第二章,第三节

n =1
U
∞
O n ，其中 G n ，O n 分别为 R 、R 中的左开右闭的互
p q
p
q
n =1
不相交的区间,则 G n ×O m 为 R ×R 中的左开右闭的互不相交的区间，且
可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)
G × O ＝U G
n =1 ∞ n
×
U ∑
∞
∞
O
n
＝
U U
∞
∞
(G
n
× O
m
) 可测，于是
∃闭集Fn，使得E ⊃ Fn且m∗ ( E − Fn ) <
令F =
∗
1 n
U
∞
n =1
F n ， 则 F 为 Fσ 型 集 ， E ⊃ F 且
∗
m ( E − F ) ≤ m ( E − Fn ) ≤ 1 , n = 1, 2,3,L n
故m ( E − F ) = 0 从而E = F U ( E − F )为可测集
T I In
∀ T , m T ≥ m (T I ( I n U I ))
* * C
= m (T I I n ) + m (T I I )
* * C
而I n → I , 则m (T I I n ) → m (T I I )
* *
即∀ T , m T ≥ m (T I I ) + m (T I I )
可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)
4) 当 mA、mB 至少有一个无限时，将 A、B 分解成可数个互不相交的测度有限集合之并， 即 A＝
U A ，B＝ U B
n n=1 m=1
∞
∞
m
，其中 m An ＜+∞，m Bm ＜+∞，
由 3)知:A×B＝
U
∞
∞
n =1
An ×U B m ＝U
m =1
∞
∞
n =1 m =1
m =1
n =1 m =1
m( G × O )＝
∑
∞
∞
n =1
m =1
(mG n ×mO m )
∞
＝(
∑
mG
n
)×(
n =1
∑
mO m )＝mG×mO
m =1
3) 对一般可测集，且 mA＜+∞，mB＜+∞，A ⊂ R ε＞0，存在开集 G m(G A -F
A
p
，B ⊂ R
q
，则对任意
、G B ，闭集 F
定理２.3.4： 定理２.3.4：
(1) E可测 ⇔ (2)∀ε > 0, ∃闭集F， 使得F ⊂ E且m( E − F ) < ε ⇔ (3) Fσ 集F0 ⊂ E且m( E − F0 ) < ε
证明： “(1)=>(2)”因为E可测，所以Ec可测,由(1)知 (1)=>(2)” E E , (1)
i =1 i =1 i =1 i =1
∞
∞
∞
∞
ε ≤ m(∪(Gi − Ei )) ≤ ∑ m((Gi − Ei ) ≤ ∑ 2i < ε
i =1 i =1 i =1
∞
∞
∞
"(2) ⇒ (3)" ∀ε > 0, ∃开集G，使得 E ⊂ G且 m ( G − E ) < ε 则
1 ∀ , ∃开集Gn，使得E ⊂ Gn且m(Gn − E ) < n
U
∞
且 ( A n × B m ) 可测，
m( A × B )＝
∞ ∞
∑
n =1
∑
∞
(mA n ×mB m )
m =1
＝(
∑
mA
n =1
n
)×(
∑
m =1
mB m )＝mA×mB
存在不可测集（见附录）
存在不是Borel集的可测集 （利用Cantor函数和不可测集构造） 参见：《实变函数》周民强 , p87
E = ∪ Ei 其 中 m Ei < +∞
i =1 ∞
对每个Ei应用上述结果
∃开集Gi，使得Ei ⊂ Gi且m(Gi − Ei ) <
令G = ∪ Gi , 则G为开集，E ⊂ G，且
i =1 ∞
Ei
ε
2i
m(G − E ) = m(∪ Gi − ∪ Ei ) = m(∪(Gi − ∪ Ei ))
(a)当mE<+∞时，由外测度定义知
∀ε > 0, ∃开集G, 使得E ⊂ G, 且m* E ≤| G |< m* E + ε
mE ≤ mG < mE + ε
从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G − E ) = mG − mE < ε
Байду номын сангаас
(b)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
∀ε > 0, ∃开集G，使得E c ⊂ G且m(G − E c ) < ε
取F=G c，则F为闭集 F ⊂ E
且m ( E − F ) = m ( E ∩ F c ) = m(( E c ) c ∩ F c ) = m( F c − E c ) = m(G − E c ) < ε
“(2)=>(3)”对任意的1/n，
∗
"(3)⇒(1)" ∃Fσ 型集F0 ⊂ E , m( E − F0 ) = 0 则E = F0 U ( E − F0 )为可测集
可测集的笛卡尔积仍然是可测集
定理 2.３.6 若 A ⊂ R ，B ⊂ R ，且均可测，则 A×B＝｛(a,b)｜a∈A，
p q
b∈B｝ ⊂ R ×R 为可测集，且 m(A×B)＝mA×mB
U
Fn , 其 中 Fn ≡ F
n =1
( ∀ n ) ,所以F为 F σ
构 造 Gn
∞
1 = { x | d ( x , F ) < }为 开 集 n
则 F = I G n为 G δ 型 集
n =1
通过取余将 G 型集与
δ
Fσ 型集相互转化（并与交，开集与闭集互
换）得开集也既是G δ 型集又是 Fσ 型集 有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 无理数集通过有理数集取余
令 O = ∩ G n， 则 O 为 G δ 型 集 ， E ⊂ O 且
n =1 ∞
1 n
m(O − E) ≤ m(Gn − E) ≤ 1 , n = 1,2,3,L n
故m(O − E) = 0
"(3)⇒(1)" ∃Gδ 型集G0 ⊃ E, m(G0 − E ) = 0 则E = G0 − (G0 − E )为可测集
A
、F
A
满足 F
A
⊂ A ⊂ G A ，且
A
)＜ε，F B ⊂ B ⊂ G B ，且 m(G B -F B )＜ε，即存在
A
开集 G A ×G B ，闭集 F [（G
A
×F B 满足 F A ×F B ⊂ A×B ⊂ G
A
A
×G B ，且
×G B ）-（F
A
×F B ）] ⊂ [(G
-F
A
)×G B ] U [F A ×(G B -F B )]
ε→0
可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)
而 m(A×B)≤m(G A ×G B )＝mG A ×mG B ≤(mA＋ε)(mB＋ε)， 由ε的任意性知 m(A×B)≤mA×mB。同理，因为 A×B ⊇ F A ×F B ，
所以 m(A×B)≥m(F A ×F B )≥m[(G A ×G B )]－ α(ε) ＝mG A ×mG B － α(ε) ≥mA×mB- α(ε) ， 由ε的任意性知 m(A×B)≥mA×mB，故 m(A×B)＝mA×mB。
* c ∗ ∗
即E为可测集。
定义:E可测 ⇔∀T ⊂ R , 有m T = m (T ∩ E) + m (T ∩ E )
n * c ∗ ∗
定理２.3.2： 定理２.3.2： 区间 I 是可测集，且 mI =| I |
证明：取 I n ⊂ I , 且I n → I , d(I n , I C ) > 0
∞
∞
Fn
n =1
）是可测集。
4) Borel型集（从开集出发通过取余，取至多可数 次交或并运算得到的集合）是可测集。
1)开集、闭集既是 Gδ 型集也是 Fσ 型集； 2)有理数集是 Fσ 型集 ,无理数集是 G δ 型集
证明1):当F为闭集时 F = 集
3) G δ 型集和 ∞Fσ 型集都是Borel集（显然）
定理２.3.3： 定理２.3.3： (1)E可测 ⇔ (2)∀ε > 0, ∃开集 G，使得 E ⊂ G且 m (G − E ) < ε
⇔ (3)∃G δ 型集 G0 ⊃ E , m ( G0 − E ) = 0
"(1) ⇒ (2)" ∀ε > 0, ∃开集G，使得E ⊂ G且m(G − E ) < ε
⊂ [(G A -F A )×G B ] U [G A ×(G B -F B )]
可测集的笛卡尔积仍然是可测集(续)
这里[（G A×G B）-（F A×F B）]、[(G A-F A)×G B] U[G A×(G B-F B)]、(G A-F A)、 (G B-F B)均为开集。
m[（G A ×G B ）-（F A ×F B ）] ≤m[(G A -F A )×G B ]＋m[G A ×(G B -F B )] ＜ε×(mB＋ε)＋（mA+ε）×ε= α ( ε ) → 0 由ε的任意性和定理 2.3.4 的 2〕知：A×B 可测。