§2.8用算子符号表示微分方程
微分方程的算子算法【精选】
2
(3) Dn cos x cos( x n ), D2m cos x (1)m cos x
2
(4) Dn x ( 1)L ( n 1) x n
(5)
Dn
是（2）的通解，y *(x)是（1）的特解。
定理2 设y*j (x)是P(D) y f j (x)的特解,j 1, 2,L , m,则
m
m
y *( x) y j *( x)是P(D) y f j ( x)的特解。
j
j
定理3 y1*( x) iy2*( x)是P(D) y f1( x) if2 ( x)的特解的充分必要
(2) Dn f ( x) Dnk[Dk f ( x)]
n
(3) Dn[u( x)v( x)] Cnm[Dmu( x)][Dnmv( x)] m0 uax b
(4) Dxn f (ax b) an[Dun f (u)]uaxb
7
常系数线性微分方程的算子解法
6．算子 P(D) 的基本性质及运算法则
导数
求
的性
导
质及
公
求导 法则
式
原函 数的 性质 及积 分法
积 分 公 式
计 算 原 函 数
信号与系统第二章第一讲
即特征方程为 C0 C1
n
n 1
Cn 0
解得此方程的n个根： 1 , 2 , , n 称为微分方程的特征根。
（2）特征根的情况分析
１）特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解 为
信 号 与 系 统
rh (t ) A1e
1t
A2e
2t
An e
其思路与程序是：
连续时间信号输入 连续时间系统
模数 型学 输入激励信号
信 号 与 系 统
（t的函数）
连续时间信号输出
高阶微分方程 （t及t的导数） 输入——输出法 或端口描述法
输出响应信号 （t的函数）
系统分析的任务：对给定的系统模型和输入信号求系统的 输出响应。
列写方程：根据元件约束，网络拓扑约束
注: "自由项"为e(t)代入方程右端化简后的函数式
３、齐次方程的求解
（1）特征根的求解
信 号
齐次方程为：
与 齐次方程的解为： r (t ) Aet 或Aet 函数的线性组合。 系 将其解代入齐次方程： 统
dn d n 1 d C0 n r (t ) C1 n 1 r (t ) Cn1 r (t ) Cn r (t ) 0 dt dt dt
时域分析法有两种：一：经典法直接求解微分方程；
《信号与系统》第二章总结
N ( p ) r (t ) 传输算子：H ( p ) → = D ( p ) e(t )
def
1.微分方程的建立和求解 微分方程的建立和求解
•连续时间系统的时域分析法：不通过任何变换，直接求解 求解系 求解 统的微分 微分、积分方程 方程。 微分 方程 •连续时间系统的时域分析方法：经典法，卷积法，算子法。
设n阶复杂系统激励信号为e(t )，响应信号为r (t )
其n阶微分方程为 d n r (t ) d n −1r (t ) dr (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn r (t ) n n −1 dt dt dt d m e (t ) d m −1e(t ) de(t ) = E0 + E1 + L + Em −1 + Em e(t ) m m −1 dt dt dt
信号与系统总结信号与系统信号与系统郑君里信号与系统题库信号与系统视频教程信号与系统课后答案信号与系统实验报告信号与系统吧信号与系统课件824信号与系统
Ch2 总结
•本章主要讲授的内容有：连续时间系统的时域分析
•1、微分方程的建立和求解 •2、起始点的跳变——从0+到0-状态的转换 •3、零输入响应和零状态响应 •4、冲激响应和阶跃响应 •5 、卷积 •6 、卷积的性质 •7 、用算子符号表示微分方程
2.2 微分方程的算子表示(改)
d/dt=p, dn/dtn=pn.
∫
t
∞
()dτ = 1/ p
d n x(t ) = p n x(t ) dt n
2.2 微分方程的算子表示法
di2 (t ) 1 t di1 (t ) L dt + Ri1 (t ) + C ∫∞ i1 (t ) dt M dt = e (t ) 如方程组 L di2 (t ) + Ri (t ) + 1 t i (t ) dt M di1 (t ) = 0 2 ∫∞ 2 dt C dt 1 ( LP + R + CP )i1 (t ) Mpi2 (t ) = e (t ) 可以写成 ( LP + R + 1 )i (t ) Mpi (t ) = 0 2 1 CP 显然用 p和1 / p 表示对微分要简洁些.
容抗 =
2.2 微分方程的算子表示法
3. 电感
d iL (t ) v L (t ) = L = L p iL (t ) dt 1 t 1 iL (t ) = ∫∞ v L (t ) d t = L p v L
2.2 微分方程的算子表示法
例2-4 对于下图所示电路,给定激励e(t),列出电流i2(t)的微分 方程.
2.2 微分方程的算子表示法
3. 算子方程的两边可以同乘p的多项式 如果D(p)x=N(p)y 则pnD(p)x=pnN(p)y 4. 算子p和1/p的位置不能任意颠倒,如
偏微分方程符号
偏微分方程符号
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是现代数学领域中的重要概念，其在自然科学、工程学科等领域中都有广泛的应用。在研究偏微分方程时，符号是其中一个重要的方面，因此，本文将主要讲解偏微分方程的符号问题。
一、偏导数符号
偏微分方程中的另外一个非常重要的符号是偏导数符号，它用来表示一个函数关于某个自变量的变化率。用符号∂表示偏导数，对于一个函数u(x,y)，它的x方向的偏导数为：
∂u/∂x
而y方向的偏导数为：
∂u/∂y
如果想表示u关于t的偏导数，则可以用以下符号：
∂u/∂t
二、Laplace算子的符号
Laplace算子常常在解偏微分方程时使用。使用下列符号来表示：
∆ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + … + ∂²/∂z²
其中，…代表z及其它自变量的偏导数。
当Laplace算子作用于一个函数f(x,y,z)时，它表示f所描述的“平均”变化率。这种特殊性质使得Laplace算子非常有用，在物理、工程和其他科学领域中经常出现。
三、变量替换符号
在解决偏微分方程时，有时候需要使用变量替换来简化问题。其中最常见的情况是使用极坐标代替直角坐标系。例如，如果(x,y)表示平面直角坐标系中的一个点，那么它在极坐标系中的表示可能是(r,θ)。
对于这种符号操作，一般会采用以下写法：
x = x(r,θ)
y = y(r,θ)
然后，可以用链式法则将原偏微分方程中的变量替换为新坐标系中的变量。通过这种方法，可以将原本复杂的偏微分方程化为较为简单的形式。
四、其他符号
算子法解微分方程
常系数非齐次线性微分方程的解法有很多，例如笔者的教材（《高等数学第六版》）所述的待定系数法和接下来给出的称之为“算子法”以及另一种同样使用算子的方法。
1、首先介绍一种使用算子求解的方法：
考察二阶常系数非齐次线性微分方程
d2x/dt2＋a1dx/dt＋a0x＝b(t)
相应的齐次方程的通解是已知的，所以只须求出方程的一个特解（由微分方程解的结构给出）。
设该方程的特征多项式q(λ)＝λ2＋a1λ＋a0分解为q(λ)＝(λ－λ1) (λ－λ2)
则算子多项式q(D)也分解为q(D)＝(D－λ1) (D－λ2)
则原微分方程可写成 (D－λ1) (D－λ2)＝b(t)
依次解以下两个方程
(D－λ2) x1＝b(t)
(D－λ1) x＝x1
就可求得方程的特解。（其中x1看成是中间变量，只要通过求解x1来求解x）
对于λ1和λ2是共轭虚数的情形，按上述步骤求得的方程特解
有可能是一个复值函数z(t)＝x(t)＋iy(t)。这时应有恒等式
d2z(t)/dt2＋a1dz(t)/dt＋a0z(t)＝b(t)
比较上式两边的实部，我们得到
d2x(t)/dt2＋a1dx(t)/dt＋a0x(t)＝b(t)
这样，不论λ1和λ2是实数或者是共轭虚数，我们都可能够求
出方程在实数范围内的特解，从而完全解决了这方程的求解问题。给出教材上一个例子:求微分方程y``－5y`＋6y＝xe2x.（《高等数学》P343）
解：该微分方程的算子多项式分解为 q(D)＝(D－2) (D－3)
设y1＝(D－2)y，代入知(D－3)y1＝xe2x（该式子是一阶常系数微分方程），易求得
信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)
（2）求特解 rp (t)
在响应求解区间 t >0 内，e(t) e3t
设 rp (t) Be3t
9Be3t 9Be3t 2Be3t e3t rp (t) 0.5e3t
完全解 r(t) rh (t) rp (t) A1et A2e2t 0.5e3t
（3）从 0到 0状 态的转换
（2）微分方程的齐次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特 性决定； 特征方程的根称为系统的固有频率，它决定了系统自由响应 的全部形式；
（3）特解称为系统的强迫响应，它只与激励函数的形式有关。
（二）起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
1. 实际电路
viCL
(0 (0
) )
vC (0 ) iL (0 )
iR (t) R
vR (t)
vR (t) RiR (t)
iR
(t)
vR (t) R
iC (t) C
vC (t)
1
vC (t) C
t
iC ( )d
iC
(t)
C
dvC (t) dt
iL (t)
L
vL (t)
vL
(t)
L
diL (t) dt
iL (t)
1 L
t
vL ( )d
2. 电路的电流、电压约束关系（KVL、KCL）
微分算子法实用整理总结
微分算子法
微分算子法分类小结
一、n阶微分方程
1＞二阶微分方程：器+p(x)学'+q(x)y=f(x)
df ax
2、n 阶微分方程：y5)+aiygi)+a2yd2)+a3y(n-3)+ …+a n y=f(x)
二、微分算子法
1 ＞定义符号：-7- , D表示求导，如D X3=3X2, D?表示y对x
dx
求导n次；舟表示积分，如士x=、2 ,占"X表示
对x积分n次，不要常数。
2、计算
将n阶微分方程改写成下式：
D n y+a i D n_ 1 y+a2D n_2y+a3D n3y + ... +a n-iDy+a n y=f(x)
即(Dn+aiDn」+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +a n-iD4-a n) y=f(x) 记F(D)=D n+aiD n l+a2D n-2+a3D n-3+ ... +a n-iD+a n
规定特解：y
F(D)
3、石丄的性质
F(D)
] kx 1 kx
(1)性质一：而e =丽e(F(k)不等于o)
注：若k为特征方程的m重根时，有1
1
kx
p
F(D)
1 k 丫 kx ]
⑵性质二 ^e-v (x )= e ^^v (x)
(3)性质三：特解形如T^-sinCax)和专尺cos (ax) 丿 卜(D)
] i.考察该式(该种形式万能解法)： e lcix
F(D)
利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解
注：欧拉公式 e iax = cos (ax)+isin(ax) 虚数i 2 = -1
可按以下方法考虑:
若F (-a 2)刊，贝ij
越讪曲戶右sin (ax) 77^-cos (ax) = -1^-cos (ax)
信号与系统王明泉第二章习题解答
复形式有 次（特征为 次），则依次增加倍乘 ， ，…， 诸项。
2.4.3起始点的跳变-从 到 状态的转换
在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号 加入后系统的状态变化区间。一般激励 都是从 时刻加入，此时系统的响应区间定义为 。
当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。如果包含有 及其各阶导数项，说明相应的 到 状态发生了跳变，即 或 等等。这时为确定 、 等状态，可以用冲激函数匹配法。
2.4.4系统的零输入响应与零状态响应
（1）零输入响应
系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。
特征方程为 ，
特征根为 ，
所以
代入初始条件 ， ，解得 ，
所以，
（2）求零状态响应
（3）
2.6 已知某线性时不变系统的方程式为
试求系统的冲激响应h(t)。
解：方程右端的冲激函数项最高阶数为 ，设
，
则有： ，将其代入原系方程，得
2.7若描述系统的微分方程为
试求系统的阶跃响应。
解：由题可知：
阶跃响应：
2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中 ， ， ,试求该系统的冲激响应 。
（3）卷积运算的性质
信号与系统(郑君里)第二版 讲义 第二章
第二章 连续时间系统的时域分析
第一讲 微分方程的建立与求解
一、微分方程的建立与求解
对电路系统建立微分方程，其各支路的电流、电压将为两种约束所支配： 1.来自连接方式的约束：KVL 和
KIL ，与元件的性质无关。
2.来自元件伏安关系的约束：与元件的连接方式无关。
例2-1 如图
2-1所示电路，激励信号为，求输出信号。电路起始电压为零。
图2－1
解以输出电压为响应变量，列回路电压方程：
所以齐次解为：。
因激励信号为，若，则，将其代入微分方程：
所以，从而求得完全解：
由于电路起始电压为零并且输入不是冲激信号，所以电容两端电压不会发生跳变，，从而
若，则特解为，将其代入微分方程，并利用起始条件求出系数，从而得到：
二、起始条件的跳变——从到
1.系统的状态(起始与初始状态)
(1)系统的状态：系统在某一时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，利用这组数据和系统的模型
以及该时刻接入的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。由于激励信号的接入，系统响应及其
各阶导数可能在t=0时刻发生跳变，所以以表示激励接入之前的瞬时，而以表示激励接入以后的瞬
时。
(2)起始状态：，它决定了零输入响应，在激励接入之前的瞬时t=系统的状态，它总结
了计算未来响应所需要的过去的全部信息。
(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接入之后的瞬时系统的状态。
(4)初始条件：它决定了完全响应。
这三个量的关系是：。
2.初始条件的确定（换路定律）
电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能
微分方程算子法总结
=(1-D )(x2-x+2)=x2-x
5
dy d2y 2 -x +2y=x 例 9、 2 +2 dx dx
e ,则(D +2D+2)y=x2e-x
2
特解 y
*
= ( D + 1) 2 + 1 x2e
-x
1
-x
=e-x ( D -1 + 1)
(1-D )x
2
1
2
2 x +1 2
=e D 2 1 x2=e +
（性质二、四）
1
-x
2
=e
-x
(x
-2)
d2y 2 例 10、 2 +y=xcosx ，则(D +1)y=xcosx ， dx
特解 y
1 D 2 +1
*
=
1 D 2 +1
ix
xcosx ，考察
1
1 D 2 +1
xe
ix
xe
= (D - i)(D+ i) xeix=eix (D+ i - i)(D+ i + i) x
=- 2 xeix= 2 xsinx-i 2 xcosx
1 取实部为特解 y = xsinx 2
*
i
1
信号与系统知识整理
《信号与系统》知识整理
16040003 李田焰
第一章绪论
1.1信号与系统
人类信号媒介的发展过程，信号的处理过程
系统：由若干相互作用和相互依赖的食物组合而成的具有特定功能的整体。
1.2信号的描述，分类和典型示例
信号的分类：确定信号与随机信号，周期信号与非周期信号，连续时间信号与离散时间信号，一维信号与多维信号
常遇见的信号：
（1）指数信号：
（2）正弦信号：
（3）复指数信号：
（4）Sa(t)信号（抽样信号）：
（5）高斯信号：
1.3信号的运算
1.移位，反褶与尺度
（1）移位：f(t)变成f(t+t0);
（2）反褶：f(t)——f(-t)
（3）尺度：f(t)——f(at)（a为一个常数）
2.微分与积分
（1）微分运算：
（2）积分运算：
3.两信号相加或相乘
1.4阶跃信号与冲激信号
1. 单位斜变信号：
2. 单位跃阶信号：
3. 单位冲激信号：
4. 冲激信号的性质;
性质一：
性质二：
t
1.5 信号的分解
1. 直流分量与交流分量：
2. 偶分量与奇分量：
偶分量：
奇分量：
3. 实部分量与虚部分量：
1.6 系统模型及其分类
系统模型：系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。对于复杂的系统，其数学模型可能是一个高阶数学微分方程。如：
R,L,C串联回路
元件的理想特性与KVL可以建立如下的微分方程：
当知道系统的数学模型，起始状态以及输入激励信号，就可以运用数学方法求解其响应。还可以借用如下的方框图来组成一个完整的系统：
三种基本单元方框图
也可以采用这种表示方法：
d
系统的分类：
连续时间系统与离散时间系统；即时系统与动态系统；集总参数系统与分布参数系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统；可逆系统与非可逆系统
微分算子法实用整理总结
微分算子法
微分算子法分类小结
一、n 阶微分方程
1、二阶微分方程： 22d y d x +p(x)x
d dy
+q(x)y=f(x)
2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)
+a 2y
(n-2)
+a 3y
(n-3)
+ ... +a n y=f(x)
二、微分算子法 1、定义符号：
D x
=d d
，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x 求导n 次；D 1表示积分，如D 1
x=
x 212 ,
n D
1
x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算
将n 阶微分方程改写成下式：
D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3
y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n
+a 1D n-1
+a 2D n-2
+a 3D n-3
+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n
+a 1D n-1
+a 2D n-2
+a 3D n-3
+ ... +a n-1D +a n
规定特解：y *
=)(F(D)
1
x f 3、F(D)
1
的性质
(1)性质一：F(D)
1
e kx =F(k)1e
kx (F (k) 不等于0）
注：若k 为特征方程的m 重根时，有
F(D)
1e kx = x m (D)F 1(m)e kx = x m
(k)F 1(m)e kx
(2)性质二：F(D)
1e kx v (x)= e kx
k)F(D 1+v (x)
(3)性质三：特解形如F(D)1sin(ax)和 F(D)
1
cos(ax)
i.考察该式（该种形式万能解法）：F(D)1e iax
微分算子法实用整理总结
微分算子法
微分算子法分类小结
一、n 阶微分方程
1、二阶微分方程： 22d y d x +p(x)x
d dy
+q(x)y=f(x)
2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ...
+a n y=f(x)
二、微分算子法
1、定义符号：D x
=d d
，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x
求导n 次；D 1表示积分，如D 1
x=
x 212 ,
n
D 1
x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算
将n 阶微分方程改写成下式：
D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y +
...
+a n-1Dy +a n y=f(x)
即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n
规定特解：y *
=)(F(D)
1
x f 3、F(D)1
的性质
(1)性质一：
F(D)
1
e kx
=F(k)1e kx (F (k) 不等于0）
注：若k 为特征方程的m 重根时，有
F(D)1e kx = x m (D)
F 1(m)e kx = x m (k)F 1(m)e kx
(2)性质二：F(D)
1e kx
v (x)= e kx k)F(D 1+v (x)
(3)性质三：特解形如F(D)1sin(ax)和 F(D)
1
cos(ax)
i.考察该式（该种形式万能解法）：F(D)1e iax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解
微分方程算子法总结
微分方程算子法总结
微分方程算子法是微分方程的一种解法方法，通过将微分方程中的微分算子用代数符号表示，转化为代数方程的形式来求解微分方程。这种方法在微分方程的解法中起到了重要的作用。下面是对微分方程算子法的总结，包括定义、基本原理、解题步骤和应用等方面的内容。
一、定义
二、基本原理
三、解题步骤
1.将微分方程中的微分算子用代数符号表示，一般用p(D)来表示D^k 的形式，其中D表示微分算子，k为一个正整数。
2.对代数符号p(D)进行运算，根据微分算子的运算性质进行替换、展开、相乘等运算。
3.将运算后得到的代数方程转化为普通的代数方程，消去代数符号后求解。
4.最后，根据求得的代数方程解，通过对代数解进行逆运算，将代数解转化为函数解，即为微分方程的解。
四、应用
1.线性常微分方程的解法，如齐次线性常微分方程、非齐次线性常微分方程等。
2.偏微分方程的解法，如一维波动方程、一维热传导方程等。通过微分方程算子法，可以将偏微分方程转化为常微分方程的形式进行求解。
3.变系数微分方程的解法，如变系数线性常微分方程等。通过微分方
程算子法，可以将变系数微分方程转化为常系数微分方程的形式进行求解。
4.高阶微分方程的解法，如二阶、三阶及更高阶微分方程等。通过微
分方程算子法，可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式进行求解。
五、优缺点
1.能够将微分方程转化为代数方程进行求解，简化了计算过程。
2.适用范围广泛，能够解决多种类型的微分方程问题。
3.理论基础扎实，运算性质清晰，易于理解和应用。
1.对于非线性微分方程或特殊形式的微分方程，微分方程算子法可能
微分算子法实用整理总结
微分算子法微分算子法分类小结
一、 n 阶微分方程
1、二阶微分方程：d2 y
+p(x)
dy
+q(x)y=f(x) dx2dx
2、n 阶微分方程：y(n) +a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3) + ... +a n y=f(x)
二、微分算子法
1、定义符号：
d
表示求导，如 Dx 3=3x2， D n y 表示 y 对 x =D ，D
dx
求导 n 次；
1表示积分，如
11x
2
,
1
D D
x= 2D n x表示对 x 积分 n 次，不要常数。
2、计算
将 n 阶微分方程改写成下式：
D n y+a1D n-1y+a2D n-2y+a3D n-3y+ ... +a n-1Dy+a n y=f(x)
即n1n-12n-23n-3n-1n
（ D +a D+a D+a D+ ... +a D+a ） y=f(x)记 F(D)=D n+a1D n-1+a2D n-2+a3D n-3+ ... +a n-1D+a n
规定特解：y
* = F(D)1 f ( x)
1
3、的性质
F(D)
(1)性质一：F(D)1e kx=F(k)1 e kx
(F(k)不等于0）
注：若 k 为特点方程的 m 重根时，有
1
e kx
m
1
e kx
m
1
kx
F(D)
= x
F (m) (D)
= x
F (m)
(k)
e
1
e
kx
kx
1
(2) 性质二： F(D)
v (x) = e
F(D +k) v (x)
1
1
(3) 性质三：特解形如 F(D) sin(ax) 和 F(D)
cos(ax)
i. 观察该式（该种形式全能解法） ：
1
iax
F(D)
e
利用性质一和二解出结果，并 取相应的虚部和实部作为原方程的特解
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n 1
微分方程表示为：
D ( p )[ r ( t )] N ( p )[ e ( t )]
X
E0
d e(t ) dt
m
m
m 1
E1
e(t )
dt
m 1
Em 1
d e(t ) dt
算子表示：
C0 p r (t ) C1 p
n m n 1
r (t ) Cn 1 pr (t ) Cn r (t ) e(t ) Em 1 pe(t ) Eme(t )
X
E0 p e(t ) E1 p
m 1
第 4 页
(C0 p C1 p
n m
n 1
Cn 1 p Cn )r (t ) Em 1 p Em )e(t )
( E0 p E1 p
令：
m 1
D ( p ) C 0 p C1 p C n 1 p C n m m 1 E m 1 p E m N ( p ) E 0 p E1 p
§2.7 用算子符号表示微分方程
第
一．微分和积分算子
1．微分算子
p d dt
2 页
2．积分算子
1 p
t
(
)d
X
第 3 页
微分方程：
C0 d r (t ) dt
n n
C1
d
n 1
r (t )
n 1
dt d
源自文库
Cn 1
d r (t ) dt
Cn r (t ) Em e(t )