高三第一轮复习集合的表示
高考数学一轮复习 1.1 集合的概念与运算
2.如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集,2n-1 个真子集. 3.正确理解交、并、补集的含义是解决集合的运算问题的关键.数轴和 Venn 图是进行集合交、并、补运算的有力工具.
12
核心考点
(4)空集: 不含任何元素的集合
叫做空集,记作: ⌀
.
规定:空集是 任何集合的子集 .
4
知识梳理
双击自测
知识梳理
-5-
3.集合的基本运算
并集
符号 表示
A∪B
图形 表示
交集 A∩B
补集
设全集为 U,集合 A 的 补集∁UA
含义
A∪
B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B={x|x∈A,且 x∈B}
∁UA={x|x∈U,且 x∉ A}
-13-
考点一
考点二
考点三
考点一集合的基本概念
1.设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的
个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
关闭
由题意知 x=a+b,a∈A,b∈B,则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此,集合 M 共有 4 个元素.故选 B.
关闭
B
13 解析 答案
核心考点
-14-
考点一
考点二
考点三
2.若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a=( )
(6)设全集为 R,函数 y= 1-������2的定义域为 M,则∁RM={x|x>1,或 x<1}.( )
_第一章 集合 — 高三数学一轮复习备考
第一章 第一节 集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∈表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法2.集合的基本关系⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄⊆=⊆⊆⊆≠),,(),,()()1(B A A B B A B A A B B A B A 则若真包含则若相等包含其中，若B A ⊆，则称A 是B 的子集，若B A ≠⊂，则称A 是B 的真子集.(2)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.规定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.(3)集合中元素个数与子集个数的关系：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ,真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2. 3．集合的基本运算(1)并集的常考性质A ⊆A ∪B,B ⊆A ∪B. A ⊆B ⇔A ∪B=B. A ∪B=∅⇔A=B=∅. (2)交集的常考性质A ∩B ⊆A,A ∩B ⊆B. A ⊆B ⇔A ∩B=A. A ∩B=A ∪B ⇔A=B. (3)补集的常考性质A ∪(∁U A)=U A ∩(∁U A)=∅ ∁U (∁U A)=A ∁U (A ∩B)=(∁U A)∪(∁U B) ∁U (A ∪B)=(∁U A)∩(∁U B).考点1 集合的含义与表示1．已知集合A ={0，1，2}，则集合B =中元素的个数是( ) A ．1 B ．3C ．5D ．92．若集合A ={−1,1}，B ={0,2}，则集合{z|z =x +y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．23．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x −y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．104．已知集合A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．65．已知集合A ={(x,y)│x 2+y 2=1}，B ={(x,y)│y =x}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4{}|,x y x A y A -∈∈7．已知集合A={(x,y)|x,y为实数，且x2+y2=1}，B={(x,y)|x,y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为( )A．4 B．3 C．2 D．18.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= .9.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )A.4B.2C.0D.0或410.已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是( )A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}11.已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-112.设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.考点2 集合间关系1．若P={x|x<1},Q={x|x>−1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P2．已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x||x−2|≤5｝，则( )A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B3．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是( ) A．(−∞，−1] B．[1，+∞) C．[−1，1] D．(−∞，−1] ∪[1，+∞)4．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，4，5}，P=M∩N，则P的真子集共有( ) (A)2个(B)4个(C)6个(D)7个5．已知集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46．已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z7.已知集合∪B=A,则m= .8.若集合A={1,a,b},B={a,a 2,ab},且A ∪B=A ∩B,则实数a 的取值集合是 .9.已知a ∈R,b ∈R,若{ a,ln(b+1),1}={a 2,a+b,0},则a2018+b2018=________.考点3 集合间的基本运算1．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ( )(A)｛1，4｝ (B)｛2，3｝ (C){9，16}(D)｛1，2}2．已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )(A) 5 (B)4 (C)3 (D)23．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则C U A ∩B =（ ） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-4．已知全集U =R,A ={x|x ≤0},B ={x|x ≥1}，则集合C U (A ∪B)=( ) A ．{x|x ≥0} B ．{x|x ≤1} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0<x <1}5．已知集合P ={x |x 2−2x ≥0},Q ={x |1<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]6．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，C ={x ∈R|1⩽x <3} ，则()A C B =( )A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}7．已知集合均为全集的子集，且C U (AUB )={4}，，则A ∩C U B =( )A.{3} B ．{4} C ．{3，4}D ．8．若全集U ={1,2,3,4,5,6},M ={2,3},N ={1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩N C ．(C n M )∪(C n N ) D ．(C n M )∩(C n N )9．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩C I M =∅，则M ∪N =( )A ．MB ．NC ．ID ．∅10．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =( ) A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．411．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =( )A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}12．设集合A ＝{x ∈Z||x+1|≤3}，B ={x|32x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣4，﹣3，﹣2，0，2} B ．{2} C ．{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2} D ．{1，2}13.已知集合104x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2230B x x x =--≥，则A B 等于（ ）A ．(-1，1]B ．(](),11,-∞-+∞C ．[3，4)D ．(][),13,-∞-+∞14．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}2x x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >B A 、}4,3,2,1{=U {1,2}B =∅15．已知全集为，集合，，则( )A ．B ．{x|2≤x ≤4}C ．D ．16．设集合 则=( )A ．B ．C ．D ．17.设全集U=R,集合A={x|2x-x 2>0},B={y|y=e x +1},则A ∪B 等于( ) A.{x|x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|x>1} D.{x|x>0}18．设集合A ={x||x −1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)19．设集合M ={x|x 2=x}，N ={x|lg x ≤0}，则M ∪N =( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(−∞,1]20.已知全集为R,集合A={x|lgx ≤1},B={x|x 2-6x+8≤0},则A ∩(∁R B)= .21.已知U={y|y=log 2x,x>1}, P={y|y =1x ,x >2},则∁U P= ( )11A.[) B.(0,)221C.(0,)D. (,0][,)2+∞ +∞ -∞⋃+∞，22．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |e x -2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（1，4）C ．（1，2）D ．（1，2]R 112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B ={}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R A B (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞。
高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭 关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2������, -1
或
������ + 3 2������ >
≥ 4,
2������,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各 个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式 的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求 解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.
高三数学 第一轮复习 01：集合与命题
高中数学第一轮复习01集合与命题·知识梳理·模块01：集合的概念和性质1、集合概念能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个集合的元素.对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。
集合常用大写字母、、、C B A …来表示，集合中的元素用、、、c b a …表示，如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ∉，读作“a 不属于A ”。
全体自然数组成的集合，即自然数集，记作：N ；不包含零的自然数组成的集合，记作*N ；全体整数组成的集合，即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合，即实数集，记作R ；实数集R （正实数集+R ）、有理数集Q （负有理数集-Q ）、整数集Z （正整数集+Z ）、自然数集N （包含零）、不包含零的自然数集*N ；点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合；含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；规定空集不含元素，记作：∅。
2、集合的表示法集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法。
模块02：集合之间的关系与运算1、集合之间的关系对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以B A ⊆不要忘记Φ=A 。
高考一轮复习题型归纳专题1：集合
第一章：集合题型1、集合的基本概念知识点摘要：➢ 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。
➢ 集合常用的表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法。
➢ 元素与集合的关系：属于和不属于。
➢ 常用数集的表示：C —复数集；R —实数集；Q —有理数集；Z —整数集；N —自然数集；N+或N*—正整数集。
➢ 集合分类：①按元素个数分为有限集、无限集和空集；②按元素属性分为数集、点集和其他元素。
典型例题精讲精练：1. 若},,0{},,1{2b a a a b a +=，求20202020b a+的值.【答案：1】2. 已知集合，，且B A },,0{B },,,{A ==-=y x y x xy x 求实数x 与y 的值.【答案：x=y=-1】3. 设R b a ∈,,集合b}ab {0a}b a {1，，，，=+,则=-a b （ ）【答案：C 】 A.1 B.-1 C.2 D.-24. 集合A=},2,0{a ，B=},1{2a .若A ∪B={0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ）【答案：D 】A ．0 B.1 C.2 D.45. 已知集合{}5,4,3,2,1=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 集合中所含的元素的个数为（ ）【答案：D 】A.3B.6C.8D.10题型2、集合之间的基本关系知识点摘要：➢ 集合与集合之间的关系：①包含关系，②相等关系，③真子集关系。
➢ 规定：空集是任何集合的子集；是任何非空集合的真子集；一个集合是它自己的子集。
➢ 若集合有n 个元素，则该集合有n 2个子集，有12-n 个真子集，有22-n 个非空真子集。
典型例题精讲精练：2.1.集合关系判断问题1. 设集合},214||{},,412|{Z k k x x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（ ）【答案：B 】 N M A =. N M B ⊂. N M C ⊃. ∅=N M D I .2. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=023|x x x M ，集合N={}01)4(|≤-⋅-）（x x x ，则M 与N 的关系是（ ）【答案：D 】 A. M=N B.M ∈N C. N M ≠⊃ D. N M ≠⊂3. 已知{}x y R y M =∈=|， N={}2|m x R x =∈，则下列关系中正确的是（ ）【答案：B 】A. N M ≠⊃B. M=NC. M ≠ND. M N ≠⊃4. 集合{}{}{}Z m m z z S Z l l y y P Z k k x x M ∈+==∈+==∈-==,16|,,13|,,23|之间的关系是（ ）【答案：C 】A. M P S ≠⊂≠⊂B. M P S ≠⊂=C. M P S =≠⊂D. M P S =≠⊃2.2.已知集合间的关系，求参数的取值范围5. 已知集合{}1|2==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆,那么a 的值为 。
中职对口升学-高三数学第一轮复习：集合的概念及表示
典例解析
例2 已知集合A={x,y x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z} 元素的个数为( ).
A.9 B.8 C.5 D.4
则以
，
所以A中元素的个数为9.
技巧 点拨
对于求解集合中元素个数的题目,首先求出集合,然后 根据集合中元素的互异性求出集合中的元素,或利用数 形结合的方法求出集合中的元素.
解析
（1）“我国著名的数学家”不是一个明确的标准，不能构成一个集 合；（3）“高个子学生”这一标准也不确定，无法判定某人是高还 是矮，也不能构成集合；（2）（4）的对象是确定的；（5）的对象 虽然有无限个，但它是确定的.因此选C.
技巧 点拨
判断某组对象能否构成集合，关键看对象是否为整体的和 确定的.标准一定要是明确的，不能模糊，否则无法判断.
（2）按元素的特征分类：数集、点集等.
知识点一 集合的概念
5.常用的集合 常用的集合有正整数集（Z+或N*）、自然数集（N）、整数集（Z）、有理数集 （Q）、实数集（R）.
（1）正整数集.所有正整数组成的集合叫作正整数集，记作Z+或N*. （2）自然数集.所有自然数组成的集合叫作自然数集，记作N. （3）整数集.所有整数组成的集合叫作整数集，记作Z. （4）有理数集.所有有理数组成的集合叫作有理数集，记作Q. （5）实数集.所有实数组成的集合叫作实数集，记作R.
知识点二 集合的表示法
2.描述法 用集合所含元素的共同特征表示 集合的方法称为描述法.
描述法表示集合的一般形式是 {x| p(x)}，其中“x”是集合中元素 的代表形式，“p(x)”是集合中元 素的共同特征，两者之间的竖线 不可省略.
注意：用描述法表示集合时，要注意以下几点： （1）写清楚集合中元素的代表形式（一般用小写字母表示）. （2）写明集合中元素的特征或性质. （3）用于描述元素特征的语句要力求简明、准确，不产生歧义； 多层描述时，应当准确使用“且”“或”等关联词. （4）所有描述的内容都要写在大括号内. （5）在不引起混淆的情况下，用描述法表示集合时有时也可以 省去竖线和竖线左边的部分.例如，正整数的集合可简记为{正整 数}，但是，集合{x|x>1}就不能省略竖线及其左边的“x”.
高三数学一轮复习 第1章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念与运算精品课件
• 集合是高中数学的基础内容，也是高考数学的必考内容，难度 不大，一般是一道选择题或填空题．通过对近两年高考试题的统 计分析可以看出，对集合内容的考查一般以两种方式出现：一是 考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算．
• (3){x|x2－ax－1＝0}和{a|方程x2－ax－1＝0有实根}的意义不 同．{x|x2－ax－1＝0}表示由二次方程x2－ax－1＝0的解构成的集 合，而集合{a|方程x2－ax－1＝0有实根}表示方程x2－ax－1＝0有 实数解时参数a的范围构成的集合．
【变式训练】 1.现有三个实数的集合，既可以表示为a，ba，1， 也可表示为{a2，a＋b,0}，则 a2 011＋b2 011＝________.
命题与量 词、 基本 逻辑 联结 词
1.了解命题的概念． 2.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 3.理解全称量词与存在量词的含义． 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
充分条件、
必要
条件 1.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四
与命
种命题的相互关系．
题的 2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
①集合 S＝{a＋b 3|a，b 为整数}为封闭集； ②若 S 为封闭集，则一定有 0∈S； ③封闭集一定是无限集； ④若 S 为封闭集，则满足 S⊆T⊆R 的任意集合 T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
序号 结论
理由
• 【全解全析】对于任意整数 a1，b1，a2，b2，有 a1＋b1 3＋a2＋b2 3
B．{a|a≤2或a≥4}
高考数学一轮复习 集合与常用逻辑用语
有理数
数集
整数集
实数集 复数集
集
集
集
符号
3.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合之间存在两种关系：如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a ________集合 A， 记作________；如果 a 不是集合 A 中的元素，
就说 a________集合 A，记作________．
(2)集合与集合之间的关系
自查自纠：
1．(1)元素 集合 (2)确定性 互异性 无序性
(3)列举法 描述法
2．N N*(N＋) Z Q R C 3．(1)属于 a∈A 不属于 a∉A
(2)A⊆B 且 B⊆A A⊆B B⊇A A B B A 非空集合 2n 2n－1 2n－2
4．A∪B A∩B ∁UA {x|x∈A 或 x∈B}
解：由 x2－x－2＞0 得(x－2)(x＋1)＞0，解得 x＜－ 1 或 x＞2，所以 A＝{x|x＜－1 或 x＞2}，所以∁RA＝{x|
－1≤x≤2}．故选 B.
(2017·全国卷Ⅱ)设集合 Α＝{1，2，4}，Β＝{x|x2
－4x＋m＝0}．若 Α∩Β＝{1}，则 Β＝( )
A．{1，－3}
a2－a＋1}，且 B⊆A，则 a 的值为________．
解：因为 B⊆A，所以 a2－a＋1∈A，所以 a2－a＋1 ＝3 或 a2－a＋1＝a.由 a2－a＋1＝3，得 a＝2 或 a＝－1； 由 a2－a＋1＝a，得 a＝1.经检验，a＝1 时集合 A，B 不满
足集合中元素的互异性，舍去．故 a＝－1 或 a＝2.故填－
2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念．
(2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆
集合高考数学一轮复习课件
归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：集合中各元素之间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
集合的概念及表示
练习 2、下列说法中正确的是________． ①参加 2012 年中央电视台举办的春节联欢
晚会的优秀演员能组成集合；
即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
集合
补集的性质 (1)∁UU＝___∅______； (2)∁U∅＝_____U_____； (3)A∪(∁UA)＝____U_____； (4)A∩(∁UA)＝____∅_____； (5)∁U(∁UA)＝____A_____； (6)(∁UA)∪(∁UB)＝____∁_U(_A_∩__B_)______； (7)(∁UA)∩(∁UB)＝____∁_U_(_A_∪__B_) _______．
是非负整数，|－ 3|＝ 3是无理数，因此，① ②③正确，④错误．
集合的概念及表示
4、集合中元素的特征 (1)确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了， 即任何对象都能明确它是或不是这个集合的元素，两者必居其一，不会模 棱两可．这是判断一组对象能否构成集合的标准．如“ 较大的整数”就不能 构成集合．
无代表元素．D 代表元素写错．
集合的概念及表示 三、集合的分类
按照集合中元素个数的多少，集合分为有限集、无限集和空集。
类别
意义
有限集 含 有限 个元素的集合叫有限集．
无限集 含 无限 个元素的集合叫无限集.
空集 不含有任何元素的集合叫作空集，记作_∅__.
集合间的关系
第二讲 集合间的关系
给出下面两个集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
高三一轮复习集合知识点和题型
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。
设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。
也就是说集合中的元素是不重复出现的。
集合中相同的元素只能算是一个。
（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。
特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。
如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。
知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。
还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。
数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。
（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。
知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。
高三理科数学一轮总复习第一章 集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语高考导航知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一 集合中元素的性质【例1】设集合A ＝{a ＋1，a －3，2a －1，a 2＋1}，若－3∈A ，求实数a 的值. 【解析】令a ＋1＝－3⇒a ＝－4，检验合格； 令a －3＝－3⇒a ＝0，此时a ＋1＝a 2＋1，舍去； 令2a －1＝－3⇒a ＝－1，检验合格； 而a 2＋1≠－3；故所求a 的值为－1或－4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A 的元素，但A 中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a 的值以后，又需要由元素的互异性检验a 是否符合要求.【变式训练1】若a 、b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求a 和b 的值.【解析】由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，得①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+a b a b b a ,1,0 或②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+1,,0b a a b b a 显然①无解；由②得a ＝－1，b ＝1.题型二 集合的基本运算【例2】已知A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a .【解析】由已知得A ＝{3，5}.当a ＝0时，B ＝∅⊆A ；当a ≠0时，B ＝{1a}.要使B ⊆A ，则1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或15.综上，a ＝0或13或15.【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.【变式训练2】(2010江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于()A.{x|－1≤x≤1}B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1}D.【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}【解析】选C.化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁R M∩N＝{x|1＜x≤2}.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.1.2命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.【解析】(1)逆命题：若m＋n是奇数，则m，n都是奇数，假命题；否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；逆否命题：若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题.(2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是()A.若⌝p，则⌝qB.若⌝q，则⌝pC.若q，则pD.若⌝q，则p【解析】选B.题型二充分必要条件探究【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若⌝p是⌝q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|3＜x＜5或－5＜x＜－3}.由题设有：⌝q⇒⌝p且⌝p不能推出⌝q，所以p⇒q且q不能推出p，所以A⊆B.因为m＞0，所以(2－m，2＋m)⊆(3，5)，故由2＋m≤5且2－m≥3⇒0＜m≤5－2，故实数m的取值范围为(0，5－2].【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是()A.0≤a≤2B.－2＜a＜2C.0＜a≤2D.0＜a＜2【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列{a n}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝n－1a1a n成立的充要条件是{a n}为等差数列.【证明】(1)(充分性)若{a n}为等差数列，设其公差为d，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n－1a n＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1a n－1－1a n)]＝1d(1a1－1a n)＝a n－a1da1a n＝n－1a1a n.(2)(必要性)若1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＝n －1a 1a n ，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减得1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1－n －1a 1a n ⇒a 1＝na n －(n －1)a n ＋1.①于是有a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2，②由①②得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1(n ≥2). 又由1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3⇒a 3－a 2＝a 2－a 1，所以n ∈N *,2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，故{a n }为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求. 【变式训练3】设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x sin x ＜1，因为x ∈(0，π2)，所以x sin x ＞x sin 2x ，由此可得x sin 2x ＜1，即必要性成立.若x sin 2x ＜1，由于函数f (x )＝x sin 2x 在(0，π2)上单调递增，且π2sin 2π2＝π2＞1，所以存在x 0∈(0，π2)使得x 0sin 2x 0＝1.又x 0sin x 0＞x 0sin 2x 0＝1，即x 0sin x 0＞1，所以存在x 0′∈(0，x 0)使得x 0′sin 2x 0′＜1，且x 0′sin x 0′≥1，故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.3.p 是q 的充分条件，即p ⇒q ，相当于分别满足条件p 和q 的两个集合P 与Q 之间有包含关系：P ⊆Q ，即P Q 或P ＝Q ，必要条件正好相反.而充要条件p ⇔q 就相当于P ＝Q .4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p ，则q ”为真；②p ⇒q ；③p 是q 的充分条件；④q 是p 的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一 全称命题和特称命题的真假判断 【例1】判断下列命题的真假.(1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1＞12；(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有x －y ∈N ； (4)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.【解析】(1)真命题，因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞12.(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意.(3)假命题，例如x ＝1，y ＝5，但x －y ＝－4∉N . (4)真命题，例如x 0＝0，y 0＝3，符合题意.【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0.则下面结论正确的是( )A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧⌝q ”是假命题C.命题“⌝p ∨q ”是真命题D.命题“⌝p ∧⌝q ”是假命题【解析】选D.先判断命题p 和q 的真假，再逐个判断.容易知命题p 是真命题，如x ＝π4，⌝p 是假命题；因为当x ＝0时，x 2＝0，所以命题q 是假命题，⌝q 是真命题.所以“p ∧q ”是假命题，A 错误；“p ∧⌝q ”是真命题，B 错误；“⌝p ∨q ”是假命题，C 错误；“⌝p ∧⌝q ”是假命题，D 正确.题型二 含有一个量词的命题的否定 【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0. 【解析】(1) ⌝p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，是假命题.(2) ⌝q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. (3) ⌝r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0，是真命题. (4)⌝s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3x ＞0，则⌝p 为 .【解析】∃x 0∈(1，＋∞)，log 3x 0≤0. 题型三 命题的真假运用【例3】若r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果“对任意的x ∈R ，r (x )为假命题”且“对任意的x ∈R ，s (x )为真命题”，求实数m 的取值范围.【解析】因为由m ＜sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)恒成立，得m ＜－2；而由x 2＋mx ＋1＞0恒成立，得m 2－4＜0，即－2＜m ＜2.依题意，r (x )为假命题且s (x )为真命题，所以有m ≥－2且－2＜m ＜2， 故所求m 的取值范围为－2≤m ＜2.【点拨】先将满足命题p 、q 的m 的取值集合A 、B 分别求出，然后由r (x )为假命题(取A 的补集)，s (x )为真命题同时成立(取交集)即得.【变式训练3】设M 是由满足下列性质的函数f (x )构成的集合：在定义域内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立.已知下列函数：①f (x )＝1x；②f (x )＝2x ；③f (x )＝lg(x 2＋2)；④f (x )＝cos πx ，其中属于集合M 的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).【解析】②④.对于①，方程1x ＋1＝1x＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x ＋1＝2x ＋2，解得x ＝1；对于③，方程lg[(x ＋1)2＋2]＝lg(x 2＋2)＋lg 3，显然也无实数解； 对于④，方程cos[π(x ＋1)]＝cos πx ＋cos π， 即cos πx ＝12，显然存在x 使等式成立.故填②④.总结提高1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.。
高考数学复习笔记1第一章 第一节 集合
数学一轮总复习 第一章 集合与简易逻辑第一节 集合【考纲要求】【知识网络】【考点梳理】 一．集合的概念：集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算 描 述 法图 示 法列 举 法 相 等 包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集1.一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、…… 2.集合中元素特征（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 3.集合的分类：根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分Φ，}{Φ，}0{，0等符号的含义 4、常用数集（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N *或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *二．集合的表示法：1.列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；2.描述法：例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 3.韦恩图： 4.区间法：三．集合间的基本关系：1.元素与集合的关系，用∈或∉表示；属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.2.集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。
2021届高三数学一轮复习—— 集 合
2021届高三数学一轮复习——集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x ∈A，且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁U A概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．(√)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案D3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．答案4解析因为(A∪B)⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝________.答案(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．题组三易错自纠5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有()A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案ACD解析易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析因为B⊆A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m ≠1，所以m ＝0或3.7．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 答案 0或1或－1解析 易得M ＝{a }．∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ， ∴N ＝∅或N ＝M ，∴a ＝0或a ＝±1.集合的含义与表示1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1； 当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 3．给出下列四个命题： ①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}；②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②。
高三数学集合知识点归纳总结
高三数学集合知识点归纳总结在高三数学学习的过程中，集合是一个非常重要的概念。
集合是数学中研究对象的一个基础概念，对于解决问题和理解其他数学知识都扮演着重要的角色。
因此，我们需要对集合的相关知识点进行归纳总结，以便更好地掌握和应用。
1. 集合的基本概念集合是由一些特定对象组成的整体。
其中，组成集合的对象称为元素，记作"a∈A"。
如果元素a属于集合A，我们可以说a是A 的元素，反之亦然。
另外，如果一个集合不包含任何元素，我们称其为空集，记作"∅"。
2. 集合的表示方法集合可以通过列举元素的方式表示，也可以通过描述元素的特性表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合；集合B={x|x是正整数}表示B是由所有正整数组成的集合。
3. 常见集合在数学中，有一些常见的集合，如自然数集合N、整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R等。
这些集合在解决数学问题时经常被使用。
4. 集合的运算4.1 并集两个集合A和B的并集，记作A∪B，表示由所有属于A或属于B的元素组成的集合。
例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
4.2 交集两个集合A和B的交集，记作A∩B，表示由既属于A又属于B的元素组成的集合。
例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
4.3 差集两个集合A和B的差集，记作A-B，表示由属于A但不属于B 的元素组成的集合。
例如，若A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A-B={1}。
4.4 互斥集合如果两个集合A和B的交集为空集，即A∩B=∅，则称A和B互斥。
4.5 包含关系若集合A的所有元素都属于集合B，即A的任意元素都是B的元素，则称B包含A，记作A⊆B。
5. 集合的性质5.1 交换律集合的并集和交集操作满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
高三数学一轮复习集合的常用结论与考点归纳
高三数学一轮复习集合的常用结论与考点归纳一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B(或B?A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A B或B A.
二、常用结论
考点一集合的基本概念
考点二集合间的基本关系
考点三集合的基本运算。
高中数学一轮复习(含答案)1.1 集合
第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A . (3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A .二、常用结论(1)子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B .(2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A .(4)补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集．(6)等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B .考点一 集合的基本概念[典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1[解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.(2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.[答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练]1．设集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{x |－x ∈A,1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ；当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ；当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98. 3.（2018·厦门模拟）已知P ={x |2<x <k ,x ∈N},若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为_____________ 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P =｛3，4，5｝，故k 的取值范围为5<k ≤6.答案：（5，6］ 考点二 集合间的基本关系[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·湖北八校联考)已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8(3)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．[解析] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C. (2)∵A ＝{x ∈N *|x 2－3x <0}＝{x ∈N *|0<x <3}＝{1,2}，又B ⊆A ，∴满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为22＝4，故选C.(3)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．若B ⊆A ，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (1)C (2)C (3)(－∞，1][变透练清]1.(变条件)若本例(2)中A 不变，C ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆B ⊆C 的集合B 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 因为A ＝{1,2}，由题意知C ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的B 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．2.(变条件)若本例(3)中，把条件“B ⊆A ”变为“A ⊆B ”，其他条件不变，则m 的取值范围为________．解析：若A ⊆B ，由⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3得m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞) 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2；②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意；③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)考点三 集合的基本运算考法(一) 集合的运算[典例] (1)(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] (1)∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R|－1≤x ＜2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．(2)依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}． [答案] (1)C (2)D考法(二) 根据集合运算结果求参数[典例] (1)已知集合A ＝{x |x 2－x －12>0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x >4}，则实数m 的取值范围是( )A ．(－4,3)B ．[－3,4]C ．(－3,4)D ．(－∞，4](2)(2019·河南名校联盟联考)已知A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a ＋1,2a }，若A ∩B ＝{4}，则a ＝( )A ．3B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] (1)集合A ＝{x |x <－3或x >4}，∵A ∩B ＝{x |x >4}，∴－3≤m ≤4，故选B.(2)∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4.若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4,6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3,4}，不符合题意．综上，a ＝3，故选A. [答案] (1)B (2)A[题组训练]1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为集合B ＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，而A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．2．(2019·重庆六校联考)已知集合A ＝{x |2x 2＋x －1≤0}，B ＝{x |lg x <2}，则(∁R A )∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫12，100B.⎝⎛⎭⎫12，2C.⎣⎡⎭⎫12，100 D ．∅解析：选A 由题意得A ＝⎣⎡⎦⎤－1，12，B ＝(0,100)，则∁R A ＝(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，100. 3．(2019·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1. [课时跟踪检测]1．(2019·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2,6}B ．{3,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，所以A ∪B ＝{1,3,4,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{2,6}．3．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |0＜x ≤1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}，∴∁R B ＝{x |x ＜1}．∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}，∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．4．(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4}，集合N ＝{x |x 2－2x <0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪(∁R N )＝MC ．N ∪(∁R M )＝RD ．M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得，N ＝(0,2)，M ＝(－∞，4)，所以M ∪N ＝M .5．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2，即2－1≤2x <212，∴－1≤x <12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0，即ln x ≤ln 1，∴0<x ≤1，∴B ＝{x |0<x ≤1}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12. 6．(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又因为A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2.7．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．9．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________. 答案：{－1,0}解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．10．已知集合U ＝R ，集合A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析：∵A ＝[－5,2]，B ＝(1,4)，∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}．答案：{x |－5≤x ≤1}11．若集合A ＝{(x ，y )|y ＝3x 2－3x ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则集合A ∩B 中的元素个数为________． 解析：法一：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1)，所以A ∩B 中含有2个元素． 法二：由集合的意义可知，A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合．因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0，所以该方程有两个不相等的实根，所以A ∩B 中含有2个元素．答案：212．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4.答案：(4，＋∞)13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．(1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}．易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．。
高三有关集合的知识点总结
高三有关集合的知识点总结在高三学习集合的过程中，我们需要掌握并理解一些重要的知识点。
本文将对高三有关集合的知识点进行总结，帮助同学们更好地复习和应对考试。
一、集合的概念与表示方法1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
对象称为集合的元素，元素之间没有顺序关系。
2. 集合的表示方法：描述法和列举法。
描述法通过描述元素的特征来表示集合，列举法通过列举出所有的元素来表示集合。
二、集合的基本运算1. 并集：将两个或多个集合中的所有元素放在一起，去除重复元素得到的新集合。
2. 交集：找出两个或多个集合中共有的元素构成的新集合。
3. 差集：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素得到的新集合。
4. 互斥集：两个集合没有共同元素，即交集为空集。
三、集合的运算性质1. 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A2. 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)3. 分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)4. 幂等律：A∪A = A，A∩A = A5. 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A6. 对偶律：(A∪B)' = A'∩B'，(A∩B)' = A'∪B'四、特殊集合的性质1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
2. 全集：包含所有元素的集合，通常用符号U表示。
3. 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A为集合B的子集，记作A⊆B。
4. 并集的性质：A⊆B，则A∪B = B；A∪∅ = A。
5. 交集的性质：A⊆B，则A∩B = A；A∩∅ = ∅。
五、常用的集合表示方法1. 自然数集：N = {0, 1, 2, 3, ...}2. 整数集：Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}3. 有理数集：Q = {p/q | p, q∈Z，q≠0}4. 实数集：R5. 负整数集：Z- = {..., -3, -2, -1}6. 正整数集：Z+ = {1, 2, 3, ...}六、集合的应用1. 判断命题的真值：通过判断命题中的元素是否属于某个集合，来确定命题的真值。
2025年高考一轮复习1.1.2集合的表示-专项训练【含解析】
2025年高考一轮复习-1.1.2-集合的表示-专项训练【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．把集合{x |x 2－4x ＋3＝0}用列举法表示为()A ．{1,3}B ．{x |x ＝1，x ＝3}C ．{x 2－4x ＋3＝0}D ．{x ＝1，x ＝3}2，52，73，94，…()|x ＝2n ＋12n ，n ∈N*|x ＝2n ＋3n ，n ∈N*|x ＝2n －1n ，n ∈N*|x ＝2n ＋1n，n ∈N*3．若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，则下列关系正确的是()A ．－2∈AB ．2∈AC ．2∉AD ．－4∉A 4．下列集合恰有两个元素的是()A ．{x 2－x ＝0}B ．{x |y ＝x 2－x }C ．{y |y 2－y ＝0}D ．{y |y ＝x 2－x }5．定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{2,3,6}，则A －(A －B )等于()A ．B B ．{2,3}C ．{1,4,5}D ．{6}6．(多选题)下列说法中，不正确的是()A．方程2x－1＋|3y＋3|＝0的解组成的集合是{12，－1} B．方程x2－x－6＝0的所有实数根组成的集合为{(－2,3)}C．集合A＝{y|y＝2x2－1}，B＝{(x，y)|y＝2x2－1}，C＝{y＝2x2－1}表示同一个集合D．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为{0,6,1,5,2,2}7．设集合A＝{2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,2－x2∉A}，则集合B 中所有元素的和为()A．－9B．3C．－6D．－58．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10二、填空题9．用列举法表示方程x2－(2a＋3)x＋a2＋3a＋2＝0的所有实数根组成的集合为．10．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．三、解答题11．用适当的方法表示下列集合：(1)x－3y＝14，x＋2y＝8的解组成的集合；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根组成的集合；(4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；(6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．12．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A ＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.13．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n＝m＋n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n＝mn.在上述定义下，集合M＝{(x，y)|x⊗y＝36，x∈N＋，y∈N＋}中元素的个数为()A．48B．41C．40D．3914．已知有限集A＝{a1，a2，…，a n}(n≥2)．如果A中的元素a i 满足a1·a2·…·a n＝a1＋a2＋…＋a n，就称A为“复活集”．给出下列结论：②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4；③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”．其中说法正确的是()A．①③B．②②C．③D．都不正确15．给出下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；＋y＝3，－y＝－1的解组成的集合为{x＝1，y＝2}．其中不正确的有.(把所有符合题意的序号都填上)16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．2025年高考一轮复习-1.1.2-集合的表示-专项训练【解析版】时间：45分钟一、选择题1．把集合{x |x 2－4x ＋3＝0}用列举法表示为(A )A ．{1,3}B ．{x |x ＝1，x ＝3}C ．{x 2－4x ＋3＝0}D ．{x ＝1，x ＝3}解析：解方程x 2－4x ＋3＝0得x ＝1或x ＝3，用列举法表示原有集合为{1,3}．2，52，73，94，…(D )|x ＝2n ＋12n ，n ∈N*|x ＝2n ＋3n ，n ∈N*|x ＝2n －1n，n ∈N*|x ＝2n ＋1n，n ∈N*解析：由3，52，73，94，即31，52，73，94发现规律，x ＝2n ＋1n，n ∈N *，|x ＝2n ＋1n ，n ∈N*3．若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，则下列关系正确的是(B )A ．－2∈AB ．2∈AC ．2∉AD ．－4∉A解析：由x 2＋2x －8＝0可得(x ＋4)(x －2)＝0，解得x＝－4或x＝2，所以A＝{－4,2}，因此2∈A，－4∈A.4．下列集合恰有两个元素的是(C)A．{x2－x＝0}B．{x|y＝x2－x}C．{y|y2－y＝0}D．{y|y＝x2－x}解析：A表示只有一个方程x2－x＝0的集合；B表示函数y＝x2－x中自变量的取值集合，有无数个元素；C表示方程y2－y＝0的所有实数根组成的集合，有0,1两个元素；D表示函数y＝x2－x的函数值的取值集合，有无数个元素．5．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,3,6}，则A－(A－B)等于(B)A．B B．{2,3}C．{1,4,5}D．{6}解析：由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,3,6}，得A－B＝{1,4,5}，则A－(A－B)＝{2,3}．6．(多选题)下列说法中，不正确的是(ABCD)A．方程2x－1＋|3y＋3|＝0的解组成的集合是{12，－1} B．方程x2－x－6＝0的所有实数根组成的集合为{(－2,3)}C．集合A＝{y|y＝2x2－1}，B＝{(x，y)|y＝2x2－1}，C＝{y＝2x2－1}表示同一个集合D．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为{0,6,1,5,2,2}解析：A中二元方程的解组成的集合应为点集{(12，－1)}，而{12，－1}是数集，故A不正确；B中方程为一元二次方程，其所有实数根组成的集合应为数集{－2,3}，而{(－2,3)}是点集，故B不正确；C中A为二次函数y＝2x2－1的所有函数值组成的集合，是数集，而B是二次函数y＝2x2－1的图象上所有的点组成的集合，是点集，C表示以等式y＝2x2－1为元素的集合，是式集，所以A，B，C表示的不是同一个集合，故C不正确；D中x，y满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有＝0，＝6，＝1，＝5，＝2，＝2，所以A＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．故D不正确．7．设集合A＝{2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,2－x2∉A}，则集合B 中所有元素的和为(D)A．－9B．3C．－6D．－5解析：当x＝－2或－3时，2－x2＝－2或－7，有2－x2∉A；而当x＝0或－1时，2－x2＝2或1，有2－x2∈A.因此，根据集合B的定义可知B＝{－2，－3}，所以集合B中所有元素的和为－5.8．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(B)A．14B．13C．12D．10解析：a，b∈{－1,0,1,2}，可分下列两种情形：①当a＝0时，方程为2x＋b＝0，此时一定有解，当b＝－1，0,1或2时，满足条件的有序数对为(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)；②当a≠0时，方程为一元二次方程，则Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.当a＝－1,1或2时，满足条件的有序数对为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．故关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为13.二、填空题9．用列举法表示方程x2－(2a＋3)x＋a2＋3a＋2＝0的所有实数根组成的集合为{a＋1，a＋2}．解析：根据题意知将方程x2－(2a＋3)x＋a2＋3a＋2＝0变形可得[x －(a＋1)][x－(a＋2)]＝0，得x1＝a＋1，x2＝a＋2，则其所有实数根组成的集合为{a＋1，a＋2}．10．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有6个．解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．三、解答题11．用适当的方法表示下列集合：(1)x－3y＝14，x＋2y＝8的解组成的集合；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；(3)方程x2－2x＋1＝0的所有实数根组成的集合；(4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；(6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．解：(1)x－3y＝14，x＋2y＝8，＝4，＝－2，故方程组的解组x，y)＝4，＝－2也可用列举法表示为{(4，－2)}．(2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3,5,7,11，可用列举法表示为{3,5,7,11}．(3)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}．(4)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}．(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．(6)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．12．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A ＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.解：集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根分别为－3,1.3＋1＝a＋1，3×1＝b，＝－3，＝－3.所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±23，所以B＝{－3－23，－3＋23}．13．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n＝m＋n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n＝mn.在上述定义下，集合M＝{(x，y)|x⊗y＝36，x∈N＋，y∈N＋}中元素的个数为(B)A．48B．41C．40D．39解析：若x和y一个为奇数，一个为偶数，则xy＝36，满足此条件的有1×36,3×12,4×9，故点(x，y)有6个；若x和y都为偶数或奇数，则x＋y＝36，满足此条件的有1＋35,2＋34,3＋33,4＋32，…，35＋1，对应的点(x，y)有35个．综上可知，集合M中元素的个数为6＋35＝41.14．已知有限集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ≥2)．如果A 中的元素a i满足a 1·a 2·…·a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”．给出下列结论：②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4；③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”．其中说法正确的是(A )A ．①③B ．②②C ．③D ．都不正确解析：∵－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，∴①是正确的．②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由根与系数的关系知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个不相等的实数根．由Δ>0，可得t <0或t >4，即a 1a 2<0或a 1a 2>4，故②错误．③不妨设A 中a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1·a 2·…·a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n <na n ，得a 1·a 2·…·a n －1<n ，当n ＝2时，即有a 1<2.∵a 1∈N *，∴a 1＝1.于是1＋a 2＝a 2，无解．即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确．15．给出下列说法：①集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法表示为{－1,0,1}；②实数集可以表示为{x |x 为所有实数}或{R }；＋y ＝3，－y ＝－1的解组成的集合为{x ＝1，y ＝2}．其中不正确的有①②③.(把所有符合题意的序号都填上)解析：①由x 3＝x ，即x (x 2－1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.因为－1∉N ，所以集合{x ∈N |x 3＝x }用列举法表示应为{0,1}．②集合表示中的符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R ”已表示所有的实数构成的集合，实数集正确的表示应为{x |x 为实数}或R .＋y ＝3，－y ＝－1的解是有序实数对，而集合{x ＝1，y ＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1,2)}x，y)＝1，＝2故①②③均不正确．16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.。
集合的含义与表示
教学过程一、复习预习初中所学过的数的范围二、知识讲解考点/易错点1集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．考点/易错点2集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．考点/易错点3集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．考点/易错点4自然数集记作N；正整数集记作N*或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R．考点/易错点5元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．考点/易错点6集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集．三、例题精析【例题1】下列说法正确的是()A．数学成绩较好的同学可以组成一个集合B．所有绝对值接近于零的数组成一个集合C．集合{1,2,3}与集合{3,2,1}表示同一个集合D．1,0.5，12，23，46组成一个含有5个元素的集合解析：对于A项，“成绩较好”没有标准，不符合元素的确定性，故不正确；对于B 项，“绝对值接近于零的数”标准不明确，不构成集合，故不正确；对于C项，集合{1,2,3}与{3,2,1}元素相同，是相等集合，因此正确；对于D项，1,0.5，12，23，46组成一个含有3个元素的集合121,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故不正确．答案：C【例题2】给出命题①太原五中高一年级的全体好学生构成一个集合②{a，b，c，d}与{d，c，a，b}是两个相同的集合③A={1，2，3}，B={3，4}，则A∪B={1，2，3，3，4}④0∈，其中正确命题的个数为（）A、3个B、2个C、1个D、0个【答案】C【解析】解：好学生是一个不确定的概念，故给出命题①太原五中高一年级的全体好学生构成一个集合，错误；由集合元素的无序性，可得②{a ，b ，c ，d}与{d ，c ，a ，b}是两个相同的集合，正确； ∵A={1，2，3}，B={3，4}，由集合元素的互异性，则A ∪B={1，2，3，4}，故C 错误； 空间不含任何元素，故D ：0∈错误； 故正确命题共有1个故选C 点评：本题以命题的真假判断为载体考查了集合元素的性质及基本概念，熟练掌握集合元素的性质是解答的关键．【例题3】 设集合6|2B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭N N ． (1)试判断元素1,2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B ．解析：判断集合B 与元素1,2的关系，只要代入验证即可．解：(1)当x ＝1时，621+＝2∈N ． 当x ＝2时，62＋2＝63222=∈+N ．因此1∈B,2∉B ． (2)∵62x +∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取2,3,6． ∴x 只能取0,1,4．∴B ＝{0,1,4}．四、课堂运用【基础】【题干】用符号“∈”或“∉”填空：⑴设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国_________A ，美国_________A ，印度_________A ，英国_________A ．⑵372________Q ，32_________N ，π___________ Q ，2__________ R ， 9________Z ，2)5(__________ N * ．【答案】⑴设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国___∈___A ，美国____∉__A ，印度____∉_____A ，英国___∉____A ．⑵372__∈____Q ，32___∈______N ，π_____∉____ Q ，2___∈_____ R ，9___∈_____Z ，2)5(___∈____ N * ．【解析】元素和集合的关系，牢记特定集合的表示。
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第2课时 集合的表示【知识提炼】 1.列举法表示集合(1)定义:把集合的元素_________出来,并用_____________括起来表示集合的方法.(2)形式:A={a1,a2,a3,…,an}. 2.描述法表示集合(1)定义:用集合所含元素的_________表示集合的方法.(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的_________及 _________________,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素 所具有的_________. 【即时小测】 1.思考下列问题(1)“地球上的四大洋”能组成一个集合吗?它有几个元素?你能把这个集合表示出来吗?(2)你能应用列举法表示不等式x-7<3的解集吗?为什么?(3)集合{x ∈N|x 3=x}与集合{-1,0,1}相等吗?2.若P={1,(1,2)},则集合P 中元素的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.用列举法表示集合{x|x 2-3x+2=0}为 ( )A.{(1,2)}B.{(2,1)}C.{1,2}D.{x2-3x+2=0} 4.用描述法表示大于1且小于3的实数的集合为 .【总结提升】1.列举法表示集合的适用范围通常适用于元素个数有限的集合,但也可以表示元素个数无限的集合.若元素的个数比较少,用列举法表示比较简单;若集合中的元素个数比较多或无限多,但呈现一定的规律性,在不发生误解的情况下也可以列举出几个元素作为代表,其他的元素用省略号表示. 2.用列举法表示集合的注意点(1)元素间用分隔号“,”. (2)元素不重复. (3)元素无顺序. (4)元素不能遗漏.(5)用列举法表示有特殊规律的元素个数无限的集合时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号,如正整数集可表示为{1,2,3,4,…}. 知识点2 描述法表示集合观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:描述法的适用范围是什么?问题2:一个集合是否既可用列举法表示也可用描述法表示?【总结提升】1.描述法的适用范围、表示的关键及特点(1)适用范围:通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合,或者根本就不能一一列举的集合.(2)关键:找到集合中的元素及所具有的共同特征.(3)特点:能抓住集合的本质,清楚所要表示集合的属性. 2.描述法表示集合时应关注的四点(1)写清集合中的代表元素,可以是数、点、式子或其他类型.一般地,用一个字母代表数集中的元素,用一个有序实数对代表点集中的元素.(2)竖线后说明该集合中元素具有的性质,如满足方程(组)、不等式(组)、函数或几何图形等.(3)描述部分若出现元素符号以外的字母时,要对新字母说明其含义和指出其取值范围.(4)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内.课题 集合的表示 主备人：石春丹 课型：新课 时间：2017.4五原县叶建灵心灵成长中心 高一数学 学练案教师精细诱导 学生自主学习 知识落实训练【题型探究】类型一列举法表示集合【典例】1.用列举法表示下列集合:(1)我国的直辖市组成的集合为.(2)联合国安理会五大常任理事国组成的集合为.2.用列举法表示下列给定的集合:(1)大于1且小于6的整数组成的集合A.(2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B.(3)小于8的质数组成的集合C.(4)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.类型二描述法表示集合【典例】用描述法表示下列集合:(1)被3除余2的正整数的集合.(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.类型三集合表示方法的应用【典例】1.(2015·昆明高一检测)设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-5x-a=0}中所有元素之和为.2.已知集合A={x|x2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( )A.{x|x是小于18的正奇数}B.{x|x=4k+1,k∈Z,且k<5}C.{x|x=4t-3,t∈N,且t≤5}D.{x|x=4s-3,s∈N*,且s≤5}2.(2015·德州高一检测)用描述法表示下图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x≤0或-2≤y≤0}二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知集合M={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=0}中各元素之和为3,则实数a的值为.4.(2015·南通高一检测)A={1,2,3},B={1,2},定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则集合A+B中元素的最大值是. 【补偿训练】已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3}.定义P⊖Q={x|x=p-q,p∈P,q ∈Q},则集合P⊖Q的所有元素之和为.三、解答题(每小题10分,共20分)5.设集合B=.(1)试判断元素1和2与集合B的关系.6.(2014·福建高考改编)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,试写出所有符合条件的有序数组(a,b,c,d).课时提升作业(二)集合的表示(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高一检测)集合{x|-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示应是( )A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}【补偿训练】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y)|y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2015·北京高一检测)方程组的解集是( ) A.{x=1,y=1} B.{1}C.{(1,1)}D.{(x,y)|(1,1)}3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x2-x=0}B.{y|y2-y=0}C.{x|y=x2-x}D.{y|y=x2-x}4.(2015·南昌高一检测)若1∈{x,x2},则x= ( )A.1B.-1C.0或1D.0或1或-15.下列集合表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}C.M={4,5},N={5,4}D.M={1,2},N={(1,2)}二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知集合A={x|x2=a,x∈R},则实数a的取值范围是7.(2015·汉中高一检测)若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为.8.设A={4,a},B={2,ab},若A与B相等,则a+b= .三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·重庆高一检测)用适当的方法描述下列集合,并指出所含元素的个数.(1)大于0且小于10的奇数构成的集合.(2)不等式x-3≥1的解集.(3)抛物线y=x2上的点构成的集合.2通过对三垂线定理的探索过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想，具体体现在线线垂直与线面垂直的辨证关系上：线⊥线判定线⊥面性质线⊥线3、通过数学严密的逻辑推理教学，使学生感受数学的严谨性，体会数学的美。
4、渗透转化思想〖学习重点〗三垂线定理的理解和应用〖学习难点〗变换位置下的三垂线定理的应用〖学习方法〗自学法、引导法、探究法【学习过程】：一、复习提问：1、线⊥线判定线⊥面性质线⊥线2、何为平面的斜线、何为斜线在平面上的射影？二、新课讲授：【问题探究】：已知PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影. a⊂α,a⊥AO。
求证：a⊥PO【学生活动】：分组合作完成汇报，师生共同归纳总结（一）三垂线定理：（让学生看书找答案，汇报）如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。
（垂影则垂斜）【师生互动】：1、分析定理中的3个垂直关系：（1）、PA⊥α（线面垂直）（2）、a ⊥AO （线影垂直）（3）、a ⊥PO （线斜垂直）2、分析定理中的4条直线：PA—垂线PO—斜线AO—射影a—平面内的直线（教师对照上图让学生找到相应的垂直关系以及直线）【知识应用】：例1、已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC,求证：PC⊥BC【模仿训练】：练习1：已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。
AαaOPPA BC求证：PO ⊥BD, PC ⊥BD练习2：已知: PA ⊥平面PBC ，M是BC 的中点 ，且PB=PC 求证： BC ⊥ AM【设计意图】：深化对定理的理解【变式训练】：例2、在正方体AC 1中，求证 ：A 1C ⊥BD ， A 1C ⊥BC 1【设计意图】：培养学生在变换位置的形式下应用三垂线定理的能力）【小结】运用三垂线定理证明的一般步骤：一定（定平面）二找（ 找平面的垂线、斜线及其射影）三证（证平面内一直线与斜线垂直） （ 解题回顾设计意图帮助学生理顺解题思路） 【巩固练习】：填空：如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面AC,连接PB 、PC 、PD 。
（练习题设计意图：培养学生应用定理判定线线垂直的综合推理能力，巩固所学知识）三、课时小结：本节主要学习了三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它就与这条斜线垂直。
即垂影则垂斜。
（设计意图：强调重点）（四）作业布置：(五) 板书设计：课题：三垂线定理 例1： 多媒体练习1（1）： 1（2）（学生板演） （学生板演） 例2中的第二个证 （学生板演）七、教学反思：PAPCAB PC P M MB 1A BC D A 1 C 1 D 1 课题：三垂线定理 主备人：邢玉芳 课型：新课 时间：2015.4 五原职中 教研组：数学组 《三垂线定理》学练案。