不等式+分式(陈煌)6.29

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2024年北师大版数学八年级下册2.3《不等式的解集》教学设计

2024年北师大版数学八年级下册2.3《不等式的解集》教学设计一. 教材分析《不等式的解集》是北师大版数学八年级下册第2.3节的内容，本节课主要让学生掌握不等式的解集及其表示方法，学会求解一元一次不等式组，并能够用数轴表示不等式的解集。

教材通过引入实际问题，引导学生探究不等式的解集，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了不等式的基本性质，具有一定的数学运算能力。

但部分学生对不等式的解集概念理解不深，容易与方程的解集混淆。

因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习情况，通过具体例子和实际问题，帮助他们更好地理解不等式的解集。

三. 教学目标1.知识与技能：（1）了解不等式的解集及其表示方法；（2）学会求解一元一次不等式组；（3）能够用数轴表示不等式的解集。

2.过程与方法：（1）通过实际问题，引导学生探究不等式的解集；（2）利用数形结合，培养学生解决实际问题的能力；（3）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：不等式的解集及其表示方法，一元一次不等式组的求解。

2.难点：不等式的解集与方程的解集的区别，用数轴表示不等式的解集。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究不等式的解集。

2.数形结合法：利用数轴帮助学生直观地理解不等式的解集，培养学生的空间想象能力。

3.引导发现法：教师引导学生发现不等式的解集的性质，培养学生独立思考的能力。

4.小组合作学习：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的解集的性质和表示方法。

2.数轴教具：准备数轴教具，方便学生直观地理解不等式的解集。

3.练习题：准备适量的一元一次不等式组练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实际问题，如“某班学生的身高大于160cm，求该班学生的身高范围”，引导学生思考不等式的解集。

不等式的解法

分式不等式解法2记得以前央视新闻有条微博说7成网友赞成数学退出高考，下边一片叫好声。

我有个同事淡淡回了句：“数学就是用来把这7成人筛出去的。

”这句话我永远都记得，所有被千夫所指的困难，都是为了淘汰掉懦夫，仅此而已。

你以为这题就结束了？开玩笑事情！一道分式范围题的启发--you know or not know but should know还是那道分式范围题的启发--江湖人称“地位等价法”“对称法”又是那道分式不等式的启发--江湖人称“判别式法”“数形结合法”仍是那道分式不等式的启发--再现“反函数法”“函数有界性法”继续那道分式不等式的启发--不为人知的“嵌入不等式法”后两种无限期延迟，有空再讲，你们可以找人预习一下。

现在讲第二个万变不离其宗，还是那题提过了此题的通解、k-cos换元法，扯过了传说中的对称法，这次在展示判别式法已知分式不等式六条路几何意义、求导、判别式法、对称法、单调性、不等式求导不用说，单调性有两种，一种你遇到会笑，一种你遇到会哭，期待你们能遇到对称法、不等式第一讲已讲。

这讲谈的就是几何意义和判别式法三元问题是不会出现的，人称填空题标杆的江苏2012年的14题可以看出这一点高中三元分式问题只有唯一方法--齐次同除然后跟随杀手的脚步，踏入今天的征程我们再一次弄出了答案，答案对说明过程是有道理的（我没说过程对，过程有少许漏写）凭什么y是变量，x是常量，我不服。

不服在猜一次给你看答案再一次跃居纸上.你还别不信高中数学探究之路--答案对，说明过程有道理，在此过程上总结新方法，然后就是你的了以这个为例吧，一个x+一个y对应一个t，相反的，一个t和一个x肯定就有一个y对应，那么，所有的y肯定就对应了所有的t和x因为y是＞0的，所以关于y的二次函数必在（0，+∞）上有解又因为y1+y2=2t，（t＞0）说明如果方程有解（△≥0），必有正解一次处理过后，再来看xx1+x2=t，（t＞0），所以△≥0倒过来看就是t是这么个范围，然后对应了所有的x＞0，然后t与x狼狈为奸，又把所有的y＞0弄出来了综上所述，t是这么个范围，然后这么个范围就对应了所有的正数x和y 再所述一遍就是，所有的正数x和y对应了t的这么个范围有些话我只说一遍二次函数根的限定是国家五A级旅游景点，一定要会，一定一定一定要精通，不精通的赶快补1.设k=这个，k表示斜率，几何意义2.t=这个，所以y=t（x-3）+4，代入圆中，-1≤x≤1，则t范围是......3.把圆的方程写成y=？？然后代入右边分类求导例四：a=2，b=1的椭圆，题型同上，同学们自己算吧！之前例题都是带大家玩的，第一波僵尸即将来临喏，红线是最大的，绿线是最小的这题如果你能把判别式法弄懂，那么可以说你过关了再来一种判别式法这一题可以说是①数形结合②判别式法③二次函数根的限定的大集合你能把这题弄懂，按照我们老师的话说--天下尽可去这题和刚刚那题如出一辙，是骡子是马，拉出来溜溜吧答案是（2+k）/3咦咦咦！老师之前教的都没有用，不要听信他的谗言，认认真真跟着老师学就行了本题是提取公因式试金石，可以一试综上所述，高中建议要会但没有人强调的东西1.k-cos换元法2.多项式除法+试根法（十字相乘法在高中已经跟不上时代的潮流了）3.判别式法老师你在搞笑么，判别式法还算能看，弄几道破例题就算谈过数形结合了？莫急莫急，第二波僵尸已经在路上了一般的数形结合是什么1.如例一般的斜率问题2.方程组的线性规划问题3.两点之间的距离问题这些老师都讲过了，没什么讲的，网上一搜索一大堆如图，B在y=x上，C在y=0上，A=（7，2）。

中考数学专题复习方程与不等式分式方程公开课一等奖课件省赛课获奖课件

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中考典例精析
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(1)(2011·芜湖)分式方程2xx－－25＝2－3 x的解为(
)
A．x＝－2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝1 或 x＝2
(2)
2011·绥化
分式方程x－x 1-1=
x－1
m x＋2
有增根,则 m
的值为( )
A．0 和 3
B．1
C．1 和－2
D．3
【点拨】(1)去分母得 2x－5＝－3，解得 x＝1.经检验 x＝1 是原方
程的解．
(2)由(x－1)(x＋2)＝0 得增根可能是 x＝1 或 x＝－2，把方程两边
都乘(x－1)(x＋2)得 x(x＋2)－(x－1)·(x＋2)＝m，当 x＝1 时，得 m＝
3；当 x＝－2 时，得 m＝0，此时方程变为x－x 1－1＝0，即 x＝当 m＝3 时，原方程有增根 x＝1.
解得 x＝－1.
检验：把 x＝－1 代入 x－2 中 x－2≠0.
∴x＝－1 是原方程的解办法总结：
解分式方程时，一定要记得验根，使分母为零的未知数的值，即是方
程的增根.
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中考典例精析
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(2011·德州)为创立“国家卫生都市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全方面更新改造，根据市政府建设的需要，须在60天内完毕工程，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程，经调查懂得：乙队单独完毕此项工程的时间比甲队单独完毕多用25天，甲、乙两队合作完毕工程需要 30天，甲队每天的工程费用2 500元，乙队每天的工程费用2 000元．
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不等式分式练习

不等式与分式例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B 种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.例2已知关于x的不等式组0,245x bx-≤⎧⎨-≥⎩的整数解共有3个,则b的取值范围是______.例3已知13xx+=,求2421xx x-+的值.1.下列各式与xy相等的是( )A．22xyB.22yx++C.2xyxD.2a ba+3.分式(1)(2)(2)(1)x xx x+---有意义的条件是（）A．x≠2 B.x≠1 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠25．如果把分式x yx y+-中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．11a+B．1 C．11a-D．-17．化简222a ba ab-+的结果为（）A．ba-B．a ba-C．a ba+D．-b二、填空题9．若a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a bb a-÷（a+b）的值为_______________.11.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.13.化简4xyx yx y⎛⎫+-⎪+⎝⎭·4xyx yx y⎛⎫-+⎪-⎝⎭=___________.15.当x =___________时，11x -有意义. 17.已知方程23233x x =---有增根，则增根一定是__________. 19.化简2x xy x +÷22xy y xy+的结果是__________. 三、解答题20.化简3x y x y -+÷2222269x y y x xy y x y--+++.22.解下列方程. (1) 222(1)130x x x x+++-=；（3）1233x x x =+--；23.若25452310A B x x x x x -+=-+--，求A ，B 的值.25.桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程.已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的54倍，由于乙队还有其他任务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.（2）请根据题意及上表中的信息列出方程，并求甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需多少天；（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？一、选择题2．已知关于x 的不等式（1-a ）x >2的解集为21x a<-，则a 的取值范围是（） A ．a >0B ．a >1C ．a <0D ．a <14．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有（）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6.函数y =x 的取值范围是（）A ．x >-2B ．x ≥-2C ．x ≠-2D ．x ≤-28.如果a<b <0，那么下列不等式中错误的是（）A ．ab >0B ．a+b <0C ．a b<0 D ．a -b<010．若不等式组0,122x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（） A ．x >-1B ．a ≥-1C ．a ≤1D ．a <1二、填空题12.当a<5时,不等式51ax x a ≥++的解集是________.14．如果一元一次不等式组3,x x a>⎧⎨>⎩的解集为x >3，那么a 的取值范围是______.16．若代数式212x--的值不小于133x+的值，则x的取值范围是________.18．若关于x的不等式组41,32x xx a+⎧>+⎪⎨⎪+<⎩的解集为x<2，则a的取值范围是_________.三、解答题20．解下列不等式（组）.（1）382(10)127x xx---+≥;（（3）111,232(3)3(2)0;x xx x⎧->-⎪⎨⎪---<⎩21．已知方程组7,13x y ax y a+=--⎧⎨-=+⎩的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围.23．若干名学生合影留念，照相费为2.85元（含两张照片）.若想另外加洗一张照片,则又需收费0.48元,预定每人平均交钱不超过1元,并都能分到一张照片,则参加照相的至少有几名学生?买方式?25.据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度.（本题计算结果精确到个位）（1）预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人；（2）为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.。

高三数学第六章不等式复习学案

第六章不等式知识结构高考能力要求1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．高考热点分析不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．高考复习建议1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度．3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用．5．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”.6．对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系．6．1 不等式的概念和性质知识要点1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础. 2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性）a>b ⇔定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a >b ＞0 ⇒nn b a > (n ∈N 且n >1)定理5 a >b ＞0⇒>n a nb (n ∈N 且n >1)例题讲练【例1】 (1) 若x ＜y ＜0. 试比较(x 2－y 2)(x ＋y )与(x 2＋y 2)(x －y )的大小.(2) 设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a的大小.【例2】设f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f (x )与g(x )的大小. ．【例3】函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．【例4】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o ≤p ≤1.小结归纳 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A ≥B(或B ≤A)”．基础训练题一、选择题1．设a 、b ∈+R 且a ≠b ，x ＝a 3＋b 3，y ＝a 2b ＋ab 2；则x与y 的大小关系为（） A ．x >y B ．x ＝y C ．x < y D ．不能确定 2．如果－1<a <b <0，则有（）A ．a b 11<<b 2<a 2 B ．a b 11<<a 2<b 2 C ．b a 11<<b 2<a 2 D ．ba 11<<a 2<b23．下列判断：① a 1＞b ，a 2＞b ，则a 1＞a 2；② 若ac ＞bc ，则c ＞0；③ 由lg 41＞lg 51，2＞1；有2lg 41＞lg 51；④ a ＞b ，则a 1＜b1，其中不能成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若p ＝a ＋21-a （a ＞2），q ＝2242-+-a a ，则（）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q5．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．若a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（）A ．a 1＜b 1B ．a 2＞b 2C ．12+c a ＞12+c bD ．a | c |＞b | c |二、填空题7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .8. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，m a mb ++，n b n a ++的由大到小的顺序是 .9．使不等式a 2＞b 2，ba ＞1，lg(a －b )＞0，2a ＞2b －1都成立的a 与b 的关系式是 . 10．若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小. ．12．设a 1≈2，令a 2＝1+111a +.(1) 证明2介于a 1、a 2之间； (2) 求a 1、a 2中哪一个更接近于2；(3) 你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由．13．某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价(一张票)相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？提高训练题14．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22； (3)求| x 21－x 22|．15．函数f （x ）＝x 2＋（b －1）x ＋c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1. 当t ＜x 1时，比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小.6．2 算术平均数与几何平均数知识要点1．a >0，b >0时，称为a ，b 的算术平均数；称为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 22ab （当且仅当时取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值．例题讲练【例1】设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．【例2】已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值.【例3】在某两个正数x 、y 之间，若插入一个正数a ，使x ，a ，y 成等比数列，若插入两个正数b 、c ，使x 、b 、c 、y 成等差数列，求证：(a ＋1)2≤(b ＋1)(c ＋1).【例4】甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y (元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？小结归纳1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．基础训练题一、选择题1．设,b ,a 00>>则以下不等式中不恒成立．．．．的是（） A ．4)11)((≥++ba b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a |b a |-≥- 2．若x 2log＋y 2log≥4，则x ＋y 的最小值为（）A ．8B ．42C ．2D ．43．设a 、b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．给出四个命题：(1)1222++x x 的最小值为2；(2)xx 432--的最大值为342- (3) xx lg 10log +的最小值为2；(4) xx 22sin 4sin +的最小值为4. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设x ，y ∈R +，且xy －(x ＋y )＝1，则（）A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于（）A ．20吨B ．15吨C ．25吨D ．40吨二、填空题7．设0<x <2，则x (8－3x )的最大值为____________，相应的x 为____________.8．要使不等式x ＋y ≤k y x +对所有正数x ，y 都成立，试问k 的最小值是．9．若a ＞b ＞0，则a 2＋)(16b a b -的最小值是________．10．已知0,0>>b a 且1222=+ba ，则21b a +的最大值________.三、解答题 11．设实数x ，y ，m ，n 满足条件122=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值．12．若a ，b ，c 是互不相等的正数，求证：a 4＋b 4＋c 4)(222222c b a abc a c c b b a ++>++>13．已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，1=+y bx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．提高训练题 14．已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++15．某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为了使仓库面积S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？6．3 不等式证明（一）知识要点 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b ab a b ab a b a111它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．例题讲练【例1】已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例2】已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++【例3】已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >【例4】设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<．(1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1(2) 设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x．小结归纳 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．基础训练题一、选择题1．已知∈b a 、+R 则下列各式中不成立的是（）A ．221≥++ab b aB ．4)11)((≥++ba b aC ．ab ab b a 222≥+ D ．ab ba ab≥+2 2．设0＜2a ＜1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝a -11，Q ＝a+11，那么（） A ．Q ＜P ＜M ＜N B ．M ＜N ＜Q ＜P C ．Q ＜M ＜N ＜P D ．M ＜Q ＜P ＜N 3．设a ＞0，且 a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是（） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．P 与Q 的大小与a 有关4．设a 、b 、c 是△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ca bc ab ++，则（） A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2P C ．S ＞P D ．P ≤S ＜2P5．已知∈b a 、+R ，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p 、q 是两个正数，且关于x 的方程022=++q px x 和022=++p qx x 都有实根，则q p +的最小可能值是（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．16二、填空题7．若1>a ，10<<b ，则abb a l o g l o g +的范围是．8．若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为． 9．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有_______个实根．10．若x 、y 满足2x y =，则代数式87)22(log 2-+y x 的符号是．三、解答题11．已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y .求证：a x x +＞b y y+．12．已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++13．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0提高训练题14．已知正数a 、b 、c 满足c b a 2<+，求证：(1) ab c >2 (2) ab c c a ab c c -+<<--2215．是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+yx y2+≤C ≤y x x 2++y x y+2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.6．4 不等式证明（二）知识要点证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例题讲练【例1】已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，(1) 求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2) 求证：｜f (1)｜、｜f (2)｜、｜f (3)｜中至少有一个不小于21．【例2】（1）已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2）已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证:2222≤-+b ab a .【例3】若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-n n【例4】证明：23112122≤+++≤x x x ．小结归纳 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．基础训练题一、选择题1．设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 2．已知∈d c b a 、、、+R ，S ＝c b a a ++＋db a b++＋a d c c ++＋b dc d++，则有（）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s3．若122=++y xy x 且R y x ∈、，则22y x n +=的取值范围是（） A.10≤<n B.32≤≤nC.2≥nD.232≤≤n4．已知函数f (x )＝(21)x ，a 、b +∈R ，A ＝f (2b a +)，B ＝f (ab )，C ＝f (ba ab+2)，则A 、B 、C 的大小关系是（）A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 5．设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则a y x ≤+恒成立的a的最小值是（）A ．22B ．2C ．2D ．226．设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c ≥0时，c 的取值范围是（）A.)12[∞+-，，B. ]12(--∞，，C.)12[∞++，， D.]12(+-∞，，二、填空题7．设00>>y x 、，y x y x A +++=1，yyx x B +++=11，则A 、B 大小关系为．8．实数y x y x-=，则x 的取值范围是．9．若f (n )＝12+n －n ，g (n )＝n －12-n ，ϕ(n )＝n21，则 f (n )，g (n )，ϕ(n )的大小顺序为____________． 10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ② a＋b ＝2；③a ＋b >2；④ a 2＋b 2>2；⑤ab >1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____．三、解答题 11．设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点．(1) 求证：142>-b ac(2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(且0)1(=-f ，问是否存在实数c b a 、、使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数都成立，并证明你的结论．13．已知f (x ) ＝12+x ，且a ≠b 求证： | f (a )－f (b )| < | a －b |．提高训练题14．设f (x )＝| x 3－1|，实数a 、b 满足f (a )＝f (b )且a <b ，① 求证:a ＋b <2② 若3f (a )＝4f (2ba +)，求a 、b 的值15．已知a 、b 为正数，求证：(1) 若a ＋1＞b ，则对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b 成立；(2) 若对于任何大于1的正数x ，恒有ax ＋1-x x＞b成立，则a ＋1＞b ．6．5 绝对值不等式的应用知识要点1、有关绝对值不等式的主要性质：① |x |＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(x x x x x② | x |≥0③ | |a |－|b ||≤|a ±b |≤| a |＋| b |④| ab |＝，ba＝ (b ≠0)特别：ab ≥0，|a ＋b |＝，|a －b |＝．ab ≤0，|a －b |＝，|a ＋b |＝．2、最简绝对值不等式的解法．① | f (x ) |≥a ⇔ ； ② | f (x ) |≤a ⇔ ； ③ a ≤| f (x ) |≤b ⇔ ． ④ 对于类似a | f (x ) |＋b | g (x ) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．例题讲练【例1】解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1【例2】设f (x )＝x 2－x ＋b ，| x －a |<1，求证：| f (x ) －f (a ) |<2(| a |＋1).【例3】已知f (x )＝x ，g (x )＝x ＋a (a >0)，⑴ 当a ＝4时，求)()()(x f x g a x f -的最小值；⑵ 若不等式)()()(x f x g a x f ->1对x ∈[1, 4]恒成立，求a 的取值范围．【例4】设a 、b ∈R ，已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx＋c ，g (x )＝cx 2＋bx ＋a ，当｜x ｜≤1时，｜f (x )｜≤２⑴ 求证：｜g (1)｜≤２；⑵ 求证：当｜x ｜≤1时， | g (x )|≤4. 小结归纳1．利用性质｜|a |－|b |｜≤｜a ＋b ｜≤|a |＋|b |时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．基础训练题一、选择题 1．方程132+-x x x ＝132+-x xx 的解集是（）A ．(][)∞+⋃-,30,1B ．)3,0()1,(⋃--∞C ．),3()1,1(∞+⋃-D ．),3()1,(∞+⋃--∞2． x ∈R ，则(1＋x )(1－|x |)>0的解集为（）A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <1}C ．{x | x <－1或x >1}D ．{x | x <1且x ≠－1} 3． f (x )为R 上的增函数，y ＝f (x )的图象过点A(0,－1)和下面哪一点时，能确定不等式｜f (x －1)｜<1的解集为{x ｜1<x <4} （） A ．(3, 1) B ．(4, 1) C ．(3, 0) D ．(4, 0)4．若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＞1 B ．a ＜1C ．a ≤1D ．a ≥15．下面四个式子中：⑴ |b －a |＝| a －b |，⑵| a ＋b |＋| a －b |≥2| a |，⑶ a a =-2)(，⑷|)||(|21b a +≥||ab 成立的有几个（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，| f (x 1)－f (x 2)|＜| x 1－x 2|恒成立”的只有（）A ．f (x )＝x 1B ．f (x )＝| x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2二、填空题7．已知| a |≠| b |，m ＝||||||b a b a --，n ＝||||||b a b a ++，则m ，n 的大小关系是．8．不等式x 2－4| x |＋3＜0的解集为．9．设|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是．10．已知方程| x |＝ax ＋1有一个负根且无正根，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．解不等式：|2x ＋1|＋| x －2 |＋| x －1 |＞4．12．若a 、b ∈R ，α, β是方程x 2＋a x ＋b ＝0的两根，且|a |＋| b |＜1，求证：| α |＜1且| β |＜1．13．已知适合不等式| x 2－4x ＋p |＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．提高训练题14．(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|ba ab--1|＞1；(2) 求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；(3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 定义在区间[－1，1]上，且f (0)＝f (1)，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是其图象上任意两点(x 1≠x 2)．(1)设直线PQ 的斜率为k ，求证：| k |＜2；(2)若0≤x 1<x 2≤1，求证：| y 1－y 2 |＜1．6．6 含参数的不等式知识要点含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例题讲练【例1】已知A ＝{x | 2ax 2＋(2－ab )x －b >０}，B ＝{x | x <－2或x >３}，其中b >0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．【例2】已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．【例3】若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．【例4】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．小结归纳解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．基础训练题一、选择题1．如果 a >0，b >0，则不等式－b <x1<a 的解集是（） A ．{x |－b 1<x <0或0<x <b 1} B ．{x | x <－b1或x >a 1}C ．{x |－a 1<x <0或0<x <b 1}D ．{x |－a 1<x <b1}2．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则（）A ．f (1)>c > f (－1)B ．f (1)< c < f (－1)C ．f (1)<f (－1) < cD ．f (1)> f (－1)> c3．设关于x 的不等式ax >b 的解集中有一个元素是3，则（）A ．a >0且3a >bB ．a <0且3a <bC ．a >0且b <0D ．以上都不对4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，21)成立，则a 的取值范围是（）A ．[0，＋∞)B ．[－2，2]C ．[－25，＋∞) D ．[－25，－2] 5．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c cb b a a ==”是“M ＝N ”的（）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件6．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜21，则实数a 的取值范围是（）A ．]21,0(∪[)∞+,2 B ．)1,21[∪(]2,1C ．)1,41[∪(]4,1 D ．]41,0(∪[)∞+,4二、填空题7．不等式11<-x ax的解集是{x | x <1或x >2}，则a ＝． 8．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1，1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是．9．若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．对于任意的x ∈R ，均有x 2－4ax ＋2a ＋30≥0(a ∈R)，求关于x 的方程3+a x＝| a －1|＋1的根的范围．12．解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．13．已知函数f (x )＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜xkx k --+2)1(．提高训练题14．设函数f (x)＝| x－a |，g (x)＝ax (a＞0)．(1)解关于x的不等式| x－a |＜ax；(2)设F(x)＝f (x) －g (x)，若F(x)在(0，＋ )上有最小值，求出这个最小值．15．已知f (x)＝lg(x＋1)，g (x)＝2lg(2x＋t)( t∈R，t是参数)(1) 当t＝－1时，解不等式：f (x) ≤ g (x)(2) 如果当x∈[0，1]时，f (x) ≤ g (x)恒成立，求参数t的取值范围.6．7 不等式的应用知识要点1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用例题讲练【例1】若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围.．【例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．【例3】已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b ＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.【例4】一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p (千米/小时)，船在静水中的最大速度为q (千米/小时)(q ＞p )，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v (千米/小时)的平方成正比，比例系数为k ．⑴ 把全程燃料费用y (元)表示为静水中速度v 的函数，并求出这个函数的定义域．⑵ 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴ 一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵ 一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．基础训练题一、选择题1．设M ＝(a 1－1)(b 1－1)(c1－1)，若a ＋b ＋c ＝1，(a ，b ，c ∈R +)则M 的取值范围是（）A ．[)8,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81C ．[)8,1D ．[)∞+,8 2．已知方程sin 2x －4sin x ＋1－a ＝0有解，则实数a 的取值范围是（） A ．[－3，6]B ．[－2，6]C ．[－3，2]D ．[－2，2]3．点P(x ，y )在椭圆92x ＋42y ＝1上移动，则x ＋y 的最大值等于（） A ．5B ．3C ．6D ．134．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是（） A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 5．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v 千米/小时，两车的距离不能小于(10v )2千米，运完这批物资至少需要（） A ．10小时 B ．11小时C ．12小时D ．13小时6．设函数是定义在R 上的奇函数，若f (x )的最小正周期为3,且f (1)>1，f (2)＝132+-m m ，则m 的取值范围是（）A ．m <32B ．m <32且m ≠－1C ．－1< m <32D ．m >32且m <－1二、填空题7．如果对任意实数x ，不等式| x +1 |≥kx 恒成立，则实数k 的范围是 .8．已知f (x )＝ ⎩⎨⎧<-≥0101x x ，则不等式x ＋(x ＋2)f (x ＋2)≤5的解集是．9．一个盒中装有红球、白球和黑球，黑球的个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的31，白球与黑球的个数之和至少是55，则红球个数的最小值为 . 10．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度V 1和在静水中的速度V 2的大小关系是．三、解答题11．已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程Z 2－2Z ＋5－p 2＝0有无实根，并给出证明．12．已知二次函数f （x ）＝x 2＋bx ＋c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2＋cos β)≤0. (1) 求证：b +c ＝－1； (2) 求证：c ≥3；(3) 若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.13．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？提高训练题14．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f (1)＝0，且方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明．15．已知定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足：① 对于任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．⑴ 求f (0)的值．⑵ 求函数f (x )的最大值．⑶ 证明：① 当x ∈(21，1]时，有f (x )＜2x 成立．② 当x ∈[0，21]时，有f (x )≤21f (2x )成立．单元测试一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则（）A ．22b a >B ．1<a bC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3．若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（）A ．h y x <-B ．h y x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4．欲证7632-<-，只需证（）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则（）A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2B ．| x 1＋x 2|＞4C ．| x 1＋x 2|＜4D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝16. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是（）A ．(0, 32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃D ．(52, 1)7. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )＋2>0的解区间是（）A ．(－2，2)B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞)8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则（）A ．11a -<<B ．02a <<C ．3122a -<< D ．1322a -<< 9．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.（理）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a b x x B <-=，若"1"a =是""Φ≠⋂B A 的充分条件，则b 的取值范围可以是（）A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．12b -≤<（文）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 .12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a . 13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥b a b ba a ，函数f (x )＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R )的最小值是．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．17．已知函数f (x )＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1． (1) 当a ＝21时，求函数f (x )的最小值； (2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y ∈R ＋，f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (8)＝3，且当x ＞1时，f (x )＞0．(Ⅰ)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)对一个各项均正的数列{a n }满足f (S n )＝f (a n )＋f (a n ＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．。

分式不等式的解法

f ( x) 0 f ( x) < 0 f ( x) 0 f ( x) g ( x) 0 或 g ( x) g ( x) 0 g ( x) < 0
3、运用“序轴标根法”解分式不等式时的注意点： (1)x的系数必须是正数(2)分清空实点(3)奇穿偶不穿。
2
( x 1)( x 2) x 3x 2 <0 解： 2 < 0 ( x 1)( x 3) x 2x 3
( x 1)( x 1)( x 2)( x 3) < 0
+
-1
o
-
1
o
+
o
2
-
o
3
+
由序轴标根法可得原不等式的解集为:
{x | 1 < x < 1或2 < x < 3}
a2 若 2, 即a 0时, 解集为： a 1

a 1
a2 a2 < x < 2} 若 < 2, 即a < 0时, 解集为： {x | a 1 a 1
a2 { } 综上：(1)当a>1时,原不等式的解集为： x | x 2或x < a 1
a2 { } (2)当0<a<1时,原不等式的解集为： x | 2 < x < a 1
练一练：
ax 0 1 x
a ( x 1) 例4:解关于x的不等式： 1( a 1) x2
移项通分解不等式解： a ( x 1) 1 ( a 1) x ( 2 a ) 0 x2 x2 ( x 2)[( a 1) x 2 a ] 0
x 2 0 x 2 0 或 1 >0 0 2x 1< 0 2x 1<0

2024年全新《不等式的基本性质》ppt课件

12
一元二次不等式定义及解法
一元二次不等式定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
VS
一元二次不等式解法
通过因式分解、配方法或公式法，将不等式转化为一元一次不等式或一元二次方程进行求解。
2024/2/28
13
性质四：完全平方项对不等式影响分析
完全平方项定义
形如$(a+b)^2$或$(a-b)^2$的式子。
2024/2/28
26
课后作业要求及建议
作业要求
完成教材上相关习题，巩固本节课所学知识；尝试解决一些实际问题，提高应用不等式的能力。
建议与提示
在解题过程中，注意运用不等式的基本性质；对于复杂问题，可以尝试通过变形或构造函数等方法进行转化；多思考、多总结，加深对不等式的理解。
2024/2/28
完全平方项对不等式影响
当不等式中含有完全平方项时，可以通过配方将其转化为标准形式，从而更易于求解。
பைடு நூலகம்2024/2/28
14
性质五：判别式与根之间关系探讨
判别式定义
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$Delta=b^2-4ac$。
判别式与根之间关系
当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根；当 $Delta<0$时，方程无实根。
例题二：利用基本性质判断方程根情况
题目
分析
解答
判断方程$sqrt{x^{2} - 3x + 2} + x 1 = 0$的根的情况。
2024/2/28
本题考查了利用不等式的基本性质判断方程根的情况。通过对方程进行变形和分类讨论，结合不等式的性质，可以判断方程的根的情况。

分式不等式的解法ppt课件

2）一般地，分式不等式分为三类：
1）判断下列不等式组中，哪些解集相同。
2）把下列分式不等式转化为有相同解集的整式不等式（组）
3）解下列分式不等式：
1、分式不等式的概念 2、分式不等式的解法
练习册：P18 习题2.3 A组 1~3； B组 1
1、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程
2、分式方程的解法： 1)式不等式定义：分母中含有未知数的不等式
主要研究形如
的不等式
研究：改变：
2、分式不等式的解法：
1）基本思路：把未知的问题转化成我们熟悉的问题。
①移项、整理、变形，化未知数系数为正； ②利用商与积的符号相同，转化为解整式不等式； ③求解整式不等式。

中考知识大串讲方程不等式分式方程(四)

TIP2：越夸张越搞笑，越有助于刺激我们的大脑，帮助我们记忆，所以不妨在编故事时，让自己脑洞大开，尝试夸张怪诞些~
故事记忆法小妙招
费曼学习法
费曼学习法-简介
理查德·菲利普斯·费曼（Richard Phillips Feynman）
费曼学习法出自著名物理学家费曼，他曾获的 1965年诺贝尔物理学奖，费曼不仅是一名杰出的物理学家，并且是一位伟大的教育家，他能用很简单的语言解释很复杂的概念，让其他人能够快速理解，实际上，他在学习新东西的时候，也会不断的研究思考，直到研究的概念能被自己直观轻松的理解，这也是这个学习法命名的由来！
身体记忆法小妙招
超级记忆法--故事法
• 鲁迅本名：周树人
• 主要作品：《阿Q正传》、、《药》、
• 《狂人日记》、《呐喊》、《孔乙己》
• 《故乡》、《社戏》、《祝福》（图片来自网络）。
超级记忆法-记忆方法
TIP1：NPC代入，把自己想成其中的人物，会让自己的记忆过程更加有趣（比如你穿越回去，成为了岳飞的母亲，你会在什么背景下怀着怎样的心情在背上刺下“精忠报国”四个字）；
案例式学习
顺序式学习
冲刺式学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
积极主动
以终为始
分清主次
不断更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完整过程
方向
资料
筛选
Hale Waihona Puke 认知高效学习模型-学习的完整过程
消化
固化
模式
拓展
小思考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们大概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；

福州市初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习

福州市初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习一、选择题1．已知关于x 的分式方程13222mx x x-+=--有解,则m 应满足的条件是（） A ． 1 2m m ≠≠且 B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠【答案】A 【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可. 【详解】13222mx x x-+=--，去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2) 整理得，（m-2）x=-2∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2，∴222m -≠-，解得，m≠1，所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠ 故选：A. 【点睛】此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.2．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路xm ，则根据题意可得方程( ) A ．240024008(120%)x x -=+ B ．240024008(120%)x x -=+C ．240024008(120%)x x-=-D ．240024008(120%)x x-=- 【答案】A【解析】【分析】求的是原计划的工效，工作总量为2400，根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“提前8小时完成任务”；等量关系为：原计划用的时间-实际用的时间=8．【详解】原计划用的时间为：2400x ，实际用的时间为：()2400120%x +．所列方程为：2400x-()2400120%x +=8．故选A 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效．3．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x x--=--有正数解，且使关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，则所有符合条件的整数a 的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a>-1且a ≠1，根据不等式组有解，即可得：a<3，找出所有的整数a 的个数为2．【详解】解方程2311a x x x --=--，得： 12a x +=，∵分式方程的解为正数， ∴1a +>0，即a>-1，又1x ≠， ∴12a +≠1，a ≠1， ∴a>-1且a ≠1，∵关于y 的不等式组21142y a y y a ->-⎧⎪⎨+⎪⎩…有解，∴a-1<y ≤8-2a ，即a-1<8-2a ，解得：a<3，综上所述，a 的取值范围是-1<a<3，且a ≠1，则符合题意的整数a 的值有0、2，有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了根据分式方程解的范围求参数的取值范围，不等式组的求解，找到整数解的个数，掌握分式方程的解法和不等式组的解法是解题的关键．4．下列说法中正确的是（）A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形B ．9的平方根为3C ．抛物线21(1)32y x =-++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程121m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A 【解析】【分析】根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；B 、9的平方根是±3，该选项错误；C 、抛物线21(1)32y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误； D 、由方程121m x -=-去分母得：12m x +=，∵关于x 的分式方程的解为非负数， ∴102m +≥且112m x +=≠，解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误；故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x 米/秒，则所列方程正确的是（） A ．4 1.2540800x x ⨯-=B ．800800402.25x x -= C ．800800401.25x x -= D ．800800401.25x x-= 【答案】C 【解析】【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【详解】小进跑800米用的时间为8001.25x 秒，小俊跑800米用的时间为800x秒， ∵小进比小俊少用了40秒，方程是800800401.25x x-=，故选C ．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．6．如果关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1，则a 的值是（）． A ．a =3 B ．a ≤-3C ．a =-3D ．a >3【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的解集得出关于a 的方程，解方程即可．【详解】解：因为关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1，所以a+1＜0，即a ＜-1，且21a +=-1，解得：a=-3．经检验a=-3是原方程的根故选：C ．【点睛】此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．7．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x=- D ．120100x 10x=+ 【答案】A 【解析】【分析】【详解】甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100x x 10=-. 故选A.8．若关于x 的方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（） A ．-4 B ．2C ．0D ．4【答案】D 【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，∴分式方程的增根是x=4．关于x 的方程244x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．方程10020x +＝6020x-的解为（）A．x＝10 B．x＝﹣10 C．x＝5 D．x＝﹣5【答案】C【解析】【分析】方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根．【详解】解：方程两边同时乘以（20+x）（20﹣x），得100（20﹣x）＝60（20+x），整理，得8x＝40，解得，x＝5，经检验，x＝5是方程的根，∴原方程的根是x＝5；故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏验根是解题的关键．10．春节期间嘉嘉去距家10千米的电影院看电影，计划骑自行车和坐公交车两种方式，已知汽车的速度是骑车速度的2倍，若坐公交车可以从家晚15分钟出发恰好赶上公交车，结果与骑自行车同时到达，设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是()A．1010152x x-=B．1010152x x-=C．1010124x x-=D．1010124x x-=【答案】C【解析】【分析】设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，根据“汽车所用时间-坐公交车所用时间15=分钟”列出方程即可得．【详解】设骑车的速度为x千米/小时，则坐公交车的速度为2x千米/小时，∴所列方程正确的是：1010124x x-=，故选：C．【点睛】此题考查由实际问题列分式方程，根据题意找到题目蕴含的相等关系是列方程的关键．11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．1201508x x=-B．1201508x x=+C．1201508x x=-D．1201508x x=+【答案】D【解析】【分析】首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+，故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.12．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =- B ．0x =C ．3x =-D ．1x =【答案】D 【解析】【分析】方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解. 【详解】方程两边同乘以3x （x+5）得， x+5=6x ，解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解. 故选D. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.13．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34yy a⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（） A ．﹣16 B ．﹣15C ．﹣6D ．﹣4【答案】D 【解析】【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可．【详解】解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4，整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)，解得：x 12a 2=--，由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10，当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解，所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10，不等式组整理得：y<9y a -⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若关于x 的分式方程2233x mx x -=--有增根，则m 的值为（）．A ．3B ．CD ．【答案】D 【解析】解关于x 的方程2233x mx x -=--得：26x m =-， ∵原方程有增根，∴30x -=，即2630m --=，解得：m = 故选D.点睛：解这类题时，分两步完成：（1）按解一般分式方程的步骤解方程，用含待定字母的式子表示出方程的根；（2）方程有增根，则把（1）中所得的结果代入最简公分母中，最简公分母的值为0，由此即可求得待定字母的值.15．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x 元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.16．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）A．24x2+-20x=1 B．20x-24x2+=1C．24x-20x2+=1 D．20x2+-24x=1【答案】B【解析】试题解析：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，根据题意得：2020412x x+-=+，即：202412x x-=+．故选B．考点：分式方程的应用.17．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．60048040x x=-B．60048040x x=+C．60048040x x=+D．60048040x x=-【答案】B【解析】【分析】由题意分别表达出原来生产480台机器所需时间和现在生产600台机器所需时间，然后根据两者相等即可列出方程，再进行判断即可．【详解】解：设原计划每天生产x 台机器，根据题意得：48060040x x =+. 故选B ．【点睛】读懂题意，用含x 的代数式表达出原来生产480台机器所需时间为480x天和现在生产600台机器所需时间为60040x +天是解答本题的关键．18．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】解：0331016x ax -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥ ∵不等式组无解 ∴2a ≤ ∵2233y ay y-+=-- ∴83ay -=∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．19．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x 个月，则根据题意可列方程中错误的是（）A ．3212x x +=- B ．32212x x x ++=- C ．3+2212x x +=-D ．3112()12x x x ++=- 【答案】A【解析】【分析】设甲队单独完成全部工程需x 个月，则乙队单独完成全部工程需要（x －2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．【详解】解：设甲队单独完成全部工程需x 个月，则乙队单独完成全部工程需要（x －2）个月，根据题意，得：5212x x +=-； A 、3212x x +=-，与上述方程不符，所以本选项符合题意； B 、32212x x x ++=-可变形为5212x x +=-，所以本选项不符合题意； C 、3+2212x x +=-可变形为5212x x +=-，所以本选项不符合题意； D 、3112()12x x x ++=-的左边化简得5212x x +=-，所以本选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．20．为有效落实党中央“精准扶贫”战略决策，某市对农村实施“户户通”修路计划，已知该市计划在某村修路5000m，在修了1000m后，由于引入新技术，工作效率提高到原来的1.2倍，结果提前5天完成了任务.若设原来每天修路 mx，则可列方程为( )A．50004000100051.2x x x=+-B．50001000400051.2x x x+=+C．50004000100051.2x x x-=+D．50001000400051.2x x x-=+【答案】D【解析】【分析】本题依题意可知等量关系为原计划工作时间-实际工作时间=5，根据等量关系列出方程即可.【详解】设原来每天修路xm，引入新技术后每天修路1.2xm，实际工作天数为（100040001.2x x+），原计划工作天数为5000x天，根据题意得，50001000400051.2x x x-=+，故选D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．。

不等式分式方程方案综合bsh【模板范本】

不等式+分式方程+方案+最大最小值等综合BSH1．某工厂第一次购买甲种原料60盒和乙种原料120盒共用21 600元，第二次购买甲种原料20盒和乙种原料100盒共用16 800元．(1）求甲、乙两种原料每盒价钱各为多少元；（2）该工厂第三次购买时，要求甲种原料比乙种原料的2倍少200盒，且购买两种原料的总量不少于1 010盒，总金额不超过89 200元，请你通过计算写出本次购买甲、乙两种原料的所有方案．2．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某区A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该区的A类学校不超过5所,则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该区A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案?3．我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：（1)2011年,王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求王大爷这一年共收益多少万元？（收益＝销售额－成本）（2）2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼,计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同,要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3）已知甲鱼每亩需要饲料500kg,桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg？4．为了给市中学生运动会助威，美春服装公司对A种体育名牌服装价格进行下调．今年五月份的A种体育名牌服装售价比去年同期每件降价100元，如果卖出相同数量A种体育名牌的服装，去年销售额为10000元,今年销售额只有8000元．（1）今年五月份甲种服装每件售价多少元？(2)为了增加收入，公司决定再经销B种体育名牌服装．已知A种体育名牌每件服装进价为350元，B种体育名牌服装每件进价为300元，公司预计用5万元且不少于4.99万元的资金购进这两种体育名牌服装共150件，要怎样进货？（3）在（2）的条件下，如果A种体育名牌服装的售价保持今年五月份的价格,B种服装每件售价为380元,为了打开B种体育名牌服装的销路，公司决定每售出一件B种体育名牌服装，返还顾客现金a元,当a为何值时，使（2）中利润最大?5．为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．（1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元?（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096 万元,且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少?（3）在（2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变,每套甲种套房提升费用将会提高a万元（a>0)，市政府如何确定方案才能使费用最少？6．“麻九高速”工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．3（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元,乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程,拟安排预算的施工费用是否够用?若不够用,需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．参考答案BSH1．（1）解：设甲原料每盒x 元,乙原料每盒y 元．由题可得⎩⎨⎧=+=+16800100202160012060y x y x 解得：⎩⎨⎧==16040y x故甲原料每盒40元，乙原料每盒160元．（2）解：设乙原料a 盒，则甲原料（2a —200）盒由题可得40(2200)1608920022001010a a a a ⨯-+⎧⎨-+⎩≤≥ 解得：12104053a ≤≤ ∵a 为正整数 ∴a=404或a=405故购买方案有1．甲原料608盒,乙原料404盒．2．甲原料610盒，乙原料405盒．2．解:(1)设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依题意得:22302205a b a b +=+=⎧⎨⎩ 解之得6085a b ==⎧⎨⎩ 答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．(2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则60851575m n += 173151212m n =-+ ∵A 类学校不超过5所 ∴1731551212n -+≤ ∴15n ≥ 即:B 类学校至少有15所．(3)设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为（6-x ）所，依题意得：5070(6)4001015(6)70x x x x ⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≤≥ 解之得14x ≤≤ ∵x 取整数 ∴x=1，2,3，4 即：共有4种方案3．解：(1）2011年王大爷的收益为:20×（3—2。

2.5 分式不等式课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式

B．{x|－1＜x≤0}
C．{x|x＜1 且 x≠0} D．{x|x＞0} 【解析】 x＋x 1≤0⇒xx（＋x1＋≠10）≤0⇒－1＜x≤0，所以不等式的解集
为{x|－1＜x≤0}，故选 B.
3．不等式3－2 x＞1 的解集是( B )
A．(－∞，3)
B．(1，3)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) 【解析】 3－2 x＞1⇒3－2 x－1＞0⇒2－3－3＋x x＞0⇒－3－1＋xx＞0⇒xx－－13＜
9．不等式（x－ 2x1）<0 的解集是__(_0_，__1_) __．【解析】（x－ 2x1）<0⇒2x(x－1)<0⇒0<x<1，所以原不等式的解集为(0，
1)．
三、解答题
10．求不等式xx＋－15＞2 的解集．
【解析】
x＋1 x－5
＞
2⇒
x＋1 x－5
－
2
＞
0⇒
x＋1 x－5
－
2（x－5） x－5
例3 不等式x＋2 1≥1 的解集是( A )
A．{x|－1＜x≤1}
B．{x|x≤1}
C．{x|x＞－1}
D．{x|x≤1 或 x＞－1}
【分析】化简整理后，根据gf（（xx））≥0⇔fg（（xx））·≠g（0x）≥0，转化
为一元二次不等式来求解集．
因为x＋2 1－1≥0⇒x＋2 1－xx＋＋11≥0⇒1x－＋x1≥0 （x＋1）（1－x）≥0⇒（x＋1）（x－1）≤0
＞0”是“xx－＋12＞0”的充分必要条件，故选 C.
5．不等式2xx－－11＜－3 的解集是( C ) A．{x|x＜－1} B．{x|x＜1 且 x≠0} C.x|45＜x＜1 D．∅ 【解析】 2xx－－11＜－3⇒2xx－－11＋3＜0⇒5xx－－14＜0⇒(5x－4)(x－1)⇒45

关于两个分式不等式问题的讨论

关于两个分式不等式问题的讨论作者：程宏王晓峰来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第04期摘要：本文利用极限思想构造性地证明了《一个分式不等式的若干思考》一文中所给出的三个分式不等式是不成立的，并且给出具体的取值方法验证了所得结果的正确性．关键词：分式不等式；极限思想有名辉老师在《一个分式不等式的若干思考》一文的文末提出三个关于分式不等式的问题，其中问题2和问题3为：问题2 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，证明或否定：++≥，（1）++≥．（2）问题3 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，证明或否定：++≥．（3）我们利用极限思想构造性地得出不等式（1）（2）（3）均不成立．问题2中不等式（1）（2）的否定在不等式（1）中，取b=c，则不等式（1）左端可化为+，此时令a→1-，b=c→0+，则→1，→2，即+→3，即当a→1-，b=c→0+时，不等式（1）不成立．比如令a=0.9，b=c=0.05，则+=+≈3.2在不等式（2）中，取b=c，则不等式（2）可化为+≥，令a=1－2b，代入上式，得≥，即4b2+2（1-2b）2≥9b［b2+（1-2b）2］，整理得45b3－48b2+17b－2≤0．取b=c→0.5时，则45b3－48b2+17b－2→>0，因此当a→0+，b=c→0.5-时，不等式（2）不成立．比如令a=0.1，b=c=0.45，则+=+≈4.3问题3中不等式（3）的否定在不等式（3）中取b=c，则++=++．此时令a→1-，b=c→0+，则→1，→1，→0，从而++→2比如令a=0.9，b=c=0.05，则++=++≈2.0076。