空间向量的正交分解及其坐标表示
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空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,
存在唯一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc
a, b,c 叫做空间的一个基底
a, b, c 叫做基向量. 注：空间任意三个不共面向量都是空间的一个基底
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
P1(1, 1, 1)
P2 (1,1, 1)
(1,1,1)
空间对称点
z
(1,1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
(1,1,1)
对称点
❖ 一般的P(x , y , z) 关于：
❖ （1）x轴对称的点P1为__(_x_, __y_,__z_); ❖ （2）y轴对称的点P2为__(__x_, _y_, __z_); ❖ （3）z轴对称的点P3为__(__x_, __y_,_z_); ❖ （4）原点对称的点P4为_(__x_,__y_,__z)_;
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a (a1, a2 , a3 )( R)
空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,
存在唯一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc
a, b,c 叫做空间的一个基底
a, b, c 叫做基向量. 注：空间任意三个不共面向量都是空间的一个基底
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
空间对称点
z
P3(1, 1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
P1(1, 1, 1)
P2 (1,1, 1)
(1,1,1)
空间对称点
z
(1,1,1)
P(1,1,1)
o
y
x
(1,1,1)
对称点
❖ 一般的P(x , y , z) 关于：
❖ （1）x轴对称的点P1为__(_x_, __y_,__z_); ❖ （2）y轴对称的点P2为__(__x_, _y_, __z_); ❖ （3）z轴对称的点P3为__(__x_, __y_,_z_); ❖ （4）原点对称的点P4为_(__x_,__y_,__z)_;
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a (a1, a2 , a3 )( R)
空间向量基本定理正交分解及坐标表示-精品
空间向量基本定理、正交分解及坐标表示1.空间向量基本定理
如果三个向量W，b，7不共面，那么对空间任一向量V存在一个唯一的有序实数组X，
—> —•TT
y，z,使p=xa+yb+za
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a，b，W都叫做基向量.
2.单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，常用｛£,最，£｝表示.
3.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底｛£,二｝,以点。为原点，分别以3，
荒，工的正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系0-孙Z.
其中，点。叫做原点，向量司，司，司都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面
叫做坐标平面.
4.空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量总一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量而
=P，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛斯- z},使得P=+ye2+223.把x,y,z称作向量p在单位正交基底最，£卜的坐标，记作p=(x,y,z).
【解题方法点拨】
1.基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断,假设不能作为一个基底, 看是否存在一对实数入、四使得G+W)+w(W+W),若存在，则假设成立；若不
存在，则假设不成立.
2.空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
空间向量的正交分解及其坐标表示
z
p P (x,y,z)
e3 e1 x
O
e2 Q
y
例2 如图所示， PA 垂直于正方形 补练： ABCD 所在的平面， N 分别是 AB、 M、 PC 的中点，并且 PA＝AB＝1.试建立 → 适当的空间直角坐标系， 求向量MN的 坐标．
【思路点拨】 → → → PA⊥正方形ABCD所在平面 → AP、AB、AD两两垂直 → → → → 以AB、AD、AP为单位正交基底建立空间直角坐标系 → → → → → 用AB、AD、AP表示向量MN → 结论
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练习3
用基底表示向量
用基底表示向量时， (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三 角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运 算律进行． (2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要 尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再 就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
略解:⑴ MN MO ON 1 1 1 OA (OB OC ) = ( a b c ) 2 2 2 1 MP OP OM = (c a ) 2 1 1 2 2 2 ⑵易知 a b b c c a , a b c 1 ,∴ MN MP 2 4
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 两两垂直 单位正 三个有公共起点O的__________的单位 交基底 向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。下面小编给大家介绍空间向量的正交分解及坐标，赶紧来看看吧!
空间向量的正交分解的定义：
对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量的坐标表示：
在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A 在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。
基底在向量中的应用：
(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.
(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量：
用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：
(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;
(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差
的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
Q
x
OP OQ zk xi y j zk
由此可知,如果 i, j, k 是空间两两垂直的向量,
那么,对空间任一向量 p , 存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p xi y j zk.我们称 xi, y j, zk为向量 P
在 i, j, k 上的分向量.
探究：在空间中,如果用任意三个不共面向量 a,b, c
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
a,b, c 不共面，还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个 基底.
（2 ） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与 任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐
含着它们都不是 0 .
（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基
底中的某一个向量,二者是相关连的不同概念.
例题讲解：
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
如果 i, j, k 是空间三个 两两垂直 的向量 ，那么，
对空间任一向量 p, 存在有序实数组 x, y, z ,使得
p xi y j zk.
● xi, y j , zk 为向量 p 在 i, j, k 上的分向量
温故知新
平面向量的坐标表示
a xi y j
记作a x, y
OA=( x, y) A( x, y)
温故知新
a
b
p
M
A C
O
B N
问题一：四边形OMCN是什么形状,它是怎么得到的？
问题二：向量 p 可以用 a ,b 表示吗？怎样表示？
温故知新 平面向量基本定理：
不共线
p 1a+2 b
提出问题
问题一 问题二 空间中有没有与平面向量基本定理类似的结论？
猜 想一下
如果三个向量 a, b, c不共面,空间任一向量 p ,能否用
2.类比平面向量的坐标运算，空间向量的运算的如何 用坐标表示？
二、书面作业 课本P94 1,2,3
LOGO
谢谢
● { a, b, c } 叫做空间的一个基底 , a, b, c 都叫做基向量
LOG新O知生成
辨析 (1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 （ ）
(2) 若a,b, c为空间的一个基底,则 a,b, c 全不是零向量（ ）
对空间任一向量 p, 存在有序实数组 x, y, z ,使得
p xi y j zk.
● xi, y j , zk 为向量 p 在 i, j, k 上的分向量
温故知新
平面向量的坐标表示
a xi y j
记作a x, y
OA=( x, y) A( x, y)
温故知新
a
b
p
M
A C
O
B N
问题一：四边形OMCN是什么形状,它是怎么得到的？
问题二：向量 p 可以用 a ,b 表示吗？怎样表示？
温故知新 平面向量基本定理：
不共线
p 1a+2 b
提出问题
问题一 问题二 空间中有没有与平面向量基本定理类似的结论？
猜 想一下
如果三个向量 a, b, c不共面,空间任一向量 p ,能否用
2.类比平面向量的坐标运算，空间向量的运算的如何 用坐标表示？
二、书面作业 课本P94 1,2,3
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谢谢
● { a, b, c } 叫做空间的一个基底 , a, b, c 都叫做基向量
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辨析 (1) 空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 （ ）
(2) 若a,b, c为空间的一个基底,则 a,b, c 全不是零向量（ ）
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标
高考数学知识点之空间向量的正交分解及坐标
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空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。下面小编给大家介绍空间向量的正交分解及坐标，赶紧来看看吧!
高考数学知识点之空间向量的.正交分解及坐标
空间向量的正交分解的定义：
对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量的坐标表示：
在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使,初中学习方法，有序实数组(x，y，z)叫作向量A 在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。
基底在向量中的应用：
(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.
(2)在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量：
用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：
(1)要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;
(2)把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;
空间向量的正交分解及其坐标表示
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3 不共面，
∴－ x＋3xy＝＋2y＝ ，1， 2x－y＝－1.
此方程组无解，
即不存在实数 x,y 使OA＝xOB＋yOC .
∴OA，OB，OC 不共面．
故{OA，OB，OC }能作为空间的一个基底.
[例 2] 四棱锥 P－OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC.设OA＝a，OC ＝b，OP ＝c，E,F 分别是 PC 和 PB 的 中点，试用 a，b，c 表示BF ,BE , AE , EF .
2．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－ e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC ＝e1＋e2－e3，试判断{OA， OB，OC }能否作为空间的一个基底？
解：假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知存 在实数 x，y 使OA＝xOB＋yOC 成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3) ＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．
∴11＝＝μλ，， 0＝λ＋μ.
此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
[一点通] 判断给出的某一向量组能否作为基底， 关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用 反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
z
以 i, j, k 为单位正交基底
z
建立空间直角坐标系O—xyz
p P(x, y, z)
i, j,k 为基底 ( x, y, z)
p xi y j zk
k
O
i
j
x
y y 记 p (x, y, z)
x
OP ( x, y, z) P( x, y, z)
若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则 AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
练习 1:已知 OE 是以 OA、OB 、OC 为棱的平行六面
体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ABC 的重心.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a .
空间向量的正交分解与坐标表
向量的加法与数乘
总结词
向量的加法和数乘是向量运算的基本操作，通过这些操作可以方便地处理和变换向量。
详细描述
向量的加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。数乘则是将一个向量按比例放大或缩小。这些操作在物 理学、工程学和许多其他领域都有广泛的应用。通过向量的加法和数乘，可以方便地进行向量变换、合成和分解 等操作。
详细描述
唯一性是指一个向量只有一个正交分解；正交性是指正交向量之间相互垂直； 线性组合性质是指正交向量的线性组合仍为正交向量。
正交分解的求法
总结词
求向量的正交分解需要找到与目标向 量正交的向量，并确定它们的系数。
详细描述
首先找到与目标向量所在直线平行的 坐标轴，然后找到与目标向量垂直的 平面，最后在该平面上找到与目标向 量共线的向量，即可完成正交分解。
向量模可以用其坐标表示，即 $|overset{longrightarrow}{a}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
04
向量的数量积、向量积和 混合积
向量的数量积
总结词
向量的数量积是两个向量之间的点乘，表示它们之间的相似程度。
详细描述
向量的数量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们之间夹角 的余弦值的乘积，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。其几何意义是两个向量之间的
空间向量的正交分解及坐标表示
1 1 1 OA (OB OC ) 3 3 2
练习3
（1）
(2)
OB a b c BA c b CA a b c 1 1 OG a b c 2 2
四、学后反思
1、知识点：
2、问题探究过程的思路剖析：
[课下探究] 空间向量基本定理与课 本95页“思考“栏目中的第二问题 有什么联系？你有何体会？
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
已知 a ( x, y, z) ,则 a x y z
2 2
2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
所以 DA1 (1, 0 , 1) 1 1 1 EF DA ( , , ) (1 , 0 , 1) 0 ， 所以 1 2 2 2 因此 EF DA1 ，即 EF DA1
例 3.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中 , E 、F 分别是 BB1 、 CD 的中点,求证: D1F 平面ADE . z 证明: 设正方体的棱长为1,
3 B(1 , 1 , 0) , E1 1 , , 1 , 4
例 2 如图， 正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E ，F 分别是 BB1 ，D1 B1 中点，求证： EF DA1
空间向量的正交分解及其坐标表示
z
).
e3 e1
p e2
y
x
例题分析
例2. 设{i , j , k}是空间向量的一个单位正交基底
且m
2i
3
j
4k，n
i
2
j
5k ,
则m ,
n
的坐标分别为__(2_,_3_, _－__4_) _; _(－__1_,_2_, _－__5_) .
同步练习
注意: 1.空间任何三个不共面的向量都可以构成 一个基底;
2.基底确定后,任何一个向量的表示都是唯一 确定的,不同的向量对应不同的一组{x, y, z}.
例题分析
例1.
若
{a,
b,
c}
是空间的一个基底, 试问:
{a
b,
b
c,
c
a}能 否 作 为 空 间 的 一 个 基底 ?
b
(_a_1_＋_b_1_,_a_2_＋__b_2 _, a_3_＋__b_3 _) _;
b (_a_1_－_b_1_,_a_2_－__b2_,_a_3_－__b3_)__;
_(__a_1 _, __a2_,___a3_)__;
R);
(4)若b
0,
空间向量的正交分解及其坐标表示
的向量，那么，对于空 间任一向量 p，
k i
O
p
j
P
称x i ，y j ，z k 为向量 p 在 i ， j， k 上的分向量 .
OQ xi y j.
Q
OP OQ zk xi y j zk.
1.空间向量基本定理：
如果三个向量a , b , c 不共面， 那么对于空间任一向量p ，存在
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O-xyz中的坐标，
我们知道，平面内的任意一个向量 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
新知探究：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
e3 e1 O e2 y
x
3.空间向量的坐标表示：
z
e3 e1 O e2 y
x
3.空间向量的坐标表示：
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3
空间向量的正交分解及其坐标表示
2 2 2 3 ∴ 3 2 解之得 1 3 2 3 5 λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立． 故存在
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
Байду номын сангаас
O/
C/ B/ G
A/
OB
'
BA ' CA
'
O C A B
OG
a b c c b a b c 1 1 a b c 2 2
课本94页
已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
题型一
基底的判断
【例1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c ＋a}能否作为该空间的一个基底． 解 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面，
1＝μ， ∴1＝λ， 此方程组无解． 0＝λ＋μ， ∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋ a}可以作为空间一个基底．
例4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA， BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量 和 表示 。 OP OA, OB, OC OQ O
空间向量的正交分解 课件
向量e1,e2,e3不共面，所以
3
3 2
y, 2
x 解y,1得xx=-y1，,
y=2,λ=0，即当λ=0时a=-b+2c,此时{a,b,c}不能作为空间向
量的一个基底，所以{a,b,c}能作为空间向量的一个基底的条
件是λ≠0.
【拓展提升】 1.空间基底的判断方法 (1)如果向量中存在零向量，则不能作为基底. (2)如果存在两个或三个向量共线，也不能构成基底. (3)利用平面向量基本定理，假设三个向量共面，则其中一个能 用另两个来表示，然后解方程组，若有解，则构不成基底；若无 解，则构成基底. 2.利用基底求参数范围的方法 根据构成基底的条件，结合平面向量基本定理求参数的范围.
则GH 1 AO，又OA a,
3 GH 1 a.
3
【互动探究】题2的条件不变，试用a,b,c表示向量 DG.
【解析】 DG 1 AD,又AD 1 AB AC
3
2
1［ OB OA OC OA ］ 1 (b a c a)
2
2
1 b c 2a,
2
DG 1 1 b c 2a 1 (b c 2a)
3.空间向量的坐标表示： 空间任一向量p作正交分解可得p=x i+y j+z k，则_x_,_y_,_z_称 作向量p在单位正交基底i,j,k下的坐标，记作__p_=_(_x_,_y_,_z_)， 这也是p在空间直角坐标系Oxyz中的_坐__标__. 思考：向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一吗？ 提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解 不变，故其坐标也不变.
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
x k O iLeabharlann Baidu
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
3.1.4空间向量的正交分解 及其坐标表示
一、空间向量基本定理：
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共 起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P 在i,j所确定的平面上的正投影， 由平面基本定理可知， 在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得 OP=OQ+zk, 而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理 z 可知，存在有序之前数对(x,y)， 使得OQ=xi+yj. 从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
j
P y
Q
如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间 任一个向量p，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk. xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量。
z P y
k O
i x
j
Q
二、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表 示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
3.1.4空间向量的正交分解 及其坐标表示
一、空间向量基本定理：
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共 起点O。对于空间任意一个向量p=OP,设点Q为点P 在i,j所确定的平面上的正投影， 由平面基本定理可知， 在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得 OP=OQ+zk, 而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理 z 可知，存在有序之前数对(x,y)， 使得OQ=xi+yj. 从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk.
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
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空间向量的正交分解及其坐标表示
人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）选修2-1：3.1.4
复习旧知，引入新课
平面向量基本定理
如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量
a
，有且只有一对实数
1 ,
2
，使
a
1
e1
2
e2
。
（
e1, e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
有AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c
，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量 AC？
AC x a y b z c
空间向量基本定理
如果三个向量a, b, c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在
唯一
有序实数组x, y, z，使得
p xa y b z c
。
a, b, c
叫做空间的一组基底，a,
b,
c
都叫做基向量。
表示
OP
和
OQ
。
谢谢各位老师！
任意三个不共面的非零向量都可以作为空间向量的基底。
变式2
如图，有一长方体AABBCCDDAABBCCDD， 设向量
A
a,
b, c
分别是是AB,
AD,
AA
方向上的向量，且
有AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量
AC
？
AC x a y b z c
特1
在空间直角坐标系
O
xyz
A
a, b, c
分别是是AB,
AD,
AA方向上的单位向量，
且有
百度文库
AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c，如何用向量
a, b, c
表示向量
AC
？
AC x a y b z c
特2
设
e1,
e2
,
e3为有公共起点
O
的三个两两垂
直的单位向量（称为单位正交基底），
以
e1,
e2
, e3的公共起点
O
为原点，分别以
e1, e2 , e3
p x, y, z
当向量的起点在坐标原点时，空间向量与有序 实数组之间有一一对应关系
空间向量
p
e1
,
e2
,e3
为基底
一一对应
有序实数组
x, y,z
p x e1 y e2 z e3
课后思考，应用新知
如右图，M , N 分别是四面体OABC 的边 OA, BC
的中点，P,Q 是 MN 的三等分点。用向量OA、OB、OC
中，如果i ,
j,
k
是空间中的三个两两垂直的向量（称
为正交基底），那么对于空间中的向
量任一向量
p
OP，设点
C
为点
P
在
i,
j
所确定的平面上的正投影，存在有序
实数组 x, y, z，使得 p x i y j z k 。
x
i,
y
j,
z
k
为向量
p
在i ,
j,
k上的分向量。
变式3
如图，有一长方体 AABBCCDDAABBCCDD， 设向量
的方向为
x
轴、y 轴、z
轴的正方
向建立空间直角坐标系O xyz，那么对于
空间中的任意一个向量
p
，一定可以把
它平移，使它的起点与原点O重合，得
到
OP
=
p
，由空间向量基本定理，存在
有序实数组x, y, z，使得
。
p x e1 y e2 z e3
把 x, y, z称作向量
p在单位正交基
e1, e2 , e3下的坐标，记作
平面向量的基本定理可以推广到空间中吗？
问题情境，探究新知
探究
如图，有一平行六面体ABCD ABCD， 如何
用向量
AB,
AD,
AA
表示向量
AC
？
AC AC AA
= AB AD + AA
变式1
如图，有一平行六面AB体CDABACBDCDABCD， 设向量
A
a,
b,
c
分别是是
AB,
AD,
AA方 向上的向量，且
人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）选修2-1：3.1.4
复习旧知，引入新课
平面向量基本定理
如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内
的任一向量
a
，有且只有一对实数
1 ,
2
，使
a
1
e1
2
e2
。
（
e1, e2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底）
有AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c
，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量 AC？
AC x a y b z c
空间向量基本定理
如果三个向量a, b, c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在
唯一
有序实数组x, y, z，使得
p xa y b z c
。
a, b, c
叫做空间的一组基底，a,
b,
c
都叫做基向量。
表示
OP
和
OQ
。
谢谢各位老师！
任意三个不共面的非零向量都可以作为空间向量的基底。
变式2
如图，有一长方体AABBCCDDAABBCCDD， 设向量
A
a,
b, c
分别是是AB,
AD,
AA
方向上的向量，且
有AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c，如何用向量
a,
b,
c
表
示向量
AC
？
AC x a y b z c
特1
在空间直角坐标系
O
xyz
A
a, b, c
分别是是AB,
AD,
AA方向上的单位向量，
且有
百度文库
AB
x
a,
AD
y
b,
AA
z
c，如何用向量
a, b, c
表示向量
AC
？
AC x a y b z c
特2
设
e1,
e2
,
e3为有公共起点
O
的三个两两垂
直的单位向量（称为单位正交基底），
以
e1,
e2
, e3的公共起点
O
为原点，分别以
e1, e2 , e3
p x, y, z
当向量的起点在坐标原点时，空间向量与有序 实数组之间有一一对应关系
空间向量
p
e1
,
e2
,e3
为基底
一一对应
有序实数组
x, y,z
p x e1 y e2 z e3
课后思考，应用新知
如右图，M , N 分别是四面体OABC 的边 OA, BC
的中点，P,Q 是 MN 的三等分点。用向量OA、OB、OC
中，如果i ,
j,
k
是空间中的三个两两垂直的向量（称
为正交基底），那么对于空间中的向
量任一向量
p
OP，设点
C
为点
P
在
i,
j
所确定的平面上的正投影，存在有序
实数组 x, y, z，使得 p x i y j z k 。
x
i,
y
j,
z
k
为向量
p
在i ,
j,
k上的分向量。
变式3
如图，有一长方体 AABBCCDDAABBCCDD， 设向量
的方向为
x
轴、y 轴、z
轴的正方
向建立空间直角坐标系O xyz，那么对于
空间中的任意一个向量
p
，一定可以把
它平移，使它的起点与原点O重合，得
到
OP
=
p
，由空间向量基本定理，存在
有序实数组x, y, z，使得
。
p x e1 y e2 z e3
把 x, y, z称作向量
p在单位正交基
e1, e2 , e3下的坐标，记作
平面向量的基本定理可以推广到空间中吗？
问题情境，探究新知
探究
如图，有一平行六面体ABCD ABCD， 如何
用向量
AB,
AD,
AA
表示向量
AC
？
AC AC AA
= AB AD + AA
变式1
如图，有一平行六面AB体CDABACBDCDABCD， 设向量
A
a,
b,
c
分别是是
AB,
AD,
AA方 向上的向量，且