湖南省岳阳市2014届下学期高三年级教学质量检测考试(二)数学试卷(文科)
湖南省岳阳一中2014届下学期高三年级第四次阶段考试数学试卷(文科 有答案)
湖南省岳阳一中2014届下学期高三年级第四次阶段考试数学试卷（文科） 有答案时量:120分钟 分值:150分一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|A x x ππ=-≤≤，集合{}|2sin 10,B x x x A =-=∈，则集合B =( ) A ．6π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．5,66ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．2,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ． 55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 2.下列命题中的假命题是（ ）A ．,ln 0x R x ∃∈=B ．,tan 1x R x ∃∈=C ．,0x x R e ∀∈>D ．3,0x R x ∀∈>3.已知直线m ⊂平面α,则“l m ⊥”是“l α⊥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0),||2a b ==，则|2|a b +=( )A ．7BC ．13D ． 35.曲线sin xx y e =在0x =处的切线的斜率是 （ ） A.1 B. 12C.0 D ．1- 6.设0,0a b >>,若1是a 与b 的等比中项,则11a b +的最小值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．27.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积．．．是（ ）A ．6+．5+C ．8+．7+8.定义域为R 的奇函数()f x ，当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<恒成立，若3(3)a f =，(1)b f =--，2(2)c f =--，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a c b >>B.c b a >>C.c a b >>D.a b c >>9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知310061006(1)2013(1)1a a -+-=，310081008(1)2013(1)1a a -+-=-，则（ ）A ．2013100810062013,S a a =>B ．2013100810062013,S a a =<C ．2013100810062013,S a a =->D ．2013100810062013,S a a =-<二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡相应位置）10. 已知平面向量(1,2)a =， (2,)b m =-， 且a //b ，则m = .11.若tan()2πα-=，则sin 2α= .12.已知数列{}n a 的前n 项和为(1)n n S n =-⋅，则8a = .13.函数()2cos f x x x =-的零点个数是 .14.已知,x y 满足条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最小值为 .15.记数列12,,,n a a a 为A ，其中{}0,1i a ∈，1,2,3,,i n =. 定义变换f ，f 将A 中的1变为1,0；0变为0,1.设11(),(),k k A f A A f A k N *+==∈；例如:0,1A ，则1():0,1,1,0A f A=. （1）若3n =，则k A 中的项数为 ；（2）设A 为1,0,1，记k A 中相邻两项都是0的数对个数为k b ，则k b 关于k 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）212已知函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=.(1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)求函数)(x f 在]3,6[ππ-上的值域. 17.（本小题满分12分） 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2(2,cos21),(sin ,1)2A B m C n +=-= 且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若c =，ABC ∆的面积S =a b +的值. 18.（本小题满分12分）已知在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是矩形，PA ⊥底面A B C D ，2,1AB PA AD ===，,E F 分别是,AB PD 的中点.FPD CB E A（1）求证：AF ⊥平面PDC ；（2）求三棱锥B PEC -的体积.19.（本小题满分13分）为了保护环境，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把一种可导致雾霾的烟尘转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨烟尘得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？若获利，求出最大利润；若不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2121()2n n a a a n N n*+++=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n nn n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S .若对一切n N *∈，都有n S M <成立（M 为正整数），求M 的最小值.21.（本小题满分13分）已知函数()x f x e ax =-，其中e 为自然对数的底，a 为常数.（1）若函数()f x 存在极小值，且极小值为0，求a 的值；（2）若对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()(1sin )x f x e x ≥-恒成立，求a 的取值范围.岳阳一中2014届高三第四次阶段考试数学试卷(文)答案一、选择题：1-9 B D B C A ， D C A B二、填空题：10. 4- 11. 45- 12. 15 13. 1 14. 2 15.（1） 32k ⋅ （2）12k k b -=三、解答题：16.（1）1)62sin(22sin 32cos 1cos sin 32cos 2)(2++=++=+=πx x x x x x x f函数)(x f 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦……………… 6分 （2） 36ππ≤≤-x πππ65626≤+≤-∴x ……………… 8分 当266x ππ+=-时()f x 的最小值为0；当262x ππ+=时()f x 的最大值为3所以()f x 在区间]3,6[ππ-上的值域为]3,0[ ……………… 12分 17.（1）∵m n ⊥ 22sin cos210cos2cos 02A B C C C ++-=⇒+= ∴22cos cos 10C C +-= ∴1cos 2C =即3C π= ……………… 6分（2）S =2ab = ……………… 8分 由余弦定理222c a b ab =+-知22()3c a b ab =+- 知3a b +=. ……………… 12分18.（1）先证CD ⊥面PAD ……………… 6分（2）12BEC S ∆=,16B PEC P BEC V V --== ……………… 12分 19.烟尘的每吨平均处理成本为1800002002y x x x =+- ……………………3分 200y x≥当400x =时，才能使每吨的处理成本最低，最低成本为200元. （2）设该单位每月获利为S 元则2211100100(20080000)(300)3500022S x y x x x x =-=--+=---……… 8分 又400600x ≤≤，所以当400x =时，S 有最大值40000-，故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损. ……………………13分20.（1）∵21212n n a a a n +++=- ∴112121(2)21n n a a a n n --+++=-≥-两式相减可得 12n n a n -=⋅(2)n ≥……3分 又11211a =-= 故数列{}n a 的通项公式12n n a n -=⋅ …………5分（2）212212n n n n n n b a ---== ……………6分 由错位相减可知12362n n n S -+=- ……………11分 123662n n n S -+=-<，所以6M ≥，即M 的最小值为6 ……………13分 21.（1）()x f x e a '=-当0a ≤时，()0f x '>，()f x 不存在极值，舍去；当0a <时，()f x 在(,ln )a -∞上是减函数，在(ln ,)a +∞上是增函数，ln x a =为函数的极小值点， 又(ln )0f a =，所以1a =……………………4分（2）()(1sin )x f x e x ≥-即sin 0x e x ax -≥ …………………5分设()sin x g x e x ax =-，()(sin cos )x g x e x x a '=+-，所以()2cos x g x e x ''=…………………7分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ''≥，所以min ()(0)1g x g a ''==-. Ⅰ.当10a -≥，即1a ≤时，()0g x '≥，则()sin x g x e x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()(0)0g x g ≥=恒成立； …………………9分Ⅱ. .当10a -<，即1a >时，则存在00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0()0g x '<，从而当0(0,)x x ∈时，()0g x '< ()g x 在[]00,x 上是减函数，()0g x <不合题意. …………………12分 综上可知，a 的取值范围是(],1-∞. …………………13分。
湖南省岳阳市2014届高三教学质量检测(二)数学文试题扫描版含答案
岳阳市2014届高三教学质量检测试卷(二)数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题：1．B 2. C 3. D 4. A 5.Ｃ ６.Ａ 7.Ｄ ８.Ｂ ９.Ｂ 10.Ａ 二、填空题11． 110 12．313． 1 14． 2 15． 65三、解答题16．解：(1)∵2()2cos 2sin cos f x x x x =+cos2sin 21x x =++)14x π=++∴()f x 的最小正周期22T ππ== ………………………………………………………6分 (2)∵02x π≤≤∴52444x πππ≤+≤……………………………………………………8分 ∴sin(2)124x π-≤+≤…………………………………………………………………………10分∴0()1f x ≤≤+………………………………………………………………………………11分∴函数()f x 在区间[0,]2π上的值域为[0,1 ……………………………………………12分17．解:(1) 由频率分布直方图可知2(0.0500.1500.075)1a +++=所以0.225a =………3分直径位于区间[110,112)的频数为10020.05010⨯⨯=,位于区间[112,114)的频数为10020.15030⨯⨯=,位于区间[114,116)的频数为10020.22545⨯⨯=,位于区间[116,118]的频数为10020.0751⨯⨯=,因此生产一件A 产品的平均利润为101020303045151022100⨯+⨯+⨯+⨯=(元) ………………………………………6分(2) 由频率分布直方图可知直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为2:3,所以应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取2件产品,记为A 、B ，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件产品，记为a 、b 、c ,从中随机抽取两件,所有可能的取法有,(,)A B ,(,)A a ,(,)A b ,(,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共10种,其中两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有(,)A a ,(,)A b (,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共9种.所以所求概率为910P =……………12分 18．解(1) ∵ 在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=︒, ∴ 120ADC ∠=︒,∴由2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠ 得2280CD CD +-=解得2CD =,所以四边形ABCD 为菱形, ∴AC BD ⊥ 又PA ⊥底面ABCD ∴PA BD ⊥ ∵PA AC A =∴BD ⊥平面PAC∴PC BD ⊥ (6)分(2)由(1)易知2BD =, 所以12ABCD S AC BD =⋅=∴ 由143P ABCD ABCD V S PA -=⋅=得PA =8分 设AC 与BD 交于点O ,连结OE由(1)知BD ⊥平面PAC ,所以DE 在平面PAC 的射影为OE∴DEO ∠就是DE 与平面PAC 所成的角…………………………………………………10分∵E 是PC 的中点 ∴ 12OE PA ==∴ 在Rt DOE ∆中tan 3OD DEO OE ∠===∴30DEO ∠=︒ 即DE 与平面PAC 所成的角为30︒ (12)分19．解: 由题意知，当1n =时, 211142a a a =+,又10a >,所以12a = (1)分当2n =时，212224()2a a a a +=+，又20a >，所以24a = (2)分∵242n n n S a a =+ ∴211142n n n S a a +++=+两式相减并整理得 11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………………………4分A PEBC DO图3由于10n n a a ++> 所以120n n a a +--=…………………………………………………5分 所以数列{}n a 是以12a =为首项,2d =为公差的等差数列,∴ 2n a n =…………………………………………………………………………………6分 (2) ∵111111()4(1)41n n n b a a n n n n +===-++ ∴11111111[(1)()()()]42233414(1)n nT n n n =-+-+-++-=++…………………………8分 又21(2)(1)4n n n S a a n n =+=+ ∴ 由11n n n S a T λ++>得(1)(1)(2)2(2)n n n n n λ+++>+∴2182(2)28n n n nλ>=+++…………………………………………………………………10分 ∵ 828816n n ++≥= 当且仅当82n n=即2n =时取”=” ∴1181628n n≤++ …………………………………………………………………………12分 ∴116λ>∴存在实数λ,使不等式11n nn S a T λ++>对任意的正整数n 都成立,且116λ>……………13分20．解: (1) 设椭圆C 的半焦距为c ,则由题意可知23c e a bc ⎧==⎪⎨⎪=⎩又222a b c =+ 解得3,2a b c ===∴椭圆C 的方程为22195x y +=……………………………………………………………5分 (2)由题意可知直线l 的斜率不能为0,右焦点2F 的坐标为(2,0)设直线l 的方程为2x my -=,代入椭圆C 的方程并整理得22(59)20250m y my ++-= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222059m y y m +=-+,1222559y y m =-+………………………7分∴12||y y -==8分 12121||||||2AOBS OF y y y y ∆=-=-304==…………10分令t =,则1t ≥,令4()5f t t t=+则222454()5t f t t t-'=-=,所以当1t ≥时()0f t '>, ∴()f t 在[1,)+∞上为增函数,()f(1)9f t ≥=即9≥当且仅当1t =即0m =时取”=”∴1003AOB S ∆<≤…………12分 ∴AOB ∆的面积的最大值为103,此时直线l 的方程为2x =…………………………13分21．解:(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞,1()f x ax b x'=-+∴(1)101f a b b a '=-+=⇒=- …………………………………………2分 ∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x+-'=-+-=-………………………………………3分 由()0f x '>及0,0x a >>得01x <<由()0f x '<及0,0x a >>得1x >…………5分∴()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞ ………………………6分 (2)由(1)知()f x 在1(,1]2上单调递增,在[1,)+∞上单调递减, ∵()f x 在1(,)2+∞上有两个零点∴max 1()(1)1022f x f a a ==->⇒> …………………………………………8分 又2211111()1(1)(1)11022222f e ae a e a e a e a a e =-+-=--++-<-++-<∴()f x 在(1,)+∞上有且仅有一个零点 …………………………………………10分 ∴()f x 在1(,)2+∞上有两个零点的充要条件是()f x 在1(,1)2上有一个零点,即1()02f <,解得48ln 233a <+ ……………………………………………………………………………12分综上知所求a 的范围为4(2,8ln 2)3+ ……………………………………………13分。
2014年高考数学二模试卷(文科)
2014年高考数学二模试卷2．已知复数，则z的虚部为（）3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面垂直，若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该四棱锥中最长的棱的长度为（）C D4．函数f（x）=﹣的零点所在区间为（），，），5．执行如图所示的程序框图，若输入的p=5，q=6，则输出的a，i的值分别为（）6．已知，则sin2α的值为（）B C D8．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线B C D9．已知函数f（x）=a x﹣2，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2011）•g（﹣2012）＜0，则y=f（x），B C D11．直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（）B D12．已知函数f（x）=e x+alnx的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意函数a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的减函数；②对于任意函数a∈（﹣∞，0），函数f（x）存在最小值；③二、填空题：13．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣x（a∈R）取最大值=14．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为____15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为______16．已知数列{a n}满足a1=1，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，有2S n=2a n2+a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．17．如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．18．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，在x轴上的两个端点分别为A，B．且四边形F1AF2B是边长为1的正方形．（1）求椭圆C的离心率及其标准方程；（2）若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异的两点MN，且=3，求实数m的取值范围．19．（12分）已知a∈R，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．20．不等式选讲：已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2014年高考数学二模试卷（文科）解：复数的虚部为﹣，．故选4．（5分）函数f（x）=﹣的零点所在区间为（），，），+）×+1=t+t+x=（，的左、右焦点．若双曲线上存在点离心率9．（5分）已知函数f（x）=a x ﹣2，g（x）=log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2011）•g（﹣2012）＜0，则y=f（x），y=g（x）B C D11．（5分）（2012•菏泽一模）直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0B D，故可知直线恒过定点（，的焦点坐标为（，，∴的中点到准线的距离=x+=14．（5分）已知实数x，y满足不等式组若目标函数z=y﹣x取最大值=15．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．解：∵2A+=A=的面积为S=bcsinA=，即×=3（舍负）根据正弦定理，得==222∴为首项，为公差的等差数列∴，得为首项为．公比为∴．故18．（12分）如图所示，在△ABC中，AC=1，AB=3，∠ACB=，P为AB的中点且△ABC与矩形BCDE所在的平面互相垂直，CD=2．（1）求证：AD∥平面PCE；（2）求三棱锥P﹣ACE的高．ACB=PC=，sinA=的面积为CE=2则，，等积法得，解得h=．即三棱锥的高为（b=c=e==，其标准方程为得：=∵=3∴（=0时，∵=3∴，或＜，﹣）∪，21．已知a∈R ，函数（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；）∵+=（）时，．又，∴四、解答题22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点M的极坐标为（4，）．若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心、4为半径．，）因为化为普通方程为圆心到已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．1|+|2n+1|+2=。
2014年全国高考新课标Ⅱ数学(文)试卷及答案【精校版】
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标II 卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则AB =（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- （2）131i i+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件（4）设向量,a b 满足a b +=a b -=a b ⋅=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5（5）等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，学科 网高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到， 则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.31（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，D 为BC 中点，则三棱锥 11A B DC -的体积为（A ）3 （B ）32（C ）1 （D（8）执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（9）设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1（10）设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB = （A（B ）6 （C ）12 （D）（11）若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞（12）设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取 值范围是（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）⎡⎣ （D）,22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）甲，乙两名运动员各自等可能地从红、学科 网白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.（14） 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.（15） 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.（16） 数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a n n ，则=1a ________. 三、解答题：（17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的重点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,AP AD ==P ABD 的体积4V =，求A 到平面PBC 的距离.（19）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机 访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙 两部门的评价.（20）（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MNF N =，求,a b .（21）（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014湖南,文1)设命题p:∀x∈R,x2+1>0,则p为()A.∃x0∈R,x02+1>0B.∃x0∈R,x02+1≤0C.∃x0∈R,x02+1<0D.∀x∈R,x2+1≤0答案:B解析:因为全称命题的否定为特称命题,所以p为∃x0∈R,x02+1≤0.故选B.2.(2014湖南,文2)已知集合A={x|x>2},B={x|1<x<3},则A∩B=()A.{x|x>2}B.{x|x>1}C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<3}答案:C解析:由交集的概念,结合数轴(数轴略)可得A∩B={x|2<x<3}.故选C.3.(2014湖南,文3)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则()A.p1=p2<p3B.p2=p3<p1C.p1=p3<p2D.p1=p2=p3答案:D解析:由随机抽样的原则可知简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3,故选D.4.(2014湖南,文4)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1x2B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-x答案:A解析:由偶函数的定义知,A,B为偶函数.A选项,f'(x)=-2x3在(-∞,0)恒大于0;B选项,f'(x)=2x在(-∞,0)恒小于0.故选A.5.(2014湖南,文5)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为()A.45B.35C.25D.15答案:B解析:由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=3,故选B.6.(2014湖南,文6)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11答案:C解析:易知圆C1的圆心坐标为(0,0),半径r1=1.将圆C2化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25-m(m<25),得圆C2的圆心坐标为(3,4),半径r2=25-m(m<25).由两圆相外切得|C1C2|=r1+r2=1+25-m=5,解方程得m=9.故选C.7.(2014湖南,文7)执行如图所示的程序框图.如果输入的t∈[-2,2],则输出的S属于()A .[-6,-2]B .[-5,-1]C .[-4,5]D .[-3,6]答案:D解析:当t ∈[-2,0)时,执行以下程序:t=2t 2+1∈(1,9],S=t-3∈(-2,6];当t ∈[0,2]时,执行S=t-3∈[-3,-1],因此S ∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6].故选D .8.(2014湖南,文8)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .4答案:B 解析:由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ,且AB=8,BC=6,BB 1=12.若要得到半径最大的球,则此球与平面A 1B 1BA ,BCC 1B 1,ACC 1A 1相切,故此时球的半径与△ABC 内切圆半径相等,故半径r=6+8-102=2.故选B .9.(2014湖南,文9)若0<x 1<x 2<1,则( ) A .e x 2−e x 1>ln x 2-ln x 1 B .e x 2−e x 1<ln x 2-ln x 1 C .x 2e x 1>x 1e x 2 D .x 2e x 1<x 1e x 2答案:C解析:设f (x )=e x -ln x ,则f'(x )=x ·e x -1.当x>0且x 趋近于0时,x ·e x -1<0;当x=1时,x ·e x -1>0,因此在(0,1)上必然存在x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2),因此A,B 不正确;设g (x )=e x x,当0<x<1时,g'(x )=(x -1)e xx 2<0,所以g (x )在(0,1)上为减函数.所以g (x 1)>g (x 2),即e x 1x 1>e x 2x 2,所以x 2e x 1>x 1e x 2.故选C .10.(2014湖南,文10)在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0, 3),C (3,0),动点D 满足|CD |=1,则|OA +OB +OD |的取值范围是( ) A .[4,6] B .[ -1, +1] C .[2 3,2 7] D .[ 7-1, 7+1]答案:D解析:设动点D 的坐标为(x ,y ),则由|CD |=1得(x-3)2+y 2=1,所以D 点的轨迹是以(3,0)为圆心,1为半径的圆.又OA +OB +OD =(x-1,y+ ),所以|OA +OB +OD |= (x -1)2+(y + 3)2,故|OA +OB +OD |的最大值为(3,0)与(1,- )两点间的距离加1,即 1,最小值为(3,0)与(1,- )两点间的距离减1,即 1.故选D . 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.(2014湖南,文11)复数3+i i 2(i 为虚数单位)的实部等于 .答案:-3解析:由题意可得3+i i2=3+i-1=-3-i,故复数的实部为-3. 12.(2014湖南,文12)在平面直角坐标系中,曲线C : x =2+ 2t ,y =1+ 2t(t 为参数)的普通方程为 . 答案:x-y-1=0解析:两式相减得,x-y=2-1,即x-y-1=0.13.(2014湖南,文13)若变量x ,y 满足约束条件 y ≤x ,x +y ≤4,y ≥1,则z=2x+y 的最大值为 .答案:7解析:不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,作直线l 0:2x+y=0并平移,当直线经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值,且最大值为7. 14.(2014湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 . 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y 2=4x.由题意知过点P 的直线为y=kx+k (k ≠0),要使机器人接触不到过点P 的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得k4y 2-y+k=0,即Δ=1-k 2<0,解得k>1或k<-1. 15.(2014湖南,文15)若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a= . 答案:-3解析:由题意得f (-x )=ln(e -3x +1)-ax=ln 1+e 3xe3x -ax=ln(1+e 3x )-ln e 3x -ax=ln(e 3x +1)-(3+a )x ,而f (x )为偶函数,因此f (-x )=f (x ),即ax=-(3+a )x ,所以a=-3.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)(2014湖南,文16)已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n2,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2a n +(-1)n a n ,求数列{b n }的前2n 项和.分析:在第(1)问中,通过S n 可求出a n ,在求解过程中要注意分n=1和n ≥2两种情况进行讨论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论得到b n =2n +(-1)n n ,然后利用分组求和法分别计算(21+22+…+22n )和(-1+2-3+…+2n ),最后相加得到{b n }的前2n 项和. 解:(1)当n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n −(n -1)2+(n -1)=n.故数列{a n }的通项公式为a n =n.(2)由(1)知,b n =2n +(-1)n n.记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ,则T 2n =(21+22+…+22n )+(-1+2-3+4-…+2n ). 记A=21+22+ (22),B=-1+2-3+4-…+2n ,则A=2(1-22n )1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n ]=n.故数列{b n }的前2n 项和T 2n =A+B=22n+1+n-2.17.(本小题满分12分)(2014湖南,文17)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ) 其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败;b ,b 分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平;(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.分析:在第(1)问中,通过已知条件可分别写出甲、乙两组的成绩,然后利用平均数公式分别计算甲、乙两组的平均成绩,再结合方差公式得到甲、乙两组的方差,进而比较甲、乙两组的研发水平;在第(2)问中,充分利用古典概型的概率公式,转化为计算基本事件的个数,从而求得概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为x 甲=1015=23; 方差为s 甲2=115 1-23 2×10+ 0-232×5 =29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为x 乙=9=3; 方差为s 乙2=115 1-352×9+ 0-352×6 =625. 因为x 甲>x 乙,s 甲2<s 乙2,所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记E={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共7个.故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=7.18.(本小题满分12分)(2014湖南,文18)如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,∠BAD=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O. (1)证明:AB ⊥平面ODE ;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.分析:在第(1)问中,可利用线面垂直的判定定理证明,由DO ⊥平面α可得到DO ⊥AB ,然后利用△ABD 为正三角形得到DE ⊥AB ,最后根据线面垂直的判定定理得出所证结论;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论AB ⊥平面ODE ,从而得到二面角α-MN-β的平面角,达到立几化平几的目的,即转化为求∠ADO 的余弦,然后利用解直角三角形的方法求出余弦值.解:(1)如图a,因为DO ⊥α,AB ⊂α,所以DO ⊥AB.图a连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形. 又E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB. 而DO ∩DE=D ,故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即∠ADO 是BC 与OD 所成的角. 由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°. 不妨设AB=2,则AD=2.易知DE= 3. 在Rt △DOE 中,DO=DE ·sin 60°=3. 连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO=DO=32=3.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.19.(本小题满分13分)(2014湖南,文19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB ,DE=1,EC= 7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3. (1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助余弦定理得到CD 的长,然后在△CDE 中,利用正弦定理得到∠CED 的正弦值;在第(2)问中,利用∠CED 的正弦值求得其余弦值,然后利用角之间的关系表示出∠AEB ,进而表示出∠AEB 的余弦值,最后在Rt △EAB 中利用边角关系,求得BE 的长. 解:如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE 中,由余弦定理,得EC 2=CD 2+DE 2-2CD ·DE ·cos ∠EDC. 于是由题设知,7=CD 2+1+CD ,即CD 2+CD-6=0. 解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE 中,由正弦定理,得EC sin ∠EDC=CDsin α. 于是,sin α=CD ·sin 2π3EC =2× 327=217,即sin ∠CED= 21.(2)由题设知,0<α<π3,于是由(1)知,cos α= 1-sin 2α= 1-2149=2 77. 而∠AEB=2π-α,所以cos ∠AEB=cos 2π-α =cos 2πcos α+sin 2πsin α=-1cos α+ 3sin α=-1×2 7+ 3×21=7.在Rt △EAB 中,cos ∠AEB=EA =2,故BE=2= 714=4 7.20.(本小题满分13分)(2014湖南,文20)如图,O 为坐标原点,双曲线C 1:x 2a 12−y 2b 12=1(a 1>0,b 1>0)和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1(a 2>b 2>0)均过点P2 3,1 ,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C 1,C 2的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且|OA +OB |=|AB |?证明你的结论.分析:在第(1)问中,利用已知条件结合图形以及双曲线、椭圆中a ,b ,c 的几何意义,列出关于a 1,b 1,a 2,b 2的方程,得到它们的值,从而求出双曲线C 1、椭圆C 2的方程;在第(2)问中,首先对直线l 的斜率进行分类讨论,当斜率k 不存在时易得A ,B 两点的坐标,进而判断满足题设条件的直线l 不存在;当斜率k 存在时,可先设出l 的方程,然后代入曲线方程,利用根与系数的关系并结合向量的运算,依此判断满足题设条件的直线l 不存在. 解:(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 33,1 在双曲线x 2-y 2b 12=1上,所以2 332−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)+ 2 332+(1+1)=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x 2-y 23=1,y 23+x 22=1. (2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 或x=- .当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3), 所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3. 此时,|OA+OB |≠|AB |. 当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m. 由 y =kx +m ,x 2-y 2=1得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0. 当l 与C 1相交于A ,B 两点时,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根,从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由 y =kx +m ,y 2+x 2=1得(2k 2+3)x 2+4kmx+2m 2-6=0. 因为直线l 与C 2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k 2m 2-8(2k 2+3)(m 2-3)=0. 化简,得2k 2=m 2-3,因此OA·OB =x 1x 2+y 1y 2=m 2+3k 2-3+3k 2-3m 2k 2-3=-k 2-3k 2-3≠0,于是OA 2+OB 2+2OA ·OB ≠OA 2+OB 2-2OA ·OB , 即|OA +OB 2|≠|OA −OB 2|,故|OA +OB |≠|AB |. 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.21.(本小题满分13分)(2014湖南,文21)已知函数f (x )=x cos x-sin x+1(x>0).(1)求f (x )的单调区间;(2)记x i 为f (x )的从小到大的第i (i ∈N *)个零点,证明:对一切n ∈N *,有1x 12+1x 22+…+1n 2<2.分析:在第(1)问中,通过已知条件,借助导数,转化为判断导数在(0,+∞)上的符号,进而得出函数的单调区间;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到f (x )在(n π,(n+1)π)上存在零点,从而得出n π<x n+1<(n+1)π,然后分n=1,n=2,n ≥3三种情况讨论112+122+…+1n 2的值与2的大小关系,即可得证. 解:(1)f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x.令f'(x )=0,得x=k π(k ∈N *).当x ∈(2k π,(2k+1)π)(k ∈N )时,sin x>0,此时f'(x )<0; 当x ∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N )时,sin x<0,此时f'(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(2k π,(2k+1)π)(k ∈N ),单调递增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N ). (2)由(1)知,f (x )在区间(0,π)上单调递减. 又f π=0,故x 1=π.当n ∈N *时,因为f (n π)f ((n+1)π)=[(-1)n n π+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f (x )的图象是连续不断的,所以f (x )在区间(n π,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f (x )在区间(n π,(n+1)π)上是单调的,故n π<x n+1<(n+1)π.因此,当n=1时,1x 12=4π2<23; 当n=2时,1x 12+1x 22<1π2(4+1)<23;当n ≥3时,1x 12+1x 22+…+1x n 2<1π2 4+1+122+…+1(n -1)2 <1π2 5+11×2+…+1(n -2)(n -1) <12 5+ 1-1 + 1-1 +…+ 1n -2-1n -1 =1π2 6-1n -1<6π2<23. 综上所述,对一切n ∈N *,1x 12+1x 22+…+1x n 2<23.。
岳阳市2014届高三教学质量检测试卷(二)理数及答案word版
岳阳市2014届高三教学质量检测试卷(二)数学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内,复数11,(11i i i+-为虚数单位)对应的点分别为A 、B ,若点C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数为( ) A.12 B.1 C.12i D. i 2.如右茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一 次英语听力测试中的成绩(单位:分),已知甲 组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为 17.4,则x ,y 的值分别为( ) A.7, 8 B. 5, 7 C.8, 5 D. 8, 7 3下列命题中正确的是( )A. 命题“∀x ∈R ,2x x -≤0”的否定是“∃x ∈R ,2x x -≥0” B. 命题“p ∧q 为真”是命题“p ∨q 为真”的必要不充分条件C. 若“22am bm ≤,则a ≤b ”的否命题为假命题D. 已知图像连续不断的函数()y f x =在区间(,)a b (其中0.1b a -=)上有唯一零点,若 “二分法”求这个零点(精确度0.0001)的近似值,则将区间(,)a b 等分的次数至少是10次4.设函数3()lg3x f x x +=-,则3()()3x f f x+的定义域为( ) A. (9,0)(0,9)- B. (9,1)(1,9)-- C. (3,1)(1,3)-- D. (9,3)(3,9)--5.设x ,y 满足2,31,1,x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最小值为2,则ab 的最大值为( )A.1B.12C.14D.166.如图右,正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6中,下列向量的数量积中 最大的是( ) A.1213PP PP ⋅ B.1214PP PP ⋅ C. 1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅7.(2013·延庆县一模)一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是( )左视图P 1 P 3P 2P 4P 5P 68.四面体的一个顶点为A ,从其它顶点与各棱的中点中取3个点,使它们和点A 在同一平面上,不同的取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种9.数列{a n }的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为S n ,则S 30为( )A. 470B. 490C. 495D. 51010.已知函数)(,)()(2R t t t x x f t ∈--=,设(),()(),()(),()()a a b ba b f x f x f x a b f x f x f x f x <⎧<=⎨≥⎩,若函数()y f x x a b =++-有四个零点,则a b -的取值范围是() A.(2)+∞ B.(0,2C.(0,2D. (2)+∞二、填空题:本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分 ,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中选两题作答案,如果全做,则按前两题记分）11.在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(其中α为参数);在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为(cos sin )10ρθθ-+=,则1C 与2C 交点个数为 . 12.若+∈R c b a ,,,且131211=++cb a , 则23a bc ++的最小值为 .13.如图,已知P 是O 外一点,PD 为O 的切线,D 为 切点,割线PEF 经过圆心O ,若34,12==PD PF , 则EFD ∠的度数为 . (二)必做题（14-16题）14.右图中是一个算法流程图,则输出的n = .15.已知双曲线1162522=-yx 左支上一点M 到右焦点F 的距离为16,N 是线段MF 的中点,O为坐标原点,则||ON 的值是 .16.定义一种新运算如下:012211012212222)1(a a a a a a a a a t t t t t t t +⨯++⨯+⨯+=------ ,其中)1,,2,1,0(},1,0{-=∈t k a k ,给定)1(012211a a a a a X t t --=,构造数列{}k X : 2012213101232321012(1),(1),(1)t t t t t t X a a a a a X a a a a a a X a a a aa a a ------=== ……… (1)若130X =,则4X =(2)若23222112221,m m m X m N ++++=+++∈,则满足*1,(2,)k X X k k N =≥∈的k 的最小值为 （用m 的式子作答）.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要文字说明,证明过程或演算步骤.. 17.(本小题满分12分）在△ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()(),,sin ,cos a b B A ==-m n , 且0⋅=m n .(Ⅰ)求内角A 的大小;(Ⅱ)若10a =,求ABC △面积的最大值.18. (本小题满分12分）某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会,拟邀请50名使用不同版本的一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如右表所示:(Ⅰ)从这50名教师中随机选出2名教师发言,求第一位发言的教师所使用版本是北师大版的概率;(Ⅱ)设使用北师大版的5名教师中有3名男教师,2名女教师,使用苏教版的10名教师中有6名男教师,4名女教师,若从这15名教师中随机选出3名教师发言,求选到用苏教版的女教师人数的分布列和期望.19. (本小题满分12分）如图,ABC ∆的外接圆⊙OCD ⊥O所在的平面, BE //CD ,CD =4,BC =2,且BE =1,cos AEB ∠=. (Ⅰ)求证:平面ADC ⊥平面BCDE ;(Ⅱ)试问线段DE 上是否存在点M ,使得直线AM 与 平面ACD 所成角的正弦值为27？若存在,确定点 M 的位置,若不存在,请说明理由.OABE D C20. (本小题满分13分）岳阳市临港新区自2009年6月8日开港来,吸引了一批投资过亿元的现代工业和物流储运企业落户.根据规划,2025年新港将全部建成13个泊位,从2014年(第一年)开始对其中某个子港口今后10年的发展规划,有如下两种方案:方案甲:按现状进行运营.据测算,每年可收入800万元,但由于港口淤积日益严重,从明年开始需投资进行清淤,第一年投资50万元,以后逐年递增20万元.方案乙:从2014年起开始投资4000万元进行港口改造,以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力.港口改造需用时4年,在此期间边改造边运营.据测算,开始改造后港口第一年的收入为400万元,在以后的4年中,每年收入都比上一年增长50%,而后各年的收入都稳定在第5年的水平上.(Ⅰ)至少经过多少年,方案乙能收回投资(累计总收益为正数)？(Ⅱ)到哪一年,方案乙的累计总收益超过方案甲？(收益＝收入－投资)21. (本小题满分13分)设斜率为1k 的直线1l 与椭圆1222=+y x 交于不同的A 、B 两点,直线x k y 2=与直线1l 的交点为M ,(21k k ≠,且01≠k ).(Ⅰ)若点M 为弦AB 的中点,求12k k ⋅的值;(Ⅱ)把题设中的椭圆一般化为12222=+by a x (0,0,)a b a b >>≠,其他条件不变(i)根据(Ⅰ)的运算结果,写出一个关于12k k ⋅的一般性结论,并判断与证明它的逆命题是否为真命题;(ii)根据以上探究,在双曲线12222=-by a x (0,0)a b >>中写出类似结论.22. (本小题满分13分)已知函数()1()xf x e ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()y f x =的单调区间;(Ⅱ)试探究函数()()ln F x f x x x =-在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)若()ln(1)ln x g x e x =--,且(())()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立,求实数a 取值范围.O A B ED CM 岳阳市二模数学参考答案一、选择题A D D B D A D B A A 二、填空题11. 2 . 12. 9 .13.6π.14. 11 .15. 3 .16.(1) 29 ;(2) 2m +4 . 三、解答题17.【解】(Ⅰ) 因为()(),,sin ,cos a b B A ==-m n ,且0⋅=m n ， 有sin cos 0a B b A -=,由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=. 又0B π<<,故sin 0B >,所以sin cos A A =,即tan 1A =.且0A π<<得,4A π=.………………………………6分 (Ⅱ)因为10a =,由余弦定理得22222cos 10a b c bc A =+-=,即22100b c +=. 因为222b c bc +≥,所以1002bc +≥,得50(2bc ≤(当b c =时取到等号). 所以1sin 1)2S bc A ==≤,所以ABC ∆面积最大值为1).…………………………………………………12分18.【解】(Ⅰ)(一法)只考虑第一位发言的老师,则515010p == (二法)由题知,从50名教师中随机选出2名教师有250A 种选法;又第一位发言教师是使用北师大版的选法有11549C C 种;故由古典概型知,115492505491504910C C p A ⨯===⨯………………………………………………………………6分 (Ⅱ)设选到用苏教版的女教师的人数为X ,则X 服从超几何分布,且0,1,2,3X =,故31131533(0)91C P X C ===,1241131544(1)91C C P X C ===2141131566(2)455C C P X C ===,343154(3)455C P X C === 选到用苏教版的女教师的人数X 的分布列为:3344664364()01239199455455455E X =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………………………12分 19.【解】(Ⅰ)因为CD ⊥平面ABC ,BE //CD所以BE ⊥平面ABC ,故BE ⊥AB ……………………1分所以cos BE AEB AE ∠==,又BE =1,得AE 从而AB =分因为⊙O AB 是直径,所以AC ⊥BC ……3分又CD ⊥平面ABC ,故CD ⊥BC ,且AC CD C = ,故BC ⊥平面ACD ,又BC ⊂平面BCDE ,所以平面ADC ⊥平面BCDE………………………………………6分(Ⅱ) (法一)建立如图所示空间直角坐标系C —xyz ,则A (4,0,0),B (0,2,0),D (0,0,4),E (0,2,1),O (0,0,0),则(0,2,3)DE =-…………………………9分A易知平面ACD的法向量为(0,2,0)CB=,假设M点存在,设(0,2,3),(0,1]DM DEλλλλ==-∈,故(4,2,43)AM AD DMλλ=+=--……………10分设直线AM与平面ADC所成的角为θ,则:2sin cos,7AM CBθ===,解得43λ=-(舍),或23λ=,故满足条件的点M存在,且点M是DE上靠近E点处三等分点.……………………12分(法二)假设点M存在,过点M作MN⊥CD于N,连结AN,作MF⊥CB于F,连结AF因平面ADC⊥平面BCDE,且交线为CD,所以MN⊥平面ACD,所以∠MAN为MA与平面ACD所成的角…………………9分设MN=x,计算易得,DN=32x,MF=342x-AM==2sin7MNMANAM∠===,解得:83x=-(舍去),43x=,…………11分故23MN CB=,从而满足条件的点M存在,且23DM DE=……………………………12分20.【解】(Ⅰ) 设从2014年开始经过n年,方案乙的累计总收益为正数.在方案乙中,前4年的总收入为4400(1 1.5)325040001 1.5⨯-=<-,故n必定不小于4, 则当5n≥时,令43250400 1.5(4)4000n+⨯->,解得30481n>,故n的最小值为5,即至少经过5年,方案乙能收回投资.……………6分(Ⅱ)设从2014年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为12,y y万元,则211800[50(1)20]107602y n n n n n n=-+-⨯=-+①当n≤4时,由(Ⅰ)易知2y<,而110(76)0y n n=->,所以12y y>.……………………9分②当n≥5时,423250400 1.5(4)400020258850y n n=+⨯--=-令12y y<时,有22025885010760n n n->-+,即(2253)1770n n+>又7(14253)1770,6(12253)1770+>+<,可得n的最小值为7.所以到2020年,方案乙的累计总收益超过方案甲.……………………………………13分21.【解】(Ⅰ)设1122(,),(,)A x yB x y,因为点M为弦AB的中点,则1212(,)22x x y yM++且有222212121,122x xy y+=+=,两式相减得:12121212()()1()()2y y y yx x x x-+=--+,即1212k k⋅=-……4分(Ⅱ)(i)斜率为1k的直线1l与椭圆22221x ya b+=交于不同的A、B两点,直线2y k x=与直线1l的交点为M,(12k k≠,且1k≠),O BEDCMFN若点M 为弦AB 的中点,则2122b k k a =-.…………………………………………………6分逆命题:斜率为1k 的直线1l 与椭圆22221x y a b+=交于不同的A 、B 两点,直线2y k x =与直线1l 的交点为M ,(12k k ≠,且10k ≠),若2122b k k a=-,则点M 为弦AB 的中点.证明如下:设直线AB 的方程为1y k x m =+,1122(,),(,)A x y B x y , 联立方程12222,1y k x m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222222211()20b a k x a k mx a m a b +++-=24222222222111122221244()()0,a k m a k m b a k a m a b x x b a k -∆=-+->+=+21211222212()2mb y y k x x m b a k +=++=+,所以弦AB 的中点坐标为22122222211(,)a k m mb b a k b a k -++, 将212221a k m x b a k -=+代入直线22:l y k x =得2122221a k k my b a k -=+, 又2122b k k a=-,所以22221mb y b a k =+即点M 为弦AB 的中点.……………………………10分(二法)假设AB 弦的中点为00'(,)M x y ,则由原命题知12020y b k x a=-,……① 又直线2y k x =与直线1l 的交点为M ,(12k k ≠,且10k ≠),且2122b k k a=-……②比较①②式得,020y k x =,即2'OM k k =,即'M 在直线OM 上,又直线2y k x =与直线1l 的交点为M ,即'M M ≡,所以M 为弦AB 的中点,即证.(ii)斜率为1k 的直线1l 与双曲线22221x y a b-=交于不同的A 、B 两点,直线2y k x =与直线1l 的交点为M ,(12k k ≠,且10k ≠),点M 为弦AB 的中点的充要条件为2122b k k a=.…………13分22.【解】(Ⅰ)由()1,(,)x f x e ax x R a R =--∈∈,故'()xf x e a =-………………………1分 当0a ≤时,则x R ∀∈有'()0f x >,即函数()f x 在区间(,)-∞+∞单调递增;…………2分 当0a >时,'()0f x >ln x a ⇒>,'()0f x <ln x a ⇒<故函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞,单调减区间为(,ln )a -∞……………………4分 综合①②的当0a ≤时,函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞;当0a >时,函数()f x 的单调增区间为(ln ,)a +∞,单调减区间为(,ln )a -∞…………5分 (Ⅱ)函数()()ln F x f x x x =-定义域为(0,)+∞,又1()0ln ,0x e F x a x x x -=⇒=->,令()h x =1ln ,0xe x x x-->则'()h x =2(1)(1),0x e x x x -->……………………………………………………………6分易知当01x <<时,'()0h x <,()h x 递减,当1x >时,'()0h x >,()h x 递增, 所以min ()(1)1h x h e ==-,又由(Ⅰ)知当1a =时,对0x ∀>,有()(ln )0f x f a >=,即111x xe e x x -->⇔>所以当0x +→,()h x →+∞,随着0x >的增长,1x y e =-的增长速度越来越快,会超过并远远大于y x =的增长速度,而ln y x =的增长速度则会越来越慢.故当x →+∞时,()h x →+∞.得到函数()h x 的草图如右,故①当1a e >-时,函数()F x 有两个不同的零点;②当1a e =-时,函数()F x 有且仅有一个零点; ③当1a e <-时,函数()F x 无零点;…………………………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知当0x >时,1xe x ->,故对10,()ln 0x e x g x x-∀>=>,先分析法证明:0,()x g x x ∀><. 要证0,()x g x x ∀><只需证10,x xe x e x-∀><,即证0,10x x x xe e ∀>-+>,构造函数()H x =1,(0)x xxe e x -+>,所以'()0x H x xe =>,故函数()H x =1x x xe e -+在(0,)+∞单调递增,故()(0)0H x H >=,则0,10x x x xe e ∀>-+>成立.…………………………………11分 ①当1a ≤时,由(Ⅰ)知,函数()f x 在(0,)+∞单调递增, 则(())()f g x f x <在(0,)x ∈+∞上恒成立.②当1a >时,由(Ⅰ)知,函数()f x 在(ln ,)a +∞单调递增,在(0,ln )a 单调递减, 故当0ln x a <<时,0()ln g x x a <<<,所以(())()f g x f x >,则不满足题意.综合①②得,满足题意的实数a 的取值范围(,1]-∞………………………………………13分。
湖南省岳阳市2023-2024学年高三下学期二模数学试题含答案
姓名______准考证号______岳阳市2024届高三教学质量监测（二）数学（答案在最后）本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，只交答题卡。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线28x y =的焦点坐标为（）A ．()0,4B ．()4,0C ．()2,0D ．()0,22．已知集合{}2340M x x x =--≤，(){}ln 2N x y x ==-，则M N = （）A ．()2,4B ．(]2,4C ．(]1,4-D ．[]1,4-3．已知{}n a 为等差数列，13515a a a ++=，46833a a a ++=，则9a =（）A ．6B ．12C ．17D ．244．函数()3612f x x x =+-的极小值点为（）A ．()4,10-B ．()2,10--C ．4D ．2-5．下列说法错误的是（）A ．若随机变量ξη、满足21ηξ=-且()3D ξ=，则()12D η=B ．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62C ．若事件A B 、相互独立，则()()P A B P A =D ．若A B 、两组成对数据的相关系数分别为0.95A r =、0.98B r =-，则A 组数据的相关性更强6．已知ππ1,sin cos 223n n n αα⎛⎫⎛⎫∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，则（）A ．1cos sin 3αα+=B ．1cos sin 3αα+=-C ．8sin29α=-D ．8sin29α=7．设2log 3a =，3log 5b =，5log 8c =，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．b c a>>D ．c a b>>8．已知点()()1122,,,A x y B x y 是圆2216x y +=上的两点，若π2AOB ∠=，则112222x y x y +-++-的最大值为（）A ．16B ．12C ．8D ．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设,αβ是关于x 的方程220x px q ++=的两根，其中,p q ∈R ．若23i α=-（i 为虚数单位），则（）A ．2i 3β=+B ．38p q +=C ．6αβ+=-D ．αβ+=10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意,x y ∈R 都有()()222x y x y f f f x f y +-⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A ．()11f -=B ．12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数C ．()()20f x f x --=D ．()()()()12320251f f f f +++⋅⋅⋅+=-11．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为BC 的中点，点P 为正方形1111A B C D 内（包含边界）的动点，则（）A ．满足MP ∥平面1A BD 的点P 的轨迹为线段B ．若MP =，则动点P 的轨迹长度为π3C ．直线AB 与直线MP 所成角的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．满足MP AM ⊥的点P 的轨迹长度为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度AB ，他首先在C 处，测得楼顶A 的仰角为60︒，然后沿BC 方向行走22.5米至D 处，又测得楼顶A 的仰角为30︒，则楼高AB 为______米．13．若曲线(),0f x y =上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(),0f x y =的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为______．①22y x x =-；②3sin 4cos y x x =+；③2310x xy -+=；④2210x y x x +---=．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，其中122F F c =，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，若2124AF AF c ⋅= ，则该椭圆离心率的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，22PD DC AD ===，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．（1）求证：PB ⊥平面DEF ；（2）求二面角B DE F --的正弦值．16．（本题满分15分）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则（1）在数字1，3相邻的条件下，求数字2，4，6也相邻的概率；（2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为X ，求X 的分布列与期望．17．（本题满分15分）已知函数()()21e ,xf x x ax a =--∈R（1）当e2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若方程()0f x a +=有三个不同的实根，求a 的取值范围．18．（本题满分17分）已知()()2,0,2,0A B -，设动点Q 满足直线,AQ BQ 的斜率之积为4，记动点Q 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为直线1x =-上的动点，直线PA 与曲线E 交于点C （不同于点A ），直线PB 与曲线E 交于点D （不同于点B ）．证明：直线CD 过定点．19．（本题满分17分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．设该数列的前n 项和为n S ，规定：若*m ∃∈N ，使得()2p m S p =∈N ，则称m 为该数列的“佳幂数”．（1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；（2）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；（3）（ⅰ）求满足1000m >的最小的“佳幂数”m ；（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．岳阳市2024届高三教学质量监测（二）数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2014年湖南省岳阳市高考数学信息卷(文科)
2014年湖南省岳阳市高考数学信息卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={1，2}，且M∪N={1，2，3}，则集合N可以是（）A.{1，2}B.{1，3}C.{2}D.{1}【答案】B【解析】解：∵集合M={1，2}，且M∪N={1，2，3}，∴3∈N，且N⊆{1，2，3}，∴N={3}或{1，3}，或{2，3}，或{1，2，3}，故选：B由集合M={1，2}，且M∪N={1，2，3}，可知3∈N，且N⊆{1，2，3}，进而可得答案．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2.若（a+i）i=b+i（其中a，b∈R，i为虚数单位），则|a+bi|=（）A.0B.1C.D.2【答案】C【解析】解：∵（a+i）i=b+i，∴b=-1，a=1．|a+bi|=|1-i|==．故选：C．直接利用复数相等求出a、b，然后求解复数的模．本题考查复数的基本运算，复数的模的求法，考查计算能力．3.已知双曲线-=1（m＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的离心率为（）A.6B.C.D.【答案】C【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）∵双曲线-=1（m＞0）的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，∴m+5=9∴m=4∴双曲线的离心率为故选C．本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.下面命题中为假命题的是（）A.∀x∈R，3x＞0B.∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβC.“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要条件D.命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”【答案】D【解析】解：对于A，由指数函数y=3x值域为（0，+∞），故A为真命题；对于B，令α=β=0，原式显然成立，故B为真命题；对于C，由x2-3x+2＞0得x＞2或x＜1，所以x＞2⇒x＞2或x＜1，反之不行，因此C 为真命题；对于D，命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故D为假命题．故选：D对于A，结合指数函数的性质进行判断；对于B，对两个角α，β取特殊值，判断是否使结论成立；对于C，先解出不等式，再进行判断，双向推理；对于D，特称命题的否定：变量词，否结论，据此判断．本题考查了命题真假的判断方法，一般以考查基本概念、方法为主，属基础题．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2+c2=a2+bc，•=4，则△ABC的面积等于（）A. B.4 C.4 D.2【答案】D【解析】解：∵△ABC中，b2+c2=a2+bc，∴a2=b2+c2-bc，可得cos A==，结合A为三角形内角，可得A=∵•=4，∴bccos A=4，得bc=8因此，△ABC的面积S=bcsin A==2故选：D由余弦定理，算出cos A==，从而得到A=．根据向量数量积的公式，结合•=4算出bc=8．再利用正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积．本题给出三角形的边的关系式，求三角形的面积．着重考查了正余弦定理、向量数量积公式和三角形面积公式等知识，属于中档题．6.已知向量=（-1，2），=（1，3），则下列结论正确的是（）A.∥B.C.∥D.【答案】解：∵向量=（-1，2），=（1，3），∴=（-1，2）•（-2，-1）=2-2=0，∴．故选：D．利用向量垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7.各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，a3=3，如果数列{a n2+1}是等差数列，则a13=（）A.7B.25C.49D.50【答案】A【解析】解：∵a1=1，a3=3，数列{a n2+1}是等差数列，设其公差为d，则a32+1-（a12+1）=10-2=8=2d，∴d=4，∴a132+1=2+（13-1）×4=50，∴a132=49，又a13＞0，∴a13=7．故选：A．设等差数列{a n2+1}的公差为d，依题意，可得d=4，从而可求a132=49，又a13＞0，可得答案．本题考查等差数列的性质，及通项公式的应用，求得a132=49是关键，属于中档题．8.某几何体的三视图如图所示，图中的三个视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积为（）A. B. C.4 D.6【答案】A【解析】解：由已知可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：由三个视图均为边长为2的正方形，故正方体的棱长为2，正方体的体积为：2×2×2=8，棱锥的长宽高均为2，棱锥的体积为：××2×2×2=，故组合体的体积V=8-=，故选：A本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．9.在长为1cm的线段AB上任取一点C，现以AC、BC为邻边作矩形，则该矩形面积不小于cm2的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设AC=x，则BC=1-x矩形的面积S=x（1-x）≥，∴x2-x+≤0∴≤x＜≤由几何概率的求解公式可得，该矩形面积不小于cm2的概率为P==．故选：B．设AC=x，则BC=1-x，由矩形的面积S=x（1-x）≥可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础题．10.已知函数f（x）=x|x-2m|，设-2＜m＜0，记f1（x）=f（x），f k+1（x）=f（f k（x））（k∈N*），则函数y=f2014（x）的零点个数为（）A.2B.3C.2014D.2015【答案】D【解析】解：∵f（x）=x|x-2m|=0的解只有两个x=0或x=2m，∴对于f k+1（x）=0，f k（x）=0或者f k（x）=2m，假设数列{a n}对应的就是f n（x）=0的解，设f k（x）=2m的解个数为r，那么就有a n+1=a n+r，对应f k（x）=2m的交点所在的函数图象部分恰好是单调的，解的个数是1个．∴a n+1=a n+1是一个等差数列．∴f n（x）=0的解个数就是n+1个；故函数y=f2014（x）的零点个数为2014+1=2015个，故选：D．先求f（x）=x|x-2m|=0的解，利用数学归纳法证明．本题考查了用数学归纳法证明的方法，函数的零点的个数的判断要说明单调性，属于中档题．11.在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，若直线l与曲线C相切，则k的值是______ ．【答案】【解析】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为（x-1）2+y2=1．可得圆心C（1，0），半径r=1．由直线l的参数方程，消去参数t，可得y=kx+1．∵直线l与曲线C相切，∴，解得k=0．故答案为：0．把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心与半径，利用直线与圆的相切的性质即可得出．本题考查了直线与圆的位置关系、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.阅读如图所示的程序框图，若输入m=4，n=3，则输出的S=______ ．【答案】15【解析】解：m=4，n=3i=1a=4不满足条件，n整除a，执行循环体，i=2a=8不满足条件，n整除a，执行循环体，i=3a=12此时满足条件，n整除a，执行S=a+i=15，故答案为：15．本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．13.已知正实数x，y满足+=4，则log2x+log2y的最小值为______ ．【答案】-1【解析】解：∵正实数x，y满足+=4，∴，化为，当且仅当y=2x=4时取等号．∴log2x+log2y=log2（xy）=-1．故答案为：-1．利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、对数的运算性质，属于基础题．14.设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为______ ．【答案】3【解析】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：目标函数z=x+5y可看做斜率为-的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点（，）当x=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即；解得m=3．故答案为：3．根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+5y在直线y=mx本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数z=x+my在，点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键．15.已知数列{a n}是各项均为正整数的等差数列，公差d∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．（1）若a1=4，则d的取值集合为______ ；（2）若a1=2m（m∈N*），则d的所有可能取值的和为______ ．【答案】{1，2，4}；2m+1-1【解析】解：由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，由等差数列的通向公式可得a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=a1+（k-1），整理得d=，（1）若a1=4，则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k-p-q+1∈N*，∴d=1，2，4，故d的取值集合为{1，2，4}；（2）若a1=2m（m∈N*），则d=，∵p、q、k∈N*，公差d∈N*，∴k-p-q+1∈N*，∴d=1，2，4，…，2m，∴d的所有可能取值的和为1+2+4+…+2m==2m+1-1，故答案为（1）{1，2，4}，（2）2m+1-1．由题意可得，a p+a q=a k，其中p、q、k∈N*，利用等差数列的通项公式可得d与a1的关系，然后根据d的取值范围进行求解．本题考查了等差数列的通项公式，运用了解方程求正整数根的解题思想，特别注意p、q、k、d∈N*这一条件的运用．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期和g（x）=tan x的最小正周期相同，且当x=时取得最大值4．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求出其单调递减区间；（Ⅱ）若，求sinα的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意可得求f（x）的最小正周期为==，∴ω=3．再根据当x=时取得最大值4可得A=4，且sin（3×+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=，∴f（x）=4sin（3x+）．令2kπ+≤3x+≤2kπ+，求得+≤x≤+，故函数的单调递减区间为[+，+]，k∈z．（Ⅱ）∵=4sin[3（+）+）=4sin（2α+）=4cos2α=4（1-2sin2α），求得sinα=±．【解析】（Ⅰ）由周期求得ω，由函数的最大值求出A和φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间．（Ⅱ）根据f（x）的解析式以及，利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得sinα的值．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调区间，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．17.某校从参加高二年级省学业水平模拟考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，成绩的频率分布直方图如图3所示，其中成绩分组区间是：[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次考试成绩的众数；（Ⅱ）为了帮助成绩弱的学生能顺利通过省学业水平考试，学校决定成立“二帮一”学习小组．在样本中从[90，100]分数段的同学中选两位共同帮助[40，50）分数段的同学中的某一位，已知甲同学的成绩为45分，乙同学成绩96分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．【答案】解：（1）因为所有矩形的面积和为1，所以0.04+0.04+0.12+0.5+10m+0.08=1，解得m=0.022，众数就是分布图里最高的那条，即[70，80]的中点横坐标75．（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为50×0.04=2人成绩在[90，100]分数段内的人数为50×0.08=4人，[40，50）内有2人，记为甲、A．[90，100）内有4人，记为乙、B、C、D．则“二帮一”小组有以下12种分组办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD，其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．【解析】（1）根据所有矩形的面积和为1可求出m的值，众数就是分布图里最高的那条，从而可得结论；（2）先算出成绩在[40，50）分数段内的人数，以及成绩在[90，100]分数段内的人数，列出所有的“二帮一”小组分组办法的基本事件，以及甲、乙两同学被分在同一小组的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．18.如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AD=PD=1．（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（Ⅱ）若CP与面DQC所成的角的正切值为，求二面角Q-BC-D的大小．【答案】（I）证明：如图所示，取线段PD的中点E，连接QE．∵DE∥AQ，DE=AQ=，∴四边形AQED是平行四边形，∴QE=AD=PD．∴∠PQD=90 ．∴PD⊥CD．又∵CD⊥DA，DA∩DP=D．∴CD⊥平面ADPQ．∴PQ⊥QC．由QD∩QC=Q，∴PQ⊥平面CDQ．∴平面PQC⊥平面DCQ．（II）解：由（I）可知：PQ⊥平面CDQ．∴∠PCQ为CP与面DQC所成的角．∵CP与面DQC所成的角的正切值为，∴=，由（I）可得PQ==DQ，∴CQ=．∴CD==．∵QA∥PD，∴QA⊥平面ABCD．∴∠QBA为二面角Q-BC-D的平面角．∴tan∠QBA===．∴∠QBA=30 ．∴二面角Q-BC-D为30 ．【解析】（I）如图所示，取线段PD的中点E，连接QE．可得四边形AQED是平行四边形，∠PQD=90 ．可得PD⊥平面ABCD，于是可得CD⊥平面ADPQ．再利用三垂线定理及面面垂直的判定定理即可证明．（II）由（I）可知：PQ⊥平面CDQ．可得∠PCQ为CP与面DQC所成的角．利用CP与面DQC所成的角的正切值为，可得CD．可证QA⊥平面ABCD．可得∠QBA为二面角Q-BC-D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了三垂线定理、线面与面面垂直的判定定理、平行四边形的判定与性质定理、线面角与二面角、勾股定理、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.设集合M={（x，y）|x∈R，y∈R}，定义映射f：N*→M满足：对任意n∈N*都有f（n）=（x n，y n），f（n+1）=（-+a，y n+），且f（1）=（a，1），其中常数a＞0．（Ⅰ）求y n的表达式；（Ⅱ）判断x n与a的大小．解：（Ⅰ）由题意得y1=1，y n+1=y n+∴y n+1-y n==（-），∴y n=y1+（y2-y1）+…+（y n-y n-1）=1+（1+…+-）=1+（1-）=．（Ⅱ）由题意得x n+1=-+a，∴x n+1-a=（x n-a），∵x1=，∴x1-a=，∴{x n-a}是首项为，公比为-的等比数列，∴x n-a=•，∵a＞0，∴当为奇数时，x n-a＞0，x n＞a，当n为偶数时，x n-a＜0，x n＜a．【解析】（Ⅰ）由题意得y n+1-y n==（-），利用裂项法求和即可；（Ⅱ）由题意得x n+1-a=（x n-a），{x n-a}是首项为，公比为-的等比数列，x n-a=•，讨论n即可得出结论．本题主要考查数列的递推关系及等比数列的定义性质，考查裂项相消法求数列的和等知识，属于中档题．a2+b=3，过它的右焦点F分别作直线l1、l2，其中l1交椭圆于P、Q两点，l2交椭圆于M、N两点，且l1⊥l2（如图5所示）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形MPNQ的面积S的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，即，，整理得a2-2b2=1，又a2+b=3，高中数学试卷第11页，共14页∴b=1，则a2=2．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的右焦点F为（1，0），当两直线有一条为对称轴时，过右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于两点（1，-），（1，），四边形MPNQ的面积S=；当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=k（x-1），则直线l2的方程为y=-，联立，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴=．同理可得．∴=．=．∵k2＞0，∴．则，．∴四边形MPNQ的面积S的取值范围是，{2}．【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率、a2+b=3及隐含条件联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）当两直线有一条为对称轴时，可直接求得四边形MPNQ的面积，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=k（x-1），和椭圆方程联立后利用弦长公式求得|PQ|的长，同理求得|MN|的长，求出面积后利用基本不等式求最值．本题主要考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．21.已知函数f（x）=2lnx-a（x-）（a≠0）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设＜＜1，求f（x）极小值的取值范围．高中数学试卷第12页，共14页【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2lnx-a（x-）（x＞0），f′（x）=-a-=．令g（x）=-ax2+2x-a，∵函数f（x）=2lnx-a（x-）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=-2ax+2=-2a（x-），∴当a＜0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=-a＞0，解得0＜a＜1．∴实数a的取值范围是（0，1）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得0＜x1＜＜x2，又＜＜1，∴当0＜a＜1时，＜＜1，∴-1＜lnx1＜0，＜＜0，0＜-a（）＜a （e-）∴-2＜f（x1）=2lnx1-a（x1-）＜a（e-），即-2＜f（x1）＜a（e-）．当1≤a＜e时，＜＜，∴，∴-1＜lnx1＜-lna，＜＜-a，a2-1＜-a（）＜a（e-），∴-e+a2-1＜f（x1）=2lnx1-a（x1-）＜a（e-）+-a，即＜f（x1）＜a（e-1）+．当a≥e时，由0＜x1＜＜x2，又＜＜1，可知x1不存在，故f（x1）不存在．综上所述：当0＜a＜1时，-2＜f（x1）＜a（e-）．高中数学试卷第13页，共14页1≤a＜e时，＜f（x1）＜a（e-1）+．a≥e时，f（x1）不存在．【解析】（Ⅰ）利用导数研究函数的极值，求导，f′（x）=-a-=．令g（x）=-ax2+2x-a，由于函数f（x）=2lnx-a（x-）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．对a分类讨论，解得即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得0＜x1＜＜x2，又＜＜1，对a进行分类讨论，即可求得f（x1）的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．高中数学试卷第14页，共14页。
【2014岳阳二模】湖南省岳阳市2014届高三教学质量检测试卷(二)数学(文科)试卷
湖南省岳阳市2014届高三教学质量检测试卷（二）数学(文科)试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数1ii+＝( ) A.1i + B.1i -C.1i -+D.2.命题“∀x R ∈,2x x -≤0”的否定是( )A.∃x R ∈,20x x -≥B.∀x R ∈,20x x -≥C.∃x R ∈,20x x ->D.∀x R ∈,20x x ->3.集合{}|lg ,1A y y x x ==>,}{2,1,1,2B =--,则R A B =ð(A.[2,1]--B.(,0]-∞C.}{1,2D.}{2,1--4.若某空间几何体的三视图如图１所示,则该几何体的表面积是( ) A.60 B. 54 C.48 D. 245.如果运行如图2的程序框图,那么输出的结果是( ) A.1, 8, 16 B.1, 7, 15 C.1, 9, 17 D.2, 10, 186.若,x y 满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则21S x y =+-的最大值为( )A. 6B.4C.3D. 2 7.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22xf x x m =++(m 为常数),则(1)f -=( )A. 3B. 1C. 1-D. 3-8.在边长为1的正三角形ABC 中,若AB a ＝,BC b =,CA c =,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=( )A.12-B.32－C.32D.0 9.已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ,则在正方体1111ABCD A B C D -内任取点M ,点M 在球O 内的概率是( ) A.4πB.6π C. 8π D.12π 10.定义在R 上函数()f x 满足:()()f x f x '>恒成立,若12x x <,则12()x e f x 与21()xe f x 的大小关系为( )A.1221()e ()x x ef x f x > B.1221()e ()x x e f x f x <俯视图侧视图正视图图1图2C.1221()e ()x x ef x f x = D.1221()e ()x x e f x f x 与的大小关系不确定二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上. 11.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系. :由表中样本数据求得回归方程为ˆybx a =+,且点(,)a b 在直线18x y m +=上, 则m = .12.在△ABC 中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若a =9,b =6,A =060,则sin B =13.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,使极坐标系的单位长度与直角坐标系的单位长度相同.已知直线的参数方程为23x ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数),曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则直线与曲线C 的交点个数为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A 、B 两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆,则p = .15.已知数列满足:11a =,22a =,33a =,44a =,55a =,且当5n ≥时,有11231n n a a a a a +=-,若数列{}n b 满足对任意*n N ∈,有2221212n n n b a a a a a a =----,则(1)5b = ; (2)当5n ≥时,n b = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数2()2cos 2sin sin()2f x x x x π=++,(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.17.（本小题满分12分）的直径位于区间[110,112),[112,114),[114,116),[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元),现从该厂生产的产品A 中随机100件测量它们的直径,得到如图3所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求a 的值,并估计该厂生产一件A 产品的平均利润;(Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.18.（本小题满分12分）如图4,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD , 底面ABCD 是平行四边形,60BAD ∠=︒,2AD =,AC =E 是PC 的中点. (Ⅰ)求证:PC BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥P ABCD -的体积为4,求DE 与平面PAC 所成的角的大小.19.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且242n n n S a a =+对任意的*n N ∈恒成立. (Ⅰ)求1a 、2a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11n n n b a a +=,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,是否存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++> 对任意的正整数n 都成立.若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由. 20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F 、2F ,离心率为23,椭圆C 与y 轴正半轴交于点P ,12PF F ∆的面积为(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过右焦点2F 的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求AOB ∆的面积的最大值,并求出此时直线的方程.21.（本小题满分13分）已知函数21()ln (0)2f x x ax bx a =-+>,(1)0f '=. AP EBD图4(Ⅰ)试用含a 的式子表示b ,并求()f x 的单调区间; (Ⅱ)若()f x 在1(,)2+∞上有两个零点,求实数a 的取值范围;岳阳市2014届高三教学质量检测试卷(二)数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题：1．B 2. C 3. D 4. A 5.Ｃ ６.Ａ 7.Ｄ ８.Ｂ ９.Ｂ 10.Ａ 二、填空题11． 110 12．13． 1 14． 2 15． 65三、解答题16．解：(1)∵2()2cos 2sin cos f x x x x =+cos 2sin 21x x =++)14x π=++∴()f x 的最小正周期22T ππ== ………………………………………………………6分 (2) ∵02x π≤≤ ∴ 52444x πππ≤+≤……………………………………………………8分∴sin(2)14x π≤+≤…………………………………………………………………………10分∴0()1f x ≤≤+………………………………………………………………………………11分∴函数()f x 在区间[0,]2π上的值域为[0,1+ ……………………………………………12分17．解:(1) 由频率分布直方图可知2(0.0500.1500.075)1a +++=所以0.225a =………3分直径位于区间[110,112)的频数为10020.05010⨯⨯=,位于区间[112,114)的频数为10020.15030⨯⨯=,位于区间[114,116)的频数为10020.22545⨯⨯=,位于区间[116,118]的频数为10020.07515⨯⨯=,因此生产一件A产品的平均利润为101020303045151022100⨯+⨯+⨯+⨯=(元) ………………………………………6分(2) 由频率分布直方图可知直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为2:3,所以应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取2件产品,记为A 、B ，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件产品，记为a 、b 、c ,从中随机抽取两件,所有可能的取法有, (,)A B ,(,)A a ,(,)A b ,(,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共10种,其中两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有(,)A a ,(,)A b (,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共9种.所以所求概率为910P = ……………12分18．解(1) ∵ 在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=︒, ∴ 120ADC ∠=︒,∴由2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠ 得2280CD CD +-=解得2CD =,所以四边形ABCD 为菱形, ∴AC BD ⊥ 又PA ⊥底面ABCD ∴PA BD ⊥ ∵PA AC A =∴BD ⊥平面PAC ∴PC BD ⊥……………………………………………………………………………6分 (2)由(1)易知2BD =, 所以12ABCD S AC BD =⋅= ∴ 由143P ABCD ABCD V S PA -=⋅=得PA =……………………………………………8分设AC 与BD 交于点O ,连结OE由(1)知BD ⊥平面PAC ,所以DE 在平面PAC 的射影为OE∴DEO ∠就是DE 与平面PAC 所成的角…………………………………………………10分∵E 是PC 的中点 ∴ 12OE PA ==∴ 在Rt DOE ∆中tan OD DEO OE ∠===∴30DEO ∠=︒ 即DE 与平面PAC 所成的角为30︒……………………………………12分 19．解: 由题意知，当1n =时, 211142a a a =+,又10a >,所以12a = ……………………1分 当2n =时，212224()2a a a a +=+，又20a >，所以24a =………………………………2分 ∵242n n n S a a =+ ∴211142n n n S a a +++=+两式相减并整理得 11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………………………4分 由于10n n a a ++> 所以120n n a a +--=…………………………………………………5分 所以数列{}n a 是以12a =为首项,2d =为公差的等差数列,∴ 2n a n =…………………………………………………………………………………6分APEB C D O图3(2) ∵111111()4(1)41n n n b a a n n n n +===-++ ∴11111111[(1)()()()]42233414(1)n nT n n n =-+-+-++-=++…………………………8分 又21(2)(1)4n n n S a a n n =+=+ ∴ 由11n n n S a T λ++>得(1)(1)(2)2(2)n n n n n λ+++>+∴2182(2)28n n n nλ>=+++…………………………………………………………………10分 ∵ 828816n n ++≥= 当且仅当82n n=即2n =时取”=” ∴1181628n n ≤++ …………………………………………………………………………12分 ∴116λ>∴存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++>对任意的正整数n 都成立,且116λ>……………13分20．解: (1) 设椭圆C 的半焦距为c ,则由题意可知23c e a bc ⎧==⎪⎨⎪=⎩又222a b c =+ 解得3,2a b c ===∴椭圆C 的方程为22195x y +=……………………………………………………………5分 (2)由题意可知直线的斜率不能为0,右焦点2F 的坐标为(2,0)设直线的方程为2x my -=,代入椭圆C 的方程并整理得22(59)20250m y my ++-= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222059m y y m +=-+,1222559y y m =-+………………………7分 ∴12||y y -==…………………………………………8分12121||||||2AOBS OF y y y y ∆=-=-==分令t =,则1t ≥,令4()5f t t t=+则222454()5t f t t t-'=-=,所以当1t ≥时()0f t '>, ∴()f t 在[1,)+∞上为增函数,()f(1)9f t ≥=即9+≥当且仅当1t =即0m =时取”=”∴1003AOB S ∆<≤…………12分 ∴AOB ∆的面积的最大值为103,此时直线的方程为2x =…………………………13分21．解:(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞,1()f x ax b x'=-+∴(1)101f a b b a '=-+=⇒=- …………………………………………2分 ∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x+-'=-+-=-………………………………………3分 由()0f x '>及0,0x a >>得01x <<由()0f x '<及0,0x a >>得1x >…………5分∴()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞ ………………………6分 (2)由(1)知()f x 在1(,1]2上单调递增,在[1,)+∞上单调递减, ∵()f x 在1(,)2+∞上有两个零点∴max 1()(1)1022f x f a a ==->⇒> …………………………………………8分 又2211111()1(1)(1)11022222f e ae a e a e a e a a e =-+-=--++-<-++-<∴()f x 在(1,)+∞上有且仅有一个零点 …………………………………………10分∴()f x 在1(,)2+∞上有两个零点的充要条件是()f x 在1(,1)2上有一个零点,即1()02f <,解得48ln233a<+……………………………………………………………………………12分综上知所求a的范围为4(2,8ln2)3+……………………………………………13分。
2014年高考新课标Ⅱ卷数学(文)试卷解析(精编版)(原卷版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标II 卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１．设集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- ２．131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --３．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件４．设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a ，则=⋅b a（ ）A. 1B. 2C. 3D. 55．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ）32（C ）1 （D 38.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7９．设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）110．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则 AB =（ ）（A ）3（B ）6 （C ）12 （D ）11．若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） （A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞12．设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）,22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14． 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________．15． 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________． 16． 数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. （18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）设1,AP AD ==P ABD -的体积4V =，求A 到平面PBC 的距离.（19）（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评优. （20）（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .（21）（本小题满分12分） 已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）证明：当1k<时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分。
湖南省十三校2014届高三第二次联考文科数学试卷(带解析)
湖南省十三校2014届高三第二次联考文科数学试卷（带解析）1．复数21i +（）的虚部是( ) A ．0 B ．2 C ．一2 D ．2i【答案】B【解析】试题分析：由已知得，221=i i +（），故21i +（）的虚部为2． 考点：复数的运算和复数的概念.2．等差数列{n a }的前规项和为S n ，S 3=6，公差d=3，则a 4=（ ）A ．8B ．9C ．11D ．12【答案】A【解析】试题分析：由已知得，31336S a d =+=，又因为3d =，故11a =-，所以1438a d a =+=． 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和.3．“ 1ln x >”是“x>l"的（ ）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由 1ln x >，得x e >，故1x >，所以“ 1ln x >”是“x>l"的充分不必要条件． 考点：1、对数不等式的解法；2、充分必要条件.4．向等腰直角三角形ABC （其中AC=BC ）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（ ）A．2 B．12- C ．8π D ．4π 【答案】D【解析】试题分析：设等腰直角三角形的直角边长为a ，由题意得，点M 落在以A 为圆心，a 为半径的18圆的内部，从而AM 小于AC 的概率为2218142a a ππ=． 考点：几何概型.5．设平面向量(1,2)a =，(2,)b y =-，若//a b ，则3a b +等于（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：由//a b ，得12(2)y ⨯=⨯-，故4y =-，则3(1,2)a b +=，故3a b += 考点：1、向量共线；2、向量的模和坐标运算.6．阅读右面的程序框图，则输出的S 等于（ ）A ．14B ．20C ．30D ．55【答案】C【解析】试题分析：程序在执行过程中，,S i 的值依次为：0,1S i ==；1,2S i ==；5,3S i ==；14,4S i ==；30,5S i ==，因为54>，程序结束，输出30S =．考点：程序框图.7．过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影分别为 '',A B ，则''A FB ∠=（ ）A ．030B ．045C ．060D ．090【答案】D【解析】试题分析：由抛物线的定义得，'AF AA =，'BF BB =，故''AFA AA F ∠=∠，''BFB BB F ∠=∠，故'2BBFB π-∠∠=，'2AAFA π-∠∠=，又A B π∠+∠=，故''222AFA BFB πππ-∠+∠==，从而''A FB ∠=2π． 考点：抛物线定义.8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（ ）A ．12 B ．14 C ．32 D ．34【答案】A【解析】试题分析：由三视图，还原几何体为三棱锥A-BCD ，且三条侧棱两两垂直，如图所示，设,AD x AB y ==，则体积111326V xy xy =⋅=，在Rt ABD ∆中，226x y +=，故62xy ≥，则3xy ≤，所以12V ≤．16AD BC考点：1、三视图；2、基本不等式.9．在ABC ∆中，若,b,c a 分别为,,A B C 的对边，且cos 2cos cos(A C)1B B ++-=，则有（ ）A ．a 、c 、b 成等比数列B ．a 、c 、b 成等差数列C ．a 、b 、c 成等差数列D ．a 、b 、c 成等比数列【答案】D【解析】试题分析：由已知得，212sin cos cos(A C)1B B -++-=，故22s i n c o s c o s (A C )0B B -++-=，又cos cos()cosAcosC sinAsinC B A C =-+=-+，而cos(A C)cosAcosC sinAsinC -=+，故22sin 2sin sin 0B A C -+=，所以2sin sin sinC B A =，故2b ac =，从而a 、b 、c 成等比数列．考点：1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.10．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，''()()()()f x g x f x g x >，且()a ()x f x g x =，(a 0,a 1)>≠，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，对于数列()(1,2,10()f n ng n =……，），任取正整数k(1k 10)≤≤，则前k 项和大于1516的概率是（ ） A ．310 B ．25 C ．12 D ．35 【答案】A【解析】试题分析：由已知得，()()xf x ag x =，且'''2()()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x -=，又''()()()()f x g x f x g x >，故'()()0()f xg x <，所以()()f x g x 在R 上是减函数，所以01a <<，由(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，得152a a +=，解得2a =（舍去）或12a =，故()1()()2n f n g n =，其前k 项和为11[1()]22112k --11()2k =-，则1151()216k->，解得510k ≤≤，故前k 项和大于1516的概率是63105=． 考点：1、利用导数判断函数的单调性；2、等比数列的前n 项和；3、古典概型.11．已知下列表格所示的数据的回归直线方程为多ˆ4yx a =+，则a 的值为 ．【答案】246a =【解析】试题分析：由已知得，2345645x ++++==，2512542572622662625y ++++==，又因为回归直线必过样本点中心(4,262) ，则26244a =⨯+，解得246a =考点：回归直线方程.12．设实数,x y 满足条件023x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值是______．【答案】1【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，直线2y x z =-经过可行域，尽可能地向下平移经过点(1,1)C 时z 取到最大值，即z 的最大值为2111⨯-=考点：线性规划.13．直线4:(12x a t l t y t=+⎧⎨=--⎩为参数），圆=)4πρθ+C ：（极轴与x 轴非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l 被圆C a 的值为 ． 【答案】0或2【解析】试题分析：将直线l 的参数方程化为普通方程，得x 2y a 20+-+=，将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程，=cos 2sin ρθθ-2，2=cos 2sin ρρθρθ-2，22220x y x y +-+=，配方得22(1)(1)2x y -++=，圆心(1,1)-到直线l 的距离d =，故弦长为=，解得，0a =或2a =． 考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程；3、直线和圆的位置关系.14．P 是椭圆上一定点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若∠PF 1 F 2=60°，∠PF 2F 1=30°，则椭圆的离心率为 ．1【解析】试题分析：在12PF F ∆中，由正弦定理得，210002sin 60sin 30sin 90PF PF c ==，故210002sin 60sin 30sin 90PF PF c +=+=1e ==． 考点：1、正弦定理；2、椭圆的定义.15．已知函数1,01()12,12x x x f x x +≤<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，设0a b >≥，若()(b)f a f =，则()bf a 的取值范围是____． 【答案】3()24bf a ≤< 【解析】 试题分析：由图可知，112b ≤<，3()22f a ≤<，且,()b f a 的值依次增大，均为正值，所以3()24bf a ≤<．1考点：分段函数的图象.。
岳阳市2024届高三教学质量监测(二)答案
岳阳市2024届高三教学质量监测（二）数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C 7．A 8．B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BCD 10．BCD 11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．453413．①②④14．6565⎡⎤⎢⎥⎣⎦，四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ABCD⊂平面所以PD BC ⊥，因为四边形ABCD 是矩形，所以CD BC ⊥，又因为PD CD ⊂、平面PCD ,PD CD D = ,所以BC ⊥平面PCD ,又DE ⊂平面PCD所以BC DE ⊥,又因为2PD DC ==，E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥,所以DE ⊥平面PBC ,又PB ⊂平面PBC ，所以DE PB ⊥，由已知得EF PB ⊥，且DE EF E= 所以PB ⊥平面DEF ,···················································································6分(2)解：以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,2,0)B ,(0,1,1)E ,(0,0,2)P 由(1)知PB ⊥平面DEF ,所以(1,2,2)PB =- 为平面DEF的一个法向量，又(0,1,1)DE = ,(1,2,0)DB = ,设(,,)n x y z = 为平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得020y z x y +=⎧⎨+=⎩取(2,1,1)n =- ,·················································9分则cos ,9n PB n PB n PB<>==- ···································11分设二面角B DE F --的大小为θ，则53sin 9θ==所以二面角B DE F --的正弦值为9··························································13分16．（本题满分15分）（1）设A =“数字1，3相邻”，设B =“数字2，4，6相邻”，则()()()2332332525310n AB A A A P B A n A A A ===；····································································5分（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，··························································6分因为3个偶数中间共有2个空隙．由题意知“0X =”表示3个偶数相邻，则()333466105A A P X A ===，···············································································7分“1X =”表示3个偶数中间只插入了1个奇数，则()31133323663110A C C A P X A ===，··········8分“2X =”表示3个偶数中间共插入了2个奇数，可分为两种情形：0+2和1+1，则()3122322232323322663210A C A A A C A A P X A +===；·························································10分“3X =”表示3个偶数中间共插入了3个奇数，可分为两种情形：0+3和1+2，则()3133112323332266135A C A A C C A P X A +===．·······························································12分所以X 的分布列为X0123P 1531031015···············································································································14分X 的期望为()1331301235101052E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．···········································15分17．（本题满分15分）（1）当e 2a =时,函数()()()22e 1e 1e 2x x f x x ax x x =--=--，则()()e e e e x x f x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或1x =，··································2分(,0)1()0,(0,1)()0x x f x x f x ''∈-∞∈+∞>∈<当或（，）时，当时，···································3分所以()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．··········4分即当e 2a =时，f （x ）单调递增区间为(),0-∞和()1,+∞，单调递减区间为()0,1．········5分（2）()()()1e 1x f x a x a x ⎡⎤+=--+⎣⎦，所以1x =为()0f x a +=的一个根，故()e 10x a x -+=有两个不同于1的实根，·························································7分令()()e 1x g x a x =-+，则()e x g x a '=-，（i ）当0a ≤时，()0g x '>，故g （x ）在R 上单调递增，不符合题意；···················8分（ii ）当0a >时，令()0g x '=，得ln x a =，当ln x a >时，()0g x '>，故()g x 在区间()ln ,a +∞上单调递增，当ln x a <时，()0g x '<，故()g x 在区间(),ln a -∞上单调递减，···························10分并且当x →-∞时，g （x ）→+∞；当x →+∞时，g （x ）→+∞，所以若要满足题意，只需()ln 0g a <且()10g ≠，···············································12分因为()()ln ln ln 1ln 0a g a e a a a a =-+=-<，所以1a >，又()1e 20g a =-≠，所以e 2a ≠，····································································14分所以实数a 的取值范围为e e 1,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．······················································15分18．（本题满分17分）（1）设(),Q x y ，则2AQ y k x =+，2BQ y k x =-由224224AQ BQ y y y k k x x x ⋅=⋅==+--整理得221(2)416x y x -=≠±···············································································6分(2)证明：（方法一）设0(1,)P y -，11(,)C x y ，22(,)D x y ，则0:(2)12PC y l y x =+-+即0:(2)PC l y y x =+·······················································································7分联立PC l 与曲线E 的方程022(2)1(2)416y y x x y x =+⎧⎪⎨-=≠±⎪⎩得2222000(4)44(4)0y x y x y -+++=且2040y -≠··················································9分解得12x =-（舍去）或201202(4)4y x y +=--···························································10分将201202(4)(4)y x y +=--代入0(2)y y x =+得2001022002(4)16(2)44y y y y y y +-=-+=--所以20022002(4)16(,)44y y C y y +----，其中2040y -≠同理，可解得20022002(36)48(,)3636y y D y y +---，其中20360y -≠······································13分当220022002(4)2(36)436y y y y ++-=--时，即2012y =时，此时220022002(4)2(36)4436y y y y ++-==---，所以此时直线CD 的方程为4x =-；·······························································14分当220022002(4)2(36)436y y y y ++-≠--时，直线CD 的方程为00222200000022222200000022004816163642(4)82(4)[][]2(36)2(4)44124364y y y y y y y y y x x y y y y y y y y -+--+-++=+=+++----+--整理得0208(4)12y y x y -=+-，所以直线CD 过定点4,0-（）··········································································17分（方法二）设0(1,)P y -，11(,)C x y ，22(,)D x y ，则由,,P A C 及,,P B D 三点共线得011122y y x =-++；022122y y x =---·······································································7分将上面两式相除，再平方可得：22122212(2)9(2)y x x y -=+①因为11(,)C x y ，22(,)D x y 均在曲线E 上，故满足22114(4)y x =-；22224(4)y x =-②···························································8分将②代入①可得2212122212124(4)(2)(2)(2)9(2)4(4)(2)(2)x x x x x x x x ----==+-++整理可得121225()80x x x x +++=③·································································10分当直线CD 的斜率存在时，设:CD l y kx m =+将直线CD 的方程代入曲线E ：221(2)416x y x -=≠±得222(4)2160k x kmx m -+++=且240k -≠由韦达定理得2121222216,44km m x x x x k k -++==--······················································12分将上式代入③式可得22540m km k -+=解得m k =（舍去）或4m k =，·····································································14分故直线CD 的方程为4(4)y kx k k x =+=+·························································15分当直线CD 垂直于x 轴时，易求得此时CD 的方程为4x =-，所以直线CD 过定点4,0-（）··········································································17分（方法三）设0(1,)P y -，11(,)C x y ，22(,)D x y ，易知直线CD 不垂直于y 轴，所以设直线CD 的方程为x my t=+由,,P A C 及,,P B D 三点共线得0012AC AP y k k y ===-+；00123BD BP y y k k ===---由上式可得3AC BD k k =-,即1212322y y x x =-+-··························································8分将11x my t =+，22x my t =+代入可得1221(2)3(2)y my t y my t +-=-++①···································································10分因为11(,)C x y ，22(,)D x y 为曲线E 上的点，由（1）可知，4AC BC AD BD k k k k ==，所以3AD BC k k =-，即2121322y y x x =-+-·····························································12分将11x my t =+，22x my t =+代入可得2112(2)3(2)y my t y my t +-=-++②1·②式相减可得12(4)()0t y y +-=·································································15分又易知12y y ≠，所以4t =-，所以直线CD 的方程为4x my =-，故直线CD 过定点4,0-（）·············································································17分19．（本题满分17分）（1）解：因为0121S ==，所以1为该数列的“佳幂数”；又因为121122S =+==，2311242S =++==，1864S =所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；··············································3分（2）解：由题意可得，数列如下：第1组：1；第2组：1，2；第3组：1，2，4；...第k 组：11,2,42k - ，，，则该数列的前()1122k k k ++++= 项的和为:()()()111211212222k k k k S k -++=+++++++=-- ，①···································5分当()1502k k +≤时，9k ≤，则234101050451222221131220S S =+++++=-+=+，由于10101122202<+<，对p N ∀∈，502p S ≠，故50不是“佳幂数”.····················································································8分（3）（i ）解：在①中，要使()110002k k +>，有45k ≥，n N ∈*m 出现在第44组之后，又第k 组的和为21k -，前k 组和为()11222k k k S k ++=--第1k +组前t 项11,2,42t - ，，的和为*21,N .t t -∈则只需*221,N .t k t +=-∈·········································································11分所以2344t k =-≥，则6t ≥，此时62361k =-=，所以对应满足条件的最小“佳幂数”6162618972m ⨯=+=····································13分（ii ）证明：由（i ）知：1*212221,N .t t k t -+=+++=-∈ 当2t ≥，且取任意整数时，可得“佳幂数”()12k k m t +=+，所以，该数列的“佳幂数”有无数个································································17分。
湖南省岳阳市高考数学信息卷试题 文(无答案)新人教A版
岳阳市2014届高三信息卷数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={1,2}M ，且{1,2,3}M N =U ,则集合N 可以是 A ．{1,2}B ．{1,3}C ．{2}D ．{1}2．若()a i i b i +=+（其中,a b R Î，i 为虚数单位），则a bi +=A ．0B ．1CD ．23．已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6B ．C ．32D ．344．下面命题中为假命题的是A ．,30xx R ∀∈>B ．,R αβ∃∈，使sin()sin sin αβαβ+=+C ．“2>x ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件D ．命题“2,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x "?<”5．在ABC △中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若222b c a bc +=+，且4AC AB?u u u r u u u r ,则△ABC 的面积为A ．2B ．4C ．D ．6．已知向量(1,2),(1,3)a b =-=r r，则下列结论正确的是A ．a r ∥b rB ．a b ⊥r rC ．a r∥()a b -r rD ．()a a b ⊥-r r r俯视图正视图图1图27．各项均为正数的数列{}n a 中，131,3a a ==,如果数列2{1}n a +是等差数列，则13a = A ．7 B ．25 C ．49D ．508．某几何体的三视图如图1所示，图中的三个视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积为A ． 203B ．43 C ．4D ．9．在长为1cm 的线段AB 上任取一点C ,现以AC 、BC 为邻边作矩形，则该矩形面积不小于23cm 16的概率为A ． 13B ．12C ． 34D ．1410．已知函数()|2|f x x x m =-,设20m -<<，记1()(),f x f x =1()(())k k f x f f x += ()k N *Î,则函数2014()y f x =的零点个数为A ． 2B ． 3C ． 2014D ．2015二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11. 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x t y kt =⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中,已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相切，则k 的值是 .12．阅读如图2所示的程序框图，若输入4,3m n ==， 则输出的S= .13．已知正实数,x y 满足124x y +=，则22log log x y+的最小值为 .14．设1m >,在约束条件10y x y mx x y ì³ïïï£íïï+-?ïïî下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 .15．已知数列{}n a 是各项均为正整数的等差数列，公差d N *Î且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列中的项.（1）若14a =，则d 的取值集合为 ；（2）若12()m a m N *=?，则d 的所有可能取值的和为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,0)A ωϕπ>><< 的最小正周期和3()tan 2g x x= 的最小正周期相同，且当12x π=时取得最大值4.（I ）求()f x 的解析式，并求出其单调递减区间；（II ）若212(3125f πα+=，求sin α 的值. 17．（本题满分12分）某校从参加高二年级省学业水平模拟考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩，成绩的频率分布直方图如图3所示，其中成绩分组区间是：[40,50) [50,60)[60,70)[70,80) [80,90) [90,100].（Ⅰ）求图中m 的值, 估计此次考试成绩的众数；（Ⅱ）为了帮助成绩弱的学生能顺利通过省学业水平考试，学校决定成立“二帮一”学习小组. 在样本中从]100,90[分数段的同学中选两位共同帮助)50,40[分数段的同学中的某一位，已知甲同学的成绩为45分，乙同学成绩96分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.18．（本题满分12分）如图4，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AD=12PD=1.（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ;4（II ）若CP 与面DQC求二面角Q-BC-D 的大小.19．（本题满分13分）设集合{(,)|,}M x y x R y R =挝，定义映射:f N M *®满足：对任意n N *Î都有2131()(,),(1)(,)2241n n n n f n x y f n x a y n =+=-++-,且3(1)(,1)2f a =,其中常数0a >.（Ⅰ）求n y 的表达式； （Ⅱ）判断n x 与a 的大小. 20．（本题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2线1l 、2l ，其中1l 交椭圆于P 、Q 两点，2l 交椭圆于M 、N 两点，且12l l ^（如图5所示）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形MPNQ 的面积S 的取值范围．C21．（本题满分13分）已知函数1()2ln ()0)f x x a x a x =--?（有两个不同的极值点1212,()x x x x <.（Ⅰ）求a 的取值范围;（Ⅱ）设111x e <<，求()f x 极小值的取值范围.。
2014年湖南省高考数学试卷(文科)教师版
2014 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，共 50 分）．（分）（湖南）设命题2+1＞ 0，则￢ p 为（）1 52014?p： ? x∈R，xA．? x0∈ R， x02+1＞ 0B．? x0∈R，x02+1≤0C．? x0∈ R， x02+1＜ 0D．? x0∈R，x02+1≤0【剖析】题设中的命题是一个特称命题，按命题否认的规则写出其否认即可找出正确选项2∴￢ p：? x0∈ R， x0 2+1≤ 0．应选： B．2．（ 5 分）（2014?湖南）已知会合 A={ x| x＞2} ，B={ x| 1＜ x＜3} ，则 A∩B=（）A．{ x| x＞2}B．{ x| x＞ 1}C．{ x| 2＜x＜3}D．{ x| 1＜x＜3}【剖析】直接利用交集运算求得答案．【解答】解：∵ A={ x| x＞ 2} ，B={ x| 1＜x＜3} ，∴A∩ B={ x| x＞ 2} ∩{ x| 1＜x＜3} ={ x| 2＜x＜3} ．应选： C．3．（ 5 分）（2014?湖南）对一个容量为N 的整体抽取容量为 n 的样本，入选用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不一样方法抽取样本时，整体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【剖析】依据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可获得结论．【解答】解：依据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，不论哪一种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即 P1=P2=P3．应选： D．4．（5 分）（ 2014?湖南）以下函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加的是（）．（）2+1C．f （x）=x3．（）﹣ xA f x =B．f（ x）=x D f x=2【剖析】此题利用函数的奇偶性和单一性的定义或许利用图象的特点加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单一递加，获得此题结论．【解答】解：选项 A，，∵f（﹣ x）=（），∴（）是偶=f xf x 函数，图象对于 y 轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣ 2＜0，∴ f （x）在（ 0， +∞）单一递减，∴依据对称性知， f（x）在区间（﹣∞， 0）上单一递加；合适题意．选项 B，f（ x）=x2+1，是偶函数，在（ 0，+∞）上单一递加，在区间（﹣∞， 0）上单一递减，不合题意．选项 C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项 D，f（x）=2﹣x在（﹣∞， +∞）单一递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．应选： A．5．（ 5 分）（2014?湖南）在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数X，则 X≤1 的概率为（）A．B．C．D．【剖析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可获得结论．【解答】解：在区间 [ ﹣2，3] 上随机选用一个数X，则﹣ 2≤X≤3，则 X≤1 的概率 P=，应选： B．6．（5 分）（2014?湖南）若圆 C1：x2+y2=1 与圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0 外切，则m=（）A．21B．19C．9D．﹣ 11【剖析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m 值．22【解答】解：由 C1：x +y =1，得圆心 C1（0，0），半径为 1，∴圆心 C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得： m=9．应选： C．t ∈[ ﹣2，2] ，7．（5 分）（2014?湖南）履行以下图的程序框图，假如输入的则输出的 S属于（）A．[ ﹣6，﹣2]B．[ ﹣5，﹣1]C．[ ﹣4，5]D．[ ﹣3，6]【剖析】依据程序框图，联合条件，利用函数的性质即可获得结论．【解答】解：若 0≤ t≤ 2，则不知足条件输出S=t﹣3∈[ ﹣3，﹣ 1] ，若﹣ 2≤t＜ 0，则知足条件，此时t=2t 2+1∈（ 1，9] ，此时不知足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣ 2，6] ，综上： S=t﹣3∈[ ﹣3，6] ，应选： D．8．（5 分）（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图以下图，将该石材切削、打磨，加工成球，则能获得的最大球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【剖析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ，则8﹣r+6﹣r=，∴r=2．应选： B．9．（5 分）（2014?湖南）若 0＜x1＜x2＜ 1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x1【剖析】分别设出两个协助函数f（x）=e x+lnx，g（ x）=，由导数判断其在（0，1）上的单一性，联合已知条件0＜x1＜x2＜ 1 得答案．【解答】解：令 f（ x）=e x﹣lnx，则 f ′（x） =，当 x 趋近于 0 时， xe x﹣ 1＜ 0，当 x=1 时， xe x﹣1＞0，所以在（ 0， 1）上必定存在 f ′（x）=0，所以函数 f（ x）在（ 0，1）上先递减后递加，故 A、B 均错误；令 g（x） = ，，当 0＜x＜ 1 时， g′（ x）＜ 0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵ 0＜ x1＜x2＜1，∴＞，即＞．∴选项 C 正确而 D 不正确．应选： C．10．（5 分）（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， A（﹣ 1，0），B（ 0，），（，），动点D 知足|| =1，则|+ + | 的取值范围是（）C 30A．[ 4，6]B．[﹣1，+1]C．[ 2 ，2]D．[ ﹣1， +1]【剖析】因为动点 D 知足 || =1， C（ 3， 0），可设 D（3+cosθ， sin θ）（θ∈ [ 0，2π））．再利用向量的坐标运算、数目积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：∵动点 D 知足 || =1， C（3， 0），∴可设 D（ 3+cosθ， sin θ）（θ∈[ 0， 2π））．又 A（﹣1，0），B（0，），∴+ + =，．∴|++|===，（此中 sin φ=，cosφ=）∵﹣ 1≤sin（θ+φ）≤ 1，∴=sin（θ+φ）≤=，∴|+ + |的取值范围是，．或|+ + |=|+ +|，=（2，），将其起点平移到 D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即|+ + |的取值范围是，．应选： D．二、填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5分）（湖南）复数（i 为虚数单位）的实部等于﹣3．2014?【剖析】直接由虚数单位 i 的运算性质化简，则复数的实部可求．【解答】解：∵=．∴复数（ i 为虚数单位）的实部等于﹣ 3．故答案为：﹣ 3．12．（ 5分）（湖南）在平面直角坐标系中，曲线C：（t 为参2014?数）的一般方程为x﹣ y﹣ 1=0．【剖析】利用两式相减，消去t，进而获得曲线 C 的一般方程．【解答】解：∵曲线 C：（t为参数），∴两式相减可得x﹣ y﹣ 1=0．故答案为： x﹣ y﹣ 1=0．13．（ 5 分）（2014?湖南）若变量 x，y 知足拘束条件，则z=2x+y的最大值为7．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用z 的几何意义，进行平移即可获得结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：由 z=2x+y，得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，由图象可知当直线 y=﹣ 2x+z 经过点 C，直线 y=﹣ 2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即C（3，1），此时 z=2×3+1=7，故答案为： 7．14．（ 5 分）（ 2014?湖南）平面上一机器人在前进中一直保持与点F（1，0）的距离和到直线 x=﹣1 的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线，则 k 的取值范围是k＜﹣ 1 或 k＞ 1．【剖析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣ 1，0）且斜率为k 的直线方程为 y=k（ x+1），代入 y2=4x，利用鉴别式，即可求出 k 的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点 P（﹣ 1， 0）且斜率为 k 的直线方程为 y=k（x+1），22222代入 y =4x，可得 k x +（2k ﹣4）x+k =0，∵机器人接触不到过点P（﹣ 1，0）且斜率为 k 的直线，∴△ =（2k2﹣4）2﹣ 4k4＜ 0，∴k＜ 1 或 k＞1．故答案： k＜ 1 或 k＞ 1．3x15．（ 5 分）（2014?湖南）若 f（x）=ln（e +1）+ax 是偶函数， a=．【解答】解：若 f（ x）=ln（e3x+1）+ax 是偶函数，f（ x） =f（x），即 ln（e3x+1）+ax=ln（e﹣3x+1） ax，即 2ax=ln（ e﹣3x+1） ln（e3x+1）=ln=ln﹣3x，=lne= 3x即 2a= 3，解得 a= ，故答案：，三、解答（共 6 小， 75 分）．（12分）（湖南）已知数列n}的前n和S n=， n∈ N*．162014?{ a（Ⅰ）求数列 { a n} 的通公式；（Ⅱ） b n+（ 1）n n，求数列{ b n}的前2n和．=a【剖析】（Ⅰ）利用公式法即可求得；（Ⅱ）利用数列分乞降即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当 n=1 ， a1 1，=s =1当 n≥2 ， a n n s n﹣1==n ，=s∴数列 { a n} 的通公式是 a n．=n（Ⅱ）由（Ⅰ）知， b n=2n+（ 1）n n，数列 { b n } 的前 2n 和 T2n，T2n=（21+22+⋯+22n） +（ 1+2 3+4 ⋯+2n）=+n=22n+1+n 2．∴数列 { b n} 的前 2n 和 22n+1+n 2．17．（ 12 分）（2014?湖南）某企有甲、乙两个研小，了比他的研水平，随机抽取两个小早年研新品的果以下：（ a， b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（ a，），（， b），（a，），（，），（ a， b），（a，），（，b）（ a， b）此中 a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某构成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，不然记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的均匀数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该公司安排甲、乙两组各自研发同样的产品，试预计恰有一组研发成功的概率．【剖析】（Ⅰ）分别求出甲乙的研发成绩，再依据均匀数和方差公式计算均匀数，方差，最后比较即可．（Ⅱ）找 15 个结果中，找到恰有一组研发成功的结果是7 个，求出频次，将频率视为概率，问题得以解决．【解答】解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则甲 =，甲==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1 则乙=，乙== ．因为甲＞乙，甲＜乙所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记 E={ 恰有一组研发成功 } ，在所抽到的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（， b），（a，），（a，），（，b）共 7 个，故事件 E发生的频次为，将频次视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．18．（12 分）（ 2014?湖南）如图，已知二面角α﹣MN ﹣β的大小为 60°，菱形ABCD 在面β内，A、B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO⊥面α，垂足为 O．（Ⅰ）证明： AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与 OD所成角的余弦值．【剖析】（Ⅰ）运用直线与平面垂直的判断定理，即可证得，注意平面内的订交二直线；（Ⅱ）依据异面直线的定义，找出所成的角为∠ADO，说明∠DEO是二面角α﹣MN﹣β的平面角，不如设AB=2，进而求出OD 的长，再在直角三角形AOD 中，求出 cos∠ ADO．【解答】（1）证明：如图∵DO⊥面α，AB? α，∴ DO⊥AB，连结 BD，由题设知，△ ABD 是正三角形，又 E 是 AB 的中点，∴ DE⊥ AB，又 DO∩DE=D，∴ AB⊥平面 ODE；（Ⅱ）解：∵ BC∥AD，∴ BC与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即∠ ADO 是 BC与 OD 所成的角，由（Ⅰ）知， AB⊥平面 ODE，∴AB⊥OE，又 DE⊥ AB，于是∠ DEO是二面角α﹣ MN﹣β的平面角，进而∠ DEO=60°，不如设 AB=2，则 AD=2，易知 DE= ，在 Rt△DOE中，DO=DEsin60°= ，连 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO= =，故异面直线 BC与 OD 所成角的余弦值为．19．（13 分）（2014?湖南）如图，在平面四边形 ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC= ，∠ BEC= ．（Ⅰ）求 sin∠ CED的值；（Ⅱ）求 BE的长．【剖析】（Ⅰ）依据三角形边角之间的关系，联合正弦定理和余弦定理即可获得结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式，联合正弦定理即可获得结论．【解答】解：（Ⅰ）设α=∠ CED，在△ CDE中，由余弦定理得222EC=CD+ED ﹣2CD?DEcos∠ CDE，即 7=CD2+1+CD，则 CD2+CD﹣6=0，解得 CD=2或 CD=﹣ 3，（舍去），在△ CDE中，由正弦定理得，则 sin α=，即 sin∠ CED= ．（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知 cosα=，而∠ AEB=，∴ cos∠ AEB=cos（）αsin α=，=cos cos +sin 在 Rt△EAB中，cos∠AEB=，故 BE=．20．（13 分）（2014?湖南）如图， O 为坐标原点，双曲线1：﹣1＞0，C=1（ab1＞0）和椭圆 C2：+ =1（a2＞ b2＞0）均过点 P（，1），且以C1的两个极点和 C2的两个焦点为极点的四边形是面积为 2 的正方形．（Ⅰ）求 C1、C2的方程；（Ⅱ）能否存在直线l，使得 l 与 C1交于 A、B 两点，与 C2只有一个公共点，且 | + | =| | ？证明你的结论．【剖析】（Ⅰ）由条件可得a1=1，c2=1，依据点 P（，1）在上求得=3，可得双曲线 C1的方程．再由椭圆的定义求得a2=，可得=﹣的值，从而求得椭圆 C2的方程．（Ⅱ）若直线 l 垂直于 x 轴，查验部不知足 |+ | ≠|| ．若直线 l 不垂直于x 轴，设直线 l 得方程为y=kx+m，由可得y1?y2=．由可得（ 2k2+3）x2+4kmx+2m2﹣ 6=0，依据直线 l 和 C1仅有一个交点，依据鉴别式△=0，求得2k2=m2﹣ 3，可得≠0，可得 |+ | ≠|| ．综合（ 1）、（ 2）可得结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆 C2的焦距为2c2，由题意可得2a1=2，∴ a1=1，c2=1．因为点P（，1）在上，∴﹣=1，=3，∴双曲线 C1的方程为： x2﹣=1．再由椭圆的定义可得2a2 =+=2，∴a2=，∴=﹣=2，∴椭圆 C2的方程为：+=1．（Ⅱ）不存在知足条件的直线l．（ 1）若直l 垂直于x ，由意可得直l 得方程x=，或x=．当x=，可得A（，）、B（，），求得 || =2，|| =2，然， |+ |≠||．同理，当x=，也有 |+ |≠||．（ 2）若直 l 不垂直于 x ，直 l 得方程y=kx+m，由可得（ 3 k2）x22mkx m 23=0，∴ x1+x2=， x1 ?x2=．于是， y1?y2=k2x1?x2+km（x1+x2）+m2=．由可得（2k2+3）x2+4kmx+2m26=0，依据直l 和C1有一个交点，∴判式△ =16k2m28（ 2k2+3）（ m23）=0，∴ 2k2=m23．∴=x1?x2+y1?y2=≠ 0，∴≠，∴ |+ |≠| |．合（ 1）、（ 2）可得，不存在足条件的直 l．21．（ 13 分）（ 2014?湖南）已知函数 f （x）=xcosx sinx+1（x＞0）．（Ⅰ）求 f（ x）的区；（Ⅱ） x i f（x）的从小到大的第 i（i∈N*）个零点，明：全部n∈N*，有++⋯+＜．【剖析】（Ⅰ）求函数的数，利用数研究 f （x）的区；（Ⅱ）利用放法即可明不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ f（x）=xcosx sinx+1（ x＞ 0），∴f （′ x）=cosx xsinx cosx= xsinx，由 f ′（x） = xsinx=0，解得 x=kπ（k∈ N*），当 x∈（ 2kπ，（2k+1）π）（ k∈ N），sinx＞ 0，此 f ′（ x）＜ 0，函数减，当 x∈（（ 2k+1）π，（2k+2）π）（k∈N）， sinx＜0，此 f ′（x）＞ 0，函数增，故 f（ x）的增区（（2k+1）π，（ 2k+2）π），k≥0，减区（ 2kπ，（2k+1）π），k∈ N*）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f（ x）在区（ 0，π）上减，又 f（） =0，故 x1= ，当 n∈N*，∵f（nπ）f（（n+1）π） =[ （ 1）n nπ+1][ （ 1）n+1（n+1）π+1] ＜ 0，且函数 f（x）的象是不断的，∴ f（x）在区（ nπ，（ n+1）π）内起码存在一个零点，又 f（ x）在区（ nπ，（n+1）π）是的，故 nπ＜ x n+1＜（ n+1）π，所以当 n=1 ，有 = ＜建立．当 n=2 ，有+＜＜．当 n≥3 ，⋯++⋯+＜＜[]＜[]＜（6）＜＜．上明：全部n∈N*，有+ +⋯+＜．。
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湖南省岳阳市2014届下学期高三年级教学质量检测考试（二）数学试卷（文科） 有答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数1ii+＝( ) A.1i +B.1i -C.1i -+D.i2.命题“∀x R ∈,2x x -≤0”的否定是( ) A.∃x R ∈,20x x -≥ B.∀x R ∈,20x x -≥ C.∃x R ∈,20x x ->D.∀x R ∈,20x x ->3.集合{}|lg ,1A y y x x ==>,}{2,1,1,2B =--,则R A B =ð( )A.[2,1]--B.(,0]-∞C.}{1,2D.}{2,1--4.若某空间几何体的三视图如图１所示,则该几何体的表面积是( )A.60B. 54C.48D. 245.如果运行如图2的程序框图,那么输出的结果是( ) A.1, 8, 16 B.1, 7, 15 C.1, 9, 17D.2, 10, 18侧视图正视图16.若,x y 满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则21S x y =+-的最大值为( )A. 6B.4C.3D. 27.设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()22x f x x m =++(m 为常数),则(1)f -=( )A. 3B. 1C. 1-D. 3-8.在边长为1的正三角形ABC 中,若AB a ＝,BC b =,CA c =,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=( ) A.12-B.32－C.32D.09.已知正方体1111ABCD A BC D -内有一个内切球O ,则在正方体1111ABCD A B C D -内任取点M ,点M 在球O 内的概率是( ) A.4π B.6π C. 8π D.12π10.定义在R 上函数()f x 满足:()()f x f x '>恒成立,若12x x <,则12()xe f x 与21()xe f x 的大小关系为( ) A.1221()e ()x x e f x f x > B.1221()e ()x x e f x f x <C.1221()e ()x x e f x f x = D.1221()e ()x x e f x f x 与的大小关系不确定二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后横线上. 11.经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下:图2由表中样本数据求得回归方程为ˆybx a =+,且点(,)a b 在直线18x y m +=上,则m = .12.在△ABC 中,角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ,若a =9,b =6,A =060,则sin B =13.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,使极坐标系的单位长度与直角坐标系的单位长度相同.已知直线l的参数方程为23x ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=,则直线l 与曲线C 的交点个数为 .14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,AOB ∆则p = .15.已知数列满足:11a =,22a =,33a =,44a =,55a =,且当5n ≥时,有11231n n a a a a a +=-,若数列{}n b 满足对任意*n N ∈,有2221212n n n b a a a a a a =----,则(1)5b = ; (2)当5n ≥时,n b = .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数2()2cos 2sin sin()2f x x x x π=++,(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.17.（本小题满分12分）某工厂生产的产品A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm ).若生产一件产品A 的直径位于区间[110,112),[112,114),[114,116),[116,118]内该厂可获利分别为10,20,30,10(单位:元),现从该厂生产的产品A 中随机100件测量它们的直径,得到如图3所示的频率分布直方图.(Ⅰ)求a 的值,并估计该厂生产一件A 产品的平均利润;(Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为5的样本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.18.（本小题满分12分）如图4,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面A B C D ,底面A B C D 是平行四边形,60BAD ∠=︒,2AD =,AC =E 是PC 的中点. (Ⅰ)求证:PC BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥P ABCD -的体积为4,求DE 与平面PAC 所成的角的大小.19.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且242n n n S a a =+对任意的*n N ∈恒成立.(Ⅰ)求1a 、2a 及数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11n n n b a a +=,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,是否存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++> 对任意的正整数n 都成立.若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由. APEBCD图4图320.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F 、2F ,离心率为23,椭圆C与y 轴正半轴交于点P ,12PF F ∆的面积为(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,求AOB ∆的面积的最大值,并求出此时直线l 的方程. 21.（本小题满分13分）已知函数21()ln (0)2f x x ax bx a =-+>,(1)0f '=. (Ⅰ)试用含a 的式子表示b ,并求()f x 的单调区间; (Ⅱ)若()f x 在1(,)2+∞上有两个零点,求实数a 的取值范围;岳阳市2014届高三教学质量检测试卷(二)数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题：1．B 2. C 3. D 4. A 5.Ｃ ６.Ａ 7.Ｄ ８.Ｂ ９.Ｂ 10.Ａ 二、填空题11． 110 12． 313． 1 14． 2 15． 65三、解答题16．解：(1)∵2()2cos 2sin cos f x x x x =+cos 2sin 21x x =++)14x π=++∴()f x 的最小正周期22T ππ== ………………………6分 (2) ∵02x π≤≤∴52444x πππ≤+≤……………………………8分∴sin(2)124x π-≤+≤…………………………………………10分∴0()1f x ≤≤分∴函数()f x 在区间[0,]2π上的值域为[0,1 ………………12分17．解:(1) 由频率分布直方图可知2(0.0500.1500.075)1a +++=所以0.225a =………3分直径位于区间[110,112)的频数为10020.05010⨯⨯=,位于区间[112,114)的频数为10020.15030⨯⨯=,位于区间[114,116)的频数为10020.22545⨯⨯=,位于区间[116,118]的频数为10020.0751⨯⨯=,因此生产一件A 产品的平均利润为101020303045151022100⨯+⨯+⨯+⨯=(元) …………………6分(2) 由频率分布直方图可知直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为2:3,所以应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取2件产品,记为A 、B ，从直径位于区间[114,116)的产品中抽取3件产品，记为a 、b 、c ,从中随机抽取两件,所有可能的取法有,(,)A B ,(,)A a ,(,)A b ,(,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共10种,其中两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有(,)A a ,(,)A b (,)A c ,(,)B a ,(,)B b ,(,)B c ,(,)a b ,(,)a c ,(,)b c ,共9种.所以所求概率为910P =……………12分 18．解(1) ∵ 在平行四边形ABCD 中,60BAD ∠=︒, ∴ 120ADC ∠=︒, ∴由2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠得2280CD CD +-=解得2CD =,所以四边形ABCD 为菱形, ∴AC BD ⊥ 又PA ⊥底面ABCD ∴PA BD ⊥ ∵PA AC A =∴BD ⊥平面PAC∴PC BD ⊥ ……………………………………………………6分 (2)由(1)易知2BD =,所以12ABCD S AC BD =⋅= ∴ 由143P ABCD ABCD V S PA -=⋅=得PA =分 设AC 与BD 交于点O ,连结OE由(1)知BD ⊥平面PAC ,所以DE 在平面PAC 的射影为OE∴DEO ∠就是DE 与平面PAC 所成的角…………………………………………………10分APEBCDO图3∵E 是PC 的中点∴ 12OE PA == ∴ 在Rt DOE ∆中tan 3OD DEO OE ∠===∴30DEO ∠=︒ 即DE 与平面PAC 所成的角为30︒………………………12分 19．解: 由题意知，当1n =时, 211142a a a =+,又10a >,所以12a = ……………1分 当2n =时，212224()2a a a a +=+，又20a >，所以24a =……………………2分 ∵242n n n S a a =+ ∴211142n n n S a a +++=+两式相减并整理得 11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………………………4分 由于10n n a a ++> 所以120n n a a +--=…………………………………………………5分 所以数列{}n a 是以12a =为首项,2d =为公差的等差数列,∴ 2n a n =…………………………………………………………………………………6分 (2) ∵111111()4(1)41n n n b a a n n n n +===-++ ∴11111111[(1)()()()]42233414(1)n n T n n n =-+-+-++-=++……………8分 又21(2)(1)4n n n S a a n n =+=+ ∴ 由11n n n S a T λ++>得(1)(1)(2)2(2)n n n n nλ+++>+∴2182(2)28n n n nλ>=+++………………………………………………10分 ∵ 828816n n ++≥= 当且仅当82n n =即2n =时取”=”∴1181628n n≤++ ………………………………………………………12分 ∴116λ>∴存在实数λ,使不等式11n n n S a T λ++>对任意的正整数n 都成立,且116λ>………13分 20．解: (1) 设椭圆C 的半焦距为c ,则由题意可知23c e a bc ⎧==⎪⎨⎪=⎩又222a b c =+解得3,2a b c ==∴椭圆C 的方程为22195x y +=………………………………………………………5分 (2)由题意可知直线l 的斜率不能为0,右焦点2F 的坐标为(2,0)设直线l 的方程为2x my -=,代入椭圆C 的方程并整理得22(59)20250m y my ++-= 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则1222059m y y m +=-+,1222559y y m =-+……………………7分∴12||y y -==…………………………………………8分12121||||||2AOBS OF y y y y ∆=-=-230459m ==+…………10分令t =,则1t ≥,令4()5f t t t=+则222454()5t f t t t -'=-=,所以当1t ≥时()0f t '>,∴()f t 在[1,)+∞上为增函数,()f(1)9f t ≥=即9≥当且仅当1t =即0m =时取”=”∴1003AOB S ∆<≤…………12分 ∴AOB ∆的面积的最大值为103,此时直线l 的方程为2x =…………………………13分 21．解:(1) ()f x 的定义域为(0,)+∞,1()f x ax b x'=-+ ∴(1)101f a b b a '=-+=⇒=- …………………………………………2分∴1(1)(1)()1ax x f x ax a x x+-'=-+-=-………………………………………3分 由()0f x '>及0,0x a >>得01x <<由()0f x '<及0,0x a >>得1x >…………5分∴()f x 的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)+∞ ………………………6分 (2)由(1)知()f x 在1(,1]2上单调递增,在[1,)+∞上单调递减,∵()f x 在1(,)2+∞上有两个零点∴max 1()(1)1022f x f a a ==->⇒> …………………………………………8分 又2211111()1(1)(1)11022222f e ae a e a e a e a a e =-+-=--++-<-++-< ∴()f x 在(1,)+∞上有且仅有一个零点 …………………………………………10分 ∴()f x 在1(,)2+∞上有两个零点的充要条件是()f x 在1(,1)2上有一个零点,即1()02f <,解得48ln 233a <+ ………………………………………………12分 综上知所求a 的范围为4(2,8ln 2)3+ ……………………………………………13分。