运筹学课件 图与网络分析)2-2

1
v3
7
3 3
v6
8
6
v7
v4
5
v5
8 -2-7
最短路性质
设有向图 D = ( V , A )，若D中的一条路 Pi i = ( v , v , … , v )
1 k
是一条从 v i1 到 v ik 的最短路，则其中任一条子路 P = ( v , v , … , v , v ) , (r =1~k-1,s =2~k )
2013-8-21 8 -2-5
8.4.2 最短路问题
给定一个赋权有向图， 即给了一个有向图 D = ( V , A )，对每一条弧 a = (vi , vj )，相应地有权 w ( a ) = wij。又给定 D 中的两个顶点vs , vt ，设 P
是D 中从 vs 到 vt 的一条路，定义路 P 的权是 P 中
i1 i k
i1
i2
ik
是从 v i 到 v i 的最短路(最短路的子路必是最短路)。 r s
ir
ir+1
is-1
is
vi
1
vi
2
vi
v
r
ir +1
v
is -1
8 -2-8
vi
v
s
ik-1
vi
k
2013-8-21
8.4.3 最短路算法
2013-8-21
8 -2-9
Dijkstra 算法
适用条件：弧 a = (vi , vj )的权wij≥ 0的赋权有 向图，边 e = [vi , vj ]的权wij≥ 0的赋权无向图。在 这种情况下，图中任一条路的权不小于其子路的 权。
有向图及其基础图
v2 v5 v2 v5
v1
v3
v6
v8 v1
v3
v6
v8
v4
v7
v4
v7
2013-8-21
8 -2-4
路与回路
给出 D 中的一个点、弧交替序列 vi , ai , vi , ai , … , v i , a i , vi
1 1 2 2 k-1 k-1
k
如果这个序列在基础图 G( D ) 中所对应的点、边 序列是一条链，则称这个点、弧交替序列是 D 的 一条链。类似定义圈和初等链(圈)。 如果 ( v i , a i , v i , ai , … , v i , a i , v i ) 1 1 2 2 k-1 k-1 k 是D 的一条链，并且对 t =1 , 2 , … , k-1，均存在 ai = ( v i , vi )，称之为从 vi 到 vi 的一条路。 t 1 1 t+1 k 若路的起点和终点相同，则称之为回路。类似定 义初等路(回路)。
所有弧的权之和，记为 w(P)。 最短路问题就是要在所有从 vs 到 vt 的路中求 一条权最小的路P0，路P0 的权称为从 vs 到 vt 的距 离，记为 d = (vs , vt )。
2013-8-21 8 -2-6
引例
已知如下图所示的单行线交通网，
v2 9 2 v1 3
2013-8-21
2
5
2013-8-21 8 -2-16
v2 2 v1 3 5 v4 2 v3
9
8 v6 6
终点
v7
最短路的 权 最后一个 中间点
1
5
3
v5
3
8 最短路的
v2 v4 v3 v5 v6 v7
16 , v6
2 3 4 7 10 15
v1
v1 v1 v2 v3 v5 v5 v7
15 , v5
2013-8-21 8 -2-17
2013-8-21
v
vi
8 -2-19
路长标号
路径标号
(2 , 1)
2
v1
(0 , 0)
v2 5
2
v3 5
9
5,1
8 3 v5
, M
3
P 标号
v4
1
3
v6 6 , M 8
v7
, M
3,1 T 标号
2013-8-21
8 -2-20
路长标号
路径标号
, M
v2 2 v1
(0 , 0)
9 2
设 D = ( V , A )是一个有向图，对于 D 中的一条弧 a = (u , v )，称 u为 a 的始点、 v为 a 的终点，称弧 a 是从 u 指向 v 的。若
从 D 中去掉所有弧上的箭头，就得到一个 类似于无向图，可以定义简单有向图、
多重有向图。
2013-8-21 8 -2-3
无向图，称之为 D 的基础图，记为 G( D )。
v4
1
3
v6 6 , M 8
v7
, M
, M
2,M , 1
2 v1
0 0) (0 ,, 0
v2
5
2
9
5 1 ,, M
3
2013-8-21
v4
1
v3 5
8
3
v5
3
8 -2-28
v6 6 , M 8
v7
, M
, 1 3,M
, M
(2 , 1) 2,1
2
v1
(0 , 0)
v3
, M
5,1 4,2
(4 , 2) 4 2
v4
, M
3,1 3 1 (3 ,, 1) -
v5
, M , M , M
8,4 7 3 (7 ,, 3)
v6
, M , M
11 , 2 11 , 2 11 , 2 10 . 5 (10 , 5)
v7
, M , M , M , M , M
(3 , 1) (2 , 1)
(7 , 3)
2 v1
(0 , 0)
v2 5
2
9
(4 , 2)
v6 8
(10, 5)
6
v7
（15 , 5）
3
2013-8-21
v4
1
v3 5
3
v5
3
8 -2-26
8
(3 , 1)
(7 , 3)
, M
2
v1
0,0
v2 5
2
v3 5
9
, M
8 3 v5
, M
3
v4
1
v3 5
3
v5
3
8 -2-30
8
(3 , 1)
7 3) (7 ,, 3
(2 , 1)
2
v1
(0 , 0)
v2 5
2
v3 5
9
(4 , 2)
v6
8
10 5 (10 , ,5)
6
v7
15 , 5
3
v4
1
3 v5
3
8
(3 , 1) (2 , 1)
(7 , 3)
2 v1
(0 , 0)
v2
5
2
9
(4 , 2)
1 (3 ,, 1) 3 M
, 3) (7 , 4 7 M 8 3
应用举例
例8.（书上例4） 设备更新问题。每年年初，要决定是购置新的，还 是继续使用旧的。 问题：如何制定一个几年内的设备更新计划，使得 总的支付费用最少。
2013-8-21
8 -2-35
购置年度 购置费用
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
11 0~1 5
11 1~2 6
12 2~3 8
8 -2-36
12 3~4 11
13 4~5 18
使用年数 维修费用
2013-8-21
网络模型的要素设置
用点 vi 代表第 i 年年初 i = 1 ~ 6 ; 用弧( vi , vj ) 表示第 i 年年初购买一台新设备用到 第 j 年年初报废 j = (i+1) ~ n ； 用弧的权 wij 作为设备的购置费与维修费之和
路径上溯
最短路的 终点 最短路的 权 最后一个 中间点
v2
9 2 v1 5 2 v3 7 3 5 v5 3
v2 v4 v3 v5 v6 v7
v6 8
8 -2-18
2 3 4 7 10 15
6
v1 v1 v2 v3 v5 v5
v7
3
2013-8-21
1
v4
Dijkstra 算法的程序
( i ) 令 k = 0, Sk= , T( vs )= 0 , ( vs )= 0 , 对每一个 vj = vs ,令 T( vj ) = +( vj )=M，转入( ii ) 。 ( ii ) 令T( v i k ) = min{ T( vj ) | vj Sk }。 若T( v ) < + ，则把 v i k 的 T 标号变为 P 标号 P( v ) ik ik = T( v i k ) ，令 Sk+1= Sk { v i k }。 若 Sk= V，计算终止，d(vs , vj ) = P( vj ) , vj Sk。 若 SkV，令 l = ik ，把 k 换成 k+1，转入( iii )。 若T( v ) = + ，计算终止。d (vs , vj ) = P( vj ) , vj Sk ; ik d (vs , vj ) = T( vj ) = + , vj Sk 。 ( iii ) 考查每个使( vl , vj )A 并且 vj Sk 的点 vj ，若T( vj ) > P( vl ) +wlj，则把 T( vj ) 修改为 P( vl ) +wlj，把 ( vj ) 修改 为 l，转入( ii ) 。