[推荐学习]九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定同步练习新

第2课时正方形的判定知识点 1 用定义判定正方形
1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )
A．AB＝BD且AC⊥BD
B．∠A＝90°且AB＝AD
C．∠A＝90°且AC＝BD
D．AC和BD互相垂直平分
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．
知识点 2 利用菱形判定四边形是正方形
3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD
D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD
图1－3－17
4．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )
A．22.5°角B．30°角
C．45°角D．60°角
5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．
图1－3－18
知识点 3 利用矩形判定四边形是正方形
6．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)
7．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．
8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
图1－3－20
9．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形
B．对角线互相垂直的四边形
C．菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形
10．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
图1－3－22
11．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30 B．34 C．36 D．40
12．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
图1－3－23
13．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为N.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．
图1－3－24
14．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：
图1－3－25
如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC 交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？
图1－3－26
15．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．
(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；
(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；
(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．
图1－3－27
1．B 2.AB＝BC(答案不唯一)
3．D
4．C .
5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.
又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴FP＝PQ＝QE＝EF，
∴四边形PQEF是菱形．
∵△AFP≌△BPQ，
∴∠APF＝∠BQP.
∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形PQEF为正方形．
6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)
7．有一组邻边相等的矩形是正方形
8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．
9．D 10.D
11．B
12．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO .
又∵△ACE 是等边三角形， ∴EO ⊥AC ，即AC ⊥BD ， ∴四边形ABCD 是菱形．
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO .
又∵△ACE 是等边三角形， ∴EO 平分∠AEC ，
∴∠AED ＝12∠AEC ＝1
2×60°＝30°.
又∵∠AED ＝2∠EAD ， ∴∠EAD ＝15°，
∴∠ADO ＝∠EAD ＋∠AED ＝15°＋30°＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADC ＝2∠ADO ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形．
13．解：(1)证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠DAC .
∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAE ＝∠CAE ，
∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝1
2×180°＝90°.
又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°，
∴四边形ADCE 为矩形．
(2)当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 为正方形． 证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°.
∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠ACD ＝45°， ∴DC ＝AD .
又∵四边形ADCE 是矩形， ∴矩形ADCE 是正方形．
∴当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形．
14．解：(1)当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形． 理由：∵AE ∥DF ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 为平行四边形． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD ＝∠FAD . 又∵DE ∥AF ， ∴∠FAD ＝∠ADE ， ∴∠EAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，
∴平行四边形AEDF 为菱形．
(2)当∠BAC ＝90°时，菱形AEDF 是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形． 15．解：(1)当AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是矩形．
证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，G ，H 分别是BC ，AC 的中点， ∴EF ∥AB ，EF ＝1
2
AB ，
GH ∥AB ，GH ＝12
AB ，
FG ∥CD .
∴EF ∥GH ，EF ＝GH ，
∴四边形EFGH 是平行四边形．
∵AB ⊥CD ，
∴EF ⊥FG ，即∠EFG ＝90°，
∴四边形EFGH 是矩形．
(2)当AB ＝CD 时，四边形EFGH 是菱形．
证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，H ，G 分别是AC ，BC 的中点，
∴EF ＝12AB ，GH ＝12AB ，FG ＝12CD ，EH ＝12
CD . 又∵AB ＝CD ，
∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ，
∴四边形EFGH 是菱形．
(3)当AB ＝CD 且AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是正方形．
证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，
∴EF ∥AB ，EF ＝12
AB ， 同理，EH ∥CD ，EH ＝12CD ，FG ＝12
CD ， GH ＝12
AB .
∵AB ＝CD ，
∴EF ＝EH ＝GH ＝FG ，
∴四边形EFGH 是菱形．
∵AB ⊥CD ，
∴EF ⊥EH ，即∠FEH ＝90°，
∴菱形EFGH 是正方形．。