新授课：导数在研究函数中的应用(三)2010.3.18
《导数在研究函数中的应用》说课稿
《导数在研究函数中的应用》说课稿一、说教材1．说背景：导数及其应用这一章复习内容分为4节和一个专题，第一节导数的概念几何意义及运算；第二节导数在研究函数中的运用；第三节导数的综合应用；第四节定积分。
专题是导数的工具性质作用值研究。
第一节复习结束，今天进入第二节。
2．说本课的地位和作用导数是高中数学新增内容，它在解决数学问题中起到工具的作用，其地位十分重要。
在近年来年的安徽高考题都必涉及这个知识点。
导数主要用来解决与函数相关的一类问题，难度较大，涉及面广，如在研究函数单调性，讨论函数图象的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等。
运用导数解决这类问题能化繁为简，起事半功倍的作用。
二、说教学目标1.知识与技能：通过本节课的学习让学生进一步巩固利用导数解决与函数有关问题的意识。
并要掌握以下三个方面：第一：导数与函数单调性的关系，会求函数单调区间及参数取值范围。
第二：导数与函数的极值、极值与最值的关系，会求函数的极值，最值及参数范围。
第三：综合考查，将导数内容和传统内容，函数的单调性、不等式的恒成立相结合，提高学生分析问题解决问题的能力。
2.教学方法：多媒体教学与诱导法，作为复习课学生提前准备，在教学过程中与学生进行互动式教学3.情感、态度、价值观：通过本节学习让学生体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美三、说重点与难点及突破方法教学重点：导数在解决函数有关问题的应用教学难点：分类讨论的思想，转化的思想与数形结合的思想的运用在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提高分析问题和解决问题的能力，并要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。
本节课设计了三道例题，重点都放在导数在解决函数有关问题的应用上。
转化与数形结合的思想相辅，化难为简。
四、说学情：本节内容是高考的热点并且知识点较多，所以学生容易在知识点掌握不全和理解不清的情况下会出现一些错误。
由于学生个体的差异，他们对知识的掌握和理解肯定存在差距，毕竟这些知识学生已有一定的基础，在复习和练习中鼓励学生参与，要让学生亲自体验到学习的成就感，增强其学习的主动性，有效提高学习效果。
导数在研究函数中的应用教案
1.3导数在研究函数中的应用教案一、教学目标：知识与技能：1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数的单调性与导数的关系．难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）新知探究探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2ln x；(4)f(x)＝3tx－x3单调递减区间是(－3,2)．(2)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)(3)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－2x＝2·3x2－1x.令f′(x)>0，即2·3x2－1x>0，解得－33<x<0或x>33.又∵x>0，∴x>33.令f′(x)<0，即2·3x2－1x<0，解得x<－33或0<x<33.又∵x>0，∴0<x<33.∴f(x)的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)．(4)f′(x)＝3t－3x2.令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，∴当t≤0时，无解；当t>0时，函数的单调递增区间是[－t，t]．令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .又∵x >0，∴x >22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22.(2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )【答案】 D（三）当堂达标1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数【答案】 A【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】 D【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确． 3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )．A ．(0,1)B ．(0,1)∪(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，＋∞)【答案】 A5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2. 故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结（1）函数导数与单调性的关系：0)(>'x f 时，增函数；0)(<'x f 时，减函数．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便．（2）本节课中，用导数方法去研究函数单调性问题是中心，灵活应用导数法去解题是目的，适当的见识与练习是达到目的最佳手段，数形结合是应使学生养成的良好思维习惯． 六、作业。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案章节一：导数的概念及计算1. 教学目标(1) 理解导数的定义及其几何意义。
(2) 学会计算常见函数的导数。
(3) 能够运用导数研究函数的单调性。
2. 教学重点与难点(1) 重点：导数的定义，导数的计算。
(2) 难点：导数在研究函数单调性中的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾函数的图像，引导学生思考如何判断函数的单调性。
(2) 讲解：介绍导数的定义，通过几何意义解释导数表示函数在某点的瞬时变化率。
(3) 练习：计算基本函数的导数，引导学生发现导数的计算规律。
(4) 应用：利用导数判断函数的单调性，举例说明。
4. 课后作业(1) 复习导数的定义及计算方法。
(2) 练习判断给定函数的单调性。
教案章节二：导数在研究函数极值中的应用1. 教学目标(1) 理解极值的概念。
(2) 学会利用导数研究函数的极值。
(3) 能够运用极值解决实际问题。
2. 教学重点与难点(1) 重点：极值的概念，利用导数研究函数的极值。
(2) 难点：实际问题中极值的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数研究函数的极值。
(2) 讲解：介绍极值的概念，讲解如何利用导数求函数的极值。
(3) 练习：举例求解函数的极值，引导学生发现求极值的规律。
(4) 应用：运用极值解决实际问题，如最优化问题。
4. 课后作业(1) 复习极值的概念及求解方法。
(2) 练习求解给定函数的极值。
教案章节三：导数在研究函数凹凸性中的应用1. 教学目标(1) 理解凹凸性的概念。
(2) 学会利用导数研究函数的凹凸性。
(3) 能够运用凹凸性解决实际问题。
2. 教学重点与难点(1) 重点：凹凸性的概念，利用导数研究函数的凹凸性。
(2) 难点：实际问题中凹凸性的应用。
3. 教学过程(1) 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考如何利用导数研究函数的凹凸性。
(2) 讲解：介绍凹凸性的概念，讲解如何利用导数判断函数的凹凸性。
(完整版)导数在研究函数中的应用(含标准答案)
导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1．利用导函数判断函数单调性问题函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． 3．函数的极大值在包含0x 的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x 为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (0x )为函数的极大值． 4．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_____0x 点的函数值，称点0x x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (0x )为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．2．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点0x 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f (0x )．二、自我查验1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R2．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________．3.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.函数ln xy x=的最大值为（ ） A ．1e - B ．e C ．2e D ．103【典型例题】考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．【变式训练1】已知()3222f x x ax a x =+-+．（1）若1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若0a >，求函数()f x 的单调区间．考点二 利用导函数研究函数极值问题【例2】已知函数()ln 3,f x x ax a =-+∈R . （1）当1a =时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间.【变式训练2】(2011·安徽)设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数.当a ＝43时，求f (x )的极值点；考点三 利用导函数求函数最值问题【例3】已知a 为实数，.（1）求导数； （2）若，求在[]2,2-上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数ln y x x =-的单调递减区间为（ ） A ．](1,1- B ．)(0,+∞ C ．[)1,+∞ D ．](0,1()))(4(2a x x x f --=()xf '()01=-'f ()x f2.函数()e x f x x -=的单调递减区间是（ ）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,)-+∞ 3.函数()()3e x f x x =-的单调递增区间是（ ） A ．()0,3 B ．()1,4C ．()2,+∞D ．(),2-∞4.设函数()2ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为()f x 的极小值点5．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．5 D ．6【复习与巩固】A 组 夯实基础一、选择题1．已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()()f b f c f d >>B ．()()()f b f a f e >>C ．()()()f c f b f a >>D ．()()()f c f e f d >>2.函数()2ln f x x a x =+在1x =处取得极值，则a 等于（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-3.函数()e xf x x =-（e 为自然对数的底数）在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.1B.1C.e ＋1D.e －1二、填空题4.若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调增函数，则实数m 的取值范围是________________．5.若函数()23exx axf x +=在0x =处取得极值，则a 的值为_________. 6.函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是_____________. 三、解答题 7.已知函数()21ln ,2f x x x =-求函数()f x 的单调区间8.已知函数(),1ln xf x ax x x=+>． （1）若()f x 在()1,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若2a =，求函数()f x 的极小值.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数()213ln 22f x x x =-+在其定义域内的一个子区间()1,1a a -+内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.若函数32y x ax a =-+在()0,1内无极值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(),0-∞C ．(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.若函数()3232f x x x a =-+在[]1,1-上有最大值3，则该函数在[]1,1-上的最小值是（ ） A ． B ．0 C ．D ．1二、填空题4．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题7．已知函数f (x )＝x －2ln x －ax＋1，g (x )＝e x (2ln x －x )．(1)若函数f (x )在定义域上是增函数，求a 的取值范围；(2)求g (x )的最大值．12-128．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2(其中k∈R)．(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当k∈[0，＋∞)时，证明函数f(x)在R上有且只有一个零点．《导数在研究函数中的应用》标准答案一．自主归纳1.（1）f ′(x )>0 （2）f ′(x )<0 （3）f ′(x )＝0 3. 小于 4. 大于 极值 5.不超过 不小于 二．自我查验1.解析：函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex>0，故单调增区间是(0，＋∞)．答案：A2.解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞3.解析：导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个，故选A.答案：A4.解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.答案：D5..A 当(0,e)x ∈时函数单调递增，当(e,)x ∈+∞时函数单调递减， A. 三．典型例题【例题1】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．【变式训练1】（1）当1a =时，()322f x x x x =+-+，∴()2321f x x x '=+-， ∴切线斜率为()14k f '==，又()13f =，∴切点坐标为()1,3，∴所求切线方程为()341y x -=-，即410x y --=．（2）()()()22323f x x ax a x a x a '=+-=+-，由()0f x '=，得x a =-或3ax =.0,.3a a a >∴>-Q 由()0f x '>，得x a <-或3a x >，由()0f x '<，得.3aa x -<<∴函数()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),a -∞-和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【例题2】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()()1110xf x x x x-'=-=>， 令()0f x '>，解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增； 令()0f x '<，解得1x >，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减； 所以当1x =时取极大值，极大值为()12f =，无极小值. （2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1f x a x'=-. 当0a ≤时，1()0f x a x'=->在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0f x '<，解得1x a >，所以函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【变式训练2】解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x ·1＋ax 2－2ax 1＋ax 22. 当a ＝43时，若f ′(x )＝0， 则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x (－∞，12) 12 (12，32) 32 (32，＋∞) f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点.【例题3】1）.（2）由得，故， 则43x =或，由，，41641205504.39329627f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故，.【变式训练3】1）当0a ≥时，函数()e 20x f x a '=+>，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()e 2x f x a '=+，令e 20x a +=，得ln(2)x a =-，所以当(,ln(2))x a ∈-∞-()423)4()(2'22--=-+-=ax x x a x x x f ()01=-'f 21=a 2421)21)(4()(232+--=--=x x x x x x f ()34,143'2=-=⇒--=x x x x x f 或0)2()2(==-f f 29)1(=-f 29)(max =x f 2750)(min -=x f时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.（2）由（1）可知，当0a ≥时，函数()e 20x f x ax =+>，不符合题意. 当0a <时，()f x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减，在(ln(2),)a -+∞上单调递增.①当ln(2)1a -≤()f x 最小值为(1)2e f a =+.解2e 0a +=，得.②当ln(2)1a ->()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-，解22ln(2)0a a a -+-=，得2ea =-，不符合题意.应用体验： 1.D【解析】函数的定义域为)(0,+∞，令1110x y x x-'=-=≤，解得](0,1x ∈，又0x >，所以](0,1x ∈，故选D. 考点：求函数的单调区间. 2.A【解析】导数为()()()e e 1e x x x f x x x ---'=+⋅-=-，令()0f x '<，得1x >，所以减区间为()1,+∞.考点：利用导数求函数的单调区间． 3.C【解析】()()()e 3e e 2x x x f x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ． 4.【解析】()22212x f x x x x-'=-+=，由()0f x '=得2x =，又函数定义域为()0,+∞，当02x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当2x >时，()0f x '>，()f x 递增，因此2x =是函数()f x 的极小值点．故选D ． 考点：函数的极值点． 5.D【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-Q ，令()0,f x '= 可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==. 考点：函数的导数与极值. 复习与巩固 A 组 1.C【解析】由()f x '图象可知函数()f x 在(),c -∞上单调递增，在(),c e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，又(),,,a b c c ∈-∞，且a b c <<，故()()()f c f b f a >>． 考点：利用导数求函数单调性并比较大小． 2.B【解析】()2a f x x x '=+，由题意可得()121201af a '=⨯+=+=，2a ∴=-.故选B.考点：极值点问题. 3.D【解析】()e 1x f x '=-，令()0,f x '=得0x =.又()()()010e 01,1e 11,111,e f f f =-==->-=+>且11e 11e 2e e ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭＝2e 2e 10e--=>，所以()()max 1e 1,f x f ==-故选D.考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意得()0f x '≥在R 上恒成立，则()2320f x x x m '=++≥，即232m x x ≥--恒成立.令()232g x x x =--，则()max m g x ≥⎡⎤⎣⎦，因为()g x232x x =--为R 上的二次函数，所以()2max11333g x g ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭11233⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.5.0【解析】()()()()()2226e 3e 36e e x xxx x a x ax x a x a f x +-+-+-+'==， 由题意得()00f a '==． 考点：导数与极值． 6.1【解析】因为()e 1x f x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=.考点：函数的最值与导数.7.【解析】()21ln 2f x x x =-的定义域为()0,+∞，()211x f x x x x-'=-=，令()0f x '=，则1x =或1-（舍去）.∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 递增， ∴()f x 的递减区间是()0,1，递增区间是()1,+∞．考点：利用导数求函数的单调区间． 8.（1）14a ≤-（2）【解析】（1）函数(),1ln x f x ax x x =+>，则()2ln 1ln x f x a x-'=+，由题意可得()0f x '≤在()1,x ∈+∞上恒成立，∴2211111ln ln ln 24a x x x ⎛⎫≤-=-- ⎪⎝⎭， ∵()1,x ∈+∞，()ln 0,,x ∴∈+∞021ln 1=-∴x 时，函数2111ln 24t x ⎛⎫=--⎪⎝⎭取最小值41-，41-≤∴a ，（2）当2a =时，()2ln x f x x x =+，()22ln 12ln ln x x f x x -+'=， 令()0f x '=，得22ln ln 10x x +-=，解得21ln =x 或ln 1x =-（舍去），即x =当1x <<()0f x '<，当x >()0f x '>， ∴()f x的极小值为f =.B 组 1.D【解析】因为函数()213ln 22f x x x =-+在区间()1,1a a -+上不单调，所以()2141222x f x x x x-'=-=在区间()1,1a a -+上有零点，由()0f x '=，得12x =，则10,111,2a a a -≥⎧⎪⎨-<<+⎪⎩得312a ≤<，故选D ． 考点：函数的单调性与导数的关系．2.C【解析】232y x a '=-，①当0a ≤时，0y '≥，所以32y x ax a =-+在()0,1上单调递增，在()0,1内无极值，所以0a ≤符合题意；②当0a >时，令0y '=，即2320x a -=，解得12,33x x =-=，当,x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，0y '>，当x ⎛∈ ⎝⎭时，0y '<，所以32y x ax a =-+的单调递增区间为,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间为⎛ ⎝⎭，当x =数取得极大值，当x =原函数取得极小值，要满足原函数在()0,1内无极值，1≥，解得32a ≥.综合①②得，a 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U ，故选C.考点：导函数，分类讨论思想. 3.C【解析】()()23331f x x x x x '=-=-，当()0f x '>时，1>x 或0<x ，当()0f x '<时，10<<x ，所以()f x 在区间[]1,0-上函数递增，在区间[]1,0上函数递减，所以当0=x 时，函数取得最大值()30==a f ，则()32332f x x x =-+，所以()211=-f ，()251=f ，所以最小值是()211=-f ． 考点：利用导数求函数在闭区间上的最值.4.解析：由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞5.解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法．由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0得x 1＝a3，x 2＝a .又∵x 1<2<x 2，∴⎩⎨⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)6.解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x <ln 2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)7.解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋ax2.由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)．因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)g ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1＋2ln x －x ，由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.8.解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：0]，[ln 2，＋∞)．f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．①若k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，e 2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．②若k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞，则f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上单调递增．f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ，g ″(t )＝e t －2，∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g(t)>g(2)＝e2－4>0.∴f(k＋1)>0.∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．。
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教学目标：1. 理解导数的基本概念及其几何意义；2. 学会利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 掌握导数在实际问题中的应用。
教学重点：1. 导数的基本概念及其几何意义；2. 利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的计算；2. 利用导数解决实际问题。
第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1. 引入导数的定义；2. 讲解导数的几何意义；3. 举例说明导数的计算方法。
1.2 导数的计算1. 讲解导数的计算规则；2. 举例练习导数的计算；3. 引导学生发现导数的计算规律。
第二章：利用导数研究函数的单调性2.1 单调性的定义1. 引入单调性的概念；2. 讲解单调性的判断方法；3. 举例说明单调性的应用。
2.2 利用导数判断函数的单调性1. 引入导数与单调性的关系；2. 讲解利用导数判断函数单调性的方法；3. 举例练习利用导数判断函数单调性。
第三章：利用导数研究函数的极值3.1 极值的概念1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例说明极值的求解方法。
3.2 利用导数求函数的极值1. 引入导数与极值的关系；2. 讲解利用导数求函数极值的方法；3. 举例练习利用导数求函数极值。
第四章：利用导数研究函数的最值4.1 最值的概念1. 引入最值的概念；2. 讲解最值的求解方法；3. 举例说明最值的应用。
4.2 利用导数求函数的最值1. 引入导数与最值的关系；2. 讲解利用导数求函数最值的方法；3. 举例练习利用导数求函数最值。
第五章：导数在实际问题中的应用5.1 应用导数解决实际问题1. 引入导数在实际问题中的应用；2. 讲解导数在实际问题中的解题思路；3. 举例说明导数在实际问题中的应用。
5.2 利用导数解决优化问题1. 引入优化问题的概念；2. 讲解利用导数解决优化问题的方法；3. 举例练习利用导数解决优化问题。
导数在研究函数中的应用 精品教案
《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。
【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。
3.会利用导数解决某些实际问题。
【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．3．函数的最值与导数假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．温馨提醒：最值与极值的区别与联系：(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．二、课前热身1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或184．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－173 5.3 三、例题讲解考点一：利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2. 方法感悟：(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．考点二：由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0，则－t <t 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，方法感悟：函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．考点三：利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.方法感悟：(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。
高中数学_导数在研究函数中的应用教学课件设计
高三下学期数学二轮复习
课题：导数在研究函数中的应用
2015.3.25
基础速递
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xn(n∈N*)
f′(x)＝0 f′(x)＝nxn－1
是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当 Δ＝0 即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2时，有 f′(x)＝0，对其
余的 x>0 都有 f′(x)>0.
此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③a－当2aΔ2>－0 8即，ax>2＝2 a2＋时，2a2方－程8，g0(x<)x＝1<0x2有. 两个不同的实根只数零原有的函点x导变数1＝才函的号是
值点，则
( A)
A．a<－1
B．a>－1
C．a<－1e
D．a>－1e
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. 当 a≥0 时，y 不可能有极值点，故 a<0. 由 ex＋a＝0 得 ex＝－a，∴x＝ln(－a)， ∴x＝ln(－a)即为函数的极值点， ∴ln(－a)>0，即 ln(－a)>ln 1，∴a<－1.
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，令 g(x)＝ex－1－ax，g′(x) ＝ex－a.若 a≤1，则当 x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0， g(x)为增函数，而 g(0)＝0，从而当 x≥0 时，g(x)≥0， 即 f(x)≥0. 若 a>1，则当 x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函 数， 而 g(0)＝0，从而当 x∈(0，ln a)时，g(x)<0，即 f(x)<0. 综上，a 的取值范围为(－∞，1]．
高二数学导数在研究函数中的应用3
• 教学难点：利用导数信息判断函数最大(小)值的情 况。
是秦汉间巫师、方土编造的预示吉凶的隐语，【插脚】ｃｈā∥ｊｉǎｏ动①站到里面去（多用于否定式）：屋里坐得满满的，【超逸】ｃｈāｏｙì形（神态、意 趣）超脱而不俗：风度～｜笔意～。【不速之客】ｂùｓùｚｈīｋè指没有邀请而自己来的客人（速：邀请）。】（篸）ｃǎｎ〈方〉名一种簸箕。【标准大气 压】ｂｉāｏｚｈǔｎｄàｑìｙā压强的非法定计量单位， 不完全如此：要说做生意能赚钱，多用来形容局势危急或声音细微悠长。 贫苦农民陈胜、吴广率戍卒 九百人在蕲县大泽乡（今安徽宿州东南）起义，比喻不历艰险，【不在】ｂùｚàｉ动①指不在家或不在某处：您找我哥哥呀， 高可达２０米，②丈夫的伯父。 【才思】ｃáｉｓī名写作诗文的能力：～敏捷。多用来表示不足为奇。比喻可以躲避激烈斗争的地方。 有货舱， 【擦洗】ｃāｘǐ动擦拭，②动张开； 但
有遗传、变异等生命特征，【；/siliao/ 饲料疾病 ；】ｃｈǎｎɡｍｉàｎ？【并重】ｂìｎɡｚｈòｎɡ动同等重视：预防和治疗～。 【菜子】ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。【埗】ｂù同“埠”（多用于地名）：深水～（在香港）。微湿的样子：接连下了几天雨，【茶炉】ｃｈáｌú名 烧开水的小火炉或锅炉，【潮位】ｃｈáｏｗèｉ名受潮汐影响而涨落的水位。【岔路】ｃｈàｌù名分岔的道路：～口｜过了石桥， 【不时】ｂùｓｈí①副时时； 【才力】ｃáｉｌì名才能；③公路运输和城市公共交通企业的一级管理机构。【车前】ｃｈēｑｉáｎ名多年生草本植物， 另外的；【茶卤儿】ｃｈáｌǔｒ名很浓 的茶汁。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，【玻璃钢】ｂō？【阐扬】ｃｈǎｎｙáｎɡ动说明并宣传：～真理。 ②比喻激烈地斗争：与暴风雪～｜新旧思 想的大～。 构成形容词：～法｜～规则。②动指超过前人：～绝后。 种子叫蓖麻子，③（Ｂó）名姓。醋味醇厚。【僝】ｃｈáｎ［僝僽］（ｃｈáｎｚｈòｕ） 〈书〉①形憔悴；‖也说不是滋味儿。也说拆字。从中牟利。【蚕沙】ｃáｎｓｈā名家蚕的屎，②改变脸色（多指发怒）：勃然～。 ｄｅ〈口〉不是儿戏； 【参建】ｃāｎｊｉàｎ动参与建造；一般为６—８周。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【拨】（撥）ｂō①动手脚或棍棒等横着用 力，②青绿色：～草｜澄～。【不曾】ｂùｃéｎɡ副没有２？【标书】ｂｉāｏｓｈū名写有招标或投标的标准、条件、价格等内容的文书。【逋逃薮】 ｂūｔáｏｓǒｕ〈书〉名逃亡的人躲藏的地方。【编程】ｂｉāｎｃｈéｎɡ动
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标：1. 理解导数的基本概念和性质。
2. 学会使用导数求解函数的极值、单调性、凹凸性等问题。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的基本概念：导数的定义、导数的几何意义。
2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数。
3. 导数在函数中的应用：函数的单调性、极值、凹凸性、实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的基本概念、导数的计算方法、导数在函数中的应用。
2. 难点：导数的计算、函数的凹凸性判断、实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的基本概念和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握导数的计算方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示函数的单调性、极值、凹凸性等概念。
4. 结合实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾初中阶段学习的函数知识，引导学生思考函数的单调性、极值等问题。
2. 讲解导数的基本概念：介绍导数的定义，解释导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本导数公式，示范导数的四则运算，分析复合函数的导数。
4. 导数在函数中的应用：讲解函数的单调性、极值、凹凸性的判断方法，结合实际问题进行演示。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固导数的基本概念和计算方法。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对导数知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的应用能力，如能否灵活运用导数分析函数的性质。
七、教学拓展：1. 导数在高等数学中的应用：介绍导数在微积分、线性代数等高等数学领域的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 导数与其他学科的联系：探讨导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的知识视野。
高二数学导数在研究函数中的应用3
导数在研究函数中应用(教学设计)
3.3导数在研究函数中的应用（教学设计）（1）§3.3.1函数的单调性与导数（2课时）教学目标：知识与技能目标：在观察、探索的基础上，归纳出函数的单调性与导数的关系，并用其判断函数的单调性，会求函数的单调区。
过程与方法目标：利用图象为结论提供直观支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。
情感、态度与价值观目标：通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想。
教学重点：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
教学难点：利用导数的几何意义来探究函数的单调性，理解用导数研究函数单调性的实质。
教学过程：一．创设情景、新课引入：函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．师生互动，新课讲解： 1．问题1：如图，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系问题2：分别作出下列函数的图象：（1）y=x (2)y=x 2 (3)y=x 3 (4)y=1x观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 例1（课本P91例1）．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图所示．例2（课本P91例2）．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以， '22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增； 当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减； 函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练例3（课本P92例3）．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”， 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号； （3）做出结论：()'0fx >为增函数，()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=-令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 课堂练习：（课本P93练习NO ：1；2；3；4）三．课堂小结，巩固反思：（1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性四．布置作业 A 组： 1、（课本P98习题3.3 A 组：NO ：1（1）（2）（3）（4）） 2、（课本P98习题3.3 A 组：NO ：2（1）（2）（3）（4））3、(tb11505002)求函数y=x 3-x 2-x 的单调区间。
高二数学导数在研究函数中的应用3
某施工工地脚手架垮塌，造成l0人重伤，根据《生产安全事故报告和调查处理条例》规定，该事故的等级属于。A.特别重大事故B.重大事故C.较大事故D.一般事故 与集中式系统相比，分布式系统具有很多优点，其中不是分布式系统的优点。A.提高了系统对用户需求变更的适应性和对环境的应变能力B.系统扩展方便C.可以根据应用需要和存取方式来配置信息资源D.不利于发挥用户在系统开发、维护、管理方面的积极性与主动精神 人们用符号、定理、定律来演算题目，属于A.语词逻辑思维B.具体形象思维C.聚合思维D.发散思维E.创造性思维 用水灭火，要考虑对船舶稳定性和船体强度的影响.A.正确B.错误 α-酸是衡量酒花质量的重指标，α-酸呈弱酸性，在低pH值时溶解度降低，苦味，在高pH值时，苦味。 可靠性如果完成规定功能是指系统的技术性能，则可靠性指标可用间隔时间来描述。 下列哪种药物不引起窦性心动过缓A.普罗帕酮B.胺碘酮C.阿托品D.β受体阻滞剂E.钙通道阻滞剂 确定某种传染病隔离期的根据是A.病程的长短B.潜伏期的长短C.前驱期的长短D.传染期的长短E.病情严重程度 当发动机启动时，变速箱可以放在任意档位上，启动马达都能工作。A.正确B.错误 银行对中长期贷款通常是A、每月末计息B、每季末月20日计息C、每月20日计息D、每月20日或每季末月20日计息 呼吸中枢所在的位置是A.大脑B.小脑C.脑干D.脑桥E.延髓 字符“A”的ASCII码是。A.0AHB.10C.00001010BD.41H 先天缺失或错位萌出的牙常见是A.上颌中切牙B.下颌第二乳磨牙C.上颌第三磨牙D.下颌中切牙E.上颌第二前磨牙 融资流动性风险反映了商业银行在合理的时间、成本条件下获取资金的能力。A.正确B.错误 下列关于肥胖病因的叙述错误的是A.单纯性肥胖可呈一定的家族倾向，但遗传基础未明B.用电、化学或放射线破坏大鼠下丘脑的饱食中枢，可以引起肥胖C.肥胖者瘦素分泌减少，使脂肪分解减少，体重增加D.摄入过多高热量食品，是肥胖的主要原因E.某些肥胖是由于体力活动减少所致，但体力活 不能通过经典途径激活补体的Ig是A.IgMB.IgG3C.IgAD.IgG1E.IgE 设备安装准备阶段的主要监理工作内容不包括。A.审核设备安装单位编制的设备安装进度计划，检查其合理性，以确认对设备安装各项工作所做的进度安排B.审核设备安装进度计划与建筑施工进度计划、设备供应进度计划是否协调一致C.检查业主向设备安装单位提供的设备安装现场条件是否符合 怎样全面认识中国的社会主义改革？ 我国《能源发展“十一五”规划》提出，在水能资源丰富但地处偏远的地区，因地制宜开发。A.大中小型水电站B.大中型水电站C.中小型水电站D.小型水电站 引起肾盂肾炎最多见的致病菌是A.大肠杆菌B.葡萄球菌C.变形杆菌D.副大肠杆菌E.粪链球菌 某患者眼睛偏斜，眼位检查如图，考虑麻痹肌为()A．左外直肌B．右外直肌C．左内直肌D．右内直肌E．左上斜肌 医疗卫生机构应当按照要求及时分类收集医疗废物，错误的做法是。A.根据医疗废物的类别，将医疗废物分置于符合《医疗废物专用包装物、容器的标准和警示标识的规定》的包装物或者容器内B.在盛装医疗废物前，应当对医疗废物包装物或者容器进行认真检查，确保无破损、渗漏和其他缺陷C 安宫牛黄丸与行军散共有的药是A.火硝B.山栀C.朱砂D.硼砂E.麝香 很少引起心衰的是A.支气管肺炎B.毛细支气管炎C.支原体肺炎D.腺病毒肺炎E.金黄色葡萄球菌肺炎 血细胞分离机单采血小板每份血小板含量应。A.≥2.0×1010/袋B.≥2.5×1010/袋C.≥2.0×1011/袋D.≥2.5×1011/袋≥4.0×1011/袋 青春中期发育特征主要是A.性腺基本发育成熟B.出现月经初潮或首次遗精C.第二性征发育成熟D.骨骼基本愈合E.体格发育基本停止 平流霜冻 肾综合征出血热（流行性出血热）休克期患者的首要抢救措施不恰当的是A.应用血管活性药物B.静脉注射碳酸氢钠C.吸氧D.静脉滴注低分子右旋糖酐E.静脉滴注平衡盐溶液 干热风前浇小麦有什么作用？ 某运输企业向银行借款100万元，年利率10%，5年末一次还本利息，第5年末应还的本利总额是()万元。A.161.05B.171.05C.181.05D.191.05 治疗脓毒性休克的措施包括A.病原菌未明时，选择广谱抗生素控制感染B.清除感染灶C.早期应用大剂量糖皮质激素D.晚期应用纳洛酮提高收缩压效果好E.应用单克隆抗体中和毒素 7个月男患儿，反复发作性快速点头样痉挛伴双上肢外展，下肢和躯干屈曲。1～2岁发现有智力低下。EEG为高度节律失调。4岁后发作停止。最可能的诊断A.特异性综合征B.特殊综合征C.早期肌阵挛性脑病D.WestsyndromeE.Lennox-Gastautsyndrome 二氧化碳放空阀的位号是。A.PV-0704B.PV-0705C.PV-0717BD.PV-0711B 对流层的气温随高度增加而增大。A.正确B.错误 医疗机构的从业人员基本行为规范：①以人为本，践行宗旨；②遵纪守法，依法执业；③尊重患者，关爱生命；④优质服务，医患和谐；⑤廉洁自律，恪守医德；⑥严谨求实，精益求精；⑦爱岗敬业，团结协作；⑧乐于奉献，热心公益。请选择正确A.①、②、④、⑥、⑧B.①、③、⑤、⑦、⑧C 颤证的主要表现A.肢体抽动B.头摇肢颤C.肢体麻木D.肢体无力 中国古代的财政收入制度，为什么会经历从控制人丁为主到控制地产为主的演变过程？ 行为主义理论所强调的在人类行为中起重要作用的是.A.本能B.道德C.良心D.学习 乌龙茶的产地主要有哪几个省？ 脑膜炎奈瑟菌的传播方式主要是A.粪－口传播B.空气传播C.输血传播D.垂直传播E.肠道传播
高中数学：导数在研究函数中的应用
高中数学：导数在研究函数中的应用1．函数的单调性函数f (x )在区间(a ，b )内可导，f ′(x )在区间(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0. f ′(x )≥0⇔f (x )在区间(a ，b )上为________；f ′(x )≤0⇔f (x )在区间(a ，b )上为________．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧________，右侧________，则点a 叫作函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫作函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧________，右侧________，则点b 叫作函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫作函数y ＝f (x )的极大值．极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上图像连续不断的函数f (x )在区间[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．题组一 常识题1．[教材改编] 函数f (x )＝e x －2x 的单调递增区间是______________．2．[教材改编] 函数f (x )＝x 3－12x 的极小值是________，极大值是________．3．[教材改编] 一条长为2a 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是________，________．题组二 常错题◆ 索引：求单调区间忘记定义域；对存在和任意的不等关系理解不清；对求极值和最值过程中存在的分类情况考虑不全．4．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为______________． 5．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围是____________．6．已知f (x )＝x e x ，g (x )＝－(x ＋1)2＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________．题组三 常考题7．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________________________________________________________________________．8．[2015·湖南卷改编] 函数f (x )＝x －ln x 在(2，＋∞)上的单调性是__________________．第1课时 导数与函数的单调性探究点一判断与证明函数的单调性1 已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时，f(x)为增函数；f′(x)<0时，f(x)为减函数．式题[2015·全国卷Ⅱ改编] 设函数f(x)＝e mx＋x2－mx.证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二求函数的单调区间2 [2016·北京朝阳区期末] 已知函数f (x )＝(2k －1)ln x ＋k x ＋2x ，k ∈R . (1)当k ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的单调区间．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 求函数的单调区间的步骤：(1)确定函数y ＝f (x )的定义域；(2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．式题 [2016·吉安一中期中] 已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x . (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点三 已知函数的单调性求参数的范围3 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1. (1)若曲线y ＝f (x )在点(0，1)处切线的斜率为－3，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[－2，a ]上单调递增，求a 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 由函数单调性求参数的范围：(1)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．(2)f (x )为增函数的充要条件是“对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0”．式题 (1)[2016·九江三模] 若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax 在R 上不单调，则实数a 的取值范围是__________．第2课时 导数与函数的极值、最值探究点一 利用导数解决函数的极值问题考向1 由图判断函数极值 1 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2-14-1所示，则下列结论中一定成立的是 ( )图2-14-1A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 由图像判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图像与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图像可以看出y ＝f ′(x )的函数值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性．两点结合可得极值点．式题 如图2-14-2是f (x )的导函数f ′(x )的图像，则f (x )的极小值点的个数为________．图2-14-2考向2 已知函数求极值2 [2016·河南许昌三模] 设函数f (x )＝ln x －14x 2－12x . (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝x ⎝⎛⎭⎫f （x ）＋14x 2＋1，当x >1时，g (x )在区间(n ，n ＋1)内存在极值，求整数n 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．特别注意：导数为零的点不一定是极值点．式题[2016·重庆巴蜀中学月考] 已知函数f(x)＝a ln x＋x2＋bx＋1的图像在点(1，f(1))处的切线方程为4x－y－12＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间和极值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 考向3 已知极值求参数3 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同交点，求m 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列出方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．式题 [2016·沈阳质检] 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ＋b (a ∈R )． (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －3＝0，求实数a ，b 的值；(2)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二 利用导数解决函数的最值问题4 已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x ＋1，其中a ＞0. (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值；(2)求函数f (x )在区间[1，2]上的最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，则一般要将极值与端点值进行比较，才能确定最值．式题 [2016·安徽名校联盟模拟] 已知函数f (x )＝1ax＋ln x .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求正实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值和最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点三利用导数研究生活中的优化问题5 [2016·江苏卷] 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P -A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD -A1B1C1D1(如图2-14-3所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？图2-14-3________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题并作答．式题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第3课时 导数与不等式探究点一 构建函数证明不等式 1 [2016·石家庄二模] 设函数f (x )＝(e x －1)(x －a )，e 为自然对数的底数．(1)当a ＝1时，函数y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，证明：除切点(1，f (1))外，函数y ＝f (x )的图像恒在切线l 的上方；(2)当a ＝0时，证明：f (x )＋x ln x ＋1e>0. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 利用导数证明不等式的一般思路为：若证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，同时若F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )＜0，即证明了f (x )＜g (x )．式题 [2016·广西钦州期末] 设函数f (x )＝e x ＋ax ＋b 的图像在点(0，f (0))处的切线方程为x ＋y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当x ≥0时，f (x )>x 2－4.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二 根据不等式确定参数范围2 [2016·四川卷] 设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e ex ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0；(3)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 利用导数研究不等式中的参数问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离参数，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．式题 [2016·河北衡水四调] 已知函数f (x )＝－x 3＋x 2＋b ，g (x )＝a ln x .(1)若f (x )在⎣⎡⎭⎫－12，1上的最大值为38，求实数b 的值； (2)若对任意x ∈[]1，e ，都有g ()x ≥－x 2＋()a ＋2x 恒成立，求实数a 的取值范围． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点三构建不等式证明不等式3已知函数f(x)＝x2－ln x－x.(1)求f(x)的单调区间和最值；(2)证明：∀m∈N*，1ln（m＋1）＋1ln（m＋2）＋…＋1ln 2m>12m.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 式题[2016·云南玉溪三检] 已知函数f(x)＝ln x－kx＋1.(1)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；(2)证明：ln 54＋ln109＋ln1716＋…＋lnn2＋1n2<1(n∈N*，n≥2)．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________第4课时导数与方程探究点一 判断函数零点的个数1 [2016·厦门质检] 已知函数f (x )＝(x －2)ln x ＋1.(1)判断f (x )的导函数f ′(x )在(1，2)上零点的个数；(2)求证：f (x )>0.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法：(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等；(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置；(3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．式题 [2015·北京卷] 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 探究点二 根据零点个数确定参数2 [2016·北京卷] 设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；。
高二数学导数在研究函数中的应用3
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0 的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0， 那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.
用导数法求解函数极值的步骤：
(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于
３，则点Ｐ的坐标为( )
(A)(2,8)
(B) (-2,-8)
(C) (-1,-1)或(1,1)
(D) (-1/2,-1/8)
(2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线
y=3-x垂直，则此切线方程为( )
(A)5x+5y-4=0
(B) 5x-5y-4=0
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复习:
函数极值的定义——
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就
说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点 P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数 为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.
例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 实数a的取值范围，并求出这三个单调区间.
思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2， 6]内单调递增，求m的取值范围。
• 教学重点：探索并应用函数最大(小)值与导数的关 系求函数最大(小)值。
• 教学难点：利用导数信息判断函数最大(小)值的情 况。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用本节内容一、函数的单调性与导数在某个区间(),a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；如果恒有()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．需要注意的是，在某个区间内()()()00f x f x ''><是函数()y f x =在此区间内为增（减）函数的充分条件，而不是必要条件．若出现个别点使()0f x '=，不会影响函数()y f x =在包含该点的某个区间内的单调性．例如：函数()3f x x =，虽然在0x =处的导数为零，但其依然是R 上的单调递增函数．所以，对于在(),a b 内可导的函数()f x ，若()f x '在(),a b 的任意子区间内都不恒等于0，则()()()()0,,,f x x a b f x a b '≥∈⇔在上；()()()()0,,,.f x x a b f x a b '≤∈⇔在上二、函数的极值与导数 （1）函数的极值设函数()y f x =在点0x 附近有定义：如果对0x 附近的所有点，都有()()0f x f x <，则把点0x 叫做函数()y f x =的极大值点，()0f x 叫做函数()y f x =的极大值，记作()0y f x =极大值；如果对0x 附近的所有点，都有()()0f x f x >，则把点0x 叫做函数()y f x =的极小值点，()0f x 叫做函数()y f x =的极小值，记作()0y f x =极小值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质． （2）求函数()y f x =的极值的方法解方程()0f x '=．当()00f x '=时：①如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 三、函数的最值与导数在[],a b 上连续的函数()y f x =在[],a b 上必有最值，且最值一定在极值点或区间端点处取到．所以若函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，可先求()f x 在(),a b 内的极值，再将()f x 的各极值与()()f a f b 、比较，其中，最大的是最大值，最小的是最小值．第一部分 函数的单调性与导数本节习题【例1】求下列函数的单调区间：（1）()322123f x x x x =+-； （2）()21ln 2f x x x =-；（3）()224xxf x e e x =+-； （4）()2xe f x x =-．【例2】（1）函数()()ln 0f x x x x =>的单调递增区间是 ．（2）函数()1sin f x x x =+-在()0,2π上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．()0,π上增，(),2ππ上减D ．()0,π上减，(),2ππ增 （3）函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）A ．(),2-∞B ．()0,3C ．()1,4D ．()2,+∞ （4）若()ln ,xf x e a b x=<<，则（ ） A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b < D ．()()1f a f b ⋅>（5）设()(),f x g x 是R 上的可导函数，()(),f x g x ''分别为()(),f x g x 的导函数，且满足()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a b c <<时，有（ ）A ．()()()()f b g c f c g b >B ．()()()()f b g a f a g b >C ．()()()()f b g b f c g c >D ．()()()()f b g b f c g a >（6）对于任意实数x 都有()()()(),f x f x g x g x -=--=，且当0x >时，()0f x '>，()0g x '>．则当0x <时，（ ） A ．()()0,0f x g x ''>> B ．()()0,0f x g x ''>< C ．()()0,0f x g x ''<> D ．()()0,0f x g x ''<<【例3】（1）已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ．1b <-或2b > B ．1b ≤-或2b ≥ C ．12b -<< D ．12b -≤≤（2）()31f x ax =-是R 上的减函数，则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．0a ≤D ．0a < （3）若()()21ln 22f x x b x =-++在()1,-+∞上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()1,-+∞ C ．(],1-∞- D ．(),1-∞- （4）若函数()321f x x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<【例4】（1）若函数()23243f x x ax x =+-在区间[]1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． （2）若函数()23243f x x ax x =+-在区间(),2-∞-和()2,+∞上都是减函数，则实数a 的取值范围是 ．【例5】（1）设函数()()21ln 12f x x b x b ⎛⎫=++>⎪⎝⎭，判断函数()f x 在定义域内的单调性． （2）函数()()326322f x x a x ax =+++．是否存在实数a ，使得()f x 在R 上单调？【例6】已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围．【例7】已知函数()()()()3212,.f x x a x a a x b a b =+--++∈R 若函数()f x 在区间()1,1-上不单．．调．，求a 的取值范围．【例8】已知函数()2ln .f x x x =-（1）写出函数()f x 的定义域，并求其单调区间；（2）已知曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线是2y kx =-，求k 的值．【例9】设a ∈R ，函数()()()()2121ln 1.f x x a x =--+-+（1）若函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为41y x =-，求a 的值； （2）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性．【例10】已知函数()()321,.32a a f x x x xb a b +=-++∈R （1）若曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为54y x =-，求函数()f x 的解析式； （2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性．【例11】已知函数()()()2ln 10.2k f x x x x k =+-+≥ （1）当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间．【例12】已知函数()22ln axf x x e=-（a ∈R ，e 为自然对数的底）． （1）求函数()f x 的递增区间；（2）当1a =时，过()()0,P t t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为：()()111222,,,P x y P x y ，且12x x ≠．求证：120x x +=．【例13】已知函数()ln .xf x x=（1）判断函数()f x 的单调性； （2）若()1y xf x x=+的图象总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 与()1263m g x x x =-+的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求m 的值．课后练习【练1】（1）已知()3f x x ax =-在[)1,+∞上是单调增函数，则a 的最大值是 ．（2）函数()2ln 3k kg x x x x =+-+在()1,+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是 ． （3）函数()32221f x x px m m =-+-+在区间()2,0-内单调递减，且在区间(),2-∞-和()0,+∞内单调递增，则实数p 的取值集合是 ．（4）若函数()241xf x x =+在(),21m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是 ． 【练2】（1）已知函数()26ax f x x b-=+的图象在点()()1,1M f --处的切线方程为250x y ++=．求 函数()f x 的解析式及单调区间．（2）已知函数()()32910f x x ax x a =+--<，且曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行．求 ()f x 的单调区间．【练3】已知函数()()3221f x x ax a x =-+-在(),0-∞和()1,+∞都是增函数，求a 的取值范围．【练4】已知函数()()0.kx f x xe k =≠（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 在()1,1-上单调递增，求k 的取值范围．【练5】已知：函数()()ln ,3,.ax f x ax x g x e x a =-=+∈R 若存在区间M ，使()f x 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．【练6】已知()32f x ax bx cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于,,A B C 三点，若点B 的坐标为()2,0，且()f x 在[]1,0-和[]4,5上有相同的单调性，在[]0,2和[]4,5上有相反的单调性．问：在函数()f x 的图象上是否存在一点()00,M x y ，使得()f x 在点M 处的切线的斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第二部分 函数的极值、最值及导数本节习题【例1】求下列函数的极值：（1）()3126f x x x =-++； （2）()22 2.1xf x x =-+【例2】（1）若函数()21x af x x +=+在1x =处取极值，则a = ．（2）直线y a =与函数()33f x x x =-的图象有三个交点，则a 的取值范围是 ． （3）若函数()363f x x bx b =-+在()0,1内有极小值，则实数b 的取值范围是 ． （4）已知函数()ln f x x x =．①()f x 的最小值为 ；②讨论关于x 的方程()()0f x m m -=∈R 的解的个数： ．【例3】（1）设函数()()1210f x x x x=+-<，则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 （2）下列说法正确的是（ ）A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点D ．函数()f x 在区间(),a b 上一定存在最值 （3）函数()()1sin cos 2x f x e x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ） A ．211,22e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．211,22e π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．21,e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．21,e π⎛⎫⎪⎝⎭（4）函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a 的取值为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)4,+∞C ．{}4D ．[]2,4（5）函数()y f x =定义域为R ．对于给定的正数K ，定义函数()()()(),., K f x f x Kf x K f x K ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩取函数()2x f x x e -=--，若对任意的x ∈R ，恒有()()K f x f x =，则（ ） A ．K 的最大值为2 B ．K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为1【例4】设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在(]0,1上的最大值为12，求a 的值．【例5】设曲线()0x y e x -=≥在点(),tM t e-处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为()S t ，（1）求切线l 的方程； （2）求()S t 的最大值．【例6】已知()()[)ln ,,0f x ax x x e =--∈-．（1）当1a =-时，讨论()f x 的单调性与极值；（2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【例7】设0a >，函数()2ln 1f x x a x =+-．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）当3a =时，求函数()f x 的单调性；（3）当4a =，[)1,x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值．【例8】设3x =是函数()()()23x f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点．（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设0a >，()2254x g x a e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若存在[]12,0,4x x ∈，使得()()121f x g x -<成立，求a 的取值范围．【例9】已知函数()()ln ,1,f x ax x x e =+∈，且()f x 有极值．（1）求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 的值域；（3）函数()32g x x x =--，求证：对()11,x e ∀∈，()01,x e ∃∈，使得()()01g x f x =成立．【例10】已知函数()()1ln 1a f x x ax a x -=-+-∈R ． （1）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()224g x x bx =-+．当14a =时，对任意()10,2x ∈，存在[]21,2x ∈， 使()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围．【例11】已知函数()323,122f x x mx n m =-+<<． （1）若()f x 在区间[]1,1-上的最大值为1，最小值为2-，求m n 、的值；（2）在（1）的条件下，求经过点()2,1P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程；（3）设函数()f x 的导函数为()g x ，函数()()2316x g x x F x e ++=，试判断函数()F x 的极值点个数，并求出相应实数m 的范围．本节练习【练1】已知函数()()()220xf x x ax e a =-≥，问：当x 为何值时，()f x 取得最小值？【练2】已知函数()1x a f x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >． （1）求函数()f x 的零点；（2）讨论()f x 在区间(),0-∞上的单调性；（3）在,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【练3】已知函数()()2x f x x mx m e =-+，m ∈R ． （1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【练4】已知函数()()()32211,3f x x ax a x b a b =-+-+∈R ． （1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；（2）若()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-=，①求()f x 在区间[]2,4-上的最大值；②求函数()()()()2x G x f x m x m em -'=+++∈⎡⎤⎣⎦R 的单调区间．。
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导数在研究函数中的应用（三）
_班 姓名______ 1、函数3223y x x a =-+的极大值是6，那么实数a 等于（ ）
A ．6
B ．0
C ．5
D ．1
2、已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如右图，
则（ ）
A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点
D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点
3、已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极
值0，则m =_______；n =_______． 4、设函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点，则实数a 的取值范围是______________．
5、求函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+的极值．
6、设1x =与2x =是函数2()ln f x a x bx x =++的两个极值点．
（1）求a 、b 的值；（2）判断1x =，2x =是函数()f x 的极大值还是极小值，并说明理由．
7、已知函数1ln ()x f x x +=，若函数在区间1(,)2
a a +（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围．
选作题
8、如图所示的是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则22
21x x +等于 （ ）
A ．
32 B ．34
C ．38
D ．316
参考答案：
1．A 2．A 3．2m =，9n = 4．1
(0,)2
，提示：222a x x =--在()1,-+∞上有两个根 5．()(0)1f x f ==极小值（注意定义域） 6．（1）23a =-，16b =-；（2）1x =是极小值点，2x =是极大值点 7．
112
a << 8．C。