=，24x ∴=，∴正方形EFGD 的边长为24．【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．例10.在锐角∆ABC 中，矩形DEFG 的顶点D 在AB 边上，顶点E 、F 在BC 边上，顶点G 在AC 边上，如果矩形DEFG 的长为6，宽为4，设底边BC 上的高为x ，∆ABC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．ABCDEF GH P【答案】23(4)4x y x x =>−．【解析】解：如图，矩形DEFG ，//90GD BC DEC ∴∠=，，GD AD BC AB ∴=．又 AH 是高，90AHC ∴∠=． DEC AHC ∴∠=∠， //DE AH ∴，DE BDAH AB ∴=， 1DG DEBC AH ∴+=， 641BC x ∴+=，64xBC x ∴=−，又12ABC S y BC AH ∆==，∴()2344x y x x =>−．【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．题型二：相似三角形性质定理2例11.若ABC ∆∽DEF ∆，ABC ∆与DEF ∆的相似比为1:2，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为( )（A ）1:4 （B ）1:2 （C ）2:1 （D ）1:2【答案】B【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例12.已知ABC ∆∽111A B C ∆，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且12AB =，1125B C =，求BC 和A 1B 1的长．【答案】112015BC A B ==，．【解析】解：111ABC A B C ∆∆∽，1111111ABC A B C C AB CBC A B C B ∆∆∴==；又111484605ABC A B C C C ∆∆==，∴1120,15BC A B ==．【总结】本题考查相似三角形的性质．例13.如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是．【答案】100cm ．【解析】两三角形的相似比为5:2，则周长比为5:2，设大三角形周长为5acm ，小三角形周长为2acm ，则5260a a −=，所以20a =，所以大三角形的周长为100cm ．【总结】相似三角形的周长比等于相似比．例14.如图，在ABC ∆中，12AB =，10AC =，9BC =，AD 是BC 边上的高．将ABC ∆沿EF 折叠，使点A 与点D 重合，则DEF ∆的周长为．【答案】312．【解析】由折叠得EF 垂直平分AD ，AD 是BC 上的高，ABCD EF//EF BC ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，12AEF ABC C C ∆∆∴=，9101231ABC C ∆=++=，312AEF C ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例15.如图，梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于点P ，求PCD ∆的周长．【答案】152cm ．【解析】解：梯形ABCD ，//CD AB ∴，AEF ABC ∴∆∆∽，37PDC PAB C CD C AB ∆∆∴==，即327PDC PDC ABCD C C C CD ∆∆=+−梯形， 31667PDC PDC C C ∆∆∴=+−，152PDC C cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质和判定．例16.如图，在ABC ∆中，=90C ∠︒，5AB =，3BC =，点P 在AC 上（与点A 、C 不重合），点Q 在BC 上，PQ //AB ．当PQC ∆的周长与四边形P ABQ 的周长相等时，求CP 的长．【答案】247．【解析】解：CPQ PABQC C ∆=四边形，ABCD PABCPQCP CQ PQ BQ PQ AP AB ∴++=+++， CP CQ BC CQ AC CP AB ∴+=−+−+， 5AB =，3BC =，90C ∠=，4AC ∴=，345CP CQ CQ CP ∴+=−+−+，6CP CQ ∴+=，//PQ AB ，CP CQCA CB ∴=，∴643CP CP −=，247CP =．【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．题型三：相似三角形性质定理3例17.（1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的倍；（2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的倍．【答案】（1）10000；（2）10．【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方．例16.两个相似三角形的面积分别为5cm 2和16cm 2，则它们的对应角的平分线的比为（）（A ）25:256（B ）5:16（C ）5:4（D ）以上都不对．【答案】C【解析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方．【总结】本题考查相似三角形的性质．例18.如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和AC 上，DE //BC ，6DE =，9BC =，16ADE S ∆=．求ABC S ∆的值．【答案】36．ABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，226499ADE ABC S DE S BC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，36ADE S ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例19.如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，若B ACD ∠=∠，4AD cm =，6AC cm =，28ACD S cm ∆=，求ABC ∆的面积．【答案】218cm ．【解析】解：B ACD ∠=∠，A A ∠=∠，ACD ABC ∴∆∆∽，222439ACD ABC S AD S AC ∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又28ACD S cm ∆=，218ABC S cm ∆∴=．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例20.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在AB 、AC 上，DE //BC ，ADE ∆和四边形BCED 的面积相等，求AD :BD 的值．【答案】21+．ABCDABCD E【解析】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，2ADE ABC S AD S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，ADE BCEDS S ∆=四边形，12ADE ABC S S ∆∆∴=，12AD AB ∴=，12121AD DB ∴==+−．【总结】本题考查相似三角形的判定及性质．例21.如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 分别为垂足．若60C ∠=︒，1CDE S ∆=，求四边形DEAB 的面积．【答案】3．【解析】解：AD BC BE AC ⊥⊥，，90CDA BEC ∴∠=∠=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=．90CDA BEC ∴∠=∠=，CBE CAD ∴∆∆∽，CD CACE CB ∴=，DCE ACB ∴∆∆∽，2DCE ACB S CD S CA ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又60C ∠=， 30CBE CAD ∴∠=∠=，12CD CA =，14DCE ACB S S ∆∆∴=，13DCE BDEA S S ∆∴=四边形，1CDE S ∆=，3DEAB S ∴=四边形．【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．例22.如图，Rt ABC ∆中，点D 是BC 延长线上一点，直线EF //BD 交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S ∆=四边形，求CFAD的值．A B CDEF【答案】21．【解析】解：//EF BD ，AEG AEC ∴∆∆∽，AE AFAB AD ∴=，2AEG ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，13AEG EBCGS S ∆=四边形，14AEG ABC S S ∆∆∴=，12AE AF AB AD ∴==，Rt ABC ∆，90ACD ACB ∴∠=∠=，CF ∴是中线，12CF AD ∴=,12CF AD ∴=．【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，则它们的周长比为（） A ．1:4 B ．1:2C ．1:16D ．以上答案都不对【答案】A【分析】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比．【详解】两个相似三角形的对应角平分线的比为1:4，∴两个相似三角形的相似比为1:4， ∴周长的比为1:4．ABCDEFG故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质并灵活运用．在ABC 的边，ABC 的面积是A ．4B ．8【答案】A【分析】过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，如图，先利用三角形面积公式计算出8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−，再证明AGF ABC ∽，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x 的方程即可．【详解】解：如图，过点A 作AH BC ⊥于H ，交GF 于M ，∵ABC 的面积是32，8BC =， ∴2132BC AH ⋅=，∴8AH =，设正方形DEFG 的边长为x ，则,,8GF x MH x AM x ===−， ∵GF BC ∥，∴AGF ABC ∽， ∴GF AMBC AH = ， 888x x −∴= ，解得∶4x =，即这个正方形的边长是4．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 3．（2022秋·上海嘉定·九年级校考期中）已知两个相似三角形的相似比为49：，那么它们的面积比为（） A ．23： B ．818：C ．49：D ．1681：【答案】D【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的相似比为49：， ∴它们的面积比1618：故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．九年级统考期中）已知ABC 的三边长分别为，DEF 的一边长，如果这两个三角形相似，那么DEF 的另两边长可能是（【答案】B【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得．注意DEF 中为5cm 边长的对应边可能是6cm 或7.5cm 或9cm ，所以有三种情况．【详解】解：设DEF 的另两边为cm,cm x y ，若DEF 中为5cm 边长的对应边为6cm ，则：567.59x y==，解得：254x =，152y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为7.5cm ，则：57.569x y ==，解得：4x =，6y =；若DEF 中为5cm 边长的对应边为9cm ，则：5967.5x y ==，解得：103x =，256y =；结合选项可得B 选项可选．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似．解此题的关键要注意DEF 中为5cm 边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解．九年级上海市华东模范中学校考期中）如图，在ABC 中，:ADEABCSS为（A ．3:5 【答案】C【分析】根据DE BC ∥可知ADEABC ，由:3:2AD DB =可知:3:5AD AB =,即相似比为3:5,再利用面积比是相似比的平方，即可判断求解．【详解】解：∵DE BC ∥， ∴ADEABC ，∵:3:2AD DB =， ∴:3:5AD AB =，2239525ADE ABCSAD SAB ⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．用到的知识为：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边的比相等，都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．DEF 的最短边长为，那么DEF 的周长等于（126【答案】D【分析】由相似三角形的性质：周长的比等于相似比，求出相似比即可求得结果．【详解】ABC DEF ∽，∴相似比为3193k ==，13ABC DEFC C∴=，33(356)42DEFABCCC ∴==⨯++=；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是关键．是ABC 的重心，四边形与ABC 面积的比值是（【答案】B【分析】连接DE ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，从而得到ADE ACB △△∽，进而得到221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，继而得到13DEGBDESS =，14ADEABCSS =，可得1116212DEGABCABCSS S =⨯=，再由ADEDEGAEGD S SS=+四边形，即可．【详解】解：如图，连接DE ，∵点G 是ABC 的重心，∴点D ，E 分别为,AC AB 的中点，∴1,2DE BC DE BC =∥，12ABDABCS S =，12BDEABDSS =，∴ADE ACB △△∽， ∴12DG EG DE BG CG BC ===， ∴221112,34AED ABCSD E E D S B G C G BD CE ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==， ∴13DEGBDES S =，14ADE ABCSS =，∴111326DEGABDABDS S S =⨯=， ∴1116212DEG ABCABCSS S =⨯=，∴1114123ADEDEGABCABCABCAEGD S SS S S S =+=+=四边形，即四边形AEGD 与ABC 面积的比值是13．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．二、填空题8．（2022秋·上海长宁·九年级校考期中）已知ABC 与DEF 相似，且ABC 与DEF 的面积比为1:4，若DEF 的周长为16，那么ABC 的周长等于________．【答案】8【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出ABC 与DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形ABC 与DEF 面积的比为1:4， ∴它们的相似比为1:2，∴ABC 与DEF 的周长比为1:2， ∵DEF 的周长为16， ∴ABC 的周长等于8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．9．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）已知ABC ∽111A B C △，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，AB ：113A B =：4，BE 、11B E 分别是它们的对应角平分线，则BE ：11B E =______．【答案】3：4【分析】根据相似三角形对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【详解】解：ABC ∽111A B C △，BE ∴：11B E AB =：113A B =：4，故答案为：3：4．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．10．（2022秋·上海浦东新·九年级校考期中）如图，DE BC ∥，:2:3AE EC =，则:OE OB =________．【答案】2:5【分析】根据:2:3AE EC =可求出:2:5AE AC =，再根据三角形相似的性质即可求解．【详解】解：∵:2:3AE EC =，∴25AE AC =，∵DE BC ∥，∴25DE AE BC AC ==，且DEO CBO △∽△， ∴25OE DE OB CB ==，故答案为：2:5．【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键．11．（2022秋·上海松江·九年级校考期中）已知ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4，如果DEF 的周长为24，那么ABC 的周长是___________．【答案】18【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比得:3:4ABCDEFCC=，又因为DEF 的周长是24，再建立方程即可．【详解】解：∵ABC 和DEF 相似，对应边AB 与DE 之比为3:4， ∴:3:4ABCDEFCC=，∵DEF 的周长是24， ∴:243:4ABCC=∴ABC 的周长是18，故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比． 12．（2023·上海长宁·统考一模）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，正方形EFGH 的边FG 在ABC 的边AB 上，顶点E 、H 分别在边AC 、BC 上，如果其面积为24，那么AF BG ⋅的值为______．【答案】24【分析】通过证明Rt Rt AFE HGB ∽，则AF BG EF HG ⨯=⨯，即可得到答案．【详解】90C ∠=︒，正方形EFGH 的四个顶点在三角形的边上， 90A B ∴∠+∠=， 90B BHG ∠+∠=，Rt Rt AFE HGB ∴∽， =24AF BG EF HG ∴⨯=⨯．故答案为24．【点睛】本题主要涉及三角形相似的判定和相似三角形的性质应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．，如果ABC 三边长分别是DEF 的两边长为【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，∵ABC ，2，2，DEF 的两边长为1x∴21x ==，解得：x所以DEF ．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，求出相似比是解题关键．14．（2022秋·上海宝山·九年级统考期中）已知111ABC A B C :△△，顶点A 、B 、C 分别与1A 、1B 、1C 对应，11:3:5AB A B =，E 、1E 分别是边AC 、11AC 的中点，如果1BE =，那么11B E 的长为________．【答案】53/213【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比列比例式求解即可．【详解】解答：解：∵11111:35ABC A B C AB A B =∽，:，∴对应中线BE 、11B E 的比值为35:，∴11135B E =::， ∴1153B E =．故答案为：53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应中线的比等于相似比． 15．（2022秋·上海杨浦·九年级统考期中）如果两个相似三角形的面积比为3:4，那么它们对应高之比为__________．2 【分析】根据相似三角形的性质，两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，因为两个相似三角形的面积比为3:42；再结合两个相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案．【详解】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴2，∴2，2．【点睛】本题考查相似三角形的性质应用，熟练掌握形式三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比是解决问题的关键． 16．（2023·上海·一模）如果ABC ∽DEF ，且ABC 的三边长分别为3、4、5， DEF 的最短边长为6，那么DEF 的周长等于________．【答案】24【分析】先设DEF 的周长等于c ，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求出c 的值．【详解】解；设DEF 的周长等于l ，∵ABC ∽DEF ，ABC 的三边长分别为3、4、5，DEF 的最短边长为6， ∴33546c ++=，解得24c = ．故答案为：24．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比． 17．（2023·上海黄浦·统考一模）已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12 【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案．【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶， ∴ABC 与DEF 的相似比为16∶，设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．18．（2023·上海宝山·一模）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为 _____厘米．【答案】18【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【详解】解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24=x ，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键． 19．（2022·上海·九年级专题练习）两个相似三角形的面积之比是 9:25，其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米，那么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高【详解】∵两个三角形面积比为9:25∴两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∴355x =，解得x=3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 20．（2023·上海徐汇·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是______．【答案】【分析】过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，首先由勾股定理得出AB 的长，由面积法即可求出CM 的长，可证得CGF CAB ∽，再根据相似三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：如图：过点C 作C M A B ⊥于点M ，交GF 于点N ，Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，AB ∴，1122ABC S AC BC AB CM =⋅=⋅△，∴AC BC CM AB ⋅∴===， ∵正方形DEFG 内接于ABC ，GF EF MN ∴==，GF AB ∥，CGF CAB ∴△∽△，CN GF CM AB ∴=，EF −=，解得：EF =，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 21．（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边BC AC 、上，ABE C ∠=∠，DE AB ∥，如果6AB =，9AC =，那么:BDE CDE S S △△的值是______．【答案】4:5【分析】根据已知证明ABE ACB ∽，得出4AE =，进而得出5EC =，根据DE AB ∥，根据平行线分线段成比例，得出45AE BD EC DC ==，即可求解．【详解】解：∵BAE CAB ∠=∠，ABE C ∠=∠，∴ABE ACB ∽，∵6AB =，9AC =，∴AB AE AC AB =∴24AB AE AC ==，∴945EC AC AE =−=−=，∵DE AB ∥，∴45AE BD EC DC == ∴:BDE CDE S S △△=::4:5BD DC AE EC ==，故答案为：4:5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·上海·一模）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为______．【答案】8+8【分析】根据 “优美梯形”的定义，得到ABD BDC ∽△△，从而得到90CBD BAD ∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，推出2BD AB CD =⋅，算出BD =再根据勾股定理，得到AD 、BC 的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，ABCD 为直角梯形，90BAD ADC ∴∠=∠=︒，90ABD ADB ∴∠+∠=︒，90ADB BDC ∠+∠=︒，ABD BDC ∴∠=∠，直角梯形ABCD 是“优美梯形”，ABD BDC ∴∽，90CBD BAD ∴∠=∠=︒，AD AB BD BC BD CD ==，2BD AB CD ∴=⋅，2AB =，4CD =，BD ∴，在Rt ABD 中，2AD ，在Rt BCD △中，BC =∴该梯形的周长2428AB BC CD DA =+++=++=+故答案为：8+【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 23．（2022秋·上海奉贤·九年级校联考期中）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果2ABC ACD S S =，那么COD S △：ABC S =______．【答案】1：3/13【分析】首先根据2ABC ACD S S =，可得AD ：1BC =：2；然后根据AOD ∴∽COB ，可得AO ：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，进而可得AOD S：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k =，分别表达OCD S 和ABC S 进而可得结论．【详解】解：在梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC ACD S S =，AD ∴：1BC =：2；//AD BC ，AOD ∴∽COB ，AO ∴：OC OD =：OB AD =：1BC =：2，AOD S∴：1BOC S =：4，AOD S ：1AOB S =：2，AOD S ：1OCD S =△：2，设AOD S k=，则4BOC S k =，2AOB OCD S S k ==， 6ABC AOB BOCS S S k ∴=+=， COD S ∴：2ABC S k =：61k =：3．故答案为：1：3．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．三、解答题24．（上海·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，AB ＝7，求CD 的长．【答案】143【详解】试题分析：由题意易得△COD ∽△AOB ，由此可得：CD DO AB BO =；由△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6，可得：23DO BO =，再结合AB=7即可求得CD 的长.试题解析：∵AB ∥DC ，∴△COD ∽△AOB ， ∴CD DO AB BO =，∵△AOB 的面积等于9，△AOD 的面积等于6， ∴23DO BO =， ∴23CD DO AB BO ==，又∵AB ＝7， ∴273CD =， ∴CD ＝143.【答案】20平方厘米【分析】根据两个相似三角形的面积比等于对应边的比的平方，结合面积和即可求解．【详解】解：设两个三角形的面积分别为x ，y ，则有22365x y x y ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+=⎩，解得2045x y =⎧⎨=⎩；答：较小三角形面积为20平方厘米．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于对应边的比的平方．26．（2020秋·上海宝山·九年级统考阶段练习）如图，正方形DEFG 的边EF 在ABC ∆的边上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC ∆的边15BC =，高10AH =，求：正方形DEFG 的边长和面积．【答案】6，36【分析】由正方形的性质可得DG //BC ，不难证明ADG △∽ABC ，即DG AM BC AH =，设正方形的边长为x ，分别表示出对应边的长度并代入DG AM BC AH =求解，即可得出正方形的边长，即可得出正方形的面积．【详解】设正方形的边长为x ，正方形DEFH ，AH ⊥BC ，∴DG=GF=MH=x ，DG //BC ，∴ADG=B ∠∠，AM=10－x ，在ADG △与ABC 中，ADG=BAC BAC B ∠=∠⎧⎨∠∠⎩，∴ADG △∽ABC ，∴DG AM BC AH =，∴101510x x −=，解得：x=6，S=6×6=36．答：正方形的边长为6，面积为36．【点睛】本题主要考查正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，设正方形的边长为x ，根据相似比等于高之比列方程求解是解题关键．27．（上海·九年级阶段练习）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．【答案】48mm【分析】设正方形EF=EG=ID=x，根据正方形的性质，得到EF∥BC，△AEF∽△ABC，列出比例式EF AIBC AD=，代入计算即可．【详解】∵四边形EFHG是正方形，AD是高，∴ EF∥BC，四边形EGDI是矩形，∴ EG=ID，设正方形EF=EG=ID=x，∴△AEF∽△ABC，∴EF AI BC AD=，∵ BC＝120mm，高AD＝80mm，∴80 12080x x−=，解得x=48，故正方形的边长为48mm．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的性质是解题的关键．。

相似三角形(含练习有答案、例题和知识点)

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）　（B）　（C）　（D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（）（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4 cm、cm　（B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

相似三角形的性质(有答案)

27.2.2 相似三角形的性质学习目标：1. 理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点、难点)2.理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (重点)【自主学习】一、知识链接1. 相似三角形的判定方法有哪几种？2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?【合作探究】一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比思考如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？证明如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，求它们对应高的比.试一试仿照求高的比的过程，当△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.【要点归纳】相似三角形对应高的比等于相似比.类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.【典例精析】例1已知△ABC∽△DEF，BG、EH 分别是△ABC和△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4 cm，BG= 4.8 cm. 求EH 的长.【针对训练】1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是，对应边上的中线的比是.2. 已知△ABC ∽△A'B'C' ，相似比为3 : 4，若BC 边上的高AD＝12 cm，则B'C' 边上的高A'D' ＝.思考如果△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长比也等于相似比吗？为什么？【要点归纳】相似三角形周长的比等于相似比.探究点2：相似三角形面积的比思考如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为 k ，它们的面积比是多少？证明画出它们的高，由前面的结论，我们有k C B BC =''，k D A AD=''，22121k k k D A AD C B BC D A C B AD BC S S C B A ABC=⋅=''⋅''=''⋅''⋅='''△△【要点归纳】由此得出：相似三角形面积的比等于相似比的平方．【针对训练】1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的_____倍；相似比 2k ……周长比13……面积比10000……(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的_____倍.3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm 、14 cm ，(1) 它们的周长差为60 cm ，这两个三角形的周长分别是___ ___； (2) 它们的面积之和是 58 cm 2，这两个三角形的面积分别是 .例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF ，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.【针对训练】如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.例3 如图，D ，E 分别是 AC ，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm 2，且53==AB AD AC AE ，求四边形 BCDE 的面积.【针对训练】如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC的值.二、课堂小结当堂检测1. 判断：(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5 倍( )(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9 倍( )2. 在△ABC 和△DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若AP ＝2，则DQ的值为( )1A．2 B．4 C．1 D.23. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于___________.4. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长是__________cm，面积为__________cm2.5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 和9，求△ABC 的面积.6. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于点D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.【分析】从题干分析可以得到△ADE∽△ABC，要证明它们面积的比，直接的就是先求出相似比，观察得到△ADE与△DCE是同高，得到AE与CE的比，进而求解.参考答案自主学习一、知识链接解：（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似（6）一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似解：还有高，中线，平分线等等合作探究一、要点探究探究点1：相似三角形对应线段的比证明解：如图，分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．则∠ADB =∠A' D' B'=90°.∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B' . ∴△ABD ∽△A' B' D' .∴k B A ABD A AD =''=''. 【典例精析】解：∵ △ABC ∽△DEF ，∴EFBCEH BG =(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)， ∴468.4=EH ，解得 EH = 3.2.∴ EH 的长为 3.2 cm. 【针对训练】1. 2 : 3 2 : 3 2. 16cm思考解：等于，如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k ，那么k AC CAC B BC B A AB =''=''=''，因此AB ＝k A'B'，BC ＝kB'C'，CA ＝kC'A'，从而k A C C B B A A C k C B k B A k A C C B B A CA BC AB =''+''+''''+''+''=''+''+''++. 探究点2：相似三角形面积的比【针对训练】1.2. (1) 5 (2) 103. (1) 100cm ，40cm (2) 50cm 2,8cm 2解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB=2DE ，AC=2DF ，∴21==AC DF AB DE . 又 ∵∠D=∠A ，∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为21. ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为512，∴△DEF 的边 EF 上的高为21×6 = 3，面积为53512212=⨯⎪⎭⎫⎝⎛.【针对训练】14解：∵ ∠BAC = ∠DAE ，且53==AB AD AC AE ，∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25.又∵ △ABC 的面积为 100 cm 2，∴ △ADE 的面积为 36 cm 2. ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm 2).【针对训练】解：∵ DE ∥BC ，D 为 AB 中点，∴ △ADE ∽ △ABC ，∴21==AB AD AC AE ，即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4. 又∵ EF ∥AB ，∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为21=AC CE ， ∴面积比为 1 : 4.设 S △ABC = 4，则 S △ADE = 1，S △EFC = 1， S 四边形BFED = S △ABC －S △ADE －S △EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S 四边形BFED : S △ABC = 2 : 4 =21. 当堂检测1. (1) √ (2) ×2. C3. 1:1 1:44. 14 345. 解：∵ DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴ △ADE ∽△ABC ，∠ADE =∠EFC ，∠A =∠CEF ， ∴△ADE ∽△EFC.又∵S △ADE : S △EFC = 4 : 9，∴ AE : EC=2:3，则 AE : AC =2 : 5， ∴ S △ADE : S △ABC = 4 : 25，∴ S △ABC = 25.6. 解：过点 D 作 AC 的垂线，垂足为 F ，则22121==⋅⋅=EC AE DF EC DF AE S S DCEADE △△， ∴32=AC AE . 又∵ DE ∥BC ，∴ △ADE ∽△ABC. ∴943222=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=AC AE S S ABC ADE △△，即 S △ADE : S △ABC ＝4 : 9.。

相似三角形的判定、性质(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定定理：①________________________________________；②________________________________________；③________________________________________；④_________________________________________________________．问题2：①如果两个图形不仅________，而且__________________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做_________．位似图形上__________________________________等于相似比．②在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是_______，它们的相似比为________．相似三角形的判定、性质一、单选题(共11道，每道9分)1.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定2.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定5.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，若，CD=3，则AF的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质6.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，交AC于点E，若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定7.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF于点H，AD=3，DC=4，，∠EDF=90°，则DF的长是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定8.如图，以点O为位似中心，将△ABC扩大到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为( )A.1:2B.1:4C.1:5D.1:6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定9.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大为原来的2倍，得到．若点A的坐标是（1，2），则点的坐标是( )A.(2，4)B.(-1，-2)C.(2，4)或(-2，-4)D.(2，4)或(-4，-2)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定10.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )A.3B.3或C.3或D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定11.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，，D为BO的中点，若E是线段AB上的一动点，连接DE，当△BDE与△AOB相似时，点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定。

相似三角形的性质与判定练习题含答案

和
相似．
，点 p 在 BD 上移动，
【答案】或 12cm 或 2cm
【解析】解：由
，
，
，
设
，则
，
若
∽
，
则
，
即
，
变形得：
，即
，
因式分解得：
，
解得：
，
，
所以
或 12cm 时，
∽
；
若
∽
，
则
，
即
，解得：
，
，
综上，
或 12cm 或时，
∽
．
故答案为：或 12cm 或 2cm．
设出
，由
表示出 PD 的长，若
．
综上所述，当
或时，
与
相似．
故答案为或．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC
与 DE 相交于点 F，若
，
，则
等于_____．
20.
21.
【答案】11
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形
的相似条件，然后利用其性质即可求解由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以得到
根据对称性可知：
，
∽
，根据相似的性质可得出：
，又，
，所以，在
中，由勾股定理可求得 AC 的值，
，
【解答】
解：设 BE 的长为 x，则
、
在
中，
，将这些值代入该式求出 BE 的值．
，
∽
两对对应角相等的两三角形相似
，故选：C．
，
，

06-第四章7相似三角形的性质

= 2 ,∴ S ABC 3 S ADE
=

2 3
2

= 4 ,
9
∵△ADE的面积是135 cm2,∴S△ABC=135× 4=60(cm2).
9
解题技巧解答本题的关键是根据相似三角形的判定定理判定△ABC
∽△ADE,进而利用相似三角形的性质定理求解.
7 相似三角形的性质
栏目索引
m.Leabharlann 图4-7-17 相似三角形的性质
栏目索引
解析如图4-7-2,过点P作PN⊥CD,分别交AB,CD于点M,N.由AB∥CD
易得△APB∽△CPD.由相似三角形的性质可知 PM = AB ,即 PM = 2 ,所
PN CD 2.7 6
以PM=0.9(m),所以MN=PN-PM=2.7-0.9=1.8(m).故AB与CD间的距离是
=
AD BM
2
=4,
∵S△BMG=1,∴S△ADG=4.
栏目索引
7 相似三角形的性质
知识点三相似多边形的性质
栏目索引
9.如图4-7-4,在四边形ABCD中,E,F,G分别是BA,BD,BC上的点,EF∥AD,
FG∥DC,且 AE = 1 ,则四边形ABCD和四边形EBGF的周长之比为( )
2
=

1 2

2= 1 .
4
7 相似三角形的性质
知识点三相似多边形的性质
相似多边形性质
边、角
相似多边形的对应边的比相等,对应角相等
周长
相似多边形的周长比等于相似比
面积
相似多边形的面积比等于相似比的平方
栏目索引
7 相似三角形的性质
栏目索引

相似三角形的性质附答案

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相似三角形的性质定理(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

相似三角形(含练习有答案、 例题和知识点)

相似三角形的性质(有答案)

相似三角形的判定、性质(含答案)

相似三角形的性质与判定练习题 含答案

06-第四章7相似三角形的性质

相似三角形的性质及判定(1)含答案非常的全面

第二十一讲相似三角形的性质(含答案)-

绵阳市人教版九年级数学竞赛专题：相似三角形的性质(含答案)

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