1. 2.1 任意角的三角函数的定义及应用

1．2任意角的三角函数
1．2.1任意角的三角函数的定义及应用
在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？
一、任意角的三角函数
1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．
2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r＝|OP|＝1.那么：
(1)y叫做________，记作sin α，即y＝sin α；
(2)x叫做________，记作cos α，即x＝cos α；
(3)y
x叫做________，记作tan α，即y
x＝tan α(x≠0)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆
2．(1)α的正弦(2)α的余弦(3)α的正切三角函数
二、三角函数值在各个象限内的符号
1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．
sin α＝y
r，其中r>0，于是sin α的符号与y的符号相同，即：
当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.
cos α＝x
r，其中r>0，于是cos α的符号与x的符号相同，即：
当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.
tan α＝y
x，当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第________象限角时，tan α<0.
2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：
“sin α＝y r ：上正下负横为0；cos α＝x
r ：左负右正纵为0；tan
α＝y
x
：交叉正负．”
形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四
三、诱导公式一
由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：
sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z.
答案：相等
四、三角函数线
1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．
2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的
________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．
三角函数线的作法如下：
设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.
过点A(1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是角α的正切线，即AT ＝tan α.
3．填写下表中三角函数的定义域、值域：
答案：1.有长度有正负 2.方向正负长度大小
3.
任意角的三角函数的定义
1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．
(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P在终边上的位置无关．
(2)三角函数值是一个比值，没有单位．
三角函数值的符号
三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．
三角函数线
对于三角函数线，须明确以下几点：
(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．
三角函数的定义域
1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．
2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．
基础巩固
1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：4
2．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．
答案：－
3 2
3．若角α的终边过点P(3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．
答案：4 5
4．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角．
答案：第三或第四
5．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
答案：二
6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．
答案：π
4或
5
4π
7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________．答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1
能力升级
8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．
解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩
⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，
cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限
内和两个半轴上．
∴2k π＋
π
2
≤x ≤2k π＋π，k ∈Z. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π
2，2k π＋π(k ∈Z)
9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－25
5，cos α
<0，则k ＝________．
解析：∵sin α＝－25
5，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令
角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a
＝－255，∴k ＝2. 答案：2
10．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值范围是________．
解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知
π2＜α≤π或3π
2
＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π2，2π
11．解不等式2＋2cos x ≥0.
解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－2
2
，利用单位圆，借助三角函
数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．
12．若π4＜θ＜π
2
，则下列不等式中成立的是( )
A ．sin θ＞cos θ＞tan θ
B ．cos θ＞tan θ＞sin θ
C ．sin θ＞tan θ＞cos θ
D ．tan θ＞sin θ＞cos θ 解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cos θ.
答案：D
13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x
|tan x |
的值域是( C )
A ．{－1，0，1，3}
B ．{－1，0，3}
C ．{－1，3}
D ．{－1，1}
14．若0＜α＜π
2，证明：
(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.
证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π
2，|OP |＝1，
∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.
(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .
∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ，
∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜1
2OA ·AT . ∴MP <AP ︵
<AT ，即sin α＜α＜tan α.
15．已知f (n )＝cos n π5
(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．
解析：角n 5
π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，
f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，
…
f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2
014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5
. 由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5
互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。