高中数学复习专题讲座(第22讲)关于求圆锥曲线方程的方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
下面将就几种常见的解决圆锥曲线问题的方法进行探讨。
一、几何法
对于一些简单的圆锥曲线问题，可以直接利用几何关系解决。
已知一个椭圆的焦点和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。
可以通过对称关系把问题转化为确定这个点关于焦点和对称轴的对称点在椭圆上的位置，然后再通过对称关系确定原点的位置。
二、代数法
代数法是解决圆锥曲线问题的一种常用方法，主要是通过代数方程进行推导和计算。
已知一个椭圆的方程和一个点在椭圆上，要求确定这个点在椭圆上的位置。
可以将已知点的坐标代入椭圆的方程，得到一个含有未知数的代数方程，然后通过求解这个代数方程确定未知数的值，从而确定这个点在椭圆上的位置。
解决圆锥曲线问题可以采用多种方法，包括几何法、代数法、参数法和几何与代数相结合法。
根据具体问题的特点和要求选择适当的方法，可以使解决问题更加简单、直观和高效。
对于复杂的问题，可能需要综合运用多种方法，甚至借助计算机辅助求解。
只有不断学习和实践，才能更好地掌握解决圆锥曲线问题的方法，提高解题能力。
圆锥曲线求方程方法总结
圆锥曲线求方程方法总结
圆锥曲线求方程的方法主要有以下几种：
1．定义法：根据椭圆的定义直接求解。
2．待定系数法：一般按步骤求出圆锥曲线的标准方程。
3．直接法：根据题目的条件，直接列出圆锥曲线的方程。
4．交轨法：先求出两曲线的交点轨迹方程，然后再利用椭圆、双曲线、圆的参数方程求解。
5．定义法求轨迹：根据题目的条件，利用已知的圆锥曲线的定义，直接求出轨迹方程。
6．直译法：将题目的条件翻译成数学表达式，然后再将表达式进行整理和化简。
7．参数法：利用参数方程，将题目的条件转化为参数方程，然后再进行求解。
8．交点法：将题目中的条件转化为交点坐标，然后再利用交点坐标求出轨迹方程。
9．定义法求曲线方程：根据题目条件，利用已知的圆锥曲线的定义，直接求出曲线方程。
10．相关点法：根据题目条件，利用已知的圆锥曲线的相关点，求出曲线方程。
圆锥曲线求解技巧
圆锥曲线求解技巧圆锥曲线是数学中重要的一个分支，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们都具有各自独特的性质和方程形式。
在求解圆锥曲线的问题时，有一些常见的技巧和方法可以帮助我们简化计算和理解问题。
下面是一些圆锥曲线求解技巧的介绍。
1. 几何特征：首先，了解每种圆锥曲线的几何特征是非常重要的。
圆是所有圆锥曲线中最简单的一种，其方程形式为x²+ y²= r²，其中r是圆的半径。
椭圆具有中心点和两个焦点，其方程形式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b是椭圆在x轴和y轴上的半径。
抛物线则有焦点和直线的焦点形式，其方程形式为y²= 4ax或x²= 4ay，其中a是抛物线的焦距。
双曲线也有焦点和直线的形式，其方程形式为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(y - k)²/b² - (x - h)²/a² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b 是双曲线在x轴和y轴上的半径。
2. 参数化表示：参数化是一种将一个曲线表示为参数的函数的方法。
通过引入新的参数，我们可以简化对曲线的表示和求解。
例如，对于椭圆，我们可以引入参数化坐标x = a cosθ和y = b sinθ，其中a和b是椭圆的半径。
这样，我们可以将椭圆的方程简化为极坐标形式r = a(1 - e²)/(1 + e cosθ)，其中e是椭圆的离心率。
同样地，对于抛物线，我们可以引入参数化坐标x = at²和y = 2at。
通过参数化，我们可以更容易地计算和理解曲线的性质。
3. 极坐标表示：极坐标是一种将点表示为距离和角度的方式。
对于圆锥曲线，极坐标表示是很有用的，特别是当涉及到对称性和角度的问题时。
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解解题技巧利用参数方程求解圆锥曲线圆锥曲线是数学中重要的曲线类型之一，在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
解决圆锥曲线的问题时，常常需要利用参数方程来求解。
参数方程可以将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式，进而简化问题的求解过程。
下面将介绍一些常见的圆锥曲线问题，并讲解利用参数方程进行解答的技巧。
1. 圆锥曲线的参数方程表示圆锥曲线的参数方程表示为：x = x(t)y = y(t)其中，x(t)和y(t)分别是x轴和y轴上的坐标，t是参数。
通过参数方程，我们可以得到曲线上各点的坐标，从而对其性质和特点进行研究。
2. 求圆锥曲线上的特定点利用参数方程，我们可以求解圆锥曲线上的特定点坐标。
以椭圆为例，其参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
通过选取合适的参数t，我们可以计算出椭圆上的各个点的坐标。
3. 求圆锥曲线的切线和法线参数方程还可以用来求解圆锥曲线上某一点的切线和法线。
对于曲线上任意一点P（x0，y0），其切线的斜率由参数方程导数dy/dx决定：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)通过求解dy/dx的值，并代入点P的坐标，可以得到切线的斜率。
进一步地，我们可以利用切线斜率和点P的坐标，得到切线的方程。
法线是与切线垂直的线段，其斜率是切线斜率的倒数的负数。
再利用点P的坐标，我们可以求解法线的方程。
4. 求圆锥曲线的弧长和曲率通过参数方程，我们还可以求解圆锥曲线上两点间的弧长。
弧长的计算公式为：L = ∫sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt其中，dx/dt和dy/dt分别是参数方程x(t)和y(t)的导数。
通过计算弧长，我们可以获得曲线上两点之间的路径长度。
曲率是指圆锥曲线在某一点处的弯曲程度。
其计算公式为：k = |(dy/dt * d^2x/dt^2 - dx/dt * d^2y/dt^2) / ((dx/dt)^2 +(dy/dt)^2)^(3/2)|通过计算曲率，我们可以了解曲线在某一点处的弯曲情况，并作进一步的分析和研究。
高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析
高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析解圆锥曲线方程是高中数学中的重要内容之一。
在本文中，我将介绍解圆锥曲线方程的方法和实例分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
解圆锥曲线方程的关键是确定曲线的形状和位置，以及找到曲线上的特殊点。
下面我将分别介绍解椭圆、双曲线和抛物线方程的方法，并通过具体题目进行分析。
一、解椭圆方程的方法和实例分析椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示椭圆的半长轴和半短轴。
解椭圆方程的关键是确定椭圆的半长轴和半短轴，以及椭圆的中心坐标。
我们可以通过以下步骤进行解题：1. 比较给定方程与一般方程的形式，确定$a$和$b$的值。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，比较可知$a=2$，$b=3$。
因此，椭圆的半长轴为2，半短轴为3。
2. 确定椭圆的中心坐标。
椭圆的中心坐标为$(h, k)$，其中$h$和$k$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的坐标。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，可知椭圆的中心坐标为$(0, 0)$。
3. 确定椭圆的形状和位置。
$a>b$时，椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴；当$a<b$时，椭圆的长轴平行于$y$轴，短轴平行于$x$轴。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，由于$a=2>b=3$，所以椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴。
通过以上步骤，我们可以得到椭圆的形状、位置和中心坐标。
进一步地，我们可以通过计算椭圆上的特殊点，如焦点、顶点等，来进一步分析和应用椭圆的性质。
二、解双曲线方程的方法和实例分析双曲线的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示双曲线的半长轴和半短轴。
圆锥曲线的解题方法
圆锥曲线的解题方法圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它涵盖了圆、椭圆、双曲线和抛物线等形态。
在解题时，我们需要了解每种圆锥曲线的特点，并熟悉解析几何中的基本公式和性质。
本文将详细介绍圆锥曲线的解题方法，包括定义、方程形式、基本性质和解题技巧等内容，希望能对读者的学习和应用提供帮助。
一、圆锥曲线的概念和方程形式圆锥曲线是由一个平面与一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)相交所得到的曲线。
它根据平面与准线的位置关系可以分为四种形态：圆、椭圆、双曲线和抛物线。
1.圆：当平面与准线相交于准线上的一个点时，所得到的曲线为圆。
2.椭圆：当平面与准线相交于两个不同点时，所得到的曲线为椭圆。
椭圆的一个特点是焦点到准线上任意一点的距离之和是一个常数，称为椭圆的半长轴；而焦点到准线的垂直距离之和是一个常数，称为椭圆的半短轴。
3.双曲线：当平面与准线相交于两个相异实点或两个虚点时，所得到的曲线为双曲线。
双曲线的一个特点是焦点到准线上任意一点的距离之差是一个常数，称为双曲线的焦距；而焦点到准线的垂直距离之差是一个常数，称为双曲线的准线间距。
4.抛物线：当平面与准线相交于一个点且平行于焦准线时，所得到的曲线为抛物线。
抛物线的一个特点是焦点到准线上任意一点的距离等于焦点到焦准线的垂直距离。
根据圆锥曲线的定义和形态特点，我们可以得到其标准方程形式如下：1.圆的方程：(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。
2.椭圆的方程：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，当椭圆的长轴平行于x轴时；(x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1，当椭圆的长轴平行于y轴时。
3.双曲线的方程：(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，当双曲线的准线平行于x轴时；(y-k)²/b²-(x-h)²/a²=1，当双曲线的准线平行于y轴时。
圆锥曲线的解题方法
圆锥曲线的解题方法圆锥曲线是由一个点（焦点）和一条直线（直接rixian）固定的比例关系确定的几何图形。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。
解题方法通常包括以下几个步骤：1.通过已知条件确定圆锥曲线的方程形式。
2.根据方程形式求曲线的基本性质。
3.分析曲线在平面内的位置。
4.求解特定问题或条件下的未知量。
下面将详细介绍每个步骤的具体方法。
第一步：通过已知条件确定圆锥曲线的方程形式在解题前，我们需要先了解圆锥曲线的方程形式。
椭圆的方程形式是(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，抛物线的方程是y=ax²+bx+c，双曲线的方程形式是(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1根据题目所给的已知条件，我们可以通过将已知点代入方程或通过几何性质推导来确定方程形式。
第二步：根据方程形式求曲线的基本性质求解圆锥曲线的基本性质包括确定焦点、准线、顶点、离心率等。
对于任意给定的方程，可以通过系数的比较或将方程化为标准形式来确定这些性质。
例如对于椭圆，我们可以通过比较方程的分子分母系数来找到焦点和准线的位置。
焦点的坐标为(h±ae, k)，准线的方程为x=h±a/e。
顶点的位置可以通过移项和配方得到。
离心率可以通过方程中a、b的比值来确定。
类似地，对于抛物线，我们可以通过方程的系数来确定焦点、准线和顶点的位置。
焦点的坐标为(h,k+p/a)，准线的方程为y=k-p，顶点的坐标为(h,k)。
对于双曲线，我们可以通过方程中a、b的比值来确定焦点、准线和顶点的位置。
焦点的坐标为(h±ae，k)，准线的方程为y=k±a/e，顶点的位置可以通过移项和配方得到。
离心率可以通过方程中a、b的比值来确定。
第三步：分析曲线在平面内的位置确定了曲线的基本性质后，我们可以进一步分析曲线在平面内的位置关系。
2024圆锥曲线大题计算方法
2024圆锥曲线大题计算方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。
本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。
一、圆锥曲线方程求解方法1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。
在求解过程中，注意运用以下方法：（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。
2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。
二、直线与圆锥曲线交点求解方法1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。
注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。
2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交点坐标。
在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。
三、中点问题求解方法1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。
2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。
四、实例解析以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。
1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。
2.直线与椭圆交点求解：过点P(2, 1)的直线l与椭圆E交于不同的两点C、D，运用代入法或联立方程组法求解交点坐标。
3.中点判断：根据调和线束的中点性质，判断点N是否为线段CM的中点。
五、总结在解决圆锥曲线大题时，掌握以下方法有助于提高解题效率：1.熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；2.学会运用画图、特值法、变换主元与换元法、整体消元法等简化计算；3.熟悉中点问题的求解方法，特别是调和线束的中点性质；4.注重实际操作，多做题，积累解题经验。
圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧之参数方程的运用如何通过参数方程解决圆锥曲线问题圆锥曲线是数学中的一个重要概念，涉及到许多解题技巧和方法。
其中，参数方程是解决圆锥曲线问题的一种有效途径。
本文将探讨如何通过参数方程来解决圆锥曲线问题，并讨论一些常见的参数方程运用技巧。
一、参数方程的基本概念参数方程是用参数表示自变量和因变量之间的关系的方程。
在圆锥曲线中，我们可以使用参数方程将自变量（通常用参数t表示）与因变量（例如x和y）表示的关系联系起来。
通过引入参数，我们可以简化对曲线的描述和计算，从而更方便地解决问题。
二、参数方程解决圆锥曲线问题的步骤通过参数方程解决圆锥曲线问题，一般需要经过以下几个步骤：1. 确定参数的范围：首先，需要确定参数的取值范围，通常通过题目中给出的条件进行限定。
例如，要求参数t在区间[0,2π)内取值。
2. 寻找参数与自变量之间的关系：其次，需要确定自变量（例如x 和y）与参数t之间的关系。
这一步可以通过直接给出参数方程或者通过已知条件与参数方程的关系来推导得到。
3. 消去参数得到方程：通过已知条件和参数方程的关系，我们可以消去参数，从而得到只涉及自变量的方程。
消去参数的过程通常是通过代数运算来完成的。
4. 分析并解决问题：最后，根据已经得到的方程，可以进行进一步的分析和解决问题。
这一步可以通过几何和代数方法相结合，根据需要进行计算和推导，得到问题的解答。
三、参数方程的运用技巧在通过参数方程解决圆锥曲线问题时，可以运用一些技巧来简化计算和分析过程。
以下是一些常见的参数方程运用技巧：1. 参数代换：有些圆锥曲线问题中，可以通过适当的参数代换来简化参数方程。
例如，当遇到椭圆或双曲线的参数方程中包含平方项并且系数相等时，可以通过合适的代换将其转化为标准形式。
2. 对称性利用：在分析参数方程时，可以利用曲线的对称性来简化计算和推导。
对称性可以是关于x轴、y轴或原点的对称性。
通过观察曲线的对称性，可以推断出曲线的性质，从而进行进一步的分析。
高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法
高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，要紧考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类咨询题，除要求同学们熟练把握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称咨询题、弦长咨询题、最值咨询题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类咨询题常用定义法和待定系数法 重难点归纳一样求曲线类型的曲线方程咨询题，可采纳〝先定形，后定式，再定量〞的步骤定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置 定式——依照〝形〞设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)定量——由题设中的条件找到〝式〞中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典型题例示范讲解 例1某电厂冷却塔的外形是如下图的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程命题意图 此题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际咨询题的能力知识依靠 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析 建立恰当的坐标系是解决此题的关键 技巧与方法 此题是待定系数法求曲线方程解 如图，建立直角坐标系xOy ,使AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴设双曲线方程为2222by a x =1(a ＞0,b ＞0),那么a =21AA ′=7又设B (11,y 1),C (9,x 2)因为点B 、C 在双曲线上，因此有B B '179,17112222222122=-=-by b y 由题意，知y 2－y 1=20,由以上三式得 y 1=－12,y 2=8,b =72故双曲线方程为984922y x -=1 例2过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程命题意图 此题利用对称咨询题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强知识依靠 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线咨询题，对称咨询题错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称咨询题是解决好此题的关键技巧与方法 此题是典型的求圆锥曲线方程的咨询题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式 解法二，用韦达定理解法一 由e =22=a c ,得21222=-ab a ,从而a 2=2b 2,c =b 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上那么x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x 0,y 0),那么k AB =－002y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,因此－2y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=89,1692=a ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1解法二 由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,那么x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =2212k k+ 直线ly =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),那么2222122121k k k k +⋅=+-,解得k =0，或k =－1假设k =0,那么l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点确实是F 点本身，不能在椭圆C 上，因此k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一例3如图，△P 1OP 2的面积为427，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程命题意图 此题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析咨询题、解决咨询题的能力知识依靠 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是此题的关键，正确地表示出△P 1OP 2的面积是学生感到困难的技巧与方法 利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建P 1立关于参数a 、b 的两个方程，从而求出a 、b 的值解 以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系设双曲线方程为2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ，得3=a b∴两渐近线OP 1、OP 2方程分不为y =23x 和y =－23x 设点P 1(x 1,23x 1),P 2(x 2,－23x 2)(x 1＞0,x 2＞0),那么由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2,得P 点坐标为(22,322121x x x x -+),又点P 在双曲线222294a y a x -=1上，因此222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1,即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①,427131241321sin ||||211312491232tan 1tan 2sin 21349||,21349||212121*********212121121=⋅⋅=⋅⋅=∴=+⨯=+==+==+=∆x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2=29② 由①、②得a 2=4,b 2=9故双曲线方程为9422y x -=1 例4 双曲线2224b y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，那么b 2=_________解析 设F 1(－c ,0〕、F 2(c ,0)、P (x ,y ),那么 |PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2),即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317, 又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1答案 1 学生巩固练习1 直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，假设OP ⊥OQ ，那么m 等于( )A 3B －3C 1D －12 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，那么椭圆方程为( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x3 直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，假设过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________4 圆过点P (4，－2)、Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，那么该圆的方程为_________5 椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=3104，试求椭圆的方程6 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长7 圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C 2的方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0)，C 2的离心率为22，假如C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程参考答案:1 解析 将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得(3－2y )2+y 2+(3－2y )+m =0整理得5y 2－20y +12+m =0,设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)那么y 1y 2=512m+,y 1+y 2=4 又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上，∴x 1x 2=(3－2y 1)(3－2y 2)=4y 1y 2－6(y 1+y 2)+9故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6(y 1+y 2)+9=m －3=0，故m =3 答案 A2 解析 由题意，可设椭圆方程为 2222bx a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250bx b y ++=1 将直线3x －y －2=0代入，整理成关于x 的二次方程 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75 答案 C3 解析 所求椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P 使|PF 1|+|PF 2|最小，利用对称性可解 答案 4522y x +=1 4 解析 设所求圆的方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2那么有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(r a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程答案 x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=05 解 |MF |max =a +c ,|MF |min =a －c ,那么(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2,∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y a x ①设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m ② 将②代入①得 (4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0 ③设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0),那么x 0=21(x 1+x 2)=224a m a +,y 0=－x 0+m =244am + 代入y =x ,得222444a ma m a +=+, 由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244aa +, 又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为4522y x +=1 6 解 以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分不为(－10，－4〕、(10，－4〕设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p =12 5,因此抛物线方程为x 2=－25y 由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0 16,从而|EE ′|=(－0 16)－(－4)=3 84 故最长支柱长应为3 84米7 解 由e =22,可设椭圆方程为22222by b x +=1,又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),那么x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又2222222212212,12b y b x b y b x +=+=1,两式相减，得22221222212byy b x x -+-=0, 即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3,代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ，解得b 2=8 故所求椭圆方程为81622y x +=1 课前后备注。
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型一、解圆锥曲线问题常用的八种方法：1.直线的交点法：利用直线与圆锥曲线的交点来解题，求出直线与曲线的交点坐标，从而得到问题的解。
该方法适用于直线与圆锥曲线有交点的情况。
2.过顶点的直线法：通过过顶点的直线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，过顶点的直线与圆锥曲线有两个交点，利用这两个交点可以得到问题的解。
3.平行线法：对于平行线与圆锥曲线的交点性质进行分析，可以得到问题的解。
一般情况下，平行线与圆锥曲线有两个交点，通过求解这两个交点可以得到问题的解。
4.切线法：利用切线与圆锥曲线的交点性质来解题。
一般情况下，切线与圆锥曲线有一个交点，通过求解这个交点可以得到问题的解。
5.对称法：通过对称性质，将圆锥曲线转化为标准形式或特殊形式，从而简化问题的求解过程。
6.几何平均法：利用几何平均的性质，将圆锥曲线的方程进行变换，从而得到问题的解。
7.参数方程法：通过给定的参数方程，求解参数，从而得到与曲线相关的问题的解。
8.解析几何法：通过解析几何的方法，将问题抽象为代数方程，从而求解问题。
二、解圆锥曲线问题常规题型：1.已知曲线方程，求曲线的性质：如给定椭圆的方程，求椭圆的长短轴、焦点、离心率等。
2.已知曲线性质，求曲线方程：如给定一个椭圆的长短轴、焦点、离心率等，求椭圆的方程。
3.已知曲线方程和一个点，判断该点是否在曲线上：如给定一个椭圆的方程和一个点P，判断点P是否在椭圆上。
4.已知曲线方程和一个直线，判断该直线是否与曲线有交点：如给定一个椭圆的方程和一条直线L，判断直线L是否与椭圆有交点。
5.已知曲线方程和一个点，求该点到曲线的距离：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P到椭圆的距离。
6.已知曲线方程和一个点，求该点在曲线上的切线方程：如给定一个椭圆的方程和一个点P，求点P在椭圆上的切线方程。
7.已知曲线方程和两个点，求该曲线上两点之间的弧长：如给定一个椭圆的方程和两个点A、B，求椭圆上从点A到点B的弧长。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
一、几何方法
1. 求解圆锥曲线方程
求解圆锥曲线方程是解决圆锥曲线问题的基础。
在已知圆锥曲线焦点、直线方程等条
件下，可以通过求解圆锥曲线标准方程来解决问题。
2. 利用焦点性质
圆锥曲线的焦点是曲线的一个重要属性。
在一些问题中，可以利用焦点性质解决问题。
比如，已知椭圆的一个焦点和对应的直线方程，求另一个焦点的坐标。
二、代数方法
解方程是代数解决圆锥曲线问题的一种常见方法。
利用圆锥曲线方程，我们可以列出
一系列方程。
根据问题的条件，我们可以通过解方程来求解circumstances answers。
2. 矩阵法
矩阵法是一种较为高级和复杂的代数方法，它利用矩阵的运算来解决问题。
对于一个
标准的圆锥曲线方程，可以将它转化为矩阵形式，从而通过矩阵的运算，快速求得问题的
答案。
3. 极坐标法
极坐标法是解决圆锥曲线问题的另一种代数方法。
将圆锥曲线表示为极坐标方程，我
们可以通过极坐标方程的性质快速求解问题。
总之，圆锥曲线问题的解决方法多种多样，既有基于几何的方法，也有基于代数的方法。
不同的问题需要根据不同的条件选择不同的方法，从而得到最优的解决方案。
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法
浅谈解决圆锥曲线问题的几种方法圆锥曲线问题是高中数学中比较重要的一种问题。
解决圆锥曲线问题需要掌握一定的数学知识和技巧。
本文将从几种不同的角度介绍解决圆锥曲线问题的几种方法。
一、代数法代数法是解决圆锥曲线问题较为基础的一种方法。
对于给定的圆锥曲线，我们可以采用代数方式将其表示出来，然后通过对代数式进行化简、拆分等运算来求解问题。
以椭圆为例，设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
若已知椭圆的长半轴和短半轴分别为5和3，求椭圆的周长和面积。
解题思路：首先，根据椭圆的方程，可以得到：周长：$C=4aE(\frac{b^2}{a^2})$面积：$S=\pi ab$其中，E是椭圆的第二类完全椭圆积分。
代入已知数据，可以得到：周长：$C=4\times 5E(\frac{9}{25})\approx 20.0124$面积：$S=\pi\times 5\times 3\approx 47.1239$二、几何法解题思路：首先，根据双曲线的性质，可以得到：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$其次，根据题意，双曲线的长轴长度为6，所以有：$2a=6$即：$a=3$又因为焦点为(-3,0)，(3,0)，所以有：$2c=6$即：$c=3$将已知数据代入公式，可以得到：$b^2=c^2-a^2=9-9=0$所以：离心率：$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+0}=1$三、投影法以抛物线为例，设抛物线的方程为：$y^2=4px$其中，p为抛物线焦点到抛物线的顶点的距离。
若已知抛物线焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，求抛物线的焦距和面积。
其次，根据题意，抛物线的焦点为(0,2)，顶点为(0,0)，所以有：$p=2$四、向量法以圆为例，设圆的方程为：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$其中，(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
高中数学圆锥曲线解题方法归纳
高中数学圆锥曲线解题方法归纳圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线通常通过平面截取圆锥的不同部分来形成。
为了更好地理解和解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解题方法。
1. 定义法：根据圆锥曲线的定义来解题。
例如，椭圆和双曲线的定义是两个焦点到曲线上任一点的距离之和或差为一个常数。
抛物线的定义是一个点到固定点（焦点）和固定直线（准线）的距离相等。
2. 参数方程法：对于一些复杂的圆锥曲线问题，我们可以使用参数方程来表示曲线上点的坐标。
这样可以将几何问题转化为代数问题，便于计算。
3. 切线法：对于一些与圆锥曲线切线相关的问题，我们可以使用切线性质来解题。
例如，切线到曲线上任一点的距离在切点处达到最小值。
4. 极坐标法：将问题转化为极坐标形式，利用极坐标的性质来解题。
例如，在极坐标下，距离和角度的关系可以简化为数学表达式。
5. 几何法：利用圆锥曲线的几何性质来解题。
例如，椭圆的焦点到椭圆中心的距离等于椭圆上任一点到椭圆中心的距离减去椭圆半径。
6. 代数法：通过代数运算来解题。
例如，解联立方程来找到满足多个条件的点的坐标。
7. 数形结合法：结合图形和数学表达式来解题。
通过观察图形，可以更好地理解问题的本质，从而找到合适的解题方法。
以上是高中数学中圆锥曲线解题的一些基本方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体问题选择合适的方法。
同时，这些方法也不是孤立的，有时需要综合运用多种方法来解决一个复杂的问题。
通过大量的练习和总结，我们可以提高解决圆锥曲线问题的能力。
圆锥曲线的解题方法
圆锥曲线的解题方法导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。
过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。
第一、圆锥曲线的解题方法：一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。
例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2、求动点P的轨迹方程。
解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。
（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。
（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。
例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。
解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。
解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。
二、圆锥曲线最值问题（1）化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。
例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。
解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。
（2）利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。
圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法
圆锥曲线解题技巧综合运用不同解题方法圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，经常在各类考试中出现。
掌握圆锥曲线的解题技巧，可以帮助我们高效解答题目。
本文将介绍几种常见的圆锥曲线解题方法，并综合运用它们来解决各类题目。
一、直接法直接法是最常用的解题方法之一，它适用于给定了圆锥曲线的方程，要求我们找出特定点或确定一些性质的情况。
以二次曲线为例，我们可以通过将方程标准化，然后研究其各项系数的符号、平方项的系数与常数项的关系等来推导出特定点的坐标、曲线的类型等信息。
二、参数法参数法常用于求解曲线上的点的坐标或曲线的方程。
当我们遇到较复杂的曲线方程，难以直接分析时，可以通过引入参数的方法，将曲线的方程转化为参数方程进行处理。
例如，对于椭圆和双曲线，我们可以通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。
设参数为θ，则椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ；双曲线的参数方程为x=asecθ，y=btanθ。
通过选取不同的参数值，我们可以得到曲线上的不同点，进而求解问题。
三、几何法几何法是通过几何图形的性质来解决问题的方法。
在圆锥曲线的学习过程中，我们会学到各种曲线的几何性质，如椭圆的离心率、焦点定理、双曲线的渐近线等。
利用这些性质，我们可以通过绘制几何图形，运用几何关系来解决问题。
四、导数法导数法常用于求解曲线的切线、法线以及曲率等问题。
对于给定的曲线方程，我们可以通过求导数来得到曲线的斜率，从而得到切线或法线的方程。
同时，导数还可以帮助我们研究曲线的凸凹性、极值等性质，进一步推导出曲线的特点。
五、解析法解析法是一种基于代数分析的方法，适用于较复杂的曲线方程求解。
通过对方程进行代数运算、化简等操作，我们可以得到曲线的一些基本性质或特定点的坐标。
在解析法中，我们常用的技巧包括配方法、消元法、代入法等，根据方程的特点和题目要求来灵活选择合适的方法。
此外，还需要注意方程中的各项系数和常数项之间的关系，以便得到准确的解答。
高中数学解题技巧之圆锥曲线方程求解
高中数学解题技巧之圆锥曲线方程求解圆锥曲线方程是高中数学中的一个重要知识点，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的圆锥曲线方程求解方法，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。
一、椭圆方程求解椭圆方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴。
例题1：求椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率。
解析：根据椭圆方程的一般形式，我们可以得到$a=2$和$b=3$。
离心率的定义是$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，代入$a$和$b$的值计算得到$e=\sqrt{1-\frac{9}{4}}=\frac{1}{2}$。
因此，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$。
考点：椭圆方程的一般形式，离心率的计算公式。
二、双曲线方程求解双曲线方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线的长半轴和短半轴。
例题2：求双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的渐近线方程。
解析：根据双曲线方程的一般形式，我们可以得到$a=3$和$b=2$。
双曲线的渐近线方程有两种情况：1. 当$a>b$时，渐近线方程为$y=\pm\frac{b}{a}x$。
代入$a$和$b$的值计算得到渐近线方程为$y=\pm\frac{2}{3}x$。
2. 当$a<b$时，渐近线方程为$x=\pm\frac{a}{b}y$。
代入$a$和$b$的值计算得到渐近线方程为$x=\pm\frac{3}{2}y$。
考点：双曲线方程的一般形式，渐近线方程的求解方法。
三、抛物线方程求解抛物线方程一般形式为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。
例题3：已知抛物线$y=2x^2-4x+1$的顶点坐标为$(1,-1)$，求抛物线的焦点坐标。
圆锥曲线中的计算方法与技巧
专题一 圆锥曲线中の计算方法与技巧高考中，圆锥曲线解题の一般思路:第一步：联立直线与圆锥曲线の方程。
也就是说，把直线代入圆锥曲线。
一般情况下，我们会得到一个“一元二次方程”。
但要注意：特殊情况下，我们所得到の不是一个一元二次方程。
比如，当直线与双曲线の渐近线平行时，我们此时联立直线与圆锥曲线之后所得到の一元二次方程の二次项系数为零，此时它显然不会是一元二次方程，这一点在做题时要慎重考虑。
当得到了一元二次方程后，我们先算△，再由韦达定理（即根与系数关系）算出，，这里，12x x +12x x 12x x +12x x 一般为含参数の表达式。
第二步：列方程或不等式，求出上述表达式中の所有参数，从而得到问题の解决。
这里，通过列方程或不等式求出参数或参数范围の方法有以下几种： （i ） 交点，中点（与交点有关の，需要列出△の表达式；与中点有关の，需要列出の表达式）122x x+（ii ） 向量化为坐标表示法。
例如若题设条件告知直线与圆锥曲线の两个交点A,B 与坐标原点O 具有关系O A ⊥OB,则有OAOB=0，通过设,,我们可得到关系式()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=（iii ） 弦长公式法。
弦长公式2AB x =-（iv ）非对称式消元法。
一般地，对于这种非对称形式の式子，12(,)0f x x =我们统一考虑韦达定理及题给条件用代入消元法求解此类问题。
例如若题设条件有关于の表达式，则我们可利用代入消元法求解此122x x +类问题。
具体方法是：列出如下方程121212?(1)?(2)2?(3)x x x x x x +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩（3）—（1）可得；代入（1）可得；再把得到の代入（2）即可求得2x 1x 12,x x 未知参数。
（这里の“？”表示含有未知参数の代数式）下面，我们以一个一般问题说明一下圆锥曲线中の计算技巧。
联立双曲线与直线の方程，得（＊）22221x y a b y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩第一个技巧：无论题给直线多么复杂，我们一定要把它写成の形式。
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题目高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法 高考要求求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法 重难点归纳一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小典型题例示范讲解 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A 、A ′是双曲线的顶点，C 、C ′是冷却塔上口直径的两个端点，B 、B ′是下底直径的两个端点，已知AA ′=14 m ，CC ′=18 m,BB ′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法 本题是待定系数法求曲线方程解 如图，建立直角坐标系xOy ,使AA ′在x 轴上，AA ′的中点为坐标原点O ，CC ′与BB ′平行于x 轴设双曲线方程为2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0),则a =21AA ′=7又设B (11,y 1),C (9,x 2)因为点B 、C 在双曲线上，所以有179,17112222222122=-=-by b y B B '由题意，知y 2－y 1=20,由以上三式得 y 1=－12,y 2=8,b =72故双曲线方程为984922y x -=1 例2过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =21x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程命题意图 本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强知识依托 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题错解分析 不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键技巧与方法 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式 解法二，用韦达定理解法一 由e =22=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－002y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=21x 0,于是－2y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),⎩⎨⎧-='='⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++'-='=-''b y x b x y bx y 11 1221解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=89,1692=a ∴所求椭圆C 的方程为2291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1 解法二 由e =21,22222=-=ab a ac 得,从而a 2=2b 2,c =b 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则x 1+x 2=22214kk +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =2212k k + 直线l y =21x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +⋅=+-,解得k =0，或k =－1若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一例3如图，已知△P 1OP 2的面积为427，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程 命题意图 本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力知识依托 定比分点坐标公式；三角形的面积公式；以及点在曲线上，点的坐标适合方程错解分析 利用离心率恰当地找出双曲线的渐近线方程是本题的关键，正确地表示出△P 1OP 2的面积是学生感到困难的技巧与方法 利用点P 在曲线上和△P 1OP 2的面积建立关于参数a 、b 的两个方程，从而求出a 、b 的值解 以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图的直角坐标系 设双曲线方程为2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)P 1由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ，得3=a b ∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－23x 设点P 1(x 1,23x 1),P 2(x 2,－23x 2)(x 1＞0,x 2＞0),则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP P P =2,得P 点坐标为(22,322121x x x x -+),又点P 在双曲线222294a y a x -=1上，所以222122219)2(9)2(ax x a x x --+=1, 即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①,427131241321sin ||||21131241232tan 1tan 2sin 21349||,21349||212121*********212121121=⋅⋅=⋅⋅=∴=+⨯=+==+==+=∆x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又 即x 1x 2=29 ②由①、②得a 2=4,b 2=9故双曲线方程为9422y x -=1 例4 双曲线2224b y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________解析 设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ),则 |PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317, 又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1答案 1 学生巩固练习1 已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则m 等于( )A 3B －3C 1D －12 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 3 直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________4 已知圆过点P (4，－2)、Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________5 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=3104，试求椭圆的方程 6 某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长7 已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C 2的方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0)，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程 参考答案:1 解析 将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0,得(3－2y )2+y 2+(3－2y )+m =0整理得5y 2－20y +12+m =0,设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)则y 1y 2=512m+,y 1+y 2=4 又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上，∴x 1x 2=(3－2y 1)(3－2y 2)=4y 1y 2－6(y 1+y 2)+9故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6(y 1+y 2)+9=m －3=0，故m =3 答案 A2 解析 由题意，可设椭圆方程为 2222bx a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250b x b y ++=1将直线3x －y －2=0代入，整理成关于x 的二次方程 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75 答案 C3 解析 所求椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P 使|PF 1|+|PF 2|最小，利用对称性可解 答案 4522y x + =1 4 解析 设所求圆的方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(r a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程答案 x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=05 解 |MF |max =a +c ,|MF |min =a －c ,则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2,∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y ax ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m ②将②代入①得 (4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0 ③设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0),则x 0=21(x 1+x 2)=224a m a +,y 0=－x 0+m =244a m +代入y =x ,得222444a ma m a +=+, 由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244aa +, 又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为 4522y x + =1 6 解 以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p =12 5,于是抛物线方程为x 2=－25y 由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0 16,从而|EE ′|=(－0 16)－(－4)=3 84 故最长支柱长应为3 84米7 解 由e =22,可设椭圆方程为22222by b x +=1,又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又2222222212212,12b y b x b y b x +=+=1,两式相减，得22221222212byy b x x -+-=0, 即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3,代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x , 得3209722422=-⋅b ，解得b 2=8 故所求椭圆方程为81622y x +=1 课前后备注。