电磁场与电磁波第3章
3电磁场与电磁波-第三章new
对于体、 对于体、面、线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 线电荷的电位，可用场源积分法分别求得： 总结： 总结： 求解电场强度时， 求解电场强度时，可先求 电位函数， 电位函数，然后计算电 位函数的负梯度便得电 场强度E(r)。 场强度 。 可见电位的计算式简便得多(标 可见电位的计算式简便得多( 量积分) 再求场强时， 量积分)，再求场强时，微分 总是可计算的 也简单。 总是可计算的，也简单。
∮E.dl l
= 0
3.2.2
无旋场， 静电场为无旋场 静电场为无旋场， 一定是保守场 一定是保守场
3.2.11
因上式积分路径及面元是任意的， 因上式积分路径及面元是任意的，有： x E = 0
总结真空中静电场的基本方程(微分形式 为 总结真空中静电场的基本方程 微分形式)为： 微分形式
在场源变量ρ已知的情况下，通过D 在场源变量ρ已知的情况下，通过D0=ε0E， 联立求解上述两个矢量方程就能求得E 联立求解上述两个矢量方程就能求得E。 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 据亥姆霍兹定理：场可由散度与旋度共同确定， 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 只有在给定散度与旋度方程的条件下才能唯一的 的确定此矢量场。 的确定此矢量场。 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D 当电荷对称分布时，适当选取坐标系，可使D0 只有一个分量，且仅是坐标的函数， 或E只有一个分量，且仅是坐标的函数，则 E自动 =0，此时只要计算∮ ds=q即可得场解 即可得场解。 满足xE =0，此时只要计算∮D0.ds=q即可得场解。
R
3
4π
B(r ) =
0 I
4
∫ π
dl ′ X R
l
R3
> ε0 > 1/0 > 电荷 > 电流 > 标量源 > 矢量源 叉积
《电磁场与电磁波》第3章(3.2之后的章节)
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
13
恒定电场与静电场的比拟
静电场（ 区0域）
恒定电场（电源外）
基本方程 本构关系
位函数 边界条件
S D dS 0, C E dl 0
D 0, E 0
D E
E ,2 0
E1t E2t D1n D2n
1 2 ,
1
1 n
2
2 n
静电场
ED
对应物理量 恒定电场 E J
S J dS 0, C E dl 0
J 0, E 0
J E
E ,2 0
E1t E2t J1n J2n
1 2 ,
1
1 n
2
2 n
q C I G
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
14
3.2.3 漏电导
工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间， 填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金 属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时， 必定会有微小的漏电流 J 存在。
漏电流与电压之比为漏电导，即
G I U
其倒数称为绝缘电阻，即
l
ba
R 1 U GI
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
15
例3.2.2 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b， 长度为l ，其间媒质的电导率为σ、介电常数为ε。
解：1) 直接用恒定电场的计算方法
设由内导体流向外导体的电流为I。
• 导电媒质分界面上的电荷面密度
即 E1t E2t
媒质1
en 1
E1
1
媒质2
E2
电磁场与电磁波(西安交大第三版)第3章课后答案
第3章习题3-1 半径为a 的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率ω旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率ω旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为ϕωρρˆr v J s s s ==3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28105.8⨯个自由电子。
如果铜线的横截面为210cm ，电流为A 1500。
计算1） 电子的平均漂移速度； 2） 电流密度； 解：2）电流密度 m A S I J /105.11010150064⨯=⨯==- 1） 电子的平均漂移速度v J ρ= ， 3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρs m Jv /101.11036.1105.14106-⨯=⨯⨯==ρ3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。
解：电流面密度为 m A L I J S /7.1663.050μ=== 因为 v J S S ρ=2/33.8207.166m C v J S S μρ===3-4 如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，证明：0=∂∂+∇⋅+⋅∇tU U ρρρ解：如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为U Jρ=代入电荷守恒定律t J ∂∂-=⋅∇ρ得 0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρρρ 3-5 由m S /1012.17⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。
求两端面之间的电阻。
解：用两种方法（1）⎰⎰===21222)(tan zz z dz S dl R ασπσ)11()(tan 1212z z -=ασπ01.0202.0tan ==α题3.5图m r z .1001.0/1.0tan /11===α，m r z 1201.0/12.0tan /21===αΩ⨯=-⨯⨯⨯=-=--647212107.4)121101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为2r IS I J π==电场强度为 2r I J E πσσ== 电压为 dz z IEdz V z z z z ⎰⎰==21212)tan (σαπ ⎰==2122)(tan zz zdz I V R απσΩ⨯=-6107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。
电磁场与电磁波第三章习题及参考答案
第3章习题3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为ϕωρρˆr v J s s s ==3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28105.8⨯个自由电子。
如果铜线的横截面为210cm ，电流为A 1500。
计算 1） 电流密度；2） 电子的平均漂移速度； 解：1）电流密度m A S I J /105.11010150064⨯=⨯==- 2) 电子的平均漂移速度 v J ρ=，3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρs m J v /101.11036.1105.14106-⨯=⨯⨯==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。
解：电流面密度为m A L I J S /7.1663.050μ===因为 v J S S ρ= 所以 2/33.8207.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，证明：0=∂∂+∇⋅+⋅∇tU U ρρρ证：如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为U J ρ=代入电荷守恒定律tJ ∂∂-=⋅∇ρ得0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρρρ3-5 由m S /1012.17⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。
求两端面之间的电阻。
解：用两种方法（1）如题图3.5所示⎰⎰==2122)(tan zz lz dzS dl R ασπσ)11()(tan 1212z z -=ασπ 01.0202.0tan ==α题3.5图m r z .1001.0/1.0tan /11===α，m r z 1201.0/12.0tan /22===αΩ⨯=-⨯⨯⨯=-=--647212107.4)121101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为2rI S I J π==电场强度为 2r IJ E πσσ== 电压为 dz z IEdz V z z z z ⎰⎰==21212)tan (σαπ ⎰==2122)(tan zz zdz I V R απσΩ⨯=-6107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。
电磁场与电磁波第3章解读
已知： P
e 0 E
令： r 1 e
D r 0 E
其中： r 称为相对介电常数。
电介质的物态方程
材料的介电常数表示为： r 0
电磁场与电磁波
第3章 媒质的电磁性质和边界条件
高斯定律： D V
积分形式： S D dS V V dV
电磁场与电磁波
第3章 媒质的电磁性质和边界条件
2、电介质的极化 定义：这种在外电场作用下，电介质中出 现有序排列的电偶极子，表面上出现束缚 电荷的现象，称为电介质的极化。
(1)无极分子的极化：位移极化演示
在外电场作用下，由无极分子组成的电介质中，分子的正 负电荷“重心”将发生相对位移，形成等效电偶极子。 (2)有极分子的极化：转向极化演示 在外电场作用下，由有极分子组成的电介质，各分子的 电偶极矩转向电场的方向。
其中：表面 S 是体积 V 的封闭界面。
束缚电荷的面密度为：
束缚电荷的体密度为：
ˆ PS Pn P n
P P
若电介质中还存在自由电荷分布时，电介质中一点总的电位为： V P PS 1 1 A dV dS 4π 0 V R 4π 0 S R
R2
D
r
R1
O
R1
R2
R
P
O
R1
R2
R
电磁场与电磁波
第3章 媒质的电磁性质和边界条件
三、磁介质
1. 什么是磁介质？
在外磁场作用下，呈现出明显磁性的物质称为磁介质。 电子轨道磁矩 原子磁矩： 电子自旋磁矩 原子核自旋磁矩
2. 磁介质的磁化 演示
在外磁场作用下，物质中的原子磁矩都将受到一个扭矩 作用，所有原子磁矩都趋于和外磁场方向一致排列，结果 对外产生磁效应，这种现象称为物质的磁化。
电磁场与电磁波(第三章)
dS
O
S S1
eR
4 Ω= 0
Ω2
O 点在闭合曲面内
O 点在闭合曲面外
Ω1
O
二、静电场的散度
q
r'
r
qer 4 R
2
R r r'
P
o
设真空中存在某点电荷 q r ，则 P 点的电位移 D 0
对任意闭合曲面S 积分
S
D0 dS
4 R
S
qer
2
dS
其正电荷的中心与负电荷的中心不再重合。
电子极化：电子云与原子核发生位移而出现电矩。 ◇ 分类 离子极化：正负离子发生位移而出现电矩。 取向极化：分子固有电矩在外电场作用时产生合成电矩。
三、极化强度
◇ 定义：单位体积内的电偶极矩数。用p 表示极化的程度，即
P
lim
0
P
i
N p av
例：电荷按体密度 r 0 1 r 2 / a 2 分布于半径为a 的球形区域内，其中 0 为 常数，试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。 解：由于电荷分布具有球对称性，则电场也具有球对称性，E 和D0 方向均为径向。 根据电位移的表达式 D r 当 r≤a
则
aU e E r e r r r2 r 0
r a r a
3.7 唯一性定理
◇ 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。
s f 1 第一类边界条件 第二类边界条件 f2 ◇ 实际边值问题的边界条件分为三类 s n 第三类边界条件 s f3 n
第3章 静电场分析
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案第一题问题一个磁感应强度为B的均匀磁场，在其中有一个长为l、电阻为R的长直导线。
导线与磁感应强度方向成夹角θ。
若导线被引出的两个端头A、B相距d，则导线两个端头的电势差是多大？解答根据电磁感应定律，导线两个端头的电势差可以通过导线所受的磁场力与电阻的乘积来计算。
设电流的方向与磁场方向成夹角α，则磁场力的大小为F = BIL sinα，其中I为电流的大小。
电流可以通过欧姆定律来计算，即I = U / R，其中U为电阻两端的电势差。
将电流的表达式代入磁场力的表达式中，得到F = B(U / R)l sinα。
根据电势差的定义，有U = Fd = B(U / R)l sinα * d. 移项整理得到U(1 - Bld sinα / R) = 0，解得U = 0 或者 1 - Bld sinα / R = 0。
如果U = 0，则代表导线两个端头的电势差为0，即没有电势差。
这种情况下，导线两个端头之间的电势相等。
如果1 - Bld sinα / R = 0，则导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
综上所述，导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
第二题问题一个半径为R的导线圈，通过其中的电流为I，产生的磁感应强度为B。
若导线圈的匝数为N，导线圈中心处的磁感应强度是多少？解答根据长直导线的磁场公式，通过导线圈中心点的磁感应强度的大小可以通过长直导线的磁场公式来计算。
长直导线的磁场公式为B = μ0I / (2πd)，其中B为磁感应强度，μ0为真空中的磁导率，I为电流的大小，d为测量点到导线的距离。
对于导线圈来说，可以将导线分成无数个长直导线，然后将它们对应的磁场强度相加。
考虑到导线圈的几何形状，可以得到导线圈中心处的磁感应强度的大小为Bm = N * B，其中Bm为导线圈中心处的磁感应强度，N为导线圈的匝数，B为单根导线产生的磁感应强度。
电磁场与电磁波_第四版_第三章
能量。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服
电荷之间的相互作用力而作功。
如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过 程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能
Da
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
16
例3.3 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间
填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
l E ( ) e 2
1 0 q d 2 q 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电
1
场能量We ，即
1 We q 2 对于电荷体密度ρ为的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具 1 dWe dV 2
有的电场能量为
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
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1 We dV 2 V 对于面分布电荷，电场能量为 W 1 dS e S S 2 对于多导体组成的带电系统，则有
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.3 3.1.4 导体系统的电容 静电场的能量
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程
D dS q D S 微分形式： 积分形式： E dl 0 E 0 C 本构关系： D E D1n D2 n S 2. 边界条件 en ( D1 D2 ) S 或 E1t E2t 0 e ( E E ) 0 1 2 n
电磁场与电磁波 第三章稳恒电流
第三章 稳恒电流一、 选择题1、 下面说法正确的是：（）A 、沿电流线的方向电势必降低；B 、不含源支路中的电流必从高电势到低电势；C 、含源支路中的电流必从高电势到低电势；D 、支路两端电压为零时，支路电流必不为零。
答案：B 2、 下面说法正确的是：（）A 、含源支路中的电流必从低电势到高电势；B 、支路两端电压为零时，支路电流必为零；C 、支路电流为零，支路两端电压必为零时；D 、支路电流为零，该支路吸收电功率必为零时； 答案：D 3、 如图所示，电路中，A 、B两点的电压是（） A 、6VB 、0VC 、2VD 、 8V 答案：B4、 阻值均为120千欧的两个电阻1R 及2R ，串联后与100伏电源相连，当用某个电压表 测量a,b 间电压得40伏，再去量b,c 间电压，得到（） A 、60V B 、40V C 、100V D 、0V答案：B5、 如图，一长为L 均匀的锥台形导体，底面半径分别为a 和b ，电阻率为ρA 、ρL/πab B 、 πρL/a C 、πab/ρL D 、ab/ρL 答案：A6、 铜的温度数为C 03/103.4-⨯，若在0℃时铜的电阻率为8106.1-⨯欧·米，则直径为5毫米，长为160公里铜制电话线在25℃的电阻（）A 、100ΩB 、140ΩC 、144ΩD 、200Ω 答案：C 7、有100Ω、1000Ω、10千欧的三个电阻，它们的额定功率都是0. 25瓦，现将三个电阻串联起来，如图，则加在这三个电阻 上的电压U 最多不能超过多少？（）A 、5伏B 、45伏C 、50伏D 、55.5伏 答案：D8、有100Ω、1000Ω、10千欧的三个电阻，它们的额定功率都是0. 25瓦，现将三个电阻串联起来，如图，如果1000Ω电阻实际消耗的电功率为0.1瓦，其余两个电阻消耗的功率各是多少？（）A 、1瓦、10瓦B 、0.1瓦、1瓦C 、0.01瓦、5瓦D 、0.01瓦、1瓦 答案：D 9、 如图所示的电路中，当K 打开时，a ，b 间等效电阻为（）A 、450ΩB 、500ΩC 、225ΩD 、125Ω 答案：C10、如图所示的电路中，K 闭合，则a,b 间等效电阻为（） A 、208Ω B 、200Ω C 、204Ω D 、207Ω答案：A11、如图所示的电路中，如果0R 是已知的，为使电路的总电阻等于R 0,则R 1的值（B ） A 、2R B 、3R C 、02R D 、03R 答案：B12、把一个表头改成多量程的安培计，可如图所示，将电阻321,,R R R 与表头连成一个闭合回路，从不同的地方引出抽头，选择连接表头的两个抽夹上一为公共端，和另一个抽头配合得到一种量程的安培计，这种电路叫做闭路抽头式，已知表头量程为500微安，内阻为300Ω，则当I 1=1mA ；I 2=10mA ；I 3=100mA 时，321,,R R R 各为多少（）A 、3Ω、27Ω、270ΩB 、5Ω、40Ω、280ΩC 、2Ω、30Ω、300ΩD 、3Ω、27Ω、400Ω13、如图所示表头G 与321,,R R R 组成多量程伏特计，已知表头量程为500μA ，内阻为300Ω，则当U 1=3V ，U 2=100V ，U 3=250V 时，321,,R R R 值为（）A、5.7K Ω、190KΩ、300K Ω B 、5.7K Ω、194K Ω、300K ΩC 、6K Ω、200K Ω、300K ΩD 、5.7K Ω、194K Ω、200K Ω 答案：B14、一个电动势为ε，内阻为r 的电池给电阻为R 的灯泡供电，当R=r 时，灯泡最亮，则其最大功率为（）A 、M P =2ε/4rR B 、M P =2ε/4r C 、M P =4R/2ε D 、M P =4rR/2ε 答案：B 15、如图所示，cb ac ab U U U ,,分别为（） A 、0V 、8V 、-8V B 、0V 、-8V 、8VC 、8V 、0V 、-8VD 、8V 、-8V 、0V 答案：B 16、如图所示的电路中，如果流过8欧电阻的电流是0.5（）A 、10VB 、14VC 、12VD 、8V 答案：C 17、如图所示的电路中，求A U （）A 、3εB 、2εC 、1ε-D 、4242R R R +ε 答案：D18、如图所示的电路中，A R 为100欧，0R 为200欧，R,为50 2 同时打开与同时闭合时，通过A R 电流相等，则B R 为（）A 、200ΩB 、400ΩC 、100ΩD 、600Ω B 19、在如图所示的电路中，电源电动势、电阻、电容数值均已知，O 点接地，若三个电容器 起始时不带电，则三个电容器与A 、B 、O 相接的各极板上的电量为（）A 、-224微库、256微库、-132微库B 、-124微库、256微库、C 、-256微库、-124微库、132微库D 、124微库、-256微库、 答案：B20、如图所示为用电位差计测电池内阻的电路图，实际电位差计在标准电阻AB R 上直接刻度的不是阻值，也不是长度，而是各长度所对应的电位差值，M R 为被测电池的负载电阻，阻值为100欧。
电磁场与电磁波(第三章)静电场分析
P
电位参考点不能位于无穷远点。
取r=1柱面为电位参考面，即 rQ 1得：
P
l 20
ln rP
无限长线电荷的电位
3、体分电布荷电：荷体(系rv)在空间1中产生的(rv电')d位V c
4 0
面电荷： (rv) 1
V sR(rv')dS c
4 0
线电荷： (rv) 1
SR
l (rv')dV c
式中：
R
rv
4 rv'
0
l
R
若参考点在无穷远处，c=0。
引入电位函数的意义：简化电场的求解！
v
E
四、例题 例题一 例题二
例题一 求电偶极子pv qlv在空间中产生的电位和电场。
分析：电偶极子定义
先求解空间电位，再求电场 q
(2
cos
evr
sin
ev
)
例题二
求半径为a的均匀圆面电荷在其轴线上产生的电位和
电场强度。
解：在面电荷上取一面元 ds
如图所示。
z P(0,0, z)
dr
v
R
d dq 4 0 R
y
r
a
s r 'dr 'd '
x
40 R
R (z2 r '2 )1/ 2
2 a
uv v Q p ql
uv v
P
pgr
4 0 r 3
v
E
(
r
evr
电磁场与电磁波第三版 郭辉萍 第三章习题答案
第三章 习题答案3.1设一点电荷与无限大接地导体平面的距离为d ，如图3.1所示。
求： q（1）空间的电位分布和电场强度； （2）导体平面上感应电荷密度； （3）点电荷所受的力。
q解：（1）(,,)1r x y z d =−u r2(,,)r x y z d =+u r1211(4qr r φπε=−04q πε=E φ=−∇u u r 3333330212121[()()(]4a a a x y z q x x y y z d z d r r r r r r πε+−=−−+−+−uu r uur ur u（2）在导体平面上有z=0 则 12==r r 3222202()E a z qdx y d πε=−++u u rur u032222.2()z a E s qd x y d ρεπ==−++uu r u u r（3）由库仑定律得22200()4(2)16q q q d d πεπε−==−u u r uu r ur z z u F a a或22320,0,002[()]4(2)16z x y z dq d q q d dπεπε=====−=−u u r uu r urvzu F E a a 3.6两无限大接地平行板电极，距离为，电位分别为0和U ，板间充满电荷密度为d 00xdρ的电荷，如题3.6图所示。
求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。
解： 板间电位满足泊松方程 200ρφε∇=x−d由于平行电容器y 与z 方向都为无穷大，故待求函数仅为x 的函数泊松方程可以写为：2020x d dx dρφε=−边界条件为0U φφ(0)=0,(d)= 对方程进行两次积分得301206ρφε=−++x C x C d代入边界条件得 002100,6U dC d ρε==+C 所以板间电位分布为：300000()66x U d x d d ρρφεε=−++2000()2600E a x x U d d d ρρφεε=−∇=−−u u r uu r2000()2600D E a x x U d d d ρερε==−−u u r u u r uu rx =0的极板上的电荷密度000060x a Ds x U dd ερρ==⋅=−−uu r u u rx =d 的极板上的电荷密度00()30x a Dsd x dU ddερρ==−⋅=−uu r u u r3.9一个沿+y 方向无限长的导体槽，其底面保持电位为，其余两面的电位为零，如图3.9所示。
《电磁场与电磁波》第三版 电子课件003
(3-3-4)
如果将无限大导电平面看做半径为无限大的圆， 则在无限大导
d
( 2 h 2 )
3 2 2 0
d －q
(3-3-5)
可见， 导体表面感应的总电荷正是预期值－q。
第3章
边值问题的解法
当一点电荷置于两平行导电平面之中时，其镜像电荷数趋
于无穷。然而，对于两相交平面，若两平面的夹角为θ，且 360°/θ为偶数，则可以用镜像法来求解，此时镜像电荷的个数
S f1 (S )
问题。
(3-1-1)
称为第一类边界条件或狄利克利条件。这类问题称为第一类边值
第3章
边值问题的解法
(2) 已知场域边界面S上各点电位法向导数的值，即给定
(3-1-2) S f 2 (S ) n 称为第二类边界条件或诺伊曼条件。这类问题称为第二类边值 问题。 (3) 已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性组 合值，即给定 ( ) S f3 (S ) (3-1-3) n 称为第三类边界条件或混合边界条件。这类问题称为第三类边 值问题。
第3章
边值问题的解法
图3-3 接地导体球外的点电荷
第3章
边值问题的解法
q 1 m ( － ) 4π 0 r1 r2
(3-3-6)
式中，
r1 r 2 d 2－2rdcos r2 r 2 b 2－2rbcos
电位函数在球表面处满足电位为零的边界条件，即在r = a
处对任意角度θ，有
(3-3-1)
第3章
边值问题的解法
图3-1 平面边界上的点电荷与其镜像
第3章
边值问题的解法
下面来验证解的正确性。
在上半平面(除点电荷所在的点外)均满 显然，电位函数
第3章-镜像法
18
q
q 该如何分析？
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
2. 点电荷对接地空心导体球壳的镜像
如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q
位于球壳内，与球心相距为d ( d < a )。
由于球壳接地，感应电荷分布在 球壳的内表面上。镜像电荷q 应位于 导体空腔外，且在点电荷q与球心的 连线的延长线上。与点荷位于接地导 体球外同样的分析，可得到
2
3.8.1 镜像法的基本原理
1. 问题的提出 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会
出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分
布。
几个实例
非均匀感应面电荷
q
接地导体板附近有
一个点电荷，如图所
示。
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求 解，可以用等效电荷的电位替代
电子科技大学
q
电子科技大学
导体平面上总感应电 荷等于镜像电荷！
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
9
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
原问题
2
l
x, z
h,
z
0;
0 ,
z 0,
镜像线电荷： l l , h h
有效区域
h
l
电子科技大学
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 2 . 点电荷对不接地导体球的镜像
点电荷q 位于一个半径为a 的不 接地导体球外，距球心为d 。
导体球不接地时的特点：
《电磁场与电磁波》第3章
Φ
2
对 = 0的空间，及点、线、面电荷之外没有电荷的空间
2Φ 0
式中 2=
电位的拉普拉斯方程
标量拉普拉斯微分算子
二.电位函数
2.电位的微分方程
直角系
2 2 2 Φ Φ Φ 2 2 2 2 x y z
圆柱系
2 2 1 Φ 1 Φ Φ 2 ( ) 2 2 2 z
电位的衔接条件
1 2 lim
1 2
2
1
d d E d l lim ( E1n E2 n ) 0 d 0 2 2
因此
1 2
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。
二.电位函数
3.电位的边界条件
证明：
D E E
1 2 1 2 s n n
C1 0 D1 0 C2 a D2 0 D1 0
b
a
2 x a 0
1 x b 2 x b
C1b D1 C2b D2
二.电位函数
解： y
s0
φ1 φ2 V
D1 0 C2 a D2 0
x
O
E1
E2
b
a
C1b D1 C2b D2
P E0 cos
E0 ex E0
z
O
r
y
P (,φ,z)
x e
E0
ex ez 0
O
φ x
二.电位函数
解题思路：
例3.1.3 已知两块无限大接地导体平面的位置（x=0,x=a） x=b处为s0的均匀面电荷分布。求： φ1, φ2 E 1 E2
电磁场与电磁波第3章
相距为 l 的正负电荷 q 组成，考虑介
质内某曲面 S 上的一个面 d S .当偶极
子的负电荷位于图中的体积中时，其
正电荷就穿出界面 d S 外。穿出界面
dS外的正电荷为
N q lg d S=N p g d S=P g d S
其中：
NprP rav
r P
对闭合面 S 积分，得到闭合体积内穿出的总的正电荷
（i）金属板上的电荷与介质极化面电荷所构成的介质外表 面的电荷分布；
（ii）所考察的场点周围分子偶极子所产生的附加影响。
前面一种因素的作用较为简单，它可由单位面积上的自由
电荷 来确定，其中包括了电解质的宏观效应的贡献，即
E/
在对上述第二种因素的影响进行讨论时,我们遵循的是洛伦
兹的方法，即作一个包围场点的半径为R 的球面，如图所
r (E
r P
/0)
对方程4两端取旋度，并代入 方程2和方程3，可得
方程4则为
r
c2Br
r E t
r 2B
r
c2
r 2B t2
这是一个关于B的波动方程
波速ｖ为
v2
பைடு நூலகம்
1
/(
r
c2
)
c2
r
因 为
v c/n
所 以
n2 r
3.7 磁化的概念
介质的磁化（Magnetization）和介质的极化一样，也 是和物质的结构紧密相关的。根据原子的简单模型，电子 沿圆形轨道围绕原子核旋转，其就像一闭合的圆电流，具 有一定的磁矩，电子和原子核还在自旋，也存在磁效应。 所有的磁效应可等效为一个圆电流，这个圆电流成为分子 电流。即磁偶极子(magnetic dipole)。由于热运动等原因， 物质中的圆电流的磁场常常互相抵消，因而总体对外并不 显示磁性。
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第3章解读(优.选)
第三章习题解答3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为qR+R-D=[3-3]=4πRR+-q4π{err+ez(z-a)[r+(z-a)]2232-err+ez(z+a)[r+(z+a)]2232Φ=则球赤道平面上电通密度的通量⎰D dS=⎰D eSSzz=0dS=]2πrdr=q4πa题3.1 图⎰[02(-a)(r+a)qaa-a(r+a)2232(r+a)=0-1)q=-0.293q3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze（Z是原子序数，e是质子电荷量），通Ze⎛1r⎫过实验得到球体内的电通量密度表达式为D0=er 2-3⎪，试证明之。
4π⎝rra⎭Ze解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为 D1=er 24πrZe3Ze=-原子内电子云的电荷体密度为ρ=-334πra4πra电子云在原子内产生的电通量密度则为D2=erρ4πr4πr32=-erZer4πra3题3. 3图(a)故原子内总的电通量密度为 D=D1+D2=er 2-3⎪4π⎝rra⎭33.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为ρ0Cm, 两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(c<b-a)，如题3.3图(a)所示。
求空间各部分的电场。
解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为±ρ0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为ρ0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-ρ0的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。
空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
在r>b区域中，由高斯定律⎰E dS=Sqε022，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P E1'=er'-πaρ02πε0r'2产生的电场分别为 E1=erπbρ02πε0r2=ρ0br2ε0r=-ρ0ar'22ε0r'2＝＋题3. 3图(b)点P处总的电场为 E=E1+E1'= ρ2ε0(brr-2r')在r<b且r'>a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为E2=erπrρ2πε0r=ρr2ε0'=er' E2-πaρ2πε0r'=-ρar'2ε0r''=点P处总的电场为 E=E2+E2ρ02ε0(r-ar'r')在r'<a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为E3=erπrρ02πε0r=ρ0r2ε0'=er' E3-πr'ρ02πε0r'=-ρ0r'2ε0'=点P处总的电场为 E=E3+E3ρ0(r-r')=ρ02ε0c3.4 半径为a的球中充满密度ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为⎧r3+Ar2⎪Dr=⎨a5+Aa4⎪2⎩r(r≤a)(r≥a)其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。
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是Wb(韦伯)，用Φ表示：
s B dS
SB dS
38
B dS
S
0 S 4
Idl 'R
C R3 dS
0Idl ' C 4
R dS S R3
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场 3.2 3.3 恒定磁场的基本方程 3.4 矢量磁位 3.5 磁偶极子 3.6 磁介质中的场方程 3.7 恒定磁场的边界条件 3.8 3.9 互感和自感 3.10 磁场能量 3.11 磁场力
1
磁的基本现象
•十一世纪北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中第一 次明确记载了指南针； •磁极（北极N，南极S）； •同号的磁极互相排斥，异号的磁极互相吸引；
运流电流密度： J
v
9
3.1.2 电荷守恒定律
电流连续方程 （积分形式）
电流连续方程 （微分形式）
S
J
dS
dq dt
d dt
V
dV
SJ
dS
V
t
dV
V
J
t
dV
0
J
0
t
J
n
2
2
n
S
D2n
D1n
2 2
J2n
1 1
J1n
J
n
2 2
1 1
式中，Jn=J1n=J2n,当 2
1 时，分界面上的面电荷密度为零。
2
1
22
应用边界条件，可得
tan1 1 tan2 2
可以看出，当σ1>>σ2，即第一种媒质为良导体时，第二种媒 质为不良导体时，只要θ1≠π/2, θ2≈0，即在不良导体中， 电力线近似地与界面垂直。这样，可以将良导体的表面看作等 位面。
R
上式中，
R3
1 R
，故可将其改写为
B dS
S
0Idl' C 4
S
1 R
dS
由矢量恒定式
V AdV SA dS
39
则有
B dS
0Idl ' 1 dV
p J E
焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力 对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格 碰撞的热能。
运流电流的定义：电荷在不导电的空间，如真空或极稀薄气体中 的有规则运动所形成的电流。真空电子管中由阴极发射到阳极的 电子流,带电的运动着的雷云运动所形成的电流都是运流电流。
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流过
半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的
电流密度和电场为
J
I
4r 2
er
E
I
4 r
2
er
内、外导体间的电压为
26
U
b
Edr
a
I
4
1 a
1
b
漏电电导为
G
I
4ab
U ba
取在φ=0，即场点坐标为(r,0,z)，源点坐标为(0,0,z′)。
r rer zez , r ' z'ez , R r r '
z' z r tan, dz' r sec2 d
dl
'
ez
dz'
ez
r
s
ec2
d
R r sec
28
小结
（1）电流连续方程 （积分形式）
S
J
dS
dq dt
（微分形式） （2）电流稳恒条件
J
t
SJ dS 0
0
t
J 0
（3）欧姆定律的微分形式 J E
29
3.2 磁感应强度
图3-8 安培定律
30
安培定律指出：在真空中载有电流I1的回路C1上任一线元 dl1 对
积 S 的电流就等于电流密度 J 在 S 上的通量，即
I SJ dS SJ cosdS
7
JS
lim
l 0
I l
n
dI dl
n
图3-2 面电流密度
8
传导电流： 导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向运 动所形成的电流。
运流电流：带电粒子在真空中或气体中运动时形成的电流。
到的电磁力为
F
q(E
v
B)
上式称为洛仑兹力公式。
33
例3-4 求载流I的有限长直导线(参见图3-9)外任一点的磁场。
图3-9 例3-4用图 34
解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标
中计算。
B(r )
0
4
Idl 'R C R3
从对称关系能够看出磁场与坐标φ无关。不失一般性，将场点
11
3.1.3 欧姆定律的微分形式
R l
S
1
R l
S
电阻率 电导率
I U R
将 I JS
U El R l
S
带入
J E
12
表3-1 常用材料的电导率
材料 铁(99.98 % )
黄铜 铝 金 铅 铜 银 硅
电导率σ/(S/m) 107
R
31
毕奥-萨伐尔（Biot-Savart）定律
实验指出，一个电流元 Idl 在磁场中所受的力可以表示为
令
dF Idl
B
0
B I1dl1
R
4 C1 R3
(3-29)
若电流不是线电流，而是具有体/面分布的电流 J ，则上式改为
B(r )
0
4
3.1.1 电流密度
图3-1 电流密度 1.方向：导体中正电荷运动方向 2.大小：通过垂直于正电荷运动方向的单位面积的电流强度
6
设通过ΔS的电流为ΔI，则该点处的电流密度 J 为
J
lim
I
n
dI
n
S0 S dS
可以从电流密度 J 求出流过任意面积 S 的电流强度。一般情况 下，电流密度 J 和面积元 dS 的方向并不相同。此时，通过面
23
例3-1 设同轴线的内导体半径为a, 外导体的内半径为b，内、 外导体间填充电导率为σ的导电媒质，如图3-5所示，求同轴线
单位长度的漏电电导。
图3-5 同轴线横截面
24
解：漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外体，如令沿轴向
方向单位长度(L=1)从内导体流到外导体的电流为I，则在媒质内
(a<r<b)，电流密度为
35
dl ' R ezdz '[rer (z z ')ez ]
e rdz ' e r 2 sec2 d
所以
B 0I
4
l/2 dl ' R
R l / 2
3
e
0 I 4 r
2 cos d
1
e
0 I 4 r
(sin 1
----电源内电势升高的方向
3.当非静电力存在于整个电流回路中时，回路中的电动势为
L E'dl
14
电动势和电势是两个不同的物理量 电动势：与非静电力的功相联系 电势：与静电力的功相联系
15
3.1.4 焦耳定律
当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电
场力对电荷所作的功，即功率是
另一载有电流I2的回路C2上任一线元 dl2 的作用力表示为
dF12
0 4
I2dl2 (I1dl1 R)
R3
F12
0 4
C2 C1
I2dl2 (I1dl1 R)
R3
F12
C2
I
2dl2
u0
4
C1
I1dl1 R
3
S
C 4 V R
1 0 R
磁通连续定律
（积分形式）
B dS 0
S
40
使用散度定理，得到
S B dS V BdV 0
磁通连续定律 （微分形式）
B 0
上式是磁通连续性原理的微分形式，它表明磁感应强度 B 是 一个无源(指散度源)场。
1.46×107 3.54×107 3.10×107 4.55×107 5.80×107 6.20×107 1.56×10-3
13
1.电源电动势：在电源内部，将单位 正电荷从负极移到正极，非静电力
所作的功 A
B E'dl
单位：伏特(V)
图3-3 电动势
2.方向：电源内从负极到正极的方向