第四届全国大学生数学竞赛预赛试题(非数学类)参考答案及评分标准

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第四届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准

第四届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准

1
∫ f ( x )dx ≤ C
0
∫ ∫ ∫ 解 由于
1
| f(
x ) | dx =
1
1
| f (t) | 2tdt ≤ 2 | f (t) | dt = 2,
………………………(4 分)
0
0
0
∫ ∫ 另一方面, 取 fn (x) = (n + 1)xn , 则
1
|
0
fn (x) | dx
=
1 0
fn
(−1)k−1 e−2x sin xdx
……………………………………(3 分)
k =1 (k −1)π
应用分部积分法
所以
∫kπ
(−1) k −1 e −2x
sin
1 xdx =
e −2kπ
(1 + e2π
)
(k −1)π
5
………………………………(2 分)
∫ ∑ e nπ −2x 0
| sin x | dx = 1 (1 + e2π ) n e−2kπ
dθ rdr
t2 −r2
f(r 2
( ) 2π
⎛⎜⎝1 −
g (t ) t
⎞ ⎟⎠
t2
f
(t 2
)
=
π
2t +1−
1+ 4t 2
t f (t2 ) .
………………(4 分)
当 Δt < 0 , 考虑 F(t) − F(t + Δt) 可以得到同样的左导数. 因此
( ) F '(t) = π 2t +1− 1+ 4t 2 t f (t 2 ) .………………………(2 分)

大学生数学竞赛非数试题及答案

大学生数学竞赛非数试题及答案

大学生数学竞赛(非数学类)试卷及标准答案一、填空(每小题5分,共20分).(1)计算)cos1(cos1lim0xxxx--+→= .(2)设()f x在2x=连续,且2()3lim2xf xx→--存在,则(2)f= .(3)若txx xttf2)11(lim)(+=∞→,则=')(tf.(4)已知()f x的一个原函数为2ln x,则()xf x dx'⎰= .(1)21. (2) 3 . (3)tet2)12(+. (4)Cxx+-2lnln2.二、(5分)计算dxdyxyD⎰⎰-2,其中110≤≤≤≤yxD,:.解:dxdyxyD⎰⎰-2=dxdyyxxyD)(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(xyDdxdyxy-------- 2分=dyyxdx x)(221-⎰⎰+dyxydxx)(12102⎰⎰--------------4分分.三、(10分)设)](sin[2xfy=,其中f具有二阶导数,求22dxyd.解:)],(cos[)(222xfxf xdxdy'=---------------3分)](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222xfxfxxfxfxxfxfdxyd'-''+'=-----7分姓名:身份证号:所在院校:年级:专业:线封密密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.=)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分.15分)已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ,求a 的值. )23(23ln 0xa x e d e -----------3分 令t e x =-23,所以dt t dx e e aaxx⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分=a t 231233221-⋅-------------7分=]1)23([313--⋅-a ,-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ,故]1)23([313--⋅-a =31,-----------12分即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分所以3=a -------------15分.10分)求微分方程0=-+'x e y y x 满足条件e yx ==1的特解.解:原方程可化为xe y x y x=+'1-----------2分这是一阶线性非齐次方程,代入公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⋅⎰=⎰-C dx ex e e y dxx xdx x 11----------4分 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰-C dx e x e ex x xln ln ----------5分 =[]⎰+C dx e x x 1-----------6分 =)(1C e xx+.---------------7分 所以原方程的通解是)(1C e xy x+=.----------8分所在院校:年级:专业:线封密再由条件e yx ==1,有C e e +=,即0=C ,-----------9分因此,所求的特解是xe y x=.----------10分.六(10分)、若函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数,且12()()()f x f x f x ==,其中123a x x x b <<<<,证明:在13(,)x x 内至少有一点ξ,使()0f ξ'=。

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)

全国大学生竞赛历年试题名师精讲(非数学类)(2009——2013)第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、 解答下列各题(每小题6分共24分,要求写出重要步骤)1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn π==……(2分);原式lim 1exp lim ln 1nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦=2.证明广义积分0sin xdx x ⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰,只要证明0n n a ∞=∑发散即可。

……………………(2分)因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。

…………(2分) 而()021n n π∞=+∑发散,故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。

……………………………………(2分)3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定,求()y x 的极值。

解 方程两边对x 求导,得22236360x xy x y y y ''++-= ………………(1分)故()2222x x y y y x+'=-,令0y '=,得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………(2分) 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=,将0x =代入所给方程得0,1x y ==-,…………………………………(2分)又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-, 故()01y =-为极大值,()21y -=为极小值。

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案(非数学组)

第四届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案(非数学组)

于是 I = I1 + I 2 = 1 + π
3 8
六、 (本题 15 分) 若对任意收敛于 0 的数列 { xn } 级数 ∑ an xn 都收敛,证明级数 ∑ an 收敛.
n =1 n =1
∞ ∞
令 Sn = ∑ ak ,xn = 证明: 用反证法. 若级数 ∑ an 发散,
n =1 k =1

而 g (0) = f 2 (0) + [ f '(0)] = 4 且 0 ∈ [ξ1 , ξ 2 ] , 知 g (ξ ) = max g ( x) ≥ 4 , 由此可得 ξ ∈ (ξ1 , ξ 2 ) , 根据 Fermat
2
x∈[ξ1 ,ξ 2 ]
定理, g '(ξ ) = 0 ,即
g '(ξ ) = 2 f (ξ ) f '(ξ ) + 2 f '(ξ ) f ''(ξ ) = 0 .
3 2
3 2 2
⋅ 2dxdy =
=
G ρ 2π 2 1 ⋅ rdr = G ρπ ln 2. 2 ∫0 ∫1 r 2
三、 (本题 15 分)
f ( x) 在 [1, +∞] 连续可导, f ' ( x) =
x
⎡ 1 1 1 ⎤ − ln(1 + ) ⎥ , 证明 ⎢ 2 x ⎦ 1 + f ( x) ⎣ ⎢ x ⎥
证明:在 [−2,0] 和 [0, 2] 上分别使用 Lagrange 中值定理,分别 ∃ξ1 ∈ (−2,0), ξ 2 ∈ (0, 2) 使得 f (0) − f (−2) = 2 f '(ξ1 ), f (2) − f (0) = 2 f '(ξ 2 ) . 令 g ( x) = f 2 ( x) + [ f '( x)] ,考虑 g ( x) 在闭区间 [ξ1 , ξ 2 ] 上的最大值,记 g (ξ ) = M = max g ( x) . 由于

全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷

全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷

(*) 2 0 (1 2t 2 t 4 )dt 1
2
1 0
(1 2t 2
t 4 )dt
2t
2 t3 3
1 5
t
5
1 0
16 15
2.设 f (x) 是连续函数,且满足 f (x) 3x2
2
f (x)dx 2 , 则 f (x) ____________.
0
解 令 A 2 f (x)dx ,则 f (x) 3x2 A 2 , 0
n
x0
n

A lim ex e2x enx n e
x0
n
x
e lim ex e2x enx n
x0
nx
e lim ex 2e2x nenx e 1 2 n n 1 e
x0
n
n
2
因此
lim ( ex
e2x
e
nx
)
e x
eA
n1e
e 2
x0
n
解法 2 因
(x0 , y0 ) 处 的 法 向 量 为 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) , 故 (zx (x0 , y0 ), z y (x0 , y0 ),1) 与
(2,2,1) 平行,因此,由 zx x , z y 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 z y (x0 , y0 ) 2 y0 ,
y(1
f ( y))
因此
—4—
y
f ( y) [1 f ( y)]2 x2[1 f ( y)]3
二、(5
分)求极限 lim ( ex
e2x
e nx
e
)x

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。

)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu (*) 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分,共20分〕1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x D d d 1)1ln()(,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令vx u y x ==+,,那么vu y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v u uv u u u u u〔*〕令u t -=1,那么21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ,那么23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得。

因此。

3.曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面22=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2023年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

2023年历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)2023年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2.设)(x f 是连续函数,且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰,则()f x =____________.3.曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =拟定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 二、(5分)求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、(15分)设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =⎰,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:(1)⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ;(2)2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、(10分)已知xxe xe y 21+=,xxexe y -+=2,xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试拟定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、(15分)已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=,且neu n =)1(,求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、(10分)求-→1x 时,与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2023年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++,其中||1,a <求lim .n n x →∞(2)求21lim 1x xx ex -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (3)设0s >,求0(1,2,)sx n n I e x dx n ∞-==⎰.(4)设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂.(5)求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、(15分)设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0f x ''>,lim ()0x f x α→+∞'=>,lim ()0x f x β→-∞'=<,且存在一点0x ,使得0()0f x <. 证明:方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、(15分)设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所拟定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ. 四、(15分)设10,nn n kk a S a=>=∑,证明:(1)当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛; (2)当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、(15分)设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,(其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c ++≤(其中0c b a <<<,密度为1)绕l 旋转. (1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简朴闭曲线C 上,曲线积分422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰的值为常数.(1)设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=,证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰;(2)求函数()x ϕ;(3)设C 是围绕原点的光滑简朴正向闭曲线,求422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰.2023年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)(1)求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭;(2).求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭; (3)已知()2ln 1arctan tt x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d d y x .二、(本题10分)求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、(本题15分)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()0,0,0f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=. 四、(本题17分)设2221222:1x y z a b c ∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、(本题16分)已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z ≥)(取上侧),∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面,(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表达S 的正法向的方向余弦. 计算:(1)()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰;(2)()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、(本题12分)设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x '<,其中01m <<,任取实数0a ,定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==,证明:11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、(本题15分)是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ,满足(0)(2)1f f ==,()1f x '≤,2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2023年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)解答下列各题(规定写出重要环节). (1)求极限21lim(!)n n n →∞.(2)求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点(4,3,1)-.(3)已知函数(,)ax byz u x y e+=,且20ux y∂=∂∂. 拟定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. (4)设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++⎰在右半平面与途径无关,求(,)u x y . (5)求极限1lim x xx t +.二、(本题10分)计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、(本题10分)求方程21sin 2501x x x=-的近似解,精确到0.001.四、(本题12分)设函数()y f x =二阶可导,且()0f x ''>,(0)0f =,(0)0f '=,求330()lim ()sin x x f u f x u→,其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、(本题12分)求最小实数C ,使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有10f dx C ≤⎰.六、(本题12分)设()f x 为连续函数,0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰,求()F t 的导数()F t ''.七、(本题14分)设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数,证明:(1)若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->,则级数1n n a ∞=∑收敛;(2)若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<,且级数1n n b ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑发散.2023年 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、解答下列各题(每小题6分,共24分,规定写出重要环节) 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=拟定,求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34,求点A 的坐标. 二、(满分12分)计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、(满分12分)设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f '',且()lim0x f x x→=.证明:级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、(满分12分)设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、(满分14分)设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试拟定曲面∑,使积分I 的值最小,并求该最小值.六、(满分14分)设22d d ()()a a C y x x yI r x y -=+⎰,其中a 为常数,曲线C 为椭圆222x xy y r ++=,取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、(满分14分)判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性,若收敛,求其和.2023年 第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所拟定.求d d x y x == .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑,则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则=→20)(lim x x f x .二、(本题12分)设n 为正整数,计算21d 1cos ln d d n eI x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、(本题14分)设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数,且有正常数,A B 使得()f x A ≤,|"()|f x B ≤. 证明:对任意]1,0[∈x ,有22|)('|BA x f +≤. 四、(本题14分)(1)设一球缺高为h ,所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π,球冠面积为Rh π2;(2)设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω,记球缺上的球冠为∑,方向指向球外,求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、(本题15分)设f 在],[b a 上非负连续,严格单增,且存在],[b a x n ∈,使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、(本题15分)设2222212n n nnA n n n n =++++++,求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π.2023年 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题6分,共5小题,满分30分)(1)极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. (2)设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定,其中(),F u v 具有连续偏导数,且0u v xF yF +≠则z zxy x y∂∂+=∂∂ .(3)曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .(4)函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 . (5)设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=⎰,则()u x 的初等函数表达式是 .二、(12分)设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程.三、(12分)设()f x 在(),a b 内二次可导,且存在常数,αβ,使得对于(),x a b ∀∈,有()()()f x f x f x αβ'=+,则()f x 在(),a b 内无穷次可导.四、(14分)求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、(16分)设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()110,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证:(1)[]00,1x ∃∈使()04f x >; (2)[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、(16分)设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数,且2222xx xy yy f f f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===,证明:()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2023年 第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、填空题(每小题5分,满分30分) 1、若()f x 在点x a =可导,且()0f a ≠,则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪⎪⎝⎭__________. 2、若()10f =,()1f '存在,求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数,且()12f =,记()2x z f e y =,若zz x∂=∂,求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2x f x e x =,求02n a π<<,()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、(14分)设()f x 在[]0,1上可导,()00f =,且当()0,1x ∈,()01f x '<<,试证当()0,1a ∈,()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、(14分)某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++,密度函数为222x y z ++,求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、(14分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数,()00f =,()11f =, 证明:()10111lim 2n n k k n f x dx fn n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、(14分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,且()1d 0I f x x =≠⎰,证明:在()0,1内存在不同的两点12,x x ,使得()()12112f x f x I+=. 六、(14分)设()f x 在(),-∞+∞可导,且()()()23f x f x f x =+=+.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2023年 第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)一、1. 已知可导函数满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ,则()f x =_________.2. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数,且==+u x cy v x cy -,,其中c 为非零常数. 则21xx yy w w c-=_________. 4. 设()f x 有二阶导数连续,且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===,则240(sin )lim x f x x→=____. 5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e x I dx x -=-⎰=________. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、(本题满分14分) 设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α,定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、(本题满分14分) 设曲线Γ为在2221x y z ++=,1x z +=,0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分) 设函数()0f x >且在实轴上连续,若对任意实数t ,有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰,则,()a b a b ∀<,2()2b a b a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分) 设{}n a 为一个数列,p 为固定的正整数。

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一. 计算下列各题(共3小题,每小题各5分,共15分)(1).求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭; (2).求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭; (3)已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d ydx。

二.(10分)求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

三.(15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。

四.(17分)设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

五.(16分)已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分(0z ≥)取上侧,∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S的正法向的方向余弦。

计算:(1)(),,S zdS x y z ρ⎰⎰;(2)()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六.(12分)设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明:()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。

七.(15分)是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x),满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、?请说明理由。

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。

)2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算____________,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令,则,,(*)令,则,,,2.设是连续函数,且满足, 则____________.解: 令,则,,解得。

因此。

3.曲面平行平面的切平面方程是__________.解: 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面平行平面的切平面方程是。

4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则________________.解: 方程的两边对求导,得因,故,即,因此二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.解 :因故因此三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性.解 : 由和函数连续知,因,故,因此,当时,,故当时,,这表明在处连续.四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2).证 :因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知(1)而关于和是对称的,即知因此(2)因故由知即五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设,,是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和,知,二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线过原点,故,于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令,得即因此,,.七、(15分)已知满足, 且, 求函数项级数之和.解,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知,,于是下面求级数的和:令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令,得,因此级数的和八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.解令,则因当,时,,故在上严格单调减。

第四届全国大学生数学竞赛决赛答案

第四届全国大学生数学竞赛决赛答案

第四届全国大学生数学竞赛决赛答案(非数学类,2013)一、(25分)简答下列各题1. 计算 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→a x ax a x x ln )ln(ln )ln ln(lim 0, 2. 设),(v u f 具有连续偏导数,且满足uv v u f v u f v u =+),(),(,求),()(2x x f e x y x -=所满足的一阶微分方程,并求其通解。

3. 求在),∞+0[上的可微函数)(x f ,使)()(x u e x f -=,其中dt t f x u x )()(0⎰=。

4. 计算不定积分dx x x x )1ln(arctan 2+⎰5. 过直线⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y 作曲面273222=-+z y x 的切平面,求此切平面的方程。

1. 解 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→a x ax a x n ln )ln(ln )ln ln(lim ()a x a x aa a x x a x aln ln )ln(ln ln ln 2ln 2ln ln 0ln ln ln 21ln lim -+-+→-+=4分aeln 2ln =a ln 2= 1分2. 解 ),(),(),(2222x x f e x x f e x x f e y v x u x x ---++-=' xex y 222-+-=因此,所求的一阶微分方程为 xex y y 222-=+' 3分其通解为 ()C dx e x e y x dx+⎰=--⎰222()x e C x 233-+= (C 为任意常数) 2分 3. 解 由题意,有 )()(0x f e dtt f x=⎰-即)(ln )(0x f dt t f x-=⎰2分两边求导可得 )()(2x f x f -=',并且 1)0(0==e f)0(>a由此可求得 11)(+=x x f 3分4. 解 由于dx x x )1ln(2+⎰)1()1ln(2122x d x ++=⎰ C x x x +-++=])1ln()1[(21222 2分 则原式])1ln()1[(arctan 21222x x x xd -++=⎰ dx x x x x x x x ]1)1[ln(21arctan ])1ln()1[(21222222+-+--++=⎰ C x x x x x x x +++---++=]23)1[l n (21a r c t a n ]3)1l n ()1[(2122222 3分 5. 解 记 273),,(222--+=z y x z y x F ,则曲面的法向量为),,(1z y x F F F n =),,3(2z y x -= 1分 过直线 ⎩⎨⎧=-+=-+0272210z y x z y 的平面束方程为0)(272210=-++--+z y x z y λ即 027)2()2()10(=-+-+++z y x λλλ其法向量为 )2,2,10(2λλλ--++=n1分 设所求的切点为),,(0000z y x P ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++++=+=+=-+27)2()2()10(22310273000000202020z y x z y x z y x λλλλλλ 1分解得 1,1,1,3000-====λz y x ,或 19,17,17,3000-=-=-=-=λz y x 所求的切平面方程为 279=-+z y x ,或 2717179-=-+z y x二、(15分) 设曲面222:y x z +=∑,21≤≤z ,其面密度为常数ρ,求在原点处的质量为1的质点和∑之间的引力(记引力常数为G )。

第四届全国大学生数学竞赛试题(非数学类)2012

第四届全国大学生数学竞赛试题(非数学类)2012

第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类,2012)一、(本题共5小题,每小题各6分,共30分)解答下列各题 (1)求极限21lim(!);n n n →∞ (2)求通过直线2320:55430x y z L x y z +−+=⎧⎨+−+=⎩的两个相互垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点(4,-3,1); (3)已知函数(,)ax byz u x y e +=,且20u x y ∂=∂∂,确定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z z z x y x y∂∂∂−−+=∂∂∂∂; (4)设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)()L x y udx x u udy +++∫在右半平面上与路径无关,求();u x(5)求极限1lim ;x x x + 二、(本题10分) 计算20sin x e x dx +∞−∫三、(本题10分) 求方程21sin 2501x x x=−的近似解,精确到0.001. 四、(本题12)设函数()y f x =二阶可导,且()0,(0)0,(0)0,f x f f ′′′>== 求330()lim ()sin x x f u f x u→,其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距。

五、(本题12)求最小实数C ,使得对满足10()1f x dx =∫的连续的函数()f x ,都有10f dx C ≤∫。

六、(本题12)设()f x 为连续函数,0t >,区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面2222x y z t ++=所围起来的上半部分,定义三重积分222()()F t f x y z dv Ω=++∫∫∫。

求()F t 的导数()F t ′。

七、(本题14) 设1n n a∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数,那么(1) 若111lim(0,n n n nn a a b b →∞++−>则1n n a ∞=∑收敛; (2) 若111lim(0,n n n n n a a b b →∞++−<且1n n b ∞=∑发散,则1n n a ∞=∑发散。

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题〔非数学类〕〔参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。

〕2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题〔每题5分,共20分〕1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,,那么v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,令u t -=1,那么21t u -=2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 那么=)(x f .解:令⎰=20d )(x x f A ,那么23)(2--=A x x f , 解得。

因此。

3.曲面平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4.设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,那么.解:方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 因)(29ln y f y xe e =,故,即,因此二、〔5分〕求极限x enx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解:因 故 因此三、〔15分〕设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解:由与函数)(x f 连续知,0)(limlim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x 因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,,故 当0≠x 时,这说明)(x g '在0=x 处连续.四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:〔1〕⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ;〔2〕2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 〔1〕y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 与y 是对称的,即知 因此 〔2〕因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、〔10分〕x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,那么x x e e y y 212-=--与x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''与 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令 得 即 因此七、〔15分〕)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且, 求函数项级数之与.解 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此 由知,0=C , 于是下面求级数的与:令 那么 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数的与 八、〔10分〕求-→1x 时, 与等价的无穷大量.解令2)(t x t f =,那么因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类.docx

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前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。

)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu (*) 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4.设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d xy_____.二、(5分)求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数.三、(15分)设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、(15分)已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证:(1)⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ; (2)2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、(10分)已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、(10分)设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、(15分)已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、(10分)求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、(25分,每小题5分) (1)设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞(2)求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

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前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。

)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题(每小题5分,共20分)1.计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu (*) 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2.设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解:令⎰=20d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3.曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由x z x =,y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理

中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理

中国大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下:一、函数、极限、连续1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质:有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7.函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.7.定积分的应用:平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值.四.常微分方程1.常微分方程的基本概念:微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程:),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程:自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积7. 欧拉(Euler )方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5. 高斯(Gauss )公式、斯托克斯(Stokes )公式、散度和旋度的概念及计算.6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。

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